2.5.2向量在物理中的应用举例(教学设计)

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教学设计1：2.5.2 向量在物理中的应用举例

2.5.2 向量在物理中的应用举例教学目标1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.教学重点难点教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.教学过程导入新课你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.应用示例例1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?解:图1不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道|F 1|＝|G |2cos θ2.通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos 2θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力. 例2.如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h .设子弹和砂箱的质量分别为m 和M ,求子弹的速度v 的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m |v |=(M +m )|v 0|. ①由于机械能守恒,所以21(M +m )v 02=(M +m )gh . ② 联立①②解得|v |=.2gh mm M + 又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈gh mM 2, 即子弹的速度大小约为gh m M 2. 课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;③动量mv 是数乘向量,冲量Δt F 也是数乘向量;④功是力F 与位移s 的数量积,即W =F ·s .知能训练1.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为( )A.215kmB.6 kmC.84kmD.8 km【答案】B2.如图4,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F,则F=___________.图4【答案】41(5,4)。

人教A版高中数学必修四 2-5-2向量在物理中的应用举例

2.5.2向量在物理中的应用举例一、教学目标：知识与技能：通过力的合成与分解的物理模型，速度的合成与分解的物理模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识．过程与方法：通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力．体会数学在现实生活中的重要作用．养成善于发现生活中的数学，善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯．情感、态度与价值观通过学习体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．二．重点难点重点：1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法．难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题．三、教材与学情分析向量与物理学天然相联．向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题的认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．用向量研究物理问题的相关知识．(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量，那么它们的合成与分解就是向量的加、减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(2)动量是数乘向量；(3)功即是力与所产生位移的数量积．用向量知识研究物理问题的基本思路和方法．(1)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；(2)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型．例如，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程（一）创设问题情境，引出新课思路1.(章头图引入)章头图中，道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系．章引言说明了向量的研究对象及研究方法．那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像章头图中的高速公路一样，是一条解决物理问题的高速公路．在学生渴望了解的企盼中，教师展示物理模型，由此展开新课．思路2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量？比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，学生很容易就举出来．进一步，你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗？你是怎样解决的？教师由此引导：向量是有广泛应用的数学工具，对向量在物理中的研究，有助于进一步加深对这方面问题的认识．我们可以通过对下面若干问题的研究，体会向量在物理中的重要作用．由此自然地引入新课．（二）应用示例例1在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？活动：这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型，引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题．这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题．只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力)，就得到了问题的数学解释．图1在教学中要尽可能地采用多媒体，在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G|、θ之间在变化过程中所产生的相互影响．由学生独立完成本例后，与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤，也可以由学生自己完成，还可以用信息技术来验证．用向量解决物理问题的一般步骤是：①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．解：不妨设|F 1|＝|F 2|，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道cos θ2＝12|G||F 1|⇒|F 1|＝|G |2cos θ2.通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐变大时，θ2由0°到90°逐渐变大，cos θ2的值由大逐渐变小，因此|F 1|由小逐渐变大，即F 1，F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．点评：本例是日常生活中经常遇到的问题，学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验．本例的关键是作出简单的受力分析图，启发学生将物理现象转化成模型，从数学角度进行解释，这就是本例活动中所完成的事情．教学中要充分利用好这个模型，为解决其他物理问题打下基础．得到模型后就可以发现，这是一个很简单的向量问题，这也是向量工具优越性的具体体现.图2，实际风速为v .∵DA →端，子弹击中砂箱后，陷入箱内，使砂箱摆至某一高度h .设子弹和砂箱的质量分别为m 和M ，求子弹的速度v 的大小．图3解：设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度，由于水平方向上动量守恒，所以m |v |＝(M ＋m )|v 0|. ①由于机械能守恒，所以12(M ＋m )v 20＝(M ＋m )gh . ② 联立①②解得|v |＝M ＋m m 2gh .，又因为m 相对于M 很小，所以|v |≈M m2gh ，即子弹的速度大小约为M m2gh . （三）知能训练1．一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3小时，该船实际航程为( )A ．215 kmB ．6 kmC.84 km D ．8 km答案：B点评：由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理，所以要通过作高来求．2．如图4，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________ N ；若在图示坐标系中，用坐标表示合力F ，则F ＝________.图4答案：41 (5,4)3．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而该船实际航行的方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．答案：如图5所示，设OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的速度，OC →表示船的实际速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5 km/h.图5因为OACB 为矩形，所以|OA →|＝|AC →|·cot30°＝|OB →|·cot30°＝53≈8.66 km/h ，|OC →|＝|OA →|cos30°＝5332＝10 km/h. 答：水流速度为8.66 km/h ，船的实际速度为10 km/h.点评：转化为数学模型，画出向量图，在直角三角形中解出．六、课堂小结1．与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤．①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．2．与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型．①力、速度、加速度、位移都是向量；②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减；③)动量m v 是数乘向量，冲量Δt F 也是数乘向量；④功是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s .七、课后作业1.课时练与测八、教学反思1．本教案设计的指导思想是：由于本节重在解决两个问题，一是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上．而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上，也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系．通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题，然后利用向量知识解决这个向量问题．2．经历是最好的老师．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．教科书中对本节的两个例题的处理方法，都不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法，就足以说明这一点．3．突出数形结合的思想．教科书例题都是先画图进行分析的，本教案的设计中也突出了这一点．让学生在活动的时候就先想到画图，并在这个活动中，体会数形结合的应用，体会数学具有广泛的应用，体会向量这个工具的优越性．。

人教新课标版数学高一必修四教案 2.5.2向量在物理中的应用举例

2.5.2 向量在物理中的应用举例由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力),就得到了问题的数学解释.图1在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G|、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证.用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.解:不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道2cos2||||||212cos1θθGFG⇒=通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos2θ的值由大逐渐变小,因此|F1|由小逐渐变大,即F1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现.变式训练某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.图2解:如图2所示.设v1表示20 km/h的速度,在无风时,此人感到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感到的风速为v+(-v1)=v-v1.令AB=-v1,AC=-2v1,实际风速为v.∵DA+AB=DB,∴DB=v-v1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度.∵DA+AC=DC,∴DC=v-2v1,这就是当车的速度为40 km/h时,骑车人感受到的风速.由题意得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°.∴DA=DC=2BC=202.∴|v|=202km/h.答:实际的风速v的大小是202 km/h,方向是东南方向.例2 如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m和M,求子弹的速度v的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m|v |=(M+m)|v 0|.① 由于机械能守恒,所以21(M+m)v 02=(M+m)gh.②联立①②解得|v |=.2gh mmM 又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈gh mM 2,即子弹的速度大小约为gh mM 2.知能训练1.一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为( )A.215 kmB.6 kmC.84 kmD.8 km图42.如图4,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F ,则F =___________.3.一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度. 解答: 1.B点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求. 2.41 (5,4)图53.如图5所示,设OA 表示水流速度,OB 表示船垂直于对岸的速度,OC 表示船的实际速度,∠AOC=30°,|OB |=5 km/h.因为OACB 为矩形,所以|OA |=|AC |·cot30°=|OB |·cot30°=53≈8.66 km/h, |OC |=30cos ||OA =2335=10 km/h.答:水流速度为8.66 km/h,船的实际速度为10 km/h. 点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出. 课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤. ①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题; ②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型; ③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值; ④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型. ①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减; ③)动量mv 是数乘向量,冲量Δt F 也是数乘向量; ④功是力F 与位移s 的数量积,即W=F ·s. 作业1.课本习题2.5 A 组3、4,B 组1、2. 2.归纳总结物理学中哪些地方可用向量.。

课件5：2.5.2 向量在物理中的应用举例

随堂训练
1.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线， a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( ) A．以a，b为邻边的平行四边形的面积 B．以b，c为两边的三角形面积 C．以a，b为两边的三角形面积 D．以b，c为邻边的平行四边形的面积解析：假设a与b的夹角为θ， |b·c|＝|b|·|c|·|cos〈b，c〉|＝|b|·|a|·|cos(90°±θ)|＝|b|·|a|·sinθ，即为以a，b为邻边的平行四边形的面积．答案：A
【解】设点M(x，y)为轨迹上的任意一点,设A(0，b)，Q(a，0)(a>0)，
则A→M＝(x，y－b)，M→Q＝(a－x，－y)，
∵A→M＝－32M→Q，∴(x，y－b)＝－32(a－x，－y)，∴a＝3x(x>0)，b＝－2y，
则 A0，－2y，Q3x，0， P→A＝3，－2y，A→M＝x，23y，∵P→A·A→M＝0，∴3x－34y2＝0，
想一想在四边形 ABCD 中，若A→B＝D→C，且A→B·B→C＝0，则该四边形的形状是什么？
提示：∵A→B＝D→C，∴四边形 ABCD 为平行四边形，
又∵A→B·B→C＝0，∴A→B⊥B→C， ∴该四边形为矩形．
2.向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在一些物理的合成和分解． (3)动量mv是向量的数乘运算． (4)功是力F与位移s的数量积．
一边,A→C为一对角线作▱ABCD，则A→D就是船的航行速度． ∵|A→B|＝4 3，|A→C|＝12，∴|A→D|＝|B→C|＝8 3，∴tan∠ACB＝4123＝ 33， ∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°. 即船的航行速度的大小为 8 3 km/h，方向与水流方向的夹角为 120°.

高中数学 2.5.2向量在物理中的应用教案人教版必修4

第三节运动快慢的描述——速度
速度：是矢量，但是此时还不涉及其运算问题，只是让学生知道：速度是矢量；
第五节速度变化快慢的描述——加速度
加速度：是矢量，但是此时仍不涉及其运算问题，只是让学生知道：加速度也是矢量；
实例1：从高出地面3m的位置竖直向上抛出一个小球，它上升5m后回落，最后到达地面（如图）。分别以地面和抛出点为原点建立坐标系，方向均以向上为正，填写以下表格。
（4）在探究问题解决方法的过程中，展示学生的思维过程，发展学生的思维能力和解决问题的能力
二、重点难点
（1）教学重点是利用向量方法解决与物理相关的实际问题
（2）教学难点是选择适当的物理题和恰当的方法——建立以向量为主题的数学模型，将物理问题转化为数学问题
三、教学内容安排
1．复习引入，
首先提出下列思考问题：回顾用向量法解决平面几何问题的基本思维过程（三步曲），为学习用向量法解决物理及生活中的问题，奠定理论和方法的基础；
四、教学资源建议
（1）多媒体教学系统（展示相关图片或视频资料）
（2）电脑和几何画板软件（画图并演示物理现象和建模后的几何图形的性质）
（3）引导学生通过联系实际、网络等途径，进一步了解向量在物理方面的应用，加深对向量工具性功能的认识，扩大知识视野
（4）及时与相关学科保持联系，最好选用与其同期的例题。特别是物理，地理，生物等学科。不仅能培养学生应用数学解决问题的意识，使学生体会学以至用的乐趣，更有利于培养成学生自觉应用数学解决问题习惯，也能更好地为今后学好数学树立信心。
0
-3
5m
-8m
-3m
补充问题4：
第四章牛顿运动定律（高一上学期第一学段）
例题：一个滑雪人，质量m=75kg，以v0=2m/s的初速度沿山坡匀加速下滑，山坡的倾角=300，在t=5s时间内滑下的路程为X=60m，求：滑雪人受到的阻力（包括摩擦和空气阻力，重力加速度g的值取10）

2.5.2向量在物理中的应用举例(使用)

变式训练
1.已知△ABC三边长分别为a，b，c，试用向量的方法证明：a＝bcosC＋ccosB.
证明：如图所示，设C→B＝a，
C→A＝b，A→B＝c，则 a＝b＋c， ∴a2＝(b＋c)·a ＝a·b＋a·c ①
又a与b的夹角为∠C，a与c的夹角等于∠B, 故①式可化为：|a|2＝|a||b|cosC＋|a||c|cosB，即|a|＝|b|cosC＋|c|cosB，也即a＝bcosC＋ccosB.
则A→M＝(x，y－b)，M→Q＝(a－x，－y)，
∵A→M＝－32M→Q， ∴(x，y－b)＝－32(a－x，－y)， ∴a＝x3(x>0)，b＝－2y，
则 A0，－y2，Qx3，0，
P→A＝3，－2y，A→M＝x，32y，
∵P→A·A→M＝0，∴3x－34y2＝0， ∴所求轨迹方程为 y2＝4x(x>0)．
解：(1)s＝A→B＝(7，0)－(20，15)
＝(－13，－15)，从而 W1＝F1·s＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－ 13)＋4×(－15)＝－99(J)， W2＝F2·s＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)． (2)W＝(F1＋F2)·s＝F1·s＋F2·s＝W1＋W2＝－102(J)．
答案：5
知识回顾 Knowledge Review
放映结束感谢各位的批评指导！
谢谢！
让我们共同进步
和船它的们实的际合速速度度为为向量V水、 V船和 V合，由题意，
V合 =V船+ V水
其方向为临界方向 PQ，船只要朝着这个方向行
驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：
P
提问:表示划船速度的向量怎样画?

高中数学：2.5.2《向量在物理中的应用》教案(新人教A版必修4)

由平衡条件可布列方程组。解法如下：
解：如图，受力分析：重力G，支持力N,阻力f。建坐标如图，将重力G分解：
根据运动学规律：，求得加速度为：，代入上述动力学方程（1）求得：
注：本题主要是运用矢量的加法和加法解决运动合力的关系问题。较多地运用正交分解法和同一直线上的矢量加减法。解决此问题，首先要受力分析；然后求合力，而求合力的是需要先将力正交分解，把一个平面矢量的合成问题转化为两条直线上的矢量加法问题，使运算更简单，这个方法在物理中经常使用
2．回顾情景，观察思考，探索思路
然后，再就课前预习作业：情景1、情景2得体会，针对情景3为例，引导学生从数学的角度解释这些现象。（即：首先在探讨用向量知识表示物理量的前提下，再利用数学中向量的线性关系表示问题所涉及到的物理量（矢量）之间的关系（这里不妨设）
情景1：两个同学共同提一较重的物体（一个旅行包，一筒水，一摞书等）。两位同学手臂间的夹角的变化与两人用力大小变化间的关系（体会夹角越大越省力）
2.5.2向量在物理中的应用
学习目标
以物理问题为载体，进一步复习、巩固所学向量知识和向量法
通过一些物理问题的解决，使学生经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题，理解用向量知识研究物理中的“四环节”
通过用向量知识解决物理和生活中的实际问题，培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用
情景2：在单杠上做引体向上运动（同上）
情景3：教具演示：
详见《参考样例》P22
3．启发联想、拓展思维
详见《参考样例》P22
4．深化练习、总结规律
问题1详见《参考样例》P22
问题2详见《参考样例》P22
由于课本中的例题，对一部分学习能力强的同学可能会觉得课堂密度不够（新高一一开学，物理就讲力学。所以到了数学讲向量时，数学书上地例题就显得太简单了）

2.5.2向量在物理中的应用举例

例 2 已知两恒力 F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0)． (1)求 F1，F2 分别对质点所做的功； (2)求 F1，F2 的合力 F 对质点所做的功．解 (1)A→B＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)， W1＝F1·A→B＝(3,4)·(－13，－15)
则帆船的行驶速度 v＝v1＋v2＝(10,10 3)＋(20,0)＝(30,10 3)，所以|v|＝ 302＋10 32＝20 3(km/h)．因为 tan α＝10303＝ 33(α 为 v 和 v2 的夹角，α 为锐角)，所以 α＝30°. 所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3 km/h.
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W2＝F2·A→B＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．
∴力 F1，F2 对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.
解析设重力为 G，每根绳的拉力分别为 F1，F2，则由题意得 F1，F2 与－G 都成 60°角，且|F1|＝|F2|.
∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N.
∴每根绳子的拉力都为 10 N.
2．已知一个物体在大小为 6 N 的力 F 的作用下产生的位移 s 的大小为 100 m，且 F 与 s 的夹角为 60°，则力 F 所做的功 W＝___3_00____ J.
探究点二向量的数量积在物理中的应用物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即 W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它实质是向量 F 与 s 的数量积．例如：已知力 F 与水平方向的夹角为 30°(斜向上)，大小为 50 N，一个质量为 8 kg 的木块受力 F 的作用在动摩擦因数 μ＝ 0.02 的水平平面上运动了 20 m．问力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2)

人教版高中数学教案-向量在物理中的应用举例

2.5.2向量在物理中的應用舉例教學目的：1.通過力的合成與分解模型、速度的合成與分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相關問題的步驟，明瞭向量在物理中應用的基本題型，進一步加深對所學向量的概念和向量運算的認識；2.通過對具體問題的探究解決，進一步培養學生的數學應用意識，提高應用數學的能力，體會數學在現實生活中的作用.教學重點：運用向量的有關知識對物理中的力的作用、速度分解進行相關分析來計算.教學難點：將物理中有關向量的問題轉化為數學中向量的問題.教學過程：一、複習引入：1. 講解《習案》作業二十五的第4題.RA点AP已知P直线lRA=-lyx=,是直线2,.2,6:上的一点求点若),,1(的轨迹方程2. 你能掌握物理中的哪些向量？向量運算的三角形法則與四邊形法則是什麼？二、講解新課：例1. 在日常生活中，你是否有這樣的經驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力. 你能從數學的角度解釋這種形象嗎？探究1：(1) 為何值時，|1F |最小，最小值是多少? (2)| 1F |能等於|G |嗎?為什麼?探究2:你能總結用向量解決物理問題的一般步驟嗎?(1)問題的轉化：把物理問題轉化為數學問題；(2)模型的建立：建立以向量為主體的數學模型；(3)參數的獲得：求出數學模型的有關解——理論參數值；(4)問題的答案：回到問題的初始狀態，解決相關物理現象.例2. 如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d ＝500 m ，一艘船從A 處出發到河對岸.已知船的速度|1v |＝10 km/h ，水流速度|2v |＝2 km/h ，問行駛航程最短時，所用時間是多少（精確到0.1 min ）？思考:1. “行駛最短航程”是什麼意思？2. 怎樣才能使航程最短？. ,|,23|, 231),2(,|,| ,)2,1( ),1,0(),,1(.32 12 1212121的值时，求则当处、秒时分别在在时刻、设速度为相同的方向做匀速运动开始沿着与从另有一动点速度为相同的方向做匀速运动开始沿着与向量从今有动点有两个向量例tQPPQQPtQPeee eQQeeeePPee⊥=++--++-==三、課堂小結向量解決物理問題的一般步驟:(1)問題的轉化：把物理問題轉化為數學問題；(2)模型的建立：建立以向量為主體的數學模型；(3)參數的獲得：求出數學模型的有關解——理論參數值；(4)問題的答案：回到問題的初始狀態，解決相關物理現象.四、課後作業1. 閱讀教材P.111到P.112;2. 《習案》作業二十六.。

向量在物理中的应用举例教学设计

2.5 .2向量在物理中的应用举例（教学设计）[教学目标]一、知识与能力：1. 运用向量方法解决某些简单的物理问题.二、过程与方法：经历用向量方法解决某些简单的物理问题的过程；体会向量是一种处理物理问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.[教学重点]运用向量方法解决某些简单的物理问题.[教学难点]运用向量方法解决某些简单的物理问题.一、新课引入物理学家很早就在自己的研究中使用向量概念，并早已发现这些量之间可以进行某种运算。

数学家在物理学家使用向量的基础上，对向量又进行了深入的研究，使向量成为研究数学和其他科学的有力工具.本节将举例说明向量在解决物理问题中的应用.二、师生互动，新课讲解()()1212122,457,020,151,2,.A B =+=-已知两个力（单位：牛）作用于同一质点，此质点在这两个力的共同作用下，由移动到（单位：米），试求：（）分别对质点所做的功；（）求的合力对质点所做的功例1f i j f i jf f f f ()()112212125,3,13,15,·43,23,·204323AB W AB W AB W AB ==⋅+=-======--解：和所做功分别为焦和焦，它们的合力所做功为20所以焦.f f f f f f f f变式训练1：()()()12312333,42,5,.x y ==-=++=0已知三个力，，的合力，求F F F F F F F()33205,145051x x y y ++=⎧=-=-⎨⎧⇒-+=⎩⇒⎨=⎩解：由平面向量的加法的坐标运算，则F .122:(500A 10/2/d m km h km h ===例课本P112例4)如图，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从出发到河对岸.已知船的速度，水流速度，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1min ）？v v()()12226096/,0.59 3.1min 1m 63.in.km h d t =-===⨯≈解：要使船行驶最短路程，那么船的速度答：行驶航速与水流速度的合速度必须最短时，所用时间是垂直于对岸，所以v v v v v2:2/2/.m s m s 变式训练河水从东向西流，流速为，一轮船以垂直水流方向向北横渡，求轮船实际航行的方向和航速 222/2/||222 2.8(/)..2.82/m s m s m s m s ==+===++解：设“向西方向，”，“向北方向，”，则由=，可得的方向为西北方向答：轮船实际航行速度为“向西北方向，”.a b a b a b a b例3：121121.,0N 3π=的夹角是直角，且已知它们的合力与已知两个力的夹角为，，求、的大小F F F F F F F 12cos5N,3sin 53N.3ππ====解：F F F F 变式训练3：.a =某人骑车速度，方向向东，此时感到风从正北方吹来，若将速度加快一倍，则感到风从东北方吹来，求风速与风向v245,2.PO PA PA OA PB PBA a -=-=-⊥=-∠=︒=解：如图，若无风，则感到风速为，设实际风速为，则此人感觉到的风速为，加速前我们由此人感觉到的风向量且，加速后我们由此人感觉到的风向量且所以风速，来自西北方向v x x v x v x v x三、课堂小结，巩固反思：向量具有强烈的物理学实际背景，物理学中有两种基本量，标量和矢量，矢量遍布在物理学的很多分支，它包括力、位移、速度、加速度、动量等，虽然物理学中的矢量与数学中的向量并不完全相同，但并不影响向量在物理学中的作用，许多物理学问题可以通过向量的方法加以解决.四、分层作业：A组：1、（课本P118复习参考题A组：NO：10）2、（课本P118复习参考题A组：NO：11）3、（课本P118复习参考题A组：NO：12）4、（课本P118复习参考题A组：NO：13）5、（课本P118复习参考题B组：NO：1）B组：1、（课本P113习题2.5 A组NO：3）2、（课本P113习题2.5 A组NO：4）C组：1、（课本P113习题2.5 B组NO：1）2、（课本P113习题2.5 B组NO：2）3、（课本P113习题2.5 B组NO：3）。

高中数学第二章平面向量2.5.2向量在物理中的应用举例教案新人教A版

2.5.2 向量在物理中的应用举例1.知识与技能通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明确向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量概念和向量运算的认识.2.过程与方法(1)经历用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题的过程.(2)体会向量是一种处理物理问题的工具,提高运算能力和解决实际问题的能力.(3)掌握用向量方法解决实际问题的基本方法.3.情感、态度与价值观通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力,体会数学的应用价值、科学价值.重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;难点:实际问题转化为向量问题.物理问题的向量处理方法(1)力学问题的向量处理方法①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象.例如:在重300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°(如图所示),求重物平衡时,两根绳子拉力的大小.分析:注意到两根绳子的夹角为90°,因此可把问题转化为解直角三角形.解:作▱OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°.在△OAC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,||=||cos 30°=150(N),||=||·sin 30°=150(N),||=||=150(N).答:与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.②向量是既有大小又有方向的量,它们可以有共同的作用点,也可以没有共同的作用点,但是力却是既有大小,又有方向且作用于同一作用点的.用向量知识解决力的问题,往往是把向量平移到同一作用点上.例如:如图所示,用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具,如图,已知灯具的重量10 N,则每根绳子的拉力大小是.解析:因绳子等长,所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等,且等于60°,故每根绳子的拉力都是10 N.答案:10 N(2)速度、位移问题的向量处理方法①解决速度、位移问题常用的合成、分解其实就是向量的加减法,运动的叠加亦用到向量的合成.例如:一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.解:如图所示,表示水流速度,表示船向垂直于对岸行驶的速度,表示船实际速度,∠AOC=30°,||=5 km/h.∵四边形OACB为矩形,||==5(km/h)≈8.66(km/h).||==10(km/h).∴水流速度为8.66 km/h,船实际速度为10 km/h.②速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减法运算,而运动的叠加也用到向量的合成.a.向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决向量问题,最后再获得物理结果.b.用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数量乘法,有时也可借助坐标来求解.(3)向量与功、动量物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积,它的实质是向量的数量积.①力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角θ,即W=|F||s|cos θ.功是一个实数,它可正,也可负.②在解决问题时要注意数形结合.。

高中数学 2.5.2向量在物理中的应用举例教案人教版必修4

2.5.2 向量在物理中的应用举例一、教学目标：1．知识与技能：运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决简单的物理问题.2．过程与方法：通过应用举例，让学生理解用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题，培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用.3．情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生体验向量在物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。

二、教学重点难点：重点：利用向量方法解决与物理相关的实际问题难点：选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题三、教学方法本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。

教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。

指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。

教学内容安排：四、教学内容安排：五、教学资源建议（1）多媒体教学系统（展示相关图片或视频资料）.（2）引导学生通过网络等途径进一步了解向量在几何、物理以及在其他方面的应用，加深对向量工具性功能的认识，扩大知识视野.六、教学方法与学习指导策略建议（1）重视问题的形成过程利用多媒体教学手段和丰富的素材，通过典型问题创设教学情景，让学生动手操作、观察思考，在探究中发现和提出问题，发现平面图形的几何性质.（2）关注解题方法产生的思维过程引导学生探究如何将平面几何、力学等问题转化为向量问题，揭示解题方法产生的的思维过程，让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力.（3）强化学生的应用意识一是培养学生利用所学数学知识、用数学的思维与观点去观察和分析现实生活现象的习惯和意识，强化学生的应用意识；二是为学生提供充足的动手操作的机会，一旦形成解决问题的思路，后续的解题过程则放手让学生独立完成，让学生体验问题的解决过程，并在此过程中锻炼与提高数学能力.（4）引导学生探究解题规律指导学生做好解题后的反思，总结解题规律，从而培养学生理性的、条理的思维习惯，形成对通性通法的归纳意识.。

高中数学人教A版必修四2.5.2教学设计《2.5.2 向量在物理中的应用举例》

《2.5.2 向量在物理中的应用举例》一.讲什么1. 教学内容：（1）教学原理：向量在物理中的应用。

（2）思想方法：数形结合，数学建模的思想方法。

（3）核心素养：培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用，建立学科间的关系。

2.内容解析：向量有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等。

可以说向量的概念就是由这些物理背景、几何背景中抽象出来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题。

所以利用向量计算力沿某方向所做的功，解决很多物理问题，建立学科间的联系是很有必要的。

二.为何讲1、教学目标：（1）能运用平面向量的知识解决一些简单的物理问题。

（2）通过实例，体会如何把物理问题转化为数学问题，即如何将物理量之间的关系抽象成数学模型。

（3）利用数学模型的解来解释相应的物理现象，能自如的建立两者的关系。

2、目标解析：（1）向量有着丰富的物理背景，向量中的许多概念、方法、运算源于物理科学，所以可以用向量的知识解决一些物理问题。

（2）物理学中的很多概念，如力、速度、加速度等这些既有大小又有方向的量就是数学中的向量，所以可以将物理中的一些关系翻译为向量语言。

（3）通过具体问题的解决，让学生体会到二者之间的关系。

教学重点：运用向量的有关知识解决简单的物理问题。

三.怎样讲（一）教学准备1.教学问题（1）如何抽象出物理问题中的向量这是第一个问题。

学生会觉得这是两种不同的语言，不同的思维。

我们先将问题中涉及到的物理量（即力、加速度、速度等物理量）抽象为向量语言就可以解决这个问题了。

（2）如何建立以向量为主体的数学模型是我们的第二个问题。

这是一种建模的思想，是我们着重要培养的学生能力。

（3）如何利用向量的线性运算或数量积运算是我们的第三个问题。

向量有很好的运算规律和性质，学生们要在理解的基础上进行计算就可以解决问题了。

（4）如何用数学模型中的数据解释物理问题是第四个问题。

要将计算的结果翻译为物理语言，解释物理现象也是学生感觉较难的部分。