从理论上分析一种由三阶电极化引起的非线性光学现象

从理论上分析一种由三阶电极化引起的非线性光学现象，并讲述其实际应用双光子吸收现象摘要本文从理论上分析了一种由三阶电极化引起的非线性光学现象—双光子吸收现象，并讲述了其实际应用—飞秒激光微纳加工，双光子吸收起因于介质三阶非线性效应，吸收的光子数与N 2(w 1,0)成正比，即与入射光强的平方成正比，利用非线性双光子聚合作用可获得远小于衍射极限的加工分辨率。

关键词：三阶电极化 双光子吸收 飞秒激光微纳加工AbstractThis article analyzed a nonlinear optical phenomenon caused by a three order polarization from theories, this phenomenon is two photon absorption phenomenon. As a practical application, femtosecond laser micromachining was introduced , two photon absorption arises from the medium of three order nonlinear effect, the photon number absorbed is proportional to N 2(w 1,0), thus is proportional to the square of the incident light intensity, use nonlinear two-photon polymerization can get much smaller processing resolution than the diffraction limit.Key words : Three order polarization Two photon absorption Femtosecond laser micromachining一、 理论分析1.1 非线性光学现象是高阶极化现象当光入射介质，在光电场(,)E r t 作用下，组成介质的激性分子、原子、电子发生位移，感生次级电场，称之为电极化强度(),P r t 。

在普通光情况下，(),P r t 和(,)E r t 的关系是正比线性关系：0P E εχ=⋅，式中0ε为真空介电系数；χ为线性极化率，对各向异性介质它是复数张量。

若入射光是激光，光强比普通光高几个数量级，极化强度展开为光场的幂级数，要考虑高幂次项的作用：(1)(2)(3)000:P E EE EEE εχεχεχ=⋅+++式中 (1)χ是线性极化率； (2)χ和 (3)χ是二阶和三阶非线性极化率。

它们分别是二阶、三阶和四阶张量。

等式右边第一项为线性极化项，第二项、第三项等高阶项为二阶、三阶登高阶非线性极化项。

总之，非线性光学现象是与高阶极化有关的现象。

1.2 非线性光学现象是介质的参量与光强有关的现象对于各项同性介质，可将（1.1）式改写为标量形式：(1)(2)(3)000(1)(2)(3)200:()()P E EE EEE E E E E Eεχεχεχεχχχεχ=⋅+++=+++=式中(1)(2)(3)2(1)(2)(3)2()()()E E E E E χχχχχχχ=+++=+++二阶极化率为光电场强度的函数，三阶极化率为光强的函数，他们皆为复数。

三阶极化率可写成实部、虚部两部分：(3)2(3)'2(3)''2()()()E E i E χχχ=+可以证明实部与折射率成正比：(3)'22()()E n E χ∝虚部与吸收系数成正比：(3)''22()()E E χα∝可见对三阶效应，极化率、折射率和吸收系数都是光强的函数。

1.3 Kramers-Kronig 色散关系 电极化率()χω是一个复数：()'()''()i χωχωχω=+ （1）其实部和虚部之间有如下关系：1''()'()''1'()''()''P d P d χωχωωπωωχωχωωπωω∞-∞∞-∞=-=-⎰⎰ （2）式中P 表示后面的积分为柯西主值积分，这是著名的Kramers-Kronig 色散关系。

由色散关系可见，只要知道极化率的实部和虚部中任何一个的光谱就可通过此关系求出另外一个。

为了说明极化率的实部和虚部的物理意义，我举出一束激光被各向同性的三阶极化介质共振吸收而产生极化的例子。

设激光为一束单色平面波，在介质中沿z 方向传播，表示为：()(,)Re[()]NL i k z t E z t E eωω--= （3）式中NL k 是介质中的复数波矢，其实部表示波的相位变化（介质的色散），虚部表示波的振幅变化（介质的吸收）：0'''2NL NL NL k k ik k n iα=+=+ （4）式中0k 是真空中的波矢；n 和α是非线性介质的折射率和吸收系数，它们皆与光强有关：~0()n n n I =+∆ （5） ~0()I ααα=+∆ （6）式中~0n 和~0α分别为线性折射率和线性吸收系数；n ∆和α∆分别为与光强I 有关的折射率变化和吸收系数变化。

对于三阶非线性克尔介质：~02n n n I =+ （7） 式中2n 被称为非线性折射系数。

根据式（5）和（6），式(4)可表示为：~~00022NL k k n k n iiαα∆=+∆++ （8） 由电感应强度的定义，并考虑远离共振和近共振（分别用F 和R 表示）的一阶极化效应和三阶极化效应，则(1)(1)(3)(3)0022(1)(1)(3)(3)00000F R F R F R F R NL D E P E P P P P E E E E E E Eεεεεχεχεχεχε=+=++++=++++= (9)其中介质的复介电常数为22(1)(1)(3)(3)0000022(1)(3)(3)00022(1)(3)(3)000(1)NL F R F R R F R R F R E E E EE E εεεχεχεχεχεεχεχεχεεεεχχχεεε=++++=+++=+++ (10)式中ε为介质的远离共振区的线性介电常数。

将式（10）代入NL k = (11)因为(1)Rχ和(3)1χ<<，NL ε展成级数，可去取前两项，而且0n =c =, 0/k c ω=,则有:22(1)(3)(3)00022(3)(3)(1)000000)222222NL R F R F R Rk E E k E k Ek k n n n n εεεχχχεεεχχχ≈+++=+++（12） 式中0n 是远离共振的介质的折射率。

将式（12）中(1)R χ和(3)χ分成实部和虚部两部分:(1)(1)'(1)''(3)(3)'(3)''(3)(3)'(3)''()()()()()()()()()R R R F F F R R R i i i χωχωχωχωχωχωχωχωχω=+=+=+ (13)考虑到： 20012I c n E ε=(14) 则有 ：(1)'(1)''(3)'(3)''0000002200000(3)'(3)''002200022NL R R F F R R k k k I k I k k n i i n n c n c nk I k I i c n c n χχχχεεχχεε=++++++（15）对比式（15）和式（8），可得：(1)'~000()()2R n n n χωω=+（16）~(1)''000()()R k n αωχω=（17）(3)'2001()()n c n ωχωε∆=（18） (3)''02002()()k I c n αωχωε∆=(19) (3)'2200()()n c n χωωε= (20) 因此，介质的线性折射率和非线性折射率皆与极化率的实部成线性关系；而介质的线性吸收系数和非线性吸收系数皆与极化率的虚部成正比。

将式（18）和（19）代入式（2）可以得到：(')()'2'(')c n Pd αωωωπωωω∞-∞∆∆=-⎰ (21) 若α∆是偶函数，则有22(')()'(')cn P d αωωωπωω∞∆∆=-⎰（22） 由于一般介质的非线性折射率很难直接测量，往往要通过测量非线性吸收系数来间接测量它。

假若测得某非线性介质的线性吸收光谱和在强光作用下的吸收光谱，从两光谱的差值算得()αω∆，就可以由式（22）算出该介质的非线性折射率光谱()n ω∆。

从而由公式（18）和（20）确定介质在某频率下的非线性折射率2n 和三阶极化率(3)'()χω。

二、 非线性光学现象--双光子吸收现象2.1 双光子吸收现象当用红宝石激光照射掺铕氟化钙晶体时, 可以探测到相应于两倍红宝石激光频率跃迁的荧光。

因为该晶体不存在与单个红宝石激光光子相对应的任何激发态, 所以不能用连续吸收两个红宝石激光光子来解释这种现象。

又由于掺铕氟化钙晶体属于立方晶体，不可能发生二次谐波产生过程。

所以上述现象唯一的解释是同时吸收两个光子产生的效应。

更一般的情况是，当具有频率为ω1和ω2的两束光通过非线性介质时，如果ω1+ω2接近介质的某一跃迁频率，就会发现两束光都衰减。

这是因为介质同时从每一束光中各吸收一个光子，即同时吸收两个光子，引起了两束光的衰减，这种现象称为双光子吸收。

如图2.1-1所示。

图2.1-1 双光子吸收现象2.2 双光子吸收的耦合波方程我们感兴趣的情况是ω1+ω2接近介质的某个跃迁频率ω0。

因为现在只有两个频率分量ω1和ω2, 介质中没有二阶非线性效应, 或者不满足产生和频、差频和二次谐波的相位匹配条件, 或者不满足产生三次谐波的相位匹配条件, 所以只需考虑频率ω1和ω2这两个辐射场之间的耦合即可。

频率耦合图如图2.2-1所示。

假定介质中频率为ω1和ω2的光电场表示式为 ：1111()(,)()ik z W W z a e ωωω=2222()(,)()ik z W W z a e ωωω=相应的三阶非线性极化强度的复振幅为：1(3)(3)102212212()6(,,)()()()(,)ik z P a a a E z e ωεχωωωωωωω=- 2(3)(3)201121121()6(,,)()()()(,)ik z P a a a E z e ωεχωωωωωωω=-满足的耦合波方程：22(3)1122112212121(,)3(,,)()()()()(,)(,)dE zi a a a a E z E z dz k c ωωχωωωωωωωωω=- 21E图2.2-1 双光子频率耦合图22(3)2211221121221(,)3(,,)()()()()(,)(,)dE z i a a a a E z E z dz k cωωχωωωωωωωωω=- 经过整理得：1122122212(,)(,)(,)(,)0k dE z k dE z E z E z dz dzωωωωωω**-= 将上式取复数共轭，并与原式相加，进行积分：2212122212(,)(,)k k E z E z ωωωω-=常数如果用光子通量表示：2202()()kN E ωωμω=可得：1212(,)(,)(,0)(,0)N z N z N N ωωωω-=-=常数它表明频率为ω1和 ω2的辐射场必须同时被放大或衰减，这正是双光子吸收的规律性的反映。