2013届人教A版理科数学课时试题及解析(71)不等式的证明与柯西、排序不等式

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课时作业(七十一) [第71讲 不等式的证明与柯西、排序不等式]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．设a ＝(m 2＋1)(n 2＋4)，b ＝(mn ＋2)2，则a ________b .
2．设a 、b ∈R ＋，且a ≠b ，P ＝a 2b
＋
b 2a
，Q ＝a ＋b ，则P ________Q .
3．若a ，b ，c ≥0，a 2＋b 2＋c 2＝3，则ab ＋bc ＋ca 的最大值是________．
4．若不等式|a －1|≥x ＋2y ＋2z ，对满足x 2＋y 2＋z 2＝1的一切实数x 、y 、z 恒成
立，则实数a 的取值范围是________．
能力提升
5．若a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca ________.
6．已知a ，b ，x ，y ∈R ，a 2＋b 2＝4，ax ＋by ＝6，则x 2＋y 2的最小值为________．
7．设x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是1,2,3,4,5的任一排列，则x 1＋2x 2＋3x 3＋4x 4＋5x 5的
最小值是________．
8．设a >b >c ，n ∈N ，且
1
a －
b ＋
1
b －
c ≥
n
a －c
恒成立，则n 的最大值是________．
9．已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝2，a 2＋2b 2＋3c 2＝4，则a 的取值范围是________．
10．不等式
1
n＋1＋
1
n＋2＋…＋
1
3n＋1
>1，当n＝k＋1时，左边的项数是________．
11．设x，y∈R＋，且xy－(x＋y)＝1，则x＋y的最小值为________．
12．(13分)△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：(a2＋b2＋c2)
1 sin2A
＋
1
sin2B
＋
1
sin2C
≥36R2.
难点突破
13．(12分) 已知数列{x n}中，x1＝1，x n＋1＝1＋
x n
p＋x n(
n∈N*，p是正常数)．
(1)当p＝2时，用数学归纳法证明x n<2(n∈N*)；
(2)是否存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有x M≥x n.
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课时作业(七十一)
【基础热身】
1．≥ [解析] 因为(m 2＋1)(n 2＋4)－(mn ＋2)2＝(2m －n )2≥0，所以a ≥b .
2．> [解析] P －Q ＝a 2b
＋
b 2a
－a －b ＝
a 2－
b 2b
＋
b 2－a 2
a
＝
a ＋b
a －b
2
ab
，因为a 、b ∈R ＋，且a ≠b ，所以P －Q >0.
3．3 [解析] 由排序不等式知a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，所以ab ＋bc ＋ca ≤3，
即ab ＋bc ＋ca 的最大值为3.
4．a ≥4或a ≤－2 [解析] 因为(x ＋2y ＋2z )2≤(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋22)，
所以x ＋2y ＋2z ≤x 2＋y 2＋z 212＋22＋22＝3，
因为不等式|a －1|≥x ＋2y ＋2z ，对满足x 2＋y 2＋z 2＝1的一切实数x 、y 、z 恒成立，
所以|a －1|≥3，解得a ≥4或a ≤－2.
【能力提升】
5．≤0 [解析] ∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0，展开，得ab ＋bc ＋ca ＝－
a 2＋
b 2＋
c 2
2
.
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∴ab ＋bc ＋ca ≤0.
6．9 [解析] 由柯西不等式得(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)≥(ax ＋by )2，所以
x 2＋y 2≥
ax ＋by 2
a 2＋
b 2
＝62
4
＝9. 7．35 [解析] 反序和是最小值，即最小值为1×5＋2×4＋3×3＋4×2＋5×1＝35.
8．4 [解析] ∵
a －c
a －
b ＋
a －c
b －c
＝
a －
b ＋b －
c a －b
＋
a －
b ＋b －c
b －c
＝2＋
b －
c a －b ＋
a －b
b －c
≥4，∴
1
a －
b ＋
1
b －
c ≥
4
a －c
，而
1
a －
b ＋
1
b －
c ≥
n
a －c
恒成立，得n ≤4.
9.2
11
≤a ≤2 [解析] 由已知得b ＋c ＝2－a,2b 2＋3c 2＝4－a 2，联想到柯西不等式得(2b 2＋3c 2)
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＋13≥(b ＋c )2， ∴(4－a 2)×56
≥(2－a )2，∴11a 2－24a ＋4≤0，因此
2
11
≤a ≤2.
10．2k ＋3 [解析] 当n ＝k ＋1时，不等式变为
1
k ＋1＋1
＋
1
k ＋1＋2
＋…＋
13
k ＋1＋1
>1，
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即
1
k ＋1＋1＋
1
k ＋1＋2
＋…＋
1
k ＋1＋2k ＋3
>1，所以左边有2k ＋3项．
11．2＋2 2 [解析] 因为xy ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y 22，所以x ＋y
2
4－(x ＋y )≥1，令t ＝x ＋y ，
则有t 2－4t －4≥0，解得t ≥2＋2
2或t ≤2－2
2，因为x ，y ∈R ＋，所以t ≥2＋2 2.
12．[解答] 证明：由三角形中的正弦定理得
sin A ＝
a 2R ，所以1
sin 2
A
＝4R 2
a
2，
同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1
sin 2
C
＝4R 2
c
2，
于是不等式左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫
4R 2a 2＋4R 2b 2＋4R 2c 2
≥⎝ ⎛⎭⎪⎫
a ·2R a
＋b ·2R b ＋c ·2R c 2＝36R 2.
所以原不等式成立．
【难点突破】
13．[解答] 由x 1＝1，x n ＋1＝1＋
x n
p ＋x n
，p >0知，x n >0(n ∈N *)．
(1)证明：当p ＝2时，x n ＋1＝1＋x n
2＋x n ，
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①当n ＝1时，x 1＝1<2，命题成立．
②假设当n ＝k 时，x k <2，
则当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝1＋x k 2＋x k ＝2－22＋x k <2－
22＋
2
＝2，
即n ＝k ＋1时，命题成立．
根据①②知，x n <2(n ∈N *)．
(2)用数学归纳法证明，x n ＋1>x n (n ∈N *)．
①当n ＝1时，x 2＝1＋
x 1
p ＋x 1
>1＝x 1，命题成立．
②假设当n ＝k 时，x k ＋1>x k ，
因为x k >0，p >0，
所以
p
p ＋x k ＋1<
p
p ＋x k
，
则当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝1＋
x k
p ＋x k
＝2－
p
p ＋x k
<2－
p
p ＋x k ＋1
＝x k ＋2，即n ＝k ＋1
时，命题成立．
根据①②知，x n ＋1>x n (n ∈N *)．
所以综上证明可知{x n}是递增数列，
故不存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有x M≥x n.实用文档。