《分类讨论思想》PPT课件
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分类讨论思想转化与划归思想ppt课件
解 (1)由已知可得ac22＝a2－a2b2＝12， 所以 a2＝2b2， 又点 M( 2，1)在椭圆 C 上，所以a22＋b12＝1，联立方程组aa222＋＝b212b＝2，1， 解得ab22＝ ＝42， . 故椭圆 C 的方程为x42＋y22＝1. (2)(ⅰ)当直线 l 的斜率为 0 时，则 k1k2＝4－3 2×4＋3 2＝34；
思想概述·应用点拨
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
2.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的 定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为 零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数 运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三 角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单 调性、基本不等式等.
思想概述·应用点拨
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归纳总结·思维升华
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
综上所述：当 m≥0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
当 m≤－1 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，当－1＜m＜0 时，f(x)
在 0，－1＋m1－m2 和 －1－m1－m2，＋∞ 上 单 调 递 减 ， 在
思想概述·应用点拨
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
2.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的 定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为 零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数 运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三 角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单 调性、基本不等式等.
思想概述·应用点拨
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归纳总结·思维升华
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
综上所述：当 m≥0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
当 m≤－1 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，当－1＜m＜0 时，f(x)
在 0，－1＋m1－m2 和 －1－m1－m2，＋∞ 上 单 调 递 减 ， 在
分类讨论思想在解题中的应用ppt 通用
问 题 9 ： 过 点 P ( 2 , 3 ) 且 在 坐 标 轴 上 的 截 距 相 等 的 直 线 方 程 是
解 ： 有 的 学 生 得 出 答 案 为 x y 5 0 这 种 解 法 漏 了 直 线 过 原 点 的 情 形 。 还 有 一 条 直 线 为 ： 32 x y 0 答 案 应 为 x y 5 0 或 32 x y 0
变 形 的 依 据 是 不 等 式 的 性 质 。 在 两 边 同 除 以 t， 必 须 考 虑 其 正 负 。 因 为 随 着 t 的 变 化 ， t正 负 号 相 应 发 生 变 化 ， 不 能 统 一 解 决 ， 所 以 必 须 分 类 。
n
n
t t 不 等 式 a a n n 1
当 t 0 时 ， 不 等 式 不 可 能 成 立 。
a2 当 e ; a e 时 ， 2
最 小 值 为 e
2
2 a 0 设 ，函数 f ( x) x a | ln x 1| ．
当 x 1, ，求函数 f ( x ) 的最小值．
所以函数 y＝f(x)的最小值为 1＋a，(0＜a≤2)， 3a a a 2 － ln ，(2＜a≤2e )， ymin＝ 2 2 2 2 2 e ，(a＞2e )．
x a 解 ： 函 数 值 域 为 f( x ) ,( a 0 ,a 1 )的 ( 0 , 1 ) x 1 a
1 1 1 1 f( x ) 可 能 为 1 或 0 f( x ) 而 2 2 2 2
1 为 了 进 一 步 确 定 f ( x ) 的 值 ， 必 须 对 f( x )的 值 进 行 分 类 。 2
1 1 1 当 f () x 1 , f () x 0 , f () x 1 2 2 2 1 1 此 时 f () x f () x 1 2 2 1 1 所 以 f () x f () x 的 值 域 是 1 , 1 2 2
分类讨论思想ppt课件演示文稿
1 cos 2 x 2 | sin x | 解析：f x cos x cos x 2 tan x, x [2k ,2k ) [2k ,2k ) 2 2 . 2 tan x, x [2k ,2k 3 ) [2k 3 ,2k 2 ) 2 2
2．引入分类讨论的主要原因
1由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、
直线与平面所成的角、定比分点坐标公式等；
2 由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算
中除数不为零、对数中真数与底数的要求等；
3由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； 4 由图形的不确定引起的分类讨论； 5由参数的变化引起的分类讨论； 6 按实际问题的情况而分类讨论．
考点1 由数学概念引起的分类讨论
例1.设a为实数，函数f x 2x 2 x a x a .
1 若f 0 1，求a的取值范围； 2 求f x 的最小值．
分析：由f 0 1，知 a a 1，然后根据 绝对值的定义解此不等式可解得第 1 小题； 而第 2 小题利用绝对值的定义化函数为分 段函数，然后分别求其最值．
【思维启迪】由数学运算性质类型、公式和定理、 法则有范围或者条件限制，或者是分类给出 的，在解答中注意分类讨论思想的应用．本题 Sn 中利用an Sn S n1 n 1与n 2讨论． n 1 n 2 求出an 就须分
分析：分两类n 1与n 2进行解答，但须注
解析：当n 2时，an Sn S n 1
2 2n 2n 2 n 1 2 n 1 4n， 所以an 4n(n 2，n N* )． 2
数学分类讨论思想与“零点分段法”(8班)精品PPT课件
③当 1＜m1 ＜e，即1e＜m＜1 时，
函数 f (x)在 (1，m1 )上单调递增，在(m1 ，e)上单调递减，
则 f (x) max＝f (m1 )＝－lnm－1．…………………………7 分1，e)， f ′(x)＜0，函数 f (x)在(1，e)上单调递减，
即 3x2 3a 1 0 无解……………4 分
0 4 3(3a 1) 0
a 1 3
………………6 分
法 2： f / (x) 3x2 3a 3a ，……………4 分
要使直线 x y m 0 对任意的 mR 都不是曲线
y f (x) 的切线，当且仅当 1 3a 时成立，
（2）若直线 x y m 0 对任意的 m R 都不是曲线 y f (x)
的切线，求 a 的取值范围；
（3）设 g(x) | f (x) |, x [1,1]，求 g(x) 的最大值 F (a) 的
解析式． （惠州市 2013 届高三上学期期末）
解：（1）当a 1时, f ' (x) 3x2 3,令f ' (x) 0,得x 1或x 1……1 分 当 x (1,1) 时 ， f ' (x) 0,当x (,1] [1,) 时 ，
x a ex
…2 分
因为 x 0 为 f x 的极值点,
所以由 f 0 ae0 0 ,解得 a 0 ……………3 分
检验,当 a 0 时, f x xex ,当 x 0 时, f x 0 ,当 x 0
时, f x 0.
所以 x 0 为 f x 的极值点,故 a 0 .……………4 分
(Ⅱ) 当 a 0 时,不等式
f
x
x
1
1 2
x2
x
高考数学文(二轮复习)课件《分类讨论思想》
由图形或图象引发的分类讨论
[试题调研] x＋y－2≥0， (2014· 北京高考)若x，y满足kx－y＋2≥0， y≥0， )
[例2]
且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( A．2 B．－2 1 C.2
1 D．－2
[思路方法]
线性约束条件中含有参数，k的取值会对可行
域产生影响，因此解题时要注意对k的分类讨论．可将k分为 k>0，k<－1，k＝－1与－1<k<0等情况讨论求解．
或0<x≤4，即不等式f(x)≥－2的解集为
1 －∞，－ ∪(0,4]，故选率、指数 函数、对数函数等．与这样的数学概念有关的问题往往需要根 据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题． (1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必 须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决 定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．
[回访名题] (1)(2013· 辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△ OAB为直角三角形，则必有( A．b＝a3 1 B．b＝a ＋a
两式相减，得 (q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－„－qn－1
n n＋1 n q － 1 nq － n ＋ 1 q ＋1 n ＝nq － ＝ . q－1 q－1
nqn＋1－n＋1qn＋1 于是，Sn＝ . q－12 nn＋1 若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋„＋n＝ 2 . nn＋1 q＝1， 2 所以Sn＝ n＋1 n nq －n＋1q ＋1 q≠1. 2 q － 1
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数 的单调性、基本不等式等． (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图 象、指数函数图象、对数函数图象等． (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问 题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对 不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∵∠ACB=75°－∠B=45°， sinACD AD，
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
等腰三角形ppt课件
5.已知等腰三角形的两内角之比为4：1，则这个
三角形的顶角度数为
；
世上无难事，只要肯登攀
A
∴∠EOB=∠CBO， ∠∵FBOOC、=∠COBC分O别平分∠ABC、∠ACB
∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO ∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO
OБайду номын сангаас
E
F
∴BE＝OE，CF=OF
∴ EF=EO+FO＝BE+CF
B
C
若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？
例题讲解
等腰三角形练习 ----分类讨论思想
一、课前热身，知识再现
1.已知等腰三角形的一内角为40°；求其余两个内角的
度数
；
2.已知等腰三角形的两边长为3和4，其周长
为
；
二、自主探究 （关于角的讨论）
1、已知等腰三角形的一外角为100°；则等腰三角形的
顶角的度数为 800或200
（关于等腰三角形边的讨论）
3
∴∠AFD＝∠4 ∵∠AFD＝∠3
4
∴∠3＝∠4 ∴CE＝CF
B
E
C
∴△CEF是等腰三角形
典 例2 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.
例 过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF、BE、FC之间的关系.
精 析
解：EF=BE+CF.
∵ EF∥BC
理由如下：
证明：∵△ABC中AB＝AC，D在BC的中点， ∴∠B=∠C，BD=CD
∵DE⊥AB，DF⊥AC． ∴∠BED=∠CFD=9 0在°△BDE和△CDF中，
∠BED=∠CFD ∠B=∠C BD=CD
高三数学课件：下学期_分类讨论思想方法(1.p
4 − x 2 ≥ −1 恒成立
由4-x2≥0，x＞0，得0＜x≤2； ， ＞ ， ＜ ；
x 4 − x2 ≥ 1 (2)当x＜0时， =-1，原不等式等价于 当 ＜ 时 x ，
4-x2≥0
由
ห้องสมุดไป่ตู้4-x2≥1
得-√3≤x<0
x＜0 ＜ 所以原不等式的解集为{x｜ 所以原不等式的解集为 ｜-√3≤x＜0或0＜x≤2}．故应选 ＜ 或 ＜ ． (B)． ．
三.示范性题组
是首项为1，公比为q（ 例1．设数列 n}是首项为 ，公比为 （q>0）的等比数列， ．设数列{a 是首项为 ）的等比数列， sn + 1 求 lim Tn 其前n项和为 项和为S 其前 项和为 n, Tn = 解：（1）当q=1时，Sn=n, Sn+1=n+1, ：（ ） 时 n+1 ∴ lim Tn = lim n = 1 n→ ∞ n→ ∞ 1 − q n+1 （2）当q≠1时，lim Tn = lim 1 − q n ） 时 n→ ∞ n→ ∞ ①若0<q<1，lim Tn = 1 ， n→ ∞ 1 n ( ) −q q =q ② 若q>1, lim Tn = lim 1 n→ ∞ n→ ∞ ( )n − 1 q Tn = 1 0<q≤1 综上， 综上， lim n→ ∞ q q>1
①0<a<1时，0<f(x) 时 a ②-1<a<0时， 1 = a 时
a2 = 1 a2 + 1 ≤ a+ a − a2
2
+1
≤f(x)<0
又当x=0时，f(x)=0; ∴原函数的值域为： 时 原函数的值域为： 又当
第三讲分类讨论思想课件
1 1．“m＝2”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0 与直线(m －2)x＋(m＋2)y－3＝0 相互垂直”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
1 解析 当 m＝2时，两条直线斜率的乘积为－1，从而可 得两条直线垂直；当 m＝－2 时，两条直线中一条直线的斜 率为 0，另一条直线的斜率不存在，但两条直线仍然垂直， 1 因此 m＝2是题目中给出的两条直线相互垂直的充分不必要 条件．
解析 若 p 真，则 0＜a＜1，若 p 假，则 a＞1，
若 q 真，因为函数 y＝|x－2a|＋x 在 R 上的最小值为 2a，
1 1 由 2a＞1，得 a＞2；若 q 假，则 0＜a≤2. 1 ①若 p 真 q 假， 0＜a≤2； 则 ②若 p 假 q 真， a＞1； 则 1 故 a 的取值范围是 0＜a≤2或 a＞1.
a，a如图(1)，
此时 a 可以取最大值，可知 AD＝ 3， SD＝ a2－1，则有 a2－1＜2＋ 3， 即 a2＜8＋4 3＝( 6＋ 2)2，
即有 a＜ 6＋ 2，又 2a＞2，∴1＜a＜ 6＋ 2；
图(1)
图(2)
(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，
如图(2)，此时a＞0且a＜4，即0＜a＜4.
2．分类讨论的常见类型： (1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是 分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函 数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有 的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件 下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数 的单调性等． (3)由数学运算引起的分类讨论：如除法运算中除数 不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求， 指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正 数、负数，三角函数的定义域等．
技法专题第2讲分类讨论思想、转化与化归思想
问题的C思o想py策r略ig．h对t 问20题1实9-行20分1类9与A整sp合o，s分 e P类t标y准L等td于. 增加
一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分 解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度.
分类讨论思想在解题中的应用
1
由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式 的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．
①当 m≤0 时，g′(x)≤0，则 g(x)的单调递减区间是(－∞，
＋∞)；
②当m＞0时，令g′(x)＜0，解得x＜－ 2m 或x＞ 2m ，则
g(x)的单调递减区间E是v(a－lu∞a，ti－on2omn) l，y.( 2m，＋∞)． ated w综i上th所A述s，pmos≤e0.S时l，idge(xs)的fo单r调.N递E减T区3间.5是C(－li∞en，t＋P∞ro)；file 5.2
Evaluation only. ated witfh(a)A＝s－p3o，se则.Sf(l6i－deas)＝for .NET 3.5 Client P(rofi)le 5.2
AC．o－p74yright 2019-201B9．A－sp54 ose Pty Ltd.
C．－34
D．－14
解析：由于 f(a)＝－3，
综上知，||PPFF21||＝72或 2.
[技法领悟]
(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按
直角顶点不同的位E置v进a行lu讨at论io．n only. ated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
C(2o)涉py及r几ig何h问t 2题0时19，-2由0于1几9 A何s元p素os的e形P状ty、L位t置d.变化
一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分 解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度.
分类讨论思想在解题中的应用
1
由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式 的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．
①当 m≤0 时，g′(x)≤0，则 g(x)的单调递减区间是(－∞，
＋∞)；
②当m＞0时，令g′(x)＜0，解得x＜－ 2m 或x＞ 2m ，则
g(x)的单调递减区间E是v(a－lu∞a，ti－on2omn) l，y.( 2m，＋∞)． ated w综i上th所A述s，pmos≤e0.S时l，idge(xs)的fo单r调.N递E减T区3间.5是C(－li∞en，t＋P∞ro)；file 5.2
Evaluation only. ated witfh(a)A＝s－p3o，se则.Sf(l6i－deas)＝for .NET 3.5 Client P(rofi)le 5.2
AC．o－p74yright 2019-201B9．A－sp54 ose Pty Ltd.
C．－34
D．－14
解析：由于 f(a)＝－3，
综上知，||PPFF21||＝72或 2.
[技法领悟]
(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按
直角顶点不同的位E置v进a行lu讨at论io．n only. ated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
C(2o)涉py及r几ig何h问t 2题0时19，-2由0于1几9 A何s元p素os的e形P状ty、L位t置d.变化
第二部分第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想课件
第二部分
第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想
内
容
索
引
01
一、分类讨论思想
02
二、转化化归思想
一、分类讨论思想
思想方法诠释
1.分类讨论的思想含义
分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象
按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类
结果得到整个问题的结果.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零
1- < 0,
由①得-1<q<0,或0<q<1,由②得q>1.
综上,可得q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).
思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的
单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,
或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.
又因为|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5,
14
4
解得|PF1|= ,|PF2|= ,
3
3
所以
1
2
=
7
.
2
若∠F1PF2=90°,
则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,
所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20,
所以|PF1|=4,|PF2|=2,
所以
1
2
综上知,
(1 + ) + (2 + ) = ,
(1 + )·(2 + ) =
1
.
2
1 + 2 = -,
1 ·2 =
1
第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想
内
容
索
引
01
一、分类讨论思想
02
二、转化化归思想
一、分类讨论思想
思想方法诠释
1.分类讨论的思想含义
分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象
按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类
结果得到整个问题的结果.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零
1- < 0,
由①得-1<q<0,或0<q<1,由②得q>1.
综上,可得q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).
思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的
单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,
或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.
又因为|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5,
14
4
解得|PF1|= ,|PF2|= ,
3
3
所以
1
2
=
7
.
2
若∠F1PF2=90°,
则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,
所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20,
所以|PF1|=4,|PF2|=2,
所以
1
2
综上知,
(1 + ) + (2 + ) = ,
(1 + )·(2 + ) =
1
.
2
1 + 2 = -,
1 ·2 =
1
分类讨论课件
第40课时 分类思想
3.如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点， 把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分 线上时，DE的长为 ．
第40课时 分类思想
• 真题演练•层层推进
基础题
1.（2014广东）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ A ） A、17 B、15 C、13 D、13或17 2.（2014佛山）把24个边长为1的小正方体木块拼成一个长方体(要全部用完)，则不同 的拼法(不考虑放置的位置，形状和大小一样的拼法即为相同的拼法)的种数是( B ) A.5 B.6 C.7 D.8 3.（2012广东）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ C ） A ．5 B．6 C．11 D．16 4．(2014深圳)如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法 证明△ABC≌△DEF（ C ）
直线x=2上，且点C到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数思路分析式
为 .
第40课时 分类思想课时作业
三、解答题 11.一次函数y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，C为坐标轴上一点，且△ABC 为等腰三角形，求点C的坐标. 解：∵当x=0时，y=4 ，当y=0时，x=-4 ， ∴A(-4,0)，B(0,4) ， ∴AB= ， 要使△ABC是等腰三角形，还应分三种情况讨论： ①当AB=AC时，点C的坐标为(- -4,0)或( -4,0) ； ②当BA=BC时，点C的坐标为 (4,0)； ③当AC=BC时，点C的坐标为(0,0) ； 综上所述，点C坐标为(- -4,0)或( -4,0)或(4,0)或(0,0).
【解析】本题需分类讨论：对于一元一次方程在一次项系数不为0时有唯 一解，而一元二次方程根的情况由根的判别式确定
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教学重点与难点
教学重点
进行分类讨论要遵循总的原则和解 答分类讨论问题的基本步骤
教学难点
“标准统一、不漏不重”
分
内容分析
类
目标分析
讨
论
过程分析
思 想
教法分析
评价分析
a
5
目标分析
认知目标
1、了解“分类讨论思想”的意义； 2、理解分类讨论的步骤以及分类讨论法 解题必须遵循总的原则； 3、感受“分类讨论思想”在解决相关问 题中的作用。
高考数学复习专题之一
分类讨论思想
2005年4月
a
1
分
内容分析
类
目标分析
讨
论
过程分析
思 想
教法分析
评价分析
地位和作用
“分类讨论”是一种重要的数学思想， 也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解 题策略，它体现了化整为零、积零为整的思 想与归类整理的方法。它能揭示数学对象之 间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知 识，使所学知识条理化。有关分类讨论思想 的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探 索性，能训练人的思维条理性和概括性，所 以在高考试题中占有重要的位置。如: 2004湖南省高考的文科卷 (16)、(19)、理科 卷（10）、（14）、（18）等.
能力目标
目标分析
通过“情景—感知—概括—运 用—反思”的途径培养学生的观察、 发现、类比、归纳、概括、发散以 及进行合情推理的能力；
情感目标
目标分析
体验数学学习活动中的成功与快乐，
增强他们的求知欲及学好数学的信心；
又通过联系与发展、对立与统一的思
考方法向学生渗透辩证唯物主义认识
论的思想。
分
内容分析
其他区别，把12个球随机平分
的过程中积蓄 强烈的求知欲望。
成三份，请说明如何用天平称 设置悬念，调动了
3 次将特殊球选出，并指出该 他们的学习积性。
球比其它球是轻还是重?
教学流程图
观察分析，探究新知
创设情景，引出新知
a
12
(2) 观察分析，探究新知：
[分析]：先给小球编号1~12,并任取两份放在天平 的两端，不妨取(1，2，3，4)与(5，6，7，8) ，
有些与图形有关
[例7] 两条异面直线 的问题，常常因
参数的取值不同，
在一个平面内的射影 影响着图形之间
有哪几种情况？
相对位置关系发
生变化，由此引
起问题的结论产
生多种形式
教学流程图
师生互动，运用新知
观察分析，探究新知
创设情景，引出新知
a
24
（3）师生互动，运用新知
尝试活动： 我来当老师！
设计意图：给学 生提供设计问 题的机会 ，逐 步增强他们的 创新意识和数 学应用能力。
(2)观察分析，探究新知
（2）假如第一次左重右轻，说明要么1，2，3，4 中有一球重要么5，6，7，8中有一球轻，这时称(1 ，
5 ，6)，(2 ，7 ，8) （第二次） a、假如一样重，说明3号和4号中必有一球重，则称
它俩就可知道。（第三次） b、假如左重右轻，说明要么1号重，要么7，8中有
一球轻，则称7，8即可。（第三次） c、假如左轻右重，说明要么2号重，要么5，6中有
不同的三位数？
题的条理性
解答:
分以下两类：
（1）不含6的三位数共有N1＝A71A72个 （2）含6的三位数有以下两种情况：
a.含6不含0的三位数有N2＝2C72A33个 b.含6也含0的三位数有N3＝2C71A21A22个 由加法原理得，不同的三位数的个数：
N＝N1＋N2＋N3＝602
a
16
(2)观察分析，探究新知 有些数学概
（3）师生互动，运用新知
例1. 已知圆x2＋y2＝4，求经过
点P（2，4），且与圆相切的直
线方程。
设计意图：课题的引出， 围绕问题展开，使学生在 积极的状态下，用分类讨 论的思想方法，把有关知
念，必须满
＋m＝0的两根为z1和z2， 足特定的条
而且满足|z1－z2|＝3，求 实数m的值。
件才能成立， 如一元二次 方程有解等
(2)观察分析，探究新知
有些数学概念，本
[例3] 证明: 两平行直 身就是分类叙述的，
线与同一平面所成的
或者本身就是以分 段函数形式出现，
角相等.
如“绝对值”、
“直线的斜率”、
（第一次）。 （1）、假如第一次左右平衡，说明目标球在(9，
10，11，12)中，再称(1，9)，(10，11) （第二次）。
a、假如一样重，说明12号球与众不同，将它与任 一球称即可知道是重是轻 (第三次）
b、假如左重右轻，说明不是9号重就是10或11号 轻，只要称10，11即可知道。（第三次）
c、假如左轻右重，则与上面同理可推。
一球轻，则称5，6即可。（第三次） （3）假如第一次左轻右重，则与上面2同理可推。
(2)观察分析，探究新知 问题2:有卡片9张，将0，设计意图：
1，2，…，8这九个数字分让学生在问
别写在每张卡片上,现从中
题的解决过 程中，初步
任取3张排成三位数，若6 体会利用分
可当9用，问可组成多少个
类讨论思想 解决相关问
类
目标分析
讨
论
过程分析
思 想
教法分析
评价分析
a
9
教学流程图
布置作业，巩固提高 整理知识，形成网络
发散训练，反思新知
师生互动，运用新知
观察分析，探究新知 创设情景，引出新知
(1)创设情景，引出新知
问题1:
设计意图：留一定
有12个金色小球，其中一
的时间让学生思考、 讨论，在学生感到
个与其它球除重量不同外再无 新奇而又不知所措
1) x
1
表达的，如 指数函数的
单调性、三
析，探究新知 例6 设
数学中有些 问题，需要
A＝{ x| x2－2ax－8a2＜0}, B＝{ x| x－a＜1 }，
作出明确判 断，如判断 出某两个数
若A B，求a的取值范围。 的大小，方
好继续后面
的解题过程
(2)观察分析，探究新知
念，在定义
[例1] 过点P(2,3)，且在坐标轴上时就对所研
的截距相等的直线方程是 究的范围作
A.3x－2y＝0
了限制，如
B. x＋y－5＝0
“直线的截
C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定
距式方程”、 “直线的倾
角”等
(2)观察分析，探究新知
[例2] 关于x的方程x2＋5x 有些数学概
“直线与平面所成
的角”等
(2)观察分析，探究新知
涉及不同数学概
[例4] 实数k为何值时，念的问题，常常
方程kx2＋kx＋1＝0
采用不同的方法 处理，而有些不
有实根？
同的数学对象，
可以用含参数的
同一形式表示，
如整式方程等
(2)观察分析，探究新知
例5 解关于x的不等式有些函数的 性质以分类
loga(1