向量公式

向量概念
(),a x y =，则
22a x y =+，模可以比较大小零向量与所有向量平行； 与所有向量垂直。

0与任一向量平行或共线；直线平行：不包括重合情况共线向量：包括重合情况若a 、b 都是非零向量，存在实数λ，使a b λ=
特点：1、长度相等；
2、平行且方向一致 长度_______0的相反向量是本身特点：1、长度相等；
2、平行且方向相反
)
a =_______
二、向量的线性运算 备注
AB BC AC +=
特点：首尾相连，始终如一。

在ABC 中，0AB BC CA ++=
AB AC AD +=
特点：共同始点为相邻边的和是平行
四边形中有共同始点的对角线。

a 与
b 的相反向量
b 的和的运算叫做a
与b 的差
AC AB BC -=
特点：差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

a
1、当a =_______
2、当a 与a 的方向_______a 与a 的方向
_______时，a λ=_____；0a =时，λ∈0•=_____三、向量的表示方法
1、字母表示法：如a 、AB ；
2、几何表示法：用一条______________表示向量；
3
、坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA 的始点为坐标原点， 终点坐标为A （X ，Y ），则向量OA 坐标记为（X ，Y ） 四、两个向量的夹角
1、定义：已知两个_______向量a 与b ，作OA a =，OB b =，则AOB θ∠=叫做向量a 与b 的夹角。

2、范围：000180θ≤≤，a 与b 同向时，夹角θ=_______；a 与b 反向时，夹角θ=_______
3、向量垂直：如果向量a 与b 的夹角是_______时，则a 与b 垂直，记为_______ 五、平面向量基本定理及坐标表示
1、定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，_______一对实数1λ、2λ，使a =___________，其中，___________叫做表示这一平面所有向量的一组基底。

2、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个_______的向量，叫做把向量正交分解。

3、平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与X 轴、Y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数对X ，Y ，使a xi y j =+，把有序实数对_______叫做向量a 的坐标，记作a =_______，其中_____叫做a 在X 轴上的坐标，其中_____叫做a 在Y 轴上的坐标。

即a xi y j =+ a =（X ，Y ）
六、平面向量的坐标运算：
1、向量坐标求法：已知()11,A x y ，()22,B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐
A
B
O
标等于该向量_______的坐标减去_______的坐标。

2、向量坐标加法、减法、数乘运算：设()11,a x y =，()22,b x y =
加法：a +b =()1212,x x y y ++ 减法：a -b =()1212,x x y y -- 数乘： ()()1111,,a x y x y λλλλ==
3、平面向量共线与垂直的表示：设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则
a 与
b 共线（或a b ）11
122122
0x y a b x y x y x y λλ⇔=⇔
==⇔-=
a b ⊥⇔121200a b x x y y =⇔+=
七、平面向量数量积
1、已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量_______叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a 。

b ，即a 。

b =_______，并规定零向量与任一向量的数量积为_______ 注：两个非零向量a 和b 的数量积是一个数量，不是向量，其值为两向量的模与它们夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦决定。

当)000,90θ⎡∈⎣0a b ⇔>； 当0900a b θ=⇔= 当(00
90,180θ⎤∈⎦0a b ⇔<；
数量积是内积，用a b 表示，不能用a b ⨯或ab 表示 2、一向量在另一向量方向上投影
定义： _______（_______）叫做a 在b 的方向上（b 在a 的方向上）的投影。

如图OA a =，
OB b =，过B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1cos OB b θ=
1cos OB b θ=叫做向量b 在a 的方向上
当θ为锐角时，如图1，它是_______； 当θ为钝角时，如图2，它是_______；
B
1B
a
b
1
01
b
图1
图2
图3
当θ为直角时，如图3，它是_______； 当θ=00时，它是_______； 当θ=0180时，它是_______；
a b 的几何意义：数量积a b 等于a 的长度a 与______________的乘积
3、平面向量数量积的重要性质：
设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 e 。

a =
a 。

e =_______
当a 与b 同向时，a b =_______； 当a 与b 反向时，a b =_______； 特别是a 。

a =2
2
a a = 2
a a a a ==
a b ⊥⇔a b =_______ |cos |a b a b θ=
4、平面向量数量积的运算律
交换律：a +b =_______ 数乘结合律：()a b λ=______________=______________ 分配律：（a +b ）c =______________ ()2
2
2
2a b a a b b +=++
()()2
2a b a b a b -+=- ()2
2
2
2
222a b c a b c a b a c b c ++
=+++
+++
八、向量的应用：
1证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件
a 与b
共线（或
a b ）11
122122
0x y a b x y x y x y λλ⇔=⇔
==⇔-=
23、求夹角的问题，利用夹角公式21cos x a b a b
x θ=
=
+4、求线段的长度，可以利用向量的线性运算，向量的模
若(),a x y =，则2a a a x ==+ 若()()1122,,,A x y B x y ，则(AB x = ()
2
22
2a b a b
a a
b b ±=
±=±+
5、如图所示，在ABC 中，D 是BC 边上有中点（AD 是ABC 的BC 边上中线），则有(
)
1
2
AD AB AC =
+
空间直角坐标系
一、空间直角坐标系：以空间一点O 为原点，建立三条两两垂直的数轴：X 轴、Y 轴、Z 轴，这
时建立了_______OXYZ ，其中点O 叫做_______，X 轴、Y 轴、Z 轴叫做_______ ，通过每两个坐标轴的平面叫做_______，如XOY 平面、YOZ 平面、ZOX 平面。

二、右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向_______的正方向，食指指向_______的正方向，如果中指指向_______的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

三、空间直角坐标系中坐标：空间一点M 的坐标可以用有序实数组（X ，Y ，Z ）来表示，有序实数组（X ，Y ，Z ）叫做点M 在此_______，记作M （X ，Y ，Z ），其中X 叫做点M 的_______，Y 叫做点M 的_______，Z 叫做点M 的_______。

四、空间中两点间的距离公式：
空间中的两点()()111222,,,,,A x y z B x y z 之间的距离
AB =空间中的任意一点(),,p
x y z 与原点之间的距离OP =五、关于对称点的求法
1、(),,p x y z ()1,,p x y z -
2、(),,p x y z 关于坐标平面yOZ 对称 ()1,,p x y z -
3、(),,p x y z 关于坐标平面xoZ 对称 ()1,,p x y z -
4、(),,p x y z 关于X 轴对称 ()1,,p x y z --
5、(),,p x y z 关于y 轴对称 ()1,,p x y z --
6、(),,p x y z 关于Z 轴对称 ()1,,p x y z --
7、(),,p x y z 关于原点对称 ()1,,p x y z --- 六、已知()()11112222,,,,,p x y z p x y z ，则12p p 的中点坐标为121212,,2
22x x y y z z p +++⎛⎫
⎪⎝⎭ 七、已知三角形ABC 的三个顶点()()()111222333,,,,,,,,A x y z B x y z C x y z ，则三角形ABC 的重心G 的坐标为123123123,,333x x x y y y z z z G ++++++⎛⎫
⎪⎝⎭
关于坐标平面xoy 对称。