地图学3章地图投影的基本原理

（2）非几何投影： 根据某些条件，用数学解析法确定 球面与平面之间点与点的函数关系。
伪方位投影：在方位投影的基础上，根据某些条件改变经 线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经 线的曲线。 伪圆柱投影：在圆柱投影基础上，根据某些条件改变经线 形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为 对称中央经线的曲线。 伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，根据某些条件改变经线 形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为 对称中央经线的曲线。 多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿 一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线 的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经 线的曲线。
y' tan ' x'
x' a x
y' b y
by b tan ' tan 将上式两边各减和加 tan 即： ax a
b b tan tan ' tan tan (1 ) tan a a b b tan tan ' tan tan (1 ) tan 是纬度 的函数， r = f（）。
圆锥投影的一般公式为： X = r s - r cosδ Y = r sin d
r = f() d = c· l
1.2 地图投影基本理论
1.2.1 地图投影的意义
地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物 表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。 地图投影： 在地球椭球面和平面之间建立点与点之间 函数关系的数学方法，称为地图投影。
u ' u (180 2 ') (180 2 )=2( ')
a b sin 2 ab

tan(45


4
2
)
a b
m n 2mn sin q 若已知 m, n, q ，则： sin 2 2 2 m n 2mn sin q
2
P = a· b = m ·n P = m ·n ·sinq
2
Vp p 1
(q = 90) (q ≠ 90)
面积比是变量，随位置的不同而变 化。
角度变形： 投影面上任意两方向线所夹之角与球 面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以ω表 示角度最大变形。 设A点的坐标为（x、y），A ′点的坐标为(x ′ 、y ′ )， 则 y tan x
X' Y' 2 1 2 m n
2
2
微小圆→变形椭圆
该方程证明: 地球面上的微小圆， 投影后通常会变为椭圆，即： 以O'为原点，以相交成q角的两共 轭直径为坐标轴的椭圆方程式。
特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向
长轴方向（极大值）a
短轴方向（极小值）b
经线方向 m ；纬线方向 n 统称 主方向

1.2.3 地图投影分类
1. 按地图投影的变形性质分类
等角投影: 投影面上某点的任意两方向线夹角与 椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零 ω=0（或 a=b，m=n）。 等积投影: 投影面与椭球面上相应区域的面积相 等，即面积变形为零 Vp=0（或 P=1，a=1/b）。 任意投影: 投影图上，长度、面积和角度都有变 形，它既不等角又不等积。其中，等距投影是在特 定方向上没有长度变形的任意投影（m=1）。
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2 m· n· sinq = a· b
3.投影变形的性质和大小
长度比和长度变形： 投影面上一微小线段（变 形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小 圆半径，已按规定的比例缩小）之比。
m表示长度比，Vm表示长度变形
ds ' m ds
Vm m 1
1.2.3 地图投影分类
2. 按地图投影的构成方法分类 （1）几何投影: 将椭球面上的经纬线网投影到几 何面上，然后将几何面展为平面。
方位投影: 以平面作投影面，使平面与球面相切或相 割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。 圆柱投影: 以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆 柱面展为平面而成。 圆锥投影: 以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆 锥面展为平面而成。
将两式相除，得：
sin( ') a b sin( ') a b
显然当（ + '）= 90°时，右 a b sin( ') sin( ') 端取最大值，则最大方向变形： ab
a b sin( ') ab
以表示角度最大变形：
第二篇 地图数学基础
第三章 地图投影的基本原理
§1 地图投影
§2 地图投影基本理论
1.1 地图投影的概念— 地图投影方法
1. 几何投影法 地图投影最初建立在透视 的几何原理上，它是把椭球面 直接透视到平面上，或透视到 可展开的曲面上，如平面、圆 柱面和圆锥面。
2. 数学解析法
—— 以正轴圆锥投影为例 经线 投影为放射直线， 经差l 与投影面上d成 正比：d = c· l （c为圆锥系数，0 < c < 1）。
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。
面积比和面积变形： 投影平面上微小面积（变形 椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积） dF之比。
P 表示面积比 Vp 表示面积变形 = 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
dF ' πabr P a b 2 dF πr
2.变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的 影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常 会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投 影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
X' m 为经线长度比； X
Y' n 为纬线长度比 Y
X' m X
2 2
Y' n Y
代入： X + Y = 1，得
x = f1( , l ) y = f2( , l )
或将( , l )换成(B,L)
地图投影的实质： 是将地球椭球面上的经纬线网按照 一定的数学法则转移到平面上。
1.2.2 地图投影变形
1. 投影变形的概念
把地图上和地 球仪上的经纬线网 进行比较，可以发 现变形表现在长 度、面积和角度 三个方面。