地图学3章地图投影的基本原理
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将两式相除，得：
sin( ') a b sin( ') a b
显然当（ + '）= 90°时，右 a b sin( ') sin( ') 端取最大值，则最大方向变形： ab
a b sin( ') ab
以表示角度最大变形：
x = f1( , l ) y = f2( , l )
或将( , l )换成(B,L)
地图投影的实质： 是将地球椭球面上的经纬线网按照 一定的数学法则转移到平面上。
1.2.2 地图投影变形
1. 投影变形的概念
把地图上和地 球仪上的经纬线网 进行比较，可以发 现变形表现在长 度、面积和角度 三个方面。
1.2.3 地图投影分类
1. 按地图投影的变形性质分类
等角投影: 投影面上某点的任意两方向线夹角与 椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零 ω=0（或 a=b，m=n）。 等积投影: 投影面与椭球面上相应区域的面积相 等，即面积变形为零 Vp=0（或 P=1，a=1/b）。 任意投影: 投影图上，长度、面积和角度都有变 形，它既不等角又不等积。其中，等距投影是在特 定方向上没有长度变形的任意投影（m=1）。
（2）非几何投影： 根据某些条件，用数学解析法确定 球面与平面之间点与点的函数关系。
伪方位投影：在方位投影的基础上，根据某些条件改变经 线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经 线的曲线。 伪圆柱投影：在圆柱投影基础上，根据某些条件改变经线 形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为 对称中央经线的曲线。 伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，根据某些条件改变经线 形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为 对称中央经线的曲线。 多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿 一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线 的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经 线的曲线。
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。
面积比和面积变形： 投影平面上微小面积（变形 椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积） dF之比。
P 表示面积比 Vp 表示面积变形 = 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
dF ' πabr P a b 2 dF πr
2.变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的 影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常 会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投 影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
X' m 为经线长度比； X
Y' n 为纬线长度比 Y
X' m X
2 2Leabharlann Baidu
Y' n Y
代入： X + Y = 1，得
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2 m· n· sinq = a· b
3.投影变形的性质和大小
长度比和长度变形： 投影面上一微小线段（变 形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小 圆半径，已按规定的比例缩小）之比。
m表示长度比，Vm表示长度变形
ds ' m ds
Vm m 1
y' tan ' x'
x' a x
y' b y
by b tan ' tan 将上式两边各减和加 tan 即： ax a
b b tan tan ' tan tan (1 ) tan a a b b tan tan ' tan tan (1 ) tan a a
X' Y' 2 1 2 m n
2
2
微小圆→变形椭圆
该方程证明: 地球面上的微小圆， 投影后通常会变为椭圆，即： 以O'为原点，以相交成q角的两共 轭直径为坐标轴的椭圆方程式。
特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向
长轴方向（极大值）a
短轴方向（极小值）b
经线方向 m ；纬线方向 n 统称 主方向
u ' u (180 2 ') (180 2 )=2( ')
a b sin 2 ab
tan(45
4
2
)
a b
m n 2mn sin q 若已知 m, n, q ，则： sin 2 2 2 m n 2mn sin q
2
1.2.3 地图投影分类
2. 按地图投影的构成方法分类 （1）几何投影: 将椭球面上的经纬线网投影到几 何面上，然后将几何面展为平面。
方位投影: 以平面作投影面，使平面与球面相切或相 割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。 圆柱投影: 以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆 柱面展为平面而成。 圆锥投影: 以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆 锥面展为平面而成。
P = a· b = m ·n P = m ·n ·sinq
2
Vp p 1
(q = 90) (q ≠ 90)
面积比是变量，随位置的不同而变 化。
角度变形： 投影面上任意两方向线所夹之角与球 面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以ω表 示角度最大变形。 设A点的坐标为（x、y），A ′点的坐标为(x ′ 、y ′ )， 则 y tan x
纬线 投影为同心圆弧，其半径 r 是纬度 的函数， r = f（）。
圆锥投影的一般公式为： X = r s - r cosδ Y = r sin d
r = f() d = c· l
1.2 地图投影基本理论
1.2.1 地图投影的意义
地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物 表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。 地图投影： 在地球椭球面和平面之间建立点与点之间 函数关系的数学方法，称为地图投影。
第二篇 地图数学基础
第三章 地图投影的基本原理
§1 地图投影
§2 地图投影基本理论
1.1 地图投影的概念— 地图投影方法
1. 几何投影法 地图投影最初建立在透视 的几何原理上，它是把椭球面 直接透视到平面上，或透视到 可展开的曲面上，如平面、圆 柱面和圆锥面。
2. 数学解析法
—— 以正轴圆锥投影为例 经线 投影为放射直线， 经差l 与投影面上d成 正比：d = c· l （c为圆锥系数，0 < c < 1）。
sin( ') a b sin( ') a b
显然当（ + '）= 90°时，右 a b sin( ') sin( ') 端取最大值，则最大方向变形： ab
a b sin( ') ab
以表示角度最大变形：
x = f1( , l ) y = f2( , l )
或将( , l )换成(B,L)
地图投影的实质： 是将地球椭球面上的经纬线网按照 一定的数学法则转移到平面上。
1.2.2 地图投影变形
1. 投影变形的概念
把地图上和地 球仪上的经纬线网 进行比较，可以发 现变形表现在长 度、面积和角度 三个方面。
1.2.3 地图投影分类
1. 按地图投影的变形性质分类
等角投影: 投影面上某点的任意两方向线夹角与 椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零 ω=0（或 a=b，m=n）。 等积投影: 投影面与椭球面上相应区域的面积相 等，即面积变形为零 Vp=0（或 P=1，a=1/b）。 任意投影: 投影图上，长度、面积和角度都有变 形，它既不等角又不等积。其中，等距投影是在特 定方向上没有长度变形的任意投影（m=1）。
（2）非几何投影： 根据某些条件，用数学解析法确定 球面与平面之间点与点的函数关系。
伪方位投影：在方位投影的基础上，根据某些条件改变经 线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经 线的曲线。 伪圆柱投影：在圆柱投影基础上，根据某些条件改变经线 形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为 对称中央经线的曲线。 伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，根据某些条件改变经线 形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为 对称中央经线的曲线。 多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿 一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线 的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经 线的曲线。
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。
面积比和面积变形： 投影平面上微小面积（变形 椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积） dF之比。
P 表示面积比 Vp 表示面积变形 = 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
dF ' πabr P a b 2 dF πr
2.变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的 影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常 会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投 影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
X' m 为经线长度比； X
Y' n 为纬线长度比 Y
X' m X
2 2Leabharlann Baidu
Y' n Y
代入： X + Y = 1，得
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2 m· n· sinq = a· b
3.投影变形的性质和大小
长度比和长度变形： 投影面上一微小线段（变 形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小 圆半径，已按规定的比例缩小）之比。
m表示长度比，Vm表示长度变形
ds ' m ds
Vm m 1
y' tan ' x'
x' a x
y' b y
by b tan ' tan 将上式两边各减和加 tan 即： ax a
b b tan tan ' tan tan (1 ) tan a a b b tan tan ' tan tan (1 ) tan a a
X' Y' 2 1 2 m n
2
2
微小圆→变形椭圆
该方程证明: 地球面上的微小圆， 投影后通常会变为椭圆，即： 以O'为原点，以相交成q角的两共 轭直径为坐标轴的椭圆方程式。
特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向
长轴方向（极大值）a
短轴方向（极小值）b
经线方向 m ；纬线方向 n 统称 主方向
u ' u (180 2 ') (180 2 )=2( ')
a b sin 2 ab
tan(45
4
2
)
a b
m n 2mn sin q 若已知 m, n, q ，则： sin 2 2 2 m n 2mn sin q
2
1.2.3 地图投影分类
2. 按地图投影的构成方法分类 （1）几何投影: 将椭球面上的经纬线网投影到几 何面上，然后将几何面展为平面。
方位投影: 以平面作投影面，使平面与球面相切或相 割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。 圆柱投影: 以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆 柱面展为平面而成。 圆锥投影: 以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆 锥面展为平面而成。
P = a· b = m ·n P = m ·n ·sinq
2
Vp p 1
(q = 90) (q ≠ 90)
面积比是变量，随位置的不同而变 化。
角度变形： 投影面上任意两方向线所夹之角与球 面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以ω表 示角度最大变形。 设A点的坐标为（x、y），A ′点的坐标为(x ′ 、y ′ )， 则 y tan x
纬线 投影为同心圆弧，其半径 r 是纬度 的函数， r = f（）。
圆锥投影的一般公式为： X = r s - r cosδ Y = r sin d
r = f() d = c· l
1.2 地图投影基本理论
1.2.1 地图投影的意义
地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物 表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。 地图投影： 在地球椭球面和平面之间建立点与点之间 函数关系的数学方法，称为地图投影。
第二篇 地图数学基础
第三章 地图投影的基本原理
§1 地图投影
§2 地图投影基本理论
1.1 地图投影的概念— 地图投影方法
1. 几何投影法 地图投影最初建立在透视 的几何原理上，它是把椭球面 直接透视到平面上，或透视到 可展开的曲面上，如平面、圆 柱面和圆锥面。
2. 数学解析法
—— 以正轴圆锥投影为例 经线 投影为放射直线， 经差l 与投影面上d成 正比：d = c· l （c为圆锥系数，0 < c < 1）。