从一道日本高考数学题说起
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从一道日本高考数学题说起
九宫徵羽双子座的完全平方3月23日
我是在我关注的知乎专栏“来看看日本高中的高考数学都考些啥”里看到这道题的,你可以点击文末的阅读原文进入这个专栏。
在放出题目之前,科普一下日本的高考,它分为两个部分,一个是在1月的全国统一高考(センター試験),考完这个统考之后呢,2月到3月还有一场每所大学——甚至一所大学的不同院系自己命题的校内高考,最后学校根据两场考试的成绩再决定录不录取。
看着有点像我们的自主招生,实际上并不是。日本也有与我们的“自主招生”和“校长推荐”类似的途径,可以不参加统考和校考就直接录取。
那接下来,看看题目吧,这是刚刚结束的2018年日本高考,东京工业大学理科生考试的数学的第一道题,一般来说,你需要在25分钟左右解答完这道题。
大致翻译:
a,b,c是实数,在复平面考察这三个方程的解。
(1)前两个方程都没有实数解的时候,证明它们的四个解要么共圆,要么共线,并用a,b表示出圆心和半径。
(2)问,三个方程都没有整数解,且六个解共圆的充分必要条件。
题倒是不难,对于东京工业大学这么大的名头来说,可能还算简单了。
如果你想先自己做一下,就不要往下翻了。
简答:
(1)都是实系数方程,由韦达定理不难得出①的两个解关于实轴对称,②的两个解同样,所以这四个解围成一个等腰梯形,那显然共圆。
求半径略。
(2)由第一问立得后两个方程共圆的圆心是1/(b-c),所以这两个圆心重合的充要条件是a+c=2b。(然后还要再考虑它们都没有实解,它们不共线,略)
题说完了,如果我只说这道题我就不会取这个标题了。
题目里的最后一句,“必要十分条件”(ひつようじゅぶんじょうけん)里的“十分”不免让我产生了一个疑问,难道是上传题目的打字打错了?毕竟“十分”和“充分”都是じゅうぶん。
然后我查了一下“充分必要条件”的日语:
确实是写“十分”的,然后我又查了一下“十分”和“充分”的用法:
之前日语只使用“十分”一词,后来由“充実”(じゅうじつ)、“充足”(じゅうそく)等词中引申出“充分”,多用于表达精神上的充分(满足)。在表达数值性、物理性时多使用“十分”。
所以充要条件写作“必要十分条件”也是理所当然的了。
那现代汉语里的“充分”一词是如何出现的呢?它也是一个和制汉语词吗?我又查了一下《汉语外来词词典》。
它并没有收录“充分”或者“十分”这两个词,所以这个问题……我也不知道了……
最后给一个日本高中数学的必修内容(理科),我用日文记在这里,不妨尝试根据其中的汉字猜一猜这是哪一个考点,最后有中文对比。
高一上学期:
数と式
集合と論理
二次関数
図形と計量
データの分析
高一下学期:
場合の数と確率
整数の性質
図形の性質
高二上学期:
方程式・式と証明
図形と方程式
三角関数,指数関数・対数関数
微分と積分
高二下学期:
数列
ベクトル
確率分布と統計的な推測
高三上学期:
平面上の曲線
関数と極限
微分,微分の応用,積分とその応用
高三下学期:
複素数平面
对应到我们的:
高一上学期:
数论(整数、有理数、无理数、绝对值、因式分解、对称式)
集合与逻辑(集合、充分必要、命题的逆与否)
二次函数(二次函数性质、二次方程解法)
平面几何计算(尺规作图、垂径定理、正弦定理、余弦定理)
数据分析(中位数、平均值、方差、线性回归、二分法)
高一下学期:
排列组合与概率(韦恩图、排列组合、概率、期望、条件概率)
整数的性质(不定方程、阶乘、取整、最大公约数、最小公倍数、质数、费马小定理、辗转相除法、n进制)
图形的性质(三角形的五心、塞瓦定理、梅涅劳斯定理、圆的相交与相切、中线定理、角平分线定理)
高二上学期:
方程与不等式的证明(二次三次方程的判别式、复数、繁分数、中国剩余定理、二项式定理与杨辉三角、存在和任意、柯西不等式、均值不等式、三角不等式、调和平均、几何平均、恒等式)
解析几何(直线的方程、三角形重心和外心坐标、对称点坐标、圆的方程、切线方程、参数式、线性规划)
三角函数,指数函数,对数函数(弧度制、积化和差、和差化积、和差角公式、万能公式、辅助角公式、这三个函数的图像和性质)
微积分(微分、定积分、不定积分)
高二下学期:
数列(等差、等比、裂项、递推公式与通项公式、数学归纳法)
向量(内及、向量性质、三角形性质的向量表示、圆的平面向量表示、空间向量、空间直角坐标系、点到平面直线距离、二面角、线面角)
概率分布与统计(概率函数、二项分布、正态分布、样本、区间估计)
高三上学期:
极坐标和曲线(圆锥曲线的定义表达和数学性质、光学性质、计算切线和弦、极坐标)函数与极限(极限的计算、夹逼定理、e、广义积分、导数与极限、分划求积分、参数曲线)
微积分的应用(初等函数的微分、四则运算、反函数微分、隐函数微分、用微分求极值、参数曲线的微分、微分方程、简单函数的积分、各种积分法、用积分估计级数、积分的几何意义、极坐标积分、参数曲线的面积、椭圆旋转体的体积)
高三下学期:
复平面(复数的表示、几何意义、棣莫佛定理)