从一道日本高考数学题说起

从一道日本高考数学题说起
九宫徵羽双子座的完全平方3月23日
我是在我关注的知乎专栏“来看看日本高中的高考数学都考些啥”里看到这道题的，你可以点击文末的阅读原文进入这个专栏。

在放出题目之前，科普一下日本的高考，它分为两个部分，一个是在1月的全国统一高考（センター試験），考完这个统考之后呢，2月到3月还有一场每所大学——甚至一所大学的不同院系自己命题的校内高考，最后学校根据两场考试的成绩再决定录不录取。

看着有点像我们的自主招生，实际上并不是。

日本也有与我们的“自主招生”和“校长推荐”类似的途径，可以不参加统考和校考就直接录取。

那接下来，看看题目吧，这是刚刚结束的2018年日本高考，东京工业大学理科生考试的数学的第一道题，一般来说，你需要在25分钟左右解答完这道题。

大致翻译：
a,b,c是实数，在复平面考察这三个方程的解。

（1）前两个方程都没有实数解的时候，证明它们的四个解要么共圆，要么共线，并用a,b表示出圆心和半径。

（2）问，三个方程都没有整数解，且六个解共圆的充分必要条件。

题倒是不难，对于东京工业大学这么大的名头来说，可能还算简单了。

如果你想先自己做一下，就不要往下翻了。

简答：
（1）都是实系数方程，由韦达定理不难得出①的两个解关于实轴对称，②的两个解同样，所以这四个解围成一个等腰梯形，那显然共圆。

求半径略。

（2）由第一问立得后两个方程共圆的圆心是1/(b-c)，所以这两个圆心重合的充要条件是a+c=2b。

（然后还要再考虑它们都没有实解，它们不共线，略）
题说完了，如果我只说这道题我就不会取这个标题了。

题目里的最后一句，“必要十分条件”（ひつようじゅぶんじょうけん）里的“十分”不免让我产生了一个疑问，难道是上传题目的打字打错了？毕竟“十分”和“充分”都是じゅうぶん。

然后我查了一下“充分必要条件”的日语：
确实是写“十分”的，然后我又查了一下“十分”和“充分”的用法：
之前日语只使用“十分”一词，后来由“充実”（じゅうじつ）、“充足”（じゅうそく）等词中引申出“充分”，多用于表达精神上的充分（满足）。

在表达数值性、物理性时多使用“十分”。

所以充要条件写作“必要十分条件”也是理所当然的了。

那现代汉语里的“充分”一词是如何出现的呢？它也是一个和制汉语词吗？我又查了一下《汉语外来词词典》。

它并没有收录“充分”或者“十分”这两个词，所以这个问题……我也不知道了……
最后给一个日本高中数学的必修内容（理科），我用日文记在这里，不妨尝试根据其中的汉字猜一猜这是哪一个考点，最后有中文对比。

高一上学期：
数と式
集合と論理
二次関数
図形と計量
データの分析
高一下学期：
場合の数と確率
整数の性質
図形の性質
高二上学期：
方程式・式と証明
図形と方程式
三角関数，指数関数・対数関数
微分と積分
高二下学期：
数列
ベクトル
確率分布と統計的な推測
高三上学期：
平面上の曲線
関数と極限
微分，微分の応用，積分とその応用
高三下学期：
複素数平面
对应到我们的：
高一上学期：
数论（整数、有理数、无理数、绝对值、因式分解、对称式）
集合与逻辑（集合、充分必要、命题的逆与否）
二次函数（二次函数性质、二次方程解法）
平面几何计算（尺规作图、垂径定理、正弦定理、余弦定理）
数据分析（中位数、平均值、方差、线性回归、二分法）
高一下学期：
排列组合与概率（韦恩图、排列组合、概率、期望、条件概率）
整数的性质（不定方程、阶乘、取整、最大公约数、最小公倍数、质数、费马小定理、辗转相除法、n进制）
图形的性质（三角形的五心、塞瓦定理、梅涅劳斯定理、圆的相交与相切、中线定理、角平分线定理）
高二上学期：
方程与不等式的证明（二次三次方程的判别式、复数、繁分数、中国剩余定理、二项式定理与杨辉三角、存在和任意、柯西不等式、均值不等式、三角不等式、调和平均、几何平均、恒等式）
解析几何（直线的方程、三角形重心和外心坐标、对称点坐标、圆的方程、切线方程、参数式、线性规划）
三角函数，指数函数，对数函数（弧度制、积化和差、和差化积、和差角公式、万能公式、辅助角公式、这三个函数的图像和性质）
微积分（微分、定积分、不定积分）
高二下学期：
数列（等差、等比、裂项、递推公式与通项公式、数学归纳法）
向量（内及、向量性质、三角形性质的向量表示、圆的平面向量表示、空间向量、空间直角坐标系、点到平面直线距离、二面角、线面角）
概率分布与统计（概率函数、二项分布、正态分布、样本、区间估计）
高三上学期：
极坐标和曲线（圆锥曲线的定义表达和数学性质、光学性质、计算切线和弦、极坐标）函数与极限（极限的计算、夹逼定理、e、广义积分、导数与极限、分划求积分、参数曲线）
微积分的应用（初等函数的微分、四则运算、反函数微分、隐函数微分、用微分求极值、参数曲线的微分、微分方程、简单函数的积分、各种积分法、用积分估计级数、积分的几何意义、极坐标积分、参数曲线的面积、椭圆旋转体的体积）
高三下学期：
复平面（复数的表示、几何意义、棣莫佛定理）。