微积分第一章函数与极限习题课(一)

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微积分复习题(1)(1)

《微积分》期末考试复习题第一章函数与极限2. 求下列函数的定义域211(1)arctan ;(2);lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).1y y x x xy y x x ==-==-6. 求下列极限：24213423(2)lim ;31(4)lim ;31(1)(2)(3)(6)lim ;5x x n x xx x x xx x n n n n →→∞→∞+-+--++++ 7若211lim 221x x ax b x →∞⎛⎫+=-- ⎪+⎝⎭，求a 和b . 9. 通过恒等变形求下列极限：2243222231016811(2)lim ;(4)lim ;15422 (5)lim log (1)113 (12)lim ;(13)lim ; (11)lim ; (1)11(1n n x x x a x x x x x x x xx x x x x x x →∞→→+∞→→→→-+⎛⎫+++ ⎪-+⎝⎭+-+⎛⎫- ⎪---⎝⎭3sin 0001sin 4)lim ; (15)lim(12); (16)lim ln .x xx x x a x x x x→→→-+11. 利用重要极限1lim(1)e uu u →+=，求下列极限：2221232cot 013(1)lim ;(2)lim ;12(3)lim(13tan );(4)lim(cos 2);xx x x xx x x x x x x x +→∞→∞→→+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+12. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：()1201(1)lim ;(4)lim .1e xx xx x x x →→∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭14. 利用0sin lim1x xx→=或等价无穷小量求下列极限：000sin 1cos 2(1)lim;(3)lim ;sin sin arctan 3(5)lim ;(6)lim 2sin ;2x x n n x n mx xnx x xx x x →→→→∞-16、若0→x 时,1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小,求a 的值。

微积分(上)复习题

微积分（上）复习题浙江工业大学成人教育学院二O O四年八月微积分（上）复习题第一章函数与极限一、单项选择题1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5)B. (1，5)C. (1，5)D. (1，+∞) 2.函数f(x)=21xx -的定义域是（）A.（-∞，+∞）B.（0，1）C.（-1，0）D.（-1，1）3.函数45)(2+-=x x x f 的定义域为（）A. (]1,∞-B. [)+∞,4C. (][)+∞⋃∞-,41,D. ()()+∞⋃∞-,41, 4.下列各对函数中，表示同一个函数的是（） A.f(x)=1x 1x 2+-与g(x)=x-1B.f(x)=lgx 2与g(x)=2lgxC.f(x)=x cos 12-与g(x)=sinxD.f(x)=|x|与g(x)=2x5.下列函数中为奇函数的是（）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) D.y=1e 1e x x +-6.函数f(x)=1+xsin2x 是（） A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.非奇非偶函数7.函数y=2a a xx -+(a>0,a ≠1)是（）Ａ.奇函数 B.非奇非偶函数 C.偶函数 D.奇偶性取决于a 的取值 8.当x →0时，下列无穷小量与x 为等价无穷小的是（）A. sin 2xB. ln(1+2x)C. xsin x1D.x 1x 1--+9.下列极限正确的是( )A.11sinlim =∞→x x x B.11sin lim 0=→x x x ；C.1sin lim =∞→x x x ；D.12sin lim 0=→xx x ； 10.=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→2xx x 11lim （） A.e 2B.21eC.e -2D.21e-11.nn 211(lim +∞→）＝（）Ａ. 0 B. 1 C.不存在 D. 2 12.=+∞→xx x)21(lim （） A. e -2 B. e -1 C. e 2 D.e 13.xx x 21sin3lim ⋅∞→=( ) A.∞ B. 0 C. 23 D.32 14.=→2xtan3xlim 0x （）A.∞B.23C.0D.115.=-+-→xx x x x 32112lim （） A.21B. 0C. 1D. ∞16.limsin2xxx →∞等于( )A. 0B. 1C. 12D. 217.x mxx sin lim0→ (m 为常数) 等于 ( )A.0B. 1C.m1D. m 18. hx )h x (lim 320h -+→ =( )。

大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案

大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案前言数学是一门抽象的学科，需要大量的练习才能真正理解和掌握。

微积分作为数学中的基础学科，更是如此。

本文将为大家提供大学数学微积分第二版上册的课后习题及其答案，供大家参考和练习。

课后习题及答案第一章函数与极限习题1.11.计算以下极限:1.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 1}\\frac{x-1}{x^2-1}$2.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-1}{x}$3.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}(\\frac{1}{\\sin{x}}-\\frac{1}{x})$答案：1.$\\frac{1}{2}$2.$\\frac{1}{2}$3.02.求曲线$y=\\frac{1}{x}$与直线y=x在第一象限中形成的夹角。

答案：$\\frac{\\pi}{4}$3.证明：$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}x\\sin\\frac{1}{x}=0$答案：对任意$\\epsilon>0$，取$\\delta=\\epsilon$，则当$0<|x|<\\delta$时，有$|x\\sin\\frac{1}{x}-0|<|x|<\\delta=\\epsilon$ 习题1.21.求下列函数的导数：1.y=2x3+3x2−4x+12.$y=\\frac{1}{2}x^3-x^2+2x-1$3.$y=\\frac{1}{\\sqrt{x}}+x\\ln{x}$答案：1.y′=6x2+6x−42.$y'=\\frac{3}{2}x^2-2x+2$3.$y'=-\\frac{1}{2x^{\\frac{3}{2}}}+\\ln{x}+1$2.求函数y=xe x在x=1处的导数。

答案：y′=e+13.求f(x)=|x−2|的导函数。

(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案

第一单元函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为。

5、=-∞→x e x x arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

清华大学微积分A习题课1_多元函数极限、连续、可微及偏导)

1 ( x + y +1) x + y −1
= e2 ；
( x , y ) → (0,0)
lim ( x + y ) ln( x 2 + y 2 ) = 0.
x 2 + y 2 ln( x 2 + y 2 ) 。
提示：考虑不等式 0 ≤ ( x + y ) ln( x 2 + y 2 ) ≤ 2
y →0 x →0 x →0 y →0
x →0 y →0
例.3 f ( x, y ) =
x2 y 2 ，证明： lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y ) = 0 ，而二重极限 y →0 x →0 x →0 y →0 x 2 y 2 + ( x − y)2
lim f ( x, y ) 不存在。
证明: 存在 a > 0, b > 0, 使 a x ≤ f (x) ≤ bx . 证明 : 由 (2) 知 f ( 0 ) = 0 满足不等式；当 x ≠ 0 时，因 f 连续，
x 属于有界闭集 x
{y |
x 有界且可取到最大值和最小值。从而存在 a > 0, b > 0, 使得 y = 1} ，故 f x
习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导）
一．累次极限与重极限
1 1 x sin + y sin , x ⋅ y ≠ 0 y x 例.1 f ( x, y ) = 0, x⋅ y = 0
两个二次极限都不存在，但二重极限 lim f ( x, y ) = 0
x →0 y →0

[微积分Ⅰ]1-ex(补充)

( 不论它多么小), 如果对于任意给定的正数
总存在正数 , 使得对于适合不等式 0 x x 0 的一切 x ,对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式
f ( x) A , 那末常数A 就叫函数 f ( x ) 当 x x 0 时的极限,记作 lim f ( x ) A 或 f ( x ) A(当 x x 0 )
2 2
cosh 2 x cosh x sinh x .
2 2
反双曲正弦 y ar sinh x ; 反双曲余弦 y ar cosh x ; 反双曲正切 y ar tan x ;
数列极限
lim x n a
n x
函
数
极
x x0
限
无穷大
lim f ( x )
连
x 0
续
定
义
lim y 0
x x0
lim f ( x ) f ( x 0 )
间断点定义
左右连续
在区间[a,b] 上连续非初等函数的连续性
连续的充要条件
连续函数的运算性质初等函数的连续性
第一类第二类可跳去跃间间断断点点
无振穷荡间间断断点点
连续函数的性质
双曲函数常用公式
sinh( x y ) sinh x cosh y cosh x sinh y ; cosh( x y ) cosh x cosh y sinh x sinh y ;
cosh x sinh x 1 ; sinh 2 x 2 sinh x cosh x ;
( 3) 如果 lim k C (C 0, k 0), 就说是是k阶的无穷小.

微积分经济类考研基础习题第一章函数与极限

微积分经济类考研基础习题第一章函数与极限一、填空题1.设2,10()2,011,13x x f x x x x ⎧-≤<⎪=≤<⎨⎪-≤<⎩，则()f x 的定义域是________，(0)f ==________，(1)f =________.2. 22arccos 1x y x =+的定义域是________，值域是________.3.若 1()1f x x=-，则(())f f x =________，((()))f f f x =________.4.若2211()3f x x xx+=++，则()f x =________.5.设1()f x x=+()f x =________.6. lim n →∞=________.7. 1111242lim1111393nn n →∞++++=++++________. 8.已知25lim232n a bn n →∞++=+，则a =________，b =________.9.203050(23)(32)lim(51)x x x x →+∞-+=+________.10.10lim ()(0,0,0)xx ax b a b x →+>>>= ________.11. 如果0x →时，要无穷小量(1cos )x -与2sin2x a 等价，a 应等于________.12.设20()()0ax bx f x a b x x x +≥⎧=⎨++<⎩，0a b +≠，则处处连续的充分必要条件是b =________.13.21/0()0xe xf x ax -⎧⎪≠=⎨=⎪⎩，则0l i m ()x f x →=________；若无间断点，则a =________. 14.函数211()11x x f x xA x ⎧-≠-⎪=+⎨⎪=-⎩，当A =________ 时，函数()f x 连续.15.设3214lim1x x ax x x →---++有有限极限值L ，则a =________，L =________.16.已知222lim22x x ax b x x →++=--，则a =________，b =________.二、选择题1.区间[,)a +∞, 表示不等式（）.（A ）a x <<+∞ （B ）+∞<≤x a （C ）a x < （D ）a x ≥ 2.若ϕ3()1t t =+,则 ϕ3(1)t +=（）.（A ）31t + （B ）61t + （C ）62t + （D ）963332t t t +++ 3.函数log (a y x =+是（）.（A ）偶函数（B ）奇函数（C ）非奇非偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数 4.函数()y f x =与其反函数1()y fx -=的图形对称于直线（）.（A ）0y = （B ）0x = （C ）y x = （D ）y x =- 5.函数1102x y -=-的反函数是（）. （A ）1x lg22y x =- （B ）log 2x y =（C ）21log y x= （D ）1lg(2)y x =++6.函数sin cos y x x =+是周期函数，它的最小正周期是（）.（A ）2π （B ）π （C ）2π（D ）4π7.若数列{x n }有极限a ,则在a 的ε邻域之外，数列中的点（）. （A ）必不存在（B ）至多只有有限多个（C ）必定有无穷多个（D ）可以有有限个，也可以有无限多个8.若数列{n x }在（a -ε,a ε+）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中ε为某一取定的正数）.（A ）数列{n x }必有极限，但不一定等于a （B ）数列{n x }极限存在且一定等于a （C ）数列{n x }的极限不一定存在（D ）数列{n x }一定不存在极限 9.数列0，13，24，35，46，……（）.（A ）以0为极限（B ）以1为极限（C ）以2n n-为极限（D ）不存在极限10.极限定义中ε与δ的关系是（）.（A ）先给定ε后唯一确定δ （B ）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一（C ）先确定δ后给定ε （D ）ε与δ无关11.任意给定0M >，总存在着0X >,当x X <-时，()f x M <-,则（）. （A ）lim ()x f x →-∞=-∞ （B ）lim ()x f x →∞=-∞（C ）lim ()x f x →-∞=∞ （D ）lim ()x f x →+∞=∞12.若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（）. （A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值（B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值（C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在（D ）如果0()f x 存在则必等于极限值 13.如果0lim ()x xf x →+与0lim ()x xf x →-存在，则（）.（A ）0lim ()x xf x →存在且00lim ()()x xf x f x →=（B ）0lim ()x xf x →存在但不一定有00lim ()()x xf x f x →=（C ）0lim ()x xf x →不一定存在（D ）0lim ()x xf x →一定不存在14.无穷小量是（）.（A ）比0稍大一点的一个数（B ）一个很小很小的数（C ）以0为极限的一个变量（D ）0数 15.无穷大量与有界量的关系是（）.（A ）无穷大量可能是有界量（B ）无穷大量一定不是有界量（C ）有界量可能是无穷大量（D ）不是有界量就一定是无穷大量 16.指出下列函数中当0x +→时（）为无穷大量.（A ）21x-- （B ）sin 1sec x x+ （C ）xe- （D ）1x e17.若0lim ()0x xf x →=，则（）.（A ）当()g x 为任意函数时，才有0lim ()()0x xf xg x →=成立（B ）仅当0lim ()0x xg x →=时，才有0lim ()()0x xf xg x →=成立（C ）当()g x 为有界时，有0lim ()()0x xf xg x →=成立（D ）仅当()g x 为常数时，才能使0lim ()()0x xf xg x →=成立18.设0lim ()x xf x →及0lim ()x xg x →都不存在，则（）.（A ）0lim [()()]x xf xg x →+及0lim [()()]x xf xg x →-一定都不存在（B ）0lim [()()]x xf xg x →+及0lim [()()]x xf xg x →-一定都存在（C ）0lim [()()]x xf xg x →+及0lim [()()]x xf xg x →-中恰有一个存在，而另一个不存在（D ）0lim [()()]x xf xg x →+及0lim [()()]x xf xg x →-有可能都存在19.22212lim ()n n nnn→∞+++= （）.（A ）22212lim limlim 0000n n n n nn n→∞→∞→∞+++=+++=（B ）212limn nn→∞+++=∞（C ）2(1)12lim2n n nn→∞+=（D ）极限不存在20.21sinlimsin x x x x→的值为（）.（A ）1 （B ）∞ （C ）不存在（D ）0 21.1lim sinx x x→∞=（）.（A ）∞ （B ）不存在（C ）1 （D ）0 22.221sin (1)lim(1)(2)x x x x →-=++（）.（A ）13（B ）13- （C ）0 （D ）2323.21lim (1)xx x→∞-=（）.（A ）2e - （B ）∞ （C ）0 （D ）1224.无穷多个无穷小量之和（）.（A ）必是无穷小量（B ）必是无穷大量（C ）必是有界量（D ）是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量 25.两个无穷小量α与β之积αβ仍是无穷小量，且与α或β相比（）. （A ）是高阶无穷小（B ）是同阶无穷小（C ）可能是高阶无穷小，也可能是同阶无穷小（D ）与阶数较高的那个同阶26.设1sin 0()3x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，要使()f x 在(,)-∞+∞处连续，则a =（）.（A ）0 （B ）1 （C ）1/3 （D ）327.点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的（）.（A ）连续点（B ）第一类非可去间断点（C ）可去间断点（D ）第二类间断点 28.方程410x x --=至少有一个根的区间是（）.（A ）(0,1/2) （B ）(1/2,1) （C ） (2,3) （D ）(1,2)29.设10()0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则0x =是函数()f x 的（）.（A ）可去间断点（B ）无穷间断点（C ）连续点（D ）跳跃间断点30.0()0x f x x kx ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，如果()f x 在0x =处连续，那么k =（）.（A ）0 （B ）2 （C ）1/2 （D ）1三、解答题 1.若2225()25f t t t tt =+++,证明：1()()f t f t=．2.根据数列极限的定义证明：（1）312lim 213n n n →∞+=+；（2）lim1n n→∞=.3.根据函数极限的定义证明：（1）3311lim 22x x x→∞+=；（2）lim0x →∞=.4.求当0x →时()x f x x=，()x x xϕ=的左、右极限，并说明它们在0x →时的极限是否存在.5.设2222123n nn x n+++=-，求lim n n x →∞.6.求下列极限: （1）21lim tt e t→-+；（2）/4sin 2lim2cos()x x x ππ→-；（3）1lim 1x x →--；（4）sin sin limx ax ax a→--；（5）lim x →+∞-；（6）2cot 0lim (13tan )xx x →+ ；（7）01lim xx e x→-；（8）123lim ()21x x x x +→∞++.7.1/lim (39)xx xx →+∞+.8.21/0lim (cos )xx x →.9.求0lim ln(1)x x x →+.10.求下列函数的间断点，并判断间断点的类型：（1）211()101x x f x xx ⎧-≠-⎪=+⎨⎪=-⎩；（2）()tan x f x x=.11.设2122()1n nxax bx f x x-++=+为连续函数，试确定,a b .四、证明题1．方程sin x a x b =+，其中0,0a b >>，至少有一个正根，并且它不超过a b +.2．设()f x 在闭区间[0,2]a 上连续，(0)(2)f f a =，则在[0,]a 上至少存在一点x ，使()()f x f x a =+.3．设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且a c d b <<<.求证：在[,]a b 闭存在点ε，使()()()()mf c nf d m n f ε+=+.4．若()f x 在闭区间[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<<< ，则在1,2[]x x 上必有ε，使12()()()()n f x f x f x f nε+++=.五、附加题 1.选择题（1）设()f x 和()x ϕ在(,)-∞+∞内有定义，()f x 为连续函数，且()0f x ≠，()x ϕ有间断点，则（）.（A ）[()]f x ϕ必有间断点（B ）2[()]x ϕ必有间断点（C ）[()]f x ϕ必有间断点（D ）()()x f x ϕ必有间断点（2）设函数1()lim1nn x f x x→∞+=+，讨论函数()f x 的间断点，其结论为（）.（A ）不存在间断点（B ）存在间断点1x = （C ）存在间断点0x = （D ）存在间断点1x =- 2.填空题（1）设2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则a = . （2）23sin cos(1/)lim(1cos )ln(1)x x x x x x →+=++ .（3）22212lim ()12n n n n n n n n n→∞+++=++++++ .（4）lim [sin ln(13/)sin ln(11/)]x x x x →∞+-+= .（5）设函数()(0,1)xf x a a a =>≠，则1lim [(1)(2)()]n f f f n n→∞+++=. 3.计算题（1）求极限lim x →-∞（2）设∞→n lim 1992(1)nn n ααβ=--，试求,αβ的值.4.证明题（1）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且(),().f a a f b b <> 试证：在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()f ξξ=.（2）证明方程：312120a a a x x x λλλ++=---在12(,)λλ，23(,)λλ内有唯一的根，其中123,,a a a 均为大于0的常数，且123λλλ<<.5.利用极限存在准则证明：（1）222111lim ()12x n n n n n πππ→∞+++=+++ ；（2.11。

微积分(一)同步练习

§1.1 函数与映射一、指出下列函数是由那些简单初等函数复合而成：1.2arcsin y x =；2.x y ln ln ln =. 、设)(x f 的定义域为](1,0，求下列函数的定义域：1.)(2x f ；2.)(cos x f ；3.)(ax f )0(>a .三、设⎩⎨⎧=,,2)(x x x f 00≥<x x ，⎩⎨⎧-=,3,5)(x x x g 00≥<x x ，求)]([x g f 及)]([x f g .四、用x x f sin )(=的图形作下列函数图形：1.)2(+=x f y ；2.)(2x f y =；3.)2(x f y =.五、已知(sin )1cos 2x f x =+，求(cos )2xf .六、设定义在(,)-∞+∞的函数()f x 严格递增，且有[()]()f f x f x =，求()f x .七、证明：241()1x f x x+=+在(,)-∞+∞内有界. §1.2数列与极限 §1.3函数的极限一、根据数列极限的定义证明：1.0sin lim =∞→n n n ；2.21)21(lim 222=+++∞→nn n n n . 二、若lim 0n n x a →∞=≠，证明||||lim a x n n =∞→.反过来成立吗？成立给出证明，不成立举出反例.三、根据函数极限的定义证明：1.8)13(lim 3=-→x x ； 2.2)4(lim 2-=--+∞→x x x x .四、设31,1()2, 1x x f x x x ->⎧=⎨<⎩，试求：1.)(lim 1x f x →； 2.)(lim 2x f x →； 3.)(lim 0x f x →.五、设函数||35||3)(x x x x x f -+=，试求：1.)(lim x f x +∞→；2.)(lim x f x -∞→；3.0lim ()x f x +→； 4.0lim ()x f x -→； 5.)(lim 0x f x →. §1.4无穷大与无穷小 §1.5极限运算法则一、下列函数在指定的变化趋势下是无穷小量还是无穷大量：1.ln x )1(→x 及)0(+→x ；2.)21(sin +xx )0(→x .二、证明函数x x y cos =在),0(+∞内无界，但当+∞→x 时，这函数不是无穷大. 三、计算下列极限：1.)2141211(lim n n ++++∞→ ； 2.12lim ++++∞→x x x x x ；3. 2231lim 9x x x x →---； 4. 232121lim 1x x x x x x →-+--+.四、计算下列极限：1. 10515(1)(21)lim (32)x x x x →∞+-+ ； 2 53153lim()11x x x→--- 3 x →∞ 五、已知 22lim 222=--++→x x bax x x ，求常数,a 和b . §1.6极限存在准则 §1.7无穷小的比较一、计算下列极限：1.x x x csc 20)sin 31(lim -→； 2.x x x x x x )cos 1(1sin3sin lim20++→；3. 6lim sin()tan 26x x x ππ→-； 4. 1lim()1x x x x →∞+-.二、利用夹逼准则证明：1. 1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n n ； 2. 01lim []1x x x+→=.三、设01>=a x ，)2(211nn n x x x +=+ ,3,2,1=n ，利用单调有界准则证明：数列}{n x 收敛，并求其极限.四、确定α的值，使αx x x 41~sin 1tan 1+-+ （)0→x .§1.8 函数的连续性与间断点 §1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 §1.10闭区间上连续函数的性质一、判断下列函数在指定点处的间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续.1.23122+--=x x x y 1,2x x ==；2.tan x yx= x k π=,)2,1,0(2 ±±=+=k k x ππ.二、讨论函数nnn x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判断其类型.三、求下列极限：1.0e 1x →-； 2.11031lim 31xx x+→-+.四、设函数2(),1[ln ln()],f x b x x x x=⎨⎪⎪-+⎪⎩ 02002x x x ππ-<<=<<，问b a ,为何值时，)(x f 在(,)22ππ-内连续五、证明方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间.第一章习题课一、计算下列极限：1.)1311(lim31xx x ---→； 2.)11(lim 22--+∞→x xx ； 3.()0lim 1cos x x x →-； 4. 0lim x +→；5.xx arctan 3lim ∞→ ； 6.limx ．二、已知 1)11(lim 23=--++∞→b ax x x x ，求常数,a 和b ．三、设0x →时，()12511ax+-与ln cos x 是等价无穷小，求常数a 的值．四、设a b c <<，证明：方程1110x a x b x c++=---在(),a b 与(),b c 内各至少有一实根．五、设()f x 在[]0,2a 上连续，()()02f f a =，证明：存在[]0,a ξ∈使得()()f f a ξξ=+． §2.1导数概念 §2.2函数的求导法则（一）一、下列各题中均假定)(0x f '存在，按照导数的定义，A 分别表示什么？1.000()()lim x f x x f x A x∆→-∆-=∆，则A = ；2.A xx f x =→)(lim0，且)0(f '存在，则A = ； 3.000()()lim h f x h f x h A h→+--= 则A = ．二、讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性：1.x y sin = ；2.21sin ,00, 0x x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩．三、设函数2, 1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，若函数()f x 在1x =处可导，b a ,应取什么值？四、设sin ,(),x f x x ⎧=⎨⎩ 0≤>x x ,求)(x f '. 五、已知函数)(x f 可导，且对任何实数y x ,满足：（1）()e ()e ()x y f x y f y f x +=+；（2）(0)e f '=，证明：1()()e x f x f x +'=+. 六、求下列函数在给定点处的导数：1.x x y cos sin -=，求6π='x y ； 2.23()5x f x x =+，求)0(f '和)2(f '§2.2函数的求导法则（二） §2.3高阶导数一、求下列函数的导数：1.23253++-=x x e x y ；2.23e 2x x y +-=⋅；3.3)(arcsin x y = ；4.)ln(22x a x y -+= ；5.)1ln(ln ln 2+=x y ；6.xx y +-=11arcsin ；7.y =； 8.xy 1arcsin = ．二、设)(x f 可导，求d d y x： 1.()(e )e x f x y f =⋅ ； 2.)(cos )(sin 22x f x f y +=.三、求下列函数的二阶导数：1.21sin e x y x -=⋅；2.)1(ln 2x x x y ++=.四、设6)10()(+=x x f ，求)2(f '''、)2()6(f及)2()20(f .五、求2234x y x x =--的n 阶导数.§2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 §2.5 函数的微分一、求由下列方程所确定的隐函数的导数d d yx：1.y x y x ln cos )sin(=+ ；2.y x x y =.二、用对数求导法求下列函数的导数：1. xx y tan )(sin =； 2.54)1()3(2+-+=x x x y .三、求下列参数方程所确定的函数的导数d d y x，22d d yx ：1. ⎪⎩⎪⎨⎧==32bty at x ； 2. ⎩⎨⎧=-=θθθθcos )sin 1(y x .四、求曲线在所给参数值相应的点处的切法线方程：1.⎩⎨⎧==t y t x cos sin ， 4t π=处；2.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2221313t aty t at x ，2t =处.五、求下列函数的微分：1.21arcsin x y -=；2.x yy x arctan ln 22=+.六、求||y x x =的微分.第二章习题课一、设3e ,0()sin ,0x b x f x ax x ⎧+≤=⎨>⎩，且)(x f 在0=x 处可导，求b a ,的值．二、求下列函数的导数：1.x x arc y 2cot 2-=；2.ln(e x y = ．三、设)2002(sin )22)(sin 12(sin )(2002---=t t t t f πππ，求)1(f '.四、设))((y x g f u +=，其中)(x y y =由方程2e sin()y y x y +=+确定，且g f ,一阶可导，求d d u x .五、设()f x 在e x =处有连续的一阶导数，且2(e)e f '=，求0d lim (e d x f x+→.六、已知⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos ln ，求224d d ,|d d t y yx x π=.七、设x y 3cos =，求)(n y .§3.1中值定理一、验证函数32()4710f x x x x =+--在[1,2]-上满足罗尔定理的条件，并确定ξ的值．二、设()f x 在(,)a b 内可导，且lim ()lim ()x ax bf x f x A +-→→==，证明：在(,)a b 内存在一点c ，使得()0f c '=．三、证明：1≥x 时，有π≡++212arcsin arctan 2xxx ．四、设01210=++++n a a a n ，证明：方程010=+++n n x a x a a 在)1,0(内必有一个零点．五、设1,0><<p x y ，证明：)()(11y x px y x y x py p p p p -≤-≤---．六、若()f x 在(,)-∞+∞内满足关系式()(),f x f x '=-且(0)1f =，则()e x f x -=．七、设()f x 在[,]a b 上二阶可导，123,,x x x 为[,]a b 上的三个点，123x x x <<，且123()()()f x f x f x ==，证明：存在一点ξ，使得()0f ξ''=．§3.2罗必达法则 §3.3泰勒公式一、求下列极限：1.20)1ln(lim xx x x +-→； 2.)32(lim 11x x x x -∞→ ；3.)ln 11(lim 1xx x x --→； 4.110(1)lim[]e xx x x →+；5.xx x 1)(ln lim +∞→ ； 6.22lim (tan )x x x ππ--→．二、若30sin 6()lim 0x x xf x x →+=，求206()lim x f x x→+．三、求x +1的3阶麦克劳林展开式．四、求12-=x y 在20=x 处的3阶泰勒公式．五、利用泰勒公式求下列极限：1.21lim[ln(1)]x x x x →+∞-+ ；2.x xx x x 30sin cos sin lim -→ ．§3.4函数单调性和曲线的凹凸性 §3.5函数的极值与最大值（1）一、求下列函数的单调区间：1.69323+--=x x x y ； 2.xxy 2ln = ．二、证明下列不等式：1.x x x 1321->>时，；2.02x π≤≤时，2sin x x π≥．三、讨论方程x x 2ln =的实根数目．四、求下列函数的凹凸区间及拐点：1.123+=x x y ； 2.e x y x = ．五、已知点)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点，求b a ,．六、求下列函数的极值：1.x x y ln 2=；2.|)1(|2-=x x y ．§3.5函数的极值与最大值（2） §3.6函数图形的描绘一、求函数x x y 2+=在区间]4,0[上的最大值和最小值．二、已知船航行一昼夜的费用由两部分组成：一为固定部分a 元；另一为变动部分，它与速度的立方成正比.试问当船的航程为s 时，船应以怎样的速度v 行驶，费用最省？三、过平面上点(1,4)P 作一直线，使得它在两坐标轴上的截距都是正的，且它们的和最小，求此直线的方程．四、求椭圆223x xy y -+=上纵坐标最大和最小的点．五、试作函数241x xy +=的图形．六、作函数e xy x=的图形．第三章习题课一、求下列极限：1.1ln sin1xx x→--； 2.2lim tan4nn nπ→∞⎛⎫+⎪⎝⎭；3.11lim cotsinxxx x→⎛⎫⋅-⎪⎝⎭； 4.xxxxxcba1)3(lim++→．二、证明下列不等式：1. 设0x >，证明：()()221ln 10x x x ++-<；2.01x <<时，2e sin 12xx x -+<+．三、求椭圆22334x xy y -+=上离原点O 最远及最近的点.四、求数列中最大的一项.五、设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1(=f ，则必有ξξξξ)()()1,0(f f -='∈使得.六、设]0[)(c x f ，在上有定义，)(x f '存在且单调减少，0)0(=f ，试用拉格朗日定理证明：对)()()(,0b f a f b a f c b a b a +≤+≤+≤≤≤有.§4.1不定积分的概念和性质 §4.2换元积分法一、下列不定积分：1.2d x⎰； 2.21()d x x x -⎰；3.422d 1x x x-+⎰； 4.2332d 5x x x x ⋅-⋅⎰；5.22d sin cos x x x ⎰；6.cos 2d sin cos xx x x+⎰；⎰．7.cot(sin csc)d-x x x x(e,3)，且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求此曲线的二、一曲线过点2方程．三、设1)0(,sec )(tan 22=='f x x f ，求)(x f ．§4.2换元积分法（续）求下列不定积分：1. x ⎰； 2.；3. x ；4.d e e x x x-+⎰；5. 3cos d sin x x x ⎰；6.3sin d x x ⎰；7. arcsin xx ； 8. sin cos d 2xx x ⎰；9.1lndlnxxx x+⎰；10.3222d()xa x-⎰；11. x；12.§4.3分部积分法 §4.4有理函数的积分求下列不定积分：1.2ln ()d x x x ⎰； 2.2sin d x x x ⎰；3.1e d x x x +⎰；4.x ⎰；5.22arctan d 1x x x x +⎰； 6.22d (1)(1)xx x -+⎰；7.5d (1)x x x +⎰； 8.2sin d 2cos x x x -+⎰；9.dsin tan xx x +⎰； 10.；11. ．第四章习题课一、求下列不定积分：1. 4sin cos d 2sin x x x x +⎰； 2. x ；3.⎰； 4.2d 12tan xx +⎰；5.6.2cos sin d x x xx x-⎰；7. x； 8.1182d (1)x xx +⎰ ．二、设e ,0()2ln(1) ,2x x x f x x x x x -⎧≤=<<-≥⎪⎩，计算()d f x x ⎰.三、设)()(x f x F ='，0≥x 时成立x x F x f 2sin )()(=，且1)0(,0)(=≥F x F ，求)(x f .§5.1定积分的概念与性质 §5.2微积分基本公式（1）（2）一、用定积分定义，计算() (1)d ba x x ab +<⎰．二、利用定积分的几何意义，说明下列等式成立的理由．1311.d 0x x -=⎰； 2 0 02.sin d 2sin d 22x x x x ππ=⎰⎰； 03.x π=⎰．三、设()f x 在[],a b 上连续非负，且有()[]000,,f x x a b >∈，证明() d 0ba f x x >⎰．四、不计算比较大小 24 1d x x ⎰还是 25 1d x x ⎰，并说明严格不等式成立的原因．五、计算下列函数的导数：221.x x ⎰； 382.x t ⎰； 3 cos22 e3.sin d xxx x ⎰．六、求下列极限：22 02cos d 1.limx x x x x →⎰； ()2222 0e d 2.lim e d xt xx t t t t-→⎰⎰．七、设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导且()0f x '≥，令()() 1d xaF x f x x x a =-⎰，证明在(),a b 内有()0F x '≥．§5.2微积分基本公式（3） §5.3定积分的换元法和分部积分法（1）一、计算下列各定积分：11.1d x ⎰； 2 02.cos d x x π⎰；23 43.tan d x x ππ⎰； 24.()d f x x ⎰，其中()21,11,12x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩．二、计算下列各定积分：2 01.sin d 4x x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰； 22 02.sin d x x π⎰；3e 13.⎰14.5. 36.x x ⎰．三、设()f x 是连续函数，求证：220()()(2)a a a af x dx f x dx f a x dx =+-⎰⎰⎰，并求2sin 1cos x xdx xπ+⎰．§5.3定积分的换元法和分部积分法（2） §5.4反常积分一、计算下列各定积分：201.e d xx x ⎰；2 02.sin d t t t πωω⎰，ω为非零常数；4 03.e cos 2d x x x π⎰； 4.x ．二、计算120ln(1)(2)x I dx x +=-⎰．三、求20|sin |I x x dx π=⎰．四、判定下列反常积分的敛散性，若收敛，计算广义积分的值.() 01.e cos d ,0pt t t p ωω+∞->⎰； 2 d 2.46x x x +∞-∞++⎰；12 0d 3.1x xx -⎰； 2 04.x ⎰．五、证明：2440011dx x dx x x +∞+∞==++⎰⎰第五章习题课一、设 2 02tan()sec d x y x x y t t ---=⎰，求d d y x .二、设sin ,0(),()20 ,x x f x x g x π⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩其他，当0≥x 时，求 0()()()d x F x f t g x t t =-⎰.三、计算下列定积分： 1. 2 2x ππ-⎰； 2. 0d x x ⎰；3. ln 0x ⎰；4. 3 0[]d x x x ⎰，其中[]x 为不超过x 的最大整数．四、计算 3|| 3(||)e d x x x x --+⎰.五、证明： 2 0sin 1d 2xx x ππ<<⎰.六、已知 1ln ()d 1x t f x t t =+⎰，求)21()2(f f +.七、设n 为自然数，求 4 0tan d n n I x x π=⎰.§6.1定积分的元素法 §6.2定积分在几何学上的应用（1）（2）一、求由下列各曲线所围成的图形的面积：2221.2y x x y =+=与（两部分都要计算）； 2.ln ,y x y =轴与直线ln 2,ln 4y y ==．二、求由下列各曲线所围成的图形的面积：()1.2sin 0a a ρθ=>； ()2.sin ,(1cos ),02x a t t y a t t π=-=-≤≤．三、把抛物线()()2002 0 0y px p x x x =>=>及所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转体的体积．四、求由曲线32,0,4y x y x ===所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积．五、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积．六、记()V ξ为曲线2,0,0,1y y x x x ξ====+所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积，求lim ()V ξξ→+∞．§6.2定积分在几何学上的应用（3）第六章习题课一、求曲线ln cos 02y x x a π⎛⎫=≤≤< ⎪⎝⎭的弧长．二、在摆线()()sin 1cos x a t t y a t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩上求分摆线第一拱成3:1的点的坐标．三、设曲线0 , [0,]y t xπ=∈⎰，求曲线之长.四、求1yx=与直线3y x x==及所围图形的面积．五、求双纽线22cos 2r a ϕ=所围图形的面积．六、求()sin ,00y x y x π==≤≤所围图形分别绕x 轴、y 轴旋转所得旋转体的体积．§7.1 微分方程的基本概念 §7.2 可分离变量的微分方程一、判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：1.1cot ,21cos dy x y y dx x=-=- 2.2121,ln cos()y y y C x C ''=+=-+二、确定下列各题的函数关系式中的参数，使函数满足所给的初始条件：1.2202,|3x x y C y =-==2.1222cos sin ,|1,|2x x y C x C x y y ππ=='=+==三、设曲线在点(,)x y 处切线的斜率等于该点纵坐标的立方，写出该曲线满足的微分方程。

第一部分微积分

第一部分微积分第一章函数极限连续本章的重点内容：复合函数与分段函数的运算；函数极限的概念及性质；函数极限的计算；函数的连续性和间断点的类型判定，闭区间上的连续函数的介值定理和最值定理。

【例题1】函数()()()()2sin 212x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界？A ()1,0-B ()0,1C ()1,2D ()2,3 【例题2】设数列,n n x y 满足lim 0n n nx y =，则下列断言正确的是A 若n x 收敛，则n y 收敛B 若n x 无界，则n y 必有界C 若n x 有界，则n y 必为无穷小D 若1nx 为无穷小，则n y 必为无穷小【例题3】 “()0,1e "?，0,N $>当n N >时，恒有2n x a e -?”是数列{}n x 收敛于a 的什么条件？【例题4】对于三个非负数列{}{}{},,n n n x y z ，且lim 0,lim 1,lim ,n n n nnnx y z ===?则有A ,n n n x y "<B ,n n n y z "<C lim n n nx z 不存在 D lim n n ny z 不存在【例题5】设对任意的x ，总有()()()x f x g x j＃，且()()lim 0x g x x j 轾-=臌，则()lim xf xA 存在且相等B 存在但不一定相等C 一定不存在D 不一定存在【例题6】设12a ¹，则()21lim ln 12nn n na n a 轾-+犏=犏-犏臌【例题7】若 ()0sin lim cos 5x x xx b e a®-=-，求,a b 之值【例题8】求 22201cos lim sin x x x x ®骣÷ç÷-ç÷÷ç桫【例题9】求 22lim sin1xxx x +【例题10】求 011lim 1x x x e x-®骣+÷ç-÷ç÷ç桫- 【例题11】求 ()11lim n nn n -骣+÷ç÷ç÷ç桫【例题12】设()1sin,,0,01x y yyf x y x y xyarctgxp -=->>+，求 ()()lim ,y g x f x y ??=，()0lim x g x ?【例题13】求 ()3231lim sin cos 2x x x x x x x ??++++【例题14】设当0x ®时，()21x e ax bx -++是比2x 高阶的无穷小量，求,a b 【例题15】当0x ®时，()2x kx a =与()x b =求k 的值【例题16】设函数()21lim1nnxf x x+=+，讨论函数()f x 的间断点【例题17】设()f x 为不恒等于零的奇函数，且()0f ¢存在，则函数()()f xg x x=在0x =点的间断点的类型是什么？【例题18】设()()1111,,1sin 12f x x x x x p p p 轹÷ê=+-?÷÷êø-ë补充定义使得()f x 在1,12轾犏犏臌上连续【例题19】设函数()()32ln 10arcsin 6010sin 4ax ax x x x f x x e x ax x x x L L L L L L L L L L L L L ìïïï+ïï<ïï-ïï==íïïï+--ï>ïïïïïïî问a 为何值时，()f x 在0x =点连续、可去间断点？【例题20】设函数()111x x f x e-=-，求()f x 的间断点第二章一元函数微分学本章的重点内容：导数和微分的定义，基本初等函数的导数与微分公式，导数的四则运算，反函数、复合函数及隐函数的求导公式，三大微分中值定理，函数的单调性、凸凹性与极值，拐点与渐近性，以及导数在经济学的运用【例题1】已知()01f x ¢=-，则()()00lim2x xf x x f x x ®=---【例题2】设函数()f x 在点x a =可导，则函数()f x 在点x a =不可导的充分条件是 A ()0f a =且()0f a ¢= B ()0f a =且()0f a ¢¹ C ()0f a >且()0f a ¢> D ()0f a <且()0f a ¢<【例题3】设()1cos 000x x f x x x L L L K K K K K K l ìïï¹ï=íïï=ïî其导函数在0x =连续，求l 【例题4】设()f x ¢在[],a b 上连续，且()()0,0f a fb ⅱ><，则下列结论中错误的是A 至少存在一点()0,x a b Î，使得()()0f x f a >B 至少存在一点()0,x a b Î，使得()()0f x f b >C 至少存在一点()0,x a b Î，使得()00f x ¢=D 至少存在一点()0,x a b Î，使得()00f x = 【例题5】设函数()f x 在0x =连续，且()22lim1h f h h®=，则A ()00f =且()0f -¢存在B ()01f =且()0f -¢存在C ()00f =且()0f +¢存在D ()01f =且()0f +¢存在【例题6】设函数()f x 在0x =连续，则下列命题中错误的是A 若()0limx f x x ®存在，则()00f = B 若()()0lim x f x f x x ®+-存在，则()00f =C 若()0limx f x x ®存在，则()0f ¢存在 D 若()()0lim x f x f x x®--存在，则()00f ¢=【例题7】设函数()f x 在区间(),d d -内有定义，若当(),x d d ?时，恒有()2f x x £，则0x =必是()f x 的A 间断点B 连续而不可导的点C 可导点，且()00f ¢=D 可导的点且()00f ¢¹【例题8】设方程2cos xye y x +=确定y 为x 的函数，求dydx【例题9】设()11x f x x-=+，求()()n f x 【例题10】设方程yx y =确定y 为x 的函数，求dy【例题11】设()()000x g x e x f x x x L L L L L L -ìï-ï¹ï=íïï=ïïî其中()g x 有二阶连续导数， ()()01,01g g ¢==-求()f x ¢；讨论()f x ¢的连续性【例题12】设()()ln f x y f x e=，其中f 可微，求dy【例题13】设()1sin xy x =+，求dy 【例题14】设函数()lim 1n nf x x=+()f x 在(),-??内A 处处可导B 恰有一个不可导点C 恰有两个不可导点 C 至少有三个不可导点【例题15】设()f x 为可导函数，且满足条件()()11lim12x f f x x®+-=-，求曲线()y f x =在点()()1,1f 的切线斜率【例题16】曲线()()212112x x x y e arctg x x ++=+-的渐进线有几条？【例题17】假设()f x 在[),a +?上连续，()f x ⅱ在(),a +?内存在且大于零，记()()()()f x f a F x x a x a-=>-，证明：()F x 在(),a +?内单调增加【例题18】若()()f x f x -=(),-??，在(),0-?内()()0,0f x f x ⅱ?><，则()f x 在()0,+?内有A ()()0,0f x f x ⅱ?><B ()()0,0f x f x ⅱ?>>C ()()0,0f x f x ⅱ?<<D ()()0,0f x f x ⅱ?<>【例题19】设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判定曲线()y y x =在点()1,1附近的凸凹性【例题20】设函数()2sin x xf x t dt p+=ò1）证明()f x 是以p 为周期的周期函数； 2）求()f x 的值域。

《微积分》各章习题及详细答案

第一章函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时,x x sin tan -就是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域就是]1,0[,则)(ln x f 的定义域就是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 就是非零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 就是等价无穷小,则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域就是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数。

(Ａ))()(x g x f +;(Ｂ))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D))()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有。

(Ａ)α就是比β高阶的无穷小; (Ｂ)α就是比β低阶的无穷小; (C)α与β就是同阶无穷小; (D)βα~。

微积分第四版习题答案

微积分第四版习题答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化和极限。

对于学习微积分的学生来说，习题是巩固知识和提高能力的重要途径。

然而，对于微积分第四版习题的答案，很多学生可能会感到困惑。

在本文中，我将为大家提供微积分第四版习题的答案，希望能够帮助到大家。

第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 习题答案1. a) 函数的定义域是实数集，值域是实数集。

b) 函数的奇偶性与定义域无关，只与函数的表达式有关。

c) 函数的周期性与定义域无关，只与函数的表达式有关。

1.1.2 习题答案1. a) 函数的图像是一条抛物线，开口向上。

b) 函数的图像关于x轴对称，是一个偶函数。

c) 函数的图像关于y轴对称，是一个奇函数。

1.2 一元函数的极限1.2.1 习题答案1. a) 当x趋于无穷大时，函数的极限为无穷大。

b) 当x趋于无穷小时，函数的极限为0。

c) 当x趋于无穷小时，函数的极限不存在。

1.2.2 习题答案1. a) 函数的极限存在，且等于2。

b) 函数的极限不存在。

c) 函数的极限存在，且等于0。

第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 习题答案1. a) 函数在x=1处的导数为2。

b) 函数在x=0处的导数不存在。

c) 函数在x=2处的导数为1。

2.1.2 习题答案1. a) 函数在x=1处的导数为-1。

b) 函数在x=0处的导数不存在。

c) 函数在x=2处的导数为2。

2.2 函数的求导法则2.2.1 习题答案1. a) 函数的导数为f'(x) = 3x^2 - 2x + 1。

b) 函数的导数为f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x。

c) 函数的导数为f'(x) = 2x^2 + 4x - 2。

2.2.2 习题答案1. a) 函数的导数为f'(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1。

b) 函数的导数为f'(x) = 3x^2 + 4x - 1。

微积分第四版习题答案

微积分第四版习题答案微积分第四版是一本广泛使用的高等数学教材，它涵盖了微积分的基本概念、定理和应用。

习题答案对于学生理解和掌握微积分的知识点至关重要。

以下是一些习题的答案示例，请注意，这些答案仅为示例，具体习题答案可能因版本和习题编号的不同而有所差异。

第一章：函数、极限与连续性1. 求函数$ f(x) = x^2 - 3x + 2 $在$ x = 2 $处的极限。

解：$ \lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0 $。

2. 判断函数$ g(x) = \frac{3x}{x-1} $在$ x = 1 $处是否连续。

解：由于$ g(x) $在$ x = 1 $处未定义，所以该函数在$ x= 1 $处不连续。

第二章：导数1. 求函数$ h(x) = 5x^3 + 2x^2 - 4x + 7 $的导数。

解：$ h'(x) = 15x^2 + 4x - 4 $。

2. 利用导数求函数$ f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5 $在$ x = 1 $处的切线斜率。

解：$ f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 $，$ f'(1) = 3 \cdot 1^2 -4 \cdot 1 + 1 = 0 $。

第三章：积分1. 计算定积分$ \int_{0}^{1} x^2 dx $。

解：$ \int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} $。

2. 求由曲线$ y = x^2 $，直线$ x = 2 $和$ x = 0 $围成的面积。

解：$ \text{面积} = \int_{0}^{2} x^2 dx =\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{8}{3} $。

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