2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学(理)试题(一卷)解析

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2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测

试数学（理）试题（一卷）

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：________

___ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．已知集合{}

2log (2)0A x x =->，{

}

2

45,B y y x x x A ==-+∈，则A B =U （） A ．[)3,+∞ B ．[)2,+∞ C ．()2,+∞ D ．()3,+∞

答案：C

先解对数不等式求出集合A ，再根据二次函数的单调性求出集合B ，然后根据并集的定义求解即可． 解：

解：∵2log (2)0x ->， ∴21x ->，即3x >， ∴()3,A =+∞，

∴()2

245212y x x x =-+=-+>， ∴()2,B =+∞， ∴A B =U ()2,+∞， 故选：C ． 点评：

本题主要考查集合的并集运算，考查对数不等式的解法，考查二次函数的值域，属于基础题．

2．在复平面内，复数

231i

i

+-的虚部为（）

A B C ．D ． 答案：B

根据复数代数形式的除法运算和复数的模先化简该复数，再根据虚部的定义得出结论．

解： 解：∵

()()()23131131313111122

i i i i

i i i ++=

==+---+， ∴复数

231i i +-的虚部为13， 故选：B ． 点评：

本题主要考查复数代数形式的除法运算，考查复数的模和虚部的定义，属于基础题．

3．已知单位向量a r ，b r

满足22a b a b +=-r r r r ，则()()

3a b a b -⋅+=r r r r （）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案：B

由22a b a b +=-r r r r 可得0a b ⋅=r r ，再根据平面向量的数量积的定义即可求出答案．

解：

解：∵22a b a b +=-r r r r ，

∴()(

)

2

2

22a b

a b

+=-r r r r ，化简得0a b ⋅=r

r ，

∵1a =r

，1=r b ，

∴()()

223322a b a b a b a b -⋅+=-+⋅=r r r r r

r r r ，

故选：B ． 点评：

本题主要考查平面向量数量积的定义及其应用，属于基础题．

4．下列程序框图的算法思想源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入16a =，10b =，则程序中需要做减法的次数为（）

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

答案：C

由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的,a b 的值，即可得到结论． 解：

解：由16a =，10b =，满足a b ¹，满足a b >，则16106a =-=； 满足a b ¹，不满足a b >，则1064b =-=； 满足a b ¹，满足a b >，则642a =-=； 满足a b ¹，不满足a b >，则422b =-=； 不满足a b ¹，则输出2a =； 则程序中需要做减法的次数为4， 故选：C ． 点评：

本题主要考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题． 5．在()

()

2

5

2211x x x ++-的展开式中，4x 的系数为（）

A ．6-

B ．6

C ．10

D ．4

答案：A 因为()()()()2

5

4

5

221

111x x x x x ++-+-=，且()

4

1+x 的展开式的通项公式为

14r r r T C x +=，()5

1x -的展开式的通项公式为()

5151k

k k k T C x -+=⋅-⋅，令4r k +=，由

此可求出答案． 解：

解：∵()

()

()()2

5

45

221

111x x x x x ++-+-=，

∵()4

1+x 的展开式的通项公式为41441r r r r r

r T C x C x -+=⋅⋅=，

()

5

1x -的展开式的通项公式为()

5151k

k

k k T C x -+=⋅-⋅，

则展开式中含4x 的项需满足4r k +=， ∴展开式中4x 的系数为

()()2

0413454511C C C C ⋅-+⋅-()()3

4

2231454511C C C C +⋅-+⋅-()

5

40

451C C +⋅-54060201=-+-+-6=-，

故选：A ． 点评：

本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中档题．

6．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，

C 的对边，且满足2

2

2

6

5

b c a bc +=+，则sin 2B C +⎛⎫

=

⎪⎝⎭

（） A ．

22

B ．

5

C ．

25

D ．

25

答案：D

根据余弦定理结合题意得3cos 5A =，而sin cos 22B C A +⎛⎫= ⎪⎝⎭

，再根据半角公式求解即可． 解：

解：∵2

2

2

65

b c a bc +=+

，即2226

5a b c bc -=+，

由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， ∴6

2cos 5

bc A bc =， ∴3

cos 5A =

，则02

A π<<， ∵A

B

C π++=， ∴1cos 25sin cos 2225B C A A ++⎛⎫

===

⎪

⎝⎭

， 故选：D ． 点评：

本题主要考查余弦定理的应用，考查半角公式的应用，属于基础题．

7．函数()3

2

x e f x x -=-的部分图像大致是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

答案：A