合理构造函数解导数问题

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合理构造函数解导数问题

从近几年的高考命题分析，高考对导数的考查常以函数为依托的小综合题， 考查函数、导数的基础知识和基本方法.近年的高考命题中的解答题将导数容和 传统容中有关不等式和函数的单调性、 方程根的分布、解析几何中的切线问题等 有机的结合在一起，设计综合试题。在容上日趋综合化，在解题方法上日趋多样 化•解决这类有关的问题，有时需要借助构造函数，以导数为工具构造函数是解导 数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解 决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键， 这里我们来一起探讨 一下这方面问题。

(3)方法一、变量分离直接构造函数

例 1:( 2009 年市高三第三次模拟试卷 22题)

已知函数

f x

In ax 1 x 3 x 2 ax . f x 的极值点，数a 的值;

在1,

上增函数，数a 的取值围;

若a 1时,

方程f1 x 1 x 3 b 有实根，数b 的取值围。

x

解: (1)因为X

2

—是函数的一个极值点，所以

3

2 f ( )

0，进而解得：a 0,经检验是

3

符合的，所以a

0.

(2)显然f

成立，所以a

0且 a 2

3x 2 2x a,结合定义域知道 ax 1

0在x 1, 上恒

ax 1

a

ax 1

0。同时3x 2 2x a 此函数是x -时递减，x 1时递增,

3

3

故此我们只需要保证f 1話

2 a 0，解得:

解：由于x 0，所以：b x lnx x2xl nx x2

2

2

g x In x 1 2x 3x

g x -

2 6x

x

6x 2 2x 1

x

1 7

时,

x 0,所以g x 在0

1

7

x

亍上递增

1 .7」

1 . 7

当x

时，g x

0,所以g x 在x

上递减

6

6

1 <7

又g 1 0,

g X 0

0, 0 X 0

6

当

0 x X 0 时，g

x

0,所以g x 在0 x

X 0上递减；

当

X 。

x 1 时，g x 0,所以x 。 x 1上递增；

当x 1 时，g x 0,所以g x 在x 1上递减；

又当 x 时，g x 7

. 2 3

2

, 1

g x xln x x x x In x x x

x In x -

4

当x 0 时，In x - 0,则 g x 0,且 g 1

,0.

b 的取值围为

一阶导数草图

6x 6x2 2x 1

，g x In x

2 .23

2x 3x ，g x x In x x x

方法

二、

构造: In x

2x

2x22x22x 1 x 1

从而G x在0,1上为增函数;

1,G 分析点评：第(

0,从而G x在1, 上为减函数

3)问的两种解法难易繁杂一目了然，关键在合理构造函数上。

4

(08、、理)已知函数f (x) _ ---- -+ aln(x —1),其中n是正整数,

(1 x)

a是常数，若a_ 1时, 求证：当x>2 时，f (x)

证法一：当a= 1时, f (x)

—(1 1

—n +ln(x —1),构造函数F(x) —(x x)

—1) — f (x)，下证：当x >2 时,

1

F(x)_(x—1)—k- ln(x -1)>

恒成立.

n

n 1

x)

x2 — A( x>2).

①

若 n 为偶数，：x 》2 ,「.‘ $0 , 1 —

x v — 1 v 0, (1— x) 1v 0 ,

x 1

所以：当 x >2 时，F'(x) >0.「.F(x)min = F(2) = (2 —1) — ' — ln(2

(〔一2)

—1) = 0,所以：当 x >2，且n 为偶数时,F(x) = (x — 1) — J — ln(x

(1 x)

—1)»恒成立.

②若n

为奇数'要证 書+ln(x -1)

2「占v

0，所以只需证： ln(x — 1)

小结2 :含有正整数“n ”的表达式的符号、数值判断，“对n 分奇、 偶讨论”是一种重要的方法.在数列中运用很多.

1

证法二：T 当x >2时， ------ <1，二只需要证明1 + ln(x — 1)

(1 x)

1.构造函数 F(x) = (x — 1) — [1 +ln(x — 1)]，即 F(x) = x — 2— ln(x —1)，则 F'(x) = U (下略).

x 1

小结3 :证法一是直接作“差函数”(直接构造新函数)，然后分奇、 偶讨论；证法二是先适当放缩，然后构造新函数.解题时，要有敏锐 的观察力.

2.变形与整理

直接构造新函数F(x) = f (x) — g (x)，来证明函数不等式f (x) >g (x) 时，目标是：

(1 n 1

x)