高中必修第一册《3.2 函数的基本性质》优质课教案教学设计

3.2.1 单调性与最大（小）值

《函数的单调性与最大（小）值}》系人教A版高中数学必修第一册第三章第二节的内容,本节包括函数的单调性的定义与判断及其证明、函数最大（小）值的求法。在初中学习函数时,借助图像的直观性研究了一些函数的增减性,这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一,函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续,它和后面的函数奇偶性,合称为函数的简单性质,是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问需用到函数的单调性;同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的救开结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。

A.理解增函数、减函数、单调区间、单调

性概念；

B.掌握增（减）函数的证明与判断；

C.能利用单调性求函数的最大（小）值；

D.学会运用函数图象理解和研究函数的性

质；

1.教学重点：函数单调性的概念，函数的最值；

2.教学难点：证明函数的单调性，求函数的最值。多媒体

教学过程

教学设计意图 核心素养目标 一、情景引入

1. 观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？

2、它们分别反映了相应函数有什么变化规律？

二、探索新知 探究一 单调性

1、思考：如何利用函数解析式2

)(x x f =描述“随着x 的增大，相应的f(x)随着增大？”

【答案】图象在区间 ）+∞,0(上 逐渐上升， 在）+∞,0(内随着x 的增大，y 也增大。 对于区间）+∞,0(内任意21,x x ，当21x x <时，

都有)()(21x f x f <。这是，就说函数2

)(x x f =在区间 ）+∞,0(上是增函数.

2、你能类似地描述2

)(x x f =在区间)0,(-∞上是减函数吗？ 【答案】在区间)0,(-∞内任取21,x x ，得到2

11)(x x f =，2

22)(x x f =

，当21x x <时，都有)()(21x f x f >。这时，我们就说函数

通过观察函数的图象，观察函数的变化规律，引入本节新课。提高学生概括、推理的能力。

通过思考，观察

函数的图象，学生归纳随着x 的变化，相应的f(x)也随着变化，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

3、思考：函数||)(x x f =，2

)(x x f -=各有怎样的单调性 ？

单调递增。

）上，上单调递减，区间（在区间（∞+∞-=0)0,||)(x x f

递减。

）上单调，上单调递增，在区间（在区间（∞+∞--=0)0,)(2

x x f 单调性概念：

对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有 。就说函数)(x f 在区间D 上是增函数. 对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有 。就说函数)(x f 在区间D 上是减函数. 如果函数 y =f(x)在区间D 是增函数或减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间D 上具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f(x)的 。

数吗？在该区间上一定是增函那么函数且满足在定义域的某区间上、思考：函数)(),()(,,存在)(4212121x f y x f x f x x x x x f y =<<=

【答案】不一定，如

5、思考：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？

【答案】y=2x+3,

牛刀小试：

1、如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上,f(x)是增函数还是减函数。

【答案】函数f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5], 其中f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数， 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。

例1 根据定义，研究函数 )0()(≠+=k b kx x f 的单调性。 【答案】解析见教材

结论：用定义证明函数的单调性的步骤:

1.取数:任取x 1，x 2∈D，且x 1

2.作差:f(x 1)－f (x 2)；

3.变形:通常是因式分解和配方；

4.定号:判断差f (x 1)－f (x 2)的正负；

5.结论:指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性. 例2 物理学中的玻意耳定律为正常数）

k V

k

p (=

告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大,试用函数单调性证明之.

分析：按题意就是证明函数为正常数）k V k

p (=在区间),0+∞（上是

减函数.

【答案】解析见教材

例3 根据定义证明函数x

x y 1

+=在区间),1+∞（上单调递增。 解析见教材

探究二 函数的最大（小）值

1、思考：观察这两个函数图象，图中有个最高点，设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M ，则对函数定义域内任意自变量x ，f(x)与M 的大小关系如何？

【答案】f(x)< M

定义:一般地，设函数y= f (x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I，都有f (x) ≤M; （2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0.

则M 是函数y= f (x)的最大值（maximum value ）

2、思考：能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果实数M 满足： （1）对于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M;