图论课件--有向图
图论课件--有向图33页PPT
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
图论课件--Biblioteka 向图26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
图论课件-有向图
例3 求下图D的强连通分支、单向连通分支。
2
3
4
5
1
9
8
7
6
D
14
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1) D的强连通分支
2
3
4
5
｛1｝ ｛2, 3, 9, 8, 4, 7｝ ｛5｝ ｛6｝
1
9
8
7
6
D
上面点集导出的子图是 D的强 连通分支。
2
证明：“必要性”
设V(D)=｛v1,v2,…,vn｝。由于D是强连通图，所以，对任 意两点vi与vj, 都存在(vi, vj)路，同时也存在(vj ,vi)路。所以 存在如下闭途径：v1→v2→…→vn→v1。这是一条包含D的 所有顶点的回路。
12
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2) 在L中取v7, U中取点v6 , 作边<v7, v6>。令l (v6)=l (v7)+1=3, L =｛v1,v7,v6｝, U=｛v2,v3,…,v5｝, A=｛ <v1, v7>, <v7, v6> ｝
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
对 v V (D) ，有
d (v) d (v) 1
简要版PPT4图论方法4-5(完全图有向图之发掘性质)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
图论方法4-5（完全图有向图之发掘性质）●冯跃峰本讲内容本节为第4板块（图论方法）第4专题（完全图有向图）的第5小节（发掘性质），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
所谓“完全图”，就是任何点都连边的图；所谓“有向图”，就是给每条边标注了一个方向。
特别地，一个图是完全图又是有向图，则称为“竞赛图”。
它们包括三种常见的思路：三种思路局部扩展从一点或边出发，逐步扩充为完全图反面剔除去掉若干引出虚边的点，使不再有虚边，得到完全图考察极端跃峰奥数本节介绍“局部扩展”的相关例子■。
在特定范围内取某种容量最大的图或考察元素的极端分布。
【图论方法（完全图、有向图）】【图论4-5】给定正整数n≥3，试证：n阶竞赛图Gn 存在一个三角形回路的充分必要条件是，Gn存在两个出度相等的点。
【题感】从目标看【1】，属于“存在性”问题【1】。
就充分性而言，是要找到“一个三角形回路【1】”；就必要性而言，是要找到“两个出度相等的点【1】”。
前者可采用构造的方法，后者有明显的“抽屉”影子，但无法用抽屉原理求解：题中唯一的条件“三角形回路”难以找到“空抽屉”，只能从反面来验证，导出矛盾（假定结论不成立，导出与“存在三角形回路”矛盾）。
先考虑充分性。
假定d+（Ai ）= d+（Aj），我们要找到一个长为3的有向圈，这可从Ai 、Aj出发，利用“局部扩展”策略，由边AiA j扩充为长为3的有向圈即可■。
chap14 有向图
有向H图的应用
任务的最佳排序问题：假设有任务t1, t2, …tn需在
同一设备上串行执行，从任务ti转到任务tj所需的 设备调整时间是aij，如何排任务执行次序，使设 备调整需时间最少？
1、建图：建立有向图D, 顶点对应于要执行的任务，
vivjA(D)当且仅当aijaji。边vivj带权aij。
T的高度为3 ;
T中的蓝色结点及弧构成 T的一个以v2为根的子树.
27
有序树
定义14.3.3：若对一个树T的结点(弧)从
上至下，同一层结点(弧)从左至右规定了 一个次序，则称T为有序树。 v0 有序树的编号：
v1 v2 v3
v21
v211 v212
v22
v213
v31
28
m元(有序)树
定义14.3.4：设T是(有序)树，m 1。
3 v3
D D’
17
竞赛图
竞赛图：完全图的定向图称为竞赛图。
n阶竞赛图可用来表示n个选手之间进行
循环赛的胜负状态。
有一人全胜，其余各胜 一场： 有一人全输，其余各胜 两场：
18
竞赛图都含有向H通路
有向图D的有向H通路是指一条包含D的所有顶
点的有向通路（有向哈密尔顿通路）。 推论14.2.1：每个竞赛图都含有向H通路。 证明：设D是竞赛图， D的基础图G是完全图， 于是， (G) = |V(D)| =p , 由定理14.2.1知，D中含长为p–1的有向通路， 也就是说，该通路上包含了所有的p个顶点， 即为有向H通路。
3(a). D 中任何一条有向(u, v)-通路(u≠v)P均满足 (u)≠(v) 3(b). D 中的任何弧(u,v) v 1 的首尾不同色 2 4. 总之，基础图G的 任何两个邻接的顶 点在下均不同色， 4 即是G的正常(k+1) v2 着色。 故k≥ (G) –1
第8章_有向图
图论及其应用
5
8.1 有向图——习题
10.1.1. 一个简单图有多少个定向图？ 10.1.2. 证明： = = 。 10.1.3. 设有向图D中无有向圈，则 d (v ) d (v ) v V v (a) = 0V； (b) 存在一个顶点排序v1，……，v ，使对1 i ，每条 以vi为 头的弧其尾都在{v1，……，vi-1} 中。 10.1.4. 证明：D是双向连通的 D是连通的，且D的每个块 是双向连通的。 10.1.5. D的逆图 是把D中每弧的方向都改为其反向所得的 有向图。试用逆图慨念及习题10.1.3.(a) 来证明： 若有向图D中 无有向圈，则+ = D 。 0 10.1.6. 证明：严格有向图包含长 max{ ，+}的有向路。 10.1.7. 证明：严格有向图中若max{ ，+} = k 1，则 D包含长 k+1 的有向圈。
图论及其应用
第8章 有向图
8.1 有向图
有向图（directed graph；digraph） D =（V，A） V(D) —— 顶点集。 a u v A(D) —— 弧集。 弧a = (u,v)：其头为v，其尾为u； 弧a从u连到(join to)v。 有向子图（subdigraph） 有向图D的基础图（underlying graph） 对应于D的无向图G（称D为G的一个定向 （orientation）图）
8.1 有向图
易见，有向图D = (V, A)中顶点间的双向连通性是V上 的一个等价关系，它的等价类确定了V的一个划分 （V1，……，Vm）， 使顶点u与v双向连通 u与v 同属某等价类Vi 。 称每个导出子图D[V1]，……，D[Vm]为有向图D的一 个双向分支（dicomponent；strong component）。 当D只有一个双向分支时，称D为双向连通的。 易见，D的任二双向分支之间的弧都是同一个方向的。 例
第七章 第一讲 无向图及有向图
完全图举例
K5
3阶有向完全图
4阶竞赛图
子图(subgraph)
定义8 设G＝<V,E>，G＝<V ,E>为两个图(同为无 向图或同为有向图)，若V V且E E，则称G 是G的子图，G为G 的母图，记作G G。 若V V或E E，则称G 为G的真子图。
若et∈E，使得et＝<vi，vj>，则称vi为et的始点，vj为 et的终点，并称vi邻接到vj，vj邻接于vi。
若ek的终点为el的始点，则称ek与el相邻(adjacent)。 el ek vi vj
定义3 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条 ，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。
3
欧拉：传奇的一生
年少时，听从父亲的安排，巴塞尔大学，学习神学和希伯来语 ，结果被约翰· 伯努利欣赏，17岁获得硕士学位之后，才开始 专供数学。
为获得圣彼得堡科学院的医学部的职位空缺，欧拉在巴塞尔便 全力投入生理学的研究，并出席医学报告会。1727年，等他到 达俄罗斯时，叶卡捷琳娜一世女皇去世，他进入数学部。 1733年，欧拉回到瑞士，并结婚，一生共生育13个孩子，5个 存活。 为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题，那是几个有影响 的大数学家搞了几个月时间的，欧拉在三天之后把它解决了。 可是过分的劳累使他得了一场病，病中右眼失明了。 欧拉到底出了多少著作，直至1936年人们也没有确切的了解。 但据估计，要出版已经搜集到的欧拉著作，将需用大4开本60 4 至80卷。彼得堡学院为了整理他的著作整整花了 47年。
解： (3,3,2,1)，(3,2,2,1,1) 不可以图化
(3,3,2,2)可以图化
(3,2,2,2,1)可以图化
图论的介绍ppt课件
工程项目的任务安排，如何满足限制条件，并在最短时 间内完成？
Program structure
大型软件系统，函数（模块）之间调用关系。编译器分 析调用关系图确定如何最好分配资源才能使程序更有效 率。
Graph Applications
Graph Problems and Algorithms
图论的介绍ppt课件
欧拉路径 解決哥尼斯保七桥问題
原來是一笔画问题啊！
数学家欧拉(Euler, 1707-1783) 于1736年严格的证明了上述哥尼斯堡 七桥问题无解，并且由此开创了图论的典型思维方式及论证方式
实际生活中的图论 Graph Model
电路模拟
例：Pspice、Cadence、ADS…..
哈密頓（Hamilton） 周遊世界问題
正十二面体有二十个顶点 表示世界上20个城市 各经每个城市一次 最后返回原地
投影至平面
哈密頓路径至今尚无有效方法來解決！
最短路径问題
(Shortest Path Problem)
最快的routing
最快航線
B 2
1
E
3
A
C 1
3 2F
1
3
D
3 3
G
最短路径算法Dijkstra算 法
二分图（偶图） Bipartite graphs
A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite
It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa
图论讲义第8章-有向图
正整数。
定理 8.4.3 非平凡弱连通有向图 G 有 Euler 有向迹的充分必要条件是 G 中存在两个顶点 u 和
w 满足 d + (u) = d − (u) +1， d + (w) = d − (w) −1，而其它顶点都有 d + (v) = d − (v) 。
定理 8.4.4 设 G 是弱连通有向图，如果 G 中存在两个顶点 u 和 w 满足 d + (u) = d − (u) +k， d + (w) = d − (w) −k，(k 是一个正整数)，而其它顶点都有 d + (v) = d − (v) ，则 G 中从 u 到 w
这便定义出一个有向图。
注：（1）相应地，前面所说的边不带有方向的图称为无向图。 （2）一个无向图 G 可以对应若干个有向图，它称为所对应的有向图的基础图或底图。 （3）将有向图的顶点可用平面上的一个点来表示，弧可用平面上的有向线段来表示（直
的或曲的），这样画出的平面图形称为图（有向图）的图示。 （4）对一条弧 e=<u, v>，其第二分量顶点 v（即箭头指向的顶点）称为它的首顶点，另一
对任何顶点 v ∈V (G − A′) ，如果 G − A′ 中从 v 出发的最长有向路长为 i，则给 v 染色 i+1。 用 Vi 表示染有第 i 种色的顶点的集合。下证(V1,V2,···,Vk+1)是 G 的正常 k+1 顶点染色。为此， 先证明关于这种染色的两个结论。 （1） G − A′ 中任一有向路的起点与终点异色
连通的。 (3) 若对 G 的任二顶点 u, v，既存在有向路 P(u, v)，又存在有向路 P(v, u)，则称 G 是强连通
有向图完全有向图图的基本概念邻接顶点uv
最小生成树
克鲁斯卡尔 (Kruskal) 算法
经常需要判断权值最小的边的两端是否属于不同连 通分量
可使用并查集技术加快判断速度
0 28 1
10 14 16
562
25 24
18 12
4 22 3
10 (0,5) 12 (2,3) 14 (1,6) 16 (1,2) 18 (3,6) 22 (3,4)
10 14 16
01
01
10
562
25 24
18 12
4 22 3
562 43
562 43
01
10
562
12
43
01
10 14
562
12
43
01
10 14 16
562
12
43
01
10 14 16
562
12
4 22 3
01
10
14 16
562
25
12
4
22
3
28
最小生成树
克鲁斯卡尔 (Kruskal) 算法
dest cost link dest cost link
11
24
22
39
36
03
15
39
4 A
1
2 5
B
28
邻接表(出边表)
14
图的遍历
从给定顶点出发，沿某些边遍历图中所有顶点 一次且仅一次
使用辅助数组visited[ ]标识顶点是否被访问过
visited[ ]初始为0 访问过后标识为1
经常需要判断权值最小的边的两端是否属于不同连 通分量
第四章 有向图-1
例 1：M={0，1}，k=8 即m=2,有 8 个0，1 构成的码，它们出现的概 率 分 别 为 p1 = 0.6 , p2 = 0.2 , p3 = p4 = 0.05 , p5 = p6 = p7 = 0.03 , p8 = 0.01，构作一个二元有序树。 解：原则：尽可能使概率大的码短小。先把概率以不增次序 排列 0.6, 0.2, 0.05, 0.05, 0.03, 0.03, 0.03, 0.01 把最小的两个概率相加后重排： 0.6, 0.2, 0.05, 0.05, 0.04, 0.03, 0.03 ⇒ 0.6, 0.2 ，0.06, 0.05, 0.05, 0.04 ⇒ 0.6, 0.2, 0.09, 0.06, 0.05 ⇒ 0.6, 0.2, 0.11, 0.09 ⇒ 0.6 ，0.4
/− ∗a ↑ ex ∗ b + y1z
= /− ∗a ↑ ex ∗ b( y + 1)z = /− ∗a ↑ ex[b( y + 1)]z
= /− ∗ae x[b( y + 1)]z
= /− (ae x )[b( y + 1)]z
= /[ae x − b( y + 1)]z
= [ae x − b( y + 1)] / z
1001
e 0000 1000 16
100
e01006
0011
e8
011
e e 4 0101 1011
e e 101 11 09110 e5
120111 111
e 1010 111001
110
1110
e14
e13
1111
图论课件有向图32页PPT
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
•
Байду номын сангаас
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
图论课件有向图
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
第8章 有向图
有向图 D
D 的双向分支
图论及其应用 4
8.1 有向图
− 入度（indegree）d D (v ) 。 入度 d+ 出度（outdegree） D (v ) 。 出度 记号 δ+，δ− ：最小出、入度； ∆+ ， ∆- ：最大出、入度。 称有向图D为严格的 严格的（strict） 严格的 ⇔ 无环、且不存在两弧其端点及方向相同。
定理10.1 (Roy,1967; Gallai,1968) 有向图 包含一 有向图D包含一 定理 长为 χ - 1 的有向路。 的有向路
证明：令D’ 为D的极大 极大无有向圈、有向生成子图（注：D’ 可由空生成子 极大 图作为开始，在保持无有向圈的条件下，通过逐步加弧而得） 。令k为D’ 中最长有向路的长。今用色1，2，……，k+1对D’ 进行顶点着色如下： 将v着以色i ⇔ D’ 中以v为起点的最长有向路的长为i 1。 来证这是D的正常(k+1)-顶点着色： 先证，D’ 中任一有向(u,v)-路P的起、终点u与v一定不同色：设v被着以色 i 。则由着色法知，在 D’ 中以v为起点的一最长有向路，设为，Q的长为i - 1 。由于D’ 中无有向圈，PQ为一有向路，起点为u，长 ≥ i 。从而u上的 色j > i。 只要再证，D中任一弧(u,v)的两端一定不同色：当 (u,v)为D’ 中的弧时， 它就是D’ 中的一有向(u,v)-路，从而u与v不同色。 9 图论及其应用
10.2 有向路
当 (u,v)不是D’ 中的弧时，由D′ 之极大性知 D’ + (u,v) 包含一有向圈C。于是， C - (u,v) 是 D’ 中的有向(v,u)-路，从而u与v也不同色。 由上述知，D为(k+1)-可着色的，因此 χ ≤ k+1 ，得k ≥ χ - 1 ， 故D中有长为χ - 1 的有向路。 #
有向图及无向图的比较研究ppt课件
分析2：顶点Vi 的度＝第 i 行 (列) 中1 的个数；
特别：完全图的邻接矩阵中，对角元素为0，其余全1。
ppt精选版
16
有向图的邻接矩阵如何表示？
v1
A
v2
顶点表： ( v1 v2 v3 v4 )
邻接矩阵： 0 10 01 0 v1
A.Edge = 0 0 0 0 v2
v3
v4
0 0 0 01 v3
2 有向图的邻接表和逆邻接表 1）有向图的邻接表 顶点：用一维数组存储（按编号顺序） 以同一顶点为起点的弧：用线性链表存储
例
下标 编号 link
0 V0 1 V1 2 V2 3 V3
1
2
3 0
类似于无向图的邻接表， 所不同的是：
以同一顶点为起点的弧： 用线性链表存储
V0
V1
m-1
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V2
V3
1 无向图的邻接表 顶点：通常按编号顺序将顶点数据存
储在一维数组中； 关联同一顶点的边：用线性链表存储
该结点表示边 （Vi Vj）,其中的1是Vj
在一维数组中的位置
下标 编号 link
例
V0
V1
V2
0 V0 1 V1 2 V2
3 V3
1
3
0
2
4
1
3
4
0
2
V3
V4 4 V4
1
2
m-1
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11
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15
无向图的邻接矩阵如何表示？
v1
v2
顶点表：（ v1 v2 v3 v4 v5 ）
A
v3
邻接矩阵：
v4
00 10 00 10 00 v1
图论：有向图和无向图，有环和无环
图论：有向图和⽆向图，有环和⽆环
有向⽆环图：为什么不能有环，有环会导致死循环。
检查⼀个有向图是否存在环要⽐⽆向图复杂。
(有向图为什么⽐⽆向图检查环复杂呢？)
现实中管⽹会存在环吗？管⽹是有⽅向的，理论上也是⽆环的。
arcgis有向⽆环图最短路径。
有向⽆环图和⼆叉树的关系：如何确定⽗节点和⼦节点[没有⽗节点的就是⽗节点，没有⼦节点的就是叶⼦节点] 有向⽆环图并不⼀定能转化成树【那能不能把有向⽆环图劈开成多棵树】
⼀个⽆环的有向图称做有向⽆环图（Directed Acyclic Graph）。
简称DAG 图。
DAG 图是⼀类较有向树更⼀般的特殊有向图，如图给出了有向树、DAG 图和有向图的例⼦。
虽然DAG图是更⼀般的有向图，但是依然可以使⽤树的判断公式来判断复杂度。
判断是否有环：
1. 起点编码和终点编码是否相等
从OBJECTID为1的开始遍历：下⼀个点是否与OBJECTID为1的相等。
如果相等，则回到起点，为环。
>>性质：有向⽆环图的⽣成树个数等于⼊度⾮零的节点的⼊度积。
有向⽆环图⽣成树：
（百度百科上不是说有向⽆环图不⼀定能转换成树吗？严格意义上，树的叶⼦节点只有⼀个⽗节点）
DAG(有向⽆环图）能否转化为树？：
如果说⼀个叶⼦节点有两个⽗节点，会怎么样
有向⽆环图不⼀定能只⽣成⼀棵树，但是可以⽣成多棵树。
但是这样就破坏了什么信息呢？。
判断一个图是否有环无向图有向图讲解
一、无向图：方法1：∙如果存在回路，则必存在一个子图，是一个环路。
环路中所有顶点的度>=2。
∙ n算法：第一步：删除所有度<=1的顶点及相关的边，并将另外与这些边相关的其它顶点的度减一。
第二步：将度数变为1的顶点排入队列，并从该队列中取出一个顶点重复步骤一。
如果最后还有未删除顶点，则存在环，否则没有环。
∙ n算法分析：由于有m条边，n个顶点。
i)如果m>=n，则根据图论知识可直接判断存在环路。
（证明：如果没有环路，则该图必然是k棵树k>=1。
根据树的性质，边的数目m = n-k。
k>=1，所以：m<n）ii)如果m<n 则按照上面的算法每删除一个度为0的顶点操作一次（最多n次），或每删除一个度为1的顶点（同时删一条边）操作一次（最多m次）。
这两种操作的总数不会超过m+n。
由于m<n，所以算法复杂度为O(n)。
∙注：该方法，算法复杂度不止O(V)，首先初始时刻统计所有顶点的度的时候，复杂度为(V + E)，即使在后来的循环中E>=V，这样算法的复杂度也只能为O(V + E)。
其次，在每次循环时，删除度为1的顶点，那么就必须将与这个顶点相连的点的度减一，并且执行delete node from list[list[node]]，这里查找的复杂度为list[list[node]]的长度，只有这样才能保证当degree[i]=1时，list[i]里面只有一个点。
这样最差的复杂度就为O(EV)了。
方法2：DFS搜索图，图中的边只可能是树边或反向边，一旦发现反向边，则表明存在环。
该算法的复杂度为O(V)。
方法3：摘自：/lzrzhao/archive/2008/03/13/2175787.aspx PS：此方法于2011-6-12补充假定：图顶点个数为M，边条数为E遍历一遍，判断图分为几部分（假定为P部分，即图有P 个连通分量）对于每一个连通分量，如果无环则只能是树，即：边数＝结点数－1只要有一个满足边数> 结点数－1原图就有环将P个连通分量的不等式相加，就得到：P1:E1=M1-1P2:E2=M2-1...PN:EN>MN-1所有边数(E) > 所有结点数(M) - 连通分量个数(P)即： E + P > M 所以只要判断结果 E + P > M 就表示原图有环，否则无环.实例代码如下：1.#include<iostream>2.#include<malloc.h>ing namespace std;4.#define maxNum 100 //定义邻接举证的最大定点数5.int visited[maxNum];//通过visited数组来标记这个顶点是否被访问过，0表示未被访问，1表示被访问6.int DFS_Count;//连通部件个数，用于测试无向图是否连通，DFS_Count=1表示只有一个连通部件，所以整个无向图是连通的7.int pre[maxNum];8.int post[maxNum];9.int point;//pre和post的值10.11.//图的邻接矩阵表示结构12.typedef struct13.{14.char v[maxNum];//图的顶点信息15.int e[maxNum][maxNum];//图的顶点信息16.int vNum;//顶点个数17.int eNum;//边的个数18.}graph;19.void createGraph(graph *g);//创建图g20.void DFS(graph *g);//深度优先遍历图g21.void dfs(graph *g,int i);//从顶点i开始深度优先遍历与其相邻的点22.void dfs(graph *g,int i)23.{24.//cout<<"顶点"<<g->v[i]<<"已经被访问"<<endl;25. cout<<"顶点"<<i<<"已经被访问"<<endl;26. visited[i]=1;//标记顶点i被访问27. pre[i]=++point;28.for(int j=1;j<=g->vNum;j++)29. {30.if(g->e[i][j]!=0&&visited[j]==0)31. dfs(g,j);32. }33. post[i]=++point;34.}35.36.void DFS(graph *g)37.{38.int i;39.//初始化visited数组，表示一开始所有顶点都未被访问过40.for(i=1;i<=g->vNum;i++)41. {42. visited[i]=0;43. pre[i]=0;44. post[i]=0;45. }46.//初始化pre和post47. point=0;48.//初始化连通部件数为049. DFS_Count=0;50.//深度优先搜索51.for(i=1;i<=g->vNum;i++)52. {53.if(visited[i]==0)//如果这个顶点为被访问过，则从i顶点出发进行深度优先遍历54. {55. DFS_Count++;//统计调用void dfs(graph *g,int i);的次数56. dfs(g,i);57. }58. }59.}60.void createGraph(graph *g)//创建图g61.{62. cout<<"正在创建无向图..."<<endl;63. cout<<"请输入顶点个数vNum:";64. cin>>g->vNum;65. cout<<"请输入边的个数eNum:";66. cin>>g->eNum;67.int i,j;68.//输入顶点信息69.//cout<<"请输入顶点信息："<<endl;70.//for(i=0;i<g->vNum;i++)71.// cin>>g->v[i];72.//初始画图g73.for(i=1;i<=g->vNum;i++)74.for(j=1;j<=g->vNum;j++)75. g->e[i][j]=0;76.//输入边的情况77. cout<<"请输入边的头和尾"<<endl;78.for(int k=0;k<g->eNum;k++)79. {80. cin>>i>>j;81. g->e[i][j]=1;82. g->e[j][i]=1;//无向图对称83. }84.}85.int main()86.{87. graph *g;88. g=(graph*)malloc(sizeof(graph));89. createGraph(g);//创建图g90. DFS(g);//深度优先遍历91.//连通部件数，用于判断是否连通图92. cout<<"连通部件数量：";93. cout<<DFS_Count<<endl;94.if(DFS_Count==1)95. cout<<"图g是连通图"<<endl;96.else if(DFS_Count>1)97. cout<<"图g不是连通图"<<endl;98.//各顶点的pre和post值99.for(int i=1;i<=g->vNum;i++)100. cout<<"顶点"<<i<<"的pre和post分别为："<<pre[i]<<" "<<post[i]<<endl;101.//cout<<endl;102.//判断无向图中是否有环103.if(g->eNum+DFS_Count>g->vNum)104. cout<<"图g中存在环"<<endl;105.else106. cout<<"图g中不存在环"<<endl;107.int k;108. cin>>k;109.return 0;110.}111./*112.输入：113.正在创建无向图...114.请输入顶点个数vNum:10115.请输入边的个数eNum:9116.请输入边的头和尾117.1 2118.1 4119.2 5120.2 6121.4 7122.5 9123.6 3124.7 8125.9 10126.*/注意：有向图不能使用此方法。
CHAP12 有向图共44页
u 7 9 8
x
1 5
6 4
v 2 3
w
10.01.2020
离散数学
10.01.2020
离散数学
8
有向图的连通性
定义12.1.2：设D是有向图， ⑴若对D中任意顶点u、v，同时有(u, v)—通路
和(v, u)—通路存在，称D是双向连通图，或强 连通图； ⑵若对D中任意顶点u、v，或有(u, v)—通路， 或有(v, u)—通路，称D是单连通图; ⑶若D的基础图是连通图，则称D是弱连通图。 显然，强连通图单连通图弱连通图。
弧的头和尾：如果是有向图D的一条弧，
且() =uv , 则称u是的尾，v是的头。
环：有向图中头尾相同的弧。 多重弧：两条或两条以上的头尾相同的
弧。 简单有向图：无环，无多重弧的有向图。
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离散数学
6
有向图中的度
出度：在有向图中，以顶点u为尾的弧的 数目称为u的出度，记为dD+(u) ;
入度：在有向图中，以顶点u为头的弧的 数目称为u的入度，记为dD– (u) ;
度：入度与出度的和为u的度,记为dD(u) ;
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离散数学
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有向图中的途径
有向途径:有向图中一个头尾相接的途径; 有向链：弧不重复的有向途径； 有向通路：顶点不重复的有向途径； 有向回路：起点和终点重合的有向通路.
有一人全胜，其余各胜 有一人全输，其余各胜
一场：
两场：
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1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
“充分性”
不失一般性，设C= v1→v2→…→vn→v1是包含D的所有顶 点的一条回路。对于D的任意两点vi与vj(i<j) ,一方面，由C 可得到vi到vj的途径vi →vi+1 →… →vj。另一方面，由C又可 得到vj到vi的途径vj →vj+1 →…vi-1 →vi。所以D中任意两点是 强连通的，即D是强连通图。
0.5
00
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0.6 0.4 x 0.2
定义3 在一个有向图D中，如果没有有向环和平行边， 则称该图为简单有向图。
v1 e4
e7 e6
v2
v4
e5
e3
e1
e2
v3
非简单有向图D
v1 e4 v4
e2
e6
v2
e5 e1
v3
简单有向图D
定义4 设D是有向图，去掉D中边的方向后得到的无向 图G，称为D的基础图。又若G是无向图，给G的每条边 加上方向后得到的有向图D称为G的一个定向图。
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
对 v V (D) ，有
d (v) d (v) 1
2、性质
定理1 设D=(V, E)是有向图，则：
d (v) d (v) m(D)
vV (D)
vV (D)
证明：由出度与入度的定义立即可得上面等式。
v6 G
v3 v4
解: (1) 取点v1, 令l (v1)=1, L=｛v1｝, U=｛v2,v3,…,v7｝,A=Φ; (2) 在U中取点v7 , 作边<v1, v7>。令l (v7)=l (v1)+1=2, L =｛v1,v7｝, U=｛v2,v3,…,v6｝, A=｛ <v1, v7> ｝
21
例如：
v1 e4
e7 e6
v2
v4
e5
e3
e1
e2
v3
有向图D
e1 v3, v2
v3与v2分别是e1 的起点与终点。 定义2 在一个有向图D中，具有相同起点和终点的边 称为平行边。两点间平行边的条数称为该两点间的重数。
例如，在上图中，e6与e7是平行边。
4
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
证明：“必要性”
设V(D)=｛v1,v2,…,vn｝。由于D是强连通图，所以，对任 意两点vi与vj, 都存在(vi, vj)路，同时也存在(vj ,vi)路。所以 存在如下闭途径：v1→v2→…→vn→v1。这是一条包含D的 所有顶点的回路。
13
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
v1(1)
v2
v3
v1(1)
v2
v3
v5
v5(4)
v7(2)
V6(3)
v4
v7(2)
V6(3)
v4
Gv5 , 作边<v6, v5>。令l (v5)=l (v6)+1=4,
L =｛v1,v7,v6,v5｝, U=｛v2,v3, v4｝, A=｛ <v1, v7>, <v7, v6> , <v6, v5> ｝
2、强连通定向算法
该算法采用顶点标号方法给边标上方向。设G=(V, E)是2 边连通图。
(1) 在G中任取顶点w, 令l (w)=1, L=｛w｝,U=V-｛w｝,A=Φ;
(2) 在L中求点v, 使得l (v)最大且满足在U中存在其邻点u。然 后作有向边<v, u>。令l (u)=l (v)+1 , L = L∪｛u｝,U=U-｛u｝ 且A=A∪｛ <v, u> ｝;
d (v) d (v) 1
证明：不失一般性，设G是连通图。G中奇度顶点个数必 然为偶数个，将偶数个奇数度顶点配对，然后在每一对配对 顶点间连一条边得到欧拉图G1。在G1中用Fluery算法求出G 的一欧拉环游C,然后顺次地在C上标上方向，由此得到C的 定向图C1。
在C1中，去掉添加的边后，得到G的定向图D.显然：
(2) 若D无环。称矩阵M=(mij)n×m是D的关联矩阵，其中
1,
vi是e
的始点，
j
mij -1，vi是边ej的终点，(1 i n,1 j m),
0, 其它.
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例1 写出下面有向图D1的邻接阵和D2的关联阵。
0.6 0.4 x 0.2
但是，对于单向连通分支来说，D的某个顶点，可能会分 属于D的若干个单向连通分支。原因是单向连通关系不是等 价关系。
(三)、图的定向问题
图的定向问题是有向图中的一个典型问题之一，具有广 泛的应用背景。
城市交通网设计问题: 一座城市为某种需要，要把所有街 道改为单行道，使得人们在任意两个位置都可以相互到达。 如何设计单行道方向？
点v的出度与入度之和称为点v的度，记为d(v)。
d (v4 ) 2 d (v4 ) 2 d (v4 ) 4
v1
e4 v4
e7 e6
e5
v2 e1
e2
v3
有向图D
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0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例1 一个简单图有多少个定向图？ 答：因为每条边有2种定向方式，所以共有2 m(G)种定向。 例2 求证：G存在一个定向图D，使得对 v V (D) ，有
3
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1
5
6
9
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7
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0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
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(2) D的单向连通分支
2
3
4
5
D的单向连通分支就是D本身。 1
注：求D的强、弱连通分支比较 容易，求单向分支比较困难。
9
8
7
6
D
定理2： 有向图D=(V,E)的每个点位于且仅位于D的某个 强(弱)连通分支中。
图论建模：街道交叉口模型为图的顶点，两点连线当且 仅当该两点是某街道的端点。
18
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
问题等价于在模型图中给出其强连通定向。
对于任意一个无环图G，要对其作强连通定向，需要解 决两个问题：一是强连通定向的存在性问题，二是如何定向 问题。
证明：对于弱连通分支情形，命题结论是显然的。
对于强连通分支情形，因为不难证明：D中顶点间的强 连通关系是等价关系。该等价关系对应的等价类在D中的导 出子图必然是D的一个强分支。而D的一个强分支包含的顶 点也必然是该等价关系的一个等价类。
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
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1 0.8
v1(1) v2(5)
v3
v1(1) v2(5)
v3(6)
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1 2 1.5 t1
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图论及其应用
应用数学学院
1
1
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0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
本次课主要内容 有向图
(一)、有向图的概念与性质 (二)、有向图的连通性 (三)、图的定向问题 (四)、有向路与有向圈
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2) 在L中取v7, U中取点v6 , 作边<v7, v6>。令l (v6)=l (v7)+1=3, L =｛v1,v7,v6｝, U=｛v2,v3,…,v5｝, A=｛ <v1, v7>, <v7, v6> ｝
3) 若D的中任意两点是双向连通的，称D是强连通图；
D1
D2
D3
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在上面三图中，D1是强连通的，D2是单向连通的，而D3 仅为弱连通图。
关于强连通图，我们有如下结论： 定理1： 有向图D=(V,E)是强连通的，当且仅当D中存在 包含D中所有顶点的回路。
例3 求下图D的强连通分支、单向连通分支。
2
3
4
5
1
9
8
7
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D
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(1) D的强连通分支
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3
4
5
｛1｝ ｛2, 3, 9, 8, 4, 7｝ ｛5｝ ｛6｝
1
9
8
7
6
D
上面点集导出的子图是 D的强 连通分支。
2
如果e是D的一条边，而u与v是使得фD(u,v)=e的顶点， 那么称e是由u连接到v，记为e=<u, v>。同时，称u为e的 弧尾(起点), v为e的弧头(终点)。