勾股定理综合应用-PPT课件
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A，
●
a//c,b//c. 求证：a//b
已知：如图有a、b、c三条直线，且 例3
证明：假设a与b不平行，则 a b 可设它们相交于点A。 c 那么过点A 就有两条直线a、 b与直线c平行，这与“过直 线外一点有且只有一条直线 与已知直线平行矛盾,假设不 成立。 ∴a//b.
A
小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、 公理矛盾
三、应用新知
例１在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B
证明：假设 ∠B ＝ ∠ C， 则 这与 AB＝AC （ 等角对等边 已知AB≠AC 矛盾． ）
≠∠
尝试解决问题
C
假设不成立． ∴ ∠B ≠ ∠ C ．
感 受 反 证 法:
A
B
C
小结：
反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理 得出矛盾→肯定原结论正确
我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。
一、复习引入
A
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关 系？为什么？
解析： 由∠C=90°可知是直角三角 形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 .
b
c
CBiblioteka Baidu
a
C
二、探究
若将上面的条件改为“在 △ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被 过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？ 这与事实矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的？ 所以，李子是苦的
甲：在五一长 假里，我和爸 爸、妈妈去新 加坡玩了整整6 天，真是太高 兴了.
丙：是啊,5 月4号我确实 和甲在“步 行街”逛街！
这与另一个哲学家笑个不停矛盾,
所以假设“自己的前额没有涂黑”不正 确, 于是自己的前额也被涂黑了.
14.1.3反证法
一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿 了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”
你能对小华的判断说出理由吗？
小华的理由：
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与 早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
例4
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于 或等于60°。 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60° ， ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 则 。 ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ， 即 ∠A+∠B+∠C>180° 。 这与 三角形的内角和为180度 矛盾．假设不成立． ∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．
他运用了怎样的推理方法？
• 在古希腊时,有三个哲学家，由于争论和 天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的 一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱 开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额,当他 们醒过来后，彼此相看时都笑了。一会儿 其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到 什么了？
各抒己见
自己的前额也被涂黑了.
假设自己的前额没有被涂黑, 那么另一个哲学家也不会有异常行为,
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长,求第三 边时,应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
方程思想
直角三角形中，当无法已知两边求第三 边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中 的等量关系，利用勾股定理列方程。
例2、在△ABC中，∠B=45°AC=3cm,AB=2cm，求 BC的长. A
问题：
A
b
C
c
a
C
探究：假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理 可知三角形ABC是直角三角形，且 ∠C=90°，这与已知条件 ∠C≠90°矛盾。假设不成立，从 而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。
发现知识：
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论 的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、 公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法 叫做反证法。
B
D
C
勾股定理在非直角三角形中的应用：设AD=x
折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC 边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求 1.CF 2.EC. A
8 10 10
D
8-X
E
8-X X
B
6
F
4
C
如图，一块直角三角形的纸片，两直 角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且 与AE重合，求CD的长．
乙：这不可能，5月4 号上午还看见你和丙 在“步行街”逛街呢！
乙：甲没有去新加坡玩了6天.
假设甲去新加坡玩了6天，
那么甲从5月1号至6号或是2号至7号在 新加坡， 即5月4号甲在新加坡， 这与“5月4号甲在桂阳的“步行街””矛 盾, 所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确, 于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.
C
A
B
D
已知直角三角形的两边长分别是3和4, 则 第三边长为 5 或 7.
分类思想
训练： △ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的高线 AD=8,求线段BC的长和△ABC的面积. 21 或9
S△ABC=84或36
A
8 15
8
17 10
6
D
B
C
6 15 当题中没有给出图形时，应考虑图形的形 状是否确定，如果不确定，就需要分类讨论。
A
6 6
D
第8题图
E
x
4
B
C x Ｄ 8-x
小故事
路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
例2
求证：两条直线相交只有一个交点。
已知：如图两条相交直线a、b。
求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点， 不妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线，即经 a ● A 过点A和A’的直线有且只有一条， 这与与已知两条直线矛盾,假设不 b 成立。 所以两条直线相交只有一个交点。 小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、 公理矛盾
14.1勾股定理
——综合应用
b a
c
a2+b2=c2
课前练习： （1）求出下列直角三角形中未知的边
6 10
8
A
（2）求AB的长
2 3
13
B 1 C
3
D
2
例2、在△ABC中，∠B=45°AC=3cm,AB=2cm，求 BC的长. A
B
D
C
勾股定理在非直角三角形中的应用：作高构造 直角三角形.
变式1、在△ABC中，∠B=120°，BC=4cm， AB=6cm，求AC的长.
●
a//c,b//c. 求证：a//b
已知：如图有a、b、c三条直线，且 例3
证明：假设a与b不平行，则 a b 可设它们相交于点A。 c 那么过点A 就有两条直线a、 b与直线c平行，这与“过直 线外一点有且只有一条直线 与已知直线平行矛盾,假设不 成立。 ∴a//b.
A
小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、 公理矛盾
三、应用新知
例１在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B
证明：假设 ∠B ＝ ∠ C， 则 这与 AB＝AC （ 等角对等边 已知AB≠AC 矛盾． ）
≠∠
尝试解决问题
C
假设不成立． ∴ ∠B ≠ ∠ C ．
感 受 反 证 法:
A
B
C
小结：
反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理 得出矛盾→肯定原结论正确
我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。
一、复习引入
A
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关 系？为什么？
解析： 由∠C=90°可知是直角三角 形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 .
b
c
CBiblioteka Baidu
a
C
二、探究
若将上面的条件改为“在 △ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被 过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？ 这与事实矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的？ 所以，李子是苦的
甲：在五一长 假里，我和爸 爸、妈妈去新 加坡玩了整整6 天，真是太高 兴了.
丙：是啊,5 月4号我确实 和甲在“步 行街”逛街！
这与另一个哲学家笑个不停矛盾,
所以假设“自己的前额没有涂黑”不正 确, 于是自己的前额也被涂黑了.
14.1.3反证法
一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿 了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”
你能对小华的判断说出理由吗？
小华的理由：
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与 早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
例4
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于 或等于60°。 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60° ， ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 则 。 ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ， 即 ∠A+∠B+∠C>180° 。 这与 三角形的内角和为180度 矛盾．假设不成立． ∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．
他运用了怎样的推理方法？
• 在古希腊时,有三个哲学家，由于争论和 天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的 一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱 开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额,当他 们醒过来后，彼此相看时都笑了。一会儿 其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到 什么了？
各抒己见
自己的前额也被涂黑了.
假设自己的前额没有被涂黑, 那么另一个哲学家也不会有异常行为,
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长,求第三 边时,应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
方程思想
直角三角形中，当无法已知两边求第三 边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中 的等量关系，利用勾股定理列方程。
例2、在△ABC中，∠B=45°AC=3cm,AB=2cm，求 BC的长. A
问题：
A
b
C
c
a
C
探究：假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理 可知三角形ABC是直角三角形，且 ∠C=90°，这与已知条件 ∠C≠90°矛盾。假设不成立，从 而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。
发现知识：
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论 的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、 公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法 叫做反证法。
B
D
C
勾股定理在非直角三角形中的应用：设AD=x
折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC 边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求 1.CF 2.EC. A
8 10 10
D
8-X
E
8-X X
B
6
F
4
C
如图，一块直角三角形的纸片，两直 角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且 与AE重合，求CD的长．
乙：这不可能，5月4 号上午还看见你和丙 在“步行街”逛街呢！
乙：甲没有去新加坡玩了6天.
假设甲去新加坡玩了6天，
那么甲从5月1号至6号或是2号至7号在 新加坡， 即5月4号甲在新加坡， 这与“5月4号甲在桂阳的“步行街””矛 盾, 所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确, 于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.
C
A
B
D
已知直角三角形的两边长分别是3和4, 则 第三边长为 5 或 7.
分类思想
训练： △ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的高线 AD=8,求线段BC的长和△ABC的面积. 21 或9
S△ABC=84或36
A
8 15
8
17 10
6
D
B
C
6 15 当题中没有给出图形时，应考虑图形的形 状是否确定，如果不确定，就需要分类讨论。
A
6 6
D
第8题图
E
x
4
B
C x Ｄ 8-x
小故事
路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
例2
求证：两条直线相交只有一个交点。
已知：如图两条相交直线a、b。
求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点， 不妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线，即经 a ● A 过点A和A’的直线有且只有一条， 这与与已知两条直线矛盾,假设不 b 成立。 所以两条直线相交只有一个交点。 小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、 公理矛盾
14.1勾股定理
——综合应用
b a
c
a2+b2=c2
课前练习： （1）求出下列直角三角形中未知的边
6 10
8
A
（2）求AB的长
2 3
13
B 1 C
3
D
2
例2、在△ABC中，∠B=45°AC=3cm,AB=2cm，求 BC的长. A
B
D
C
勾股定理在非直角三角形中的应用：作高构造 直角三角形.
变式1、在△ABC中，∠B=120°，BC=4cm， AB=6cm，求AC的长.