第三章 应用多元统计分析答案

nm 2 Σ 1 X T02 (X Y ) ( Y ) ~ 2p ( ) nm (n m 2 ) p 1 2 F F F T ~ F( p , n m p1 ) (n m 2 ) p nm nm 2 ( X Y) S 1 ( X Y) ） （其中 T (n m 2) nm nm (n p )n F F F ZS-1Z ~ F ( p, n p) p
z t
( X 0 )
( X 0 ) n S

n
| z | z / 2
| t | t / 2 (n 1)
1 n ( X i X )2 作为 2 的估计量） n 1 i 1
一个正态总体 H 0：μ μ 0 协差阵 Σ 已知 协差阵 Σ 未知
T02 n( X μ0 ) Σ 1 ( X μ0 ) ~ 2 ( p) (n 1) p 1 2 T ~ F ( p, n p) (n 1) p
（ T (n 1)[ n ( X μ 0 )S
2 1
2 T02 n p 2 T F (n 1 ) p
n ( X μ 0 )] ）
两个正态总体 H 0：μ1 μ 2 有共同已知协差阵 有共同未知协差阵
T02
协差阵不等 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ m 协差阵不等 n m
3.1 试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。 其基本思想和步骤均可归纳为： 答： 第一，提出待检验的假设 和 H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界 值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出 决策（拒绝或接受） 。 均值向量的检验： 统计量 均值向量的检验： 在单一变量中 当 2 已知 当 2 未知 （ S2 拒绝域
协差阵的检验 检验 Σ Σ 0
H 0：Σ I p
1 n/2 e exp trS S 2 n
np / 2
1 n/2 e H 0：Σ Σ0 I p exp trS* S* 2 n 检验 Σ1 Σ 2 Σ k H 0：Σ1 Σ 2 Σ k
2
相互独立， n p ，则称统计量
的分布为非中心霍特林 T2 分布。
若 X ~ N p (0, Σ) ， S ~ Wp (n, Σ) 且 X 与 S 相 互 独 立 ， 令 T 2 nXS1X ， 则
n p 1 2 T ~ F (p n , p 1。 ) np
（2）威尔克斯 分布在实际应用中经常把 统计量化为 T 统计量进而化为 F 统计量， 利用 F 统计量来解决多元统计分析中有关检验问题。 与 F 统计量的关系
H 0：μ1 μ 2 μ k
H1：至少存在i j使μi μ j
E E ~ ( p, n k , k 1) T AE
给定检验水
用似然比原则构成的检验统计量为
平 ，查 Wilks 分布表，确定临界值，然后作出统计判断。
统计量 k n np / 2
np / 2
Si
i 1
k
ni / 2
S
n/2
n
i 1
k
i
pni / 2
3.2 试述多元统计中霍特林 系。 答： （！ ）霍特林
分布和威尔克斯 分布分别与一元统计中 t 分布和 F 分布的关
分布是 t 分布对于多元变量的推广。
n( X )2 S ~ Wp (n, Σ) 且 X 与 S t n( X )(S 2 )1 ( X ) 而若设 X ~ N p (μ , Σ) ， 2 S
1
任意
任意
n1 1 (1, n1 , n2 ) ~ F (n2 , n1 ) n2 (1, n1 , n2 )
n1 1 1 (2, n1 , n2 ) ~ F (2n2 , 2(n1 1)) n2 (2, n1 , n2 )
2
任意
任意
3.3 试述威尔克斯统计量在多元方差分析中的重要意义。 答：威尔克斯统计量在多元方差分析中是用于检验均值的统计量。
F
(n p )n ZS-1Z ~ F ( p, n p) p
F F
多个正态总体 H 0：1 2 k 单因素方差
F
SSA (k 1 ) ~F( k 1 n, k SSE (n k )

)
F F
多因素方差
E E ~ (p ,n k , k 1 ) T AE
2
p
n1
任意
n2
1
F 统计量及分别
任意
n1 p 1 1 ( p, n1 ,1) ~ F ( p, n1 p 1) p ( p, n1 ,1)
任意
任意
2
n1 p 1 ( p, n1 , 2) ~ F (2 p, 2(n1 p )) p ( p, n1 , 2)