鲁棒控制例题复习过程
鲁棒控制大作业
一、鲁棒控制概述鲁棒控制（Robust Control ）的研究始于20 世纪50 年代。
所谓“鲁棒性” ，是指控制系统在一定的参数摄动下，维持某些性能的特性。
根据对性能的不同定义，可以分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。
以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器成为鲁棒控制器。
由于工作情况变动、外部干扰以及建模误差的缘故，实际工业过程的精确模型很难得到，而系统的各种故障也将导致模型的不确定性，因此可以说模型的不确定性在控制系统中广泛存在。
如何设计一个固定的控制器，使具有不确定性的对象满足控制品质，也就是鲁棒控制，成为国内科研人员的研究课题。
鲁棒控制的早期研究，主要针对单变量系统（SISO在微小摄动下的不确定性，具有代表性的是Zames提出的微分灵敏度分析。
然而，实际工业过程中故障导致系统中参数的变化，这种变化是有界扰动而不是无穷小摄动。
因此产生了以讨论参数在有机摄动下系统性能保持和控制为内容的现代鲁棒控制。
现代鲁棒控制是一个着重控制算法可靠性研究的控制器设计方法。
其设计目标是找到在实际环境中为保证安全要求控制系统最小必须满足的要求。
一旦设计好这个控制器，它的参数不能改变而且控制性能能够保证。
主要的鲁棒控制理论有：（1）Kharitonov 区间理论；（2）H控制理论；（3）结构奇异值理论（卩理论）等等。
二、H鲁棒控制理论H 鲁棒控制理论是在H 空间（即Hardy 空间），通过某些性能指标的无穷范数优化而获得具有鲁棒性能的控制器的一种控制理论。
它的基本思想是：当利用研究对象的数学模型G 来设计控制器时由于参数的不确定性与变化性以及人们为了便于设计与计算往往把对象的模型简化使得对象的数学模型G 存在误差G。
H控制的目的为：当存在模型误差G时如何利用名义模型G来设计控制器K,使得K在稳定被控对象的同时使某一目标函数S的H范数最小。
H 控制方法引入输出灵敏度函数作为系统评价的指标，主要考虑了这样的一个设计问题，即要求设计一个控制器，不但使得闭环系统稳定，而且在可能发生“最坏扰动”的情况下，使系统误差在无穷范数意义下达到极小，从而将干扰问题转化为求解闭环系统稳定的问题。
现代控制理论鲁棒控制资料课件
鲁棒优化算法的应用
01
02
03
鲁棒优化算法是一种在不确定环 境下优化系统性能的方法。
鲁棒优化算法的主要思想是在不 确定环境下寻找最优解，使得系 统的性能达到最优，同时保证系 统在不确定因素影响下仍能保持 稳定。
鲁棒优化算法的主要应用领域包 括航空航天、机器人、能源系统 、化工过程等。
05
现代控制理论鲁棒控制实 验及案例分析
现代控制理论鲁棒控制的成就与不足
• 广泛应用在工业、航空航天、医疗等领域
现代控制理论鲁棒控制的成就与不足
01
02
不足
控制系统的复杂度较高，难以设 计和优化
对某些不确定性和干扰的鲁棒性 仍需改进
03
实际应用中可能存在实现难度和 成本问题
04
未来研究方向与挑战
研究方向
深化理论研究，提高鲁棒控制器 的设计和优化能力
线性鲁棒控制实验
线性鲁棒控制的基本原理
01
介绍线性鲁棒控制的概念、模型和控制问题。
线性鲁棒控制实验设计
02 说明如何设计线性鲁棒控制实验，包括系统模型的建
立、鲁棒控制器的设计和实验步骤。
线性鲁棒控制实验结果分析
03
对实验结果进行分析，包括稳定性、性能和鲁棒性能
等。
非线性鲁棒控制实验
非线性鲁棒控制的基本原理
03
线性系统的分析与设计：极点配置、最优控制和最优
估计等。
非线性控制系统
1
非线性系统的基本性质：非线性、不稳定性和复 杂性。
2
非线性系统的状态空间表示：非线性状态方程和 输出方程。
3
非线性系统的分析与设计：反馈线性化、滑模控 制和自适应控制等。
离散控制系统
^^^^^PID控制与鲁棒控制
第七章 PID 控制与鲁棒控制7.1 引言一、PID 控制概述目前，基于PID 控制而发展起来的各类控制策略不下几十种，如经典的Ziegler-Nichols 算法和它的精调算法、预测PID 算法、最优PID 算法、控制PID 算法、增益裕量/相位裕量PID 设计、极点配置PID 算法、鲁棒PID 等。
本节主要介绍PID 控制器的基本工作原理及几个典型设计方法。
1、三种控制规律P 控制: p K G = ()∞↑⇒e K p ↓↓，但稳定性； I 控制: sT G i 1=； D 控制: ，s T G d =； 2、PID 的控制作用 （1） PD 控制:()()()dtt du T K t u K t u dp p 112+=()()()s K K s T K s U s U G D p d p +=+==112 PD 有助于增加系统的稳定性.PD 增加了一个零点Dp K K z -=,提高了系统的阻尼,可改善暂态性能.（2） PI 控制:()()()dt t u T K t u K t u tip p ⎰+=0112()s K K s T K s G I p i p +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11 PI 提高了系统按稳态误差划分的型.（3）PID 控制 ()()()dtt du T K dt t u T K u K t u dp tip p 10112++=⎰()s K dK K s G D Ip ++=7.2 PID 控制器及其参数的调整一、PID 控制概述（Proportion integrate differential ？）1、PID 控制器的工作原理下图为它的控制结构框图，典型PID 为滞后－超前校正装置。
由图可见，PID 控制器是通加对误差信号e(t)进行比例、积分和微分运算，其结果的加权，得到控制器的输出u(t)，该值就是控制对象的控制值。
PID 控制器的数学描述为：()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰dt t de T dt t e T t e K t u d t i p 01)( 式中u(t)为控制输入，e(t)=r(t)-c(t)为误差信号，r(t)为输入量，c(t)为输出量。
鲁棒控制
为求
Tcl Tcl
则ห้องสมุดไป่ตู้虑到
dTcl ：Tcl A dA
（
Tcl Tcl ( A)
）
故 ：
Tcl Tcl
A dTcl A ( ) Tcl dA A
（一个好的系统的灵敏度应足够的小）
从而闭环系统的系统增益的灵敏度的定义为
S
Tol A
A dTcl (1 Kcl A) Kcl (1 Kcl A) (Kcl A)Kcl 1 2 Tcl dA Kcl (1 Kcl A) 1 Kcl A
而在V的作用下（设R=0，W=0）
p( s) K cl La s ( Lp K cl La ) V
用迭加原理，可得
Kcl La 1 p( s) R W V s ( Lp Kcl La ) s ( Lp K cl La ) s ( Lp K cl La ) Kcl La
故闭环系统比开环系统的抗干扰能力提高了100 倍以上。
四、系统增益对参数不确定性的灵敏度
1. 开环系统： L 系统增益即开环增益 Tol (s) Kol Kol A（s=0 Lp 的值） 参数的不确定性可表达为：飞机飞行时由初 始状态A变化为 A A ,这样开环增益则从 Tol 变化 为 Tol Tol
K cl La
1. 结论 a.若在常值扰动作用下，闭环系统的误差比 开环系统小 1 Kcl (L / Lp ) 倍，其中Kcl (L / Lp ) 是s=0时的回路增益
a a
b.若在常值噪声作用下，闭环系统是无法克服 的，并且常值噪声几乎对输出的影响与输入 的影响是相当的
因此：
（1）对传感器来说必须增加信噪比 （2）Hy应设计动态环节来抑制噪声
鲁棒控制理论基础5章
s +1 εs ⇒ T1 − T2Q = (s + 1)(ε s + 1) ε s +1 ⇓
T1 − T2Q
∞
∞
=
εs =ε (s + 1)(ε s + 1) ∞
Fang Hua-Jing , HUST 2011
3
Fang Hua-Jing , HUST 2011
4
ε = 0 . 01
Bode Diagram -40 -45 Magnitude (dB)
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ H ( ρ1 ) ⎤ ⎢ ⎥ M ⎢ ⎥ H = ⎢Re{H ( ρ L +1 )}⎥ ⎢ ⎥ ⎢Im{H ( ρ L +1 )}⎥ ⎢ ⎥ M ⎣ ⎦
[
b1 L bN −1
]
T
EB = H ⇔ b(θ k , HUST 2011
Fang Hua-Jing , HUST 2011
Fang Hua-Jing , HUST 2011
8
三.使用MATLAB求解一般H∞问题 1）hinf
G (s) K (s )
⎡A G ( s ) = ⎢ C1 ⎢ ⎢C2 ⎣ B1 D11 D21 B2 ⎤ D12 ⎥ ⎥ D22 ⎥ ⎦ Fl (G, K ) K c (s )
T T −2 且有 Re λi A + (γ B1 B1 − B2 B2 ) X ∞
{ [
] }< 0 ,
其中
⎡ A∞ K c ( s ) = ⎢ F∞ ⎢ ⎢− C2 ⎣ − Z ∞ L∞ 0 I Z ∞ B2 ⎤ I ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦
∀i
2） Y∞ 是如下代数Riccati方程的解
《鲁棒控制》-5-mu分析与综合方法
《鲁棒控制》课堂笔记
清华大学自动化系 钟宜生
U ∗ ∈ U , U Δ ∈ Δ , ΔU ∈ Δ
σ (U ∗Δ ) = σ ( ΔU ) = σ ( Δ )
DΔ = Δ D
● 对于任意 U ∈ U 和任意 D ∈ D ，成立
μΔ ( MU ) = μΔ (UM ) = μΔ ( M ) = μΔ ( DMD −1 )
证明： det ( I - M Δ ) = det ( I - MD −1 DΔ )
= det ( I - MD −1Δ D ) = det ( I - DMD −1Δ )
det ( I - M Δ ) = det ( I - MUU ∗ Δ )
= det I - ( MU ) (U ∗ Δ )
(
)
m j ×m j
}
∑ r +∑ m
i =1 i j =1
s
F
j
=n
称 Δ 为结构集合。 令 B Δ = {Δ
B D Δ = {Δ
Δ ∈ Δ ,σ ( Δ ) ≤ 1} Δ ∈ Δ ,σ ( Δ ) < 1}
5.2 结构奇异值 μ 及其性质
假设 Δ ( s ) 和 M ( s ) 均是稳定的，则当 σ ( Δ ) 充 分小时，闭环系统是稳定的。 若存在 s ∈ C+ ，使得 det ⎡ ⎣ I − M ( s ) Δ ( s )⎤ ⎦=0 则闭环系统不稳定。 显然，当
∞
β
适定的且内稳定， iff sup μΔ ( G ( jω ) ) ≤ β
ω∈R
《鲁棒控制》课堂笔记
清华大学自动化系 钟宜生
证明：由 μΔ ( G ) 的定义可容易证的。 例：考虑下图示系统的鲁棒稳定性。
鲁棒控制
参数变化； 未建模动态特性； 平衡点的变化； 传感器噪声； 不可预测的干扰输入；
等等，所以我们所建立的对象模型只能是实际物理系 统的不精确的表示。鲁棒系统设计的目标就是要在模 型不精确和存在其他变化因素的条件下，使系统仍能 保持预期的性能。如果模型的变化和模型的不精确不 影响系统的稳定性和其它动态性能，这样的系统我们 称它为鲁棒控制系统。
系统的不确定性
参数不确定性，指可以用被控对象模型的参数摄动来 表示不确定性。如二阶系统：
1 G ( s) 2 , a [a , a ] s as 1
可以代表带阻尼的弹簧装置，RLC电路等。这种不确 定性通常不会改变系统的结构和阶次。 动态不确定性 也称未建模动态 (s)，我们通常并不知道它的结构、
阶次，但可以通过频响实验测出其幅值界限：
( j) W ( j) , R,W ( j)为确定函数
不确定系统模型的类型
如前叙述，对于线性系统，可以用标称系统的传 递函数G 0( s )及未知的传递函数误差 G ( s)的界函数 W ( s ) 来描述具有不确定性的系统集。 几种常用的具有不确定性的系统集合的表达形式：
其中K(s)为控制器，P(s)为摄动函数，w为干扰信号， r为参考输入，u为控制输入，e为控制误差信号，y为 输出信号。系统的开环和闭环频率特性为
P( j ) K ( j ) GK ( j ) P( j ) K ( j ), GB ( j ) 1 P( j ) K ( j ) 如果P(s)具有误差 P(s) P0 (s) P( s) ，那么相应地开环 和闭环频率特性也具有误差 GK ( j ) GK ( j ) GK 0 ( j ) GB ( j ) GB ( j ) GB 0 ( j )
鲁棒控制作业
鲁棒控制作业鲁棒控制作业⼀、设⼀⼯业过程由以下模型表⽰：1k 2,810,461s kP e T Ts ττ-=≤≤≤≤≤≤+ , 试给出系统的乘性不确定描述。
答：乘法不确定性描述：1);()]()(1[≤??+=∞s P s s W P A由于1s k P e Ts τ-=+，因此可以取中间值为标称值，即：51.591so P e s -=+，⽤惯性环节代替延迟环节得标称模型为： 1.5(91)(51)o P s s =++乘法扰动为00()()()()m P jw P jw jw P jw -?=。
权重()()m m jw W jw ?≤，则通过波特图选择出近似的()m W s 源程序如下：>>k=ureal('k',1.5,'Range',[1,3]); >> tao=ureal('tao',5,'Range',[4,6]); >> t=ureal('t',9,'Range',[8,10]); >> G0=tf(k,[t*tao t+tao 1]); >> G1=usample(G0,10);>> bode(G1);grid绘制曲线计算()W s ：乘法不确定函数)(s W 的频率增益线必须覆盖住它所有频率线，选择红⾊曲线对应的函数为()W s ，由上图可以计算得到，所选的Bode 图所对应的开环传递函数为12()10(1)(1)(101)(1)3k kW s T s T s s s ==++++ 有⽐较的程序如下：k=ureal('k',1.5,'Range',[1,2]); tao=ureal('tao',5,'Range',[4,6]); t=ureal('t',9,'Range',[8,10]); G0=tf(k,[t*tao t+tao 1]);G1=usample(G0,20); bode(G1); grid; hold on;W=tf(0.1,[100/3 40/3 1]); bode(W); hold on;W=tf(10/3,[100/3 40/3 1]); bode(W); hold on;W=tf(10,[100/3 40/3 1]); bode(W); hold on;⼀般说来，在对控制性能影响⼤的中低频段内应当尽量使()W s 不过分超过摄动的增益。
鲁棒控制理论第六章
(3210) ..
在上式第二个等式的导出中，应用了等式(6.2.5) 。
L( x, t ): = d V ( x) = x ′[( A + DF (t ) E1 ) ′ P + P( A + DF (t ) E1 )]x dt 1 − 2 x ′P( B + DF (t ) E2 )[( Φ ′Φ + Ξ) B ′P + ΞE 2 E1 ]x ′ 2ε 1 = x ′( A′P + PA − PBΦ ′ΦB ′P − 2 PBΞB ′P − E1′E2 ΞB ′P
目录
7
在本章中，考虑的不确定假定是范数有界的，且具有以 下的形式：
[ ΔA ( t )
ΔB ( t ) ] = DF ( t )[ E1
E 2 ],
(6.1.4)
其中D，E1和E2是具有适当维数的已知常数矩阵，它们反 映了出现在系统模型中的不确定性的结构，F (t ) ∈ R i × j 是 具有Lebesgue可测元的不确定矩阵，且满足
第六章 不确定系统的鲁棒二次镇定
1
第六章 不确定系统的鲁棒二次镇定
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 问题的描述和定义 线性状态反馈控制 不确定时滞系统的鲁棒二次镇定 基于观测器的鲁棒镇定 匹配不确定系统的鲁棒镇定 注记
2
6.1 问题的描述和定义
考虑不确定线性系统
x ( t ) = [ A + ΔA( q ( t ))] x ( t ) + [ B + ΔB ( q ( t ))]u( t ),
2
目录
4
x ( t ) = [ A + ΔA( q ( t ))] x ( t ) + [ B + ΔB ( q ( t ))]u( t ),
ppt11第十一章鲁棒与最优控制
20世纪60年代，出现了现代控制理论，提出了 许多新的控制理论与方法。这些方法在实际控制系 统的设计中并未得到广泛的应用，主要原因是应用 这些方法时忽略了对象的不确定性，并对存在的干 扰信号作出了苛刻的要求。 如LQG设计方法中要求干扰为高斯分布的白噪声， 而在很多实际问题中，干扰的统计特性很难确定； 此外，它还要求对象有精确的数学模型。这样，用 LQG设计的系统，当有模型扰动时，就不能保证系 统的鲁棒性。
G = sup
u ≠0
G
可定义
Gu u
= sup Gu
u =1
由该定义可知，系统的范数实际上是单变量增 益（信号放大倍数）概念在多变量系统中的推广。 有了算子范数的概念，就可以把 L∞ 和 H ∞扩展 为有理函数矩阵空间，相应的实有理函数矩阵空间 仍分别记为 RL∞ 和 RH ∞ 。
11.2 LQR、LQG问题与 H 2 最优控制问题 、 问题与
∫ u ( jω )
∞
+∞
p
dω < +∞
的空间，称 L p 空间。
常用的 L p 空间有
L2
L∞
∫ u ( jω )
∞
+∞
2
dω < +∞
ess sup u ( jω ) < +∞
ω∈R
对于频域信号 u ( jω ) ，常用范数有 2-范数： u ∞-范数： u
2
1 = 2π
∫
+∞
∞
u ( jω )
υ1 (t )
1 Sυ 2
R1 2
u1 (t )
ω1 (t )
u (t )
1 Bω Sω 2
Q x(t )
自动控制原理鲁棒控制知识点总结
自动控制原理鲁棒控制知识点总结自动控制原理是控制工程中的一门基础课程，而鲁棒控制又是自动控制原理中的一个重要部分。
本文将对自动控制原理鲁棒控制的知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、鲁棒控制的定义鲁棒控制是指在系统存在参数不确定性或外部干扰的情况下，仍然能够保持系统的稳定性和性能指标。
与传统的控制方法相比，鲁棒控制更能应对系统变化和不确定性带来的挑战。
二、鲁棒控制的优势和应用领域1. 优势：鲁棒控制可以提高系统的鲁棒性和稳定性，并且能够应对参数变化、外部干扰等实际问题，使系统更加可靠和稳定。
2. 应用领域：鲁棒控制广泛应用于各个领域，包括航空航天、自动驾驶、机器人、工业控制等。
在这些领域中，系统的参数往往是不确定的，因此采用鲁棒控制方法可以有效应对系统的不确定性。
三、鲁棒控制的主要方法和技术1. H∞控制：H∞控制是一种重要的鲁棒控制方法，它通过优化系统的鲁棒性指标H∞范数来设计控制器，以达到系统鲁棒稳定性和性能的要求。
2. μ合成控制：μ合成控制是一种基于频域的鲁棒控制方法，它通过优化系统的鲁棒性指标μ来设计控制器，具有较好的鲁棒性能。
3. 鲁棒自适应控制：鲁棒自适应控制是将鲁棒控制与自适应控制相结合的一种方法，能够在有限的参数误差范围内实现系统的鲁棒性能。
4. H2控制：H2控制是一种基于状态空间的鲁棒控制方法，它通过优化系统的鲁棒性指标H2范数来设计控制器，适用于线性系统的鲁棒控制问题。
5. 鲁棒估计器设计：在鲁棒控制中，为了应对系统参数的不确定性，通常需要设计鲁棒估计器来对系统的不确定参数进行估计和补偿。
四、鲁棒控制的设计步骤1. 系统建模：首先对待控制的对象进行建模，得到系统的数学模型，包括状态空间模型、传递函数模型等。
2. 鲁棒性能要求分析：根据系统的稳定性要求、性能指标要求等，确定鲁棒性能要求。
3. 控制器设计：根据鲁棒性能要求和系统模型，设计鲁棒控制器。
4. 控制器实现与调试：将设计好的控制器实施于系统中，并进行调试和优化，使系统达到预期的性能指标和稳定性要求。
鲁棒控制理论第三章1
输入信号一
考虑任意幅值不大于1的正弦信号
r (t ) ∈ {a sin ωt ∀a ∈ (0,1], ∀ω ∈
+
}
⎫ ⎪ +⎬ ⎪ ⎪ ⎭
由 e (t ) = a s ( jω ) sin (ωt + arg ( s ( jω ))) ˆ 则 sup e (t ) = e
t ∞
⎧ aω ⎪ ˆ r (s) ∈ ⎨ 2 ∀a ∈ (0,1], ∀ω ∈ 2 ⎪s +ω ⎪ ⎩
ˆ ˆ T = 1− S 称为系统的补敏感函数
定理3
ˆ 系统渐近跟踪阶跃和斜坡的能力取决于敏感函数 S 在原点 s=0处的零点数。
定理3 假定反馈系统是内稳定的，且n=d=0
ˆ (1) 对于r1(阶跃)，系统渐近跟踪(t→∞,e(t)→0)，当且仅当 S 至少由一个零点在原点。 ˆ (2) 对于r2(斜坡)，系统渐近跟踪，当且仅当 S 至少由两个 个零点在原点。
ˆ 由于系统是内稳定的，则 S 是一稳定的传递函数。根据终
值定理，
c ˆ e (∞) = lim s S ( s ) = cS (0) s→0 s
ˆ 则 e (∞) = 0 ⇔ s (0) = 0
r2 ( s ) = c s2
ˆ ，即 S 至少有一零点在原点。
(2)
证明类似。
例
ˆ (s) = 1 , P s
例 在图3.2中
s −1 C (s) = , s +1 1 P (s) = 2 , s −1 F =1
检验从r到y的传递函数是稳定的，但从d到y是不稳定的。因 此反馈系统不是内稳定的。
y PC 1 = = 2 r 1 + PCF s + 2 s + 2
鲁棒优化 例题
鲁棒优化例题
摘要：
一、鲁棒优化的概念与背景
1.鲁棒优化的定义
2.鲁棒优化的发展历程
3.鲁棒优化在实际应用中的重要性
二、鲁棒优化的基本方法
1.鲁棒优化问题的特点
2.鲁棒优化问题的解决思路
3.常见的鲁棒优化算法
三、鲁棒优化例题解析
1.例题一：线性二次调节器问题
2.例题二：带有约束条件的非线性规划问题
3.例题三：随机优化问题
四、鲁棒优化在实际应用中的案例分析
1.通信系统中的鲁棒优化问题
2.控制系统中的鲁棒优化问题
3.金融投资中的鲁棒优化问题
五、鲁棒优化的发展趋势与展望
1.鲁棒优化在新兴领域的应用
2.鲁棒优化算法的进一步改进与优化
3.鲁棒优化与其他优化方法的结合
正文：
鲁棒优化是一种在存在不确定性和噪声干扰的情况下进行优化决策的方法，广泛应用于通信、控制、金融等领域。
本文首先介绍了鲁棒优化的概念与背景，然后详细阐述了鲁棒优化的基本方法，接着通过例题解析，深入浅出地讲解了鲁棒优化的求解过程。
鲁棒优化 例题
鲁棒优化例题
【最新版】
目录
1.鲁棒优化的定义与特点
2.鲁棒优化的例子
3.鲁棒优化的实际应用
正文
1.鲁棒优化的定义与特点
鲁棒优化是运筹学中的一种优化方法，主要研究在不确定性因素下，如何寻找一个具有一定稳定性的最优解。
它具有以下特点：
（1）鲁棒优化考虑了不确定性因素，因此其解具有较强的鲁棒性；
（2）鲁棒优化的目标函数和约束条件都可能是不确定的；
（3）鲁棒优化采用一定的方法和技巧，可以在保证解的质量的同时，降低求解的复杂度。
2.鲁棒优化的例子
下面我们通过一个简单的例子来说明鲁棒优化的方法。
假设有一个仓库需要从两个供应商处采购货物，以满足市场需求。
供应商 A 的货物价格为 80 元/件，供应商 B 的货物价格为 100 元/件。
假设市场需求量为 40 件，但是受到运输能力限制，供应商 A 最多只能供应 30 件，供应商 B 最多能供应 20 件。
目标是最小化采购总成本。
在不确定性因素下，供应商 A 的货物价格可能上涨到 100 元/件，供应商 B 的货物价格可能下降到 80 元/件。
鲁棒优化的目标是在考虑价格不确定性的情况下，寻找一个使得采购总成本最小的采购方案。
通过鲁棒优化方法，可以得到在不确定性因素下，
最优采购方案为：从供应商 A 采购 20 件，从供应商 B 采购 20 件，
总成本为 8000 元。
3.鲁棒优化的实际应用
鲁棒优化方法在实际应用中具有广泛的应用前景，例如在供应链管理、生产调度、金融风险管理等领域。
《鲁棒控制》-4-回路成形法
和
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
σ ( PK ( jω )) < W3−1 ( jω ) , ∀ω ∈ Ω3
归纳上述讨论的结论： ● 指令信号跟踪和输出干扰抑制：
σ ( PK ( jω )) > W1 ( jω ) , ∀ω ∈ Ω1
● 加性摄动鲁棒稳定
σ ( K ( jω )) < 1/ W2 ( jω ) , ∀ω ∈ Ω2
cg = [0 1 0 0 0 0; 0 0 0 1 0 0];
dg = [0 0; 0 0];
G=ss(ag,bg,cg,dg);
%% 期望的回路形状 Gd
s=zpk('s'); % Laplace variable s
Gd=8/s; % desired loop shape
%% 最优回路成形控制器 K
或
σ
(
S
1
(
jω
))
>
W1
(
jω
)
,
∀ω ∈ R
● 加性摄动鲁棒稳定问题 考虑具有加性摄定时闭环系统的鲁棒稳定性。
K (s) u
ΔΑ (s) P(s) + y
如果 ΔΑ ( s) ∈ RH∞ ，且
σ (ΔΑ ( jω )) ≤ W2 ( jω ) , ∀ω ∈ R
则闭环系统鲁棒稳定的充要条件为( jω)) ≤ σ (T ( jω))
ω ∈Ω2
( ) = σ PK ( I + PK )−1 ( jω )
( ) ≤
1
σ ( PK )−1 ( jω )
≈ σ ( PK ( jω )),
ω ∈ Ω3
因此，鲁棒稳定的条件可近似为
鲁棒控制理论第一章
60—70年代，控制理论中关于状态空间的结构性理论得 到了突破性的进展
建立了线性系统的能控、能观性理论
提出了反馈镇定的一整套严密的理论和方法
这些理论和方法却依赖于受控对象的精确的数学模型
由于实际的系统往往都是运行在不断变化的环境中，各种 因素(如温度、原料、负荷、设备等)都是随时间变化的， 一般说来，这种变化是无法精确掌握的。 又由于受理论和方法的限制，在实际系统的建模过程中经 常要做—些简化处理，如降阶、时变参数的定常化处理、 非线性方程的线性化等 使得实际系统和我们赖以做分析和设计的数学模型之间存 在一定的差别。
Doyle等人提出可根据范数界限扰动有效地描述模型不
确定性，由此他发展了判别鲁棒稳定性和鲁棒性能的 强有力工具——结构奇异值。
Vidyasagar等人于1982年提出了同时镇定化问题：给
定 r 个被控对象P1，P2 ，…，Pr ，能否找到一个控制 器，镇定所有被控对象。这里，被控对象由多个模型 描述，主要是由故障或非线性系统在多个工作点线性 化造成的。
鲁棒性定义
从某种抽象的意义上来谈鲁棒性本身，而不局限于控制系 统的鲁棒性。 首先，鲁棒性是一种性质，它应该与某种事物相关联。如 控制系统、矩阵等。因而我们通常所说的控制系统的鲁棒 性即是与控制系统相关的某种意义下的抗扰能力。 其次，鲁棒性所言及的对象并不是事物本身，而是事物的 某种性质，如控制系统的稳定性、矩阵的可逆性或正定性 等等。 因而通常的“控制系统的鲁棒性”这种说法并不确切。是 一种很笼统的说法。如若确切地表述，则需指明“某事物 的某种性质”的鲁棒性，如控制系统的稳定性的鲁棒性， 简称控制系统的稳定鲁棒性；控制系统的某种性能的鲁棒 性，简称控制系统的性能鲁棒性。
鲁棒控制理论
H W WT 0
L 1 L
WT 0 , 所以系统鲁棒 。
1, 和先前得到的结果一样
稳定条件
不仅适用于SISO系统, 也适用于MIMO系统。现在讨论MIMO系 统如何定义无穷范数的问题。考虑如下图 所示稳定的MIMO系统
H
1
u
F
y
系统范数是下列范数的诱导范数
u y
2 2
i
下面研究一种特殊的摄动形式——分子-
分母摄动,它依赖于对象传递函数P的分式 表示 N ,若P为有理的,则N和D分别
P D
为分子,分母多项式。分子-分母摄动模型 将摄动表示为
P N0 D0 P N0 M
N
W2
D 0 M DW1
N 0 和 D 0 表示标称系统 分母和分子的不确定性
1, R
考虑一般的摄动模型LL’,相对摄动满足
L ' ( j ) L ( j ) L ( j ) W ( j ) , R
摄动模型可以等价地写为
L L (1 LW ), 其中 L 为任意频率函数 , 且满足
L ( j ) 1, 即 L
可以证明上式是满足相对摄动条件下闭环
系统稳定的充要条件。虽然它是在假设开 环系统稳定的前提下获得,但是可以证明, 当标称开环系统与受摄动开环系统有相同 数目的右半平面极点时,鲁棒稳定条件对 于开环不稳定系统仍然成立。 采用范数概念,上面的鲁棒稳定条件可以 写为
W ( j )T 0 ( j )
鲁棒控制理论
第一篇
第一章
H
控制理论
概述
1.2 鲁棒性的基本概念 鲁棒概念:假定对象的数学模型属于一集合P， 考察反馈系统的某些特性，如内部稳定性，给定一 控制器K，如果集合P中的每一个对象都能保持这种 特性成立，则称该控制器对此特性是鲁棒的。
华中科技大学鲁棒控制理论基础1-2章
• 控制系统在被控对象及工作环境存在不 确定性时闭环系统仍能保持稳定的性能 称为稳定鲁棒 • 在闭环稳定的前提下保持系统的某一性 能指标在一指定的范围之内的能力称为 性能鲁棒
参考书籍：
1. K.M. Zhou, J.C.Doyle and K. Glover, Robust Optimal Control, Prentice Hall, 1996(中译本，周克 敏，鲁棒与最优控制，国防工业出版社，2001) M.Green and D.Limebeer, Lonear Robust Control, Prentice-hall, Inc 1995. J.C.Doyle, B.A.Francis and A.R.Tannenbaum, Feedback control Theory, Macmillan Publishing Company,1992 俞立，鲁棒控制—线性矩阵不等式处理方法，清华 大学出版社，2002
鲁棒控制理论基础
华中科技大学 控制科学与工程系 控制理论研究所
设计控制系统的典型基本步骤
１．建立被控系统的模型并进行简化； ２．分析得到的系统模型，确定其性质； ３．根据对系统性能的要求，确定性能指标的形 式和控制器的类型； ４．选用某一控制理论进行控制器设计； ５．在计算机进行数值仿真或在实验模型上进行 物理仿真； ６．仿真结果不满足要求时重复上述步骤； ７．选择硬件和编制软件实现控制器．
0
系统增益
等数和系统增益之间的关系
离散系统的范数
G sup G(e )
( )
j
n G 1 max g ij (k ) 1i m j 1 k 1
2.3 系统范数的计算
，则有
鲁棒控制例题
2013 年春季学期研究生课程考核（读书报告、研究报告）考核科目:鲁棒控制学生所在院:航天学院（系）学生所在学:控制科学与工程科学生姓名:学号:学生类别:考核结果阅卷人1. 分别构造一个向量（3阶以上），一个矩阵（3维以上），一个向量信号（时域和频域） 一个系统，并且计算课件中介绍过的常用范数。
解：1）构造四阶向量[1,3,4,2]T A =-， 411||||||10ii A a ===∑，2||||A ==， ||||max ||4i A a ∞==。
2） 构造四阶矩阵1234256197431683B ⎡⎤⎢⎥----⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 411||||||||21ijj B a===∑ 41||||||||23ij i B a ∞===∑，2||||17.53B ===。
3） 构造向量信号12()[(),()]u t u t u t =，其中3212,0,0(),()0,00,0t t e t e t u t u t t t --⎧⎧≥≥==⎨⎨<<⎩⎩ 则3311121001||||,||||||max ||13t t t u e dt u u e ∞--∞≥======⎰2221222001||||,||||||max ||12t t t u e dt u u e ∞--∞≥======⎰所以111211115|||||()|||||||||326ni i u u t dt u u ∞===+=+=∑⎰2||||u ====1212||||max{||||,||||}1i u u u ∞∞∞≤≤==4）一个稳定系统的传递函数为10()(1)(10)G s s s =++首先，我们计算()G s 的单位脉冲响应。
通过部分分式展开得到： 1011()()9110G s s s =-++ 所以，单位脉冲响应等于1010(),0()90,0t te e t g t t --⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩由此可得2||||G ==另一方面，222100|()|(1)(100)G j ωωω=++ 是连续函数，在其取最大值的频率上斜率为零。
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2013年春季学期研究生课程考核
（读书报告、研究报告）
考核科目
:鲁棒控制
学生所在院（系）
:航天学院
学生所在学科
:控制科学与工程
学生姓名
:
学号
:
学生类别
:
考核结果
阅卷人
1.分别构造一个向量（3阶以上），一个矩阵（3维以上），一个向量信号（时域和频域）
一个系统，并且计算课件中介绍过的常用范数。
其中， ， ， ， 。设标称模型为刚体模型
并将一阶谐振模
作为乘法不确定性处理。试求不确定性增益的上界（加权函数） 以及控制对象集合的表达式。
解：首先，计算实际控制对象 和标称模型 的相对误差
，由参数的取值范围可以得到：
1）当 时相对误差取得最小值，此时相对误差的Bode图见下图（幅值曲线图中位于下方的曲线）：
2）当 时，相对误差取得最大值，此时相对误差的Bode图见下图（幅值曲线图中位于下方的曲线）：
由图可见，能够覆盖住相对误差曲线的加权函数的上界可以取为
，其Bode图为两幅值曲线图中的上方曲线。
最后，实际控制对象 被包含在
所表示的控制对象集合中。
3.考虑含参数不确定性的控制对象
这里，设标称模型为
并将模型不确定性作为乘法型不确定性
解：
设 的状态为 ， 的状态为 ，并设其输入输出关系分别为
，只需推导 和 之间的关系即可。这里，首先将 代入 和 ，得
得出
把 的表达式代入 ， 和 得到
将这些整理成向量的形式，便得到了所需的结果
进行处理。不确定性越小，则越有可能设计出性能更佳的控制系统。讨论为了使不确定性 频率响应的振幅最小，应该如何选取参数的标称值 。
解：
容易判断出不确定性 在 （即 ）和 （即 ）处取得最值，
，
不确定性 频率响应的振幅最小，即使得 达到最小，由 可以得到，上式取得最小值的参数标称值为 。
4.求传递矩阵
联结时，闭环传递矩阵 的状态空间实现。
解：
1）构造四阶向量 ，
， ， 。
2）构造四阶矩阵 ，
，பைடு நூலகம்。
3）构造向量信号 ，其中
则
所以
4）一个稳定系统的传递函数为
首先，我们计算 的单位脉冲响应。通过部分分式展开得到：
所以，单位脉冲响应等于
由此可得
另一方面，
是连续函数，在其取最大值的频率上斜率为零。 的解为 和 ，由于 ，最终得到
2.考虑一下柔性系统：