浅谈泰勒公式及其应用

论文提要

泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具，它的用途很广泛，本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。即应用泰勒公式求极限，利用泰勒公式证明中值公式，判断函数敛散性，证明不等式，判断函数的极值，求幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值。

浅谈泰勒公式及其应用

摘 要： 本文介绍了泰勒公式及几个常见函数的展开式，针对泰勒公式的应用讨论了八个问题.即应用泰勒公式求极限，利用泰勒公式证明中值公式，判断函数敛散性，证明不等式，判断函数的极值，求幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值.

关键词：泰勒公式

泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演算，其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用，所以，本文会以大量的例题进行讲解说明.

1 预备知识

定义 1.1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()()n n f x T x T x ==+

()0n

o x x +,即

()()()()()()()()()().!

!20002

00000n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-+⋯+-''+

-'+=为⑴式.

⑴式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，()()()x T x f x R n n -=称为泰勒公式的余项，形如()n

x x o 0-的余项称为佩亚诺型余项.所以⑴式又称为带有佩亚诺余项的泰勒公

式.

当00=x 时，得到泰勒公式：

()()()()()()()

n n x o n f x f x f f x f ++⋯+''+'+=!

0!20002.

它也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式.

定义1.2 若函数f 在[]b a ,上存在直至n 阶的连续导函数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的x ，[]b a x ,0∈,至少存在一点()b a ,∈ξ,使得

()()()()()()()()()()

()()()1

001002

00000!

1!

!2++-++-+⋯+-''+

-'+=n n n n x x n x f

x x n x f x x x f x x x f x f x f 为⑵式.

⑵式同样称为泰勒公式，它的余项为

()()()()()()()()1001!

1++-+=

-=n n n n x x n x f x T x f x R ， ()00x x x -+=θξ ()10<<θ，称为拉格朗日型余项.所以⑵式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.

当00=x 时，得到泰勒公式

()()()()()()()()()1

12!1!

0!2000+++++⋯+''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ.

它也称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式. 常见函数的展开式：

⑴()

n x

x x

x o n n x e ++⋯+++=!

!221； ⑵()()m m m x o m x x x x x 2121

53)!

12(1!5!3sin +--+⋯++-=--；

⑶()(

)

12242)!

2(1!4!21cos ++-+⋯++-=m m m x o m x

x x x ；

⑷()()()

n n

n x o n

x x x x x +-+⋯++-=+-1321321ln ; ⑸()()()

n n

a

x o x n n a a a a a ax

x ++-⋯-+⋯+++=+!

)1()1(!2111； ⑹

()

n n x o x x x x

++⋯+++=-2111

.

2.泰勒公式的应用

2.1利用泰勒公式求极限

为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数极限转化为类似多项式有理式的极限，就能简捷地求出.

例2.1 求 0

lim

→x x

x x x 3

sin )

cos (sin -. 证 设()()x x f sin =, ()x x g cos =用泰勒公式在0=x 处展开 它们的导数是有规律的分别按x cos ,x sin -,x cos -,x sin 和

x sin -,x cos -,x sin , x cos 循环.

f 在0=x 处的1,2,……阶导数分别为1,0,1-,0,1……（循环）；

g 在0=x 处的1,2,……阶导数分别为1,0,1-,0,1……（循环）；

()()⋯⋯-+-+=-+=∑∞

=!5!3!10!0)0(0sin 5

30

x x x i f x f x i i i

()()⋯⋯-+-=-+=∑∞

=!4!21!0)0(0cos 4

20

x x i g x g x i i i

i f ,i g , f ,g 为i 的阶导数

代入所求式中

原式0

lim x →= ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋯⋯+-⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋯⋯+---32353!31!11)!51!41()!31!21(）（x x x x 20231111()()2!3!4!5!lim 111!3!x x x →⎡⎤---+⋯⋯⎢⎥⎣⎦=⎡⎤-+⋯⋯⎢⎥⎣⎦（）

112!3!=

- 13

=

2.2 利用泰勒公式证明中值公式