运筹学第四版·清华大学出版社·运筹学教材组·1绪论
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运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第3章
第2节 改进单纯形法
由此得到新的基
B2 P 1 ,P 4 ,P 2 1 P 4 1 0
主元素
1 B2 E2 B11
0 1 1 2 4 E2 4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 / 2 1 4 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1/ 4 0 1 0 1 / 2 2 1/ 4
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19
第2节 改进单纯形法
而后以第2列的
(1) a22
为主元素，进行变换
(1) 12 (1) 22
a / a (1) 1 / a22 (1) P2 2 (2) (1) (1) am 2 / a22
20
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第2节 改进单纯形法
二 线性规划与目标规划
第 1 章
第2章
第3章 第4章
线性规划与单纯形法 对偶理论与灵敏度分析 运输问题 目标规划
1
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第3章 对偶理论和灵敏度分析
第1节
单纯形法的矩阵描述 第2节 改进单纯形法 第3节 对偶问题的提出 第4节 线性规划的对偶理论 第5节 对偶问题的经济解释——影子价格 第6节 对偶单纯形法 第7节 灵敏度分析 第8节* 参数线性规划
12
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第1节 单纯形法的矩阵描述
单纯形表中的数据
基变量 非基变量 等式右边
XB
系数矩阵
XN B 1N1
1
Xs B 1
1
RHS B 1b CB B b
13
检验数
B B 1 0
1
C N1 C B B N 1 C B B
运筹学第四版·清华大学出版社·运筹学教材组·2.1线性规划PPT课件
约束条件： am1 x1 am2 x2 L L amn xn bm x1 0L L xn 0
简写为：
max Z
n
cjxj
j1
s.t
n
aij x j
j1
bi
i 1,2, , m
x j 0, j 1,2, , n
§2.1 线性规划问题及其数学模型Page 26
x2
2 4
x1
z 4
表示一簇平行n
max z 2x1 4x2
x1 2x2 2
4 x1
16 4x2 12
x1, x2 0
§2.1 线性规划问题及其数学模型Page 21
（3）无界解
max z x1 x2
2x1 x 4
max z 2x1 3x2 max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 8
4
x1
16
4x2 12
x1, x2 0
x1 2x2 x3
8
4
x1
4 x2
x4 16 x5 12
据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%。 因此两个工厂都需处理一部分工业污水。化工厂1处理污水 的成本是1000元/万立方米,化工厂2处理污水的成本是800元 /万立方米。问:在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多 少工业污水，使两个工厂处理工业污水的总费用最小？
§2.1 线性规划问题及其数学模型 Page 11
得到本问题的数学模型为：
min z 1000x1 800x2
简写为：
max Z
n
cjxj
j1
s.t
n
aij x j
j1
bi
i 1,2, , m
x j 0, j 1,2, , n
§2.1 线性规划问题及其数学模型Page 26
x2
2 4
x1
z 4
表示一簇平行n
max z 2x1 4x2
x1 2x2 2
4 x1
16 4x2 12
x1, x2 0
§2.1 线性规划问题及其数学模型Page 21
（3）无界解
max z x1 x2
2x1 x 4
max z 2x1 3x2 max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 8
4
x1
16
4x2 12
x1, x2 0
x1 2x2 x3
8
4
x1
4 x2
x4 16 x5 12
据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%。 因此两个工厂都需处理一部分工业污水。化工厂1处理污水 的成本是1000元/万立方米,化工厂2处理污水的成本是800元 /万立方米。问:在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多 少工业污水，使两个工厂处理工业污水的总费用最小？
§2.1 线性规划问题及其数学模型 Page 11
得到本问题的数学模型为：
min z 1000x1 800x2
运筹学(一)
第三节
单纯形法原理
一、线性规划问题的解
可行解：满足约束条件的解称为可行解，可行解的集合称
a m 1 x1
a
m
2
x2
amnxn (,)bm
x1, x2 , , xn 0
n : 变 量 个 数 ; m:约 束 行 数 ;
n:变量个数 m：约束个数 cj:价值系数 bi:资源拥有量 aij :工艺系数
n m :线性规划问题的规模
c j : 价 值 系 数 ; b j : 右 端 项 ; aij : 技 术 系 数
2x1 x2 x3 x3 x4 9
st.34xx11
x2 2x3 2x3 x5 2x2 3x3 3x3 6
4
x1, x2, x3, x3, x4, x5 0
第二节
图解法
一、图解法的步骤
1.画出直角平面坐标系； 2.图示约束条件，找出可行域； 3.图示目标函数； 4.最优解的确定。
x2 2x2
2x3 3x3
4 6
x1 0, x2 0, x3取值无约束
解： z令 z,x1x1,x3x3 x3 ,其x中 3 ， x3 0， 同时引入x4松 和弛 剩变 余 x5,标 量 变准 量形式
m z x a 1 2 x 2 x 3 x 3 3 x 3 0 x 4 0 x 5
1940年，英国军事部门成立了第一个由一些数学家、物理学家 和工程专家等组成的OR小组，负责研究一些武器有效使用的问题。
1942年，美国也成立了由17人组成的OR小组，研究反潜艇策 略等问题。
（3）二战后：推广与发展
战时从事运筹学研究的许多专家转到了经济部门、民用企业、大 学或研究所，继续从事决策的数量方法的研究，运筹学作为一门学 科逐步形成并得以迅速发展。运筹学发展到今天，已成为分支学科 众多的一个繁荣昌盛的大家族。随着电子计算机的发展和使用，运 筹学处理复杂性问题的能力大大加强，成为解决实际问题的有力工 具，广泛地应用于企业管理、交通运输、公共服务等领域。
运筹学第四版·清华大学出版社·运筹学教材组·单纯形法分析PPT文档共45页
运筹学第四版·清华大学出版 社·运筹学教材组·单纯形法
分析
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温
42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚
43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊
44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富ห้องสมุดไป่ตู้勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
分析
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温
42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚
43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊
44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富ห้องสมุดไป่ตู้勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
清华大学运筹学完整版
物流管理
物流企业需要对运输途中的物资进行暂存和保管，通过合 理的存储规划和管理，可以提高物流效率和客户满意度。
生产管理
在生产过程中，原材料、半成品和产成品的库存管理对于 生产计划的执行至关重要。运用存储论的方法可以帮助企 业制定合理的库存策略，确保生产的顺利进行。
31
07 排队论
2024/1/25
最优解
目标函数在可行域上的最大值或最小值点。
9
单纯形法
初始基可行解
单纯形法从一个基可行解开始迭 代，该解满足所有约束条件并且 目标函数值有限。
迭代过程
通过不断更换基变量和非基变量 ，使得目标函数值不断改善，直 到达到最优解。
终止条件
当所有非基变量的检验数均小于 等于零时，单纯形法终止，当前 基可行解即为最优解。
在金融领域，线性规划可用于优化投 资组合，以最小化风险或最大化收益 。
11
03 整数规划
2024/1/25
12
整数规划问题的数学模型
整数规划问题的定义
整数规划是一类要求部分或全部决策变量为整数的数学规划问题。
整数规划问题的数学模型
通常包括目标函数、约束条件和整数约束三部分。目标函数是决策变量的线性或非线性函数，约束条件限制决策 变量的取值范围，整数约束则要求部分或全部决策变量取整数值。
特点
运筹学具有多学科交叉性，涉及数学、计算机科学、经济学等多个领域。它强调 建立数学模型，运用数学方法进行分析和求解，以得出最优决策方案。
2024/1/25
5
运筹学的应用领域
工业工程
在生产计划、物流管理、质量控制等 方面，运筹学可以帮助企业提高生产 效率、降低成本。
交通运输
在交通规划、路径选择、航班调度等 方面，运筹学可以优化交通网络，提 高运输效率。
物流企业需要对运输途中的物资进行暂存和保管，通过合 理的存储规划和管理，可以提高物流效率和客户满意度。
生产管理
在生产过程中，原材料、半成品和产成品的库存管理对于 生产计划的执行至关重要。运用存储论的方法可以帮助企 业制定合理的库存策略，确保生产的顺利进行。
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07 排队论
2024/1/25
最优解
目标函数在可行域上的最大值或最小值点。
9
单纯形法
初始基可行解
单纯形法从一个基可行解开始迭 代，该解满足所有约束条件并且 目标函数值有限。
迭代过程
通过不断更换基变量和非基变量 ，使得目标函数值不断改善，直 到达到最优解。
终止条件
当所有非基变量的检验数均小于 等于零时，单纯形法终止，当前 基可行解即为最优解。
在金融领域，线性规划可用于优化投 资组合，以最小化风险或最大化收益 。
11
03 整数规划
2024/1/25
12
整数规划问题的数学模型
整数规划问题的定义
整数规划是一类要求部分或全部决策变量为整数的数学规划问题。
整数规划问题的数学模型
通常包括目标函数、约束条件和整数约束三部分。目标函数是决策变量的线性或非线性函数，约束条件限制决策 变量的取值范围，整数约束则要求部分或全部决策变量取整数值。
特点
运筹学具有多学科交叉性，涉及数学、计算机科学、经济学等多个领域。它强调 建立数学模型，运用数学方法进行分析和求解，以得出最优决策方案。
2024/1/25
5
运筹学的应用领域
工业工程
在生产计划、物流管理、质量控制等 方面，运筹学可以帮助企业提高生产 效率、降低成本。
交通运输
在交通规划、路径选择、航班调度等 方面，运筹学可以优化交通网络，提 高运输效率。
运筹学第4版本科版
1.1运筹学的简史
线性规划是由丹捷格(G.B.Dantzig)在1947年发表的 成果。所解决的问题是美国制定空军军事规划时提 出的，并提出了求解线性规划问题的单纯形法。
而早在1939年苏联学者康托洛维奇 (Л.В.Канторович)在解决工业生产组织和计划问 题时，已提出了类似线性规划的模型，并给出了 “解乘数法”的求解方法。由于当时未被领导重视， 直到1960年康托洛维奇再次发表了《最佳资源利用 的经济计算》一书后，才受到国内外的一致重视。 为此康托洛维奇得到了诺贝尔奖。
(1) 提出和形成问题。即要弄清问题的目标，可能的约束，问题的可控变量 以及有关参数，搜集有关资料；
(2) 建立模型。即把问题中可控变量、参数和目标与约束之间的关系用一 定的模型表示出来；
(3) 求解。用各种手段(主要是数学方法，也可用其他方法)将模型求解。解 可以是最优解、次优解、满意解。复杂模型的求解需用计算机，解的精度 要求可由决策者提出；
19
举例：问题的提出
例 2 靠近某河流有两个化工厂 (见图1-1)，流经第一化工厂的河 流流量为每天500万立方米，在
两个工厂之间有一条流量为每天
200万立方米的支流。
图1-1
化工厂1每天排放含有某种有害物质的工业污水2万立方米，化工厂2每天 排放的工业污水为1.4万立方米。从化工厂1排出的污水流到化工厂2前， 有20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于 0.2%。因此两个工厂都需处理一部分工业污水。化工厂1处理污水的成本 是1000元/万立方米,化工厂2处理污水的成本是800元/万立方米。问:
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25
解的概念变化
相应的一些概念和方法都应有所变化，如将过分理想 化的“最优解”换成“满意解”。过去把求得的“解 ”看作精确的、不能变的凝固的东西，而现在要以“ 易变性”的理念看待所得的“解”以适应系统的不断 变化 。
运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第1章 绪论
8
.
模型的一般数学形式可用下列表达式描述：
❖ 目标的评价准则 U=f(xi,yj,ξk)
❖ 约束条件
g(xi,yj,ξk)≥0
❖ 其中：xi——可控变量；
yj——已知参数；
ζk——随机因素。
9
.
第5节 运筹学的应用
❖ (1) 市场销售 ❖ (2) 生产计划 ❖ (3) 库存管理 ❖ (4) 运输问题 ❖ (5) 财政和会计 ❖ (6) 人事管理 ❖ (7) 设备维修、更新和可靠性、项目选择和评价
一、绪论
第1节 运筹学的简史 第2节 运筹学的性质和特点 第3节 运筹学的工作步骤 第4节 运筹学的模型 第5节 运筹学的应用 第6节 运筹学的展望
1
.
第1节 运筹学的简史
❖ 运筹学作为科学名字出现在20世纪30年代末。 ❖ 第二次世界大战后，20世纪发展概况。 ❖ 在20世纪50年代中期钱学森、许国志等教授将运筹学由西
方引入我国，并结合我国的特点在国内推广应用。在此期 间以华罗庚教授为首的一大批数学家加入到运筹学的研究 队伍，使运筹数学的很多分支很快跟上当时的国际水平
❖ 1959年，运筹学部门在中国科学院数学研究所成立，力学 所小组与数学所的小组于1960年合并成为数学研究所的一 个研究室，当时的主要研究方向为排队论、非线性规划和 图论，还有人专门研究运输理论、动态规划和经济分析 （例如投入产出方法）。在当时这些先遣者中，越民义先 生、刘源张院士、朱永津教授、桂湘云教授、陈锡康教授、 徐光煇教授、韩继业教授、李秉全教授、郭绍僖教授等。
❖ (5) 宽容原则。解决问题的思路要宽，方法要多，而 不是局限于某种特定的方法。
❖ (6) 平衡原则。要考虑各种矛盾的平衡，关系的平衡。
.
模型的一般数学形式可用下列表达式描述：
❖ 目标的评价准则 U=f(xi,yj,ξk)
❖ 约束条件
g(xi,yj,ξk)≥0
❖ 其中：xi——可控变量；
yj——已知参数；
ζk——随机因素。
9
.
第5节 运筹学的应用
❖ (1) 市场销售 ❖ (2) 生产计划 ❖ (3) 库存管理 ❖ (4) 运输问题 ❖ (5) 财政和会计 ❖ (6) 人事管理 ❖ (7) 设备维修、更新和可靠性、项目选择和评价
一、绪论
第1节 运筹学的简史 第2节 运筹学的性质和特点 第3节 运筹学的工作步骤 第4节 运筹学的模型 第5节 运筹学的应用 第6节 运筹学的展望
1
.
第1节 运筹学的简史
❖ 运筹学作为科学名字出现在20世纪30年代末。 ❖ 第二次世界大战后，20世纪发展概况。 ❖ 在20世纪50年代中期钱学森、许国志等教授将运筹学由西
方引入我国，并结合我国的特点在国内推广应用。在此期 间以华罗庚教授为首的一大批数学家加入到运筹学的研究 队伍，使运筹数学的很多分支很快跟上当时的国际水平
❖ 1959年，运筹学部门在中国科学院数学研究所成立，力学 所小组与数学所的小组于1960年合并成为数学研究所的一 个研究室，当时的主要研究方向为排队论、非线性规划和 图论，还有人专门研究运输理论、动态规划和经济分析 （例如投入产出方法）。在当时这些先遣者中，越民义先 生、刘源张院士、朱永津教授、桂湘云教授、陈锡康教授、 徐光煇教授、韩继业教授、李秉全教授、郭绍僖教授等。
❖ (5) 宽容原则。解决问题的思路要宽，方法要多，而 不是局限于某种特定的方法。
❖ (6) 平衡原则。要考虑各种矛盾的平衡，关系的平衡。
运筹学第四版·清华大学出版社·运筹学教材组·1绪论
• 4、决策论：研究决策者如何有效进行决策的理论 与方法，根据信息和评价标准用数量方法寻找或 选取最优决策方案的科学。
运筹学的学科地位
运筹学
基础理论
应用理论
应用技术
1 在数学学科中的地位 1 在系统科学中的地位 1 在管理科学中的地位 1 与经济学的关系 1 与工程科学的关系 1 与计算机科学的关系
二运筹学的性质和特点专业文档?引入数学方法解决实际问题定性与定量方法结合?系统与整体性从全局考察问题?应用性源于实践为了实践服务于实践?交叉学科涉及经济管理数学工程和系统等多学科?开放性不断产生新的问题和学科分支?多分支问题的复杂和多样性22运筹学的特点二运筹学的性质和特点专业文档线性规划数学规划非线性规划整数规划动态规划运筹学多目标规划双层规划组合优化最优计数问题图论与网络优化排序问题统筹图随机优化对策论排队论库存论决策论可靠性分析三运筹学的内容系统仿真专业文档1排队论
1942年美国和加拿大也都相继成立运筹学小组。这些小组 在确定扩建舰队规模、开展反潜艇战侦察和组织有效对敌轰 炸等方面作了大量研究，为取得反法西斯战争的胜利及运筹 学有关分支的建立作出了贡献。
典型战例
不列颠之战
1941年，希特勒为了实施在英伦三岛登陆的计划，命 令德国空军轮番对英国进行狂轰滥炸。当时英国皇家空军 以一比七的数量劣势迎战，为此需要尽可能地保持飞机处 于飞行状态。于是，空军司令部规定保持70%的飞机在天上 巡逻。但是，英军很快发现要保持这么高的飞行比例有困 难，因为飞机的被击落的、有需要维修的，飞行员也有伤 亡。这一决策的后果是在空中飞行的飞机数量越来越少。
四 运筹学的应用
6.人事管理: 对人员的需求和使用的预测，确定 人员编制、人员合理分配，建立人才评价体系等; 7.财务和会计: 预测、贷款、成本分析、定价、 证券管理、现金管理等;
运筹学的学科地位
运筹学
基础理论
应用理论
应用技术
1 在数学学科中的地位 1 在系统科学中的地位 1 在管理科学中的地位 1 与经济学的关系 1 与工程科学的关系 1 与计算机科学的关系
二运筹学的性质和特点专业文档?引入数学方法解决实际问题定性与定量方法结合?系统与整体性从全局考察问题?应用性源于实践为了实践服务于实践?交叉学科涉及经济管理数学工程和系统等多学科?开放性不断产生新的问题和学科分支?多分支问题的复杂和多样性22运筹学的特点二运筹学的性质和特点专业文档线性规划数学规划非线性规划整数规划动态规划运筹学多目标规划双层规划组合优化最优计数问题图论与网络优化排序问题统筹图随机优化对策论排队论库存论决策论可靠性分析三运筹学的内容系统仿真专业文档1排队论
1942年美国和加拿大也都相继成立运筹学小组。这些小组 在确定扩建舰队规模、开展反潜艇战侦察和组织有效对敌轰 炸等方面作了大量研究，为取得反法西斯战争的胜利及运筹 学有关分支的建立作出了贡献。
典型战例
不列颠之战
1941年，希特勒为了实施在英伦三岛登陆的计划，命 令德国空军轮番对英国进行狂轰滥炸。当时英国皇家空军 以一比七的数量劣势迎战，为此需要尽可能地保持飞机处 于飞行状态。于是，空军司令部规定保持70%的飞机在天上 巡逻。但是，英军很快发现要保持这么高的飞行比例有困 难，因为飞机的被击落的、有需要维修的，飞行员也有伤 亡。这一决策的后果是在空中飞行的飞机数量越来越少。
四 运筹学的应用
6.人事管理: 对人员的需求和使用的预测，确定 人员编制、人员合理分配，建立人才评价体系等; 7.财务和会计: 预测、贷款、成本分析、定价、 证券管理、现金管理等;
《运筹学》教学大纲
《运筹学》教学大纲一、基本信息课程代码：2060241课程学分：3面向专业：物流管理课程性质：院级必修课开课院系：商学院物流管理系使用教材：教材《运筹学教程（第5版），胡运权，清华大学出版社，2018年》参考书目《运筹学习题集（第5版），胡运权，清华大学出版社，2019年》《管理运筹学（第2版），茹少峰，北京交通大学出版社，2017年》《运筹学（第3版），熊伟，机械工业出版社，2016年》《线性代数（第6版），同济大学数学系，高教出版社，2014年》《运筹学（第4版），运筹学教材组编写，清华大学出版社，2012年》先修课程：《高等数学（1）2100012（5）；高等数学（2）2100014（4）》二、课程简介运筹学是软科学中“硬度”较大的一门学科，兼有逻辑的数学和数学的逻辑的性质，是系统工程学和现代管理科学中的一种基础理论和不可缺少的方法、手段和工具；它是抽象的数学理论和丰富多彩的实践相结合的“桥梁”；它为学生未来从事生产社会实践和应用科学研究的工作人员提供了完整的数学方法和广阔的应用领域。
通过课程学习，培养学生的逻辑思维能力、定量分析能力，使学生系统掌握运筹学的基本理论与方法，能够针对实际问题运用所学的知识建立运筹学的数学模型，并能够求解常用的运筹学数学模型，进而给出可行性解决方案。
同时，引导学生运用运筹学方法分析和解决在生产社会实践、企业运作管理以及规划等过程中面临的问题，启发学生将运筹学的理论方法与各自的专业知识结合起来，也为进一步学习其他专业课程提供必要的基础。
三、选课建议学习该课程前学生应该具有一定的高等数学及线性代数基础，同时对管理和经济学知识有所了解。
本课程适合商学院经管类专业，建议学生在第四至第七学期期间安排开设。
四、课程与专业毕业要求的关联性六、课程内容（一）第1单元绪论1.教学内容：1.1运筹学释义与发展简史1.2运筹学研究的基本特征与基方法1.3运筹学主要分支简介1.4运筹学与管理科学1.5运筹学算法与应用软件简介2.知识要求：2.1理论课时2①理解运筹学研究的基本特征。
清华大学胡运权运筹学
cx°-cx* >0;
V是maxZ = C*X的S优解, 故 /
C*X*-C'X°>0;
Jr
(C*-C)(X*-X°)
= C(X°-X*) + C*(X*-X°)>0
page 25 7 April 2015
25
School of Management
第一章习题解答
1.11考虑线性规划问题
□
minZ =叫 +2JC2 + — 4X4
□
行域的每个顶点依次使目标函数达到最优。 鲤. 锒剎曷錄里姉取妾加下.
c广
cd
0
0
基b Xi x2
x3
d
x2 3/ 0 1
5/14
2
X4 j
-3/4
c
page 14
7 April 2 ns
Xi 1 1 0
Qi—'0
0
-2/14 ^W35
-
3/14d- i
第一章习题解答
□ □
当c/d在3/10到5/2之间时最优解为图中 的A 点；当c/d大于5/2且c大于等于0时最优解 为图中 的B点；当c/d小于3/10且d大于0时最优 解为图中
Bi. ■
规划问题的 maxZ = C1 X (AX =b
□
最优解, 证明[在x >0这两点连线
■
上的所有点也是 对于任何0 < a < 1, 两点连线」:的点¥满足:
X =aX⑴+(l-a)JT2)也是可行解, 且
CTX = CTaXG) +Cf\l-a)X(2y
=CTaXay -aCrX(2} +CrX
School of Management
清华大学运筹学完整 ppt课件
xj为非基变,量j 1,,n
n
xni bi aijxj j1
代入目标函数
清华大学运筹学完整
25
则
n
m
n
z c j x j c n i ( b i a ij x j )
j1
i1
j1
m
n
m
c n i b i ( c j c n i a ij ) x j
i1
j1
i1
n
Z 0 ( c j z j ) x j j1
a11 a12 a1n
A a21
a22
a2n
am1 am2 amn
为系数矩阵
清华大学运筹学完整
13
2、标准型的化法 (1)min→max ∵ min z = cx = -max(-z) ∴ max(-z) = -min z = -cx 令z’ = -z 则max z’ = -cx
(2)不等式(≤，≥) 对于“≤”情况：在“≤”左边加上一个松弛变量（非
xx1x2xntcc1c2cnbb1b2bmt为系数矩阵212222111211????????????????????mnmmnnaaaaaaaaaa清华大学运筹学完整1422标准型的化法11minmaxminzzcxmaxzmaxzminzzcx令zzz则maxzcx22不等式对于情况
第一章 线性规划与单纯形法
负），变为等式； 对于“≥”情况：在“≥”左边减去一个剩余变量（非
负），变为等式。 注意：松弛变量、剩余变量在目标函数中的价值系数为0。
(3)无约束变量 令xk = xk’ - xk”，xk’,xk” ≥ 0，代入即可。
清华大学运筹学完整
14
[eg.7]将下述问题化为标准型
n
xni bi aijxj j1
代入目标函数
清华大学运筹学完整
25
则
n
m
n
z c j x j c n i ( b i a ij x j )
j1
i1
j1
m
n
m
c n i b i ( c j c n i a ij ) x j
i1
j1
i1
n
Z 0 ( c j z j ) x j j1
a11 a12 a1n
A a21
a22
a2n
am1 am2 amn
为系数矩阵
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13
2、标准型的化法 (1)min→max ∵ min z = cx = -max(-z) ∴ max(-z) = -min z = -cx 令z’ = -z 则max z’ = -cx
(2)不等式(≤，≥) 对于“≤”情况：在“≤”左边加上一个松弛变量（非
xx1x2xntcc1c2cnbb1b2bmt为系数矩阵212222111211????????????????????mnmmnnaaaaaaaaaa清华大学运筹学完整1422标准型的化法11minmaxminzzcxmaxzmaxzminzzcx令zzz则maxzcx22不等式对于情况
第一章 线性规划与单纯形法
负），变为等式； 对于“≥”情况：在“≥”左边减去一个剩余变量（非
负），变为等式。 注意：松弛变量、剩余变量在目标函数中的价值系数为0。
(3)无约束变量 令xk = xk’ - xk”，xk’,xk” ≥ 0，代入即可。
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14
[eg.7]将下述问题化为标准型
管理运筹学(第四版)PPT全套课件
我国古代有很多关于运筹学思想方法的典故。
➢ 齐王赛马
➢ 丁渭修皇宫
➢ 沈括运军粮
第一章
绪论
运筹学的产生和发展
运筹学作为一门新兴的学科是在第二次世界大战期
间才出现的。
第一章
绪论
运筹学的产生和发展
英美成立了“运作研究”（Operation Research）
小组，解决了许多复杂的战略和战术问题。
➢ 有效保护从美国到英国的商船补给运输线；
2
2
B
无限制
1
3
总资源需求
（A+B）需求≥350吨
时间限制（小时）
600
试问在满足生产需要的前提下，在公司加工能力的范围
内，如何购买 A，B 两种原料，使得购进成本最低？
§2
图解法
建立模型：
目标函数：min = 21 + 32
约束条件：1 + 2 ≥350
1 ≥ 125
2x1 + 2 ≤ 600
集团CRHG
惠普
戴尔Dell
效果
收入2-4%年增长率，增加1600
万美元
商业转型中的决策分析
2002-2012年电子商务业务翻3番
价值链渠道转型
系统解决方案和服务占收入1/3和
利润的50%
§3
运筹学在工商管理中的应用
组织
配对捐赠联盟
美国能源局
应用
优化匹配
拯救了220个生命
水力发电量优化
根据风电和太阳能电源数量调整
0
1
50
100
250kg
目标函数：max z = 50 + 100
约束条件： + ≤ 300
➢ 齐王赛马
➢ 丁渭修皇宫
➢ 沈括运军粮
第一章
绪论
运筹学的产生和发展
运筹学作为一门新兴的学科是在第二次世界大战期
间才出现的。
第一章
绪论
运筹学的产生和发展
英美成立了“运作研究”（Operation Research）
小组，解决了许多复杂的战略和战术问题。
➢ 有效保护从美国到英国的商船补给运输线；
2
2
B
无限制
1
3
总资源需求
（A+B）需求≥350吨
时间限制（小时）
600
试问在满足生产需要的前提下，在公司加工能力的范围
内，如何购买 A，B 两种原料，使得购进成本最低？
§2
图解法
建立模型：
目标函数：min = 21 + 32
约束条件：1 + 2 ≥350
1 ≥ 125
2x1 + 2 ≤ 600
集团CRHG
惠普
戴尔Dell
效果
收入2-4%年增长率，增加1600
万美元
商业转型中的决策分析
2002-2012年电子商务业务翻3番
价值链渠道转型
系统解决方案和服务占收入1/3和
利润的50%
§3
运筹学在工商管理中的应用
组织
配对捐赠联盟
美国能源局
应用
优化匹配
拯救了220个生命
水力发电量优化
根据风电和太阳能电源数量调整
0
1
50
100
250kg
目标函数：max z = 50 + 100
约束条件： + ≤ 300
运筹学第四版·清华大学出版社·运筹学教材组·1绪论共43页
运筹学第四版·清华大学出版社·运筹学教 材组·1绪论
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第章
27
清华大学出版社
2.1.4 线性规划问题的解概念
❖ 1.可行解 ❖ 2.基 ❖ 3.基可行解 ❖ 4.可行基
28
清华大学出版社
2.1.4 线性规划问题的解的概 念
1. 可行解
❖ 定义
满足约束条件(1-5)、(1-6)式的解X=(x1,x2，…，xn)T， 称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到最 大值的可行解称为最优解。
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清华大学出版社
2.1.3 线性规划问题的标准型式
线性规划问题的几种表示形式
用向量形式表示的标准形式线性规划
M
'' 1
:目标函数：max
z
CX
n
约束条件： j1 Pj x j
b
x
j
0,
j 1,2,,n
C c1 ,c2 ,,cn ;
x1
a1 j
b1 Xx2 ; NhomakorabeaPj
a2
j
若约束条件为“≤”型不等式，则可在不等式左端加入非负松弛变 量，把原“≤”型不等式变为等式约束； 若约束条件为“≥”型不等式，则可在不等式左端减去一个非负剩 余变量(也称松弛变量)，把不等式约束条件变为等式约束。 (3) 若存在取值无约束的变量xk,可令
xk xk' xk" xk' , xk" 0
2.1.3 线性规划问题的标准型式
M1 : 目标函数：max z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 约束条件：a21x1 a22 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn 0
2024版运筹学第四版清华大学出版社pdf
社2024pdfcontents •绪论•线性规划•整数规划•动态规划•图与网络分析•存储论•排队论目录01绪论运筹学的起源与发展起源运筹学起源于20世纪30年代，最初是应用在军事领域，旨在研究和解决军事策略和资源分配问题。
发展随着计算机技术的飞速发展和数学理论的不断完善，运筹学逐渐从军事领域扩展到经济、管理、工程等各个领域，并形成了完整的学科体系。
运筹学的定义与特点定义运筹学是一门应用数学、计算机科学和经济学等多学科交叉的综合性学科，旨在通过数学建模、优化算法和计算机技术等方法，对复杂系统进行优化决策。
特点运筹学具有多学科交叉性、广泛应用性、理论性与实践性相结合等特点。
它注重定量分析和实证研究，强调优化决策和系统效率。
经济领域运筹学在经济管理、市场预测、投资决策等方面有广泛应用，如生产计划、库存管理、物流运输等。
社会领域运筹学在社会服务、城市规划、医疗卫生等方面也有应用，如交通规划、教育资源分配等。
工程领域运筹学在工程设计、施工计划、质量控制等方面提供优化方法和技术支持。
军事领域运筹学在军事战略制定、作战计划优化、后勤资源分配等方面发挥重要作用。
运筹学的应用领域02线性规划线性规划问题的数学模型目标函数线性规划问题中需要优化的目标，通常表示为决策变量的线性函数。
约束条件限制决策变量取值的条件，通常表示为决策变量的线性不等式或等式。
决策变量线性规划问题中需要确定的未知量，通常表示为向量形式。
可行域满足所有约束条件的决策变量取值范围所构成的区域。
最优解使目标函数达到最优值的决策变量取值点。
目标函数等值线目标函数取不同值时对应的决策变量取值点所连成的曲线。
线性规划问题的图解法满足所有约束条件且基变量取非负值的决策变量取值点。
初始基可行解通过不断更换基变量和非基变量，使目标函数值不断改善的过程。
迭代过程判断当前基可行解是否为最优解的方法，通常通过计算检验数来实现。
最优性检验单纯形法如何合理安排生产计划以最小化成本或最大化利润。
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一 运筹学简史
（2）产生
运筹学作为一门系统的科学，产生的背景为第二 次世界大战。主要用于解决如何在与德军的对抗 中最大限度地杀伤敌人，减少损失。 “运作研究(Operational Research)小组”:解决复杂 的战略和战术问题。例如：
1. 如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭； 2. 对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜艇 攻击时损失最少； 3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深度， 才能增加对德国潜艇的杀伤力等。
典型战例
不列颠之战
究竟保持多大比例的飞机在巡逻才能持久作战呢？OR 小组的专家纷纷研究这个问题，这个问题最后被生物学家 康顿解决了。他根据计算生物平均寿命的方法，运用飞机 飞行时间、维修时间、空战特点和飞机被落击伤状况等数 据，得出的结论是：只要保持 35% 的飞机在飞行状态，就 能使全部飞机的飞行战斗时间最多。这一研究成果为取得 不列颠之战的胜利作出了贡献。
运筹学的学科地位
运筹学
基础理论
应用理论
应用技术
1 1 1 1 1 1
在数学学科中的地位 在系统科学中的地位 在管理科学中的地位 与经济学的关系 与工程科学的关系
运筹数学 系统工程 管理与运筹学 问题与方法 方法与应用 核心算法与工具
与计算机科学的关系
四 运筹学的应用
1.市场营销: 广告预算、媒介选择、定价、产品开 发与销售计划制定等;
1.囚徒困境问题
两个小偷甲和乙联手作案，因私入民宅被警方
抓住但未获证据。警方将两人分别置于两间房间分
开审讯，政策是若一人招供但另一人未招，则招者
立即被释放，未招者判入狱10年；若二人都招，
则两人各判刑8年；若两人都不招，则未获证据但 因私入民宅各拘留1年。
尽管甲不知道乙是否招供，但他认为自己选“招”最好，
因而甲会选择“招”，乙也同样会选择“招”，结果各判8 年；但若两人都不招，结果是每人只被判1年，但在“人是 理性的，即人人都会在约束条件下最大化自身的利益”的 基本假设下，这种结果是不会出现的。 甲和乙是参与博弈的人，称为“局中人”。上表中每 一个小方格内的数字被称为局中 人的支付，其中左边的数
字代表甲的支付，右边的是乙的支付。表上中的双变量矩
如果三个民夫供应一个士兵,单程可进军三十一天，如果要计回程 的话, 只可进军十六天，而三个民夫供应一个士兵,已经到极限 了. 如果要出动十万军队,辎重占去三分之一兵源,还要用三十万 民夫运粮,再要扩大规模很困难了.
如果用牲畜运输,骆驼可以驮三石,马或骡可以驮一 石五斗,驴子可以驮一石.与人工 相比,虽然能驮的多,花费 也少,但如果不能及时放牧或喂食,牲口就会瘦弱而死.一头 牲口死了,只能连它驮的粮食也一同丢弃.所以与人工相比, 实际上是利害相当.
运 筹 学
Operations Research
Chapter1 运筹学概论
运筹学简史 运筹学性质和特点
运筹学的内容
运筹学的应用 运筹学的展望
一 运筹学简史
1、“运筹学”的释义 Operational Research(英)； Operations Research(美) 直译为“运作研究”或“运用研究”，简称OR。 中文名称：运用学→运筹学
一 运筹学简史
（3）发展 英美以兰德公司（ Rand ）为首的部门着重研究战略 性问题，未来的武器系统的设计和其可能合理运用的方 法。为美国空军评价各种轰炸机系统，讨论未来战争的 策略。研究苏联政治局的行动原则和将来的行动预测。 除了在军事应用研究以外，相继在工业、农业、经 济和社会问题等各领域的应用。 （4）成熟期 建立运筹学会：英（1948）美（1952）、法（1956）、 日本和印度（1957）、中（1980）
一 运筹学简史
1938 年 7 月，波得塞（ Bawdsey ）雷达站的负责人罗伊 （A.P.Rowe）提出立即进行整个防空作战系统运行的研究， 并用“Operational Research” 一词作为这方面研究的描述， 这就是O.R. 名词的起源。 1940 年 9 月 英 国 成 立 了 由 物 理 学 家 布 莱 克 特 （ P.M.S. Blackett）领导的第一个运筹学小组，后来发展到每一个英军 指挥部都成立运筹学小组。 1942年美国和加拿大也都相继成立运筹学小组。这些小组 在确定扩建舰队规模、开展反潜艇战侦察和组织有效对敌轰 炸等方面作了大量研究，为取得反法西斯战争的胜利及运筹 学有关分支的建立作出了贡献。
四 运筹学的应用
• 由国际运筹与管理科学协会（ INFORMS ）主持评
奖的负有盛名的弗兰茨〃埃德曼（ Frany Edelman ） 奖，就是为奖励优秀的运筹学在管理中的应用的成 就设立的，该奖每年举行一次，在对大量富有竞争 力的入围者进行艰苦的评审后，一般有六位优胜者 获奖。关于这些获奖项目的文章都在第二年发表在 著名刊物 Interface 的第一期上，下面列表就是发表 在Interface期刊的一些获奖项目。
纳什均衡”首先对亚当· 斯密的“看不见的手”的 原理提出挑战：按照斯密的理论，在市场经济中，
每一个人都从利己的目的出发，而最终全社会达
到利他的效果。但是我们可以从“纳什均衡”中 引出“看不见的手”原理的一个悖论：从利己目 的出发，结果损人不利己，既不利己也不利他。
• 3、库存论（又称存储论）：研究合理经济地进行 物资储备的控制策略的理论。 • 4、决策论：研究决策者如何有效进行决策的理论 与方法，根据信息和评价标准用数量方法寻找或 选取最优决策方案的科学。
利弊分析后的结论是：从敌国就地征粮。这种军事后勤 问题的分析计算是具有现代意义的运筹思想的范例.
一 运筹学简史
3、运筹学的发展历程
发 展 成 熟
萌 芽
产 生
二 战 以 前
二 战 期 间
五 六 十 年 代
七 八 十 年 代
一 运筹学简史
（1）萌芽时期 1914 年，英工程师 Lanchester 用微分方程研究作 战双方的兵力使用，提出了军事运筹学中的 Lanchester战斗方程。 1909 年丹麦工程师爱尔朗在哥本哈根电话公司研 究电话交换机的效率开始提出了排队论的一些著名 公式。 1920年Harris提出了库存论的EOQ公式。 1930 年列温逊运用运筹学思想分析商业广告和顾 客心理。
就地征粮,保障前方供应的重要决策.从而
减少了后勤人员个民夫可以背六斗米,士兵自带五天的干粮. 如果一个民夫供应一个士兵,单程只能进军十八天〈六斗米,每人 每天吃二升,二人吃十八天*). 如果两个民夫供应一个士兵,单程可进军二十六天.(两个民夫背一 石二斗米,三个人 每天要吃六升.八天以后,其中一个民夫背的米 已经吃光,给他六天的口粮让他先返回,以后的十八天,二人每天 吃四升米,)
四 运筹学的应用
6.人事管理: 对人员的需求和使用的预测，确定 人员编制、人员合理分配，建立人才评价体系等 ; 7.财务和会计: 预测、贷款、成本分析、定价、 证券管理、现金管理等;
8.设备维修、更新和可靠性，项目选择、评价；
9.工程优化设计与管理：
10. 城市管理：紧急服务系统设计和应用，供水 和污水处理系统的规划等
二 运筹学的性质和特点
2、运筹学的特点 • 引入数学方法解决实际问题 --定性与定量方法结合 • 系统与整体性 --从全局考察问题 • 应用性 --源于实践、为了实践、服务于实践 • 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科 • 开放性 --不断产生新的问题和学科分支 • 多分支 --问题的复杂和多样性
典型战例
盟军封锁直布罗陀海峡（猎潜战例）
1944 年 初 ， 为帮助美国海军 在连接大西洋和 地中海的直布罗 陀海峡封锁过往 的德军潜艇，美 军 OR 小 组 的 约 翰· 佩芝姆博士提 出了一种 “屏障 巡逻”飞行战术。
典型战例
盟军封锁直布罗陀海峡（猎潜战例）
在深水航道的最 窄处划出一个4英里长、 1英里宽的长方形，两 架飞机保持在长方形 两边线的对称位置上， 同时以 115 英里 / 小时 的速度绕长方形飞行。 这样，在长 方形上的每一点，每隔3分钟就有一架飞机巡逻通过。潜 艇通过这个区域时，巡逻的飞机至少有两次机会去发现它。 就这样，在2月24日到3月16日短短三个星期内，一个巡逻 机中队击沉击伤德军潜艇3艘，自己无一伤亡。
约1000年前，开封一场大火，北宋皇城毁于一旦。
宋真宗命晋国公丁渭，主持重建皇城。 丁渭先在皇宫
前的大道上挖土烧砖备料；待把大道挖成深沟后，引 城外汴水使之与汴水连通成为“临时运河”，用船把 其他建筑材料直接运入工地；等到皇宫修复后，将碎 砖石填入河道，修复原来皇宫前的大道。挖街取土，
就地烧砖，渠成引水，运送建材,宫殿完工，渣土回填，
夫运筹帷幄之中，决胜于千里之外，吾不如子房。 ----刘邦《史记•高祖本记》
一 运筹学简史
2、我国古代运筹思想的运用
●田忌赛马
齐威王 上等马 中等马 下等马
田忌 上等马 中等马 下等马
一 运筹学简史
●晋国公重建皇城
晋国公重建皇城的施工方案，体现 了运筹学的朴素思想。要使重建工 程的各个工序,在时间、空间上彼此协调,环环相扣,就需要运用 行列式的相关知识,进行精确计算.
典型战例
不列颠之战
1941 年，希特勒为了实施在英伦三岛登陆的计划，命 令德国空军轮番对英国进行狂轰滥炸。当时英国皇家空军 以一比七的数量劣势迎战，为此需要尽可能地保持飞机处 于飞行状态。于是，空军司令部规定保持 70%的飞机在天上 巡逻。但是，英军很快发现要保持这么高的飞行比例有困 难，因为飞机的被击落的、有需要维修的，飞行员也有伤 亡。这一决策的后果是在空中飞行的飞机数量越来越少。
三 运筹学的内容
数 学 规 划 线性规划 非线性规划 整数规划 动态规划 多目标规划 双层规划 最优计数问题 图论与网络优化 排序问题 统筹图 排队论 对策论 库存论 决策论 可靠性分析 系统仿真