最简二次根式
最简二次根式可以合并的条件
最简二次根式可以合并的条件最简二次根式可以合并的条件是它们的被开方数相同。
换句话说，如果两个最简二次根式的被开方数相同，那么它们就可以合并成一个根式。
例如，√2 和3√2 是可以合并的，因为它们的被开方数都是2。
合并后的根式是(1+3)√2 = 4√2。
但如果两个最简二次根式的被开方数不同，如√2 和√3，那么它们就不能合并。
这是因为它们的被开方数不同，表示它们代表的是不同的数学对象，所以不能合并成一个根式。
以上，是最简二次根式可以合并的条件。
最简二次根式举例
最简二次根式举例
二次根式是一种数学表达式，它由一个二次项和一个常数项组成，可以用来描述一个二次函数的行为。
二次根式的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，x是未知数。
二次根式的最简形式是把二次项的系数a变为1，即ax²+bx+c=0变为
x²+bx+c=0。
例如，2x²+5x+3=0的最简形式是x²+5x+3=0。
二次根式的最简形式有助于我们更好地理解二次函数的行为，并且可以更容易地求解二次根式的根。
例如，x²+5x+3=0的根可以用公式x=-b±√b²-4ac/2a来求解，其中a=1，b=5，c=3，因此x=-5±√25-4×1×3/2×1= -5±√7/2，即x=-
5±√7/2或x=-2.5±√7/2。
二次根式的最简形式也可以用来求解复杂的二次函数。
例如，4x²+7x+3=0的最简形式是x²+7x+3=0，其解为x=-7±√49-4×1×3/2×1= -7±√7/2，即x=-
7±√7/2或x=-3.5±√7/2。
从上面的例子可以看出，二次根式的最简形式可以帮助我们更容易地求解二次根式的根，从而更好地理解二次函数的行为。
数学最简二次根式教案(精选7篇)
数学最简二次根式教案（精选7篇）最简二次根式篇一教学建议1.教材分析本节是在前两节的基础上，从实际运算的客观需要出发，引出的概念，然后通过一组例题介绍了化简二次根式的方法。
本小节内容比较少（求学生了解的概念并掌握化简二次根式的方法），但是本节知识在全章中却起着承上启下的重要枢纽作用，二次根式性质的应用、二次根式的化简以及二次根式的运算都需要来联接。
(1)知识结构(2)重难点分析①本节的重点Ⅰ.概念Ⅰ.利用二次根式的性质把二次根式化简为。
重点分析本章的主要内容是二次根式的性质和运算，但自始至终围绕着二次根式的化简和运算。
二次根式化简的最终目标就是；而二次根式的运算则是合并同类二次根式，怎样判定同类二次根式，是在化简为的基础上进行的。
因此本节以二次根式的概念和二次根式的性质为基础，内容虽然简单，在本章中却起着穿针引线的作用，教师在教学中应给于极度重视，不可因为内容简单而采取弱化处理；同时初二学生代数成绩的分化一般是由本节开始的，分化的根本原因就是对概念理解不够深刻，遇到相关问题不知怎样操作，具体操作到哪一步。
②本节的难点是化简二次根式的方法与技巧。
难点分析化简二次根式，实际上是二次根式性质的综合运用。
化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开放数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分。
所以对初学者来说，这一过程容易出现符号和计算出错的问题。
熟练掌握化简二次根式的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力。
③重难点的解决办法是对于这一概念，并不要求学生能否背出定义，关键是遇到实际式子能够加以判断。
因此建议在教学过程中对概念本身采取弱化处理，让学生在反复练习中熟悉这个概念；同时教学中应充分对概念理解后应用具体的实例归纳总结出把一个二次根式化为的方法，在观察对比中引导学生总结具体解决问题的方法技巧。
最简二次根式的要求
最简二次根式的要求以最简二次根式的要求为标题，我们来探讨一下什么是最简二次根式以及如何将二次根式化简到最简形式。
在数学中，二次根式是指具有形式√a的表达式，其中a是一个非负实数。
我们知道，二次根式可以用于表示平方根、立方根等根号运算。
而最简二次根式是指在化简过程中，将二次根式化简到最简形式，不含有相同根号下的平方数。
我们来看一个例子：√12。
我们可以将12分解为2的平方乘以3，即12 = 2² × 3。
因此，√12可以写成√(2² × 3)。
根据根号运算的性质，我们可以将根号内的乘法拆分为两个根号的乘法，即√(2² × 3) = √2² × √3。
继续化简，我们得到√2² × √3 = 2√3。
所以，√12的最简二次根式为2√3。
接下来，我们来看一个稍复杂的例子：√80。
我们可以将80分解为16乘以5，即80 = 16 × 5。
因此，√80可以写成√(16 × 5)。
继续化简，根据根号运算的性质，我们得到√(16 × 5) = √16 × √5。
由于16是4的平方，我们可以将√16写成4，即√16 = 4。
所以，√80可以化简为4√5。
因此，4√5就是√80的最简二次根式。
通过以上两个例子，我们可以总结出化简二次根式的一般步骤：首先，将根号内的数分解为两个互质因数的乘积；然后，将根号内的乘法拆分为两个根号的乘法；最后，将含有平方数的根号化简为该平方数。
按照这个步骤，我们可以将任何一个二次根式化简到最简形式。
除了分解因式和运用根号运算的性质外，我们还可以利用有理化的方法来化简二次根式。
有理化是指将含有根号的式子转化为不含根号的式子。
例如，对于√(3/5)，我们可以将它有理化为(√3) / (√5)。
又如，对于√(2 + √3)，我们可以将它有理化为√(2 + √3) × (√(2 - √3)) / (√(2 - √3))。
最简二次根式
在二次根式的运算中，最后结果要求 分母中不含二次根式。
x 2 x y xy（x y）
3 2 2
x 3 2 x 2 y xy 2
x( x 2 xy y )
2 2
x( x y )
2
又 x y, x y 0,原式 （x y） x
当被开方数是多项式时，应先把它因式分解， 再化解。
最简二次根式
3 2 a 观察2 2、 、 等，可以发现这些式子有如下两个特点： 10 a
1被开方数不含分母或小数，即被开方数中
1 因数是整数，因式是整式。如 ，,0.1等不是 5 最简二次根式。
2被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
如 4a 2bc3 , ( x y ) 2 不是最简二次根式。
一、最简二次根式的概念
如果一个二次根式满足以下两个条件，那么这 个二次根式叫做最简二次根式。
1被开方数不含分母或小数，即被开方数中
因数是整数，因式是整式。
2被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
1,4,9等； 能开得尽方的因数指完全平方数，如 能开得尽方的因式指的是含字母的式子， 最简二次根式中被开方 数中的字母次数只能为 1 .
1 1 如： 5 5Biblioteka 1 5 5 55 5
0.1
1 1 10 10 10 10 10 10
17 2
1 17 17 4 4 4 4
提示：当被开方数是小数时，先化为分数， 然后再进行化简；当被开方数是带分数时， 首先要把它化成假分数，然后进行化简。
把分母中的根号化去，是分母变成有理数， 这个过程叫分母有理化。
1 1 x x x x x x
最简二次根式的定义。
最简二次根式的定义。
全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最简二次根式是指根号下面的被开方数为正数，且不能再约简的二次根式。
它是代数学中一个非常重要的概念，常常出现在高中数学的教学内容中。
二次根式在数学中的引入，是为了解决方程x^2=a 中的数a 是不是负数时的问题。
在实数范围内，如果a 大于等于0，那么方程x^2=a 有两个不同的实根；如果a 小于0，那么方程就没有实数根了。
为了能够对所有的实数进行开平方运算，数学家就引入了二次根式的概念。
最简二次根式就是在二次根式中的一种特殊形式，它只包含一个根号和一个不可约的正整数。
也就是说，如果一个二次根式不能再约简，那么它就是最简二次根式。
最简二次根式的一般形式为\sqrt{n} ，其中n 是一个正整数，且n 不含有平方因子，即n 的素因数分解中没有一个数出现了两次及以上。
举例来说，\sqrt{2} 、\sqrt{3} 、\sqrt{5} 都是最简二次根式，因为它们没有共同的公因数，无法再约简；而\sqrt{4} 、\sqrt{6} 、\sqrt{8} 就不是最简二次根式，因为它们的因数中有平方因子。
最简二次根式在数学中的运算和化简中有着很重要的作用。
在代数中，我们常常需要对二次根式进行加减乘除等运算，而如果能够将二次根式化为最简形式，就可以简化运算过程，减少出错的可能性。
最简二次根式的化简规则是：提取出平方因数后，就无法再继续简化了。
对于\sqrt{4m^2} ，我们可以提取出m，得到m\times \sqrt{4} = 2m ，但不能再将其简化。
最简二次根式在数学中的应用非常广泛，不仅在代数中常见，也会在几何、物理等领域中不断出现。
掌握好最简二次根式的定义和化简方法，可以帮助我们更好地理解数学知识，提高解题的速度和准确性。
在学习最简二次根式的过程中，我们还需要注意以下几点：要能够区分最简二次根式和一般的二次根式；要掌握最简二次根式的化简规则；要多做练习，加深对最简二次根式的理解和运用能力。
同类最简二次根式
同类最简二次根式
1.最简二次根式的概念
1）被开方数中各因式的指数都为1；
2）被开方数不含分母.
被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
注意：这里所指的“被开方数中各因式”指的是无法再开方的因式，如xy,a2+b2等因式的指数都是IQ
问题1：判断下列二次根式是不是最简二次根式？
总结：最简二次根式满足下面三个条件：被开方数中的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；分母中不含根号。
问题2：将下列二次根式化成最简二次根式？
总结：把一个二次根式化成最简二次根式。
主要是进行以下两种变形：一是把根号内开得尽平方的因式移到根号外；二是化去根号内的分母。
一个二次根式至多经过上述两步，就能化为最简二次根式。
2.同类二次根式的概念
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
在多项式中，同类项是可以合并的，类似的，同类二次根式也可以合并，它的依据是提取公因式。
注意：(1)判断几个二次根式是不是同类二次根式，应先将每个二次根式进行化简，化成最简二次根式(即被开方数中不含分母，且被开方数中
不含有可开方的因数或因式)以后，再看被开方数是否相同。
(2)若已知几个最简二次根式(或者几个二次根式已经化简)是同类二次根式，我们可以得到如下信息，这几个根式的根指数都是2,这几个根式的被开方数相等，从而列出方程。
(3)若已知两个二次根式是同类二次根式，如Ja和Jb是同类二次根式，则被开方数不一定相等，如J12和J27是同类二次根式，但12≠27,这一点一定要注意。
(4)将一个二次根式化成最简二次根式，要用到积，商的算术平方根的性质.。
最简二次根式
复习提问
1、二次根式的乘法运算法则是什么？用文 字语言怎么表达？对于运算的结果有什么 要求？ （1） a b ab a 0, b 0
（2） 二次根式相乘：被开方数相乘， 根指数不变； （3） 尽量化简。
复习提问
2 、二次根式的除法运算法则是什么？
用文字语言怎么表达？对于运算的结果有 什么要求？ （1）
a a a 0, b 0 b b
（2） 二次根式相除：被开方数相除， 根指数不变；
（3） 尽量化简。
复习
15 12 2 45 3、计算：（1）10 27 （2）
复习
4、已知： 2 1.414 ，如何求 与 8 的近似值？（结果保留两位有效数字）
1 2
最简二次根式的定义
（ ×
5 2 ）（4） 2 9 9 5 （
×）
课堂小结：
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。
（1）被开方数中不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （3）分母中不含根号。
2.如何化二次根式为最简二次根式 .
45a b（ × ）； y × ）； x 3（ x
2
（ 8）
25m 225m （ 1
4 2
×）；
3
（
×）
；
最简二次根式的解读：
满足下列条件的二次根式，叫做最简二 次根式。 （1）被开方数中不含分母； （ 2 ）被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式； （3）分母中不含根号。
例题
例1 把下列各式化成最简二次根式： （1）
练习二
把下列各式化成最简二次根式：
（ 1） 0 . 8 （2）
最简二次根式
思考：下列二次根式能否化简？
那么什么样的二次根式是最简二次根式呢？ 满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1) 被开方数不含分母 (2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 注意:（1）这两个条件前提都是指的是被开方数。 （2）同时满足这两个条件的二次根式才是最简二次根式。
例：下列二次根式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ什么不是最简二次根式？
分析： 又如：
不是最简二次根式，因为被开方数的因数为 分数或因式为分式，不符合条件(1)，条件(1) 要求被开方数的分母中不带根号。
也不是最简二次根式，因为被开方数中含 有能开得尽方的因数或因式，不满足条件 (2).注意条件(2)是对被开方数分解成质因 数或分解成因式后而言的。
小结
（1） 被开方数是小数或带分数 时要换算成真分数或假分数后化 简。 （2）被开方数是多项式的时候 要注意因式分解后化简。
最简二次根式的定义。-概述说明以及解释
最简二次根式的定义。
-概述说明以及解释1.引言1.1 概述最简二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数与数论的研究中有着广泛的应用。
简单来说，最简二次根式是指一个形如√a的根式表达式，其中a是一个自然数。
最简二次根式可以被表示为有理数的平方根，并且在根号下的数a是一个最简分数。
最简二次根式在数学中扮演着重要的角色，它们广泛应用于各个领域，包括几何、代数、物理等。
在几何中，最简二次根式可以用来表示一些特殊的长度或比例关系。
而在代数中，最简二次根式的性质与运算规则可以帮助我们进行各种复杂的数学计算。
为了更好地理解最简二次根式的定义，我们需要了解一些相关概念，如根式、有理数和最简分数。
根式是指一个形如√a的表达式，其中a可以是任何实数。
有理数是可以写成m/n的数，其中m和n都是整数，且n不能为零。
最简分数是指一个分数，其分子和分母没有公因数，即它不能被更小的整数表示。
通过对最简二次根式的深入研究，我们可以发现它们具有一些独特的性质。
例如，最简二次根式的和、差、积和商仍然是最简二次根式。
这些性质为我们解决一些复杂的问题提供了便利。
在本文的后续部分中，我们将进一步探讨最简二次根式的性质和应用。
首先，我们将介绍最简二次根式的定义和相关概念。
接着，我们将详细讨论最简二次根式的特性和运算规则。
最后，我们将总结本文的主要内容，并展望最简二次根式在未来研究中的应用前景。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分介绍了整篇文章的组织结构和各部分的内容概述，帮助读者更好地理解文章的整体架构和各个部分的作用。
文章结构部分一般包括以下内容：1. 引言部分：简要介绍文章的主题和研究背景，概述文章的目的和意义。
引言部分可以用几句话引起读者的兴趣和关注，概述研究领域中的问题和现状。
2. 正文部分：根据文章大纲中的各个要点进行展开。
每个要点可以单独成为一个小节，在正文中进行详细的叙述和论证。
正文部分应该清晰地叙述问题、提出观点、列举例证，论述论据等。
最简二次根式必须满足的三个条件
最简二次根式必须满足的三个条件一级标题：最简二次根式必须满足的三个条件二次根式是数学中的一个重要概念，指的是含有根号的二次方程的解。
最简二次根式则是对二次根式进行化简后的形式，具有一定的特殊性质。
本文将讨论最简二次根式必须满足的三个条件，以帮助读者更好地理解和应用最简二次根式的相关知识。
二级标题：最简二次根式的定义和示例最简二次根式是指根号下的被开方数不能再进行因式分解，且被开方数和根号中的参数没有公因数的二次根式。
换句话说，最简二次根式没有可以被开方数整除的因子，且在开方时，被开方数中不含有完全平方的因子。
例如，√4就是一个最简二次根式，因为4不能在进行因式分解，并且在开方时，4不含有完全平方的因子。
而√12则不是最简二次根式，因为12可以因式分解为22⋅3，而且12含有完全平方的因子。
因此，√4是最简二次根式，而√12不是最简二次根式。
最简二次根式在数学中的应用非常广泛，特别在代数学和几何学中起着重要的作用。
下面我们将介绍最简二次根式必须满足的三个条件。
二级标题：条件一：被开方数是正整数最简二次根式的第一个条件是其被开方数必须是正整数。
这是因为只有正整数才能被开平方，并得到一个有意义的解。
例如，√9是最简二次根式，因为9是一个正整数，并且在开方时得到的解是唯一的，即3。
但是，如果被开方数是负数，那么在实数范围内就不存在有意义的解了。
例如，√−9在实数范围内没有解，因为负数的平方根是虚数。
因此，最简二次根式的被开方数必须是正整数。
二级标题：条件二：被开方数不含有完全平方的因子最简二次根式的第二个条件是其被开方数不能含有完全平方的因子。
完全平方是指一个数可以写成另一个数的平方的形式，例如4=22。
如果被开方数含有完全平方的因子，那么在开方时可以将其提出，从而将最简二次根式化简。
例如，√18可以进行因式分解为3⋅√2，其中3是2的完全平方。
因此，√18并不是最简二次根式。
相反，√2是一个最简二次根式，因为它不能再进行因式分解。
最简二次根式
最简二次根式什么是二次根式二次根式是指形如√a的根式，其中a是一个非负实数。
在二次根式中，a也被称为被开方数。
二次根式的化简最简二次根式是指不能再被开方的二次根式，即已经被化简到最简形式的二次根式。
化简二次根式是一种常见的数学运算。
二次根式的化简主要分为以下几种情况：情况一：a为完全平方数如果被开方数a是一个完全平方数，即存在一个整数b，使得b^2=a，那么二次根式可以直接化简成b。
示例：√4 = 2 √9 = 3情况二：a为非完全平方数如果被开方数a是一个非完全平方数，那么我们需要寻找它的最大完全平方数素因子，并将其提取出来。
以√50为例，我们可以将50分解成5乘以10，再将10分解成2乘以5。
其中5是50的最大完全平方数素因子，所以我们可以将√50化简为√(5*10)，然后再继续分解。
√(510) = √5 √10接着，我们继续寻找√10。
我们发现10不是完全平方数，但可以继续分解为2乘以5。
√(525) = √5 * √2 * √5继续分解，我们发现√2也不能被再分解，所以最终的化简形式为：√50 = √5 * √2 *√5 = 5√2情况三：出现分数当二次根式中出现分数时，我们可以将分子和分母分别进行化简，然后再进行约分。
例如，对于√(4/9)，我们可以先化简分子和分母，得到√4/√9 = 2/3。
情况四：多个二次根式的加减当多个二次根式进行加减操作时，我们需要先化简每个二次根式，然后进行合并。
例如，√2 + √8，我们先将√2和√8分别化简为最简形式：√2 = √(21) = √2 √1 = √2 √8 = √(42) = √4 √2 = 2√2然后将化简后的二次根式相加，得到最终结果为3√2。
总结最简二次根式是指已经被化简到无法再被开方的二次根式。
化简二次根式是一种常见的数学运算，涉及到被开方数的分解和提取最大完全平方数素因子的操作。
在运算过程中，我们还需要注意处理分数和多个二次根式的加减操作，以得到最终的化简形式。
《最简二次根式》二次根式PPT课件
2．被开方数是分数的二次根式化简
例 2 化简 1125． 分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需 分子、分母同乘以 5 就可以了．
解法一： 1125＝ 513××55＝255．
3．被开方数是小数的二次根式化简
例 3 化简 1.5．
分析：被开方数是小数时，常把小数化成相 应的分数，然后进行求解．
1 8x3
x
0
0.8 4 45 2 5 5 55 5
4 1 9 92 3 2 2 2 22 2
20a2b 4a2 5b c 2 a 5bc 2a 5bc
c
cc
c
c
x2
1 8x3
x2
1 2x x2 8x3 2x 4x2
2x
2x 4
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(2) 1 6x 9x2 (x 1) 3
(2)3x 1
(3) x 32 1 x2 1 x 3 (3)2
2、如果 a3 a2 a a 1， 那么a的取值范围是 ( D )
A． a 0 C． a 1
B． a 1
D． 1 a 0
3.化简 1 x3 x
错解：原式 1 x x2 x
18
32
被开方数不 含开得尽方 的因数
a 3
b2
(b 0)
9a
3a 3
ba
(b 0)
3a
被开方数 不含分母
（１）被开方数各因式的指数都为1． （２）被开方数不含分母．
被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫 做最简二次根式．
如：1 x2 y √
4
6m(a2 b2 ) √
1 4
x2 y x 4
最简二次根式
23
（2）1 1 1 26
（3） 40 45
（4） m5n4 5 m4n3
3
22 3
1 mn 5
1、 a = a bb
a= a bb
2、最简二次根式的特点：
1、被开方数中不含分母； 2、被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
3.化简二次根式的方法. 注意点: (1)当二次根式的被开方数中含有字母时,
（3）2a3b × （4） 0.5ab ×
（5） a ×
3
（7） 48 x ×
（6） 5x √ （8）3 2 ×
1、最简二次根式的特点是：
1、被开方数中不含分母； 2、被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
2、总结：判断最简二次根式的方法是： （1）首先看是否有分母或小数，若有则不是 最简二次根式； （2）遇多项式时要先因式分解，再进行判断。 （3）分母不能含有根号
即次数都小于2
例1：判断下列哪些是最简二次根式？
若不是，请说明理由。
（1） 3n 是
（2） 5 是 3
（3） 32 x 不是 （4） x2-y2 是 （5） 2 xy 不是 （6） 0.5x 不是
5
（7） a2+2a+1(a 1) 不是
练习：下列根式哪些是最简二次根式
（1） 5 a
× （2） m2 +n2 √
应充分注意式子中所含字母的取值范围. (2)进行二次根式的乘除运算或化简,最终结果定要尽可能化简.
1、把下列各式化为最简二次根式
（1）18 30 （2） 3 2 75）a2 ab b b
9b2
a
a
2、先化简在求值：
x2 6x 9 ( x 3), 其中x
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------ 最简二次根式.
各位专家,评委：大家好.我是房山二中的宋新颖，很高兴能有机会参加这次活动，并
能得到您的指导•
我说课的题目是第十二章二次根式第六节的第二小节最简二次根式.
下面,我就丛教学目标，教学的重点和难点，教学方法,教学手段,教学过程等方面进行说明•
一、教学目标
1•使学生知道什么是最简二次根式，遇到实际式子能够判断是不是最简二次根式. 2•使学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法.
3•使学生了解把二次根式化简成最简二次根式在实际问题中的应用.
二、教学重点和难点
1•重点：能够把所给的二次根式，化成最简二次根式.
2•难点：正确运用化一个二次根式成为最简二次根式的方法.
三、教学方法
通过实际运算的例子，引出最简二次根式的概念，再通过解题实践，总结归纳化简二次根式的方法.
四、教学手段：利用投影仪
五、教学过程
（一）引入新课
提出问题：如果一个正方形的面积是，那么它的边长是多少？能不能求出它的近似值？
学生很容易答出，正方形边长为.05 m,怎样求它的近似值呢？
■ 0.5 = , ^二上2,我们可以先试着把 <0.5化简,因为大家都知道、、2 1.414,这样V2 2
、、爲的近似值就可以求出了 . _ _ 又比如，正方形的面积是12cnl那么它的边长是 12cm ,也就是2.3cm,由于我们已经很熟悉、、3 1.732,所以2-.3的近似值也就可以求出来了 .这样会给解决实际问题带来方便.
（二）新课
由以上例子可以看出，遇到一个二次根式将它化简，为解决问题创造了方便条件请同学们观察由.1化简为丄2,由12化简为2.3.这两个二次根式化简前后有 V2 2
什么不同，这里要引导学生从两个方面考虑，一方面是被开方数的因数化简后是否是整数了，另一方面被开方数中还有没有开得尽方的因数.
启发学生回答：满足什么样的条件是最简二次根式.
总结学生回答的内容后，给出最简二次根式定义，即：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
1 •被开方数的因数是整数，因式是整式.
2•被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
例1指出下列根式中的最简二次根式，并说明为什么.
⑶两2丽
⑷厂3
所以(1),(4)是最简二次根式.
说明：这里可以向学生说明，前面两小节化简二次根式，就是要求化成最简二次根 式.前面二次根式的运算结果也都是最简二次根式.
例2把下列各式化成最简二次根式：
(1) .24 (2) ..5a¥ (a>0) (3)
.4a 2 8a 3 (a>0) (4) .a 2 2ab b 2 (a>b>0)
解：(1) .24 ,T~6 26
(2)
、5a 2b 、a 2g5b a . 5b (3) .. 4a 2 8a 3 ,4a 2(1 2a) 2a 1 2a
(4) 、a 2 2ab b 2 .(a b)2 a b
说明：首先引导学生观察例2题中二次根式的特点，明确把二次根式化成最简二次根 式的根据是什么？应用了什么方法？再启发学生总结这类题化简的方法 • 总结：
当被开方数为整数或整式时，把被开方数进行因数或因式分解，根据积的算术 平方根的性质，把开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替移到根号外面去。
例3把下列各式化简成最简二次根式：
(1) 2码
(2) X 2£ (x>0) (3) (x>y>0) (4)如图
—1 ------ 1~1 --------- ► 化简 J (a b)2
(x y)3 (x y)2(x y) (x y) y 36 " 62 6
⑷,(a b)2 |a b| v a<0,b>0且|a|>|b|(1) 5中-、5满足最简二次更式的两个条件
(x
••原^式 =b-a
3
\3 ⑶、,12xy ⑷ 分析:
a 解: (1)
2 2 2 ⑵
⑶
说明：1.引导学生观察例题3中二次根式的特点，即被开方数是分数或分式，再启发学生总结这类题化简的方法，先利用分式的基本性质和商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简•
2. 提醒学生思考每道小题的意图：
(3) 小题需要注意的是公式成立的条件是 a>0.(4)小题渗透数形结合的思想，进
一步巩固二次根式的定义、性质
这两个小题是使学生明确如何使用化简中的条件•通过本题培养学生对于较复杂的题的分析问题和解决问题的能力，并且进一步巩固二次根式的概念. 通过例2、例3总结把一个二次根式化成最简二次根式的两种情况，并引导学生小结应该注意的问题.
注意：①化简时，一般需要把被开方数分解因数或分解因式.
②当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应该把它化简成分母中不含二次根式的式子，也就是把它的分母进行有理化.
(三)小结
本节课学习了最简二次根式的定义及化简二次根式的方法。
同学们掌握用最简二次根式的定义判断一个根式是否为最简二次根式，要根据积的算术平方根和商的算术平方根的性质把一个根式化成最简二次根式，特别注意当被开方数为多项式时要进行因式分解，被开方数为两个分数的和则要先通分，再化简。
(四)练习
1.指出下列各式中的最简二次根式：
(1) — (2) . 1⑶,18 ⑷
3Va
2 .把下列各式化成最简二次根式：
(1) .32 (2) ..0V (3) .13
3. 求代数式兀4ac
的值
2a
(1)a=1, b=10, c=-15 (2)a=2, b=-8,
(五)作业
P67 A---8,9,10 P 68 B—2
(六)板书设计
最简二次根式定义：
\ a2b (5) x2y2
c=5
选作P 68 C——1。