基于MATLAB的蔡氏电路混沌演化研究-最终版

基于MATLAB的蔡氏电路混沌演化研究

物理与机电工程学院07物本

2007050211 黄权指导教师吕晶（助教）

【摘要】：本文简要介绍了混沌及其特征，产生的机理和条件，并从理论分析与MATLAB仿真两个角度分别研究了简单蔡氏电路混沌现象演化过程。研究结果表明，蔡氏电路中元件参数影响电路混沌状态的演化，随着线性电阻阻值的减小电路状态大致经历：稳定态，周期态，混沌态，负阻尼振荡态。

【关键词】：蔡氏电路；混沌演化；MATLAB仿真

目录

1前言 (2)

1.1非线性科学概述 (2)

1.2混沌与非线性电路 (2)

1.3本论文的主要内容和意义 (2)

2混沌基础理论及其应用 (2)

2.1混沌的含义 (2)

2.2混沌的主要特征 (3)

2.3混沌运动的数值判定 (3)

2.4通向混沌的通道 (3)

2.5混沌的主要应用 (4)

3简单蔡氏电路设计及模型分析 (5)

3.1蔡氏电路的提出 (5)

3.2蔡氏电路的特点 (5)

3.3简单蔡氏电路设计及电路模型 (5)

3.4简单蔡氏电路数学模型及其分析 (7)

4基于MATLAB的蔡氏电路仿真及结果分析 (8)

4.1仿真软件选择 (8)

4.2仿真算法 (9)

4.3仿真结果分析 (9)

4.3.1稳定态 (9)

4.3.2周期态 (10)

4.3.3混沌态 (10)

4.3.4负阻尼振荡态 (11)

4.4仿真结果讨论 (12)

5总结 (12)

致谢 (13)

参考文献 (14)

1前言

1.1非线性科学概述

非线性科学是研究非线性现象共性的一门新兴的交叉学科,产生于20 世纪六七十年代。其标志是:洛伦兹的论文《确定论的非周期流》揭示了确定性非线性方程存在混沌(Chaos)；查布斯基和克鲁斯卡尔通过计算机实验发现孤立子(Soliton) ;芒德勃罗发表《分形:形态、机遇和维数》一书,创立了分形(Fractal) 理论。混沌、孤立子、分形代表了非线性现象的三大普适类,构成非线性科学的三大理论[1]。

非线性科学的发展标志着人类对自然的认识由线性现象发展到非线性现象。非线性科学中的混沌理论被认为是20世纪继相对论、量子力学之后的又一次革命[2];分形几何是继微积分以来的又一次革命;孤立子理论则预示着物理学与数学的统一。

由于学科的交叉性，非线性科学和一些新学术如突变论、协同论、耗散结构论[3]有相通处，并从中吸取有用的概念理论。但非线性现象很多，实际的非线性科学只考虑那些机制比较清楚，现象可以由实验观测，且通常还有适当的数学描述和分析工具的研究领域。随着科学技术的发展，这个范围将不断扩大。

1.2混沌与非线性电路

混沌是非线性系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象,是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测。这种不可预测性迫使人们重新审视过去的研究，也唤起了人们极大的研究兴趣，混沌现象的研究，成了当今学术界研究的热点课题之一[4]。

非线性电路是指含非线性元件的电路，如二极管、三极管、电感、电容等。混沌现象是非线性电路的一个基本特征，20世纪20年代，荷兰人B.范德坡尔描述电子管振荡电路的方程成为研究混沌的先声。随着高精度电子器件的广泛应用,电路中出现了大量的非线性现象. 已有的线性电路理论无法解释非线性电路的行为,又不能指导非线性电路的分析与综合,于是有关非线性电路的理论研究迅速展开,非线性电路中的混沌现象研究也开始兴起非线性电路中混沌及混沌同步应用研究的重要途径之一[5]。

1.3本论文的主要内容和意义

混沌和非线性电路都是现代科学和技术研究的热点。本论文主要介绍混沌的基础理论和研究方法，并通过非线性中最典型的蔡氏电路，了解非线性电路的特点及用于。利用MATLAB仿真一种简单的蔡氏电路混沌现象的演化过程，直观的了解混沌现象的基本特征，掌握控制和利用混沌现象的基本思路。研究结果表明，改变电路中可变电阻的阻值，可以看到电路混沌状态的演化，大致含四个状态：稳定态，周期态，混沌态，负阻尼振荡态。

2混沌基础理论及其应用

2.1混沌的含义

我们这里所说的混沌是指确定的宏观非线性系统在一定条件下所呈现的不确定的或不可预测的随

机现象。这里包含几个要点需要说明：

首先，混沌现象是"确定性系统"的一种"内在的随机性"， 是由“确定性”内在的原因产生，是不规则的不能预测的行为。不同于可能由系统外部引入的不确定的随机影响（如噪声）而产生的外部随机性。

其次，对系统的要求必须满足两个条件。第一是确定性的系统。它的物理量随时间的变化是一个确定性质的常微分方程组或差分方程组所决定的。只要给定了初始条件，它的解（或称为运动轨道）就是唯一确定的；第二必须是非线性系统。只有描述非线性系统的 “非线性交叉耦合作用”，非线性系统在一定的临界性条件下才表现出混沌现象。

再次，一定的条件下才能呈现混沌现象。非线性系统在一定的临界性条件下才表现出混沌现象，才导致其对初值的敏感性，才导致内在的不稳定性的综合效果。

2.2混沌的主要特征

虽然目前科学上对混沌没有确切的定义，但随着研究的深入，人们已经了解了混沌的一系列特征。表2.2-1给出了混沌现象的主要特征及特征的描述[6]。

表2.2-1混沌现象的主要特征及其描述

2.3混沌运动的数值判定

混沌运动是一种始终局限于有界区域且轨道永不重复的、状态复杂的运动。。混沌运动具有通常确定性运动所没有的几何和数值特征，如局部不稳定而整体稳定，混沌吸引子，正的李雅谱诺夫(Lyapunov)指数，连续功率谱，分数维，正的测度熵等[7]。本文利用Lyapunov 指数来判断混沌运动，下面简单介绍Lyapunov 指数。

Lyapunov 指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。若Lyapunov 指数小于零，则意味着相邻点最终要靠拢合并成一点，这对应于稳定的不动点和周期运动;若指数大于零，则意味着相邻点最终要分离，这对应于轨道的局部不稳定。一个正的Lyapunov 指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov 指数是否大于零非常直观的判断出来:如果轨道还有整体的稳定因素（如整体有界、耗散、存在捕捉区域等），则在此作用下反复折叠并形成混沌吸引子。指数越大，说明混沌特性越明显，混沌程度越高。

2.4通向混沌的通道

混沌是系统处于非平衡过程中所呈现的随机行为。由非平衡过程进入混沌状态有几种通道，主要有倍周期分岔道路、阵发性混沌、茹厄勒-塔肯斯道路、准周期过程、剪切流转换、湍流道路等[8]。目前研究得较为深入的有如下三种：

(1)倍周期分岔进入混沌道路

迭代是产生混沌的一种数学模式。下面是一个迭代方程，称平方映射：

)1(1n n n x x x -=+μ(μ是0-4之间的任意常数) (2.4-1)

在迭代的过程中，系统会进入一种周期状态。它在一定的条件下，系统经倍周期分岔，就会逐步丧失周期行为而进入混沌。我们发现：①当μ小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定