中山大学研究生入学考试数学分析试题解答
2008年中山大学考研真题答案精解之数学分析与高等代数
【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：12008年中山大学考研真题答案精解之数学分析与高等代数【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：22015考研英语写作七大误区词汇与语法错误考研英语写作让很多同学都很头痛，有两点原因：一为词汇，二为语法。
因为英语与汉语的区别是一词多义，非常讲究用词准确而且正式。
同时，英语的词汇非常丰富，一个词语通常都有许多同义词和近义词。
考生如果平时注意积累并加以练习，就能够在考试中熟练地加以运用。
英文写作也同样非常讲究语法，尤其是考研作文作为正式文体，需要注意以下几点小细节：(1)尽量少用缩写形式。
如don't,can't,won't 应写为do not,cannot,will not 等。
(2)用更加正式的否定形式。
如not…any 应写为no,not…much 写为little,not many 写做few 等。
(3)尽量少用"etc.","and so on"等表达方式。
例如：Activities include dancing,singing,etc 。
Activities include dancing,singing,and other fun stuff 。
◎中文式思维模式很多考生在考试过程中把一些中文的成语、谚语翻译成英文，这种做法导致的结果就是文章不仅行文不符合英文的规律，读起来也让人觉得非常不舒服。
纠正中文思维习惯的关键依然在于培养英文语感，同时考生在平时的练习中也要尽量让自己用英文来思考。
如果考生需要用到谚语，名句等，最好的办法是直接掌握英文的谚语、名句，并灵活运用到文章中。
◎注意字数与标点考研英语作文一分钟平均7～8个字，字数多少算个够?自己目测一下，以大作文为例，中等大小一行15字，最起码写到12，13位置,因为阅卷人做的第一件事情就是看你的字数，就看你的位置到没有到。
(NEW)中山大学数据科学与计算机学院数学分析(A)历年考研真题汇编
2008年中山大学636数学分析考研 真题
2009年中山大学650数学分析考研 真题
2010年中山大学651数学分析考研 真题
2011年中山大学657数学分析考研 真题
2012年中山大学657数学分析考研 真题
2013年中山大学662数学分析考研 真题
2014年中山大学668数学分析考研 真题
2015年中山大学668数学分析考研 真题
2016年中山大学663数学分析考研 真题
2017年中山大学681数学分析 （A）考研真题
2018年中山大学680数学分析 （A）考研真题
2019年中山大学682数学分析 （A）考研真题
目 录
2008年中山大学636数学分析考研真题 2009年中山大学650数学分析考研真题 2010年中山大学651数学分析考研真题 2011年中山大学657数学分析考研真题 2012年中山大学657数学分析考研真题 2013年中山大学662数学分析考研真题 2014年中山大学668数学分析考研真题 2015年中山大学668数学分析考研真题 2016年中山大学663数学分析考研真题 2017年中山大学681数学分析（A）考研真题 2018年中山大学680数学分析（A）考研真题 2019年中山大学682数学分析（A）考研真题
中山大学考研数学分析2009年真题及答案
中山大学2009年数学分析真题题目一、（每小题6分，共48分） （1） 求lim x→∞(x −x 2ln (1+1x ));（2）求∫1−lnx ln 2xdx ;（3） {x =cos(t 2)y =∫sinuu du t 20,求dydx; （4） 求∫|x −a |e x dx 1−1,|a |<1;（5） 设z =uv +sint,u =e t ,v =cost,求dzdt ;（6） u =φ(x +ψ(y )), 其中φ,ψ二阶可微，x,y 为自变量，求d 2u ;（7） 求级数∑cos nx ∞n=1在收敛域上的和函数;（8）判断级数∑1n1+1n∞n=1的敛散性.二、将区间[1，2]做n 等分。
分点为1=x 0<⋯<x n =2，求lim n→∞√x 1x 2…x n n 。
三、计算I =∫(x+y )dx+(y−x)dyx 2+y 2L,其中L 是从点A （-1，0）到点B （1，0）的一条不经过原点的光滑曲线:y =f (x ),x =[−1,1],且当xϵ(−1,1)时,f(x)>0。
四、计算∬x 2dydz +y 2dzdx +z 2dxdy S ,其中S 为曲面x 2+y 2=z 2介于平面z =0和z =h(h >0)之间的部分取下侧。
五、设f (x)在(1,+∞)上连续，f ′′(x)≤0，f (1)=2，f ′(1)=−3，证明f (x)=0在(1,+∞)上有且仅有一个实根。
六、设函数f (x)在（−∞,+∞）上连续，试证：对一切x 满足f (2x )=f(x)e x 的充要条件是f (x )=f(0)e x 。
七、求椭球面x 2a 2+y 2b 2+z 2c 2=1在第一卦限部分的切平面与三坐标平面围成的四面体的最小体积。
八、讨论级数∑cos(π2lnn)n∞n=1的敛散性。
参考答案一、 （1） lim x→∞(x −x 2ln (1+1x ))=lim x→∞x 2[1x −ln (1+1x )]=12limx→∞x 2x 2=12.（2）∫1−lnx ln 2xdx =∫1−y y 2de y=∫e y (1−y)y 2dy =∫e y (y −1)d 1y =(y−1)e yy−∫d (y−1)e yy=−e y y +C =−x lnx+C .（3） dy dx =dy dt dx dt=2tsint 2t 2−2tsint 2=−1t2.（4）∫|x −a |e x dx 1−1=∫(a −x)e x dx a −1+∫(x −a )e x dx =(a +1−x)e x |−1a 1a +(x −a −1)e x |a 1=2e a −(a +2)e−1−ae . （5） z =uv +sint,u =e t ,v =cost ，故z =e t cost +sint,dz dt=e t (cost −sint )+cost .（6）u =φ(x +ψ(y ))，φ,ψ二阶可微，故du =φ′(x +ψ(y ))[dx +ψ′(y)dy]d 2u =dφ′(x +ψ(y ))[dx +ψ′(y )dy]+φ′(x +ψ(y ))d [dx +ψ′(y )dy]=φ′′(x +ψ(y ))[dx +ψ′(y )dy]2+φ′(x +ψ(y ))ψ′′(y )(dy)2（7） ∑cos n x ∞n=1=cosx 1−cosx ，其收敛域为{x ||cosx |<1}={x|x ≠kπ,kϵZ}。
中山大学2016年(数学学院)考研真题初试试题《数学分析》663真题与解析
(x,y )(0,0 )
y
x0 且y0
x0 且y0
而 lim （1 cos 2 x ) 1 cos 1
(x,y )(0,0 )
y
x0 且y2 x
故 lim f (x,y) f (0,0) fx (0,0)x fx (0,0)y 不存在
则 f (x2 y2 z2 )dxdydz,t (0,1 ] x2 y2 z2 t2
2
t
t
f ( x2 y2 z2 )dxdydz d sin d f (r) r2dr 4 f (r) r2dr
x2 y2 z2 t2
而由泰勒公式 f (x) f (1) f ( )(x 1)，位于1与x之间
则
1
1
1
xn[f (1) f (x)]dx xn[f ( )(1 x)]dx [m,M ] xn(1 x)dx [m,M ]
1
0
0
0
(n 1)(n 2)
1
故 lim n xn[f (1) f (x)]dx 0 n 0
f ( )(x1 x2 )
在 n 时， f (x1) f (x2 ) f ( )(x1 x2 )
1
故 f (x) x 8 sin x 在 [0,)上不一致收敛
1
五．证明：由拟合法 f (1) lim n xn f (1)dx n 0
而由于 f (x)在 [ 0 ,1]上连续可知， 常数 M 及 m ，使得 m f (x) M
5.解：
0
2
dx e y2 dy
x
2
0
y
dy e y2 dx
中山大学研究生入学考试数学分析试题解答
lim
n
(4)记上顶面为， S1 : z 1, x2 y2 1
当 z 1时，
当z
2.(15 分)考察函数
锥面： S2 : z x2 y2 , x2 y2 1 .
x2 y2 ，
1
解 本人感觉此题有问题，应该是
f
z
2 x
1
z
2 y
z
2 x
1；
S
S1
(x2 y2 )dxdy 2(x2 y2 )dxdy
x2 y2 1
(1 2) 2 d 1 r3dr
(1 2) 2
(x,
y)
0
x2 y2
x2
0
y2
0
, x2 , x2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
中山大学考研数学分析2010年真题及答案
中山大学2010年数学分析真题题目一、（每小题6分，共48分） （1） 求极限limn→∞1n√(n +1)(n +2)…(2n +1)n；（2） 求不定积分∫max (|x |,1)dx ； （3） 已知f (x )= ∫sintπ−tdt x 0，求定积分∫f(x)dx π0； （4） 求二元函数极限lim(x,y)→(0,0)(x 2+y 2)x2y 2；（5） 求二次积分∫dy 10∫e x 2dx 1y ； （6）计算I =∮xdy−ydx x 2+y 2L，其中L 是一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续封闭曲线，L 的方向为逆时针方向； （7） 讨论函数项级数∑√n+x∞在[0,2]上的一致收敛性；（8）计算∬(x 2+y 2)dS S，其中S 为曲线z =√x 2+y 2与平面z=1所围几何体的表面。
二、单位圆盘中切去圆心角为θ的扇形，余下部分粘合成一锥面，问θ为多少时，该锥面加上底面所围的椎体体积最大。
三、设在f (x )在x=0某邻域内有二阶连续导数，且limx→0f (x )x=0，证明∑f (1n )∞n=1绝对收敛。
四、设f (x,y )={(x 2+y 2)p sin1x 2+y 2,x 2+y 2≠00,x 2+y 2=0，其中p 为正数，试分别确定p 的值，使得如下结论分别成立（1） f (x,y )在点(0,0)处连续 （2） f x (0,0)与f y (0,0)都存在（3） f x (x,y)与f y (x,y)在(0,0)点连续五、计算由曲面(xa +yb )2+(z c )2=1,(x ≥0,y ≥0,z ≥0,a >0,b >0,c >0)所围成几何体之体积，其中a,b,c 为正常数。
六、求幂级数∑n 2+1n!2n ∞n=1x n 的收敛范围，求其和函数。
七、设u =f (x )，其中r =√x 2+y 2+z 2，变换方程∂2uðx 2+∂2uðy 2+∂2uðz 2=0，使其成为关于f (r )的方程。
2009年中山大学数学分析与高等代数考研真题答案
【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：12009年中山大学数学分析与高等代数考研真题答案考研英语的方法：【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：2阅读理解复习方法——阅读三步曲大家都知道有这样一种说法：考研的关键是英语，英语的关键是阅读。
在考研英语中，可以说，所有的题除了写作外，都在直接或间接的考阅读理解能力，或至少与之相关。
而且，阅读理解本身所占的分量极大，每题的分也比较大，因此，在考研英语的复习中，怎么重视阅读理解都不为过。
下面我来具体谈谈阅读理解的复习方法：首先了解阅读的命题趋势，综合分析近5年的考研真题，我们发现，阅读理解有以下一些趋势，题材主要集中在，经济、文化、环保等重大热点方向。
很多文章都摘自报刊评论。
四篇文章中总有一篇比较难的/，那我们该如何复习那？首先，选择合适的阅读理解复习参考书非常重要，结合众多考研者的成功经验、各个辅导班推荐以及我们的分析，以下参考书组合都是比较理想的/1《历年真题》把近10多年年的真题搞透，逐篇的分析，逐篇的翻译，一天一篇。
许多考生没有认真研究真题，结果上了考场完全傻了，因此，真题是必备的，值的注意的是真题不是试卷本身，而是有答案的详细讲解和完全翻译的书，如新东方编的还是不错的，复习时，第一遍按照常规的方法做一遍，完了之后，在结合正确答案仔细分析每道题的出题的思路和正确答案的理由，。
2/各个英语辅导名师编著的英语阅读理解，真题的出题思路反映考试大纲的要求，但毕竟材料的时效性存在不足，还应该补充更多阅读一些这方面的材料，如，新东方的阅读，黑博士的阅读120篇/240篇等。
另外，真题我们着重的是研习，而这些材料着重的则是练习，需知阅读理解水平必须要经过大量的练习才提高。
以上所选资料可供大家参考3/英语报刊杂志，近几年的考研阅读出题趋势偏向报刊文章，所以，整个英语复习期间，最好能每天抽点时间阅读一篇报刊文章就好了，而且前面我讲过，读这类材料有助于提高语感。
中山大学考研数学分析真题及答案.pdf
中山大学2018年数学分析真题题目一、解答下面各题（每小题9分，共54分） 1. 求极限：lim x→0(1+tan x )2018x。
2. 若已知函数f(x)的二阶导数存在，f ′(x)≠0且存在x =f −1(y)，求(f −1)′′(y)。
3. 求极限：lim n→∞(1n +1n+1+ (1)2n)。
4. 设f (x,y )=xy 2z 3，函数z (x,y )满足 x 2+y 2+z 2=3xyz ，求ðfðx |(1,1,1)。
5. 计算∬(√x +√y)dxdy √x+√y≤1。
6. 计算∮x 2yzdx +(x 2+y 2)dy +(x +y +z)dz C，其中L 为曲面x 2+y 2+z 2=5与曲面z =1+x 2+y 2的交线，从z 轴正向看过去时顺时针方向。
二、（10分）判断级数∑n√n+(−1)n∞的收敛性。
三、（10分）求f (x,y,z )=xyz 在约束条件x 2+y 2+z 2=1与x +y +z =0下的极值。
四、（10分）证明：∑1n 2+1∞n=1<12+π4。
五、（10分）设f (x )在(−∞,+∞)上连续，且lim x→−∞f(x)与lim x→+∞f(x)存在，证明f (x )在(−∞,+∞)上一致连续。
六、（20分）f (x )在(x 0−1,x 0+1)上连续，在(x 0−1,x 0)∪(x 0,x 0+1)上可导，且lim x→x 0f ′(x)=a 。
证明：f ′(x 0)存在，且f ′(x 0)=a 。
七、（10分）求级数∑(1+12+···+1n )x n 的收敛域。
八、（10分）求f (x )=e x +e −x +2cos x 的极值。
九、（10分）判断f (x )=xsinx 14在[0,+∞)上的一致连续性。
十、（10分）讨论∑x n nlnn ∞n=2在[0,1)上的一致收敛性。
中山大学考研数学分析2011年真题及答案
中山大学2011年数学分析真题题目一、（每小题6分，共48分） （1） 求极限limx→0√1−x 2−1xtanx； （2） 计算积分∫sinxcosx 1+sin 4xdx π20；（3） 已知∑(−1)na n ∞n=1=A ，∑a 2n−1=B ∞n=1，求级数∑a n ∞n=1的和；（4） 计算∬(2x +43y +z)dS S，其中S 为平面x 2+y 3+z4=1在第一卦限部分； （5）计算∫√x 2+y 2dx +y (xy +ln(x +√x 2+y 2))dy L ，其中L 为曲线y =sinx(0≤x ≤π)按x 增大方向； （6） 判断级数∑n √n−lnn∞是绝对收敛，条件收敛还是发散？（7） 设{x =t 3−3t y =t 2+2t，求二阶导数d 2y dx 2； （8）求数列极限lim n→∞12·34····2n−12n。
二、设f (x,y )=√|xy |，求偏导数ðf ðx ,ðf ðy，指出它们的定义域及连续性，并讨论f (x,y )在点(0,0)处的可微性。
三、设f (x )满足 （1） −∞<a ≤f (x )≤b <+∞（2）|f (x )−f (y )|≤L |x −y |，0<L <1；x,yϵ[a,b]任取x 1ϵ[a,b]，做序列x n+1=12(x n +f (x n ))，n =1,2,…。
求证{x n }收敛，且其极限ξϵ[a,b]满足：f (ξ)=ξ。
四、设正项数列{x n }单调递增，且lim n→∞x n =+∞，证明∑(1−x n x n+1)∞n=1发散。
五、已知P 是∠AOB 内固定点，∠AOP =α,∠BOP =β，线段长度OP̅̅̅̅=L ，过P 的直线交射线OA 和OB 与点X 与Y ，求线段长度乘积PX̅̅̅̅·PY ̅̅̅̅的最小值，说明取最值时X ，Y 的位置。
中山大学2006数学分析全国考研试题.doc
中山大学2006数学分析一，（16分）证明：当0x ≥时，存在()(0,1)x θ∈= 并求0lim ()x x θ+→和lim ()x x θ→+∞ 二，（16分）设S 为由两条抛物线21y x =-与21y x =-+所围成的闭区域，椭圆22221x y a b+=在S 内，试确定,(,0)a b a b >使椭圆面积最大 三，（16分）判别下列级数和广义积分的收敛性，条件收敛还是绝对收敛（1）1(1)nn ∞=-∑（2）1dx +∞⎰ 四，（16分）求3332()()(1)I x y dydz x x y dzdx y dxdy ∑=+++++⎰⎰，其中∑是单叶双曲面2221x y z +-=在0z ≤≤五，（16分）设函数列{()}n x ϕ满足：（1）{()}n x ϕ是[1,1]-上的可积函数列，且在[1,1]-一致连续（2）任意(0,1)c ∈，{()}n x ϕ在[1,]c --和[,1]c 一致收敛于零 证明：对任意[1,1]-上的连续函数()f x ，有11lim [()(0)]()0n n f x f x dx ϕ-→∞-=⎰ 高等代数一，（10分）λ取何值时，线性方程12341234123424531,36422,483,x x x x x x x x x x x x λ-++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩有解？当方程组有解时，试求其通解二，（10分）设123,,ααα是实数域上的三维向量空间V 的一组基，11232βααα=--，22βα=-，3232βαα=+证明：1β，2β，3β也是V 的一组基，并求V 中在这两组基下坐标相同的所有向量三，（15分）设4R 中123(1,2,1,0),(1,1,1,1),(0,3,2,1)ααα==-=生成的子空间为1V ，1(2,1,0,1)β=-，2(1,1,3,7)β=-生成的子空间为2V 。
分别求12V V +，12V V 的一组基四，（15分）设A ，B 都是n 阶正定是对称方阵，证明：（1）AB 正定的充要条件是AB BA =（2）如果A B -正定则11B A ---亦正定五，（10分）设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中,,,a b c d 是实数，且1ad bc -=。
中山大学数学分析考研试题(1999-2010
0,
y
0, z
0, a
0, b
0, c
0) 所围
几何体之体积，其中 a, b, c 为正常数.
第 1页
中山大学历年考研试题-数学分析（1999-2010）
六、（16
分）求幂级数
n1
n2 1 n!2n x
n
的收敛范围，并求其和函数.
七、（16 分）设 u f (r) ，其中 r
x2
y2
z2
（4）求 1 x a exdx ， a 1 ； 1
（5）设 z uv sin t ， u et ， v cos t ，求 dz ； dt
（6）设 u (x ( y)) ，其中 、 二阶可微， x 、 y 为自变量，求 d 2u ；
（7）求级数 cosn
n1
x 在收敛域上的和函数；
中山大学 2009 年硕士研究生入学考试试题
考试科目：数学分析 科目代码：650
一、（每小题 6 分，共 48 分）
（1）求 lim(x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 ln(1 1 )) ；
x
x
x cos t 2
dy
（2）
y
t2 sin u du ，求 dx ； 0u
（3）求
1 ln xdx ； ln2 x
四、（16 分）计算 x2dydz y2dzdx z2dxdy ，其中 为曲面 x2 y2 z2 介于平面 z 0
和 z h(h 0) 之间的部分取下侧.
五、（16 分）设 f (x) 在[1, ) 连续，f (x) 0 ，f (1)=2 ，f (1) 3 . 证明 f (x)=0 在 (1, )
点 P(x, y)(x 0) 处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax （ a 0 为常数）. （1）求曲线 L 的方程； （2）如果 L 与直线 y ax 所围成的平面图形的面积为 8，确定 a 的值.
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2011年中山大学研究生入学考试数学分析试题解答.科目代码：670摘 要：本文给出了中山大学2011年研究生入学考试数学分析试题的一个参考答案. 关键词：中山大学；研究生 数学分析白 建 超 2012年5月30日1.(每小题15分，共60分)计算下列各题:(1) 0()sin xd x t tdt dx -⎰(2) 20sin 1cos x x dx xπ+⎰.(3) 23123lim n n n a a a a →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭.(4) 22()Sx y dS +⎰⎰,其中S 1z ≤≤的边界曲面.解(1) ()00sin sin x x dx tdt t tdt dx =-⎰⎰原式 0sin sin sin (cos )1cos xx tdt x x x xt x=+-=-=-⎰(2)首先做一下说明：对积分0()af x dx ⎰做变换t x a =-，则00()()()aaaf x dx f a t dt f a t dt =--=-⎰⎰⎰，所以()1()()()2aaaf x dx f x dx f a x dx =+-⎰⎰⎰.故222000sin 1sin ()sin()21cos 1cos 1cos ()x xx x x x dx dx dx x x x ππππππ⎛⎫--=+ ⎪+++-⎝⎭⎰⎰⎰ 22001sin ()sin 21cos 1cos x x x x dx dx x x πππ-⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭⎰⎰ 02sin arctan cos 221cos x dx x xππππ==-+⎰24π=(3)首先级数1nn nx ∞=∑在1x >时收敛，因为由比值判别法的极限形式有 1111lim lim 1n n n na n a n x x +→∞→∞+==<，即1x >，所以对1k k k a ∞=∑，当1a ≤时收敛，极限不存在，即发散；当1a >时收敛，极限存在，记当1nn k k k S a ==∑则121n n k k kS a a+==∑,两式相减解得1111n n k n k a n S a a a +=⎛⎫=- ⎪-⎝⎭∑. 又1111limlim lim 0ln n x x n x x n x a a a a+++→∞→∞→∞===,所以23111231lim lim 1n n k n n n k n a n a a a a a a a +→∞→∞=⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑2111(1)1a a a a a a==--- (4)记上顶面为，221:1,1S z xy =+≤锥面：222:1S z x y =+≤.当1z =1=； 当z ==.则12222222()()()SS S xy dS x y dS x y dS +=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.22222222112130())(1(12x y x y x y dxdy x y dxdyd r drπθπ+≤+≤=+++==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.(15分)考察函数2222(,)0x y f x y x y ⎧-⎪=+⎨⎪⎩2222,0,0x y x y +≠+=在点(0,0)的可微性. 解 本人感觉此题有问题，应该是3322(,)0x y f x y x y ⎧-⎪=+⎨⎪⎩2222,0,0x y x y +≠+= 若不是，显然(0,0)x f 和(0,0)y f 都不存在，0(,)(0,0)(0,0)(0,0)limx y f x y f xf yf pρ→∆∆--∆-∆也不存在，故不可微.下面给出我的个人见解：(,0)(0,0)(0,0)limlim 1(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x y x x f x f xf x xf y f yf y y ∆→∞∆→∞∆→∞∆→∞∆-∆===∆∆∆--∆===-∆∆而(,)(0,0)(0,0)(0,0)limx y f x y f xf yf pρ→∆∆--∆-∆3322(,)limx y x y x y∆∆→∆-∆-∆+∆=3(,)(0,0)222()lim()x y x y x y x y ∆∆→∆∆∆+∆=∆+∆2322lim(1)y k x x k k k ∆=∆∆→-=+与k 的取值有关，故此极限不存在，所以(,)f x y 在点(0,0)的不可微. 3.(15分)求空间一点000(,,)x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的最短距离. 解 设(,,)x y z 为平面0Ax By Cz D +++=上的任意一点，则目标函数为.可以转化为求函数222000(,,)()()()f x y z x x y y z z =-+-+-在约束条件0Ax By Cz D +++=的最小值问题.此题有两种解法(方法1)利用拉格朗日乘数法求条件极值，设222000(,,,)()()()()L x y z x x y y z z Ax By Cz D μμ=-+-+-++++，对L 分别求偏导数，并令其为零，即0002()02()02()00x y z L x x A L y y B L z z C L Ax By Cz D μμμμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎨=-+=⎪⎪=+++=⎩ (1)(2)(3)(4) (1)(2)(3)A B C ⨯+⨯+⨯代入(4)得0002222()Ax By Cz A B Cμ++=++ 从而101010,,222A B Cx x y y z z μμμ=-=-=-, 所以点000(,,)x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的最短距离为000222101010222()()()Ax By Cz Dd x x y y z z A B C+++=-+-+-=++.(方法2)可以将约束条件代入函数(,,)f x y z 中消去z ，转化为求二元函数的极小值问题,由于计算比较复杂，不再赘述，有兴趣的读者可以做一下.4.(20分)设0,0q p b a >>>>，求由抛物线22,y px y qx ==与双曲线,xy a xy b ==所围 成的平面区域D 的面积.解 如图所示，解得交点坐标分别为33333333(,),(,),(,),(,)A qa B qb C pa D pb qa qb pa pb故所求的区域面积为3333333333332222333()()()11111(ln )()(ln )333ln3qapb qb pa qa pb qa pb qbpa qapby a y y b y S dy dy dyp y p q y q y a y y b y y p p q q a b p q=-+-+-=-+-+--=⎰⎰⎰附图：5.(20分)设0k >，试问k 为何值时，方程arctan 0x kx -=存在正实根. 解 令()arctan ,[0,)f x x kx x =-∈+∞，则有''21(0)0,(),(0)11f f x k f k x==-=-+ 因为'()f x 在[0,)+∞上严格单调递减，且有'lim (),lim ()x x f x f x k →+∞→+∞==-∞==-当1k ≥时，'21()0,01f x k x x =-<∀≥+，此时解得21k x k ->显然成立，故当1k ≥时，()f x 在[0,)+∞上严格单调递减.而(0)0f =，所以方程arctan 0x kx -=在1k ≥时不存在正实根.当01k <<时，令'()0f x <解得x >()f x在)+∞上单调递减，在上单调递增,又(0)0f f >=，lim ()x f x →+∞==-∞，由介值性定理知，方程()0f x =在)+∞内有唯一的正实根. 6.(20分)设函数1()nn x f x n∞==∑定义在[0,1]上，证明(0,1)上满足下述方程：()(1)ln ln(1)(1)f x f x x x f +-+-=.证 设()()(1)ln ln(1),(0,1)F x f x f x x x x =+-+-∈, 则'''11111111111111ln(1)ln ()()(1)1(1)11(1)(1)1(1)1(1)0n n n nn n n n n n n n n n n n n x xF x f x f x x xx x x x n n x n x n x x x x n n n n --∞∞∞∞-====---∞∞∞∞====-=--+----=--------=--+=∑∑∑∑∑∑∑∑即()F x c =,(c 为常数)，(0,1)x ∈，所以1lim ()(1)x F x f -→=故证 ()(1)ln ln(1)(1)f x f x x x f +-+-=.。