福建数学理

2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学试题（理工农医类）
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.
1.已知复数的共轭复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
z i 21z +=i z A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合，，则
是的（）{}a A ,1={}3,2,1=B ”“3=a ”“B A ⊆A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.双曲线的顶点到渐进线的距离等于（ ）14
22
=-y x
A. B. C. D. 52545525
544.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩
分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，
得到如图所示的频率分布直方图。

已知高一年级共有学生600名，
据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）
A.588
B.480
C.450
D.120
5.满足，且关于的方程{}2,1,0,1,-∈b a x 0
22=++b x ax 有实数解的有序数对的个数为（ ）
A. 14
B. 13
C. 12
D. 10
6.阅读如图所示的程序框图，若编入的，则该算法的功能是（ ）10=k
A. 计算数列
的前10项和 B.计算数列的前9项和 {}12-n {}12-n C. 计算数列的前10项和 D. 计算数列的前9项和 {}1-2n {}1-2n
7. 在四边形中，，,则该四边形的面积为（ ）ABCD )2,1(=AC
)2,4(-=BD A. B. C.5 D.10
5528. 设函数
的定义域为R ，是的极大值点，以下结论)(x f ()000≠x x )(x f
一定正确的是（）
A. B.是的极小值点 )()(,
0x f x f R x ≤∈∀0x -)-(x f C. 是的极小值点 D.是的极小值点
0x -)(-x f 0x -)-(-x f 9. 已知等比数列的公比为，记，
{}n a q m n m n m n m n a a a b +-+-+-+⋅⋅⋅++=)1(2)1(1)1(，，则以下结论一定正确的是（ ）
m n m n m n m n a a a b +-+-+-*⋅⋅⋅**=)1(2)1(1)1(()*,N n m ∈A. 数列
为等差数列，公差为 B. 数列为等比数列，公比为 {}n b m q {}n b m q 2
C. 数列为等比数列，公比为
D. 数列为等比数列，公比为
{}n c 2m q {}n c m m q 10.　设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：T S ,R S T )(x f y =)
(i ；对任意，当时，恒有{}
S x x f T ∈=)()(ii S x x ∈21,21x x <)()(21x f x f <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）
A. B.　
N B N A ==*, {}{}
1008,31≤<-==≤≤-=x x x B x x A 或C. D.
{}R B x x A =<<=,10Q B Z A ==,第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
1、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.
11. 利用计算机产生～之间的均匀随机数，则事件‘3a-1>0’发生的概率为_________
01a 12. 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、
俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球
的表面积是
13. 如图，在中，已知点在边上，,, , ABC ∆D BC AC AD ⊥
23,3
22sin ==∠AB BAC 3=AD 则的长为
BD 14. 椭圆的左右焦点分别为,焦距为，若直线()01:22
22>>=+Γb a b
y a x 21,F F c 2与椭圆的一个交点满足)c x y +=3Γ1
2212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于_____
15. 当时，有如下表达式：1,
<∈x R x x x x x n -=
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++1112两边同时积分得：⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++21021021022
1
0210111dx
x dx x dx x xdx dx n
从而得到如下等式：
.2ln )2
1(11)21(31)21(21211132=⋅⋅⋅+⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+n n 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： =⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+132210)2
1(11)21(31)21(2121n n n n n n C n C C C 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
16.（本小题满分13分）
某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为
32，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为5
2
，中奖可以获得3分；未中奖则不得分。

每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品。

　1　若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,求的概率；
X 3≤X 2　若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
17.（本小题满分13分）
已知函数)
(ln )(R a x a x x f ∈-=　1　当时，求曲线
在点处的切线方程；2=a )(x f y =))1(,1(f A 2　求函数的极值
)(x f 18.（本小题满分13分）
如图，在正方形中，为坐标原点，点的坐标为
，OABC O A ()0,10点的坐标为，分别将线段和十等分，分点分别记为
C ()10,0OA AB
和，连接，过作轴的垂线与921,,,A A A ⋅⋅⋅921,,,B B B ⋅⋅⋅i OB i A x i
OB 交于点。

()91*,≤≤∈i N i P i 1　求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线的方程；()91*,≤≤∈i N i P i
E 2　过点作直线与抛物线E 交于不同的两点, 若与的面积之比为4:1，求直线C l N M ,OCM ∆OCN ∆l 的方程。

19.（本小题满分13分）
如图，在四棱柱中，侧棱底面,
1111D C B A ABCD -⊥1AA ABCD )
0(,6,5,4,3,1,//1>=====k k DC k BC k AD k AB AA DC AB 1　求证：平面⊥CD 1
1A ADD 2　若直线与平面所成角的正弦值为
，求的值1AA C AB 176k
　3　现将与四棱柱1
111D C B A ABCD -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的
新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不
同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为
，写出的解析式。

（直接写出答案，不必说明理由）
)(k f )(k f 20.（本小题满分14分）
已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，将函数)0,0)(sin()(πϕϕ<<>+=w wx x f π⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4π图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个
)(x f 2π单位长度后得到函数的图象。

)(x g 1　求函数与的解析式
)(x f )(x g 2　是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈4,60ππx )()(),(),(0000x g x f x g x f 的个数，若不存在，说明理由；
0x 3　求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点
a n )()()(x ag x f x F +=()πn ,0
21. 本小题设有(1)、(2)、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.
(1). (本小题满分7分) 选修4-2：矩阵与变换
已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线1:=+y ax l )102
1(=A 1
:'=+by x l （I ）求实数的值
b a ,（II ）若点在直线上，且，求点的坐标),(00y x P l ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000y x y x A P (2).(本小题满分7分) 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为
，直线的极坐标方程为，且点A 在直线上。

⎪⎭⎫ ⎝
⎛4,2πl a =-)4cos(πθρl （Ⅰ）求的值及直线的直角坐标方程；
a l （Ⅱ）圆C 的参数方程为，试判断直线l 与圆C 的位置关系.)(sin ,cos 1为参数a a y a x ⎩
⎨⎧=+= (3).(本小题满分7分) 选修4-5：不等式选讲
设不等式的解集为A,且*)(2N a a x ∈<-A A ∉∈2
1,23 （Ⅰ）求的值
a （Ⅱ）求函数的最小值
2)(-++=x a x x f。