九年级上册一元二次方程专题讲义

九年级上册一元二次方程专题讲义

考点1：一元二次方程的概念 只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．

一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0)．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数； c 是常数项．

例1.下列方程中，关于x 的一元二次方程是 ( )

A.1212+=+x x ）（

B.02112=++x

x C.02=++c bx ax D.1222-=+x x x

练习1.下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）

A.

22)2(1+=+x x ）（ B. K ²x ＋5k+6=0 C.3x ²＋2x+x

1=0 D.( k ²＋3) x ²＋2x+1=0 例2.关于x 的方程1(3)50a a x x --++=是一元二次方程，则a ＝_______．

例3.一元二次方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为______，一次项系数为_______，常数项为_______．

考点2：一元二次方程的解法

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．

1.直接开平方法：对形如(x+a)2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法． x+a=±b

∴1x =-a+b 2x =-a-b

2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(a ≠0)的一般步骤是：

①化为一般形式；

②移项，将常数项移到方程的右边；

③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；

④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a)2=b 的形式；

⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ＜0，则原方程无解．

3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法，它是通过配方推导出来的． 一元二次方程解的情况：式子b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx+c=0(a ≠0)根的判别式，通常用希腊

字母“Δ”来表示，即Δ=b 2－4ac ． ⑴b 2－4ac ＞0 ⇔方程有两个不相等的实数根；

⑵b 2－4ac=0 ⇔方程有两个相等的实数根；

⑶b 2－4ac ＜0 ⇔方程没有实数根．

解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用b 2－4ac ，解题主要用于求方程中未知系数的值或取值范围． 一元二次方程的求根公式是a ac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)．

步骤：①把方程转化为一般形式；

②确定a ，b ，c 的值；

③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式．

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．

理论根据：若ab=0，则a=0或b=0.

步骤是：

①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；

③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．

因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法.

例1.用合适的方法解下列方程：

（1）x 2＋2x －4=0 （2）()()22121-=+x x （3）4(x-1)2=25

（4）2x 2-x-2=0； （5）x 2-x-6=0； （6）(x-1)2=3x(x-1)

练习1.已知方程x 2+kx －3=0一个根是－3，求它的另一个根及k 的值

练习2.若x ²- 2x 与2x - 4互为相反数，则x 的值为（ ）

A ．12

B 、2

C 、±2

D 、±12

练习3.已知一元二次方程x 2+ 2x －8=0的一根是2，则另一个根是_______．

练习4.若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2

+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_________．

练习5.等腰三角形的底和腰是方程2680x x -+=的两根，则这个三角形的周长是________．

例2.若关于x 的一元二次方程－x 2+（2k+1）x+2－k 2=0有实数根，则k 的取值范围是_______．

练习6.若关于x 的方程kx 2－2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）

A.k ＞－1

B. k ＞－1且k ≠0

C. k ＜1

D. k ＜1且k ≠0

中考链接：

（2013昆明，6，3分）一元二次方程2x ²－5x ＋1=0的根的情况是（ ）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.无法确定

（2015昆明，13，3分） 关于x 的一元二次方程01422=-+-m x x 有两个相等的实数根，则m=______.

考点3：根与系数的关系(韦达定理) 对于方程ax 2＋bx+c=0(a ≠0）来说，1x + 2x =a

b -，1x •2x =a

c 。 利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如2122122212)(x x x x x x -+=+ 21212

111x x x x x x +=+ 解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。

例1.若1x ,2x 是方程x 2－5x+6=0的两个根，则1x •2x 的值是（ ）

A .1 B.5 C. －5 D.6

练习1.若1x ,2x 是方程x 2 －3x －1=0的两个根，则2

111x x +的值为（ ） A.3 B.－3 C.31 D.－3

1 练习2.若1x ,2x 是方程x

2 －6x+k －1=0的两个根，且242221=+x x ，则k 的值为（ ）

A.8

B. 7

C.6

D.5

练习3.关于x 的方程kx 2+(k+2)x+

4

k =0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；

(2)是否存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在求出k 的值；若不存在说明理由．

例2.一元二次方程x ²－4x+m=0的一根为2+5，则另一根为_______．