排列与组合综合用题
2024全国高考真题数学汇编：排列、组合与二项式定理章节综合
2024全国高考真题数学汇编排列、组合与二项式定理章节综合一、单选题1．（2024全国高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A．14B．13C．12D．232．（2024北京高考真题）在 4x的展开式中，3x的系数为（）A．6B．6 C．12D．12二、填空题3．（2024天津高考真题）在63333xx的展开式中，常数项为．4．（2024上海高考真题）在(1)nx 的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x项的系数为．5．（2024全国高考真题）1013x的展开式中，各项系数中的最大值为．6．（2024全国高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于12的概率为．7．（2024全国高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是．参考答案1．B【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率81=243P.解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24 ，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243.故选：B 2．A【分析】写出二项展开式，令432r，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】 4x 的二项展开式为 442144C C1,0,1,2,3,4r rrr rr r T x xr，令432r，解得2r ，故所求即为 224C 16 .故选：A.3．20【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x的展开式的通项为63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x，令 630r ，可得3r ，所以常数项为0363C 20 .故答案为：20.4．10【分析】令1x ，解出5n ，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【详解】令1x ，(11)32n ，即232n ，解得5n ，所以5(1)x 的展开式通项公式为515C rr r T x ，令52r -=，则3r ，32245C 10T x x ．故答案为：10．5．5【分析】先设展开式中第1r 项系数最大，则根据通项公式有1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r，进而求出r 即可求解.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x，010r 且r Z ，设展开式中第1r 项系数最大，则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r，294334r r，即293344r ，又r Z ，故8r ，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为28101C 53.故答案为：5.6．715【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则323a b c a b ，就c 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120 种，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b ，故2()3c a b ，故32()3c a b ，故323a b c a b ，若1c ，则5a b ，则 ,a b 为： 2,3,3,2，故有2种，若2c ，则17a b ，则 ,a b 为： 1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c ，则39a b ，则 ,a b 为：1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5， 2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c ，则511a b ，同理有16种，当5c ，则713a b ，同理有10种，当6c ，则915a b ，同理有2种，共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为 22101656 ，故所求概率为56712015.故答案为：7157．24112【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有432124 种选法；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152******** .故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.。
2019四年级下数学奥数练习-排列组合综合应用练习题附答案
排列组合综合应用练习题一．夯实基础：1. 由 0，2，5，6，7，8 组成无重复数字的数．⑴ 四位偶数有多少个？⑵ 四位奇数有多少个？⑶ 四位偶数有多少个？2. 由 0，2，5，6，7，8 组成无重复数字的数．⑴整数有多少个？⑵是 5 的倍数的三位数有多少个？3. 由 0，2，5，6，7，8 组成无重复数字的数．⑴是 25 的倍数的四位数有多少个？⑵大于 5860 的四位数有多少个？4.一个小组共 10 名学生，其中 4 女生，6 男生.现从中选出 3 名代表，其中至少有一名女生共有多少种选法？二．拓展提高：5.正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中 3 个点为顶点的三角形共有多少个？6.从10 件产品中有4 件次品，现抽取3 件检查，（1）恰好有一件次品的取法有种；（2）既有正品又有次品的取法有种.7.圆周上有十个点，任两点之间连一条弦，这些弦在圆内共有多少个交点？8.用 2，4，6 三个数字来构造六位数，但是不允许有两个连着的 2 出现在六位数中（例如626442 是允许的，但226426 就不允许），问这样的六位数有多少个？三. 超常挑战9.有5 个标签分别对应着 5 个药瓶，恰好贴错 3 个标签的可能情况有多少种？10.由 1447，1005，1231 这三个数字有许多相同之处：它们都是四位数，最高位都是 1，都恰有两个相同数字，一共有多少个这样的数？11.某旅社有导游9 人，其中3 人只会英语，2 人只会日语，其余4 个既会英语又会日语．现要从中选6 人，其中3 人做英语导游，另外3 人做日语导游．则不同的选择方法有多少种?ADB12. 在10 名学生中，有5 人会装电脑，有3 人会安装音响设备，其余2 人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由6 人组成的安装小组，组内安装电脑要3 人，安装音响设备要3 人，共有多少种不同的选人方案?13. 在四位数中，各位数字之和是 4 的四位数有多少？四．杯赛演练：14. （迎春杯初赛）6 个人传球，每两人之间至多传 1 次，那么至多共进行几次传球？15. （华杯赛冬令营培训题）如图，A 、B 、C 、D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，则不同的建桥方案共有几种？C5 2 4 45 46 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 54 43 34 3 35 46 4 6 4 10 6 10 67 4 6 4 6 4 6 答案：1. （1）注意 0 不能做首位， 5A 3 = 300 个．（2） 个位为特殊位置，只能从 5，7 中选一个；0 是特殊元素，它不能放在千位；综上，四位奇数有C 1C 1 A 2 = 96 个． （3） 位只能在 0，2，6，8 中选择，进一步分成两种情况：若个位为 0，则共有 A 3= 60种；若个位不是 0，则个位从 2，6，8 中选一个，有 3 种方法，然后选择千位，有 4 种方法，最后再选剩余的两位，有 A 2 = 12 种，所以四位偶数有 60 + 3⨯ 4⨯12 = 204 个．2. ⑴包括一位数、二位数、三位数、…、六位数，共有A 1 + A 1A 1 + A 1A 2 + A 1A 3 + A 1A 3 + A 1A 4 + A 1A 5 = 1631个．⑵5 的倍数，则个位为 0 或 5，分两种情况：若个位为 0，则有 A 2 = 20 个；若个位为 5， 则有 A 1 A 1 = 16 个，所以共有 36 个是 5 的倍数的三位数．3. ⑴25 的倍数，在本题的条件下，末两位只可能是 25，50 或 75. 若末两位为 25，则这样的四位数有 A 1A 1 = 9 个；若末两位为 50，则这样的四位数有 A 2 = 12 个；若末两位为 75，则这样的四位数有 A 1A 1 = 9 个，因此能被 25 整除的四位数共有 30 个． ⑵千位如果为 5，则前三位为 586，第四位有 2 或 7 两种选择；前三位若为 587，则四位有 0，2，6 三种选择，所以，千位为 5 总共有 5 个数； 千位如果为 6、7、8，则均有 A 3 = 60 个数，因此，大于 5860 的四位数有5 + 3⨯ 60 =185 个．4. “至少有一名女生”意味着存在女生，也就是说不能都是男生.所以，理解这句话的意思至关重要！我们可以从直接与间接两种方法解这道题，同学们可以比较一下.方法一：直接法.由于共有 4 个候选女生，因此至少有一名女生，包括如下几种情况：⑴1 名女生，2 名男生： C 1C 2= 60 种选法；⑵2 名女生，1 名男生： C 2C 1 = 36 种选法；⑶3 名女生， C 3 = 4 种选法.所以，共有60 + 36 + 4 =100 种选法. 方法二：间接法.先从 10 名学生中任意选出 3 名学生，有C 3 种选法；然后从中扣除没有女生的情况（ 即全是男生的情况）， 有 C 3 种选法. 所以， 至少有一名女生的选法数有C 3 - C 3 = 120 - 20 = 100 ．5. 7 个点中选出 3 个点的方法为C 3 = 35 种，其中三条对角线上的 3 点组合是共线的，不合 要求. 35 - 3 = 32 种．6. ⑴ C 1C 2= 60 种；⑵既有正品又有次品分为：1 件次品，2 件正品；2 件次品，1 件正品两类，即： C 1C 2 + C 2C 1= 60 + 36 = 96 种.10 6 5 4 5 9 1 9 4 4 4 4 5 57. 两条弦的交点与四边形的个数一一对应，因而有C 4 = 210 个交点．8. （1）若六位数中没有 2，则每一位只能从 4 或 6 中选一个，这时有26 = 64 个.（2） 若六位数中只有 1 个 2，则 2 有C 1= 6 种位置选择，其余 5 个位置从 4 或 6 中选取，则有6⨯ 25 =192 个. （3） 若六位数中有 2 个 2，这时有24 ⋅ C 2 =160个（插空法）. （4） 若六位数中有 3 个 2，这时有23⋅ C 3= 32 个；由题意，不可能在六位数中出现4 个4 个以上的2.于是共有64 +192 +160 + 32 = 448 个.9. 将瓶子命名为 1，2，3，4，5 号，如果是 1，2 号瓶贴对，则其余 3 个瓶子都贴错的， 简单枚举可发现有 2 种贴错的情况；而另选两个瓶子贴对，则剩余 3 个瓶子都贴错也是 2 种情况，因此共有C 2 ⨯ 2 = 20 种.10. 由于首位是 1，因此那两个相同数字应该以是否是 1 而分类：⑴若相同数字是 1：另一个 1 有 3 种位置可以选择，另两位数字不能是 1 且不能相同，故有 A 2 种不同排法，因而有m =3A 2= 216 个. ⑵若相同数字不是 1：这时相同数字有 9 种不同选法，这两个相同数字在后 3 位只 有 3 种不同排法，另一位数字既不是 1，又不能与相同数字相同，因此有 8 种不同取法．因而有m 2 = 9⨯ 3⨯8 = 216 个.综上，满足条件的四位数共有216 + 216 = 432 个．11. 此题若从“多面手”出发来做，不太简便，由于只会日语的人较少，所以针对只会日语的人讨论，分三类：⑴只会日语的 2 人都出场，则还需1 个多面手做日语导游，有 4 种选择．从剩下的只会英语的人和多面手共6 人中选3 人做英语导游，有C 3 = 6 ⨯ 5⨯ 4= 20 种选择．由63⨯ 2 ⨯1乘法原理，有4⨯ 20 = 80 种选择．⑵只会日语的2 人中有1 人出场，有2 种选择．还需从多面手中选2 人做日语导游，有C 2 = 4 ⨯ 3= 6 种选择．剩下的只会英语的人和多面手共5 人中选3 人做英语导游，42 ⨯1 有C3 = 5⨯4 ⨯ 3= 10 种选择．由乘法原理，有2⨯ 6⨯10 =120 种选择．53⨯ 2 ⨯1⑶只会日语的人不出场，需从多面手中选3 人做日语导游，有C 3 = C 1 = 4 种选择．剩下的只会英语的人和多面手共4 人中选3 人做英语导游，有C 3 = C 1 = 4 种选择．由乘法原理， 有 4⨯ 4 =16 种选择． 根据加法原理， 不同的选择方法一共有 80 +120 +16 = 216 种．12. 按具有双项技术的学生分类：⑴两人都不选派，有C 3 =10 种选派方法；⑵两人中选派1 人，有2 种选法．而针对此人的任务又分两类：若此人要安装电脑，有C 2 = 10 种选法， 而另外会安装音响设备的3 人全选派上，只有1 种选法．由乘法原理，有10⨯1 =10 种选法；若此人安装音响设备，有C 2 = 3 种选法，需从5 人中选3 人安装电脑，有C 3 = 10 种35选法．由乘法原理，有3⨯10 = 30 种选法．根据加法原理，有10 + 30 = 40 种选法；综上 所述一共有2⨯ 40 = 80 种选派方法．⑶两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：① 两人全安装电脑，有5⨯1 = 5 种选派方案；②两人一个安装电脑，一个安装音响设备， 有C 2 ⨯ C 2 = 60 种选派方案；③两人全安装音响设备，有3⨯ C 3 = 30 种选派方案．根据加5356 法原理，共有5 + 60 + 30 = 95 种选派方案．综合以上所述，符合条件的方案一共有10 + 80 + 95 =185 种．13. 设原四位数为 ABCD ，按照题意，我们有 A + B + C + D = 4 ，但是对 A 、 B 、C 、 D 要求不同，因为这是一个四位数，所以应当有 A ≠ 0 ，而其他三个字母都可以等于 0，这样就不能使用我们之前的插板法了，因此我们考虑将 B 、C 、 D 都加上 1，这样 B 、C 、 D 都至少是 1，而且这个时候它们的和为4 + 3 = 7 ，即问题变成如下表达：一个各位数字不为 0 的四位数，它的各位数字之和为 7，这样的四位数有多少个？采用插板法，共有 6 个间隔，要插入 3 个板，可知这样的四位数有C 3= 20 个，对应着原 四位数也应该有 20 个.14. 6 个点间进行连线，共可以连成15 条，但是由题意知这是个一笔画问题，若把这些线全连上，则图形中有 6 个奇点，不能一笔画，因此至少要去掉 2 条线（以去掉 4 个奇点），所以至多共进行15 - 2 =13 次传球.15. 本题考察对应与转化思想.可以这样考虑：先把四个点间所有能连的线都连起来，共有C 2 = 6 种方法，然后从这 6 条线中选择 3 条将其去掉，有C 3 = 20 种选法，但是连在同46一个点上的三条线不能同时去掉，所以必须再去掉 4 种情况，所以共有 16 种.。
高考数学总复习历年考点知识与题型专题讲解26---排列组合的综合运用(解析版)
高考数学总复习历年考点知识与题型专题讲解排列组合的综合运用考点一全排列【例1】（2020·全国专题练习）在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（）A．4种B．12种C．18种D．24种【答案】D【解析】由题意可得不同的采访顺序有4424A 种，故选：D.【举一反三】1．（2020·全国专题练习）2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有（）A．64种B．48种C．24种D．12种【答案】C【解析】4个医疗小组全排列后按顺序到四个国家即可，共有4424A=种方法．故选：C．2．（2020·吉林吉林市·高二期末）将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A．50 B．60 C．120 D．90【答案】C【解析】由题意，将5本不同的数学用书放在同一层书架上，即将5本不同数学书全排列，故有55120A=种，故选：C．3．（2020·灵丘县豪洋中学高二期末）3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法有（）A．3种B．6种C．12种D．5种【答案】B【解析】3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，全排列：333216A=⨯⨯=.故选：B考点二相邻问题【例2】（2021·河北张家口市）某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为（）A．24 B．36 C．48 D．60【答案】C【解析】先安排甲､乙相邻，有22A种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，故有排法种数为424248A A⨯=.故选：C【举一反三】1．（2020·全国专题练习）在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（）A．8种B．12种C．20种D．24种【答案】C【解析】当甲排在第一位时，共有323212A A =种发言顺序，当甲排在第二位时，共有1222228C A A =种发言顺序，所以一共有12820+=种不同的发言顺序.故选：C.2．（2020·湖北随州市·高二期末）5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有多少种排列的方法（ ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种【答案】C【解析】5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有424248A A =种排列的方法.故选：C.3．（2020·重庆高二期末）6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（ ）种排法.A ．24B ．120C ．240D ．140【答案】C【解析】将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有55120A =种排法，而2个女生可以交换位置，所以共有52521202240A A ⋅=⨯=排法，故选：C.4.（2020·深圳市龙岗区龙城高级中学）把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ）A．96B．240C．280D．480【答案】B【解析】因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，又分给甲、乙、丙、丁四个人，则在座位号1、2、3、4、5、6的五个空位插3个板子，有3510C=种，然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有4424A=种，所以不同的分法种数为1024240⨯=,故选：B考点三不相邻问题【例3】（2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中）省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（）种安排方式.A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】6间空教室，有3个空教室不使用，故可把作为检查项目的教室插入3个不使用的教室之间，故所有不同的安排方式的总数为3424A=.故选：B.【举一反三】1．（2020·北京高二期末）3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（）A ．77A B ．4343A AC ．4343A A D ．4345A A【答案】D【解析】根据题意，分2步进行：①将4名学生站成一排，有44A 种排法； ②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有35A 种情况；则有4345A A 种排法；故选：D .2．（2020·北海市教育教学研究室高二期末）若5个人排成一列纵队，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有（ ）A ．12种B ．14种C ．5种D ．4种【答案】A【解析】分两步完成：第一步，5个人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有22A 种排法；第二步，从3个可插空档给甲、乙、丙3人排队有33A 种插法.由分步乘法计数原理可知，一共有2323A A 种排法.故答案选A3．（2020·四川省新津中学）五名学生和五名老师站成一排照相，五名老师不能相邻的排法有（ ）A ．55552A A B ．5565A AC ．55562A AD ．5555A A【答案】B【解析】由题意五名老师不能相邻用插空法，排法数为5565A A ．故选：B ．4．（2020·重庆市第七中学校高二月考）现“学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有（ ）种.A ．24B ．36C ．72D ．144【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①，在4个视频中任选2个进行学习，有246C =种情况，②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，共有4424A =种情况，其中2篇文章学习顺序相邻的情况有232312A A =种情况，故2篇文章学习顺序不相邻的情况有12种，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有61272⨯=种；故选：C考点四 分组分配【例4】（2020·全国）疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ）A ．60种B ．90种C ．150种D ．240种【答案】C【解析】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有1223542322C C C A A ;分为1，1，3时安排有1133543322C C C A A 所以一共有12211333542543332222150C C C C C C A A A A +=故选：C 【举一反三】1．（2020·广东深圳市·深圳外国语学校）有四位朋友于七夕那天乘坐高铁G 77从武汉出发（G 77只会在长沙、广州、深圳停），分别在每个停的站点至少下一个人，则不同的下车方案有（ ）A ．24种B ．36种C ．81种D ．256种【答案】B【解析】依据题意每个停的站点至少下一个人，先按2+1+1分成三组，有24C 种分法，再分配到三个站点，有33A 种分法，所以一共有234336C A =种不同的下车方案.故选：B.2．（2020·河北）特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（ ）A ．24B ．14C ．12D ．8【答案】C【解析】先把4名数学教师平分为2组，有2242223=C C A 种方法，再把2名体育教师分别放入这两组，有222A =种方法，最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有223212A ⨯⨯=种方法.故选：C.3．（2020·江西高二期末）江西省旅游产业发展大会于2020年6月11日～13日在赣州举行，某旅游公司为推出新的旅游项目，特派出五名工作人员前往赣州三个景点进行团队游的可行性调研.若每名工作人员只去一个景点且每个景点至少有一名工作人员前往，则不同的人员分配方案种数为（ ）A ．60B ．90C ．150D ．240【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析： ①将五名工作人员分成3组，若分为3、1、1的三组，有3510C =种分法，若分为2、2、1的三组，2215312215C C C A =种分法，则有101525+=种分组分法；②将分好的三组全排列，对应三个景点，有336A =种情况，则有256150⨯=种分配方法；故选：C ．4．（2020·四川达州市·高二期末）公元2020年年初，19COVID -肆虐着中国武汉，为了抗击19COVID -，中国上下众志成城，纷纷驰援武汉.达州市决定派出6个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A 医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（ ）A ．30B ．60C ．90D ．180【答案】A【解析】根据题意，分2步进行：①将6个医疗小组平均分成3组，每组2支医疗队，有22264233=15C C C A 种分组方法； ②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有222A =种情况，则有15230⨯=种不同的安排方法. 故选：A.5．（2020·沈阳市·辽宁省实验中学分校高二期末）据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ）A ．310B ．25C ．825D ．35【答案】B【解析】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有2211225575327555322322C C C C C C A A A A A ⋅=种分法； 其中伯爵恰有两人的分法有2211142247532247543232C C C C C A C C A A A ⋅=种分法，∴伯爵恰有两人的概率2247542257552225C C ApC C AA==.故选：B.考向五几何问题【例5】（2020·全国）如图，MON∠的边OM上有四点1A、2A、3A、4A，ON上有三点1B、2B、3B，则以O、1A、2A、3A、4A、1B、2B、3B中三点为顶点的三角形的个数为（）A．30B．42C．54D．56【答案】B【解析】利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，因此，符合条件的三角形的个数为33384542C C C--=.故选：B.【举一反三】1．（2020·湖南高三开学考试）以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（）个A．70 B．64 C．60 D．58【答案】D【解析】三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有488765C 704321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，可得不同的三棱锥有701258-=个.故选：D.2．（2020·昆明呈贡新区中学）在圆上有6个不同的点，将这6个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的区域数最多为（ ）A ．32B ．15C ．16D ．31【答案】D【解析】两个点可以连一条弦，将圆分为两部分，加一个点，多两条弦，将圆多分出来两部分，所以每加一条弦可以按这种方式多出一个区域，再加一个点，变成了一对相交弦和四条其他的弦，共分为8个区域，所以除去前一种方式增加的区域数，一对相交弦还会多产生一个区域，故当点数多于4个时，最多可分得总的区域数为241C C n n ++，此题6n =，所以最多可分为31个区域.故选：D .3．（2020·北京丰台区·高二期末）平面内有8个点，以其中每2个点为端点的线段的条数为（ ）A ．21B ．28C ．42D ．56【答案】B【解析】线段由2个端点组成，因此只需要从8个点中选取2个即可构成一条线段，所以线段条数为2828C =，故选：B.4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高二期中）以长方体1111ABCD A B C D -的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种A ．1480B ．1468C ．1516D ．1492【答案】B【解析】因为平行六面体1111ABCD A B C D -的8个顶点任意三个均不共线， 故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有38=56C 个三角形，从中任选两个，共有2561540C =种情况，因为平行六面体有六个面,六个对角面， 从8个顶点中4点共面共有12种情况， 每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种，故选：B.考向六 方程不等式问题【例6】（2020·全国）方程10x y z ++=的正整数解的个数__________.【答案】36【解析】问题中的x y z ､､看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内．∴共有2936C =种．故答案为：36【举一反三】1．（2021·山西太原市）三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数有_____. 【答案】105【解析】由,,x y z N ∈,则13,,,x y z x y z N ++=∈设1,1,1a x b y c z =+=+=+，则,,a b c N +∈且16a b c ++=，则三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数等价于16a b c ++=,,,a b c N +∈的解的个数,等价于将16个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法，又将16个相同的小球分成3组，每组至少1个的不同分法，只需在16个球之间的15个空中选2个空用隔板隔开即可，则共有21515141052C ⨯==种分法，即三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数有105个，故答案为：105.2．（2020·四川雅安市·雅安中学高二月考）方程123412x x x x +++=的正整数解共有（ ）组A ．165B ．120C ．38D ．35【答案】A【解析】如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.考向七 数字问题【例7】（2020·南通西藏民族中学）从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有（ ）A ．6种B ．9种C ．10种D ．15种【答案】C【解析】在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为1236++=，和的最大值为45615++=，所以当从1，2，3，4，5，6中任取三个数相加时，则不同结果有10种．故选：C.【举一反三】1．（2020·全国）在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的所有取法种数为( )A．6 B．12 C．18 D．24【答案】A【解析】根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有5、6、7，在1，2，3，4中有2个数字，则不同的取法有246C=种，故选：A．2．（2020·广东汕尾市·高二月考）从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的六位数，其中偶数共有（）A．312个B．1560个C．2160个D．3120个【答案】D【解析】从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的六位偶数，可分为以下两种情况：①、0放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再与2，4全排列即可，共有35551200C A ⋅=个；②、0不放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再从2，4中选择一个作为末位数，从剩下的非首位中选择一个放置0，再将余下的数字全排列即可，共有311452441920C C C A ⋅⋅⋅=个；则满足要求的偶数共有120019203120+=个. 故选：D.3．（2020·浙江高三其他模拟）从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中取三个，所取三个数之积为偶数且能被3整除，则不同的选取方法有（ ）A ．55种B ．61种C ．64种D ．70种【答案】A【解析】对三个数中有没有6进行分类：①含有6时，只需从剩下的8个数中任意选两个即可，即28C 28=种； ②不含6时，则需要3与9．当3与9同时存在时，需要从剩余的3个偶数中选一个，即133C =种；当3与9有1个存在时，偶数可以选1个或2个，即()11122333C C C C 24⋅+=种．综上所述，不同的选取方法有55种， 故选：A ．。
排列、组合的综合问题
从 1，3，5，7，9 中任取三个数，从 2，4，6，8 中任取两 个数，则可以组成没有重复数字的五位数的个数为________． 解析：“先取元素后排列”，分三步完成：第一步，从 1，3， 5，7，9 中任取三个数，有 C35种取法；第二步，从 2，4，6，8 中任取两个数，有 C24种取法；第三步，将取出的五个数全排列， 有 A55种排法．共有符合条件的五位数 C35C24A55＝7 200(个)． 答案：7 200
• 处理有附加条件的排列、组合应用题的策略: • (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，
再考虑其他元素; • (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，
再考虑其他位置; • (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，
再减去不合要求的排列数或组合数.
【基础检测】
1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜中选
个，再加上 3 开头的排列数才共有 180 个，如果加
上 4 开头的，则共有 240 个，所以第 200 项应该是
4 开头的数．
而形如 4 1
数，有 A24＝12 个．
故 200 项在形如 4 2
中．
又 421
， 423
各有 3 个数，故此数应在形如 4 2 5 中 的 第 二 个数、即符合 180＋12＋3＋3＋2＝200. 故所求第 200 项为：4253.
A．24
B．48
C．120
D．72
D
【解析】解法一：特殊位置法：第一步：从除
A 外的 4 人中选 2 人参加理、化竞赛，有 A24种选法； 第二步：从剩余 3 人中选 2 人参加数、英竞赛，有 A23种选法，共 A24·A23＝72 种．
解法二：特殊元素法：分选 A 及不选 A 两种， 共 C34·C12A33＋A44＝72 种．
【排列组合(10)】排列与组合综合应用(二)
排列与组合综合应用(二）一、选择题1.某班上午有五节课，分別安排语文，数学．英语．物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻．且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是()A. 16B. 24C. 8D. 122.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为()A. 50B. 80C. 120D. 1403.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排，若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为()A. 60B. 72C. 84D. 964.安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为()A. 72B. 96C. 120D. 1565.由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有()A. 36个B. 42个C. 48个D. 120个6.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有()种．A. 27B. 30C. 33D. 367.某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有()A. 60种B. 90种C. 150种D. 240种8.某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．则他第1次、第2次两次均未命中的概率是()A. 12B. 310C. 14D. 15二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）9.现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有______种．10.用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2、5相邻，则这样的五位数的个数是______(用数字作答)．11.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有______种．12.某高中高三某班上午安排五门学科(语文，数学，英语，化学，生物)上课，一门学科一节课，要求语文与数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）13.我校今年五四表彰了19名的青年标兵，其中A，B，C，D 4名同学要按任意次序排成一排照相，试求下列事件的概率(1)A在边上；(2)A和B在边上；(3)A或B在边上；(4)A和B都不在边上．14.六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲、乙必须相邻；(2)甲、乙不相邻；(3)甲、乙之间恰有两人；(4)甲不站在左端，乙不站在右端．15.从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？(写出计算过程，并用数字作答)(1)甲、乙两人必须跑中间两棒；(2)若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；(3)若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．16.4男3女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(1)任何两名女生都不相邻，有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？17.6本不同的书，按如下方法分配，各有多少种分法：(1)分给甲、乙、丙3人，每人各得2本；(2)分给甲、乙、丙3人，甲得1本，乙得2本，丙得3本；(3)分给甲、乙、丙3人，其中一人得1本，其中一人得2本，其中一人得3本．18.有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子.问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？19.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：(Ⅰ)选其中5人排成一排；(Ⅱ)排成前后两排，前排3人，后排4人；(Ⅲ)全体排成一排，女生必须站在一起；(Ⅳ)全体排成一排，男生互不相邻；(Ⅴ)全体排成一排，甲不站在排头，也不站在排尾。
高中数学排列与组合综合测试卷
高中数学排列与组合综合测试卷(含解析)选修2-3 1.2.2第三课时排列与组合习题课一、选择题1．(2021山东潍坊)6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为()A．40B．50C．60D．70[答案]B[解析]先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，因此乘车方法数为252＝50，故选B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种[答案]C[解析]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻显现，如此的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个[答案]C[解析]注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22C23＝6(种)排法，因此共有36＝18(种)情形，即如此的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有()A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人[答案]A[解析]设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2nC18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼能够一步上一级，也能够一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有() A．45种B．36种C．28种D．25种[答案]C[解析]因为108的余数为2，故能够确信一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司聘请来8名职员，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A．24种B．36种C．38种D．108种[答案]B[解析]本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由因此每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．组合数Crn(n1，n，rZ)恒等于()A.r＋1n＋1Cr－1n－1 B．(n＋1)(r＋1)Cr－1n－1C．nrCr－1n－1 D.nrCr－1n－1[答案]D[解析]∵Crn＝n！r！(n－r)！＝n(n－1)！r(r－1)！[(n－1)－(r－1)]！＝nrCr－1n－1，故选D.8．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为() A．33 B．34C．35 D．36[答案]A[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.9．(2021四川理，10)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72 B．96C．108 D．144[答案]C[解析]分两类：若1与3相邻，有A22C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．10．(2021北京模拟)假如在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种[答案]C[解析]先安排甲学校的参观时刻，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16A25＝120种，故选C.二、填空题11．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_____ ___种．(用数字作答)[答案]2400[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，因此共有20210＝2400(种)安排方法．12．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[答案]1260[解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49C25C33＝1260(种)排法．13．(2021江西理，14)将6位理想者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有___ _____种(用数字作答)．[答案]1080[解析]先将6名理想者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A44种分法，故所有分配方案有：C26C 24A22A44＝1 080种．14．(2021山东济宁)要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[答案]72[解析]5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，有432(12＋11)＝72种．三、解答题15．(1)运算C98100＋C199200；(2)求20C5n＋5＝4(n＋4)Cn－1n＋3＋15A2n＋3中n的值．[解析](1)C98100＋C199200＝C2100＋C1200＝100992＋200＝4950＋200＝5150.(2)20(n＋5)！5！n！＝4(n＋4)(n＋3)！(n－1)！4！＋15(n＋3)(n＋2)，即(n＋5)(n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1)6＝(n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1)n6＋15(n＋3) (n＋2)，因此(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90，即5(n＋4)(n＋1)＝90.因此n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7.注意到n1且nZ，因此n＝2.[点拨]在(1)中应用组合数性质使问题简化，若直截了当应用公式运算，容易发生运算错误，因此，当mn2时，专门是m接近于n时，利用组合数性质1能简化运算．16．(2021东北师大附中模拟)有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，依照这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？[解析]因为相邻的两个二极管不能同时点亮，因此需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C36种亮灯方法．然后分步确定每个二极管发光颜色有222＝8(种)方法，因此这排二极管能表示的信息种数共有C36222＝160(种)．17．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？(1)各组人数分别为2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．[解析](1)C212C410C66＝13 860(种)；(2)C412C48C44A33＝5 775(种)；(3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有C412C48C44A33A33＝C412C48C44＝34 650(种)不同的分法．18．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？[解析](1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，因此先排男生再让女生插到男生的空中，共有A66A47种不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A99种排法，若甲不在末位，则甲有A18种排法，乙有A18种排法，其余有A88种排法，综上共有(A99＋A18A18A88)种排法．方法二：无条件排列总数A1010－甲在首，乙在末A88甲在首，乙不在末A99－A88甲不在首，乙在末A99－A88甲不在首乙不在末，共有(A1010－2A99＋A88)种排法．(3)10人的所有排列方法有A1010种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，因此甲、乙、丙排序一定的排法有A 1010A33种．要练说，得练听。
小学数学《排列组合的综合应用》练习题(含答案)
小学数学《排列组合的综合应用》练习题（含答案）例1 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？分析首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理.解：符合要求的选法可分三类：不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有 5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有 5×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的.因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 15＋10＋ 6＝31种.注运用两个基本原理时要注意：①抓住两个基本原理的区别，千万不能混.不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数.不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数.②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分.③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的.例2 一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列.分析要不重不漏地写出所有排列，利用树形图是一种直观方法.为了方便，树形图常画成倒挂形式.解：由此可知，排列共有如下八种：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反.例3 用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数.分析此题属于有条件限制的排列问题，首先弄清楚限制条件表现为：①某位置上不能排某元素.②某元素只能排在某位置上.分析无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排0，或说千位上只能排1～9这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法.解法1：分析某位置上不能排某元素.分步完成：第一步选元素占据特殊位置，第二步选元素占据其余位置.解：分两步完成：第一步：从1～9这九个数中任选一个占据千位，有9种方法.第二步：从余下的9个数（包括数字0）中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种.十位有8种，个位有7种方法.由乘法原理，共有满足条件的四位数9×9×8×7=4536个.答：可组成4536个无重复数字的四位数.解法2：分析对于某元素只能占据某位置的排列可分步完成：第一步让特殊元素先占位，第二步让其余元素占位.在所给元素中0是有位置限制的特殊元素，在组成的四位数中，有一类根本无0元素，另一类含有0元素，而此时0元素只能占据百、十、个三个位置之一.解：组成的四位数分为两类：第一类：不含0的四位数有9×8×7×6=3024个.第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法，（让0占位只能在百、十、个位上，所以有3种）第二步让其余9个数占位有9×8×7种占法.所以含0的四位数有3×9×8×7=1512个.∴由加法原理，共有满足条件的四位数3024+1512=4536个.解法3：从无条件限制的排列总数中减去不合要求的排列数（称为排除法）.此题中不合要求的排列即为0占据千位的排列.解：从0～9十个数中任取4个数的排列总数为10×9×8×7，其中0在千位的排列数有9×8×7个（0确定在千位，百、十、个只能从9个数中取不同的3个）∴共有满足条件的四位数10×9×8×7-9×8×7=9×8×7×（10-1）=4536个.注用解法3时要特别注意不合要求的排列有哪几种？要做到不重不漏.例4 从右图中11个交点中任取3个点，可画出多少个三角形？分析首先，构成三角形与三个点的顺序无关因此是组合问题，另外考虑特殊点的情况：如三点在一条直线上，则此三点不能构成三角形，四点在一条直线上，则其中任意三点也不能构成三角形.此题采用排除法较方便.解：组合总数为C311，其中三点共线不能构成的三角形有7C33，四点共线不能构成的三角形有2C34，∴C311-（7C33+2C34）=165-（7+8）=150个.例5 7个相同的球，放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？（请注意，球无区别，盒是有区别的，且不允许空盒）分析首先研究把7分成4个自然数之和的形式，容易得到以下三种情况：①7=1+1+1+4②7=1+2+2+2③7=1+1+2+3其次，将三种情况视为三类计算不同的放法.第一类：有一个盒子里放了4个球，而其余盒子里各放1个球，由于4个球可任意放入不同的四个盒子之一，有4种放法，而其他盒子只放一个球，而球是相同的，任意调换都是相同的放法，所以第一类只有4种放法.第二类：有一个盒子里放1个球，有4种放法，其余盒子里都放2个球，与第一类相同，任意调换都是相同的放法，所以第二类也只有4种放法.第三类：有两个盒子里各放一个球，另外两个盒子里分别放2个及3个球，这时分两步来考虑：第一步，从4个盒子中任取两个各放一个球，这种取法有C24种.第二步，把余下的两个盒子里分别放入2个球及3个球，这种放法有P22种.由乘法原理有C24×P22=12种放法.∴由加法原理，可得符合题目要求的不同放法有4+4+12=20（种）答：共有20种不同的放法.注本题也可以看成每盒中先放了一个球垫底，使盒不空，剩下3个球，放入4个有区别盒的放置方式数.例6 用红、橙、黄、绿、蓝、青、紫七种颜色中的一种，或两种，或三种，或四种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？分析首先介绍正四面体（模型）.正四面体四个面的相关位置，当底面确定后，（从上面俯视）三个侧面的顺序有顺时针和逆时针两种（当三个侧面的颜色只有一种或两种时，顺时针和逆时针的颜色分布是相同的）.先看简单情况，如取定四种颜色涂于四个面上，有两种方法；如取定一种颜色涂于四个面上，只有一种方法.但取定三种颜色如红、橙、黄三色，涂于四个面上有六种方法，如下图①②③（图中用数字1，2，3分别表示红、橙、黄三色）如果取定两种颜色如红、橙二色，涂于四个面上有三种方法.如下图④⑤⑥但是从七种颜色里，每次取出四种颜色，有C47种取法，每次取出三种颜色有C37种取法，每次取出两种颜色有C27种取法，每次取出一种颜色有C17种取法.因此着色法共有2C47+6C37+3C27+C17=350种.习题六1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.如右图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？6.有十张币值分别为1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元的人民币，能组成多少种不同的币值？并请研究是否可组成最小币值1分与最大币值（总和）之间的所有可能的币值.习题六解答1.若投一封信看作一个步骤，则完成投信的任务可分三步，每封信4个邮筒都可投，即每个步骤都有4种方法.故由乘法原理：共有不同的投法4×4×4=64种.2.甲（或乙）胜就写一个甲（或乙）字，画树形图：由图可见共有14种可能.甲甲、甲乙甲甲、甲乙甲乙甲、甲乙甲乙乙、甲乙乙甲甲、甲乙乙甲乙、甲乙乙乙、乙甲甲甲、乙甲甲乙甲、乙甲甲乙乙、乙甲乙甲甲、乙甲乙甲乙、乙甲乙乙、乙乙.3.现有4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，则站在两端的都是女同学.将位置从右到左编号，第1、3、5、7号位是女同学，第2、4、6号位是男同学.于是完成适合题意的排列可分两步：第一步：从6名女同学中任选4名排在第1、3、5、7号位.有P46种排法.第二步：从5名男同学中任选3名排在第2、4、6号位，有P35种排法.因此，由乘法原理排出不同队形数为P46·P35=6×5×4×3×5×4×3=21600.4.图示：分两类：第一类：十万位上是3或5之一的六位偶数有P12·P14·P45个.第二类：十万位上是4或6之一的六位偶数有P12·P13·P45个.∴P12P14P45+P12P13P45=1680.5.五点共线有4组，四点共线的有9组，三点共线的有8组，利用排除法：C320-4C35-9C34-8C33=1140-4×10-9×4-8=1056.6.因为任一张人民币的币值都大于所有币值比它小的人民币的币值的和，例如1角的大于1分、2分、5分的和，因此不论取多少张，它们组成的币值都不重复，所以组成的币值与组合总数一致，有C110+C210+……+C1010=210-1=1023种.因为由这些人民币能组成的最小的币值是1分，最大的币值是十张币值的和，即1888分，而1023＜1888，可见从1分到1888分中间有一些币值不能组成.。
【排列组合(9)】排列与组合综合(一)
排列与组合综合（1）一、选择题1.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案()A. 180种B. 240种C. 360种D. 420种2.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有()种(用数字作答)．A. 720B. 480C. 144D. 3603.篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A为“取出的两个球颜色不同”，事件B为“取出一个红球，一个白球”，则P(B|A)等于()A. 16B. 313C. 59D. 234.已知某旅店有A，B，C三个房间，房间A可住3人，房间B可住2人，房间C可住1人，现有3个成人和2个儿童需要入住，为确保安全，儿童需由成人陪同方可入住，则他们入住的方式共有()A. 120种B. 81种C. 72种D. 27种5.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A. 192种B. 216种C. 240种D. 288种6.世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作．将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有()A. 36种B. 30种C. 24种D. 20种7.某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为()A. 1080B. 480C. 1560D. 3008.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有()A. 140种B. 80种C. 70种D. 35种9.若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是()A. 120B. 150C. 240D. 30010.将6本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有()A. 6B. 24C. 120D. 720二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有______ 种．12.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为______．13.用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，一共有______种不同的涂色方法．14.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为______ (用数字回答)三、解答题15.有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？16.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式⋅(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本;(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本;(3)平均分成三份，每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本;(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本;(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．17.三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？(5)如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？18.晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：(1)3个舞蹈节目排在一起；(2)3个舞蹈节目彼此分开；(3)3个舞蹈节目先后顺序一定；(4)前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目．19.在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查．(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？20.用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：(1)能组成多少个没有重复数字的三位数？(2)可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？(3)求2×3×4×6即144的所有正约数的和．(注：每小题结果都写成数据形式)排列与组合综合（1）一、选择题21.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案()A. 180种B. 240种C. 360种D. 420种【答案】D【解析】【分析】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有2A54种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A53种，相加即得所求．【解答】解：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A54种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A53种，故最多有A55+2A54+A53=420种栽种方案．故选D．22.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有()种(用数字作答)．A. 720B. 480C. 144D. 360【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础．甲、乙、丙等六位同学进行全排，再利用甲、乙均在丙的同侧占总数的46=23，即可得出结论．【解答】解：甲、乙、丙等六位同学进行全排可得A66=720种，∵甲乙丙的顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，∴甲、乙均在丙的同侧，有4种，∴甲、乙均在丙的同侧占总数的46=23，∴不同的排法种数共有23×720=480种．故选B．23. 篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A 为“取出的两个球颜色不同”，事件B 为“取出一个红球，一个白球”，则P(B|A)等于( )A. 16B. 313C. 59D. 23【答案】B【解析】【分析】本题考查组合数公式、古典概型和条件概率计算公式等知识，属于中档题．利用组合数公式与古典概型公式，分别算出事件A 发生的概率P(A)和事件A 、B 同时发生的概率P(AB)，再利用条件概率公式加以计算，即可得到P(B|A)的值． 【解答】解：事件A 为“取出的两个球颜色不同”，事件B 为“取出一个红球，一个白球”， ∵篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球， ∴取出的两个球颜色不同的概率为P(A)=C 21C 31+C 21C 41+C 31C 41C 92=1318．又∵取出两个球的颜色不同，且一个红球、一个白球的概率为P(AB)=C 21C 31C 92=16，∴P(B|A)=P(AB)P(A)=161318=313．故选B ．24. 已知某旅店有A ，B ，C 三个房间，房间A 可住3人，房间B 可住2人，房间C 可住1人，现有3个成人和2个儿童需要入住，为确保安全，儿童需由成人陪同方可入住，则他们入住的方式共有( ) A. 120种 B. 81种 C. 72种 D. 27种 【答案】D【解析】【分析】本题考查的是排列问题，并且元素的要求很多，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．安排住宿时要分四种情况，第一，三个大人一人一间，小孩在A 、B 两个房间排列，第二，三个大人一人一间，两个孩子在A 住，第三空出C 房间，两个大人住A ，一个大人住B ，两个大人住B ，列出算式，得到结果． 【解答】解：由题意知：三个大人一人一间，小孩在A 、B 两个房间排列有A 33A 22=12种住法， 三个大人一人一间，两个孩子在A 住有A 33=6种住法，空出C 房间，两个大人住A ，一个大人住B 有C 32A 22=6种住法，两个大人住B ，空出C 房间，有C 32种住法， 综上所述共有12+6+6+3=27种住法． 故选D ．25. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A. 192种 B. 216种 C. 240种 D. 288种 【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．【解答】解：最左端排甲，共有A55=120种，最左端排乙，最右端不能排甲，有C41A44=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选B．26.世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作．将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有()A. 36种B. 30种C. 24种D. 20种【答案】C【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合运用，属于中档题．根据题意中甲要求不到A馆，分析可得对甲有2种不同的分配方法，进而对剩余的三人分情况讨论，①其中有一个人与甲在同一个展馆，②没有人与甲在同一个展馆，易得其情况数目，最后由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先分配甲，有2种方法，再分配其余的三人：分两种情况，①其中有一个人与甲在同一个展馆，有A33=6种情况，②没有人与甲在同一个展馆，则有C32·A22=6种情况；则若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有2×(6+6)=24种．故选C．27.某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为()A. 1080B. 480C. 1560D. 300【答案】C【解析】【分析】本题考查两种计数原理与排列组合知识的运用，属于中档题．先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，再把这4个组的人分给4个分厂，利用乘法原理，即可得出结论．【解答】解：先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，若4个组的人数按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有C63=20种不同的方法，若4个组的人数为2、2、1、1分配，则不同的分配方案有C62C422!·C212!=45种不同的方法，故所有的分组方法共有20+45=65种，再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有65×A44=1560种．故选C．28.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有()A. 140种B. 80种C. 70种D. 35种【答案】C【解析】【分析】本题考查组合及组合数公式，考查两个计数原理的综合应用，是基础题．任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，有两种方法，一是甲型电视机2台和乙型电视机1台；二是甲型电视机1台和乙型电视机2台，分别求出取电视机的方法，即可求出所有的方法数． 【解答】解：甲型电视机2台和乙型电视机1台，取法有C 42C 51=30种；甲型电视机1台和乙型电视机2台，取法有C 41C 52=40种； 共有30+40=70种． 故选C ．29. 若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是( )A. 120B. 150C. 240D. 300 【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合应用，属于中档题．根据题意，分2步进行分析：①:5本不同的书分成3组，②:将分好的三组全排列，对应3人，由排列数公式可得其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①:将5本不同的书分成3组， 若分成1、1、3的三组，有C 51C 41C 33A 22=10种分组方法； 若分成1、2、2的三组，有C 51C 42C 22A 22=15种分组方法；则有15+10=25种分组方法；②，将分好的三组全排列，对应三人，有A 336种情况， 则有25×6=150种不同的分法． 故选：B ．30. 将6本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有( )A. 6B. 24C. 120D. 720 【答案】D【解析】解：6本不同的数学用书，全排列，故有A 66=720种， 故选：D ．本题属于排列问题，全排即可．本题考查了简单的排列问题，分清是排列和组合是关键，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）31. 某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有______ 种． 【答案】30【解析】【分析】本题考查了分类加法和分步乘法计数原理，关键是分类，属于中档题．甲和乙同校，甲和丙不同校，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案，再根据计数原理计算结果． 【解答】解：因为甲和乙同校，甲和丙不同校，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案， ①2，2，1方案：甲、乙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有：C 32A 33=18种；②3，1，1方案：在丁、戊中选出1人，与甲乙组成一组，然后排列，共有：C21A33=12种；所以，选派方案共有18+12=30种．故答案为30．32.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为______．【答案】544【解析】【分析】本题考查了组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．利用间接法，先选取没有条件限制的，再排除有条件限制的，问题得以解决．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有C163种取法，其中每一种卡片各取三张，有4C43种取法，故所求的取法共有C163−4C43=560−16=544种．故答案为544．33.用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，一共有______种不同的涂色方法．【答案】732【解析】【分析】本题考查排列组合中的涂色问题，考查分类思想的运用，尽可能多的分类能减少每一类的复杂程度，属于中档题．分三类讨论：A、C、E用同一颜色、A、C、E用2种颜色、A、C、E用3种颜色，利用分步计数原理，可得结论．【解答】解：考虑A、C、E用同一颜色，此时共有4×3×3×3=108种方法．考虑A、C、E用2种颜色，此时共有C42×6×3×2×2=432种方法．考虑A、C、E用3种颜色，此时共有A43×2×2×2=192种方法．故共有108+432+192=732种不同的涂色方法．故答案为732．34.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为______ (用数字回答)【答案】72【解析】【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做到合理的分布，是基础题． 【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有A 44=24种排法．由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个． 故答案为72．三、解答题35. 有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？ 【答案】解：(1)本题要求把小球全部放入盒子， ∵1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法． 同理，2、3、4号小球也各有4种放法， ∴共有44=256种放法．(2)∵恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球， 且小球数只能是1、1、2．先从4个小球中任选2个放在一起，有C 42种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有A 43种放法．∴由分步计数原理知共有C 42·A 43=144种不同的放法．(3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法： ①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有C 41种分法， 再放到2个盒子内，有A 42种放法，共有C 41·A 42种方法；②2个盒子内各放2个小球．先把4个小球平均分成2组，每组2个，有C 42A 22种分法，再放入2个盒子内，有A 42种放法，共有C 42A 22·A 42．∴由分类计数原理知共有C 41·A 42+C 42A 22·A 42=84种不同的放法．【解析】本题考查计数问题，考查排列组合的实际应用，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．(1)本题要求把小球全部放入盒子，1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法，余下的2、3、4号小球也各有4种放法，根据分步计数原理得到结果．(2)恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2.先从4个小球中任选2个放在一起，与其他两个球看成三个元素，在三个位置排列． (3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球；2个盒子内各放2个小球.写出组合数，根据分类加法得到结果．36. 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式⋅(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本;(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本; (3)平均分成三份，每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本; (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本; (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．【答案】解：(1)无序不均匀分组问题． 先选1本有C 61种选法；再从余下的5本中选2本有C 52种选法； 最后余下3本全选有C 33种选法．故共有C 61C 52C 33=60(种)不同的分配方式； (2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同三人，在第(1)题的基础上，还应考虑再分配，故共有C 61C 52C 33A 33=360(种)不同的分配方式； (3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是C 62C 42C 22种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了A ，B ，第二步取了C ，D ，第三步取了E ，F ，记该种分法为(AB,CD ，EF)，则C 62C 42C 22种分法中还有(AB 、EF 、CD)，(CD,AB ，EF)，(CD,EF ，AB)，(EF,CD ，AB)，(EF,AB ，CD)，共有A 33种情况， 而这A 33种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法， 故分配方式有C 62C 42C 22A 33=15(种)；(4)有序均匀分组问题．在第(3)题的基础上再分配给3个人， 共有分配方式C 62C 42C 22A 33·A 33=C 62C 42C 22=90(种)；(5)无序部分均匀分组问题． 共有分配方式C 64C 21C 11A 22=15(种)；(6)有序部分均匀分组问题．在第(5)题的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 64C 21C 11A 22·A 33=90(种)；(7)直接分配问题．甲选1本有C 61种方法，乙从余下5本中选1本有C 51种方法，余下4本留给丙有C 44种方法．共有分配方式C 61C 51C 44=30(种)．【解析】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查计算能力，理解能力.正确区分无序不均匀分组问题、有序不均匀分组问题、无序均匀分组问题，是解好组合问题的一部分．37. 三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？(5)如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【答案】解：(1)女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有A 33A 66=4320种；(2)女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有A 55A 63=14400种；(3)两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有A 52A 66=14400种；(4)男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有A 83=336种，(5)三个女生站在前排，五个男生站在后排，A 33A 55=720种【解析】本题考查排列的应用，相邻问题一般看作一个整体处理，不相邻，用插空法，属于中档题．根据特殊元素优先安排，相邻问题用捆绑，不相邻用插空法，即可求解．38. 晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：(1)3个舞蹈节目排在一起；(2)3个舞蹈节目彼此分开；(3)3个舞蹈节目先后顺序一定；(4)前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目．【答案】解：(1)根据题意，3个舞蹈节目要排在一起，可以把三个舞蹈节目看做一个元素，三个舞蹈节目本身有A 33种顺序，再和另外5个元素进行全排列，则有A 66A 33=4320不同的节目单．(2)3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列，有A 55A 63=14400不同的节目单．(3)8个节目全排列有A 88=40320种方法，其中三个舞蹈节目本身有A 33种顺序，若3个舞蹈节目先后顺序一定，则有A 88A 33=6720种不同排法． (4)∵8个节目全排列有A 88=40320种方法，若前4个节目中“既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目”的否定是前四个节目全是唱歌有A 54A 44，∴前4个节目中要有舞蹈有A 88−A 54A 44=37440不同的节目单．【解析】(1)要把3个舞蹈节目要排在一起，则可以采用捆绑法，把三个舞蹈节目看做一个元素和另外5个元素进行全排列，不要忽略三个舞蹈节目本身也有一个排列．(2)3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，即先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列．(3)使用倍分法分析：先求出8个节目全排列的排法数目，分析三个舞蹈节目本身的顺序，由倍分法计算可得答案，(4)先不考虑限制条件，8个节目全排列有A88种方法，前4个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有A54A44，用所有的排列减去不符合条件的排列，得到结果．本题考查排列、组合的应用，要掌握常见问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法．39.在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查．(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？3=161700种不同的抽【答案】解：(1)100件产品，从中任意抽出3件检查，共有C100法，(2)事件分两步完成，第一步从2件次品中抽取1件次品，第二步从98件正品中抽取2件正品，根据乘法原理得恰好有一件是次品的抽法有C21C982=9506种不同的抽法．3种不同的抽法，全是正品的抽法有(3)利用间接法，从中任意抽出3件检查，共有C100C983，则至少有一件是次品的抽法有C1003−C983=9604种不同的抽法．(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有9506×6=57036种不同的排法．3种不同的抽法；【解析】(1)100件产品，从中任意抽出3件检查，共有C100(2)事件分两步完成，第一步从2件次品中抽取1件次品，第二步从98件正品中抽取2件正品，根据乘法原理计算求得；(3)利用间接法，从中任意抽出3件种数，排除全是正品的种数，得到至少有一件是次品的抽法种数；(4)在(2)的基础上，再进行全排，即可得出结论．本题考查计数原理及应用，考查排列组合的实际应用，解题时要认真审题．40.用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：(1)能组成多少个没有重复数字的三位数？(2)可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？(3)求2×3×4×6即144的所有正约数的和．(注：每小题结果都写成数据形式)【答案】【解答】解：(1)根据题意，分2步进行分析：①、对于百位，百位数字只能是2、3、4、6中之一，有C41种选法，②、百位数字确定后，在剩下的4个数字中选取2个，排在十位和个位，则十位和个位数字的组成共有A42种方法，故可以组成没有重复数字的三位数共有N1=C41A42=48个；(2)由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成．分4种情况讨论：①、三位数由2、4、0组成，首位数字有2、4两种情况，在剩下的3个数字中选取2个，排在十位和个位，此时共有C21A22种选法；②、三位数由2、4、3组成，将3个数字全排列，排在百位、十位和个位，此时有A33种选法；③、三位数由2、4、6组成，将3个数字全排列，排在百位、十位和个位，此时有A33种选法；④、三位数由0、3、6组成，首位数字有3、6两种情况，在剩下的3个数字中选取2个，排在十位和个位，此时共有C21A22种选法；共有N2=C21A22+2A33+C21A22=20个被3整除的没有重复数字的三位数，(3)根据题意，144=24×32，则144的所有正约数的和为N3=(1+2+22+23+24)(1+3+32)=403．【解析】【分析】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理、分类计数原理的应用，以及正确运用约数和公式．(1)根据题意，分2步进行分析：①、对于百位，百位数字只能是2、3、4、6中之一，②、百位数字确定后，在剩下的4个数字中选取2个，排在十位和个位，计算出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；(2)由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成，据此分4种情况讨论，求出每一步的选法数目，由分类计数原理计算可得答案；(3)根据题意，分析可得144=24×32，进而由约数和公式计算可得答案．。
排列组合应用题—综合[1]
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排列组合应用题—综合一．选择题1.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同分配方法共有 （ ）（A ）90种 （B ）180种 （C ）270种 （D ）540种2．从8盒不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中甲、乙两盆不同时展出的摆法种数为（ ）A ．1320B ．960C ．600D ．3603.20个不加区别的小球放入编号为1号，2号，3号三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于盒子的编号数，则不同的放法总数是 （ ）（A ）760 （B ）764 （C ）120 （D ）914．从10名女学生中选2名，40名男生中选3名，担任五种不同的职务，规定女生不担任其中某种职务，不同的分配方案有 （ ）A ．231040A AB ．2323104043C C A A C ．23510405C C AD ．231040C C 5．编号1，2，3，4，5，6的六个球分别放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，其中有且只有三个球的编号与盒子的编号一致的放法种数有 （ ）A ．20B ．40C ．120D ．4806．如果一个三位正整数形如“123a a a ”满足1232a a a a <<且，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为 （ ）A ．240B ．204C ．729D ．9207．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是( ) A ．234 B ．346 C ．350D ．363 8．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( ) A ．2426C A B ．242621C A C ．2426A A D ．262A 9．4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有( ) A ． 12 种 B ． 24 种 C 36 种 D ． 48 种10．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种11．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 ( )A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种 12．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是A ．48B ．36C ．28D ．1213．已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6}，设映射B A f →:，使集合B 中的元素在A 中都有原象，这样的映射个数共有（ ）A ．16B ．14C ．15D ．12 14．ABCD —A 1B 1C 1D 1是单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→……，黑蚂蚁爬行的路是AB →BB 1→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第i i 与第2+段所在直线必须是异面直线（其中i 是自然数）.设白、黑蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0 15. 5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为( ) A.480 B.240 C.120 D.9616.从1，2，3，4，5，6中任取3个数字组成无重复数字的三位数,其中若有1和3时,3必须排在1的前面,若只有1和3其中一个时,也应排在其它数字的前面,这样的不同三位数个数有( ) A 321144432A A C C ++ B.311443A A C + C.3612A +24A D.36A 17.有7名同学站成一排照毕业照，其中甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有 ( )（A ）240 （B ）192 （C ）96 （D ）48二．填空题1．五个不同的球放入四个不同的盒子，每盒不空，共有____ 种放法。
排列与组合的计算综合练习题
排列与组合的计算综合练习题排列与组合是数学中常用的计算方法，用于解决不同对象的排列和组合问题。
通过这些计算方法，我们可以求出不同对象排列的方式以及从一组对象中选取特定数量的组合方式。
本文将为您提供一些排列与组合的综合练习题，以帮助您更好地理解和运用这些计算方法。
练习题1：桌上有7本不同的书，你需要选取其中3本放入书包中。
请问有多少种不同的选择方式？解答1：这是一个组合问题，我们需要从7本书中选取3本放入书包中。
根据组合的计算公式，可以得到选择方式的总数为C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = 7 * 6 * 5 / (3 * 2 * 1) = 35种。
练习题2：某班级有10个学生，其中3个学生参加了运动会，请问他们站成一排的方式有多少种？解答2：这是一个排列问题，我们需要计算3个学生排成一排的方式数。
根据排列的计算公式，可以得到他们排成一排的总数为P(3, 3) = 3! = 3 * 2 * 1 = 6种。
练习题3：小明准备选择自己的生日庆祝礼物，他在一家商场看中了8本图书和5款电子产品，但他最多只能选购3样商品。
请问他有多少种不同的购买方式？解答3：这是一个排列与组合相结合的问题，我们需要计算从8本图书和5款电子产品中选择3样商品的方式数。
首先，我们可以从8本图书中选取任意数量的商品，然后再从5款电子产品中选取剩余的数量。
根据排列与组合相乘的原则，可以得到购买方式的总数为C(8, 0) * C(5, 3) + C(8, 1) * C(5, 2) + C(8, 2) * C(5, 1) + C(8, 3) * C(5, 0) = 1 * 10 +8 * 10 + 28 * 5 + 56 * 1 = 10 + 80 + 140 + 56 = 286种。
练习题4：有6个人参加某项比赛，其中3个人获得了奖品，请问他们获得奖品的方式有多少种？解答4：这是一个组合问题，我们需要计算从6个人中选取3个获得奖品的方式数。
排列与组合综合题
排列与组合(二)四、解定序问题——采用除法对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数，这其实就是局部有序问题，利用除法来“消序”．例1：由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数字的共有（ ）A ．210个B ．300个 C. 464个 D ．600个简析：若不考虑附加条件，组成的六位数共有个，而其中个位数字与十位数字的 种排法中只有一种符合条件，故符合条件的六位数共＝300个，故选B ．例2：有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法?分析：先在7个位置上任取4个位置排男生，有种排法，剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有一种排法，故共有＝840种． 在处理分堆问题时，有时几堆中元素个数相等，这时也要用除法， (平均分组问题除法策略)例1. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解: 分三步取书得222642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则222642C C C 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22236423/C C C A 种分法。
例2：将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（544213842/C C C A ） 例3：信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是 ________．分析：5面旗全排列有 种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故共有不同的信号种数是＝10(种)．说明：此题也可以用组合来解，只需5个位置中确定3个，即＝10． 五、解排列组台混合问题——先选后排对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略． 例1：3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护土，不同的分配方法共有 ( )．A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种分析：(二)第一步：先将6名护士分配到3所不同学校，每所学校2名，则有(种)分法． 第二步：再将3名医生分配到3所不同的学校，每所学校1人，有种分法． 故共有 =540(种)故选(D)． 例2：4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有_________种．简析：这是一个排列与组合的混合问题．因恰有一个空盒，所以必有一个盒子要放2个球，故可分两步进行：第一步选，从4个球中任选2个球，有种选法。
专题研究排列组合的综合应用习题和答案详解
1．(2019·湖北宜昌一中月考)从1到10十个数中，任意选取4个数，其中，第二大的数是7的情况共有( )A ．18种B ．30种C ．45种D ．84种答案 C解析 分两步：先从8，9，10这三个数中选取一个数作最大的数有C 31种方法；再从1，2，3，4，5，6这六个数中选取两个比7小的数有C 62种方法，故共有C 31C 62＝45种情况，应选择C.2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 答案 B解析 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C 53C 22×2＝20(种)，故选B.3．(2019·广东省实验中学月考)甲、乙、丙三个部门分别需要招聘工作人员2名，1名，1名，现从10名应聘人员中招聘4人到甲、乙、丙三个部门，那么不同的招聘方法共有( ) A ．1 260种 B ．2 025种 C ．2 520种 D ．5 040种 答案 C解析 先从10人中选2人去甲部门，再从剩下的8人中选2人去乙、丙两个部门，有C 102A 82＝2 520种不同的招聘方法．4．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．16种 C ．18种 D ．36种 答案 C解析 可先分组再排列，所以有12C 42A 33＝18(种)放法．5．(2019·西安五校)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( ) A ．80种 B ．90种 C ．120种 D ．150种 答案 D解析有二类情况：(1)其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有C53A33＝60(种)；(2)其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有C51×C422×A33＝90(种)．∴共有150种．故选D.6．(2019·山西大同一模)从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为()A．C102A84B．C91A95C．C81A95D．C81A85答案 C解析先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有C81种方法，再排剩余的瓶子，有A95种方法，故不同的放法共有C81A95种，故选C项．7．(2019·安徽毛坦厂中学阶段测试)6名志愿者(其中4名男生，2名女生)义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有()A．40种B．48种C．60种D．68种答案 B解析4，2分法：A22(C64－1)＝14×2＝28，3，3分法：C63C33＝20，∴共有48种．8．某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为()A．C62C52C82B．C62＋C52＋C82C．A62A52A82D．C192答案 B解析依题意，高一比赛有C62场，高二比赛有C52场，高三比赛有C82场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数为C62＋C52＋C82，选B.9．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A．18 B．24C．30 D．36答案 C解析排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C42＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A33＝6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A33＝6种，所以共有C42A33－A33＝30种分法．故选C.10．某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为( ) A ．144 B ．72 C ．36 D ．48答案 C解析 分两步完成：第一步将4名调研员按2，1，1分成三组，其分法有C 42C 21C 11A 22种；第二步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A 33种．所以满足条件的分配方案有C 42C 21C 11A 22×A 33＝36(种)．11．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是( ) A ．24 B ．36 C ．40 D ．44答案 D解析 分以下四种情况讨论：(1)两位同学选甲题作答，一个答对一个答错，另外两个同学选乙题作答，一个答对一个答错，此时共有C 42×2×2＝24(种)；(2)四位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，共有C 21C 42＝12(种)情况；(3)一人选甲题作答并且答对，另外三人选乙题作答并且全部答错，此时有C 41＝4(种)情况；(4)一人选甲题作答并且答错，另外三人选乙题作答并且全部答对，此时有C 41＝4(种)情况．综上所述，共有24＋12＋4＋4＝44(种)不同的情况．故选D.12．(2019·河南郑州检测)从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有( ) A ．51个 B ．54个 C ．12个 D ．45个 答案 A解析 分三类：第一类，没有2，3，由其他3个数字组成三位数，有A 33＝6(个)； 第二类，只有2或3，需从1，4，5中选2个数字，可组成2C 32A 33＝36(个)；第三类，2，3均有，再从1，4，5中选1个，因为2需排在3的前面，所以可组成12C 31A 33＝9(个)．故这样的三位数共有51个，故选A.13．(2019·安徽马鞍山模拟)某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为( )A ．5 400B ．3 000C ．150D ．1 500答案 D解析 分两步：第一步：从5个培训项目中选取3个，共C 53种情况；第二步：5位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共C 53种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共C 52C 32A 22种情况．故选择情况数为C 53(C 53＋C 52C 32A 22)A 33＝1 500(种)． 14.(2019·河北唐山一中模拟)中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有( ) A ．C 419 B ．C 389 C ．C 409 D ．C 399答案 D解析 首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下40台；将剩下的40台像排队一样排列好，则这40台校车之间有39个空．对这39个空进行插空(隔板)，比如说用9个隔板隔开，就可以隔成10部分了．所以是在39个空里选9个空插入隔板，所以是C 399.15．(2019·人大附中期末)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)． 答案 60解析 分情况：一种情况将有奖的奖券按2张，1张分给4个人中的2个人，种数为C 32C 11A 42＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A 43＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60种．16．某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生A 不分配到甲班的分配方案种数是________． 答案 100解析 A 的分配方案有2种，若A 分配到的班级不再分配其他学生，则把其余四人分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是(C 43＋C 42C 22A 22)A 22＝14；若A 分配到的班级再分配一名学生，则把剩余的三名学生分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是C 41C 31A 22＝24；若A 分配到的班级再分配两名学生，则剩余的两名学生就分配到另外的两个班级，分配方法种数是C 42A 22＝12.故总数为2×(14＋24＋12)＝100.17．(2019·北京海淀区二模)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有________种不同的抽调方法．答案84解析方法一：(分类法)，在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C71种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A72种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C73种．故共有C71＋A72＋C73＝84(种)抽调方法．方法二：(隔板法)，由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故共有C96＝84(种)抽调方法．。
高中数学选择性必修三 6 2 3 排列组合的综合运用(精练)(含答案)
6.2.3 排列组合的综合运用（精练）【题组一全排列】1．（2020·中山大学附属中学高二期中）一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为( )A．4 B．44C．24 D．48【答案】C【解析】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为44=432124A⨯⨯⨯=. 故选：C2．（2020·全国高二单元测试）3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种.【答案】64【解析】由题意参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每个学生有4种选择，则3名同学共有34=64种报名方案.故答案为：64.3．（2020·上海高二专题练习）若把英文单词“hello”的字母的顺序写错了，则可能出现的错误共有_________种．【答案】59【解析】由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题五个字母进行全排列共有55120A=种结果，字母中包含2个l，∴五个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果，在这60种结果里有一个是正确的，∴可能出现的错误的种数是60159-=，故答案为：59．4．（2021·浙江衢州市）将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个数互不相同，则不同的分配方法共有________种.【答案】18【解析】将9个相同的球分成个数不同的3份，有（1,2,6），（1,3,5），（2,3,4）三种情况，再将这3份个数不同的球放到3个不同的盒子中，有336A=种情况，所以不同的分配方法共有1863=⨯种.故答案为：185．（2020·天津河西区·高二期中）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，则不同的排法有_____种.（用数字作答）【答案】288【解析】4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，有44A=24种排法；3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，有336A=种排法；2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有222A=种排法.故共有24×6×2＝288种排法.故答案为：288.6．（2020·河南）2020年新型冠状病毒肆虐全球，目前我国疫情已经得到缓解，为了彰显我中华民族的大爱精神，我国决定派遣具有丰富抗击疫情经验的四支不同的医疗队A、B、C、D，前往四个国家E、F、G、H进行抗疫技术指导，每支医疗队到一个国家，那么总共有______（请用数字作答）种的不同的派遣方法.如果已知A医疗队被派遣到H国家，那么此时B医疗队被派遣到E国的概率是______.【答案】241 3【解析】由题意可知，每支医疗队到一个国家的派遣方法数为4424A=，由于A医疗队被派遣到H国家，则B医疗队可派遣到其它3个国家，因此，B医疗队被派遣到E国的概率是13.故答案为：24；13.【题组二相邻问题】1．（2020·沙坪坝区·重庆八中）小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为（）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【解析】解：将小涛与小江、小玉捆绑在一起，与其他两个人全排列，其中小涛位于小江、小玉之间，按照分步乘法计算原理可得323212A A⋅=故选：B2．（2020·宁夏吴忠市·吴忠中学高二期末）将A，B，C，D，E，F这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（）A．112B．15C．115D．215【答案】C【解析】由捆绑法可得所求概率为242466A A 1A 15P ==.故答案为C 3．（2020·陕西彬州市·高二月考）5个男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法种数为 A ．480B ．720C ．960D ．1440【答案】C【解析】两个女生必须相邻，捆绑222A =，女生不能排两端，则从5个男生中任选两人排两端，2520A =，剩余3个男生与捆绑在一起的2个女生看成4个元素，排在其余位置，4424A =，所以不同的排法种数为：22425422024960A A A ⋅⋅=⨯⨯=．4．（2020·广东广州市）2020年初，全国各大医院抽调精兵强将前往武汉参加新型冠状病毒肺炎阻击战，各地医护人员分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号为1，2，3，4，5，6号，要求到达武汉天河飞机场时，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落，则不同的安排方法有（ ） A ．60 B ．120 C ．144 D ．240【答案】D【解析】由题意，因为1号与6号相邻降落，可1号与6号排列后看作一个，同其它飞机进行全排， 将则不同的安排方法有2525240A A =种.故选：D.5．（2020·莒县教育局教学研究室高二期中）3名男生､3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为（ ） A ．2 B ．9C ．72D ．36【答案】C【解析】根据题意男生一起有336A =排法，女生一起有336A =排法，一共有3333272A A =种排法，故选：C .．6．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为（ ） A ．24 B ．48C ．60D ．96【答案】B【解析】先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和她的指导老师进行全排，则不同的排法数3222322248N A A A A ==，故选：B.【题组三 不相邻问题】1．（2020·全国）六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．14【答案】C【解析】丙排第一，除甲乙外还有3人，共33A 种排法，此时共有4个空，插入甲乙可得24A ，此时共有3234=612=72A A ⋅⨯种可能；丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有1424C A 排法，甲和乙不排在第一位， 则剩下3人有1人排在第一位，则有122323C A A 种排法， 此时故共有1412224323+=84C A C A A 种排法. 故概率6672841360P A +==. 故选：C.2．（2020·全国）将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入A 、B 、C 三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ） A ．42 B ．36 C ．48 D ．60【答案】A【解析】将编号为1、2、3、4、5的5个小球，根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组. ①当三个盒子中的小球个数分别为1、1、3时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连， 故3个小球的编号只能是1、3、5的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有336A =种分配方法；②当三个盒子中的小球个数分别为1、2、2时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，此时放2个小球的盒子中小球的编号分别为()1,3、()2,4或()1,3、()2,5或()1,4、()2,5或()1,4、()3,5或()1,5、()2,4或()2,4、()3,5，共6种，再分配到三个盒子中，此时，共有33636A =种.综上所述，不同的放法种数为64362+=种.故选：A.3．（2020·全国）某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A．72种B．48种C．36种D．24种【答案】C【解析】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有336A=种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，共有236A=种排法，则后六场开场诗词的排法有6636⨯=种，故选：C.4．（2020·防城港市防城中学高二期中）5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为（）A．72B．48C．24D．60【答案】C【解析】先将丙与丁捆绑，形成一个“大元素”与戊进行排列，然后再将甲、乙插空，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为22222324A A A=种.故选：C.5.．（2020·北京丰台区·高二期末）某活动中需要甲、乙、丙、丁4名同学排成一排．若甲、乙两名同学不相邻，则不同的排法种数为_________．（用数字作答）【答案】12【解析】先求出甲、乙、丙、丁4名同学排成一排的全排列：4424A=；再求出甲、乙两名同学相邻的排列：2 412A=然后，4244241212A A-=-=故答案为：126．（2020·上海）2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种. 【答案】72【解析】根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，有336A=种情况，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有2412A=种情况，则2位女生不相邻的排法有61272⨯=种；故答案为：727．（2020·安徽省太和第一中学高二月考（理））将A，B，C，D，E五个字母排成一排，若A与B相邻，且A 与C 不相邻，则不同的排法共有__种. 【答案】36【解析】依题意，可分三步，先排D ，E ，有22A 种方法，产生3个空位，将,A B 捆绑有22A 种方法，将,A B 捆绑看作一个元素，插入三个空位之一，有13A 种方法，这时AB 、D 、E 产生四个空位，最后将C 插入与A 不相邻的三个空位之一，有13A 种方法，根据分步乘法计数原理得：共有2211223336A A A A ⨯⨯⨯=种，故答案为：36.8．（2020·博兴县第三中学高二月考）某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是___________ 【答案】24【解析】根据题意，分3步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有222A =种情况， ②将这个整体与英语全排列，有222A =种顺序，排好后，有3个空位， ③数学与物理不相邻，有3个空位可选，有236A =种情况，则不同排课法的种数是22624⨯⨯=种；故答案为：24. 【题组四 分组分配】1．（2020·全国）将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法． 【答案】360【解析】先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有16C 种选法；再从余下的5本中选2本，有25C 种选法；最后余下3本全选，有33C 种选法．故共有12365360C C C ⋅⋅=种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有3360360A =种分配方法.故答案为: 360.2．（2020·全国）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答) 【答案】1560【解析】把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种．①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有31163213320lC C C C A = (种)；②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有22116421222245C C C C A A ⋅= (种)． 所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有44651560A ⨯= (种)．故答案为：1560.3（2020·福建省泰宁第一中学高二月考）五一劳动节期间，5名游客到三个不同景点游览，每个景点至少有一人，至多两人，则不同的游览方法共有___________种.(用数字填写答案) 【答案】90【解析】把5人按人数2,2,1分成三组，然后再安排到三个景点浏览，总方法为2235332290C C A A ⨯=． 故答案为：90．4．（2020·全国）把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为________． 【答案】240．【解析】将这5张不同的电影票分成四组，每组至少一张，共有2111532133C C C C A 种分组办法，再分给4人的不同分法有211145321433240C C C C A A ⋅=种．故答案为：240． 5．（2020·全国）从6个人中选4个人值班，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种排法_________. 【答案】180【解析】112654C C C 180=.故答案为：180.6．（2020·重庆北碚区·西南大学附中高二期中）某学校安排5名高三教师去3个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有______种. 【答案】150【解析】分2步分析：先将5名高三教师分成3组，由两种分组方法，若分成3、1、1的三组，有3510C =种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有1225422215C C C A =种分组方法，则一共有101525+=种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个学校，有336A =种情况，则有256150⨯=种不同的安排方式； 故答案为：150．7．（2020·全国）2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名，则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）． 【答案】900【解析】由题意分两步完成：第一步：将5名党员分派到三个不同的扶贫村，第二步，将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村.第一步：因为党员有5人，先分成3个组进行分派，分组情况有两种，第一种按人数是1，1，3分组有1135432210C C C A ⋅⋅=种不同情况，第二种按人数是2，2，1分组有2215312215C C C A ⋅⋅=种不同情况，再将分好的组分派到不同的扶贫村共有33(1015)150A +⨯=种不同分派方式；第二步：将3名医护人员分派到3个不同的扶贫村，共有336A =种不同情况.所以所有的不同分派方案有1506900⨯=种. 故答案为：900. 【题组五 几何问题】1．（2021·全国）直线x m =，y x =将圆面224x y +≤分成若干块，现有5种颜色给这若干块涂色，且任意两块不同色，则所有可能的涂色种数是（ ） A ．20 B ．60 C ．120 D ．240【答案】D【解析】当2m ≤-或2m ≥时，圆面224x y +≤被分成2块， 此时不同的涂色方法有5420⨯=种，当2m -<≤2m ≤<时，圆面224x y +≤被分成3块， 此时不同的涂色方法有54360⨯⨯=种，当m <时，圆面224x y +≤被分成4块，此时不同的涂色方法有5432120⨯⨯⨯=种， 所有可能的涂色种数是240． 故选：D2．（2021·安徽省）224x y +≤表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为（ ） A ．286 B ．281 C ．256 D ．176【答案】C【解析】由题意可得224x y +≤表示的平面区域内的整点共有13个，其中三点共线的情况有10种，五点共线的情况有2种，所以从13个点中可以构成三角形的个数为33313351022861020256C C C --=--=个．故选C ．3．（2020·全国高二单元测试）以一个正方体的顶点为顶点的四面体的个数为( ) A ．70 B ．64 C ．58 D ．52【答案】C【解析】正方体的8个顶点中任取4个共有C 84=70个，不能组成四面体的4个顶点有：已有的6个面，对角面:有6个，共12个， ∴以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70−12=58个.故答案为C. 【题组六 方程不等式问题】1．（2021·太原市）不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（ ） A ．55 B ．60 C ．91 D ．540【答案】C【解析】不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.2．（2021·湖北）若方程12348x x x x +++=，其中22x =，则方程的正整数解的个数为 A ．10 B ．15C ．20D ．30【答案】A【解析】方程12348x x x x +++=，其中22x =，则1346x x x ++=将其转化为有6个完全相同的小球，排成一列，利用挡板法将其分成3组， 第一组小球数目为1x 第二组小球数目为3x 第三组小球数目为4x共有2510C =种方法故方程的正整数解的个数为10 故选A【题组七 数字问题】1．已知集合{}A a b c d =，，，，从集合A 中任取2个元素组成集合B ，则集合B 中含有元素b 的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】A 中任取2个元素组成集合B ，则B 的情况有{}{}{}{}{}{}123456,,,,,,,,,,,B a b B a c B a d B b c B b d B c d ======，共6个，其中符合情况的集合为145,,B B B 共3个，故集合B 中含有元素b 的概率为3162P ==故选：C 2．如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（ ） A ．12 B ．44 C ．58 D ．76【答案】B【解析】分类讨论：尾数为1：则前三位的数字可能为027,036,045,共1222312C A ⋅⋅=,还可能为234,有336A =种；尾数为3：则前三位的数字可能为016,025,共122228C A ⋅⋅=,还可能为124,有336A =种；尾数为5：则前三位的数字可能为014,023,045,共122228C A ⋅⋅=；尾数为7：则前三位的数字可能为012,共12224C A ⋅=.综上所述,共有126868444+++++=种.故选：B3．从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有______种（用数字作答）.【答案】34【解析】从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，共有3735C =，乘积为奇数只有1,3,5一种情况故这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有34种.故答案为：34【点睛】本题考查了组合的应用，利用排除法可以快速得到答案，是解题的关键.4．已知{}1,2,3,4,5,,,M m M n M m n =∈∈≠，则方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是_______ . 【答案】12【解析】因为{}1,2,3,4,5,,,M m M n M m n =∈∈≠，所以(),m n 的可能情况有：2520P =种， 又因为方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆，所以m n >，所以满足要求的有：2510C =种， 所以概率为：101202P ==.故答案为：12. 5．（2021·宁波市）有写好数字2，2，3，3，5，5，7，7的8张卡片，任取4张，则可以组成不同的四位数的个数为_________.【答案】204【解析】由题意得取出的4张卡片上的数字含有相同数字对的个数可能为0，1，2.当含有0对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为4424A =个；当含有1对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为221434144C C A =个；当含有2对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为224436C C =个.综上，可以组成不同的四位数的个数为2414436204++=个.故答案为：204.6．（2020·江西省信丰中学）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．【答案】1 6【解析】十个数中任取七个不同的数共有C种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C种情况，于是所求概率P＝＝．。
高三数学排列组合综合应用试题答案及解析
高三数学排列组合综合应用试题答案及解析1.用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个.【答案】12【解析】由题意，没有重复数字的偶数，则末位是2或4，当末位是时，前三位将，，三个数字任意排列，则有种排法，末位为时一样有种，两类共有：种，故共有没有重复数字的偶数个.【考点】排列组合.2.在高三(1)班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为()A．24B．36C．48D．60【答案】D【解析】先排3个女生，三个女生之间有4个空，从四个空中选两个排男生，共有＝72(种)，若女生甲排在第一个，则三个女生之间有3个空，从3个空中选两个排男生，有＝12(种)，∴满足条件的出场顺序有72－12＝60(种)排法，选D．3. 20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．【答案】120【解析】先在编号为2,3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有＝120(种)方法．4.将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有()A．18种B．36种C．48种D．60种【答案】D【解析】由题意知A，B，C三个宿舍中有两个宿舍分到2人，另一个宿舍分到1人．若甲被分到B宿舍：(1)A中2人，B中1人，C中2人，有＝6种分法；(2)A中1人，B中2人，C中2人，有＝12种分法；(3)A中2人，B中2人，C中1人，有＝12种分法，即甲被分到B宿舍的分法有30种，同样甲被分到C宿舍的分法也有30种，所以甲不到A宿舍一共有60种分法，故选D．5.某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有()A．8种B．10种C．12种D．32种【答案】B【解析】从A到B若路程最短，需要走三段横线段和两段竖线段，可转化为三个a和两个b的不同排法，第一步：先排a有种排法，第二步：再排b有1种排法，共有10种排法，选B项．6. 5位同学站成一排准备照相的时候，有两位老师碰巧路过，同学们强烈要求与老师合影留念，如果5位同学顺序一定，那么两位老师与同学们站成一排照相的站法总数为()A．6B．20C．30D．42【答案】D【解析】因为五位学生已经排好，第一位老师站进去有6种选择，当第一位老师站好后，第二位老师站进去有7种选择，所以两位老师与学生站成一排的站法共有6×7＝42种．7.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A．60种B．70种C．75种D．150种【答案】C【解析】从6名男医生中选出2名有种不同选法，从5名女男医生中选出2名有种不同选法，根据分步计数乘法原理可得，组成的医疗小组共有15×5=75种不同选法.【考点】计数原理和排列组合.8. [2014·南京模拟]用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)【答案】14【解析】分类讨论：若2出现一次，则四位数有C14个；若2出现二次，则四位数有C24个；若2出现3次，则四位数有C34个，所以共有C14＋＋＝14个．9.[2014·郑州模拟]将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．【答案】360【解析】将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有种取法．根据分步乘法计数原理，共有＝60种取法．再将这3组教师分配到3所中学，有＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．10. [2013·浙江高考]将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．【答案】480【解析】如图六个位置.若C放在第一个位置，则满足条件的排法共有种情况；若C放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A，B，再在余下的3个位置排D，E，F，共·种排法；若C放在第3个位置，则可在1,2两个位置排A，B，其余位置排D，E，F，则共有·种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A，B，再在其余3个位置排D，E，F，共有·种排法；若C在第4个位置，则有＋种排法；若C在第5个位置，则有种排法；若C在第6个位置，则有种排法．综上，共有2(＋＋＋)＝480(种)排法．11.[2013·怀化模拟]将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A．12种B．18种C．36种D．54种【答案】B【解析】先将1,2捆绑后放入信封中，有种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有种方法，所以共有＝18(种)方法．12.从6名教师中选4名开发A、B、C、D四门课程，要求每门课程有一名教师开发，每名教师只开发一门课程，且这6名中甲、乙两人不开发A课程，则不同的选择方案共有（）A．300种 B．240种 C．144种 D．96种【答案】B【解析】依题意可得从除甲、乙外的四位老师中任取一位开发A课程共有种，再从剩下的5位老师中分别选3位开发其他项目共有.所以完成该件事共有种情况.【考点】1.排列组合问题.2.有特殊条件要先考虑.13.某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）【答案】24【解析】此问题相当于将4个公司全排列，因为，则此问题的不同分配方法共有24种。
高三数学排列组合综合应用试题
高三数学排列组合综合应用试题1. 7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？(1)其中甲不站排头，乙不站排尾；(2)其中甲、乙、丙3人必须相邻；(3)其中甲、乙、丙3人两两不相邻；(4)其中甲、乙中间有且只有1人；(5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列．【答案】（1）3720种（2）720种（3）1440种（4）1200种（5）840种【解析】(1)方法一(直接法)：如果甲站排尾，其余6人有种排法，如果甲站中间5个位置中的一个，而乙不站排尾，则有种排法，故共有排法＋＝3720种．方法二(间接法)：7个人排成一排有种排法，其中甲在排头有种排法，乙在排尾有种排法，甲在排头且乙在排尾共有种排法，故共有排法－－＋＝3720种．(2)(捆绑法)将甲、乙、丙捆在一起作为一个元素与其他4个元素作全排列有种，然后甲、乙、丙内部再作全排列有种，故有不同的排法＝720种．(3)(插空法)先排甲、乙、丙外的4人有种排法，这四人之间及两端留出五个空位，然后把甲、乙、丙插入到五个空位中有种排法，故共有＝1440种排法．(4)甲、乙两人有种排法，现从剩下的五人中选一个插入甲、乙中间，有种排法，然后再将这三人看作一个元素，和其他四个元素作全排列，有种排法，故共有＝1200种排法．(5)七个人的全排列为，其中若只看甲、乙、丙不同顺序的排法有种排法，但只有一种顺序符合要求，故符合要求的不同排法有＝840种．2.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A．60种B．70种C．75种D．150种【答案】C．【解析】由已知可得不同的选法共有，故选C．【考点】排列组合．3.把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有种.【答案】36【解析】先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种.【考点】排列组合，容易题.4.甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )种A．30B．36C．60D．72【答案】A【解析】甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：（1）甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有种．（2）甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程，有种选法；②甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门有种选法，由分步计数原理此时共有种．综上，由分类计数原理，甲、所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种．【考点】计数原理，排列组合.5.设是的一个全排列,把排在左边且小于的数的个数称为的顺序数(),例如在排列6,4,5,3,2,1中,5的顺序数是1而3的顺序数是0.在的全排列中,8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数是( )A．48B．96C．144D．192【答案】C【解析】据题意，在8的左边有2个比8小的数，在7的左边有3个比7小的数，在5的左边有3个比5小的数.由于8是最大的数，故8必排在第3位，而7必须排在第5位：.若6在5的右边，则：，共有种；若6在5的左边，则5必在倒数第二位，，共有.所以总共有种.【考点】排列组合.6.一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 .【答案】186【解析】设取红球个，白球个，则，取法为.【考点】古典概型.7.用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的五位数中，奇数的个数是（）A．24B．36C．48D．72【答案】B【解析】第一步排个位，有2种排法；第二步排万位，有3种排法；第三步排中间3位，有种排法.所以共有种排法.【考点】计数原理与排列.8.将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【答案】A【解析】先安排老师有=2种方法，再安排学生有=6，所以共有12种安排方案，选A．9. 8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】8名学生共有种排法，把2位老师插入到9个空中有种排法，故共有种排法．10.在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有名志愿者要分配到个不同的社区参加服务，每个社区分配名志愿者，其中甲、乙两人分到同一社区，则不同的分配方案共有（）A．种B．种C．种D．种【答案】B【解析】由题意，将问题分成2步.第1步，甲乙分到3个社区中的1个社区，有种方法；第2步，将余下4个人分配到另外2个社区，有种方法，则最终不同的分配方案共有种.故选B.【考点】1.分步计数原理的应用；2.人员分配问题.11.某搬运工不慎将4件次品与6件正品混在一起，由于产品外观一样，需要用仪器对产品一一检测，直至找到所有次品为止，若至多检测6次就能找到所有次品，则不同的检测方法共有（）种.A．1950B．2130C．7800D．8520【答案】D【解析】若恰好检测4次就能找到所有次品，不同的检测方法共有种；若恰好检测5次就能找到所有次品，不同的检测方法共有种；若恰好检测6次就能找到所有次品货所有正品，不同的检测方法共有.故满足条件的不同检测方法有种.【考点】排列组合.12.编号为1,2,3,4,5,6的六个同学排成一排，3、4号两位同学相邻，不同的排法（）A．60种B．120种C．240种D．480种【答案】C【解析】将34看一个整体，连同1、2、5、6共5个元素进行全排列，共有5！种排法.由于3、4还要进行排列，故共有种排法.【考点】排列.13.科技活动后，名辅导教师和他们所指导的名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______.（用数字作答）【答案】.【解析】由于学生与其指导老师相邻，先将学生与其指导教师进行捆绑，形成三个整体，考虑每个整体中教师与学生的顺序，以及三个整体的排列，因此共有种不同的站法种数.【考点】排列组合14.从0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字组成一个没有重复数字且能被3整除的四位数，这样的四位数有个．【答案】【解析】依题意，只需组成的四位数各位数字的和能被整除．将这六个数字按照被除的余数分类，共分为类：，，，若四位数含，则另外个数字为、之一、之一，此时有种；若四位数不含，则个数字为，此时有种，由分类计数原理，这样的四位数有个．【考点】排列和组合.15.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个(用数字作答).【答案】324【解析】∵个位、十位和百位上的数字之和为偶数,∴这三个数或者都是偶数,或者有两个奇数一个偶数.当个位、十位和百位上的都为偶数时,则①此三位中有0,则有·4=3×6×4=72(个);②此三位中没有0,则有·3=6×3=18(个).当个位、十位和百位上有两个奇数一个偶数时,则①此三位中有0,则有·4=3×6×4=72(个);②此三位中没有0,则有·3=162(个),∴总共有72+18+72+162=324(个).【方法技巧】1.解决排列组合综合问题,应遵循三大原则:先特殊后一般、先取后排、先分类后分步的原则.2.解决排列组合综合问题的基本类型基本类型主要包括:排列中的“在与不在”、组合中的“有与没有”,还有“相邻与不相邻”“至少与至多”“分配与分组”等.3.解决排列组合综合问题中的转化思想转化思想就是把一些排列组合问题与基本类型相联系,从而把问题转化为基本类型,然后加以解决.16.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A．33B．34C．35D．36【答案】A【解析】从集合A,B,C中各取一个数有1×2×3=6种取法.其中1,1,5三数可确定空间不同点的个数为3个,另5种每种可确定空间不同点的个数都是6.所以可确定空间不同点的个数为3+5×6=33.17.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种【答案】A【解析】【思路点拨】先排第一列三个位置,再排第二列第一行上的元素,则其余元素就可以确定了.解:先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有3×2×1种不同的方法;再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法,因此共有3×2×1×2=12(种)不同的方法.18.某化工厂生产中需要依次投放2种化工原料,现已知有5种原料可用,但甲、乙两种原料不能同时使用,且依次投料时,若使用甲原料,则甲先投放,则不同的投放方案有()A．10种B．12种C．15种D．16种【答案】C【解析】分类完成此事,一类是使用甲原料,则不同的投放方案有1×3=3(种);一类是不使用甲原料,不同的投放方案有4×3=12(种);由分类加法计数原理可知,不同的投放方案有3+12=15(种).19.用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数的个数为()A．11B．12C．13D．14【答案】D【解析】数字2出现一次的四位数有4个,数字2出现2次的四位数有6个,数字2出现3次的四位数有4个,故总共有4+6+4=14个.20.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种【答案】B2＝6种方法；②选1本画【解析】分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．册，3本集邮册送给4位朋友，有C421.将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有多少种()．A．150B．114C．100D．72【答案】C【解析】先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1，或者3,1,1，所以共有＝25种分组方法．因为甲不能去北大，所以有甲的那组只有交大和浙大两个选择，剩下的两组无约束，一共4种排列，所以不同的保送方案共有25×4＝100种．22.某班有38人，现需要随机抽取5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有种. （结果用数值表示）【答案】【解析】甲乙是两个特殊的元素，甲抽到了，而乙未抽到，因此还要从余下的36人中抽4人，共有种抽法．【考点】组合．23.某高校从5名男大学生志愿者和4名女大学生志愿者中选出3名派到3所学校支教(每所学校一名志愿者)，要求这3名志愿者中男、女大学生都有，则不同的选派方案共有 ()．A．210种B．420种C．630种D．840种【答案】B【解析】从这9名大学生志愿者中任选3名派到3所学校支教，则有种选派方案，3名志愿者全是男生或全是女生的选派方案有＋种，故符合条件的选派方案有－(＋)＝420种．24.数列共有12项，其中，，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为（）A．84B．168C．76D．152【答案】A【解析】∵，∴前一项总比后一项大一或小一，到中4个变化必然有3升1减，到中必然有5升2减，是排列组合的问题，∴.【考点】1.数列的递推公式；2.排列组合问题.25.桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将此9个球排成一排共有种不同的排法.（用数字作答）【答案】1680【解析】可以考虑将此9个球同色加以区分的排成一排，然后再加以区分，除以相同颜色的球的排列数即可.所以满足题意的排列种数共有.【考点】排列组合26.高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）A．1800B．3600C．4320D．5040【答案】B【解析】先排除了舞蹈节目以外的5个节目，共种，把2个舞蹈节目插在6个空位中，有种，所以共有种.【考点】排列组合.27.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】先安排2，4，因为2，4不在个位和万位，所以2，4只能在十、百、千三个位置，①若2，4均为在百位，即2，4只占十位和千位，则数字5只能从个位和万位选择一个位置，这样共有个五位数；②若2，4某一个数字占据了百位，另一数字占据十位或千位，共有种可能，此时剩下的三个数字安排到余下的三个位置即可，这样的五位数就有个．由①②可知，这样的五位数一共有32个，故选A．【考点】排列组合综合．28. 2011年西安世园会组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人从事，则不同的派给方案共有（）A．25种B．150种C．240种D．360种【答案】B【解析】5个人全部参加工作，可以分先分组为2人、2人、1人或3人、1人、1人，故5个人全部工作共有安排方案种。
排列与组合的综合应用题
5．有五张卡片，它们的正、反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9，将其中任意三张并排放在一 起组成三位数，共可组成 432 个不同的三位数．
2．局局部步，整体分类以后，对每一类进行局局部 步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同 时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算结果时用 分步计数原理．
3．辩证地看待“元素〞与“位置〞．排列、组合问 题中的元素与位置，没有严格的界定标准，哪些 事物看成元素或位置，要视具体情况而定．有时“ 元素选位置〞，问题解决得简捷；有时“位置选元 素〞，效果会更好．
【点评】本小题考查排列组合、计数原理等根底知
识以及分类讨论的数学思想．
排列组合问题的常见解法主要有以下几种： (1)特殊元素优先安排的策略； (2)合理分类与准确分步的策略； (3)排列、组合混合问题先选后排的策略； (4)正难那么反、等价转化的策略； (5)相邻问题捆绑处理的策略； (6)不相邻问题插空处理的策略；
【点评】有关由假设干个数字组成满足某条件的数的
问题通常应用“特殊元素先排法〞或“减去法〞，思考
这类问题时应注意数字“0〞是否参与、组成的数是多
少位数、数字使用时是否可以重复这三个根本方面．
四、几何型排列组合问题 例 4(1)将一个四棱锥的每个顶点染上 1 种颜 色，并使同一条棱上的两端点异色，现共有 5 种颜 色可供使用，问共有多少种不同染色方法？
【点评】几何型排列组合问题需充分利用题设情 境相应的几何性质，利用分类整合的方法求解．
专题10 排列组合的综合运用(4月)(期中复习热点题型)(理)(原卷版)
专题10 排列组合的综合运用一、单选题1．用0,1,2,4组成没有重复数字的四位数，共有A ．24个B ．20个C ．18个D ．12个2．“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443等．那么在四位数中，回文数共有A ．81个B ．90个C ．100个D ．900个3．当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排,,,,A B C D E 五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且,A B 两人安排在同一个地区，,C D 两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为A ．86种B ．64种C ．42种D ．30种4．平面内有两组平行线，一组有3条，另一组有4条，且这两组平行线相交，可以构成不同的平行四边形个数为A ．10B ．12C ．16D ．185．横峰中学高二某班准备举办一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是A ．1860B ．1320C ．1140D ．10206．已知{}()1,0,1,1,2,,,i x i n n N *∈-=∈，则满足1232n x x x x ++++=的有序数组()123,,,,n x x x x共有个A．222n n-B．222n n+C．22n n-D．2n n-7．小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有A．261种B．360种C．369种D．372种8．2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年．为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部(3男4女)到三个贫困村调研走访，每个村安排男､女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有A．72种B．108种C．144种D．210种9．某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为A．85B．86C．91D．9010．如图所示为沟算盘，即古罗马算盘，其用青铜制成，盘上竖有小槽，内有小珠，其中左边七个竖槽的下槽各有四珠，每珠表示一，上槽一珠表示五，槽间有数位个、十、百（对应拉丁字母：I，X，C）；右边的两个竖槽表示分数，其中右数第二个竖槽的上槽有一珠，表示12，下槽有五珠，每珠表示112，最右边的竖槽含有三个短槽，上槽有一珠，表示124，中槽有一珠，表示148，下槽有二珠，每珠表示172．若从右数的前两个竖槽中任选三个小珠，则一共能表示的分数的个数为A．19B．44 C．55D．12011．某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，不经过B的概率为A．25B．815C．35D．2312．2019年二十国集团(20G)领导人峰会将在日本大阪开幕，为了欢迎二十国集团政要及各位来宾的到来，日本大阪市长决定举办大型歌舞晚会，现从A、B、C、D、E共5名歌手中任选3人出席演唱活动，当3名歌手中有A和B时，A需排在B的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有．A．51种B．45种C．42种D．35种13．2020是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年．复旦大学团委发起了“跟着驻村第一书记去扶贫”的实践活动，其中学生小明与另外3名学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个贫困村参与扶贫工作，若每个村至少分配1名学生，则小明恰好分配到甲村的方法数是A．3B．8C．12D．614．刘老师、王老师与四位学生共六人在凌江园排成一排照相，两位老师相邻且都不在两端的排法种数是A．96B．128C．144D．24015．把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有种．A．60B．72C．96D．15016．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有A ．54种B ．60种C ．72种D ．96种17．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理．某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶．因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种18．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有A ．51个B ．54个C ．12个D ．45个19．8名学生站成两排，前排3人，后排5人，则不同站法的种数为①5555A A +；②5383A A ；③5383A A +；④88A ．其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 20．将标号为1、2、3、4、5、6的6个小球随机地放入标号为1、2、3、4、5、6的6个盒子中，每个盒子放一个小球，恰好有4个小球的标号与其所在盒子的标号不一致的放法总数有A ．45种B ．90种C ．135种D ．180种 二、多选题1．我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经）、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》6本书分给5名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为 A ．124564C C A B ．5651A CC ．124564C A AD ．2565C A 2．将4个不同的小球放入三个分别标有1､2､3号的盒子中，不允许有空盒子，则不同的放法种数是A ．11114323C C C CB ．2343C A C ．3143A CD ．21342322C C A A 3．现安排高二年级A ，B ，C 三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工），且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是A ．所有可能的方法有43种B ．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C ．若同学A 必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D ．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种4．2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A ，B ，C 三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是A ．若C 企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种B ．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种C ．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A 企业，则所有不同分派方案共12种D ．所有不同分派方案共34种5．现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是A ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法B ．若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D ．若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种6．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有A ．11113213C C C CB ．2343C AC ．122342C C AD ．187．用0到9这10个数字．可组成个没有重复数字的四位偶数？A ．31129488A A A A +⋅⋅B ．31329498()A A A A +⋅-C ．112112558448A A A A A A ⋅⋅+⋅⋅D ．43132109598()A A A A A --- 8．下面结论正确的是A ．若3个班分别从5个风景点中选择一处游览，则不同的选法种数为35B ．1×1!+2×2!+…+n ⋅n !＝（n +1）!﹣1（n ∈N *）C ．（n +1）m n C ＝（m +1）11m n C ++（n ＞m ，N ,N m n **∈∈） D ．135********...2n n n n n n C C C C --++++=（N n *∈）9．用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是 A ．可组成360个不重复的四位数B ．可组成156个不重复的四位偶数C ．可组成96个能被3整除的不重复四位数D ．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为2310 10．如图，在某城市中，M 、N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A 、2A 、3A 、4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M 、N 处的甲、乙两人分别要到N 、M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N 、M 处为止．则下列说法正确的是A ．甲从M 到达N 处的方法有120种B ．甲从M 必须经过2A 到达N 处的方法有9种C ．甲、乙两人在2A 处相遇的概率为81400 D ．甲、乙两人相遇的概率为41100三、填空题1．现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，每件产品只能放到一个机构里．机构A，B各负责一个产品，机构C负责余下的三个产品，其中产品①不在A机构测试的情况有___________种(结果用具体数字表示)．2．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有___________种．3．用数字1、2、3、4、6可以组成无重复数字的五位偶数有___________个．（用数字作答）4．某医院传染病科室有5名医生．4名护士，现从这9名医护人员中选取5名参加医院组织的运动会，要求其中至少有2名医生．2名护士，则不同的选取方法有___________种．5．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金、石、七、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为___________．6．把分别写有“爸”、“爸”、“去”、“哪”、“儿”的5张卡片放入4个不同信封，每个信封至少放一张卡片，则写有“爸”、“爸”的两张卡片恰好被放入同一个信封的不同情况共有___________种．(用数字作答)7．由1，2，3，4，5，6组成的无重复数字的三位数中，奇数必须排在百位或个位上的数共有___________个．8．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则关于“六艺”课程讲座不同排课顺序的种数为___________．（用数字作答）9．辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄”“时代楷赘”“全国道德模范”称号的几位先进人物代表共度新春佳节，他们是“人民英雄”陈薇，“时代楷模”毛相林、张连刚，林占禧，“全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰，朱恒银，从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则不同的发言情况有___________种．10．为响应国家脱贫攻坚的号召，某县抽调甲、乙、丙等六名大学生村官到A、B、C三个村子进行扶贫，每个村子去两人，且甲不去A村，乙和丙不能去同一个村，则不同的安排种数为___________．11．某班需要选班长､学习委员､体育委员各2名，其中体育委员中必有男生，现有4名男生4名女生参加竞选，若不考虑其他因素，则不同的选择方案种数为___________．12．某班4名同学去参加3个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有___________种．(用数字填写答案)13．七个男生和四个女生排成一排，要求女生不相邻且不可排两头的排法共有___________．14．小明与3位男生、3位女生在排队购物，已知每位女生需2分钟，男生需1分钟，若小明（不排在首位）的前后不同时为女生，且他的等待时间不多于4分钟，则不同的排队情况共有___________种．15．某校高二年级共有10个班级，5位教学教师，每位教师教两个班级，其中姜老师一定教1班，张老师一定教3班，王老师一定教8班，秋老师至少教9班和10班中的一个班，曲老师不教2班和6班，王老师不教5班，则不同的排课方法种数___________．四、双空题1．某地区高考改革，实行“312++”模式，即“3”指语文，数学，外语三门必考科目，“1”指在物理，历史两门科目中必选一门，“2”指在化学，生物，政治，地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有___________；选择了物理的概率为___________．（用数字作答）2．给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有___________种，用5种颜色染色的方案共有___________种．3．在浙江省新高考选考科目报名中，甲、乙、丙、丁四位同学均已选择物理、化学作为选考科目，现要从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目，则不同的选报方案有___________种（用数字作答）；若每位同学选报这五门学科中的任意一门是等可能的，则这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程的概率为___________．4．在新高考改革中，学生可从物理、历史，化学、生物、政治、地理，技术7科中任选3科参加高考，则学生有___________种选法．现有甲、乙两名学生先从物理、历史两科中任选一科， 再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有___________种.5．一行八空任意填字，恰填得“上”、“右”两字各4个的不同填法有___________种；两张相同的44 方格表，有一方格重合（如图），沿格线连接A B 、两点；则不同的最短连接线有___________条．五、解答题1．（1）用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？（2）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则有多少个不同的排法？2．要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ （1）甲当选且乙不当选；（2）至多有3名男生当选．3．4位同学报名参加2022年杭州亚运会6个不同的项目（记为A ，B ，C ，D ，E ，F ）的志愿者活动．假设每位同学恰报1个项目，且报名各项目是等可能的．（1）求4位同学报了4个不同的项目的概率；（2）求1位同学报了项目A ，剩余3位同学都报了项目B 的概率．4．有四个编有1､2､3､4的四个不同的盒子，有编有1､2､3､4的四个不同的小球，现把四个小球逐个随机放入四个盒子里．（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？（2）在（1）的条件下求恰有一个盒子没放球的概率？（3）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 5．7名班委有7种不同的职务，甲、乙、丙三人在7名班委中，现对7名班委进行职务具体分工．（1）若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任，有多少种不同的分工方案?（2）若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任，有多少种不同的分工方案? 6．用0、1、2、3、4、5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个无重复数字的四位奇数？（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？。
四年级下册数学试题-奥数专题练习：第六讲 排列组合的综合应用(含答案)全国通用
第六讲：排列组合的综合应用基础班1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.有两个小盒子，第一个盒子中有标有数字1，2，3，…，10的十张卡片，第二个盒子中有标有11，12，13，…，20的十张卡片.若从两个盒子中各拿出一张卡片相加，一共可列出多少种不同的加法式子？6.小文和小静两位同学帮花店扎花，要从三只篮子中各取一只花扎在一起，已知每只篮子里都有3种不同的花，问她们可以扎成多少种不同式样的花束？7.某学校组织学生开展登山活动.在山的北坡有两条路直通山项；在山的南坡也有两条路，一条直通山顶，另一条通向山腰小亭，从小亭有两条路通向山顶；山的西坡有两条路通向山间寺庙，由寺庙有两条路通向山顶.要登上山顶共有多少种不同的道路？解答1.若投一封信看作一个步骤，则完成投信的任务可分三步，每封信4个邮筒都可投，即每个步骤都有4种方法.故由乘法原理：共有不同的投法4×4×4=64种.2.甲（或乙）胜就写一个甲（或乙）字，画树形图：由图可见共有14种可能.甲甲、甲乙甲甲、甲乙甲乙甲、甲乙甲乙乙、甲乙乙甲甲、甲乙乙甲乙、甲乙乙乙、乙甲甲甲、乙甲甲乙甲、乙甲甲乙乙、乙甲乙甲甲、乙甲乙甲乙、乙甲乙乙、乙乙.3.现有4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，则站在两端的都是女同学.将位置从右到左编号，第1、3、5、7号位是女同学，第2、4、6号位是男同学.于是完成适合题意的排列可分两步：第一步：从6名女同学中任选4名排在第1、3、5、7号位.有P46种排法.第二步：从5名男同学中任选3名排在第2、4、6号位，有P35种排法.因此，由乘法原理排出不同队形数为P46·P35=6×5×4×3×5×4×3=21600.4.图示：分两类：第一类：十万位上是3或5之一的六位偶数有P12·P14·P45个.第二类：十万位上是4或6之一的六位偶数有P12·P13·P45个.∴P12P14P45+P12P13P45=1680.5. 200种第一个盒子中的每一张卡片都可以与第二个盒子中的十张卡片组成 20种加法式子（包括被加数与加数交换位置，例如将 1＋11与11＋1看成为两个加法式子），而第一个盒子中共有十张卡片，则由乘法原理，共10×20＝200种不同的加法式子。
高二数学排列组合综合应用试题
高二数学排列组合综合应用试题1.某城市有3个演习点同时进行消防演习，现将4个消防队分配到这3个演习点，若每个演习点至少安排1个消防队，则不同的分配方案种数为（）.A．12B．36C．72D．108【答案】B.【解析】先从4个消防队中选出2个作为一个整体，有种选法；再将三个整体进行全排列，有种方法；根据分步乘法计数原理得不同的分配方案种数为.【考点】排列组合.2.用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（）A．48B．36C．28D．12【答案】C【解析】解：根据题意，在0，1，2，3，4中有3个偶数，2个奇数，可以分3种情况讨论：①、0被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有种情况；故0被奇数夹在中间时，有2×6=12种情况；②、2被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有种情况，其中0在首位的有2种情况，则有6-2=4种排法；故2被奇数夹在中间时，有2×4=8种情况；③、4被奇数夹在中间时，同2被奇数夹在中间的情况，有8种情况，则这样的五位数共有12+8+8=28种.【考点】排列、组合的应用.3.有个座位连成一排，安排个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有A．种B．种C．种D．种【答案】C【解析】先安排这3个人就座排列方法有种，然后将两个空位捆绑这3人排好后形成的空隙为4个，所以这两个空位有4种选择，剩下的一个空位有3中选择；所以不同的坐法共有.【考点】排列组合.4. 5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为 .【答案】96.【解析】先安排排头，有4种排列方法；再安排其余四个位置，有中排列方法；由分步乘法计数原理，得5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为.【考点】计数原理、排列.5.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有（）A．60对B．48对C．30对D．24对【答案】B【解析】正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条，同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有：3×6=18．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66-18=48．故选B．【考点】排列组合知识，计数原理，空间想象能力6.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【答案】A【解析】将任务分三步完成：第一步，为甲地选一名老师，有种选法；第二步，为甲地选两个学生，有种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法；故不同的安排方案共有2×6×1=12种；故选 A【考点】排列与组合．7.用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给如图的a、b、c、d四个区域染色，若相邻的区域不能用相同的颜色，不同的染色方法的种数有种.【答案】180【解析】按颜色种数分类：3种颜色着色，不同色，同色，有,4种颜色着色，每个区域颜色不一样，，故共有60+120=180.【考点】排列综合应用.8.将名学生分别安排到甲、乙，丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有A．36种B．24种C．18种D．12种【答案】A【解析】由已知将名学生分别安排到甲、乙，丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，所以有且仅有一个地方安排两名，其余地方均只能安排一名；故可分两步完成：第一步先从４名学生中任取两人组成一组，与剩余２人组成三组，有种不同的方法；第二步将分成的三组安排到甲、乙，丙三地，则有种不同的方法，故共有种不同的安排方案；故选Ａ．【考点】排列组合．9.将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有种（用数字作答）；【答案】12【解析】首先对第一列进行全排列有种，然后对第二列进行排列仅有2种，根据分步计数原理知，其不同的排列方法共有种.【考点】排列与组合；分步计数原理.10.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A．152B．126C．90D．54【答案】B【解析】根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有种；2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：种；由分类原理可得18+36+72＝126．【考点】排列，组合的综合应用．11.将三个1、三个2、三个3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则不同的填写方法共有种。
1.2.3排列组合综合应用问题
排列组合综合问题
例1 有12人,按照下列要求分配,求不同的分法种数. (1)分为两组,一组7人,一组5人； (2)分为甲、乙两组,甲组7人,乙组5人；
把12 人分成两组,一组7人,一组5人与把12人分 成甲、乙两组,甲组7人,乙组5人,实质上是一样 的,都必须分成两步： 第一步:从12 人中选出7人组成一组(或甲组) 有C127种方法； 第二步:剩余的5人组成一组(或乙组) 有C55种方法. 所以总的分配种数为C127.C55种。 所以(1)、(2)分配种数都为C127.C55
有条件限制的组合问题
例4 已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}求含有5个元
素,且其中至少有两个是偶数的子集的个数. 法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类： ①2个偶数,3个奇数；②3个偶数,2个奇数； ③4个偶数,1个奇数. 所以共有子集个数为 C42.C53+C43.C52+C44.C51=105(个) 法2：从反面考虑,全部子集个数为C95,而不 符合条件的有两类： ①5个都是奇数；②4 个奇数,1个偶数. 所以共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105
有条件限制的排列问题
例35个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列. (1)a,e必须排在首位或末位,有多少种排法？
分两步完成,把a,e排在首末两端有A22种， 再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种. 由乘法原理,共有A22. A33=12(种)排法. 点评：问题(1)是排列问题中某几个元素必须 “在”某些位置的问题,处理这类问题的原则 是：有条件限制的元素或位置优先考虑 .(优 限法)
排列组合综合问题
例2 求不同的排法种数. (3)4男4女排成一排,同性者相邻；
4男4女排成一列,同性者相邻,把4男、4女 捆绑成一个排列,然后同性者之间再全排列, 所以共有A22.A44.A44种——“捆绑法”
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排列与组合的综合应用题（2）
授课教师：黄冈中学高级教师汤彩仙
一、知识概述
例1、有13名医生，其中女医生6人．现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有2名男医生，设不同的选派方法种数为P，则下列等式：
①②；③；④；
其中能成为P 的算式有________．（填序号）
答案：②③
例2、袋中有3个不同的红球，4个不同的黄球，每次从中取出一球，直到把3个红球都取出为止，共有多少种不同的取法？
解：＋＋＋＋=4110（种）．
例3、某停车场有连成一排的9个停车位，现有5辆不同型号的车需要停放，按下列要求各有多少种停法？（1）5辆车停放的位置连在一起；
（2）有且仅有两车连在一起；
（3）为方便车辆进出，要求任何3辆车不能在一起.
解：（1）（种）．
（2）（种）．
（3）要求任何3辆车不能连在一起，可以分成①5辆车均不相邻，②有且仅有两辆车相邻，③有2组2辆车相邻，三种情况．
有．
例4、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内：
（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？
（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？解：（1）．
（2）．
（3）（种）．
法二：恰有两个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为种；
恰有三个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为种；
恰有五个球的编号与盒子编号是相同时，投法数为1种；
故至少有两个球的编号与盒子编号是相同的投法数为
例5、某学习小组有8名同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有一人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男女同学分别有多少人？
解：设有男生x人，女生8－x人，（x∈N＋，且2≤x≤7）．
则有，即x（x－1）（8－x）=60．
∴x＝6或x＝5．
∴男生6人，女生2人或男生5人，女生3人．
例6、一栋7层的楼房备有电梯，现有A，B，C，D，E五人从一楼进电梯上楼，求：（1）有且仅有一人要上7楼，且A不在2楼下电梯的所有可能情况种数．
（2）在（1）的条件下，一层只能下1个人，共有多少种情况？
解：（1）分A上不上7楼两类A上7楼，有54种；A不上7楼，有4×4×53种．共有54＋4×4×53=2625种．
（2）（种）．
例7、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有__________种．（以数字作答）
解：（种）．。