282解直角三角形二同步测控优化训练含答案
人教版九年级数学下册28.2《解直角三角形及其应用》同步练习 含答案
2021年人教版九年级下册28.2《解直角三角形及其应用》同步练习一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝36°，若BC＝m，则AB的长为（）A．B．m•cos36°C．m•sin36°D．m•tan36°2．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A的值为（）A．B．C．3 D．3．如图，已知在4×4的网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠CAB的值为（）A．B．C．D．4．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（a，3）且OP与x轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（）A．B．C．D．5．如图，某游乐场山顶滑梯的高BC为50米，滑梯的坡比为5：12，则滑梯的长AB为（）A．100米B．110米C．120米D．130米6．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为（）A．B．C．D．7．如图，要测量一条河两岸相对的两点A，B之间的距离，我们可以在岸边取点C和D，使点B，C，D共线且直线BD与AB垂直，测得∠ACB＝56.3°，∠ADB＝45°，CD＝10m，则AB的长约为（）（参考数据sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7，tan45°＝1）A．15m B．30m C．35m D．40m8．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（）A．6m B．3m C．9m D．6m9．如图，一艘潜水艇在海面下300米的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960米到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是（）A．（480+300）米B．（960+300）米C．780米D．1260米10．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距300m，则图书馆A到公路的距离AB为（）A．150m B．150m C．150m D．100m 11．如图，从渔船A处测得灯塔M在北偏东55°方向上，这艘渔船以28km/h的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处测得灯塔M在北偏东20°方向上，此时灯塔M与渔船的距离是（）A．28km B．14km C．7km D．14km12．如图，两栋大楼相距100米，从甲楼顶部看乙楼的仰角为26°，若甲楼高为36米，则乙楼的高度为（）A．（36+100sin26°）米B．（36+100tan26°）米C．（36+100cos26°）米D．（36+）米二．填空题13．在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为．14．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos A的值为．15．如图，在平面直角坐标系中有一点P（6，8），那么OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值为．16．如图，某商场大厅自动扶梯AB的长为12m，它与水平面AC的夹角∠BAC＝30°，则大厅两层之间的高度BC为m．17．如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2（即BC：AC＝1：2），若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为米．18．再如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为多少km．19．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A 为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC 边被掩埋部分CD的长是m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．20．如图，海面上有一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，在B处测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，则∠ACB的度数为．三．解答题21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC＝∠BAC，求sin∠BPC．22．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°．求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，tan32°＝0.62】23．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为45°、底部C处的俯角为63°，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离AD为80米．求该建筑物的高度BC（精确到1米）．[参考数据：sin63°＝0.89，cos63°＝0.45，tan63°＝1.96]24．汝阳某公司举办热气球表演来庆祝开业，如图，小敏、小亮从A，B两地观测空中C处一个气球，分别测得仰角为37°和45°，A、B两地相距100m．当气球沿与BA平行地飘移100秒后到达D处时，在A处测得气球的仰角为60°．（1）求气球的高度；（2）求气球飘移的平均速度．（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75，≈1.7．）25．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一座隧道（A、B在同一水平面上），为了测量A、B两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升120米到达C处，在C处观察A地的俯角为42°，求A、B两地之间的距离．（结果精确到1米）[参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90]26．如图，海面上产生了一股强台风．台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台合风中心距离小岛200海里．（1）过点B作BP⊥AC于点P，求∠PBC的度数；（2）据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.73）参考答案一．选择题1．解：∵∠C＝90°，∠B＝36°，BC＝m，∴cos B＝，∴AB＝＝，故选：A．2．解：延长AB到D，连接CD，如右图所示，由题意可得，AC＝＝，CD＝1，∴sin∠A＝＝，故选：A．3．解：由题意可得，AC＝＝＝2，BC＝＝，AB＝＝5，∵（2）2+（）2＝52，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，∴cos∠CAB＝＝，故选：B．4．解：过点P作PE⊥x轴于E，如图所示：∵P（a，3），∴OE＝a，PE＝3，∵tan∠α＝＝，∴a＝OE＝4，∴OP＝＝＝5，∴sinα＝＝，故选：A．5．解：∵某游乐场山顶滑梯的高BC为50米，滑梯的坡比为5：12，∴＝，则＝，解得：AC＝120米，故AB＝＝＝130（米）．故选：D．6．解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝，即sinα＝，∴AB＝，在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝，即sinβ＝，∴AD＝，∴＝＝，故选：C．7．解：设AB＝xm，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，∴AB＝BD＝xm，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝56.3°，且tan∠ACB＝，∴BC＝＝≈x，由BC+CD＝BD得x+10＝x，解得x＝30，∴AB的长约为30m，故选：B．8．解：∵迎水坡AB的坡比为1：，∴＝，即＝，解得，AC＝3，由勾股定理得，AB＝＝6（m），故选：A．9．解：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点．已知AB＝960米，∠BAC＝30°，∠EBC＝60°，∵∠BCA＝∠EBC﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠BCA．∴BC＝BA＝960（米）．在Rt△BEC中，sin∠EBC＝，∴CE＝BC•sin60°＝960×＝480（米）．∴CF＝CE+EF＝（480+300）米，故选：A．10．解：由题意得，∠AOB＝90°﹣60°＝30°，OA＝300m，∴AB＝OA＝150（m），故选：C．11．解：根据题意可知：∠MAB＝90°﹣55°＝35°，∠ABM＝90°+20°＝110°，∴∠AMB＝180°﹣∠ABM﹣∠MAB＝35°，∴∠MAB＝∠AMB，∴BM＝AB＝28×＝14（km）．所以此时灯塔M与渔船的距离是14km．故选：B．12．解：由题意知：AE＝CD＝36米，AC＝DE＝100米，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，∴BC＝AC tan∠BAC＝100tan26°（米），则BD＝CD+BC＝（36+100tan26°）米，即乙楼的高度为（36+100tan26°）米，故选：B．二．填空题13．解：过A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，sin B＝，AB＝3，∴AD＝AB•sin B＝1，在Rt△ACD中，tan C＝，∴＝，即CD＝，根据勾股定理得：AC＝＝＝，故答案为：．14．解：如图，作CH⊥AB于H，设小正方形的边长为1．则AC＝＝，在Rt△ACH中，cos A＝＝＝，故答案为：．15．解：如图作PH⊥x轴于H．∵P（6，8），∴OH＝6，PH＝8，∴OP＝＝10，∴cosα＝＝＝．故答案为：．16．解；在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝12m，∴BC＝m，故答案为：6．17．解：∵大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，AC＝12米，∴＝＝，∴BC＝6（米），∴AB＝＝＝6（米）．故答案为：6．18．解：如图，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，则CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，∴∠ACB＝20°+40°＝60°，由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝30km，∴AE＝BE＝AB＝30（km），在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，∴CE＝＝＝10（km），∴AC＝AE+CE＝30+10（km），∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故答案为：（30+10）．19．解：在直角三角形中，sin A＝，则BC＝AB•sin A＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.9，＝0.801≈0.8（m），故答案为：0.8．20．解：由题意得：∠BAC＝31°，∠CBD＝45°，∵∠CBD＝∠BAC+∠ACB，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠BAC＝45°﹣31°＝14°，故答案为：14°．三．解答题21．解：作AD⊥BC于点D，如右图所示，∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BAD＝∠BAC，∵∠ADB＝90°，∴sin∠BAD＝，又∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝∠BAD，∴sin∠BPC＝．22．解：由题意得，BE⊥CD于E，BE＝AC＝22米，∠DBE＝32°，在Rt△DBE中，DE＝BE•tan∠DBE＝22×0.62≈13.64（米），CD＝CE+DE＝1.5+13.64≈15.1（米），答：旗杆的高CD约为15.1米．23．解：在△ADB中，∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝80（米），在△ACD中，∠ADC＝90°，∴CD＝AD•tan63°＝80×1.96≈156.8（米），∴BC＝BD+CD＝80+156.8＝236.8≈237（米），答：该建筑物的高度BC约为237米．24．解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△ACE中，∵∠CAE＝37°，∴CE＝AE×tan37°＝0.75AE，∴AE＝CE，在Rt△BCE中，∵∠CBE＝45°，∴BE＝CE，∴AB＝AE﹣BE＝CE﹣CE＝CE＝100，∴CE＝300（米），答：气球的高度为300米；（2）如图，过点D作DF⊥AB于点F，则四边形DFEC是矩形，在Rt△ADF中，∵∠DAF＝60°，∴AF＝DF＝CE＝100≈170（米），∴AE＝CE＝400（米），∴CD＝EF＝400﹣170＝230（米），∴速度为：230÷100＝2.3．答：气球飘移的平均速度每分钟为2.3米．25．解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∠A＝42°，∴tan42°＝，∴AB＝≈133（米）答：A、B两地之间的距离约为133米．26．解：（1）∵∠MAC＝60°，数学∴∠BAC＝30°，又∵BP⊥AC，∴∠APB＝90°，∴∠ABP＝60°，又∵∠CBN＝29°，∠ABN＝90°，∴∠ABC＝119°，∴∠PBC＝∠ABC﹣∠ABP＝59°；（2）不会受到影响．理由如下：由（1）可知，∠PBC＝59°，∴∠C＝90°﹣∠PBC＝31°，又∵tan31°＝0.60，∴，设BP为x海里，则AP＝海里，CP＝海里，∴，解得：x≈57，∵57＞50，∴沿海城市B不会受到台风影响．。
人教版九年级数学下册28.2 解直角三角形及其应用同步练习附答案【新材料】
28.2 解直角三角形及其应用(一)一、双基整合:1．在下面条件中不能解直角三角形的是（）A．已知两条边 B．已知两锐角 C．已知一边一锐角 D．已知三边2．在△ABC中，∠C=90°，a=5，c=13，用科学计算器求∠A约等于（）A．24°38′ B．65°22′ C．67°23′ D．22°37′3．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，有下列关系式：•①b=ccosB，②b=atanB，③a=csinA，④a=bcotB，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．为测一河两岸相对两电线杆A、B间距离，在距A点15m的C处，（AC⊥AB），测得∠ACB=50°，则A、B间的距离应为( )mA．15sin50° B．15cos50° C．15tan50° D．15cot50°5．在△ABC中，∠C=90°，，三角形面积为52，则斜边c=_____，∠A的度数是____．6．在直角三角形中，三个内角度数的比为1：2：3，若斜边为a，•则两条直角边的和为________．7．四边形ABCD中，∠C=90°，AB=12，BC=4，CD=3，AD=13，•则四边形ABCD•的面积为________．8．如图，小明想测量电线杆AB•的高度，•发展电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为_______米．1.41≈1.73）9．如图所示，在Rt△ABC中，a，b分别是∠A，∠B的对边，c为斜边，如果已知两个元素a，∠B，就可以求出其余三个未知元素b，c，∠A．（1）求解的方法有多种，请你按照下列步骤，完成一种求解过程．第一步：已知：a,∠B,用关系式:_______________,求出:_________________;第二步：已知：_____,用关系式:_______________,求出:_________________;第三步：已知：_____,用关系式:_______________,求出:_________________.（2）请你分别给出a，∠B的一个具体数据，然后按照（1）中的思路，求出b，c，∠A的值．bcaA10．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CD=3cm，AB=7cm，高为，求底角B的度数．11．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AC=22，AB=23，设∠BCD=α，•求cos α的值．BAC D二、探究创新12．国家电力总公司为了改善农村用电量过高的现状，目前正在全面改造各地农村的运行电网，莲花村六组有四个村庄A ，B ，C ，D 正好位于一个正方形的四个顶点，•现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图所示的实线部分，请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线（以下数据可供参考2=1.414，3=1.732，5=2.236）．13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2-mx+2m-2=0的两个根，求Rt △ABC 中较小锐角的余弦值。
2020年春人教版九年级数学下册28.2解直角三角形同步练习附答案
1
，
ED 2
∴ ED＝ 2CE＝2×4＝ 8．
∴ AD＝ AF＋ FE＋ ED＝ 3＋ 4＋ 8＝ 15(m) ．
4．解：过点 O作水平地面的垂线，垂足为 E．
在 Rt△ AOB中， cos∠ OAB＝ AB ， OA
即 cos28 °＝ 12 ，∴ OA＝ 12
OA
cos 28
∵∠ BAE＝ 16°，
28.2 解直角三角形
专题一 利用解直角三角形测河宽与山高 1．如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选
取点 A，在点 A 的对岸选取一个参照点 C，测得∠ CAD＝ 30°；小丽沿河岸向前走 30 m 选取点 B, 并测得∠ CBD＝ 60°. 请根据以上数据 , 用你所学的数学知识 , 帮助小丽计算小河的宽度 .
2．在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（
A 处），测得湖西岸的山峰太婆尖（ C 处）和湖东
岸的山峰老君岭（ D处）的仰角都是 45°，游船向东航行 100 米后（ B处），测得太婆尖、老君
岭的仰角分别为 30°、 60°．试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？（
3 ≈ 1.732 ，结果精确
到 1 米）
∴∠ OAE＝ 28°＋ 16°＝ 44° .
12 13.333 .
0.9
OE 在 Rt△ AOE中， sin ∠ OAE＝ ，
OA
即 sin44 °
OE
，
13.333
∴ OE 13.333 0.7 9.333，
9.333 ＋1.5 ≈10.83(m) .
∴雕塑最顶端到水平地面的垂直距离约为
10.83 m ．
的思路一定是正确的 .
九年级数学下册同步测控优化训练(28.2解直角三角形)(1)
21.在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC为( )
A.3
B.4 C.5 D.6
解析：AC=BC·tanB=6.
答案：D
3 2.如图28-2-2-1，在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cos∠ADC= 5 ，则BD的长
∴BD= 2 2 .
在Rt△ADC中，AC=6,
由勾股定理得DC= AC 2 AD 2 62 (2 2)2 2 7 , ∴BC=BD+DC= 2 2 2 7 ,
AD 2 2 14
tanC= DC 2 7 7 .
4.如图28-2-2-４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆 顶A点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角
解：延长AD，交BC的延长线于点E，
在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=200 m，
∴BE=AB·tanA= 200 3 (m).
AB 200
cos 60
1
AE=
2 =400(m).
在Rt△CDE中，∠CED=30°，CD=100 m，
∴DE=CD·cot∠CED=100 3 (m),
CD 100
sin CED
1
CE=
2 =200m.
∴AD=AE-DE=400-100 3 ≈227(m),[来源:学,科,网]
BC=BE-CE= 200 3 -200≈146(m).
图28-2-2-7 解析:AB=BC·tanC=12(米). 答案:12[来源:] 3.某片绿地的形状如图28-2-2-8所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200
九年级数学下册 28.2.1 解直角三角形同步测试 (新版)新人教版 (含答案)
解直角三角形1．△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( A )A ．c sin A ＝aB ．b cos B ＝cC ．a ta n A ＝bD ．c tan B ＝b2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝12，c ＝2，则b 的值等于( D )A.55 B.255 C.355 D.455【解析】 ∵tan A ＝a b ＝12，∴a ＝b 2，又∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＋b 2＝4，∴5b 24＝4，∴b ＝45 5.3．如图28－2－1，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于( B ) A ．m ·sin α米 B ．m ·tan α米 C ．m ·cos α米 D.mtan α米图28－2－1图28－2－24．如图28－2－2，△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( A ) A.212B ．12C ．14D ．21 5．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 为BC 边上的高．则下列结论中，正确的是( B ) A ．AD ＝32AB B ．AD ＝12AB C ．AD ＝BD D ．AD ＝22BD 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝23，则∠B ＝__30°__．【解析】 本题是已知两直角边解直角三角形，由tan B ＝b a ＝236＝33，得∠B ＝30°.7．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝83，∠A ＝60°，则a ＝__12__，b ＝．【解析】 本题是已知一锐角和斜边解直角三角形，由sin A ＝a c ，得a ＝sin A ·c ＝32×83＝12.由∠A ＝60°，得∠B ＝30°，所以b ＝12c ＝4 3.8．等腰三角形底边长为26，底边上的高为32，则底角为__60°__． 【解析】 底边上的高将等腰三角形分割成两个直角三角形，通过解直角三角形即可求底角． 9．在△ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形． (1)已知∠A ＝60°，b ＝4，求a ； (2)已知a ＝13，c ＝23，求b ；(3)已知c ＝282，∠B ＝30°，求a ；(4)已知a ＝2，cos B ＝13，求b .解：(1)∵tan A ＝a b，∴a ＝b ·tan A ＝4·tan60°＝4×3＝43；(2)∵a 2＋b 2＝c 2， ∴b ＝c 2－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝13； (3)∵cos B ＝a c， ∴a ＝c ·cos B ＝282×32＝146； (4)∵cos B ＝a c ，∴c ＝a cos B ＝213＝6.又∵b 2＝c 2－a 2，∴b ＝c 2－a 2＝62－22＝4 2. 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°. (1)已知a ＝4，b ＝8，求c .(2)已知b ＝10，∠B ＝60°，求a ，c . (3)已知c ＝20，∠A ＝60°，求a ，b .解：(1)c ＝a 2＋b 2＝42＋82＝45；(2)a ＝b tan B ＝10tan60°＝103＝1033，c ＝b sin B ＝10sin60°＝1032＝2033；(3)a ＝c ×sin A ＝20×32＝103，b ＝c ×cos A ＝20×12＝10. 11．根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，∠B ＝60°； (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，b ＝ 6.解：(1)∠A ＝90°－∠B ＝30°，c ＝acos B＝16，b ＝a ·tan B ＝83；(2)∠B ＝90°－∠A ＝45°，a ＝b ·tan A ＝6，c ＝bcos A＝2 3.图28－2－312．如图28－2－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝ 22，解这个直角三角形．解：∵∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝22，∴sin B ＝AC AB ＝12，∴∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°.BC ＝AB 2－AC 2＝8－2＝ 6.13．如图28－2－4，已知△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，D 是AC 上一点，∠CBD ＝∠A ，则sin ∠ABD ＝( A )图28－2－4A.35B.105C.310D.4914．如图28－2－5，已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB ＝2，求△ABC 的周长(结果保留根号)． 解：∵△ABD 是等边三角形，∴∠B ＝ 60°. 在Rt △ABC 中，∵cos B ＝AB BC ，sin B ＝AC BC，∴BC ＝ AB cos B ＝2cos60°＝4，∴AC ＝BC ·sin B ＝4×sin60°＝23， ∴△ABC 的周长＝AB ＋AC ＋BC ＝6＋2 3.图28－2－5图28－2－615．如图28－2－6，△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，已知∠BDC ＝45°，BD ＝102，AB ＝20.求∠A 的度数．解：在Rt △BDC 中，因为sin ∠BDC ＝BC BD， 所以BC ＝BD ×sin ∠BDC ＝102×sin45°＝102×22＝10. 在Rt △ABC 中，因为sin A ＝BC AB ＝1020＝12，所以∠A ＝30°. 16．如图28－2－7，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，求AB 的长．图28－2－7第16题答图解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ， ∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B ＝45°，∴CD ＝BD . ∵∠A ＝30°，AC ＝23，∴CD ＝12AC ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3.由勾股定理得：AD ＝AC 2－CD 2＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.17．某学校的校门是伸缩门(如图①)，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°(如图②)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图③)．问：校门打开了多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.087 2，cos5°≈0.996 2，sin10°≈0.173 6，cos10°≈0.984 8)．图28－2－8 解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABC D.根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝0．3米．∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD＝AB＝0.3米，∴大门的宽是：0.3×20≈6(米)；校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1.根据题意，得∠B1A1D1＝10°，A1B1＝0．3米．∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1＝5°，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1＝sin∠B1A1O1·A1B1＝sin5°×0.3＝0．02616(米)，∴B1D1＝2B1O1＝0.05232米，∴伸缩门的宽是：0.05232×20＝1.0464米；∴校门打开的宽度为：6－1.0464＝4.9536≈5(米)．故校门打开了5米．。
2021-2022学年人教版九年级数学下册《28-2解直角三角形及其应用》同步练习题(附答案)
2021-2022学年人教版九年级数学下册《28-2解直角三角形及其应用》同步练习（附答案）1．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（）A．15sin32°B．15tan64°C．15sin64°D．15tan32°2．如图，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部的仰角为55°，看这栋高楼底部的俯角为35°，若热气球与高楼的水平距离为35m，则这栋高楼度大约是（）（考数据：sin55°≈，cos55°≈，tan55°≈）A．74米B．80米C．84米D．98米3．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD＝（）A．B．C．D．4．某校积极开展综合实践活动，一次九年级数学小组发现校园里有一棵被强台风摧折的大树，其残留的树桩DC的影子的一端E刚好与倒地的树梢重合，于是他们马上利用其测量旁边钟楼AB的高度．如图是根据测量活动场景抽象出的平面图形．活动中测得的数据如下：①大树被摧折倒下的部分DE＝10m；②tan∠CDE＝；③点E到钟楼底部的距离EB＝7m；④钟楼AB的影长BF＝（20+8）m；⑤从D点看钟楼顶端A点的仰角为60°．（点C，E，B，F在一条直线上）．请你选择几个需要的数据，用你喜欢的方法求钟楼AB的高度，则AB＝（）A．15m B．（15+6）m C．（12+6）m D．15m5．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为（）A．B．C．D．6．如图，小王在山坡上E处，用高1.5米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为25°，DE平行于地面BC，若DE＝2米，BC＝10米，山坡CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝5米，则铁塔AB的高度约米．（精确到个位，参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）7．如图，小明在某天15：00时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ACB＝60°，当他在17：00时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角∠ADB＝30°，若两次测得的影长之差CD长为6m，则树的高度为m．8．如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，通过测量可知河的宽度CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，则AC＝m（计算结果用含根号的式子表示）．9．为做好疫情宣传巡查工作，各地积极借助科技手段加大防控力度．如图，亮亮在外出期间被无人机隔空喊话“戴上口罩，赶紧回家”．据测量，无人机与亮亮的水平距离是15米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为30°，若亮亮身高1.70米，则无人机距离地面的高度约为米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）10．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是45m，则甲楼的高AB是m （结果保留根号）；11．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园，如图，无人机在水平直线AB的正上方从E沿水平方向飞行至F处，用时10秒，在地面A处测得E处的仰角分别为30°，在水平线上的C处测得E处和F处的仰角分别为75°和45°，已知AC＝100米，求无人机飞行的速度．12．2020年11月24日4时30分，我国在海南航天发射场，使用长征五号运载火箭成功发射了嫦娥五号探月探测器，引起了全世界的瞩目．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米．仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米．求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米/秒，参考数据：≈1.732，≈1.414）13．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）14．文物探测队探测出某建筑物下面有地下文物，为了准确测出文物所在的具体位置，他们在文物上方建筑物的一侧地面上相距20米的A、B两处，用仪器测文物C，探测线与地面的夹角分别为30°和75°．（1）求∠C的度数；（2）求BC的长．15．如图，海岛A为物资供应处，海上事务处理中心B在海岛A的南偏西63.4°方向．一艘渔船在行驶到B岛正东方向30海里的点C处时发生故障，同时向A、B发出求助信号，此时渔船在A岛南偏东53.1°位置．（参考数据：tan53.1≈，sin53.1°≈，cos53.1°≈，tan63.4°≈2，sin63.4°≈，cos63.4°≈）（1）求C点到岛的距离；（2）在收到求助信号后，A、B两岛同时派人员出发增援，由于A岛所派快艇装运物资较多，速度比B岛所派快艇慢25海里/小时，若两岛派出的快艇同时到达C处，求A处所派快艇的速度．16．深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距深圳正南200千米的A处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东43°方向向B移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过六级，则称受台风影响．（1）此次台风会不会影响深圳？为什么？（2）若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？（3）若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）（sin43°≈，cos42°≈，tan42°≈）17．疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机规劝居民回家．如图，一条笔直的街道DC，在街道C处的正上方A处有一架无人机，该无人机在A处测得俯角为45°的街道B处有人聚集，然后沿平行于街道DC的方向再向前飞行60米到达E处，在E处测得俯角为37°的街道D处也有人聚集．已知两处聚集点B、D之间的距离为120米，求无人机飞行的高度AC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.414．）18．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿某一方向直航140海里的海岛B，其速度为14海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行3小时后，到达C港口接旅客，停留1小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求海岛B到航线AC的距离；（2）甲船在航行至P处，发现乙船在其正东方向的Q处，问此时两船相距多少？19．如图，某校20周年校庆时，需要在草场上利用气球悬挂宣传条幅，EF为旗杆，气球从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AF延长线上的点B处测得气球和旗杆EF的顶点E在同一直线上．（1）已知旗杆高为12米，若在点B处测得旗杆顶点E的仰角为30°，A处测得点E的仰角为45°，试求AB的长（结果保留根号）；（2）在（1）的条件下，若∠BCA＝45°，绳子在空中视为一条线段，试求绳子AC的长（结果保留根号）？20．在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角，即望向屏幕中心P（AP＝BP）的视线EP 与水平线EA的夹角∠AEP＝18°时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C 的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为30cm．（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，≈1.41，≈1.73）参考答案1．解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，∴∠EDF＝∠F，∴DE＝EF，∵EF＝15米，∴DE＝15米，在Rt△CDE中，∵sin∠CED＝，∴CD＝DE sin∠CED＝15sin64°，故选：C．2．解：过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，∠BAD＝55°，AD＝35m，tan∠BAD＝，∴BD＝AD•tan∠BAD≈35×＝49（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣∠CAD＝55°，AD＝35m，tan∠ACD＝，∴CD＝≈＝25（m），∴BC＝BD+CD＝49+25＝74（m），故选：A．3．解：如图，连接BE、AE．则：EB＝，AB＝．∵CD、BE、AE都是正方形的对角线，∴∠CDE＝∠BEF＝∠AEO＝∠BEO＝45°．∴CD∥BE，∠AEB＝∠AEO+∠BEO＝90°．∴∠AOD＝∠ABE，△ABE是直角三角形．∴cos∠ABE＝＝＝．故选：D．4．解：选择：①大树被摧折倒下的部分DE＝10m；②tan∠CDE＝；③点E到钟楼底部的距离EB＝7m；⑤从D点看钟楼顶端A点的仰角为60°．理由如下：过D作DG⊥AB于G，如图所示：则DG＝BC，BG＝CD，∵DE＝10m，tan∠CDE＝＝，∴CE＝8（m），BG＝CD＝6（m），∴DG＝BC＝CE+BE＝8+7＝15（m），在Rt△ADG中，∠ADG＝60°，tan∠ADG＝＝，∴AG＝DG＝15，∴AB＝AG+BG＝（15+6）m，故选：B．5．解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝，即sinα＝，∴AB＝，在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝，即sinβ＝，∴AD＝，∴＝＝，故选：C．6．解：如图，过点E、F分别作AB的垂线，垂足分别为G、H，得矩形EFHG，∴GH＝EF＝1.5米，HF＝GE＝GD+DE＝（GD+2)米，过点D作BC延长线的垂线，垂足为M，得矩形DMBG，∵CD的坡度i＝1：0.75＝4：3，CD＝5米，∴DM＝4米，CM＝3米，∴DG＝BM＝BC+CM＝10+3＝13 （米），BG＝DM＝4米，∴HF＝DG+2＝15（米），在Rt△AFH中，∠AFH＝25°，∴AH＝FH•tan25°≈15×0.47≈7.05，∴AB＝AH+HG+GB≈7.05+1.5+4≈12.6（米）．答：铁塔AB的高度约是12.6米．故答案为12.6．7．解：∵tan∠ADB＝，∴BD＝＝AB（m），∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝AB（m），∵CD＝BD﹣BC，∴6＝AB﹣AB（m），∴AB＝9（m），故答案为9．8．解：作AB⊥CD交CD的延长线于点B，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝∠CAE＝30°，∠ADB＝∠EAD＝45°，∴AC＝2AB，DB＝AB．设AB＝x，则BD＝x，AC＝2x，CB＝50+x，∵tan∠ACB＝tan30°，∴AB＝CB•tan∠ACB＝CB•tan30°．∴x＝（50+x）•．解得：x＝25（1+），∴AC＝50（1+）（米）．答：缆绳AC的长为50（1+）米．故答案为：50（1+）9．解：如图，根据题意可知：DE⊥BE，AB⊥BE，过点D作DC⊥AB于点C，所以四边形DEBC是矩形，∴BC＝ED＝1.70，DC＝EB＝15，在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，∴tan30°＝，即＝，解得AC＝5，∴AB＝AC+CB＝5+1.70≈10.4（米）．答：无人机距离地面的高度约为10.4米．故答案为：10.4．10．解：由题意可得：∠BDA＝45°，则AB＝AD，又∵∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，CD＝45m．tan∠CDA＝tan30°＝＝，即＝，解得：AD＝45（m），∴AB＝45m．故答案为：45．11．解：过点C作CD⊥AE于点D，过点E作EG⊥CF于点G，∵∠A＝30°，∠BCE＝75°，∠BCF＝45°，∴∠ECF＝∠BCE﹣∠BCF＝30°，∠ACE＝180°﹣∠BCE＝105°，又∠CDA＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°，∴∠DCE＝45°，在Rt△ACD中，∠A＝30°，∴CD＝AC＝50（m），在Rt△CDE中，CE＝＝＝（m），在Rt△CGE中，∠ECF＝30°，∴EG＝CE＝（m），又EF∥BC，∴∠EFG＝∠BCF＝45°，在RT△EFG中，EF＝＝50（m），50÷10＝5米/秒∴无人机的速度为5米/秒．12．解：由题意得，AD＝4000米，∠ADO＝30°，CD＝460米，∠BCO＝45°，在Rt△AOD中，∵AD＝4000米，∠ADO＝30°，∴OA＝AD＝2000（米），OD＝AD＝2000（米），在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴OB＝OC＝OD﹣CD＝（2000﹣460）米，∴AB＝OB﹣OA＝2000﹣460﹣2000≈1004（米），∴火箭的速度为1004÷3≈335（米/秒），答：火箭的速度约为335米/秒．13．解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．∵i＝1：＝＝tan∠BAM，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝5（米），即点B距水平地面AE的高度为5米；（2）在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝5（米）＝NE，AM＝AB＝5（米），∴ME＝AM+AE＝（5+21）米＝BN，∵∠CBN＝45°，∴CN＝BN＝ME＝（5+21）米，∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，∴DE＝AE•tan53°≈21×＝28（米），∴CD＝CE﹣DE＝5+26﹣28＝5﹣2≈6.7（米），即广告牌CD的高度约为6.7米．14．解：（1）由题意可得：∠C＝75°﹣30°＝45°；（2）过点B作BD⊥AC于点D，可得：∠BAC＝30°，∵AB＝20m，∴BD＝AB＝10m，∵∠C＝45°，∠BDC＝90°，∴sin45°＝＝＝，解得：BC＝10，答：BC的长为10m．15．解：（1）过点A作AD⊥BC于D，设AD为x海里，在Rt△ADC中，tan∠DAC＝，cos∠DAC＝，∠DAC＝53.1°，则CD＝AD•tan∠DAC≈x（海里），AC＝≈x（海里），在Rt△ADB中，tan∠DAB＝，∠DAB＝63.4°，则BD＝AD•tan∠DAB≈2x，由题意得，x+2x＝30，解得，x＝9，∴x＝×9＝15（海里），则C点到岛的距离AC约为15海里；（2）设A处所派快艇的速度为y海里/小时，则B处所派快艇的速度为（y+25）海里/小时，由题意得，＝，解得，y＝25，经检验，y＝25是原方程的根，答：A处所派快艇的速度为25海里/小时．16．解：（1）该城市会受到这次台风的影响．理由如下：如图，过C作CD⊥BA于D．在Rt△ACD中，∵∠CAD＝43°，AC＝200千米，∴CD＝AC•sin43°≈200×＝150（千米），∵城市受到的风力达到或超过六级，则称受台风影响，∴受台风影响范围的半径为30×（12﹣6）＝180（千米），∵150（千米）＜180（千米），∴该城市会受到这次台风的影响．（2）∵AD距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（150÷30）＝7（级）．答：受到台风影响的最大风力为7级；（3）如图以C为圆心，180为半径作⊙A交BC于E、F．则CE＝CF＝180．∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2×＝60（千米）．∴台风影响该市的持续时间：t＝60÷20＝3（时）；答：台风影响该城市的持续时间为3小时．17．解：如图，过点E作EM⊥DC于M．∵AE∥CD．∴∠ABC＝∠BAE＝45°．∵BC⊥AC，EM⊥DC，∴AC∥EM，∴四边形AEMC为矩形．∴CM＝AE＝60 米．设BM＝x米．则AC＝BC＝EM（60+x）米．DM＝（120+x）米．在Rt△EDM中，∵∠D＝37°．∴tan∠D＝＝，解得：x＝120，∴AC＝60+x＝60+120＝180 （米）．∴飞机高度为180米．答：无人机飞行的高度AC为180米．18．解：（1）过点B作BD⊥AE于D，在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，则BD＝x，∵在Rt△BDA中，∠BDA＝90°∴AD2+BD2＝AB2，得1402＝（60+x）2+（x）2x2+30x﹣4000＝0，∴x＝50或﹣80（舍弃），∴BD＝50．（2）设运动时间为t，则AP＝14t，CQ＝20（t﹣4）．BC＝100若点Q在点P的正东方向，则PQ∥AC，∴＝，即：＝，得t＝8，由∵△BPQ∽△BAC，∴＝，即：＝，得PQ＝12．19．解：（1）∵在直角△BEF中，tan∠EBF＝，∴BF＝＝＝12．同理AF＝EF＝12（米），则AB＝BF+AF＝12+12（米）；（2）作AG⊥BE于点G，在直角△ABG中，AG＝AB•sin30°＝（12+12）＝6+6．又∵直角△AGC中，∠ACG＝45°，∴AC＝AG＝6+6（米）．20．解：（1）由已知得AP＝BP＝AB＝15（cm），在Rt△APE中，∵sin∠AEP＝，∴AE＝≈48（cm），答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为48cm；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，∴∠BAF＝∠AEP＝18°，在Rt△ABF中，AF＝AB•cos∠BAF＝30×cos18°≈30×0.95≈28.5（cm），BF＝AB•sin∠BAF＝30×sin18°≈30×0.31≈9.3（cm），∵BF∥CD，∴∠CBF＝∠BCD＝30°，∴CF＝BF•tan∠CBF＝9.3×tan30°＝9.3×≈5.36（cm），∴AC＝AF+CF＝28.5+5.36≈34（cm）．答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．。
28.2 解直角三角形(2)精讲精练(含答案).doc
一、基础知识1、解直角三角形在实际问题中的应用：（1）弄清题中名词、术语的意义，把握题意画出几何图形；（2）将实际问题的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形或者矩形；（3）寻找基础三角形，并解这个三角形.2、仰角、俯角概念：如图所示，在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角.二、重难点分析重点：把实际问题转化为数学问题. 并能选用适当的锐角三角函数关系式去解答直角三角形问题 .难点：把实际问题转化为数学问题.例1、在山脚C处测得山顶A的仰角为45º，沿着坡角为30 °的斜坡前进400米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为60 º ,求山高AB。
【点评】将实际问题转化为数学问题，并正确画出示意图，构造直角三角形，根据AB=BC 建立方程求解.例2、两座建筑AB及CD，其地面距离AC为50米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝30°,测得其底部C的俯角a＝60°, 求两座建筑物AB及CD的高.（精确到0.1米）∴CE=BE•tanα【点评】本题考查俯角、仰角的知识，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．三、中考感悟1、（2014•百色）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）A. (6+6)米B. （6+3米C. （6+2米D. 12米2、（2014•随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A. 100米B. 50C.D. 50米【解析】过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案．四、专项训练（一）基础练习1、如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（）A.6sin52︒米B.6tan52︒米C. 6·cos52º米D.6cos52︒米【答案】D2、如图，某侦察机在空中A处发现敌方地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=4500米，tanα，则飞机到目标B的水平距离BC为（）A BC D故选A.【答案】A3、初三（1）班研究性学习小组为了测量学校旗杆的高度（如图），他们在离旗杆底部E 点30米的D处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.4米，则旗杆BE的高为米（结果保留根号）4、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m）．A. 3.5mB. 3.6mC. 4.3mD. 5.1m5、如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A. 200米B米C米D. 100+1）米【答案】D6、如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1≈1.7）【解析】首先分析图形：根据题意构造两个直角三角（二）提升练习7、在中俄“海上联合-2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5）8、如图，某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离BC（结果精确到1m）．。
28.2 解直角三角形 同步作业(含答案)
图28-3练习9 解直角三角形一、自主学习1.如图28-3所示，Rt △ABC 中(1)它三边之间的关系是_________. (2)它两锐角之间的关系是________. (3)它的边角之间的关系是：__________________________,_____________________________； ____________________________，__________________________； ___________________________，_________________________； 二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________.3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________.4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________.5.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.6.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.7.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________ 8.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________. 9.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=____. 10.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.11.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________.图28-4三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( )A.2B.21 C.1 D.)32(21+ 13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.235 14.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5 图28-6 图28-7A.3 mB.3 mC.2 mD.1.5 m15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( ) A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-) D.(23,21-) 16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( )A.32 m ，2 mB.2 m ，32 mC.3 m ，1 mD.1 m,3 m 17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m 处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33 m C.3+32 m D.32 m18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( ) A.35 B.552 C.553 D.3219.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( ) A.αα2sin cos ∙m B.ααcos sin 2∙m C.ααcos sin ∙m D.ααsin cos 2∙m图28-8 图28-920.已知平行四边形两邻边长分别是64cm 和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( )A.66 cmB.68 cmC.38 cmD.154 cm21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( )A.53 B.55 C.51 D.52四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-1023.小华所在的学校A位于某工地O的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O出发，以5m/s的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m，问小华所在的学校A是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-1124.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=c AD ，sinC=bAD，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C c B b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即CcB b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K] (1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程. 第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ； 第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ； 第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c(2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12 图28-13参考答案一、自主学习1.如图28-3所示，Rt △ABC 中(1)它三边之间的关系是_________. (2)它两锐角之间的关系是________. (3)它的边角之间的关系是：__________________________,_____________________________； ____________________________，__________________________； ___________________________，_________________________；图28-3答案：(1)a 2+b 2=c 2 (2)∠A+∠B=90°(3)sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=b acotA=a b ，sinB=c b ，cosB=c a ，tanB=a b ，cotB=ba二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________.答案：30°3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________.答案：3310 m 4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________.答案：255.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.答案：1010 6.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m. 答案：627.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________ 答案：854 8.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________.答案：232+9.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=__________.图28-4答案：3310.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.答案：611.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________.答案：5 30° 60° 三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( )A.2B.21 C.1 D.)32(21+13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.235 答案：C14.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5A.3 mB.3 mC.2 mD.1.5 m 答案：C15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( ) A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-) D.(23,21-) 答案：A16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( )A.32 m ，2 mB.2 m ，32 mC.3 m ，1 mD.1 m,3 m图28-617.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m 处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33 m C.3+32 m D.32 m图28-7答案：C18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( ) A.35 B.552 C.553 D.32答案：D19.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( )图28-8A.αα2sin cos ∙m B.ααcos sin 2∙m C.ααcos sin ∙m D.ααsin cos 2∙m答案：A20.已知平行四边形两邻边长分别是64cm 和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( )A.66 cmB.68 cmC.38 cmD.154 cm 答案：D21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( )A.53 B.55 C.51 D.52图28-9答案：B 四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-10答案：112 m23.小华所在的学校A 位于某工地O 的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O 出发，以5m/s 的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m ，问小华所在的学校A 是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-11答案：受影响的时间为20 s 24.阅读下列材料，并解决后面的问题：－ 11 － 在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=c AD ，sinC=bAD ，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C c B b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即Cc B b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ；第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ；第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c(2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12 图28-13答案：(1)略(2)约为21.3海里(提示：用题目中的结论)。
28.2_解直角三角形(二)同步测控优化训练(含答案)
28.2 解直角三角形（二）一、课前预习 (5分钟训练)1.在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC 为( )A.3B.4C.5D.62.如图28－2－2－1，在△ABC 中,∠C=90°,点D 在BC 上，CD=3，AD=BC,且cos ∠ADC=53，则BD 的长是( )A.4B.3C.2D.1图28－2－2－1 图28－2－2－２3.如图28－2－2－２，在离地面高度5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）二、课中强化(10分钟训练)1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm 、9 cm ，则等腰三角形的底角的余弦值是( )A.94 B.45.4 C.92 D.93 2.如果由点A 测得点B 在北偏东15°方向，那么点B 测得点A 的方向为___________. 3.如图28－2－2－3，已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，∠ABC ＝45°，求BC 长及tanC.图28－2－2－34.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数）图28－2－2－４5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）图28－2－2－５三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( )A.aB.atanαC.a(sinα－cosα)D.a(tanβ－tanα)图28－2－2－6 图28－2－2－72.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）3.某片绿地的形状如图28－2－2－8所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200 m，CD=100 m，求AD、BC的长.（精确到1 m，3≈1.732）图28－2－2－84.如图28－2－2－9，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC.图28－2－2－95.如图28－2－2－10，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.414 21，3=1.732 05）图28－2－2－106.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)图28－2－2－117.如图28－2－2－12，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）.（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）图28－2－2－128.如图28－2－2－13,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情报，在A处北偏西60°方向的B 处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数,6=2.449,3=1.732,2=1.414)图28－2－2－13参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC 为( )A.3B.4C.5D.6 解析：AC=BC·tanB=6. 答案：D2.如图28－2－2－1，在△ABC 中,∠C=90°,点D 在BC 上，CD=3，AD=BC,且cos ∠ADC=53，则BD 的长是( )图28－2－2－1A.4B.3C.2D.1解析：求BD 需求BC,而BC=AD,在Rt △ADC 中,已知一角一边,可求出AD. 在Rt △ADC 中，CD=3，且cos ∠ADC=53，∴AD=5,∴BC=AD=5.∴BD=2. 答案：C3.如图28－2－2－２，在离地面高度5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）图28－2－2－２解析：在Rt △ABD 中,∠A=60°，CD=5，∴AC=331060sin =︒CD ,AD=33560tan =︒CD .答案:3310 335二、课中强化(10分钟训练)1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm 、9 cm ，则等腰三角形的底角的余弦值是( )A.94 B.45.4 C.92 D.93 解析：根据构成三角形的条件，该等腰三角形的三边长为9、9、4，∴其底角的余弦值为92. 答案：C2.如果由点A 测得点B 在北偏东15°方向，那么点B 测得点A 的方向为___________.解析：搞清观察方向，可以借助示意图来解决. 答案:南偏西15°或西偏南75°3.如图28－2－2－3，已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，∠ABC ＝45°，求BC 长及tanC.图28－2－2－3分析：作BC 边上的高AD ，构造直角三角形.在Rt △ADB 中已知一角一边，可求得AD 、BD ，在Rt △ADC 中由勾股定理求出CD.解：过点A 作AD ⊥BC 于D, 在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sinB=ABAD, ∴AD=AB·sinB=4·sin45°=4×22=22, ∴BD=22.在Rt △ADC 中，AC=6, 由勾股定理得DC=72)22(62222=-=-AD AC ,∴BC=BD+DC=7222+,tanC=7147222==DC AD . 4.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB 的高度.在地面上C 点用测角仪测得旗杆顶A 点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC 后退8米到D ，在D 点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数）图28－2－2－４解：设EF为x米，在Rt△AEF中,∠AFE=60°，∴AE=EF·tan60°=3x，在Rt△AGE中,∠AGE=45°，∴AE=GE·tan45°=GE=8+x.∴3x=8+x.解之,得x=4+43.∴AE=12+43≈18.8.∴AB=20.4(米).答:旗杆AB高20.4米.5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）图28－2－2－５解Rt△AEB与Rt△AEB′,得AE与BE、EB′的关系，解关于x的方程可求得答案.解：设树高BC=x(m)，过A作AE⊥BC于E，在Rt △ABE 中，BE=x －2,∠BAE=30°,cot ∠BAE=BEAE, ∴AE=BE·cot ∠BAE=(x －2)·3=3 (x －2). ∵∠B′AE=45°,AE ⊥BC. ∴B′E=AE=3(x －2).又∵B′E=B′C+EC=BC+AD=x+2, ∴3(x －2)=x+2.∴x=(4+23)(m). 答：树高BC 为(4+23) m. 三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a 米，从A 点测得D 点的俯角为α，测得C 点的俯角为β，则较低建筑物CD 的高度为( )图28－2－2－6A.aB.atanαC.a(sinα－cosα)D.a(tanβ－tanα) 解析:过D 点作AB 的垂线交AB 于E 点，在 Rt △ADE 中,∠ADE=α,DE=a, ∴AE=a·tanα.在Rt △ABC 中,∠ACB=β,BC=a, ∴AB=a·tan β.∴CD=AB －AE=a·tan β－a·tan α. 答案:D2.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）图28－2－2－7解析:AB=BC·tanC=12(米). 答案:123.某片绿地的形状如图28－2－2－8所示，其中∠A=60°，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB=200 m ，CD =100 m ，求AD 、BC 的长.（精确到1 m ，3≈1.732）图28－2－2－8解：延长AD ，交BC 的延长线于点E ，在Rt △ABE 中，∠A=60°，AB=200 m ， ∴BE=AB·tanA=3200 (m). AE=2120060cos =︒AB =400(m). 在Rt △CDE 中，∠CED=30°，CD=100 m ， ∴DE=CD·cot ∠CED=3100(m), CE=21100sin =∠CEDCD =200m. ∴AD=AE －DE=400－3100≈227(m),BC=BE －CE=3200－200≈146(m).4.如图28－2－2－9，在△ABC 中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB 和BC.图28－2－2－9解：作三角形的高AD.在Rt △ACD 中,∠ACD=45°,AC=2,∴AD=CD=2.在Rt △ABD 中,∠B=30°,AD=2， ∴BD=630tan =︒AD ，AB=2230sin =︒AD.∴CB=BD+CD=2+6.5.如图28－2－2－10，塔AB 和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.414 21，3=1.732 05）图28－2－2－10解：在Rt △ABD 中,BD=80米，∠BDA=60°， ∴AB=BD·tan60°=803≈138.56（米）. Rt △AEC 中,EC=BD=80,∠ACE=45°， ∴AE=CE=80(米).∴CD=AB －AE≈58.56（米）.答:塔高与楼高分别为138.56米、58.56米.6.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A 处望见某岛C 在北偏东60°方向，前进6海里到B 点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)图28－2－2－11解:继续向东行驶,有触礁的危险.过点C 作CD 垂直AB 的延长线于D,∵∠CAB=30°,∠CBD=60°,∴∠BCD=30°.设CD 的长为x,则tan ∠CBD=BD x BD CD =, ∴BD=33x. ∴tan ∠CAB=tan30°=x x AD CD 33633+==.∴x=33.∴x≈5.2<6.∴继续向东行驶,有触礁的危险.7.如图28－2－2－12，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB 的长为5米（BC 所在地面为水平面）.（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）图28－2－2－12解：（1）如图，在Rt △ABC 中，AC=AB·sin44°=5sin 44°≈3.473.在Rt △ACD 中，AD=︒=︒32sin 473.332sin AC ≈6.554. ∴AD －AB=6.554－5≈1.55.即改善后的台阶会加长1.55米,（2）如图，在Rt △ABC 中，BC=ABcos44°=5cos44°≈3.597.在Rt △ACD 中，CD=︒=︒32tan 473.332tan AC ≈5.558， ∴BD=CD －BC=5.558－3.597≈1.96,即改善后的台阶多占1.96米长的一段地面.8.如图28－2－2－13,某海关缉私艇巡逻到达A 处时接到情报，在A 处北偏西60°方向的B 处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C 处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数,6=2.449,3=1.732,2=1.414)图28－2－2－13解：设OA 的长为x ，由于点C 在点A 的北偏西45°的方向上，∴OC=OA=x.根据题意,得tan30°=312243324=⇒+==⇒+x xx x x x +12. AC 2=x 2+x 2⇒AC=22x x +,∴AC≈46（海里）.答：该艇的速度是46海里/时.。
人教版九年级数学下册28.2 解直角三角形 同步练习2 含答案
28.2解直角三角形（2）1. 如图,由D点测塔顶A点和塔基B点仰角分别为60°和30°.已知塔基出地平面20米(即BC为20米)塔身AB的高为 [ ]2.如图,一敌机从一高炮正上方2000米经过,沿水平方向飞行,稍后到达B点,这时仰角为45°,1分钟后,飞机到达A点,仰角30°,则飞机从B到A的速度是[ ]米/分.(精确到米)A.1461B.1462C.1463D.14643. 如图所示,河对岸有水塔CD.今在A处测得塔顶C的仰角为30°,前进20米到达B处,又测得C的仰角为45°,则塔高CD(精确到0.1m)是[ ]mA.25.3B.26.3C.27.3D.28.34. 如图：在200米高的峭壁上,测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30和60°,那么塔高是 [ ]米5. 如图：从B处测得建筑物上旗杆EC顶点C的仰角是60°,再从B的正上方40米高层上A处,测得C的仰角是45°,那么旗杆顶点C离地CD的高度是[ ]米.二、填空题1. 如图：已知在一峭壁顶点B测得地面上一点A俯角60°,竖直下降10米至D,测得A 点俯角45°,那么峭壁的高是_____________米(精确到0.1米)三、解答题1. 从山顶D测得同一方向的A、B两点，俯角分别为30°,60°,已知AB=140米,求山高(A、B与山底在同一水平面上).(答案可带根号)2. 从与塔底在同一水平线的测量仪上,测得塔顶的仰角为45°,向塔前进10米,(两次测量在塔的同侧)又测得塔顶的仰角为60°,测量仪高是1.5米,求塔高(精确到0.1米).3. 两山脚B、C相距1500米,在距山脚B500米处A点,测得山BD、CE的山顶D、E仰角分别为45°,30°.求两山的高(精确到1米).4. 如图：山顶上有高为h的塔BC,从塔顶B测得地面上一点A的俯角是a,从塔底C测得A的俯角为b,求山高H.参考答案一、选择题1. C2. D3. C4. B5. C二、填空题23.7三、解答题70米1．32. 25.2米3. 500米,577米.4. 解：∵DA=(h+H)ctga,DA=Hctgb则Hctgb=hctga+Hctga即H(ctgb-ctga)=hctga。
人教版九年级数学下册《28.2.1解直角三角形》同步练习题带答案
人教版九年级数学下册《28.2.1解直角三角形》同步练习题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1.解直角三角形的概念：在直角三角形中，由元素求元素的过程，就是解直角三角形.注意：（1）直角三角形中共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，其余的五个元素中，只要已知其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素；（2）解直角三角形时，要求出这个直角三角形的所有未知元素. 2.如图，在Rt ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么除直角∠C外的五个元素之间有如下关系：三边关系：.两锐角关系：.边角关系：sin A＝，sin B＝；cos A＝，cos B＝；tan A＝，tan B＝.基础分点训练知识点1已知两边解直角三角形1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，sin B等于（）A.35B.34C.53D.452.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝√3，AB＝√6，则∠A＝，∠B ＝，AC＝.3.如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形.知识点2已知一边一锐角（或锐角三角函数值）解直角三角形4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝35，BC＝6，则AB＝（）A.4B.6C.8D.105.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝12，AC＝8，则△ABC的面积为（）A.12B.16C.32D.486.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，b＝10，解这个直角三角形.（结果保留小数点后一位.参考数据：sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47）中档提分训练7.如图，AD是△ABC的高.若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为（）A.3√2B.3√5C.6√2D.3√78.（2024·武威校级二模）如图，△ABC是周长为36的等腰三角形，AB＝AC，BC＝10，则tan B的值为（）A.512B.513C.125D.12139.【分类讨论思想】（易错题）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝8，AC＝2√7，则BC的长为.10.（2024·武威校级一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD .＝35（1）求BC的长；（2）求∠ACB的正切值.拓展素养训练11.【阅读理解】阅读下列材料：题目：如图1，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C＝90°，AB＝1，请用sin A，cos A表示sin 2A.解：如图2，作AB 边上的中线CE ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CE ＝12AB ＝12，∠CED ＝2∠A ，CD ＝AC ·sin A ，AC ＝AB ·cos A ＝cos A .在Rt △CED 中，sin 2A ＝sin ∠CED ＝CD CE＝AC·sinA12＝2AC ·sin A ＝2cos Asin A .图1图2根据以上阅读材料，请解决以下问题：如图3，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AB ＝3，求sin A ，sin 2A 的值.图3参考答案1.解直角三角形的概念：在直角三角形中，由 已知 元素求 未知 元素的过程，就是解直角三角形.注意：（1）直角三角形中共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，其余的五个元素中，只要已知其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素；（2）解直角三角形时，要求出这个直角三角形的所有未知元素. 2.如图，在Rt ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，那么除直角∠C 外的五个元素之间有如下关系：三边关系：a2＋b2＝c2.两锐角关系：∠A＋∠B＝90°.边角关系：sin A＝ac ，sin B＝bc；cos A＝bc ，cos B＝ac；tan A＝ab ，tan B＝ba.基础分点训练知识点1已知两边解直角三角形1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，sin B等于（D）A.35B.34C.53D.452.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝√3，AB＝√6，则∠A＝45°，∠B＝45°，AC＝√3.3.如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝4，c＝8，解这个直角三角形.解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，c ＝8 根据勾股定理，得b ＝√c 2－a 2＝√82－42＝4√3. ∴sin A ＝ac＝48＝12∴∠A ＝30°∴∠B ＝90°－∠A ＝60°.知识点2 已知一边一锐角（或锐角三角函数值）解直角三角形 4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝（ D ） A .4B .6C .8D .105.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，AC ＝8，则△ABC 的面积为 （ B ） A .12B .16C .32D .486.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝25°，b ＝10，解这个直角三角形.（结果保留小数点后一位.参考数据：sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47）解：∵∠C ＝90°，∠B ＝25°∴∠A ＝90°－∠B ＝90°－25°＝65°. ∵b ＝10，sin 25°＝bc，tan 25°＝ba∴c ＝bsin25°≈100.42≈23.8a ＝btan25°≈100.47≈21.3.中档提分训练7.如图，AD 是△ABC 的高.若BD ＝2CD ＝6，tan C ＝2，则边AB 的长为（ C ）A .3√2B .3√5C .6√2D .3√78.（2024·武威校级二模）如图，△ABC 是周长为36的等腰三角形，AB ＝AC ，BC ＝10，则tan B 的值为（ C ）A .512B .513C .125D .12139.【分类讨论思想】（易错题）在△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝8，AC ＝2√7，则BC 的长为 2√3或6√3 .10.（2024·武威校级一模）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，CD 是AB 边上的中线，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ，若CD ＝5，sin ∠BCD ＝35.（1）求BC 的长；解：（1）∵DE ⊥BC ，∴∠DEC ＝∠DEB ＝90° 在Rt △ECD 中，sin ∠DCE ＝sin ∠BCD ＝35，CD ＝5∴DE ＝CD ·sin ∠BCD ＝5×35＝3∴CE ＝√CD 2－DE 2＝√52－32＝4. ∵∠B ＝45°，∠DEB ＝90° ∴BE ＝DE ＝3∴BC ＝BE ＋CE ＝3＋4＝7. （2）求∠ACB 的正切值.（2）如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F . ∵DE ⊥BC ，AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ∴△DEB ∽△AFB ，∴DEAF ＝BD BA＝BE BF.∵CD 是AB 边上的中线，即点D 为AB 的中点 ∴BA ＝2BD ，∴AF ＝2DE ＝6，BF ＝2BE ＝6. ∴CF ＝BC －BF ＝7－6＝1∴tan ∠ACB ＝tan ∠ACF ＝AFCF＝61＝6.拓展素养训练11.【阅读理解】阅读下列材料：题目：如图1，在△ABC 中，已知∠A （∠A ＜45°），∠C ＝90°，AB ＝1，请用sin A ，cos A 表示sin 2A .解：如图2，作AB 边上的中线CE ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CE ＝12AB ＝12，∠CED ＝2∠A ，CD ＝AC ·sin A ，AC ＝AB ·cos A ＝cos A .在Rt △CED 中，sin 2A ＝sin ∠CED ＝CD CE＝AC·sinA12＝2AC ·sin A ＝2cos Asin A .图1 图2根据以上阅读材料，请解决以下问题：如图3，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，求sin A，sin 2A 的值.图3解：如图3，作AB边上的中线CE，过点C作CD⊥AB于点D.sin A＝13，sin 2A＝4√29.。
2021-2022学年人教版九年级数学下册《28-2解直角三角形及其应用》同步练习题(附答案)
2021-2022学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》同步练习题（附答案）1．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．2．如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距15m的D处观测广告牌顶部A的仰角为37°，观测广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）3．如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．4．图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地面DE 平行，踏板CD长为1.5m，CD与地面DE的夹角∠CDE＝15°，支架AC长为1m，∠ACD＝75°，求跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）5．一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知B、C、D共线，AD⊥BD．求钢索AB的长度．（结果保留根号）6．2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为30°的河床斜坡边，斜坡BC长为48米，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为35°，CD平行于水平线BM，CD长为16米，求桥墩AB 的高（结果保留1位小数）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73）7．今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE＝1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF＝1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD 是多少米？（最后结果保留一位小数）（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245）8．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）9．如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）10．如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，D，B在同一条直线上）．数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°．问题解决：求宝塔CD的高度（结果保留一位小数）．参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．11．“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A处测得该建筑物顶端C的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B处，测得顶端C的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：sin24°≈，cos24°≈，tan24°≈）12．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC＝140°时，伞完全张开．（1）求AB的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）13．拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）．（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．14．资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，基站塔与水平地面垂直，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求D处的竖直高度；（2）求基站塔AB的高．15．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）．（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．16．越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．（结果精确到1米；参考数据sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）17．学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC＝6cm．求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60．18．我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD 平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°．求点O到岸边DH的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）19．小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．（1）求∠C的度数；（2）求两棵银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．20．在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D 处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）21．如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．（1）求观测点B与C点之间的距离；（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．参考答案1．解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10，在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC＝＝＝6，即AC的长为6；（2）如图，连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，∴CF＝AD＝FD，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝＝2，∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，∴CE＝CD＝2，在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，∴tan∠FBD＝＝＝．解法二：∵BF为AD边上的中线，∴F是AD中点，∵FE⊥BD，AC⊥BD，∴FE∥AC，∴FE是△ACD的中位线，∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝．2．解：在Rt△BCD中，BC＝DC•tan30°＝15×≈5×1.73＝8.65（m），在Rt△ACD中，AC＝DC•tan37°≈15×0.75＝11.25（m），∴AB＝AC﹣BC＝11.25﹣8.65＝2.6（m）．答：广告牌AB的高度为2.6m．3．解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257海里，在Rt△ABH中，∵tan∠BAH＝，cos∠BAH＝，∴BH＝AH•tan60°＝AH，AB＝＝2AH，在Rt△BCH中，∵tan∠BCH＝，∴CH＝＝（海里），又∵CA＝CH+AH，∴257＝+AH，所以AH＝（海里），∴AB＝≈＝168（海里），答：AB的长约为168海里．4．解：如图，过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为15°，∠ACD为75°，∴∠ACF＝∠FCD﹣∠ACD＝∠CGD+∠CDE﹣∠ACD＝90°+15°﹣75°＝30°，∴∠CAF＝60°，在Rt△ACF中，CF＝AC•sin∠CAF＝m，在Rt△CDG中，CG＝CD•sin∠CDE＝1.5•sin15°m，∴FG＝FC+CG＝+1.5•sin15°≈1.3m．故跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离约为1.3m．5．解：在△ADC中，设AD＝xm，∵AD⊥BD，∠ACD＝45°，∴CD＝AD＝xm，在△ADB中，AD⊥BD，∠ABD＝30°，∴AD＝BD•tan30°，即x＝（16+x）m，解得：x＝（8+8）m，∴AB＝2AD＝2×（8）＝（16）m，∴钢索AB的长度为（16）m．6．解：过点C作CE⊥BM于点E，过点D作DF⊥BM于点F，延长DC交AB于点G，在Rt△CEB中，∠CBE＝30°，BC＝48米，∴CE＝BC•sin30°＝×48＝24（米），BE＝BC•cos30°＝48×≈24×1.73＝41.52（米），∴DG＝BF＝BE+EF＝BE+CD＝41.52+16≈41.52+27.68＝69.2（米），在Rt△ADG中，AG＝DG•tan∠ADG＝69.2×tan35°≈69.2×0.70＝48.44（米），∴AB＝AG+BG＝AG+CE＝48.44+24＝72.44≈72.4（米），答：桥墩AB的高约为72.4米．7．解：作EM⊥CG于M，FN⊥CG于N，由题意得GB＝AG+AB＝15.8+24.2＝40（米），则FN＝GB＝40米，在Rt△EDM中，∠DEM＝45°，∴DM＝EM＝15.8米，∵MG＝AE＝1.4米，∴DG＝DM+MG＝15.8+1.4＝17.2（米），∵NG＝FB＝1.8米，∴DN＝17.2﹣1.8＝15.4（米），在Rt△CNF中，∠CFN＝23°，∵tan∠CFN＝≈0.4245，∴CN＝0.4245×40≈17.0（米），∴CD＝CN﹣DN＝17.0﹣15.4＝1.6（米）故国旗的宽度CD约为1.6米．8．解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P作PK ⊥DE，垂足为K，∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8（cm），在Rt△BMH中，cos∠BMH＝＝＝0.4，∴∠BMH＝66.4°，∵AB∥MP，∴∠BMH+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；（2）∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°，∵MN＝28cm，∴cos45°＝＝，∴MI≈19.80cm，∵KI＝50cm，∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.80﹣25.3＝4.90≈4.9（cm），∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．9．解：∵CM＝3m，OC＝5m，∴OM＝＝4（m），∵∠CMO＝∠BDO＝90°，∠COM＝∠BOD，∴△COM∽△BOD，∴，即，∴BD＝＝2.25（m），∴tan∠AOD＝tan70°＝，即≈2.75，解得：AB＝6m，∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童．10．解：设CD＝xm，在Rt△ACD中，AD＝，在Rt△BCD中，BD＝，∵AD+BD＝AB，∴，解得，x≈33.4．答：宝塔的高度约为33.4m．11．解：过C作CF⊥AD于F，如图所示：则AF＝CE，由题意得：AB＝20米，∠AEC＝90°，∠CAE＝24°，∠CBE＝45°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BE＝CE，设BE＝CE＝x米，则AF＝x米，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝＝tan24°≈，∴AE＝x米，∵AE﹣BE＝AB，∴x﹣x＝20，解得：x≈16.4，∴AF≈16.4（米），∴DF＝AD﹣AF＝60﹣16.4＝43.6（米），即这栋建筑物的高度为43.6米．12．解：（1）∵B为AD′中点，∴AB＝AD′,∵AD′＝40cm，∴AB＝20cm；（2）如图，过点B作BE⊥AD于点E,∵AB＝BD,∴AD＝2AE,∵AP平分∠BAC,∠BAC＝140°,∴∠BAE＝BAC＝70°,在Rt△ABE中，AB＝20cm∴AE＝AB•cos70°≈20×0.34＝6.8(cm),∴AD＝2AE＝13.6(cm),∵AD′＝40cm，∴40﹣13.6＝26.4(cm)．∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为26.4cm．13．解：（1）过点C作CP⊥AE于点P，过点B作BQ⊥CP于点Q，如图：∵∠ABC＝143°，∴∠CBQ＝53°，在Rt△BCQ中，CQ＝BC•sin53°≈70×0.8＝56cm，∵CD∥l，∴DE＝CP＝CQ+PQ＝56+50＝106cm．（2）手臂端点D能碰到点M，理由：由题意得，当B，C，D共线时，手臂端点D能碰到最远距离，如图：BD＝60+70＝130cm，AB＝50cm，在Rt△ABD中，AB²+AD²＝BD²，∴AD＝120cm＞110cm．∴手臂端点D能碰到点M．14．解：（1）如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DE⊥AF，E为垂足，连接AC，AD，∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，∴＝，即＝，设DM＝5k米，则CM＝12k米，在Rt△CDM中，CD＝13米，由勾股定理得，CM2+DM2＝CD2，即（5k）2+（12k）2＝132，解得k＝1，∴DM＝5（米），CM＝12（米），答：D处的竖直高度为5米；（2）斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，设DE＝12a米，则BE＝5a米，又∵∠ACF＝45°，∴AF＝CF＝（12+12a）米，∴AE＝AF﹣EF＝12+12a﹣5＝（7+12a）米，在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（7+12a）米，∵tan∠ADE＝tan53°≈，∴＝，解得a＝，∴DE＝12a＝21（米），AE＝7+12a＝28（米），BE＝5a＝（米），∴AB＝AE﹣BE＝28﹣＝（米），答：基站塔AB的高为米．15．解：（1）过点D作DH⊥CE于点H，由题意知CD＝2米，∵斜坡CF的坡比为i＝1：3，∴，设DH＝x米，CH＝3x米，∵DH2+CH2＝DC2，∴，∴x＝2，∴DH＝2（米），CH＝6（米），答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；（2）过点D作DG⊥AB于点G，设BC＝a米，∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°，∴四边形DHBG为矩形，∴DH＝BG＝2米，DG＝BH＝（a+6）米，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝a（米），∴AG＝（a﹣2）米，∵∠ADG＝30°，∴，∴，∴a＝6+4，∴AB＝（6+4）（米）．答：大树AB的高度是（6+4）米．16．解：延长BC交MN于点H，AD＝BE＝3.5，设MH＝x米，∵∠MEC＝45°，∴EH＝x米，在Rt△MHB中，tan∠MBH＝＝≈0.65，解得x＝6.5，则MN＝1.6+6.5＝8.1≈8（米），∴电池板离地面的高度MN的长约为8米．17．解：如图，∵四边形AEFD为矩形，∠BAD＝53°，∴AD∥EF，∠E＝∠F＝90°，∴∠BAD＝∠EBA＝53°，在Rt△ABE中，∠E＝90°，AB＝10cm，∠EBA＝53°，∴sin∠EBA＝≈0.80，cos∠EBA＝≈0.60，∴AE＝8cm，BE＝6cm，∵∠ABC＝90°，∴∠FBC＝90°﹣∠EBA＝37°，∴∠BCF＝90°﹣∠FBC＝53°，在Rt△BCF中，∠F＝90°，BC＝6cm，∴sin∠BCF＝≈0.80，cos∠BCF＝≈0.60，∴BF＝4.8cm，FC＝3.6cm，∴EF＝6+4.8＝10.8cm，∴S四边形EFDA＝AE•EF＝8×10.8＝86.4（cm2），S△ABE＝＝×8×6＝24（cm2），S△BCF＝•BF•CF＝×4.8×3.6＝8.64（cm2），∴截面的面积＝S四边形EFDA﹣S△ABE﹣S△BCF＝86.4﹣24﹣8.64＝53.76（cm2）．18．解：（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于E，垂足为E，则AE⊥BF，由cos∠BAE＝，∴cos22°＝，∴，即AE＝4.5m，∴DE＝AE﹣AD＝4.5﹣0.4＝4.1（m），由sin∠BAE＝，∴，∴，即BE＝1.8m，∴BF＝BE+EF＝1.8+1.2＝3（m），又，∴，即CF＝4m，∴CH＝CF+HF＝CF+DE＝4+4.1＝8.1（m），即点O到岸边DH的距离为8.1m；（2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，垂足为M，由cos∠BAM＝，∴，∴，即AM＝2.88m，∴DM＝AM﹣AD＝2.88﹣0.4＝2.48（m），由sin∠BAM＝，∴，∴，即BM＝3.84m，∴BN＝BM+MN＝3.84+1.2＝5.04（m），∴＝（m），∴OH＝ON+HN＝ON+DM＝4.58（m），即点O到岸边的距离为4.58m．19．解：（1）设AD与BC交于点F，由题意得BE∥AD，∵BE∥AD且∠EBF＝60°，∴∠BF A＝∠EBF＝60°，∵∠BF A＝∠C+∠CAD且∠CAD＝30°，∴∠C＝∠BF A﹣∠CAD＝30°；（2）过点B作BG⊥AD于G．∵BG⊥AD，∴∠AGB＝∠BGD＝90°，在Rt△AGB中，AB＝20米，∠BAG＝45°，AG＝BG＝20×sin45°＝（米），在Rt△BGF中，∠BFG＝60°，∴BF＝＝＝（米），FG＝＝＝（米），∵∠C＝∠CAD＝30°，∴CF＝AF＝AG+FG＝（10+）（米），∴BC＝BF+CF＝（10+10）米，答：两棵银杏树B、C之间的距离为（10+10）米．20．解：由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，∴tan∠BDA＝＝≈1.33，∴AD＝≈18.05（米）．∵tan∠CAD＝tan30°＝＝＝，∴CD＝18.05×≈10.4（米）．故办公楼的高度约为10.4米．21．解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，根据题意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，∴AE＝CE＝25（海里），∵∠CBE＝30°，∴BE＝25（海里），∴BC＝2CE＝50（海里）．答：观测点B与C点之间的距离为50海里；（2）如图，作CF⊥DB于点F，∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，∴四边形CEBF是矩形，∴FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），∴DF＝BD+BF＝30+25＝55（海里），在Rt△DCF中，根据勾股定理，得CD＝＝＝70（海里），∴70÷42＝（小时）．答：救援船到达C点需要的最少时间是小时。
人教版九年级数学下册 28.2 解直角三角形及其应用 同步测试题(有答案)
28.2 解直角三角形及其应用同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 在△ABC中，AB=12√2，AC=13，cos∠B=√22，则BC边长为（）A.7B.8C.8或17D.7或172. 如图AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sin B=()A.5 13B.1213C.35D.453. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30∘方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45∘方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）A.30√2海里B.30√3海里C.60海里D.30√6海里4. 如图，在高为2m，坡角为30∘的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A.2(√3+1)mB.4mC.(√3+2)mD.2(√3+3)m5. 在离电视塔am的A处，测得塔顶仰角为β，若测角仪高度为bm，则电视塔高为（）A.(a tanβ+b)mB.(a cotβ+b)mC.(a sinβ+b)mD.(a cosβ+b)m6. 如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．现在AC上取一点B，使∠ABD=145∘，BD=500 m，∠D=55∘，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离为（）mA.500⋅sin55∘ mB.500⋅cos55∘ mC.500⋅tan55∘ mD.50cos55∘，AC=2√3，则AB=()7. 如图，在△ABC中，∠A=30∘，tan B=√32A.4B.5C.6D.78. 如图是一长为50米的游泳池的纵切面，该游泳池的最浅处为1.2米，最深处为2.2米，底面为斜坡，则底面的坡度为（）A.50B.1:50C.3:125D.11:2509. 在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60∘方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30∘方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30∘方向，则A，C两地的距离为()A.10√33km B.5√33km C.5√2km D.5√3km10. 如图，等腰△ABC的底角为30∘，底边上的高AD=5，则腰AB、AC的值为（）A.20B.15C.10D.7.5二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=2√3，BC=√3，那么∠B=________度．12. 小明同学从A地出发沿北偏东30∘的方向到B地，再由B地沿南偏西40∘的方向到C地，则∠ABC=________∘．13.在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=2，若sin C=15，则BC的长度为________．14. 如图，C岛在A岛的北偏东50∘，C岛在B岛的北偏西40∘方向，且BC为5海里，AC为12海里，则sin∠CAB=________．15. 在△ABC中，AB=AC=6cm，BD为AC边上的高，∠DAB=60∘，则线段CD的长为________．16. 如图，一个小球由地面沿着坡度i=1:2的坡面向上前进了10m，此时小球距离出发点的水平距离为________m．17. 如图，A，B之间是一座山，一条高速公路要通过A，B两点，在A地测得公路走向是北偏西111∘32′．如果A，B两地同时开工，那么在B地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．18. 如图，设∠AOC=α，∠BOC=β，P为射线OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，等于________（用α、β的三角函数表示）则PDPE19. 如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30∘，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC 的高度为________m（结果保留根号）．20. 如图，一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD．小明在山坡的底部A处测得宣传牌底部D的仰角为60∘，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45∘．已知山坡AB垂直于视线AD，AB=20米，AE=30米，则这块宣传牌CD的高度为________．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知一艘轮船从港口A出发以80km∕ℎ的速度向正东方向航行，30min后到港口B，又从港口B以同样的速度15min后航行到港口C，此时在C处测得港口A位于港口C的南偏西63.4∘方向上，求该艘轮船以80km∕ℎ的速度返回到港口A所需的时间．（精确到0.01ℎ，参考数据：cos63.4∘≈0.45，sin26.6∘≈0.45，cos26.6∘≈0.89，tan26.6∘≈0.50，√2≈1.41，√5≈2.24）22. 如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45∘，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30∘，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据√2≈1.414，√3≈1.732）23. 如图，一幢居民楼OC临近山坡AP，山坡AP的坡度为i=1:√3，小亮在距山坡坡脚A处测得楼顶C的仰角为60∘，当从A处沿坡面行走10米到达P处时，测得楼顶C的仰角刚好为45∘，点O，A，B在同一直线上，求该居民楼的高度．（结果保留整数，√3≈1.73）24. 教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53∘，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45∘，已知山坡AB的坡度1:√3，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，tan53∘≈4，3 cos53∘≈0.60）25. 某课桌生产厂家研究发现，倾斜为12∘−24∘的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1所示，AB 可绕点A旋转，在点C处安装一根长度一定且C处固定，可旋转的支撑臂CD，AC=30cm．（1）如图2中，当CD⊥AB于D时，测得∠BAC=24∘，求此时支撑臂CD的长．（2）在图3中，当CD不垂直AB时，测得∠BAC=12∘，求此时AD的长（结果保留根号）．[参考数据:sin24∘=0.40, cos24∘=0.91, tan24∘=0.46, sin12∘=0.20]参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解答】解：∵ cos∠B=√22，∵ ∠B=45∘，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵ AB=12√2，∠B=45∘，∵ AD=BD=12，∵ AC=13，∵ 由勾股定理得CD=5，∵ BC=BD−CD=12−5=7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC=BD+CD=12+5=17，故选D．2.【答案】A【解答】解：由勾股定理知，AC2=CD2+AD2=25，∵ AC=5．∵ AC2+BC2=169=AB2，∵ △CBA是直角三角形．∵ sin B=ACAB =513．故选A．3.【答案】A【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C．在Rt△PAC中，∵ PA=60海里，∠PAC=30∘，AP=30海里．∵ CP=12在Rt△PBC中，∵ PC=30海里，∠PBC=∠BPC=45∘，∵ PB=√2PC=30√2海里．即海轮所在的B处与灯塔P的距离为30√2海里．故选：A．4.【答案】A【解答】解：由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为(AC+BC)，在Rt△ABC中，∠A=30∘，BC=2m，∠C=90∘．∵ tan A=BC，AC∵ AC=BC÷tan30∘=2√3．∵ AC+BC=2√3+2．故选A．5.【答案】A【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△BCD中，∠CBD=β，BD=AE=am，则tanβ=CD，即CD=BD tanβ=a tanβ(m)，BD又因为DE=AB=bm，则CE=CD+DE=(a tanβ+b)m．故选A．6.【答案】B【解答】解：由题意可得，∠DBC=180∘−∠ABD=180∘−145∘=35∘，BD=500m，∵ 要使A，C，E成一直线，则∠DEB=180∘−∠DBE−∠D=90∘，∵ DE=BD⋅cos50∘=500⋅cos55∘，故选B．7.【答案】B【解答】解：作CD⊥AB于点D．由题意知，∵ sin A=CDAC，∵ CD=AC sin A=AC sin30∘=2√3×1 2=√3，∵ cos A=ADAC，∵ AD=AC cos30∘=2√3×√3 =3．∵ tan B=CDBD =√32，∵ BD=2．∵ AB=AD+BD=2+3=5．故选B．8.【答案】B【解答】解：因为水平距离为50米，则底面的坡度为2.2−1.250=1:50．故选B．9.【答案】A【解答】解：如图．由题意可知，AB=5km，∠2=30∘，∠EAB=60∘，∠3=30∘．∵ EF // PQ，∵ ∠1=∠EAB=60∘又∵ ∠2=30∘，∵ ∠ABC=180∘−∠1−∠2=180∘−60∘−30∘=90∘．∵ △ABC是直角三角形．又∵ MN // PQ，∵ ∠4=∠2=30∘．∵ ∠ACB=∠4+∠3=30∘+30∘=60∘．∵ AC=ABsin∠ACB =√32=10√33(km)．故选A．10.【答案】C【解答】解：∵ 等腰△ABC的底角为30∘，底边上的高AD=5，∵ AB=AC=2AD=2×5=10．故选C．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】60【解答】解：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90∘，AB=2√3，BC=√3，AB，∵ BC=12∵ ∠A=30∘，∵ ∠B=60∘（直角三角形的两个锐角互为余角）．故答案是：60∘．12.【答案】10【解答】解：如图：由题意知，∠1=30∘，∠2=40∘，∵ ∠ABC=∠2−∠1=10∘.故答案为：10.13.【答案】10【解答】解：∵ ∠A=90∘，∵ sin C=ABBC =15，∵ AB=2，∵ BC=10；故答案为：10．14.【答案】513【解答】解：过C点作CD // AE，∵ C岛在A岛的北偏东50∘，C岛在B岛的北偏西40∘方向，AC // CD，CD // BC，∵ ∠EAC=∠ACD=50∘，∠FBC=∠DCB=40∘，∵ ∠ACB=90∘，∵ sin∠CAB=BCAB，∵ BC为5海里，AC为12海里，∵ AB=13海里，∵ sin∠CAB=BCAB =513．故答案为：513．15.【答案】3cm或9cm【解答】解：①如图1，△ABC是锐角三角形时，∵ AB=AC，∠DAB=60∘，∵ △ABC是等边三角形，∵ CD=12AC=12×6=3cm，②ABC是钝角三角形时，∵ ∠DAB=60∘，∵ ∠ABD=90∘−60∘=30∘，∵ AB=6cm，∵ AD=12AB=12×6=3cm，∵ CD=AD+AC=3+6=9cm，综上所述，线段CD的长为3或9cm．故答案为：3cm或9cm．16.【答案】4√5【解答】解：∵ AB=10米，tan A=BCAC =12．∵ 设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2√5，∵ AC=4√5，BC=2√5米．故答案为4√5．17.【答案】北偏东68∘28′【解答】解：在B地按北偏东68∘28′施工，就能使公路在山腹中准确接通．∵ 指北方向相互平行，A、B两地公路走向形成一条直线，∵ 这样就构成了一对同旁内角，∵ ∠A+∠B=180∘，（两直线平行，同旁内角互补），∵ 可得在B地按北偏东180∘−111∘32′=68∘28′施工．故答案为：北偏东68∘28′.18.【答案】sinαsinβ【解答】解：∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∵ ∠PDO=∠PEO=90∘，∵ sinα=PDPO ，sinβ=PEPO，∵ PDPE =sinαsinβ．故答案为：sinαsinβ．19.【答案】10√3【解答】∵ 在点B处测得塔顶A的仰角为30∘，∵ ∠B=30∘，∵ BC=30m，∵ AC=√33BC=30×√33=10√3m，20.【答案】5.4米【解答】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．Rt△ABF中，∵ ∠AFB=90∘，∠BAF=180∘−60∘−90∘=30∘，∵ BF=12AB=10，AF=√3BF=10√3，∵ BG=AF+AE=10√3+30．在Rt△BGC中，∵ ∠BGC=90∘，∠CBG=45∘，∵ CG =BG =10√3+30．Rt △ADE 中，∵ ∠AED =90∘，∠DAE =60∘，AE =30， ∵ DE =√3AE =30√3，∵ CD =CG +GE −DE =10√3+30+10−30√3≈5.4． 答：宣传牌CD 高约5.4米．故答案为5.4米．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ） 21.【答案】解：∵ AB =80×12=40km ，BC =80×14=20km ． 根据勾股定理可以得出：AD 2+CD 2=AC 2，BD 2+CD 2=BC 2，在以上式子中，设AD 为x ，那么BD =40−x ， 设AC 为y ，又因为∠ACD =63.4∘， 所以CD =x ⋅tan 26.6∘，根据以上设定可列出如下方程组： {(40−x)2+(x tan 26.6∘)=202x 2+(x ⋅tan 26.6∘)2=y 2，∵ {x ≈24y ≈26.832．以轮船80km/ℎ的速度从C 返回A ，所需的时间为：26.832×180=0.3354小时．【解答】解：∵ AB =80×12=40km ，BC =80×14=20km ．根据勾股定理可以得出：AD 2+CD 2=AC 2，BD 2+CD 2=BC 2，在以上式子中，设AD 为x ，那么BD =40−x ， 设AC 为y ，又因为∠ACD =63.4∘， 所以CD =x ⋅tan 26.6∘，根据以上设定可列出如下方程组： {(40−x)2+(x tan 26.6∘)=202x 2+(x ⋅tan 26.6∘)2=y 2，∵ {x ≈24y ≈26.832．以轮船80km/ℎ的速度从C 返回A ，所需的时间为：26.832×180=0.3354小时．22.【答案】河宽为68.30米．【解答】过C 作CE ⊥AB 于E ，设CE ＝x 米，在Rt △AEC 中：∠CAE ＝45∘，AE ＝CE ＝x在Rt △BCE 中：∠CBE ＝30∘，BE =√3CE =√3x ， ∵ √3x ＝x +50解之得：x ＝25√3+25≈68.30． 23.【答案】解：如图，过点P 作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥CO 于点F ，∵ 山坡AP的坡度为i=1:√3，AP=10，∵ 可设PE=x，则AE=√3x．在Rt△AEP中，x2+(√3x)2=102，解得x=5或x=−5（舍去），∵ PE=5，则AE=5√3．∵ ∠CPF=∠PCF=45∘，∵ CF=PF．设CF=PF=m米，则OC=(m+5)米，OA=(m−5√3)米．在Rt△AOC中，tan60∘=OCOA =m+5m−5√3，即m−5√3=√3，解得m=10(√3+1)，∵ OC=10(√3+1)+5≈32（米）．【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，∵ 山坡AP的坡度为i=1:√3，AP=10，∵ 可设PE=x，则AE=√3x．在Rt△AEP中，x2+(√3x)2=102，解得x=5或x=−5（舍去），∵ PE=5，则AE=5√3．∵ ∠CPF=∠PCF=45∘，∵ CF=PF．设CF=PF=m米，则OC=(m+5)米，OA=(m−5√3)米．在Rt△AOC中，tan60∘=OCOA =m+5m−5√3，=√3，解得m=10(√3+1)，即m−53∵ OC=10(√3+1)+5≈32（米）．24【答案】宣传牌CD高约6.7米．【解答】过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，由（1）得：BH＝5，AH＝5√3，∵ BG＝AH+AE＝5√3+21，Rt△BGC中，∠CBG＝45∘，∵ CG＝BG＝5√3+21．Rt△ADE中，∠DAE＝53∘，AE＝21，AE＝28．∵ DE=43∵ CD＝CG+GE−DE＝26+5√3−28≈6.7m．答：宣传牌CD高约6.7米．25.【答案】解：（1）在Rt△ACD中，∵ ∠DAC=24∘，∠ADC=90∘，∵ sin24∘=CDAC，∵ CD=AC⋅sin24∘=30×0.40=12cm；∵ 此时支撑臂CD的长为12cm；（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，当∠BAC=12∘时，∵ sin12∘=CEAC =CE30，∵ CE=30×0.20=6cm，∵ CD=12，∵ DE=√CD2−CE2=√122−62=6√3，∵ AE=√302−62=12√6cm，∵ AD的长为(12√6+6√3)cm或(12√6−6√3)cm．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∵ ∠DAC=24∘，∠ADC=90∘，∵ sin24∘=CDAC，∵ CD=AC⋅sin24∘=30×0.40=12cm；∵ 此时支撑臂CD的长为12cm；（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，当∠BAC=12∘时，∵ sin12∘=CEAC =CE30，∵ CE=30×0.20=6cm，∵ CD=12，∵ DE=√CD2−CE2=√122−62=6√3，∵ AE=√302−62=12√6cm，∵ AD的长为(12√6+6√3)cm或(12√6−6√3)cm．。
人教版九年级数学下册 28.2 解直角三角形及其应用 同步测试题(有答案)
28.2 解直角三角形及其应用 同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）1. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，AD ⊥BC 于D ，设∠ABC =α，则下列结论错误的是（ ）A.BC =AC sin αB.CD =AD ⋅tan αC.BD =AB cos αD.AC =AD cos α2. 兰州是古丝绸之路上的重镇，以下准确表示兰州市的地理位置的是( ) A.北纬34∘03′ B.在中国的西北方向C.甘肃省中部D.北纬34∘03′，东经103∘49′3. 下列说法中，正确的是（ ）A.在Rt △ABC 中，锐角A 的两边都扩大5倍，则cos A 也扩大5倍B.若45∘<α<90∘，则sin α>1C.cos 30∘+cos 45∘=cos (30∘+45∘)D.若α为锐角，tan α=512，则sin α=5134. 如图，在高为2m ，坡角为30∘的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）A.2(√3+1)mB.4mC.(√3+2)mD.2(√3+3)m5. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=15，sin A=1，则BC=()3A.5B.10√2C.45D.156. 如图，甲、乙两艘轮船分别在P，M两个港口停靠，港口P在港口M的南偏西22∘方向上.某一天，甲、乙两艘轮船分别从P，M两个港口同时出发，以相同的速度航行，乙轮船向正南方向航行，若干小时后，两轮船在N处相遇，则甲轮船的航行方向是()A.北偏东22∘B.北偏东44∘C.南偏西68∘D.南偏西44∘7. 等腰三角形的顶角A=120∘，底边BC的长为12cm，那么它的腰长是（）A.2√3cmB.4√3cmC.√3cmD.6cm8. 一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西60∘的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西30∘的方向行驶30海里到达C地，则A、C两地相距（）A.30海里B.40海里C.50海里D.60海里9. 国际商贸城福田三期市场于2008年10月隆重开业．在开业店铺装修中，陈师傅用防火材料制作了一块如图所示的三角形隔离板，该板的面积为（）dm2 C.6dm2 D.3dm2A.3√2dm2B.3√2210. 如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60∘的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50∘的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是()A.B地在C地的北偏西40∘方向上B.A地在B地的南偏西30∘方向上D.∠ACB=50∘C.cos∠BAC=√32二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，），那么AC＝________．11. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，如果AB＝6，cos A=2312. 河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比是2:3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是________．13. 如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为________．14. 如图河对岸有一古塔AB，小敏在C处测得塔顶A的仰角为30∘，向塔前进10米到达D，在D处测得A的仰角为45∘，则塔高为________米．15. 一只船向东航行，上午9时到达一座灯塔P的西南方向60海里的M处，上午11时到达N处时发现此灯塔P在船的正北方向，则这只船的航行速度为________海里/小时．16. 如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60度，已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为________米．（结果保留根号）17. 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=1，AB=2，CD⊥AB于D，则tan∠ACD=________．18. 如图，A，B之间是一座山，一条高速公路要通过A，B两点，在A地测得公路走向是北偏西111∘32′．如果A，B两地同时开工，那么在B地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．19. 小明同学从A地出发沿北偏东30∘的方向到B地，再由B地沿南偏西40∘的方向到C地，则∠ABC=________∘．20. 如图，B，C是河岸边两点，A是对岸边上一点，测得∠ABC=45∘，∠ACB=60∘，BC=60米，甲想从A点出发在最短的时间内到达BC边，若他的速度为5米/分，则他所用的最短时间为________分．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 一副直角三角板如图放置，点A在ED上，∠F=∠ACB=90∘，∠E=30∘，∠B=45∘，AC=12，试求BD的长．22. 有一种小凳的示意图如图所示，支柱OE与地面l垂直，小凳表面CD与地面l平行，凳腿OA与地面l的夹角为40∘，OE=35cm，OA=OB=25cm．求小凳表面CD与地面l的距离（精确到1cm）．（备用数据：sin40∘=0.6428，cos40∘=0.7660，tan40∘=0.8391．）23 如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯设计图，已知BC=6米，AB=9米，中间平台宽度DE为2米，DM，EN为平台的两根支柱，且DM，EN均垂直于AB，垂足分别为M，N，∠EAB=30∘，∠CDF=45∘．则求BM的长度．（精确到0.1米）24. 某校数学兴趣小组的同学用学到的解直角三角形的知识，测量聊城摩天轮圆心D到地面AC的高度CD，如图，在空地的A处，他们利用测角仪器测得CD顶端的仰角为30∘，沿AC方向前进40米到达B处，又测得CD顶端的仰角为45∘，已知测角仪器的高度为1.2米，求摩天轮圆心到地面的高度. (√3≈1.732，精确到0.1米)25. 如图，在山坡上有一棵大树AB，小明在坡上的C点处测得树顶B的仰角为17∘，已知山坡的坡角为15∘，测角仪高CD为1.5米，测角仪离大树的坡面距离AC为50米，求大树AB的高．（精确到0.1米）参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解答】解：A．在Rt△ABC中，sinα=AC，BC，故A正确；∴ BC=ACsinαB．∴ ∠B+∠BAD=90∘，∠CAD+∠BAD=90∘，∴ ∠B=∠CAD=α，，在Rt△ADC中，tanα=CDAD∴ CD=AD⋅tanα，故B正确；C．在Rt△ABD中，cosα=BD，AB∴ BD=AB⋅cosα，故C正确；D．在Rt△ADC中，cosα=AD，AC∴ AD=AC⋅cosα，故D错误；故选D．2.【答案】D【解答】解：准确表示兰州市的地理位置的是北纬34∘03′，东经103∘49′.故选D.3.【答案】D解：A，在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，但它们的比值不变，所以cos A值不变，故本选项错误；B，应为若45∘<α<90∘，则√22<sinα<1，故本选项错误；C，三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误；D，根据tanα=512，设两直角边为5k，12k，根据勾股定理得斜边为13k，所以sinα=513，故本选项正确．故选D．4.【答案】A【解答】解：由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为(AC+BC)，在Rt△ABC中，∠A=30∘，BC=2m，∠C=90∘．∴ tan A=BCAC，∴ AC=BC÷tan30∘=2√3．∴ AC+BC=2√3+2．故选A．5.【答案】A【解答】解：∴ sin A=BCAB =13，AB=15，∴ BC=5，【答案】B【解答】解：如图，由题意可知，∠PMN=22∘，PN=MN,所以∠MPN=22∘.所以∠2=∠1=22∘+22∘=44∘.故甲轮船的航行方向是北偏东44∘.故选B.7.【答案】B【解答】解：如图：∴ △ABC是等腰三角形，∠A=120∘，∴ ∠B=∠C=30∘，AD⊥BC，∴ BC=12，∴ BD=6，设AD为x，则AB=2x，根据勾股定理得：AB2=AD2+BD2，即(2x)2=62+x2，解得：x=2√3，∴ 2x=4√3，∴ 它的腰长是4√3．故选B．8.【答案】【解答】解：连结AC，∴ ∠2=∠1=60∘，3=30∘，∴ ∠ABC=∠2+∠3=90∘，在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=50海里．故A、C两地相距50海里．故选：C．9.【答案】B【解答】解：作CD⊥AB于D点．在直角△ACD中，∠CAD=45∘，则CD=AC⋅sin45∘=3×√22=3√22．则三角形ABC的面积是：12⋅AB⋅CD=12×2×3√22=3√22．故选B．10.【答案】C【解答】解：如图所示，由题意可知，∠1=60∘，∠4=50∘，∴ ∠5=∠4=50∘，即B在C处的北偏西50∘，故A错误；∴ ∠2=60∘，即A在B处的南偏西60∘，故B错误；∴ ∠1=∠2=60∘，∴ ∠BAC=30∘，∴ cos∠BAC=√32，故C正确；∴ ∠6=90∘−∠5=40∘，即公路AC和BC的夹角是40∘，故D错误．故选C.二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】4【解答】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90∘，AB＝6，cos A=23，∴ cos A=ACAB =23，则AC=23AB=23×6＝4，12.【答案】9米【解答】解：∴ 迎水坡AB的坡比2:3，∴ BCAC =23，∴ 堤高BC=6米，BC=9（米）．∴ AC=32故答案为：9米．13.【答案】6√5m 【解答】解：∴ 斜面坡度为1:2，AC=12m，∴ BC=6m，则AB=√AC2+BC2=√122+62=6√5(m)．故答案为：6√5m．14.【答案】5(√3+1)【解答】解：在Rt△ABD中，∴ ∠ADB=45∘，∴ BD=AB．在Rt△ABC中，∴ ∠ACB=30∘，∴ BC=√3AB．设AB=x（米），∴ CD=10，∴ BC=x+10．∴ x+10=√3x=5(√3+1)．∴ 解得：x=√3−1即铁塔AB的高为5(√3+1)米．故答案为：5(√3+1)．15.【答案】15√2【解答】解：如图所示，在等腰直角三角形APN中，，sin∠APN=ANAP，∴ sin45∘=AN60∴ AN=30√2海里，∴ 速度为30√2÷2=15√2（海里/小时）．16.【答案】15√3【解答】由题意得，∠BAC＝90∘，∠ACB＝60∘，AC＝15，∴ tan∠ACB=ABAC =AB15=√3，∴ AB=√3AC＝15√3，17.【答案】√3【解答】解：由CD⊥AB于D，得∠ADC=CDB=90∘，由∠A+∠ACD=90∘，∠A+∠B=90∘，得∠B=∠ACD，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=1，AB=2，所以可得∠A=30∘，∠B=60∘，tan∠ACD=tan60∘=√3，故答案为：√318.【答案】北偏东68∘28′【解答】解：在B地按北偏东68∘28′施工，就能使公路在山腹中准确接通．∴ 指北方向相互平行，A、B两地公路走向形成一条直线，∴ 这样就构成了一对同旁内角，∴ ∠A+∠B=180∘，（两直线平行，同旁内角互补），∴ 可得在B地按北偏东180∘−111∘32′=68∘28′施工．故答案为：北偏东68∘28′.19.【答案】10【解答】解：如图：由题意知，∠1=30∘，∠2=40∘，∴ ∠ABC=∠2−∠1=10∘.故答案为：10.20.【答案】(18−6√3)【解答】解：过A点作AD⊥CB交BC于点D，所走路线为A→D，∴ ∠ABC=45∘，∠ACB=60∘，∴ tan∠CAD=CDAD ，tan B=ADBD，∴ tan30∘=CDAD，tan45∘=ADBD，∴ AD=√3CD，AD=BD．又∴ CD+BD=60，∴ CD+AD=60．∴ √33AD+AD=60，∴ AD=90−30√3，∴ 90−30√35=(18−6√3)分．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：∴ 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=45∘，∴ BC=AC=12．∴ 在Rt△ACD中，∠ACD=90∘，∠ADC=90∘−∠E=60∘，=4√3，∴ CD=ACtan60∘∴ BD=BC−DC=12−4√3．【解答】解：∴ 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=45∘，∴ BC=AC=12．∴ 在Rt△ACD中，∠ACD=90∘，∠ADC=90∘−∠E=60∘，=4√3，∴ CD=ACtan60∘∴ BD=BC−DC=12−4√3．22.【答案】解：延长EO交AB于点F，∴ EO⊥AB，∴ ∠OFA=90∘．在Rt△OFA中，OF=OA⋅sin40∘=25×0.6428=16.07，EF=OE+OF=35+16.07=51.07(cm)≈51cm．∴ 点E到地面的距离是51cm．【解答】解：延长EO交AB于点F，∴ EO⊥AB，∴ ∠OFA=90∘．在Rt△OFA中，OF=OA⋅sin40∘=25×0.6428=16.07，EF=OE+OF=35+16.07=51.07(cm)≈51cm．∴ 点E到地面的距离是51cm．23【答案】BM的长度约为4.6米．【解答】解：设BM=x米．∴ ∠CDF=45∘，∠CFD=90∘，∴ CF=DF=x米，∴ BF=BC−CF=(6−x)米．∴ EN=DM=BF=(6−x)米．∴ AB=9米，DE=2米，BM=DF=x米，∴ AN=AB−MN−BM=(7−x)米．在△AEN中，∠ANE=90∘，∠EAN=30∘，∴ EN=AN⋅tan30∘．即6−x=√33(7−x)．解这个方程得：x=√33−√3≈4.6．24【答案】解：设DE=x，∴ ∠DGE=30∘，∴ 在Rt△DEG中，EG=DEtan∠DGE =√33=√3x，∴ ∠DFE=45∘，∴ 在Rt△DEF中，EF=DE=x，又∴ AB=GF=40，∴ EG−EF=GF=40，即√3x−x=40，解得：x=20+20√3≈54.6，∴ DC=DE+CE=54.6+1.2=55.8（米）.【解答】解：设DE=x，∴ ∠DGE=30∘，∴ 在Rt△DEG中，EG=DEtan∠DGE =√33=√3x，∴ ∠DFE=45∘，∴ 在Rt△DEF中，EF=DE=x，又∴ AB=GF=40，∴ EG−EF=GF=40，即√3x−x=40，解得：x=20+20√3≈54.6，∴ DC=DE+CE=54.6+1.2=55.8（米）.25【答案】大树AB的高约为29.2米．【解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，得矩形DEFC∴ EF=CD=1.5，由已知得，∠FCA=15∘在Rt△ACF中，∠AFC=90∘AF=AC⋅sin∠ACF=50×sin15∘≈12.94CF=AC⋅cos∠ACF=50×cos15∘≈48.30在Rt△DBE中，∠BED=90∘BE=DE⋅tan∠BDE=48.30×tan17∘≈14.77∴ AB=BE+EF+AF=12.94+1.5+14.77≈29.2。
人教版九年级数学下册28.2：解直角三角形及其应用 同步练习 (含解析)
第二十八章 28.2解直角三角形及其应用同步练习直角三角形的边角关系同步练习（答题时间：15分钟）1. 在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝（ ）A. 3sin40°B. 3sin50°C. 3tan40°D. 3tan50°2. 在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AB ＝10，sinA ＝53，cosA ＝54，tanA ＝43，则BC 的长为（ ）A. 6B. 7.5C. 8D. 12.5*3. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，DC ＝4，cosC ＝54，那么AB 边的长为（ ）A. 4B. 512C. 59D. 5**4. 如图是一把30°的三角尺，外边AC ＝8，内边与外边的距离都是2，那么EF 的长度是（ ）A. 4B. 43C. 2.5D. 6－25. 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3AC ，那么∠A ＝__________度。
*6. 已知钝角三角形ABC ，点D 在BC 的延长线上，连接AD ，若∠DAB ＝90°，∠ACB ＝2∠D ，AD ＝2，AC ＝23，根据题意画出示意图，并求tanD 的值。
**7. 通过锐角三角函数的学习，我们已经知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长比与角的大小之间可以相互转化。
类似的我们可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。
我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）。
如图在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时sad A ＝ABBC 腰底边。
我们容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定的。
根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad 60°＝__________；sad 90°＝__________。
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28.2 解直角三角形（二）一、课前预习 (5分钟训练)1.在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC 为( )A.3B.4C.5D.62.如图28－2－2－1，在△ABC 中,∠C=90°,点D 在BC 上，CD=3，AD=BC,且cos ∠ADC=53，则BD 的长是( ) A.4 B.3 C.2 D.1图28－2－2－1 图28－2－2－２3.如图28－2－2－２，在离地面高度5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）二、课中强化(10分钟训练)1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm 、9 cm ，则等腰三角形的底角的余弦值是( )A.94 B.45.4 C.92 D.932.如果由点A 测得点B 在北偏东15°方向，那么点B 测得点A 的方向为___________.3.如图28－2－2－3，已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，∠ABC ＝45°，求BC 长及tanC.图28－2－2－34.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数）图28－2－2－４5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）图28－2－2－５三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C 点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( )A.aB.atanαC.a(sinα－cosα)D.a(tanβ－tanα)图28－2－2－6 图28－2－2－72.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）3.某片绿地的形状如图28－2－2－8所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200 m，CD=100 m，求AD、BC的长.（精确到1 m，3≈1.732）图28－2－2－84.如图28－2－2－9，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC.图28－2－2－95.如图28－2－2－10，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.414 21，3=1.732 05）图28－2－2－106.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)图28－2－2－117.如图28－2－2－12，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）.（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）图28－2－2－128.如图28－2－2－13,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情报，在A处北偏西60°方向的B 处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数,6=2.449,3=1.732,2=1.414)图28－2－2－13参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC 为( )A.3B.4C.5D.6 解析：AC=BC·tanB=6. 答案：D2.如图28－2－2－1，在△ABC 中,∠C=90°,点D 在BC 上，CD=3，AD=BC,且cos ∠ADC=53，则BD 的长是( )图28－2－2－1A.4B.3C.2D.1解析：求BD 需求BC,而BC=AD,在Rt △ADC 中,已知一角一边,可求出AD. 在Rt △ADC 中，CD=3，且cos ∠ADC=53，∴AD=5,∴BC=AD=5.∴BD=2. 答案：C3.如图28－2－2－２，在离地面高度5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）图28－2－2－２解析：在Rt △ABD 中,∠A=60°，CD=5，∴AC=331060sin =︒CD ,AD=33560tan =︒CD .答案:3310 335二、课中强化(10分钟训练)1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm 、9 cm ，则等腰三角形的底角的余弦值是( )A.94 B.45.4 C.92 D.93 解析：根据构成三角形的条件，该等腰三角形的三边长为9、9、4，∴其底角的余弦值为92. 答案：C2.如果由点A 测得点B 在北偏东15°方向，那么点B 测得点A 的方向为___________.解析：搞清观察方向，可以借助示意图来解决. 答案:南偏西15°或西偏南75°3.如图28－2－2－3，已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，∠ABC ＝45°，求BC 长及tanC.图28－2－2－3分析：作BC 边上的高AD ，构造直角三角形.在Rt △ADB 中已知一角一边，可求得AD 、BD ，在Rt △ADC 中由勾股定理求出CD.解：过点A 作AD ⊥BC 于D, 在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sinB=ABAD, ∴AD=AB·sinB=4·sin45°=4×22=22, ∴BD=22.在Rt △ADC 中，AC=6, 由勾股定理得DC=72)22(62222=-=-AD AC ,∴BC=BD+DC=7222+,tanC=7147222==DC AD . 4.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB 的高度.在地面上C 点用测角仪测得旗杆顶A 点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC 后退8米到D ，在D 点又测得旗杆顶A 的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB 的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数）图28－2－2－４解：设EF 为x 米， 在Rt △AEF 中,∠AFE=60°， ∴AE=EF·tan60°=3x ， 在Rt △AGE 中,∠AGE=45°， ∴AE=GE·tan45°=GE=8+x. ∴3x=8+x.解之,得x=4+43. ∴AE=12+43≈18.8. ∴AB=20.4(米). 答:旗杆AB 高20.4米.5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m 的A 地，观测河对岸有一直立树BC 的顶部B 的仰角为30°，它在水中的倒影B′C 顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）图28－2－2－５解Rt △AEB 与Rt △AEB′,得AE 与BE 、EB′的关系，解关于x 的方程可求得答案. 解：设树高BC=x(m)，过A 作AE ⊥BC 于E ，在Rt △ABE 中，BE=x －2,∠BAE=30°,cot ∠BAE=BEAE, ∴AE=BE·cot ∠BAE=(x －2)·3=3 (x －2). ∵∠B′AE=45°,AE ⊥BC. ∴B′E=AE=3(x －2).又∵B′E=B′C+EC=BC+AD=x+2, ∴3(x －2)=x+2.∴x=(4+23)(m). 答：树高BC 为(4+23) m. 三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a 米，从A 点测得D 点的俯角为α，测得C 点的俯角为β，则较低建筑物CD 的高度为( )图28－2－2－6A.aB.atanαC.a(sinα－cosα)D.a(tanβ－tanα) 解析:过D 点作AB 的垂线交AB 于E 点，在 Rt △ADE 中,∠ADE=α,DE=a, ∴AE=a·tanα.在Rt △ABC 中,∠ACB=β,BC=a, ∴AB=a·tan β.∴CD=AB －AE=a·tan β－a·tan α. 答案:D2.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）图28－2－2－7解析:AB=BC·tanC=12(米). 答案:123.某片绿地的形状如图28－2－2－8所示，其中∠A=60°，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB=200 m ，CD=100 m ，求AD 、BC 的长.（精确到1 m ，3≈1.732）图28－2－2－8解：延长AD ，交BC 的延长线于点E ，在Rt △ABE 中，∠A=60°，AB=200 m ， ∴BE=AB·tanA=3200 (m). AE=2120060cos =︒AB =400(m).在Rt △CDE 中，∠CED=30°，CD=100 m ，∴DE=CD·cot ∠CED=3100(m), CE=21100sin =∠CEDCD =200m.∴AD=AE －DE=400－3100≈227(m), BC=BE －CE=3200－200≈146(m).4.如图28－2－2－9，在△ABC 中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB 和BC.图28－2－2－9解：作三角形的高AD.在Rt △ACD 中,∠ACD=45°,AC=2,∴AD=CD=2.在Rt △ABD 中,∠B=30°,AD=2，∴BD=630tan =︒AD ，AB=2230sin =︒AD.∴CB=BD+CD=2+6.5.如图28－2－2－10，塔AB 和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据2=1.414 21，3=1.732 05）图28－2－2－10解：在Rt △ABD 中,BD=80米，∠BDA=60°， ∴AB=BD·tan60°=803≈138.56（米）. Rt △AEC 中,EC=BD=80,∠ACE=45°， ∴AE=CE=80(米).∴CD=AB －AE≈58.56（米）.答:塔高与楼高分别为138.56米、58.56米.6.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A 处望见某岛C 在北偏东60°方向，前进6海里到B 点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:3≈1.732)图28－2－2－11解:继续向东行驶,有触礁的危险.过点C 作CD 垂直AB 的延长线于D,∵∠CAB=30°,∠CBD=60°,∴∠BCD=30°.设CD 的长为x,则tan ∠CBD=BDx BD CD =, ∴BD=33x. ∴tan ∠CAB=tan30°=x x AD CD 33633+==.∴x=33.∴x≈5.2<6.∴继续向东行驶,有触礁的危险.7.如图28－2－2－12，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB 的长为5米（BC 所在地面为水平面）.（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）图28－2－2－12解：（1）如图，在Rt △ABC 中，AC=AB·sin44°=5sin 44°≈3.473.在Rt △ACD 中，AD=︒=︒32sin 473.332sin AC ≈6.554. ∴AD －AB=6.554－5≈1.55.即改善后的台阶会加长1.55米,（2）如图，在Rt △ABC 中，BC=ABcos44°=5cos44°≈3.597.在Rt △ACD 中，CD=︒=︒32tan 473.332tan AC ≈5.558， ∴BD=CD －BC=5.558－3.597≈1.96,即改善后的台阶多占1.96米长的一段地面.8.如图28－2－2－13,某海关缉私艇巡逻到达A 处时接到情报，在A 处北偏西60°方向的B 处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C 处截住可疑船只，求该艇的速度.(结果保留整数,6=2.449,3=1.732,2=1.414)图28－2－2－13解：设OA 的长为x ，由于点C 在点A 的北偏西45°的方向上，∴OC=OA=x.根据题意,得tan30°=312243324=⇒+==⇒+x xx x x x +12. AC 2=x 2+x 2⇒AC=22x x +,∴AC≈46（海里）. 答：该艇的速度是46海里/时.。