轴对称知识讲解.doc
轴对称(知识讲座)
§12．1 轴对称§12．1．1 轴对称〔一〕教学目标1．在生活实例中认识轴对称图．2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．教学重点轴对称图形的概念．教学难点能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十四章：轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴．Ⅱ．导入新课出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征．这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两局部能够完全重合．小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，•甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．我们的黑板、课桌、椅子等．我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的．如课本的图14．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案〔折痕处不要完全剪断〕，•再翻开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．观察得到的窗花和图14．1．1中的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的局部完全重合．不仅窗花可以沿一条直线对折，使直线两旁重合，上面图14．1．1中的图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的局部重合．结论：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的局部能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线〔成轴〕•对称．了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做．取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，•将纸翻开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流．结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合．由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。
关于轴对称的知识点
关于轴对称的知识点在日常生活中，轴对称经常出现在各种图形、物品和自然事物中。
轴对称是一种基本的几何概念，是我们理解图形、计算面积和体积等几何问题的重要基础。
本篇文章将重点讨论轴对称的概念、性质和应用，帮助读者全面了解轴对称的知识点。
一、轴对称的基本概念轴对称是指平面上的一个点、线或面，将图形沿着该点、线或面折叠后，两侧重合的现象。
例如，一个圆可以沿着其圆心为轴对称，一个矩形可以沿着其中心的对角线为轴对称。
轴对称的基本概念包括以下几个要素：1. 轴：轴是平面上的一个点、直线或面，用于将图形分割成对称的两部分。
2. 对称中心：对称中心是轴对称的中心点或中心线，是图形对称的基准点。
3. 对称轴：对称轴是指通过对称中心的直线或平面，用于确定图形的对称位置。
4. 对称面：对称面是指沿着某个平面进行对称的现象，例如，一个立方体可以沿着一个面为对称面。
二、轴对称的性质轴对称是一种基本的几何概念，具有一些重要的性质，包括：1. 对称关系：轴对称的两侧是对称关系，互为镜像。
例如，一个字母“S”在其对称轴的两侧是相似的镜像形。
2. 对称轴必须经过对称中心：轴对称的对称轴必须经过对称中心，这是其对称的基准点。
3. 对称轴是唯一的：轴对称的对称轴是唯一的，它既可以是一条直线，也可以是一个平面。
4. 对称图形具有相同的面积和周长：轴对称的图形具有相同的面积和周长，这意味着，我们可以通过测量一侧的面积和周长，计算出整个图形的面积和周长。
三、轴对称的应用轴对称是一种重要的几何概念，在各种领域都有广泛的应用，包括：1. 在工程绘图中，轴对称被广泛用于设计对称性的零件和构件。
例如，一个机器零件可能需要在两侧具有相等的重量和力学性能，这就需要使用轴对称进行设计。
2. 在纹样和图案设计中，轴对称是一种常见的设计手段。
例如，一些印度图案和中国的剪纸，都是基于轴对称设计的。
3. 在数学中，轴对称被广泛应用于计算面积和体积。
例如，计算一个图形的面积，可以将其沿着某个轴对称的线分割成对称的两部分，计算一部分的面积后，再乘以2。
关于轴对称的知识点
关于轴对称的知识点
嘿，朋友们！今天咱来好好聊聊轴对称的那些事儿！
轴对称，简单说呢，就是如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴啦。
比如说，那漂亮的蝴蝶，它的翅膀不就是左右对称的嘛，中间那道线就是对称轴啦！
轴对称有好多有趣的特点呢！首先，对应点到对称轴的距离相等。
瞧，就像镜子里的你和你，你离镜子多远，镜子里的你就离镜子多远，这多神奇呀！其次，对应线段相等。
想象一下，对称轴两边就好像是双胞胎，啥都长得一样呢！
那怎么判断一个图形是不是轴对称图形呢？这可得睁大咱的眼睛仔细瞧！像正方形，多么标准的轴对称图形呀，横竖都有对称轴呢！但要是一个奇奇怪怪歪歪扭扭的图形，那可就不一定咯。
对称轴也很重要呢！它可是图形的“对称轴大人”，决定着图形的对称模样。
要是对称轴变了，整个图形的感觉都会不一样哦，就像你换了个发型，整个人的气质都可能变啦！
哎呀呀，轴对称的知识是不是很有意思呀？大家赶紧去生活中找找轴对称的图形吧，肯定会有很多惊喜发现哦！。
第01讲 轴对称与轴对称图形(知识解读)
第01讲轴对称与轴对称图形1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形、探索轴对称的基本性质.2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形关于给定对称轴对称图形.3.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.知识点轴对称图形⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.注意：1.轴对称图形的对称轴是一条直线，2.轴对称图形是1个图形，3.有些对称图形的对称轴有无数条。
⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形两个图形的对称轴.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.【题型1轴对称的相关概念】【典例1】（2022秋•昆明期末）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（）A．6个B．5个C．4个D．3个【变式1-1】（2022秋•东港区期末）如图所示，△ABC是在2×2的正方形网格中以格点为顶点的三角形，那么图中与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【变式1-2】（2022秋•大连期末）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有个【题型2轴对称图形的相关概念】【典例2】（2023春•渝北区校级期中）下列图形不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2023春•青秀区校级期中）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【变式2-2】（2023春•南宁期中）学习轴对称图形中后，小乐画出如图四个图形，其中只有1条对称轴的图形是（）A．B．C．D．【题型3确定轴对称图形对称轴的条数】【典例3】（2023•城阳区一模）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（）A．B．C．D．【变式3-1】下列图形中对称轴只有两条的是（）A．B．C．D．【变式3-2】（2022秋•宝山区期末）圆是轴对称图形，它的对称轴有条．【题型4轴对称再镜面对称中的应用】【典例4】（2022秋•乳山市期中）小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是（）A．21：05B．20：15C．20：12D．21：50【变式4-1】（2021秋•播州区期末）如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确的是（）A．B．C．D．【变式4-2】（2021秋•恩施市校级期末）一轿车的车牌在水中的倒影是，则该车的牌照号码为．【题型5轴对称的操作应用】【典例5】（2022秋•桓台县期中）在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，在图④中描涂5个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形．【变式5-1】（2022秋•永嘉县校级月考）在图①补充2个小方块，在图②、③、④中分别补充3个小方块，分别使它们成为轴对称图形．【变式5-2】（2021秋•船营区校级期中）下列各图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充．（1）使得图①成为轴对称图形；（2）使得图②成为有4条对称轴且阴影部分面积等于3的图形；（3）使得图③成为至少有2条对称轴且面积不超过6的图形．【题型6与轴承对称相关的探索图形规律问题】【典例6】（2020春•顺德区校级期末）如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，连接BE，CE，如图2，在射线AD上取点F 连接BF，CF，如图3，依此规律，第6个图形中全等三角形的对数是（）A．10B．15C．21D．28【变式6-1】（2021秋•沂源县期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2【变式6-2】（2021秋•罗庄区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第9次碰到矩形的边时的点为图中的（）A．点P B．点Q C．点M D．点N【题型7与轴对称相关的开放性问题】【典例7】（2022秋•东营区校级期末）如图，AD是△ABC的对称轴，∠DAC＝30°，DC＝4cm，则△ABC是三角形，△ABC的周长＝cm．【变式7-1】（2022秋•开封期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝25°，击打白球，反弹后将黑球撞入袋中，∠1＝．【变式7-2】（2022秋•青云谱区校级期中）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形可添加的区域有个．【题型8轴对称的实际应用】【典例8】（2022秋•乐清市月考）为迎接即将到来的国庆节，市区广场上设置了一个呈轴对称图形的平面造型（如图所示），其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板区．已知a＝0.5米．b＝2米．则展板的面积为，摆放花草造价为450元/平方米，展板造价为80元/平方米，那么制作整个造型的造价是（π取3）元．【变式8-1】（2022秋•栖霞市期末）已知：如图，CDEF是一个长方形的台球面，有A、B两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球A，才能使A先碰到台边FC反弹后再击中球B？在图中画出A球的运动线路．【变式8-2】如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C（提示：∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF）．（1）若∠P AD＝32°，求∠PAB的度数；（2）已知∠BAE+∠ABE＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由．1．（2023•平顶山二模）从“同一个世界，同一个梦想”的2008年夏季奥运会，到“一起向未来”的2022年冬季奥运会，北京成为世界上首座“双奥之城”，下列四幅图是两届奥运会的参选徽标，其中文字上方的图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2023•蚌山区模拟）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（）A．200个B．400个C．1000个D．2000个3．（海淀区）如图，把△ABC纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）4．（2020•薛城区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与矩形的边碰撞2020次后，它与AB边的碰撞次数是．1．（2022秋•河西区期末）2022年卡塔尔世界杯开幕式上中国元素闪耀登场．下面四幅与世界杯相关的图标中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2022秋•东宝区期末）在以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（）A．.B．C．.D．3．（2022春•淮阳区期末）如图下面镜子里哪个是他的像？（）A．A B．B C．C D．D 4．（2023•雄县模拟）通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（）A．点A B．点C．点C D．点D 5．（2023春•海淀区校级月考）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．5B．6C．7D．8 6．（2022秋•婺城区期末）如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC 边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（）A．①②③B．①②C．①③D．②③7．（2020秋•十堰期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋8．（2020春•兖州区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角（即：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的（）A．A点B．B点C．C点D．D点9．（2022秋•汤阴县期中）小红站在平面镜前，通过镜子看到电子钟的示数如图所示，这时的时刻应是．10．如图，△ABC是轴对称图形，且直线AD是△ABC的对称轴，点E，F是线段AD上的任意两点，若△ABC的面积为18cm2，则图中阴影部分的面积是cm2．11．（秋•西城区校级期中）如图，长方形台球桌ABCD上有两个球P，Q．（1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反弹后，正好撞到球Q；（2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q．答案与解析【题型1轴对称的相关概念】【典例1】（2022秋•昆明期末）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（）A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】A【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．故选：A．【变式1-1】（2022秋•东港区期末）如图所示，△ABC是在2×2的正方形网格中以格点为顶点的三角形，那么图中与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【解答】解：如图，与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形共有5个．故选C．【变式1-2】（2022秋•大连期末）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有个【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示，与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有3个：故答案为：3．【题型2轴对称图形的相关概念】【典例2】（2023春•渝北区校级期中）下列图形不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A、B、C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．【变式2-1】（2023春•青秀区校级期中）下列四个图形分别是四届国际数学家大）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A．【变式2-2】（2023春•南宁期中）学习轴对称图形中后，小乐画出如图四个图形，其中只有1条对称轴的图形是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A．该图形有无数条对称轴，故此选项不合题意；B．该图形有4条对称轴，故此选项不合题意；C．该图形有1条对称轴，故此选项符合题意；D．该图形有2条对称轴，故此选项不合题意．故选：C．【题型3确定轴对称图形对称轴的条数】【典例3】（2023•城阳区一模）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A．该图形是轴对称图形，共有1条对称轴；B．该图形是轴对称图形，共有3条对称轴；C．该图形是轴对称图形，共有2条对称轴；D．该图形是轴对称图形，共有2条对称轴．故选：B．【变式3-1】下列图形中对称轴只有两条的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、圆有无数条对称轴，故本选项不符合题意；B、等边三角形有3条对称轴，故本选项不符合题意；C、矩形有2条对称轴，故本选项符合题意；D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项不符合题意；故选：C．【变式3-2】（2022秋•宝山区期末）圆是轴对称图形，它的对称轴有条．【答案】见试题解答内容【解答】解：圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条．故答案为：无数．【题型4轴对称再镜面对称中的应用】【典例4】（2022秋•乳山市期中）小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是（）A．21：05B．20：15C．20：12D．21：50【答案】B【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与20：15成轴对称，所以此时实际时刻为20：15．故选：B．【变式4-1】（2021秋•播州区期末）如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：根据题意，它在水中的倒影表示正确的是A，故选：A．【变式4-2】（2021秋•恩施市校级期末）一轿车的车牌在水中的倒影是，则该车的牌照号码为．【答案】鄂Q•W6E01．【解答】解：如图所示：该车的牌照号码为鄂Q•W6E01．．故答案为：鄂Q•W6E01．【题型5轴对称的操作应用】【典例5】（2022秋•桓台县期中）在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，在图④中描涂5个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形．【答案】答案见解答．【解答】解：如图所示：．【变式5-1】（2022秋•永嘉县校级月考）在图①补充2个小方块，在图②、③、④中分别补充3个小方块，分别使它们成为轴对称图形．【答案】见试题解答内容．【解答】解：作轴对称图形如下（答案不唯一）：【变式5-2】（2021秋•船营区校级期中）下列各图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充．（1）使得图①成为轴对称图形；（2）使得图②成为有4条对称轴且阴影部分面积等于3的图形；（3）使得图③成为至少有2条对称轴且面积不超过6的图形．【答案】见解答．【解答】解：如图所示（答案不唯一）：【题型6与轴承对称相关的探索图形规律问题】【典例6】（2020春•顺德区校级期末）如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，连接BE，CE，如图2，在射线AD上取点F连接BF，CF，如图3，依此规律，第6个图形中全等三角形的对数是（）A．10B．15C．21D．28【答案】C【解答】解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称，∴∠BAD＝∠CAD．在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE（SAS），∴BE＝EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD＝CD，在△BDE和△CDE中，∴△BDE≌△CDE（SSS），∴图2中有1+2＝3对三角形全等；同理：图3中有1+2+3＝6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．所以：第6个图形中全等三角形的对数是，故选：C．【变式6-1】（2021秋•沂源县期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2【答案】A【解答】解：如图，由翻折的性质得，∠3＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠3＝（180°﹣∠1），在△ADE中，∠AED＝180°﹣∠3﹣∠A，∠CED＝∠3+∠A，∴∠A′ED＝∠CED+∠2＝∠3+∠A+∠2，∴180°﹣∠3﹣∠A＝∠3+∠A+∠2，整理得，2∠3+2∠A+∠2＝180°，∴2×（180°﹣∠1）+2∠A+∠2＝180°，∴2∠A＝∠1﹣∠2．故选：A．【变式6-2】（2021秋•罗庄区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第9次碰到矩形的边时的点为图中的（）A．点P B．点Q C．点M D．点N【答案】D【解答】解：如图所示，小球反弹6次回到点P处，而9﹣6＝3，∴第9次碰到矩形的边时的点为图中的点N．故选：D．【题型7与轴对称相关的开放性问题】【典例7】（2022AD是△ABC的对称轴，∠DAC＝30°，DC＝4cm，则△ABC是等边三角形，△ABC的周长＝24cm．【答案】等边三角形，24．【解答】解：∵AD是△ABC的对称轴，∴BD＝CD＝4cm，AB＝AC，∴BC＝BD+CD＝8cm，∵∠DAC＝30°，∴∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴△ABC的周长为＝3BC＝24cm．故答案为：等边三角形，24．【变式7-1】（2022秋•开封期末）如图，∠1＝∠2，∠3＝25°，击打白球，反弹后将黑球撞入袋中，∠1＝65°．【答案】65°．【解答】解：∵∠2+∠3＝90°，∠3＝25°，∴∠2＝65°．∵∠1＝∠2，∴∠1＝65°．故答案为：65°．【变式7-2】（2022秋•青云谱区校级期中）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形可添加的区域有2个．【答案】2．【解答】解：要在①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域①⑤．故答案为：2．【题型8轴对称的实际应用】【典例8】（2022秋•乐清市月考）为迎接即将到来的国庆节，市区广场上设置了一个呈轴对称图形的平面造型（如图所示），其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板区．已知a＝0.5米．b＝2米．则展板的面积为12平方米，摆放花草造价为450元/平方米，展板造价为80元/平方米，那么制作整个造型的造价是（π取3）3660元．【答案】12平方米；3660．【解答】解：由题意：展板的面积＝12a•b（平方米），当a＝0.5米，b＝2米时，展板的面积＝12（平方米）．制作整个造型的造价＝12×80+π×4×450＝3660（元）．故答案是：12平方米；3660．【变式8-1】（2022秋•栖霞市期末）已知：如图，CDEF是一个长方形的台球面，有A、B两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球A，才能使A先碰到台边FC反弹后再击中球B？在图中画出A球的运动线路．【答案】如图所示，运动路线：A→P→B．【解答】解：如图所示：运动路线：A→P→B．【变式8-2】如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C（提示：∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF）．（1）若∠PAD＝32°，求∠PAB的度数；（2）已知∠BAE+∠ABE＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由．【答案】（1）116°．（2）BC∥PA．证明见解析部分．【解答】解：（1）∵∠PAD＝32°，∠P AD＝∠BAE，∠PAD+∠PAB+∠BAE＝180°，∴∠PAB＝180°﹣32°﹣32°＝116°．（2）BC∥PA，理由如下：∵∠PAD＝∠BAE，∠P AB＝180°﹣∠PAD﹣∠BAE，∴∠PAB＝180°﹣2∠BAE．同理：∠ABC＝180°﹣2∠ABE．∵∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠PAB+∠ABC＝360°﹣2（∠BAE+∠ABE）＝180°．∴BC∥PA．1．（2023•平顶山二模）从“同一个世界，同一个梦想”的2008年夏季奥运会，到“一起向未来”的2022年冬季奥运会，北京成为世界上首座“双奥之城”，下列四幅图是两届奥运会的参选徽标，其中文字上方的图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C．2．（2023•蚌山区模拟）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（）A．200个B．400个C．1000个D．2000个【答案】A【解答】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有10×10＝100种情况．同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有10×10＝100种情况，所以最多可制作200个．故选：A．3．（2003•海淀区）如图，把△ABC纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形BCED 内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）【答案】B【解答】解：∵把△ABC纸片沿着DE折叠，点A落在四边形BCED内部，∴∠1+∠2＝180°﹣∠ADA′+180°﹣∠AEA′＝180°﹣2∠ADE+180°﹣2∠AED＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．故选：B．4．（2020•薛城区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与矩形的边碰撞2020次后，它与AB边的碰撞次数是．【答案】674．【解答】解：如图以AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次，∵2020÷6＝336…4，当点P第2020次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（2，0），∴它与AB边的碰撞次数是＝336×2+2＝674（次），故答案为：674．1．（2022秋•河西区期末）2022年卡塔尔世界杯开幕式上中国元素闪耀登场．下面四幅与世界杯相关的图标中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：D．2．（2022秋•东宝区期末）在以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（）A．.B．C．.D．【答案】B【解答】解：A有2条对称轴，B有4条，C有0条，D有1条．则对称轴条数最多的一个图形是B．故选：B．3．（2022春•淮阳区期末）如图下面镜子里哪个是他的像？（）A．A B．B C．C D．D【答案】B【解答】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称．故选：B．4．（2023•雄县模拟）通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】B【解答】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O，故选：B．5．（2023春•海淀区校级月考）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解答】解：如图，连接OP1，PP1，OP2，PP2，P1P2，∵P1是P关于直线l的对称点，∴直线l是PP1的垂直平分线，∴OP1＝OP＝2.8，∵P2是P关于直线m的对称点，∴直线m是PP2的垂直平分线，∴OP2＝OP＝2.8，当P1，O，P2不在同一条直线上时，OP1﹣OP2＜P1P2＜OP1+OP2，即0＜P1P2＜5.6，当P1，O，P2在同一条直线上时，P1P2＝OP1+OP2＝5.6，∴P1，P2之间的距离可能是5，故选：A．6．（2022秋•婺城区期末）如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【答案】A【解答】解：①BC边上的中线AD：如图1，使点B、C重合，中点为点D，连接AD，此时AD即为BC边上的中线；②∠A的平分线AE：如图2，沿直线AE折叠，使AB与AC重叠，此时AE即为BC边上的角平分线；③BC边上的高AF：如图3，沿直线AF折叠，使BF与CF重合，此时AF即为BC边上的高．综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③．故选：A．7．（2020秋•十堰期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋【答案】B【解答】解：如图所示，，球最后落入的球袋是2号袋，故选：B．8．（2020春•兖州区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角（即：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的（）A．A点B．B点C．C点D．D点【答案】D【解答】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点P，∵2020÷6＝336…4，∴当点P第2020次碰到长方形的边时为第337个循环组的第4次反弹，∴第2020次碰到长方形的边时的点为图中的点D，故选：D．9．（2022秋•汤阴县期中）小红站在平面镜前，通过镜子看到电子钟的示数如图所示，这时的时刻应是．【答案】12：08：51．【解答】解：∵是从镜子中看，∴对称轴为竖直方向的直线，∵5的对称数字为2，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，∴这时的时刻应是12：08：51．故答案为：12：08：51．11．如图，△ABC是轴对称图形，且直线AD是△ABC的对称轴，点E，F是线段AD上的任意两点，若△ABC的面积为18cm2，则图中阴影部分的面积是cm2．【答案】9．【解答】解：∵△ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴，＝S△ACD＝，S△CEF＝S△BEF，∴S△ABD∴阴影部分的面积等于△ABC面积的一半，＝×18＝9（cm2）．∴S阴影故答案为：9．11．（秋•西城区校级期中）如图，长方形台球桌ABCD上有两个球P，Q．（1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反弹后，正好撞到球Q；（2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，运动路径：P→M→Q，点M即为所求．（2）如图，运动路径：P→E→F→Q，点E，点F即为所求．。
轴对称知识点总结98392.doc
轴对称知识点总结98392.轴对称与轴对称图形一、知识点：1．什么叫轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2．什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
lAB4．线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（也称线段的中垂线）5．轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
6．怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
二、举例：例1：判断题：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；（）②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；（）③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；（）④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。
（）例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.例3：如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：方法1方法2方法3例4：如图，已知：ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。
超详细轴对称知识点总结(精华版)
轴对称学问点总结1，轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合；这条直线叫做对称轴；相互重合的点叫做对应点；2，轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合；这条直线叫做对称轴；相互重合的点叫做对应点；3，轴对称图形与轴对称的区分与联系：（1）区分；轴对称图形争论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称争论的是“两个图形与一条直线的对称关系”；（2）联系；把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形；4，轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直；（3）对应点到对称轴的距离相等；（4）对应点的连线相互平行；5，线段的垂直平分线：（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线；性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等；（2）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；6，等腰三角形：（1）定义；有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形；；（2）性质；等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条；等边对等角；三线合一；（3）判定；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有两个角相等的三角形是等腰三角形；7，等边三角形：（1）定义；三条边都相等的三角形，叫做等边三角形；说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特别的等腰三角形；（2）性质；等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”，有三条；三条边上的中线，高线及三个内角平分线都相交于一点；等边三角形的三个内角都等于60°；（3）判定；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形是等边三角形；有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形；（4）重要结论；在Rt△中，3图0°7角所对直角边等于斜边的一半；8，平面直角坐标系中的轴对称：(1)( a, b)关于x轴对称横不变，纵反向( a, b) (a,b)关于y轴对称横反向，纵不变( a,b)说明：要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需依据作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点；对称点的作法见11（1）；9，对称轴的画法：在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线；留意：有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出全部的对称轴；成轴对称的两个图形只有一条对称轴；10，常见的轴对称图形：（1）英文字母；A B D E H I K M O T U V W X Y（2）中文；日，目，木，土，十，士，中，一，二，三，六，米，山，甲，由，田，天，又，只，支，圭，凹，凸，出，兰，合，全，仝，人，关，甘，等等；（3）数字；0 3 8（4）图形；说明：圆有很多条对称轴；正n 边形有n 条对称轴；11，把握几个作图：（1）作出点 A 关于直线m 对称的点A/；作法：如图以点A 为圆心，适当的长为半径画圆弧；使圆弧与直线MN 交于两点C，D ；分别以点C,D 为圆心，大于1CD2的长为半径画圆弧，设两条圆弧交于点E；作射线AE，设交直线mn 于点F；○4 在射线AE 上截取FA/=FA ，点A/即为所求；（2）课本34 页例题；（3）课本37 页9，10 题；（4）课本42 页12.2-8 图2（5）。
数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析
数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析一、知识梳理1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2.轴对称的性质(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个关于某直线对称的图形在对应线段或延长线上相交时，交点在对称轴上;(4)对应线段平行(或或在同一直线上)且相等。
3.轴对称的应用：(1)解决与轴对称相关的问题，关键是找到对称轴，然后根据轴对称的性质，找到对称点或对称线段。
(2)确定两个点关于某直线对称的问题，可以以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点即可。
二、重难点精析1.轴对称的性质是难点，需要灵活运用。
在学习的过程中，可以通过做大量的例题来加深对轴对称性质的理解。
2.解决与轴对称相关的问题时，找到对称轴是关键。
可以通过画图的方式，来找到对称轴，然后根据对称轴的性质解决问题。
3.对于两个点关于某直线对称的问题，可以通过以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点来解决。
三、例题解析例1：已知A、B两点关于直线m对称，A、B两点间的距离为5cm，AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。
求：(1)B点在A 点的什么位置?(2)B点到直线m的距离为多少?解：(1)因为A、B两点关于直线m对称，所以B点在A点的对称位置，且AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。
因为A、B 两点间的距离为5cm，所以BC的长度也为2.5cm，因此B点在A点的正上方或正下方2.5cm处。
(2)因为B、A两点关于直线m对称，所以BC的长度等于AC的长度，即2.5cm。
因此B点到直线m的距离为2.5cm。
例2：在三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm。
求三角形ABC 的面积。
解：过A点作AD垂直于BC于D点，因为AB=AC=10cm，所以BD=CD=4cm。
《轴对称》知识点总结及章节检测解析
《轴对称》知识点总结及章节检测解析一、知识点总结：1.轴对称的定义：如果一个图形经过其中一条直线折叠后，能够与自身完全重合，则这条直线被称为这个图形的轴对称线，这个图形是轴对称的。
2.旋转对称：如果一个图形能够围绕其中一点旋转一定的角度后，能够与自身完全重合，则这个图形是旋转对称的。
3.轴对称图形的特点：轴对称图形的特点是，对称轴两侧的各点关于对称轴对应，即对称轴上的一点与对应点互为图形的对称点。
4.轴对称的判定方法：判断一个图形是否为轴对称图形，可以按照以下方式进行判定：(1)观察是否能找到一个或多个对称轴；(2)沿对称轴将图形折叠，看是否能够重合。
5.制作轴对称图形：制作一个轴对称图形可按照以下步骤进行：(1)在纸上画出一条轴对称线；(2)沿着对称线将图形的一边折叠；(3)检查折叠后的图形与未折叠的图形是否重合，如重合则完成。
二、章节检测解析：以小学三年级数学教材为例，进行《轴对称》的章节检测解析。
教材章节：第三章图形与设计1.知识点掌握情况：首先，学生需要了解轴对称的概念、特点和判定方法，并能够制作轴对称图形。
2.基础练习题：对于基础的练习题，要求学生绘制给定图形的对称线，并判断是否为轴对称图形。
3.综合应用题：在综合应用题中，要求学生设计自己的轴对称图形，并描述其特点。
4.拓展思考题：为了拓展学生的思维，可以提出一些拓展思考题，如“如何判断一个图形是否为旋转对称图形”、“如何找到一个图形的所有对称轴”等。
总结：通过针对《轴对称》这一章节的检测解析，学生可以对轴对称的知识点进行复习和巩固。
同时，综合应用题和拓展思考题能够提高学生的思维能力和创造力。
轴对称课本知识点总结
轴对称课本知识点总结一、轴对称的概念轴对称是指一个图形围绕某条中心轴线旋转180度，旋转后的图形和原图形完全重合。
在二维几何中，轴对称是一种重要的对称形式，常见于各种图形和实物之中。
二、轴对称的性质1. 轴对称图形的两个部分互相对称，互为镜像。
2. 轴对称图形的对称中心为图形的轴心。
3. 轴对称图形每一点的对应点与对称中心的距离相等。
三、轴对称的图形1. 对称图形：直线对称图形是最简单的轴对称图形，常见的有点、线段、正多边形等。
2. 音符：音符是一个常见的轴对称图形，它围绕中心轴线旋转180度后，可以和原音符完全重合。
3. 字母、数字：如字母A、M、H等和数字0、8等都是轴对称图形。
四、轴对称的判断方法1. 观察法：观察图形围绕某一条中心轴线旋转180度后是否和原图形重合。
2. 设坐标法：设定坐标轴，通过图形的对称特点来判断是否轴对称。
3. 折叠法：将图形折叠在对称轴上，判断折叠后两部分是否完全重合。
五、轴对称的应用1. 轴对称图形的设计：在各种设计中，轴对称图形的运用可以使设计更加美观。
2. 轴对称图形的制作：通过手工制作，可以制作各种轴对称图形的手工作品。
3. 轴对称图形的应用：在建筑、工程、美术、工艺等领域都有轴对称图形的应用。
六、轴对称的作用1. 保持图形的对称美：轴对称可以使图形保持一定的对称美。
2. 方便图形的绘制：对称图形通过轴对称可以方便地进行绘制和复制。
七、轴对称的练习1. 描绘轴对称图形：通过规定的对称轴来描绘对称图形。
2. 判断轴对称图形：判断给定图形是否对称，并找出对称轴。
3. 补全轴对称图形：在已知半图形的基础上补全对称图形。
八、轴对称的拓展知识1. 轴对称的组合：两个或多个轴对称图形组合成一个新的轴对称图形。
2. 轴对称的面积计算：轴对称图形的面积计算可以通过对称轴进行分割和计算。
九、轴对称的应用案例1. 建筑设计中的轴对称图形应用：在建筑设计中，轴对称图形的应用可以使建筑更加美观大方。
轴对称与轴对称图形--知识讲解(提高).doc
轴对称与轴对称图形--知识讲解（提高）责编：某老师【学习目标】1．通过具体实例了解两个图形成轴对称的概念，能找出对称轴和对称点．2．了解两个图形关于某直线成轴对称和轴对称图形的联系与区别，理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．3．欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的应用和文化价值.4. 理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题．5．通过学习，体验数学的对称美，激发学习数学的兴趣．【要点梳理】要点一、轴对称与轴对称图形1.轴对称的定义把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.要点诠释：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称图形的定义把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴.要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.3.轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.要点二、轴对称的性质轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成轴对称的两个图形全等.要点三、线段的垂直平分线定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．【典型例题】类型一、判断轴对称图形的对称轴1、观察下图中的图案，问这些轴对称图形，各有几条对称轴?【思路点拨】对于一个图形的对称轴一定要按定义全方位地去找或按照定义实际操作一下，否则就容易造成漏解或找不到对称轴.【答案与解析】①有 4条对称轴．②有1条对称轴．③有2条对称轴．【总结升华】这类图形必须得认真观察、分析每个图形的特征，最好能动手操作一下．举一反三：【变式1】试说出下列图形的对称轴的条数.（1）线段；（2）角；（3）平行线（两条）.【答案】（1）线段沿着本身所在直线或沿着它的中垂线折叠，两旁的部分能够完全重合.故线段有两条对称轴；（2）角沿着它的平分线所在直线对折，两旁的部分能够完全重合，故只有一条对称轴，即角平分线所在直线；（3）两条平行线，沿着和它们都平行且到它们距离相等的一条直线或沿着和它们都垂直的直线对折，两旁的部分能够重合．而和它们都垂直的直线有无数条故它的对称轴有无数条．综上，线段、角、两条平行线的对称轴分别是 2条、l条、无数条．【变式2】在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有个．【答案】3．解：如图所示，有3个使之成为轴对称图形．类型二、轴对称的应用2、如图所示，在正方形中均匀地分布着一些数字，小明利用轴对称的思想，用了一种非常巧妙的方法，迅速地将这组数字和求了出来，你也能试试吗？（1）【思路点拨】利用轴对称图形的对称点位置上的两数相加和为10来进行简便计算.【答案与解析】从数字组中可以看出，一条对角线上的数都是5，•若把这条对角线当作对称轴，把正方形对折对折一下，对称点位置的两数之和都是10，如图（2）所示.方阵中的数之和为5×5+10×10=125．（1）（2）【总结升华】数形结合是初中数学学习的一种重要的学习方法，在求一组有特殊规律的数字之和时，经常会用到对称的思想及其相关知识.3、（2016•临夏州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．【思路点拨】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出各对应点位置进而得出答案；（2）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案．【答案与解析】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，点A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）．【总结升华】此题主要考查了轴对称变换和平移变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．4、（2015•南充一模）已知点A （a ，2014）与点B （2015，b ）关于x 轴对称，则a+b 的值为 ．【思路点拨】根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a 、b 的值，再根据有理数的加法，可得答案．【答案】1；【解析】解：由点A （a ，2014）与点B （2015，b ）关于x 轴对称，得a=2015，b=﹣2014，a+b=2015﹣2014=1，故答案为：1．【总结升华】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 举一反三：【变式1】已知点A （2，3-）关于x 轴对称的点的坐标为点B （2m ，m n +），则m n -的值为（ ）．A ． 5-B ． 1-C ． 1D ． 5【答案】B ；提示：2m ＝2，m ＋n ＝3, 解得n ＝2, m ＝1，选B.【变式2】如图，ΔABC 中，点A 的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），点B 的坐标为（3，1），如果要使ΔABD 与ΔABC 全等，求点D 的坐标．【答案】共3个满足条件的点：1D （4，－1），2D （－1，3），3D （－1，－1）.。
八年级轴对称知识点讲解
八年级轴对称知识点讲解在初中数学中，轴对称是一种重要的几何概念，也是学生需要掌握的常识之一。
本文将为八年级学生详细讲解轴对称的概念、性质以及常见应用。
一、轴对称的概念轴对称是指一种对称方式，在平面内将图形分为两部分，其中一部分通过某个轴的旋转后可以恰好重合于另一部分，这个轴就被称为轴对称轴。
换言之，轴对称是指一种图形上下左右对称的状态。
二、轴对称的性质1. 坐标关系对于坐标系中的轴对称，其轴与坐标轴的交点处的坐标为(a, 0)或(0, a)，其中a为实数。
2. 图形特征轴对称有以下几个特征：对称轴上的点不变；对称轴上的任何点到图形内的对应点的距离相等；对称轴将图形分为两个完全相同的部分。
3. 作图方法作图一个图形的轴对称需要以下几个步骤：确定对称轴的位置和方向；确定图形中所有对称的点或线段；将每个点或线段依次沿对称轴复制，直至构成整个轴对称图形。
三、常见应用1. 绘制轴对称图形轴对称在绘制各种图形时都可以派上用场。
所以，掌握绘制轴对称图形的技能是至关重要的。
2. 模拟新图形通过所给轴对称图形和轴对称轴，可以模拟出新的图形。
比如说，拥有线段CB、直线AB和DE且过点A的轴对称轴，通过绘制一条ADE的边来构建新的轴对称图形。
3. 发现轴对称图形性质在解题时，掌握轴对称图形的性质可以给我们提供更多的思路。
比如说，对于轴对称图形来说，它们的对称轴和对称图形上的任何一个点的坐标都是对应的；轴对称图形的面积等于其对称轴两侧图形面积之和。
以上是对轴对称的概念、性质以及常见应用的详细讲解。
希望通过本文的阐述，能够帮助八年级学生更好地理解轴对称的知识点，掌握轴对称应用技巧，从而提高其数学成绩。
1轴对称知识点总结
1轴对称知识点总结一、一轴对称的定义一轴对称又称为轴对称，是指图形能够围绕一条轴线进行旋转180度后能够重合的性质。
这条轴线就是对称轴，对称轴通常是图形的中心线、对称中心或中轴线。
在一轴对称的情况下，图形的各个部分都能够找到对称的部分，使得图形旋转180度后能够完全重合。
二、一轴对称的性质1. 对称性：一轴对称的图形具有对称性，即图形的各个部分围绕对称轴都是对称的。
这意味着图形的每个点和对称轴的垂直距离都相等，从而构成了对称性。
2. 对称中心：一轴对称的图形通常存在一个对称中心，是使得图形能够围绕对称轴旋转180度后完全重合的中心点。
3. 对称轴：对称轴是一条直线，图形围绕这条直线旋转180度后能够重合。
对称轴通常是图形的特定中心线或中轴线。
三、一轴对称的应用一轴对称在日常生活和数学中有着广泛的应用，如下所示：1. 几何图形：很多几何图形都具有一轴对称的性质，如矩形、正方形、圆等，这些图形在设计和绘制中能够通过对称性来保证图形的整体均衡和美观。
2. 自然界：很多自然界中的事物也具有一轴对称的性质，如植物的叶子、花瓣、昆虫的翅膀等，这些事物通过对称性来保证它们的结构和功能的均衡与稳定。
3. 生活中的设计：在建筑、工艺品、装饰品等设计中，一轴对称常常被应用，通过对称性能够使得设计更加美观和有序。
四、一轴对称的图形1. 矩形：矩形是一种具有一轴对称性的几何图形，其对称轴通常为矩形的中心线，使得矩形能够在围绕该中心线旋转180度后重合。
2. 正方形：正方形也是一种具有一轴对称性的几何图形，其对称轴为正方形的对角线，使得正方形在围绕该对角线旋转180度后重合。
3. 圆形：圆形是一种具有一轴对称性的几何图形，其对称轴为圆心的某条直径，使得圆形围绕该直径旋转180度后重合。
五、一轴对称的判定方法判定一图形是否具有一轴对称性，常用的方法有如下几种：1. 观察法：通过观察图形的各个部分，看是否能够找到对称的部分，若找到对称的部分并能使得图形围绕某条轴线旋转180度后重合，则该图形具有一轴对称性。
关于轴对称的数学知识
关于轴对称的数学知识一、数与代数a、数与式1、有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上投一点则表示0(原点)，挑选出某一长度做为单位长度，规定直线上向右的方向为也已方向，就获得数轴。
②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点去则表示。
③如果两个数只有符号相同，那么我们表示其中一个数为另外一个数的相反数，也表示这两个数互为相反数。
在数轴上，则表示互为相反数的两个点，坐落于原点的两侧，并且与原点距离成正比。
④数轴上两个点则表示的数，右边的总比左边的大。
正数大于0，负数大于0，正数大于负数。
绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
有理数的运算：乘法：①同号相乘，挑相同的符号，把绝对值相乘。
②异号相乘，绝对值成正比时和为0;绝对值左右时，挑绝对值很大的数的符号，用很大的绝对值乘以较小的绝对值。
③一个数与0相乘维持不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相加，同号得正，异号得负，绝对值相加。
②任何数与0相加得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
②0不能作除数。
乘方：谋n个相同因数a的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n 叫做次数。
混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
2、实数无理数：无穷不循环小数叫做无理数平方根：①如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
②如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。
③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
④求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。
立方根：①如果一个数x的立方等同于a，那么这个数x就叫作a的立方根。
②正数的立方根就是正数、0的立方根就是0、负数的立方根就是负数。
认识轴对称知识点总结
认识轴对称知识点总结一、轴对称的定义轴对称是指一个几何图形相对于某条轴线对称，即图形的两侧关于轴线对称。
轴对称是一种基本的几何变换，它可以帮助我们理解和研究各种几何图形的性质，解决与几何图形相关的问题。
二、轴对称的性质1. 被轴对称的图形的对称轴上的点不动，对称轴的垂线上的点互为对称点。
2. 被轴对称的图形的对称轴上任意两点的对称点都在对称轴上。
3. 被轴对称的图形上的任意一点，与其对称点关于对称轴的距离相等。
三、轴对称的应用轴对称在几何学中有着广泛的应用。
在平面几何中，我们经常通过轴对称来研究图形的性质、判断图形的对称特征、构造具有对称性的图形等。
在日常生活中，轴对称也有很多实际的应用，比如建筑设计、工艺品制作、装饰设计等。
四、轴对称的判定方法1. 通过观察图形的性质来判断是否具有轴对称性。
2. 通过观察图形的对称性来判断是否具有轴对称性。
3. 通过对称图形的性质和定理来判断是否具有轴对称性。
五、轴对称的性质及定理1. 轴对称的图形的对称轴上的点不动定理：轴对称的图形的对称轴上的点不动，即对称轴上的任意一点都是自身的对称点。
2. 轴对称的图形的对称轴是垂直的定理：如果一个图形具有轴对称性，那么图形的对称轴一定是垂直的。
3. 被轴对称的图形的对称轴上任意两点的对称点都在对称轴上定理：对任意一点A在对称轴上，A的对称点B也在对称轴上。
4. 对称中心位置可以通过对称图形的性质来判断定理：对称中心位置是轴对称的图形的重要性质之一。
5. 被轴对称的图形上的任意一点，与其对称点关于对称轴的距离相等定理：被轴对称的图形上的任意一点，与其对称点关于对称轴的距禿相等。
六、轴对称的图形1. 线段线段是具有轴对称性的图形。
2. 三角形三角形也可以是轴对称的图形。
3. 正方形和矩形正方形和矩形也是轴对称的图形。
4. 圆形圆形也具有轴对称性。
七、轴对称的构造1. 利用尺规作图的方法来构造轴对称的图形。
2. 利用计算机绘图软件来构造轴对称的图形。
轴对称知识点总结学生
轴对称知识点总结学生一、什么是轴对称轴对称又称对称轴或镜像轴，是指一个图形或者物体，分别绕着一条线或者平面旋转180度后，形状不变，看起来就好像是对折在轴上一样。
这条线或者平面叫做轴对称轴。
二、轴对称的特点1. 图形的各个部分分别相互对称2. 对称轴是存在的，可以是直线，也可以是曲线3. 对称轴可以有一个或者多个4. 轴对称的图形和另一半镜像相同三、轴对称的图形分类1. 点的轴对称：固定在对称轴上的点，和他在对称轴的对称点组成轴对称的图形。
2. 直线的轴对称：直线与它本身关于对称轴对称3. 曲线的轴对称：曲线与它本身关于对称轴对称四、轴对称图形的判定方法1. 观察法：通过眼睛观察，看有没有对称的特点2. 对折法：将图形对折，看两边是否重合3. 角度法：利用形状的特点，通过角度的计算，确定对称关系五、轴对称线的性质1. 轴对称线上的任何点，相对于轴对称线对称2. 三角形的三个角平分线相交于一点，这个点是三角形的外心，也就是外心与顶点相连的线是一条轴对称线3. 三角形的中位线长相等，中线相等4. 顶点在轴对称线上的三角形是轴对称的5. 一个平行四边形的对角线互相平分，它的对角线就是轴对称线6. 正方形的对角线相等，互相平分，对角线是轴对称线7. 矩形的对角线相等，互相平分，对角线是轴对称线六、轴对称图形的应用1. 轴对称图形是美的2. 在艺术领域，轴对称图形被广泛应用3. 在建筑设计中，轴对称图形被广泛应用4. 在日常生活中，轴对称图形随处可见七、轴对称图形的图形变换1. 轴对称图形的旋转：围绕一个点旋转，形成一个新的图形2. 轴对称图形的平移：图形在一个方向上平移，形成一个新的图形3. 轴对称图形的放射：图形在一个点固定的情况下，从这个点向外放射，形成一个新的图形4. 轴对称图形的缩放：图形按比例大小缩放，形成一个新的图形八、轴对称图形的图形组合1. 轴对称图形的组合：将两个轴对称图形进行组合，形成一个新的图形2. 轴对称图形的分解：将一个轴对称图形分解为几个小的轴对称图形总结：轴对称图形具有明显的对称性，能够展现出很好的美感，在各个领域都有广泛的应用。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结一、轴对称1.轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形．注意：（1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段．（2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条．（3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形．3.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．4.轴对称和轴对称图形的区别与联系5.轴对称的性质：（1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等．（4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．二、线段垂直平分线的性质和判定1.线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．如下图所示，点P在线段AB 的垂直平分线上，则P A=PB.3.线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．如上图所示，若P A=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上三、尺规作图（线段的垂直平分线）1.作图步骤：（1）以A为圆心，以大于线段AB一半的长度画弧（2）再以B为圆心，以相同长度为半径画弧，交前弧于C、D两点（3）连接CD，直线CD即为线段AB的垂直平分线四、尺规作图（轴对称）1.轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的画法，步骤如下：（1）找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；（2）连接这对对应点；（3）画出对应点所连线段的垂直平分线．这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．注意：对于轴对称图形或两个图形成轴对称，它们的对应点有一个共同的特征——对应点所连的线段被对称轴垂直平分，这是我们画图形的对称轴的依据．2.在坐标系中画轴对称图形的方法：（1）计算——计算对称点的坐标；（2）描点——根据对称点的坐标描点；（3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形五、关于坐标轴对称的点的坐标1.关于坐标轴对称的点的坐标特点：（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）．2.已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1＝x2，y1＋y2＝0，则点P1，P2关于x轴对称；若x1＋x2＝0，y1＝y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立。
轴对称知识点总结讲解
轴对称知识点总结讲解一、基本概念1. 定义轴对称是指平面上的一图形能在某一条直线上旋转180°后仍然与原图形完全重合，这条直线称为轴线，而旋转180°的变换称为轴对称变换。
2. 轴对称图形根据轴对称的定义，我们可以知道，任意轴对称图形关于轴线对称后，都能与原图形重合。
常见的轴对称图形有：正方形、长方形、圆形、各种多边形等。
3. 轴对称线轴对称图形关于轴对称线的对称性可以从两个方面来考虑：一是图形上对称点的位置关系，二是图形上对称点间的距离关系。
二、性质1. 和轴对称相关的性质有哪些？轴对称图形的性质主要表现在对称性质上，轴对称图形的性质可以总结为以下几点：（1）轴对称图形的对称中心即为轴对称线；（2）轴对称图形上对称点的位置关系相互对称；（3）轴对称图形上对称点间的距离互相一致。
2. 轴对称图形的判定方法在进行几何问题的推导和解决中，常常需要判定一个图形是否为轴对称图形。
在平面几何中，我们可以用以下方法来判定一个图形是否为轴对称图形：（1）根据定义判定；（2）通过图形的性质和特点来判定；（3）通过观察对称性质来判定。
三、特殊图形1. 正方形正方形是最简单的轴对称图形之一，它具有多个轴对称线，其中包括对角线、中垂线和两条对边的中线。
2. 长方形长方形也是轴对称图形，在长方形中，对角线也是一条轴对称线，并且长方形具有更多的对称性质。
3. 圆形圆形是最具有轴对称性质的图形之一，圆形的轴对称线无数，且每一条直径都是圆形的轴对称线。
圆形的轴对称性质对于构图和解题有很多重要的应用，比如圆形的轴对称性质在圆锥曲线中有重要的应用。
四、应用1. 几何中的应用轴对称在几何中有广泛的应用，可以用来判断图形的性质、构造图形、解决几何问题等。
轴对称的性质和特点对于构造几何图形有很大的帮助，同时在解题过程中，也常常利用图形的轴对称性质来简化问题。
2. 艺术中的应用轴对称的概念也在艺术中有着重要的应用。
在美术创作中，轴对称的性质常常能够帮助艺术家构图，使画面更加和谐、对称。
轴对称知识点概念总结
轴对称知识点概念总结一、轴对称的概念轴对称是指平面上的任意一点到某条直线的距离等于它的对称点到同一条直线的距离。
这条直线就称为轴对称的轴线。
在轴对称的变换中，图形关于轴线对称，即通过某条直线进行对称变换后，两个图形完全重合。
轴对称变换是一种保持图形形状和大小不变的变换，即如果原图形关于轴对称，则对称后的图形大小、形状和位置都不变。
在平面几何中，轴对称是指通过一条直线，将一个图形对称折叠，并使得折叠后的两部分完全重合。
在三维空间中，轴对称是指通过一个平面，将一个立体图形对称折叠，并使得折叠后的两部分完全重合。
而对于更高维度的空间，轴对称的概念也有相应的推广。
二、轴对称的性质1. 图形经过轴对称变换后仍然保持不变，即大小、形状和位置都不变。
2. 轴对称的轴线可取任意直线，轴对称的性质不随轴线的选取而改变。
3. 轴对称是一种对称变换，它保持了图形的对称性质。
4. 轴对称变换是一种保角变换，保持了图形的内角和外角不变。
5. 如果一个图形关于一条直线轴对称，那么它关于这条直线的对称轴线的对称关系也是轴对称的。
6. 如果两个图形分别关于两条无交点的直线轴对称，那么这两个图形的对称关系也是轴对称的。
7. 如果两个图形分别关于同一条直线轴对称，那么它们之间的对称关系也是轴对称的。
轴对称的性质是轴对称变换在数学、物理和工程等领域中应用的基础，是轴对称图形和轴对称函数等概念的重要基础。
三、轴对称的应用1. 在几何学中，轴对称是通过对称折叠和对称变换等方法，研究图形的性质、构造和证明等问题的基本手段。
2. 在物理学中，轴对称是通过对称抽象和对称分析等方法，研究物理系统的对称性、守恒律和相互作用等问题的基本工具。
3. 在工程学中，轴对称是通过对称设计和对称加工等方法，研究零件的制造、组装和检测等问题的基本技术。
4. 在数学分析和代数中，轴对称是通过对称函数和对称方程等方法，研究函数的性质、解的性质和对称结构等问题的基本手段。
五年级数学知识点讲解：轴对称和平移.doc
2019长沙五年级数学知识点讲解：轴对称和平移【轴对称和平移知识点】
一个图形沿着某一条直线对折，能够与另;如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够;长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，圆有无数;等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，;①特点：轴对称图形的大小不变，但方向相反;;两个对称点到对称轴的距离相等;②画法：定点数格—找对称点—描图;一是找出图形上每条线段的端点;二是根据对称轴画出;三
1.轴对称：一个图形沿着某一条直线对折，能够与另一个图形重合。
如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴;
等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，等腰梯形有1条对称轴; 正n边形有n条对称轴。
(n≥3)
①特点：轴对称图形的大小不变，但方向相反;
两个对称点到对称轴的距离相等。
②画法：定点数格—找对称点—描图。
一是找出图形上每条线段的端点;二是根据对称轴画出每个端点的对称点;
三是依次连接这些对称点，得到轴对称图形的另一半。
2. 方向(上、下、左、右)
①两要素距离
②特点：平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变;
平移前后图形的对应线段平行且相等(或在同一直线上)。
③画法：定点数格—找对应点—描图。
一是找出图形的一个端点;二是根据平移的方向和距离画出这个端点的对应点; 三是根据图形的形状画出平移后的图形。
3.设计图案
一个简单的图形运用轴对称或平移的方法，可以设计出一幅美丽的图案。
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轴对称
【学习目标】
1. 认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.
2.了解轴对称以及轴对称图形的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形．
2．探索轴对称的基本性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．
【要点梳理】
要点一、轴对称图形
轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，
该直线就是它的对称轴 .
要点诠释：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
要点二、轴对称
1.轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形
关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对
应点，也叫做对称点 .
要点诠释：
轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等 .
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；
轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
要点三、轴对称与轴对称图形的性质
轴对称、轴对称图形的性质
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 .
要点诠释：（ 1）若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的
垂直平分线；
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分
线．【典型例题】
类型一、判断轴对称图形
1、（2016?邵阳）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）
A．B．C．
【思路点拨】我们将图中的图形分别沿着某条直线对折，则是轴对称图形，否则就不是. D．
看看图形的两边能否重合，若重合
【答案】 D；
【解析】轴对称图形即能找到对称轴，使对称轴两边的图形重合.
.
【总结升华】找对称轴要注意从不同的角度去观察，做到不重复、不遗漏
举一反三：
【变式 1】下列图形中，对称轴最少的对称图形是( )
【答案】A；
.
提示： A 一条对称轴， B 四条对称轴， C 五条对称轴，D三条对称
轴
【变式 2】在直线、角、线段、等边三角形四个图形中，对称轴最多的是，它有条对称轴；最少的是，它有条对称轴
【答案】直线、无数、角、1．
2、观察图形并判断照此规律从左到右第四个图形是（）
A. B. C. D.
【思路点拨】根据题意分析图形涂黑规律，求得结果，采用排除法判定正确选项．
【答案】 D；
【总结升华】本题考查学生根据图形，归纳、发现并运用规律的能力．注意结合图形解题的
思想．
举一反三：
【变式】将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“ B”，再把它铺平，你可见到（）A． B ．C．D．
【答案】 C.
类型二、轴对称或轴对称图形的应用
3、如图，将矩形纸片ABCD （图①）按如下步骤操作：（ 1）以过点 A 的直线为折痕折叠纸
片，使点 B 恰好落在 AD边上，折痕与 BC边交于点 E （如图②）；（ 2）以过点 E 的直线
为折痕折叠纸片，使点 A 落在 BC边上，折痕 EF 交 AD边于点 F （如图③）；
（3）将纸片收展平，那么∠AEF的度数为（）
A． 60°B． 67.5 °C． 72°D． 75°【答案】 B；
【解析】∠ AEF＝（ 180°－ 45°）÷ 2＝ 67.5 ° .
【总结升华】折叠所形成的图形是轴对称图形，对应角相等.
举一反三：
【变式 1】如图，△ ABC中， AB＝ BC，△ ABC沿 DE折叠后，点A 落在 BC边上的A处，若点
D 为 AB边的中点，∠ A＝ 70°，求∠ BD A的度数．
【答案】 100°；
∵AB＝ BC，
∴∠ A＝∠ C＝ 70°，∠ B＝ 40°
又∵ABC沿 DE折叠后，点A 落在 BC边上的A处，点 D 为 AB 边的中点，
∴BD＝ D A，∠ B＝∠ D A B＝ 40°，
∴∠ BD A＝ 180°－ 40°－ 40°＝ 100° .
【变式 2】将矩形 ABCD沿 AE折叠，得到如图所示图形 .若CED '＝56°,则∠AED的大小
是_______.
【答案】 62°；
4、如图，点 P 在∠ AOB 内， M 、 N 分别是点 P 关于 AO 、 BO 的对称点， MN 分别交
AO ， BO 于点 E、 F，若△ PEF 的周长等于 20cm，求 MN 的长．
【思路点拨】根据轴对称的性质可得ME=PE ， NF=PF，然后求出MN= △ PEF 的周长．【答案与解析】
解：∵ M 、 N 分别是点P 关于 AO 、BO 的对称点，
∴ME=PE ，NF=PF ，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF= △ PEF 的周长，
∵△ PEF 的周长等于 20cm，
∴MN=20cm ．
【总结升华】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，的角、线段都相等．对应对应。