空间向量及其运算测试卷试题.doc
1.1空间向量及其运算1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系
人教B 版（2019）选择性必修第一册过关斩将第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量{,,}a b c 是空间向量的一组基底，向量{,,}a b a b c +-是空间向量的另外一组基底，若一向量p 在基底{,,}a b c 下的坐标为(1,2,3)，则向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为（ ）A ．13,,322⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．133,,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭2．已知a =（2，﹣1，2），b =（x ，y ，6），a 与b 共线，则x ﹣y ＝（ ） A ．5B ．6C ．3D ．93．下列向量与向量()1,2,1=-a 共线的单位向量为（ ）A．11,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭B．11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C．1122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ D．1122⎛⎫⎪⎪⎝⎭4．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C 为线段AB 上一点且13ACAB =，则点C 的坐标为( ) A ．715,,222⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．3,3,28⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．107,1,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．573,,222⎛⎫-⎪⎝⎭5．向量()()2,4,,2,,2a x b y ==，若6a =，且a b ⊥，则x y +的值为（ ） A ．3-B ．1C ．3或1D ．3-或16．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-=，点P 是OC 上一点，则当PA PB ⋅取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,,222⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,,144⎛⎫⎪⎝⎭D ．()2,2,87．已知2(,2,0),(3,2,)a x b x x ==-，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ） A ．4x <-B ．40x -<<C ．04x <<D ．4x >8．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判定9．三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，1A P λ=11A B ，113C C C M =，若PN BM ⊥，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．23D ．3410．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则 （ ） A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==11．己知()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，若,,a b c 三向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（ ） A ．657B ．9C ．357D ．012．在空间直角坐标系中，A(1，1，-2)，B(1，2，-3)，C(-1，3，0)，D(x ，y ，z ) ，(x ，y ，z ∈R)，若四点A ，B ，C ，D 共面，则（ ） A ．2x +y +z =1B ．x +y +z =0C ．x -y +z =-4D ．x +y -z =013．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭14．已知向量()123a =，，，()246b =---，，，14c =，若()7a b c +⋅=，则a 与c 的夹角为（ ）A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒15．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD .已知11,AB AA ==E 为线段AB 上一个动点，则1D E CE +的最小值为（ ）A ．BC 1D ．2+16．在直三棱柱111ABC A B C -中，1,12BAC AB AC AA π∠====，已知G 和E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为（ ）A ．5⎫⎪⎪⎣⎭B ．5⎣C ．5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、填空题17．已知{,,}i j k 为单位正交基底，且3,232a i j k b i j k =-++=--，则向量2a b -的坐标是_________.18．已知空间向量(2,1,3)a =-，(1,4,2)b =--，(,5,5,)c λ=，若,,a b c 共面，则实数λ=______．19．已知空间向量()21,3,0a x x =+，()1,,3b y y =-，（其中x 、y R ∈），如果存在实数λ，使得a b λ=成立，则x y +=_____________.20．已知()cos ,1,sin a θθ=，()sin ,1,cos b θθ=，则向量a b +与a b -的夹角是__________.21．已知AB ＝(1，5，－2)，BC ＝(3，1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(1x -，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x y +=________．三、解答题22．已知空间中三点(2,0,2)A -，(1,1,2)B -，(3,0,4)C -，设a AB =，b AC =. （1）求向量a 与向量b 的夹角的余弦值； （2）若ka b +与2ka b -互相垂直，求实数k 的值.23．如图,直三棱柱111ABC A B C -,底面ABC 中,1CA CB ==,90BCA ∠=︒,棱12AA =,M 、N 分别是11A B 、1A A 的中点.（1）求BM 的长; （2）求11cos ,BA CB 的值; （3）求证:11A B C N ⊥.四、多选题24．（多选）已知(1,2,3),(2,3,4),(1,2,3)M N P --，若3PQ MN =且//PQ MN ，则Q 点的坐标可以为（ ） A ．(2,5,0) B ．(4,1,6)---C ．(3,4,1)D ．(3,2,5)---参考答案1．B 【分析】设向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为(,,)x y z ，则由已知可得23()()()()p a b c x a b y a b zc x y a x y b zc =++=++-+=++-+，从而可求出,,x y z 的值 【详解】设向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为(,,)x y z ，则23()()()()p a b c x a b y a b zc x y a x y b zc =++=++-+=++-+，所以1,2,3,x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得3,21,23,x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩故p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】此题考查空间向量基本定理的应用，属于基础题 2．D 【分析】利用两个向量共线的坐标表示列方程，解方程求得,x y 的值，进而求得x y -的值. 【详解】由于a 与b 共线，所以6212x y ==-，解得6,3x y ==-，所以9x y -=. 故选：D 【点睛】本小题主要考查两个空间向量共线的坐标表示，属于基础题. 3．C 【分析】根据一个向量共线的单位向量计算公式a a±，可得结果【详解】由||122a =++=， ∴与向量a 共线的单位向量为11,22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭或1122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题考查向量的单位向量，属基础题题. 4．C 【分析】C 为线段AB 上一点，且3|AC |=||AB |，可得13AC AB =，利用向量的坐标运算即可得出． 【详解】∵C 为线段AB 上一点，且3|AC |=||AB |，∴13AC AB =， ∴13OC OA AB =+=（4，1，3）+13（﹣2，﹣6，﹣2），=107133⎛⎫-⎪⎝⎭，，．故选C ． 【点睛】本题考查了向量共线定理、向量的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题． 5．D 【解析】22422440a b y x x y ⋅=⨯+⨯+⨯=++=，又2246a =+== ，所以解得43x y =⎧⎨=-⎩或41x y =-⎧⎨=⎩ ，所以1x y +=或3x y +=-，故选D. 6．A 【分析】根据三点共线，可得OP OC λ=，然后利用向量的减法坐标运算，分别求得,PA PB ，最后计算PA PB ⋅，经过化简观察，可得结果. 【详解】设(,,4)OP OC λλλλ==，则(1,2,24)PA λλλ=---- (2,1,44)PB λλλ=----则2211812818103PA PB λλλ⎛⎫⋅=--=-- ⎪⎝⎭ ∴当13λ=时，PA PB ⋅取最小值为-10， 此时点P 的坐标为114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，难点在于三点共线，审清题干，简单计算，属基础题. 7．A 【分析】根据a 与b 的夹角为钝角，则0a b <，再根据坐标关系建立不等式即可求解. 【详解】∵()2(,2,0)3,2,x x x λ≠-，∴a 与b 不共线， ∵a 与b 的夹角为钝角，∴0a b <，即3 2(2)0x x +-<，解得4x <-， 故选A. 【点睛】本题考查向量的夹角.注意向量数量积的坐标关系与向量平行的坐标关系的区别. 8．B 【分析】根据题意，求得向量AD 和BC 的坐标，再结合空间向量的数量积的运算，即可得到两直线的位置关系，得到答案. 【详解】由题意，点()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -， 可得()3,1,6AD =--，()2,0,1BC =， 又由()()2310610AD BC ⋅=⨯+-⨯+-⨯=， 所以AD BC ⊥，所以直线AD 与BC 垂直. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及空间向量的数量积的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．C 【分析】建立空间直角坐标系，求出,,,P B M N 坐标，进而求出,PN BM 坐标，由=0PN BM ⋅，即可求解. 【详解】如图，以AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -，则(),0,1P λ，11,,022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,0B ，20,1,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,122PN λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，21,13BM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1120223PN BM λ=-+-=⋅，即23λ=. 故选:C.【点睛】本题考查空间向量坐标运算，求出各点坐标是解题的关键，属于基础题. 10．B 【解析】∵点P (a ,1,c )在直线AB 上， ∴存在实数λ使得AB BP λ=， ∴()()()0,0,13,3,0,1,1a c λ-=- ， 化为()3,3,1(,,)a c λλλλ--=- ，∴3{31ac λλλλ-=-==- ,解得3{123a c λ=-==.本题选择B 选项.11．A 【分析】由条件可得,,a b c 共面，根据共面向量的基本定理，即可求出结论. 【详解】,,a b c 三向量不能构成空间的一个基底，,,a b c 共面，()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，存在唯一的实数对(,)x y ，使得c xa yb =+，274532x y x y x y λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩解得337177657x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩. 故选:A. 【点睛】本题考查空间向量共面的坐标关系，属于基础题. 12．A 【解析】(0,1,1)AB =-，(2,2,2)AC =-，(1,1,2)AD x y z =--+，因为,,,A B C D 四点共面，所以,,AB AC AD 共面，即存在,λμ使得AD AB AC λμ=+，即12{1222x y z μλμλμ-=--=++=-+，消去,λμ得21x y z ++=，故选A ．13．C 【分析】设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】 设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=， 即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q .故选：C. 【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 14．C 【解析】由题意可得14a =，56b =，且2b a =-，所以7a c -⋅=，cos ,a ca c a c ⋅==71142-=-，所以0,120a c =，选C. 【点睛】本题考查向量的数量积坐标运算与运用向量求夹角，但本题更重要的是要发现2b a =-的平行关系，就可以简化运算，否则要设c 坐标，待定系数运算求坐标，运算复杂了． 15．B 【分析】由已知条件建立如图所示的空间直角坐标系，(,0,0)(01)E t t ，则1D E CE +=的最小值问题转化为求平面直角坐标系tOu 中的一个动点(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和的最小值的问题，即转化为求平面直角坐标系tOu 中的一个动点(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和的最小值的问题，由图可知当M ，P ，N 三点共线时，(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和最小，从而可得答案 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则1(0,0,0),(1,1,0)A D C . ∵E 为线段AB 上一个动点， ∴设(,0,0)(01)E t t ，则1D E ==，CE =故问题转化为求1D E CE +=+的最小值问题，即转化为求平面直角坐标系tOu 中的一个动点(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和的最小值的问题，如图所示.由此可知，当M ，P ，N 三点共线时，()1min min ||D E CE MN +====故选：B. 【点睛】此题考查空间中两线段和最小问题，转化为平面问题解决，考查空间向量的应用，属于中档题 16．A 【分析】由已知建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设(0,,0),(,0,0)D y F x ，则11,,1,,1,22GD y EF x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由GD EF ⊥可得21x y +=，从而可得1||02DF y ⎫===<<⎪⎭，进而可求出结果 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则11,0,1,0,1,22G E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(0,,0),(,0,0)D y F x ，则11,,1,,1,22GD y EF x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵GD EF ⊥，∴0GD EF ⋅=，即11022x y --+=，即21x y +=， 又∵01x <<，∴0121y <-<， ∴102y <<.又1||02DF y ⎫===<<⎪⎭，∴当25y =时，min 5DF ==； 当0y =时，||1DF =；当12y =时，1||2DF =，故线段DF 的长度的取值范围为5⎫⎪⎪⎣⎭. 故选：A 【点睛】此题考查点、线、面间的距离计算，考查空间向量的应用，考查计算能力，属于基础题 17．(5,7,7)- 【分析】由3,232a i j k b i j k =-++=--直接计算2a b -，化简后可得其坐标 【详解】解：由3,232a i j k b i j k =-++=--，得2(3)2(232)a b i j k i j k -=-++---(3)(464)(4)(6)(34)577i j k i j k i i j j k k i j k =-++---=--++++=-++，则2(5,7,7)a b -=-. 故答案为：(5,7,7)- 【点睛】此题考查空间向量的坐标运算，属于基础题 18．4 【分析】利用空间向量共面的条件，设出实数x ，y ，使c xa yb =+，列出方程组，求出λ的值即可． 【详解】 解：向量a 、b 、c 共面，∴存在实数x ，y 使得c xa yb =+，即)(2,1,(,5,5)(1,4,23)y x λ=-+--，∴245325x y x y x y λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩；解得324x y λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩故答案为：4. 【点睛】本题考查了空间向量的共面问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是基础题目． 19．2 【分析】利用向量的坐标运算得出关于x 、y 、λ的方程组，解出即可得出x y +的值. 【详解】()21,3,0a x x =+，()1,,3b y y =-，且a b λ=，所以()21303x x y y λλλ⎧+=⎪=⎨⎪=-⎩，解得131x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，因此，2x y +=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查空间向量共线的坐标运算，建立方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 20．2π【分析】利用向量坐标运算表示出a b +与a b -，根据数量积运算法则可求得()()0a b a b +⋅-=，即两向量垂直，得到夹角. 【详解】()sin cos ,2,sin cos a b θθθθ+=++，()cos sin ,0,sin cos a b θθθθ-=--()()2222cos sin sin cos 0a b a b θθθθ∴+⋅-=-+-=()()a b a b ∴+⊥-，即a b +与a b -的夹角为2π故答案为2π 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过向量的坐标运算求得两向量的数量积，属于基础题. 21．257【分析】由题意，可得,,AB BC BP AB BP BC ⊥⊥⊥，利用向量的数量积的运算公式列出方程组，求得,,x y z 的值，即可求解. 【详解】由题意，可得,,AB BC BP AB BP BC ⊥⊥⊥，利用向量的数量积的运算公式，可得()352015603130z x y x y z ⎧+-=⎪-++=⎨⎪-+-=⎩解得407x =，157y =-，4z =，∴401525777x y +=-=.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中根据题设条件和线面位置关系，利用向量的数量积的运算公式，列出方程组求得,,x y z 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 22．（1）10-；（2）52k =-或2k =.【分析】（1）先写出a ，b ，再根据空间向量的夹角公式直接求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示直接求解即可得答案. 【详解】（1）∵()1,1,0a AB ==，()1,0,2b AC ==-， 设a 与b 的夹角为θ，∴cos 10|a ba b θ⋅===∣；（2）∵()1,,2ka b k k +=-，()22,,4ka b k k -=+-且()()2ka b ka b +⊥-，∴2(1)(2)80k k k -++-=，即：52k =-或2k =. 【点睛】本题考查空间向量的夹角的计算，空间向量的垂直求参数，考查运算能力，是基础题.23．（123）证明见解析 【分析】（1）以C 为原点,建立空间直角坐标系C xyz -,依题意得()0,1,0B ,()1,0,1M ,根据空间两点间距离公式: d =即可求得BM 的长.（2）求出1BA 和1CB ,根据111111cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅=⋅,即可求得11cos ,BA CB 的值.（3）求出1A B 和1C N ,11A B C N ⋅的值,根据向量垂直与数量积的关系a b ⊥时,=0a b ⋅,即可求证11A B C N ⊥. 【详解】（1）以C 为原点,建立空间直角坐标系C xyz -.如图:依题意得()0,1,0B ，()1,0,1M ，根据空间两点间距离公式: d =∴ (1BM ==（2）依题意得:()11,0,2A ,()0,1,0B ,()0,0,0C ,()10,1,2B . ∴()11,1,2BA =-,()10,1,2CB =,113BA CB ⋅=,16BA =15CB =，∴11111130cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅==⋅. （3）依题意得()10,0,2C ,11,,222N ⎛⎫⎪⎝⎭∴()11,1,2A B =--,111,,022C N ⎛⎫= ⎪⎝⎭.∴11110022A B C N ⋅=-++=∴11A B C N ⊥【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算和平面向量数量积的坐标运算,熟练掌握向量的基本知识是解本题关键,对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题. 24．AB 【分析】首先设(),,Q x y z ，根据题意得到3PQ MN =或3PQ MN =-，从而得到132333x y z +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩或132333x y z +=-⎧⎪-=-⎨⎪+=-⎩，再解方程组即可得到答案. 【详解】设(),,Q x y z ，∴(1,2,3)PQ x y z =+-+. 因为(1,2,3),(2,3,4)M N ，所以(1,1,1)MN =. 因为||3||PQ MN =且//PQ MN ， 所以3PQ MN =或3PQ MN =-，所以(1,2,3)3(1,1,1)x y z +-+=或(1,2,3)3(1,1,1)x y z +-+=-，132333x y z +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩或132333x y z +=-⎧⎪-=-⎨⎪+=-⎩ 解得250x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或416x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩故Q 点的坐标为(2,5,0)或(4,1,6)---. 故选：AB 【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算，属于简单题.。
空间向量的坐标运算(人教A版)(含答案)
空间向量的坐标运算（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知点的坐标分别为与，则向量的相反向量的坐标是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示2.已知空间直角坐标系中且，则点的坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示3.若向量，，则向量的坐标是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示4.已知向量，，则=( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示5.已知向量是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下的坐标为，那么向量在基底下的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义6.已知为空间的一组单位正交基底，而是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义7.已知三点不共线，点为平面外的一点，则下列条件中，能使得平面成立的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量8.已知，，，若，，三向量共面，则实数=( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量9.已知空间三点的坐标为，，，若三点共线，则=( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量10.已知点，点和点，则三角形的边上的中线长为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量模的运算。
1.1.1 空间向量及其加减运算(学生版)
1.1.1 空间向量及其加减运算一、单选题1．空间四边形 OABC 中，OA AB CB +-=（ ）A ．OCB ．OAC ．ABD ．AC2．已知 D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ）A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-=D ．0BD BE FC --=3．空间四边形ABCD 中，若E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，则下列各式中成立的是（ ）A ．0EB BF EH GH +++= B ．0EB FC EH GE +++= C ．0EF FG EH GH +++=D ．0EF FB CG GH -++=4．在直三棱柱中，若，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列命题中是真命题的是（ ）A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若a b =，则,a b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量,AB CD ，满足AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD > D ．若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则//AB CD6．在平行六面体ABCD- -A′B′C′D′中，各条棱所在的向量中，模与向量A B ''的模相等的向量有（ ）A ．7个B ．3个C ．5个D ．6个7．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则BA CB CD +-等于（ ）A ．DBB ．ADC ．DAD ．AC8．在三棱柱111ABC A B C -中，若1,,AB a AC b AA c===，则1C B =（ ） A ．a b c +-B ．a b c --+C ．a b c -+-D ．a b c --9．已知P 是正六边形ABCDEF 外一点，O 为正六边形ABCDEF 的中心，则PA PB PC PD PE PF +++++等于（ ）A ．POB ．3POC ．6POD ．010．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，若CA a =，CB b =，1CC c =，则1A B 等于（ ）A ．a b c +-B ．a b c -+C ．b a c --D ．b a c -+11．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算结果为向量1AC 的是（ ）①1()AB BC CC ++；②11111()AA A D DC ++；③111()AB BB BC ++；④11111()AA A B BC ++． A ．①③B ．②④C ．③④D ．①②③④12．在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ）A ．一个球B ．一个圆C ．半圆D ．一个点二、填空题13．直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1BA =__________． 14．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是1AA 的中点，已知AB a =，AD b =，1AA c=，用a ，b ，c 表示CM ，则CM =______.15．在正方体中，给出以下向量表达式：①111()A D A A AB --；②111()BC BB DC +-； ③1()AD AB DD --；④1111()B D A A DD ++. 其中能够化简为向量1BD 的是________． 16．给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共面的；②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量； ③空间向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++；④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________.17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，长、宽、高分别为3AB =，2AD =，11AA =，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：（1）单位向量共有______________个；（2______________个； （3）与11A B 相等的向量共有______________个；（4）1CC 的相反向量共有______________个．18．对于空间中的非零向量AB ，BC ，AC ，有下列各式：①AB BC AC +=； ②AB AC BC -=； ③AB BC AC +=； ④AB AC BC -=.其中一定不成立的是________（填序号）．三、解答题19．如图，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的向量分别为123,,r r r ，求OD ．20．如图所示，棱长为1的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1.（1）在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，列举出与向量AB 相等的向量；（2）在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，列举出向量AC 的相反向量； （3）若E 是BB 1的中点，列举出与向量AE 平行的向量.21．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式：（1）1AB BA +；（2）111AB BC C C ++； （3）AM BM CB --；（4）112AA AB AM +-．22．如图，在空间四边形SABC 中，,AC BS 为其对角线，O 为ABC 的重心．（1）证明：0OA OB OC ++=； （2）证明：1()3SO SA SB SC =++．。
4 空间向量及其运算的坐标表示(原卷版)
专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示【玩前必备】知识点一 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{}i ，j ，k ，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .(2)相关概念：O 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 知识点二 空间一点的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA →，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →＝x i ＋y j ＋z k .在单位正交基底 {i ，j ，k }下与向量 OA →对应的有序实数组(x ，y ，z )叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作A (x ，y ，z )，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标． 知识点三 空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA →＝a .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k .有序实数组(x ，y ，z )叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记作a ＝(x ，y ，z )． 知识点四 空间向量的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，有知识点五 空间向量的平行、垂直及模、夹角设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则有当b ≠0时，a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0；|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23. 知识点五 空间两点间的距离公式设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)是空间中任意两点， 则P 1P 2＝|P 1P 2→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2.【玩转题型】【题型1 求空间点的坐标】【例1】（2020秋•济源期末）棱长为2个单位的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以D 为坐标原点．分别以射线DA ，DC ，DD 1的方向为正方向，建立x 轴，y 轴，z 轴，则B 1C 与BC 1的交点E 的坐标为 ． 【变式1-1】（2020秋•安徽期末）空间直角坐标系中，点P （2，﹣1，3）关于点M （﹣1，2，3）的对称点Q 的坐标为（ ） A ．（4，1，1）B ．（﹣4，5，3）C ．（4，﹣3，1）D ．（﹣5，3，4）【变式1-2】（2020秋•铜陵期末）空间直角坐标系中，已知点P （3，﹣2，﹣5），点Q 与点P 关于平面xOz 对称，则点Q 的坐标是（ ） A ．（﹣3，2，5）B ．（3，﹣2，5）C ．（3，2，﹣5）D ．（﹣3，﹣2，﹣5）【变式1-3】（2020春•孝感期中）如图三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是边长为2菱形，∠CBB 1＝60°，BC 1交B 1C 于点O ，AO ⊥侧面BB 1C 1C ，且△AB 1C 为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，则点A 1的坐标为（ ）A ．(−1，√3，1)B ．(−√3，1，1)C ．(−1，2，√3)D ．(−2，1，√3)【题型2 空间向量运算的坐标表示】【例2】（2020秋•宿迁期末）在空间直角坐标系O ﹣xzy 中，已知点A （3，﹣1，0），向量AB →=(4，10，−6)，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．（1，﹣6，3）B ．（﹣1，6，﹣3）C ．（5，4，﹣3）D ．（2，5，﹣3）【变式2-1】（2020春•绵阳期末）在空间直角坐标系中，若A （1，1，0），12AB →=（3，0，1），则点B 的坐标为（ ）A ．（﹣5，1，﹣2）B ．（7，1，﹣2）C ．（3，0，1）D ．（7，1，2）【变式2-2】（2020秋•河西区月考）已知O （0，0，0），A （3，﹣2，4），B （0，5，﹣1），若OC →=23AB →，则C的坐标是（ ） A ．（2，−143，103） B ．（﹣2，143，−103） C ．（2，−143，−103）D ．（﹣2，−143，103）【变式2-3】（2019秋•越秀区期末）已知点A （1，2，0）和向量a →=（3，4，﹣12），若AB →=2a →，则点B 的坐标是 ．【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】【例3】（2020秋•阎良区期末）已知向量a →=(1，0，1)，b →=(0，1，1)，c →=（1，1，0），则(a →+b →)⋅(c →−b →)=（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．13D ．0【变式3-1】（2020秋•梅州期末）若向量a →=(0，1，−1)，b →=(1，1，0)，且(a →+λb →)⊥a →，则实数λ的值是（ ） A ．0B ．1C ．﹣2D ．﹣1【变式3-2】（2020秋•北林区校级期末）若△ABC 中，∠C ＝90°，A （1，2，﹣3k ），B （﹣2，1，0），C （4，0，﹣2k ），则k 的值为（ ） A ．√10B ．−√10C ．2√5D ．±√10【变式3-3】（2020秋•阳泉期末）已知向量a →=（2，4，﹣2），b →=（﹣1，0，2），c →=（x ，2，﹣1）． （1）若a →∥c →，求|c →|；（2）若b →⊥c →，求（a →−c →）•（2b →+c →）的值． 【题型4 空间向量的模与两点间的距离】【例4】（2020秋•隆德县期末）若A （﹣1，1，4），B （1，2，3），C （3，0，3），D 为BC 的中点，|AD |＝ ．【变式4-1】（2021春•普陀区校级期末）设空间向量a →=（﹣1，2，m ），b →=（2，n ，﹣4），若a →∥b →，则|a →−b →|＝ ．【变式4-2】（2020秋•仁寿县校级期中）如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，A 1C 的中点E 到AB 的中点F 的距离为（ ）A ．2√2B ．√2C ．2D ．1【变式4-3】（2020秋•成都期末）在空间直角坐标系Oxyz 中，点M （0，m ，0）到点P （1，0，2）和点Q （1，﹣3，1）的距离相等，则实数m 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2【题型5 空间向量夹角问题】【例5】（2021春•奉化区期末）已知空间中三点A （﹣2，0，2），B （﹣1，1，2），C （﹣3，0，4），设a →=AB →，b →=AC →．则向量a →与向量b →的夹角的余弦值 ．【变式5-1】（2020秋•荔湾区期末）已知空间向量a →=（1，0，1），b →=（1，1，n ），且a →•b →=3，则向量a →与b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【变式5-2】（2020秋•渭滨区期末）已知向量a →=（3，1，2），b →=（﹣1，3，t ），且a →与b →夹角的余弦值为27，则t 的取值可以是（ ）A ．2B ．﹣2C ．4D ．±2【变式5-3】（2020秋•辽宁期末）已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），O 是坐标原点，OA →+λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为（ ） A ．±√66B ．√66C ．−√66D ．±√6【题型6 空间向量的平行与垂直】【例6】（2020秋•历下区校级月考）已知空间三点A （0，2，3），B （﹣2，1，6），C （1，﹣1，5）．若点D 在直线AC 上，且BD →⊥AC →，求点D 的坐标；【变式6-1】（2020秋•福建期中）已知空间三点A （﹣1，2，1），B （0，1，﹣2），C （﹣3，0，2）若向量3AB →−AC →与向量AB →+kAC →垂直，求实数k 的值．【变式6-2】（2020秋•河西区期末）已知a →=(1，5，−1)，b →=(−2，3，5)． （1）若(ka →+b →)∥(a →−3b →)，求实数k 的值 （2）若(ka →+b →)⊥(a →−3b →)，求实数k 的值．【变式6-3】（2020春•杭州期中）已知a →=（1，2，3），b →=（1，0，1），c →=a →−2b →，d →=m a →−b →，求实数m 的值，使得 （1）c →⊥d →； （2）c →∥d →．【课后检测】一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2020秋•宁波期末）设OA →=（1，1，﹣2），OB →=（3，2，8），OC →=（0，1，0），则线段AB 的中点P 到点C 的距离为（ ） A ．√532B ．√132C ．√534D ．5342．（3分）（2020秋•慈溪市期末）在空间直角坐标系Oxyz 中，若点M （a 2﹣4a ，b +3，2c +1）关于y 轴的一个对称点M ′的坐标为（4，﹣2，15），则a +b +c 的值（ ） A ．等于10B ．等于0C ．等于﹣11D ．不确定3．（3分）（2020秋•太原期末）已知a →=（1﹣t ，1，0），b →=（2，t ，t ），则|b →−a →|的最小值是（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．√54．（3分）（2020秋•太原期末）已知a →=（1，﹣1，2），b →=（﹣1，m ，n ），若a →=λb →，则实数m ，n 的值分别是（ ） A ．1，﹣2B ．﹣1，﹣2C ．1，2D ．﹣1，25．（3分）（2020秋•临沂期末）若向量a →=（0，1，﹣1），b →=（1，1，0），且（a →+λb →）⊥a →，则实数λ的值是（ ） A ．﹣1B ．0C ．﹣2D ．16．（3分）（2020秋•历下区校级期中）向量a →=（﹣1，2，﹣2），b →=（k ，4，5）夹角的余弦值为√26，则实数k 为（ ） A ．3B ．﹣11C ．﹣3或11D ．3或﹣117．（3分）（2020秋•德城区校级期中）已知空间向量a →=（3，0，1），b →=（﹣2，1，n ），c →=（1，2，3）且（a →−c →）•b →=2，则a →与b →的夹角的余弦值为（ ） A ．√21021B ．−√21021C ．√721D ．−√7218．（3分）（2020秋•鼓楼区校级期末）已知动点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1（不含端点）上．设D 1P D 1B=λ，若∠APC 为钝角，则实数λ的取值范围为（ ）A ．（0，13）B ．（0，12）C ．（13，1）D ．（12，1）二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2020秋•三明期末）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝5，AD ＝4，AA 1＝3，以直线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则（ ）A ．点B 1的坐标为（4，5，3）B ．点C 1关于点B 对称的点为（5，8，﹣3） C ．点A 关于直线BD 1对称的点为（0，5，3） D ．点C 关于平面ABB 1A 1对称的点为（8，5，0）10．（4分）已知向量a →=（1，2，3），b →=（3，0，﹣1），c →=（﹣1，5，﹣3），下列等式中正确的是（ ）A ．（a →•b →）c →=b →•c →B ．（a →+b →）•c →=a →•（b →+c →）C ．（a →+b →+c →）2=a →2+b →2+c →2D ．|a →+b →+c →|＝|a →−b →−c →|11．（4分）（2020秋•海珠区期末）已知直线l 1、l 2的方向向量分别是AB →=（2，4，x ），CD →=（2，y ，2），若|AB →|＝6且l 1⊥l 2，则x +y 的值可以是（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．312．（4分）（2020秋•长沙月考）设动点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1上（含内部），且D 1P →=λD 1B →，当∠APC 为锐角时，实数λ可能的取值是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2020秋•南开区校级月考）已知点P （1，0，2），Q （1，﹣3，1），点M 在y 轴上，且M 到P 与到Q 的距离相等，则M 的坐标是 ．14．（4分）（2020秋•兴庆区校级期末）已知a →=（2，﹣3，1），b →=（2，0，3），c →=（1，0，2），则a →+6b →−8c →= ．15．（4分）（2020秋•辽宁期中）已知向量a →=（1，﹣3，2），b →=（﹣2，1，1），点A （﹣3，﹣1，4），B （﹣2，﹣2，2）．则|2a →+3b →|＝ ；在直线AB 上，存在一点E ，使得OE →⊥b →，则点E 的坐标为 ．16．（4分）（2020秋•和平区校级月考）已知直线l 的方向向量为m →=（1，√2，﹣1），若点P （﹣1，1，﹣1）为直线l 外一点，A （4，1，﹣2）为直线l 上一点，则P 到直线l 上的距离为 ． 四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2020秋•启东市校级期中）已知A （3，1，3），B （1，5，0），求： （1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到A ，B 两点距离相等的点P （x ，y ，z ）的坐标x ，y ，z 满足的条件．18．（6分）（2020秋•台江区校级期中）已知a →=（2，3，﹣1），b →=（﹣1，0，3），c →=（0，1，2）． （1）求a →•（2b →−3c →）的值；（2）已知b →⊥d →，c →⊥d →，|a →|＝|d →|，求d →．19．（8分）（2020秋•隆德县期末）已知a →=(2，−3，1)，b →=(2，0，3)，c →=(0，0，m)． （1）若a →+2b →−3c →=(6，−3，1)，求实数m 的值： （2）若m ＝2，求a →⋅(b →+c →)的值．20．（8分）（2020秋•吉林期中）已知向量a →=(2，1，−2)，c →=(−1，0，1)，若向量b →同时满足下列三个条件：①a →⋅b →=−1；②|b →|=3；③b →与c →垂直． （1）求向量b →的坐标；（2）若向量b →与向量d →=(1，−12，1)共线，求向量a →−b →与2b →+3c →夹角的余弦值．21．（8分）（2020春•东阳市校级月考）如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面边长为√2． （1）设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1； （2）设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．22．（8分）（2020秋•台江区校级期中）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，AB =√3，BC ＝1，P A ＝2，E 为PD 的中点． （1）求cos ＜AC →，PB →＞的值；（2）在侧面P AB 内找一点N ，使NE ⊥平面P AC ，并求出N 到AB 和AP 的距离．。
1.1空间向量及其运算-高二数学上学期习题测试(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
高二数学上学期同步课堂习题测试 （人教A 版2019选择性必修第一册）1.1空间向量及其运算一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -++ B ．1122++a b c C ．1122--+a b c D ．1122-+a b c 【答案】A 【分析】利用向量运算的三角形法则､平行四边形法则表示出BM 即可. 【详解】11BM BB B M =+， 12c BD =+，()12c BA BC =++， 1122a b c =-++，()12c a b =+-+ 故选：A.2．与向量()1,3,2a =-平行的一个向量的坐标是( )A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(-1,-3,2)C ．13-,,-122⎛⎫⎪⎝⎭ D ．-3,-)【答案】C 【分析】根据向量共线定理判定即可． 【详解】对于A ，由于()11,1,11,3,333⎛⎫=⎪⎝⎭，所以与向量a 不共线，故A 不正确． 对于B ，由题意得向量()1,3,2--与向量a 不共线，故B 不正确．对于C ，由于()131,,11,3,2222⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，所以与向量a 共线，故C 正确．对于D ，由题意得向量,-3,-与向量a 不共线，故D 不正确． 故选C ．3．如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（ ）A ．111442a b c -- B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +- D ．111442a b c -++ 【答案】D 【分析】利用空间向量的加减运算以及数乘运算求解即可. 【详解】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点， 且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++.故选：D.4．设向量a ，b ，c 是空间基底，x y z R ∈，， ，有下面四个命题： 1p ：若0xa yb zc ++= ，那么0x y z === ；2p ：若0a l ⋅= ，0b l ⋅= ，则a b ；3p ：a b c +- ，a b c -+，a b c ++也是空间基底；4p ：若1111n x a y b z c =++，2222n x a y b z c =++，则121212120n n x x y y z z ⊥⇔++= .其中真命题为A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p【答案】A 【详解】由题意得，1:p 若0xa yb zc ++=，根据向量相等可得0x y z ===是正确的；2:p 若0,0a l b l ⋅=⋅=，当0l =时，a 与b 不一定是共线向量，所以不正确；3:p 中，由三个不共面的向量，可以作为一个孔家基底，而向量,,a b c a b c a b c +--+++ 是三个不共面的向量，所以可以作为一个空间的基底，所以是正确的；4:p 中，只有当向量,,a b c 是三个两两垂直的单位向量时，才能使得12n n ⊥⇔1212120x x y y z z ++=成立，所以不正确，故选A ．5．如图所示，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ==＝，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN （ ）A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +- D ．221332a b c -+- 【答案】B 【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可． 【详解】12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++故选：B6．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ） A ．38B ．14C ．34D ．18【答案】B 【分析】由向量的加法运算结合数量积运算得出11AB BC ⋅，进而由数量积公式得出AB1与BC1所成角的余弦值. 【详解】令底面边长为1，则高也为1，1111,AB AB BB BC BC CC =+=+()()1111112111cos12012AB BC AB BB BC CC AB BC BB CC ∴⋅=+⋅+=⋅+⋅=⨯⨯︒+=又112AB BC ==1111cos ,4AB BC ∴==故选：B ．7．已知向量AB ，AC ，BC 满足=AB AC BC +，则（ ）A ．AB ＝AC ＋BCB ．AB ＝－AC －BCC ．AC 与BC 同向D ．AC 与CB 同向【答案】D 【分析】利用向量加法的意义，判断AC 与CB 同向.【详解】由向量加法的定义AB ＝AC ＋CB ，故A 、B 错误由=AB AC BC AC CB +=+，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC 与CB 同向．故D 正确，C 错误. 故选：D.8．若a b ，均为非零向量，则“··a b a b =”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量数量积和向量共线的定义可得选项． 【详解】解：··cos 1a b a b a b ⇒=＝〈，〉，所以a 与b 的夹角为0， 所以a 与b 共线，反之不成立，因为当a 与b 共线反向时，··a b a b =-． 所以“··a b a b =”是“a 与b 共线”的充分不必要条件， 故选：A ．9．已知非零向量,a b 不平行，且a b =，则a b +与a b -之间的关系是（ ）A ．垂直B ．同向共线C ．反向共线D ．以上都可能 【答案】A 【分析】作a b +与a b -的数量积即可. 【详解】因为()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以a b +与a b -垂直． 故选: A10．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量(),,0n a b R λμλμλμ=+∈≠，则（ ）A ． //m nB ．m n ⊥C ．,m n 既不平行也不垂直D ．以上三种情况都可能 【答案】B 【分析】由条件可以得到0m n ⋅=，即可选出答案. 【详解】因为()0m n m a b m a m b λμλμ⋅=⋅+=⋅+⋅=，所以m n ⊥ 故选：B 二、多选题11．(多选)下列命题中，真命题是（ ） A ．向量AB 与BA 的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等 【答案】ABC 【分析】根据向量的概念逐一判断即可. 【详解】共线的单位向量方向相同或相反，只有D 错误． 故选：ABC12．已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，则下列四式中其中正确的有（ ） A ．AB CB AC -=B ．AC AB B C CC ''''=++C ．AA CC ''=D ．AB BB BC C C AC '''+++=【答案】ABC 【分析】利用空间向量的加法和减法法则运算即可．【详解】作出平行六面体ABCD A B C D ''''-的图像如图，可得AB CB AB BC AC -=+=，则A 正确；AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=，则B 正确；C 显然正确；AB BB BC C C AB BC AC ''+++=+=，则D 不正确.综上，正确的有ABC故选：ABC13．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是（ ） A ．()()2211111113A A A D A B A B ++=B ．()11110AC A B A A ⋅-=C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是120° D ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为1AB AA AD ⋅⋅【答案】ABC 【分析】由向量的加法运算判断A ；利用向量的减法运算以及向量垂直的性质判断B ；利用1ACD △是等边三角形以及向量夹角的定义判断C ；先判断10AB AA ⋅=再判断D ． 【详解】由向量的加法得到：111111A A D A AC A B ++=，221113AC A B =，∴()()2211111113A A A D A B A B ++=，所以A 正确；1111A B A A AB -=，11AB AC ⊥，∴110AC AB ⋅=，即()11110AC A B A A ⋅-=，故B 正确； 1ACD 是等边三角形，160AD C ∴∠=︒，又11//A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量1AD 与向量1A B 的夹角是120︒，故C 正确；1AB AA ⊥，∴10AB AA ⋅=，故1||0AB AA AD ⋅⋅=，因此D 不正确．故选：ABC ．14．已知正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ，则下列结论中正确的有（ ）A ．OA OD +与11OB OC +是一对相反向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量C ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量 D ．1OA OA -与1OC OC -是一对相反向量 【答案】ACD 【分析】利用向量加法、减法的几何意义即可求解. 【详解】∵O 为正方体的中心，∵1OA OC =-，1OD OB =-，故()11OA OD OB OC +=-+， 同理可得()11OB OC OA OD +=-+，故()1111OA OB OC OD OA OB OC OD +++=-+++，∵A 、C 正确；∵OB OC CB -=，1111OA O A D D =-，∵OB OC -与11OA OD -是两个相等的向量，∵B 不正确； ∵11OA OA AA =-，111OC OC C C AA -==-， ∵()11OA OA OC OC -=--，∵D 正确. 故选：ACD 三、填空题15．已知点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ），若A ，B ，C 三点共线，则λ=__． 【答案】1 【分析】利用坐标表示向量，由向量共线列方程求出λ的值． 【详解】由题意，点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ）， 所以(1,1,1),(1,1,2)AB BC λ=---=---,若A ，B ，C 三点共线，则//AB BC ，即112111λ---==---，解得1λ=. 故答案为：1． 16．给出下列命题：∵若||||a b =，则a b =或a ＝－b ；∵若向量a 是向量b 的相反向量，则||||a b =；∵在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，11AC AC =； ∵若空间向量,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =．其中正确命题的序号是________． 【答案】∵∵∵ 【分析】根据向量模长、相反向量、相等向量的定义判断即可. 【详解】对于∵，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故∵错；对于∵，根据相反向量的定义知||||a b =，故∵正确；对于∵，根据相等向量的定义知，11AC AC =，故∵正确； 对于∵，根据相等向量的定义知∵正确． 故答案为：∵∵∵17．设1e →，2e →是空间两个不共线的向量，已知122AB e k e →→→=+，123CB e e →→→=+，122CD e e →→→=-，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 【答案】－8 【分析】根据向量共线定理求解即可. 【详解】121212(3)(2)4BD BC CD e e e e e e →→→→→→→→→=+=--+-=-又A ，B ，D 三点共线，所以AB BD λ→→=，即121224e k e e e λ→→→→⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以：24k λλ=⎧⎨=-⎩，解得8k =-. 故答案为：－818．已知2360a b a b ===︒，，， ，则|23|a b -=____________．【分析】根据2222||()23234129a b a b a a b b -=-=-⋅+和向量数量积运算可得答案． 【详解】解：222222232341294912cos ||1(606)a b a b a a b b a b a b -=-=-⋅+=⨯+⨯-⨯⋅⋅︒= ，所以|23|a b -=．19．如图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA '相等的向量有______；与向量A B ''相反的向量有______.(要求写出所有适合条件的向量)【答案】BB '，CC '，DD ' B A ''，BA ，CD ，C D '' 【分析】根据平行六面体的定义和向量的概念进行求解【详解】解：因为多面体ABCDA′B′C′D′为平行六面体，所以与向量AA'相等的向量有BB'，CC'，DD'，与向量A B''相反的向量有B A''，BA，CD，C D''故答案为：BB'，CC'，DD'；B A''，BA，CD，C D''20．在正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC、AB的中点，设AB a=，AC b=，AD c=，用a，b，c表示向量DM=______，异面直线DM与CN所成角的余弦值为______.【答案】1(2)2a b c+-16【分析】画出对应的正四面体，设棱长均为1,由向量的三角形加法法则和平行四边形加法法则得出答案;(2) 设异面直线DM与CN所成角为θ,将,DM CN用基底a，b，c表示,代入公式计算得出答案.【详解】画出对应的正四面体，设棱长均为1,则(1) 11()(2)22DM DA AM c a b a b c =+=-++=+-. (2)由(1) 1(2)2DM a b c =+-，又11(2)22CN AN AC a b a b =-=-=-. 又12a b a c b c ⋅=⋅=⋅=.设异面直线DM 与CN 所成角为θ,则|22|cos |2||2|DM CN DM CN θ⋅==⋅2111212222412336a ab a b b ac b c-+--+-⋅+⋅--⋅+⋅===. 故答案为:1(2)2a b c +-;1621．如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AA AD ==，160BAD DAA ∠=∠=︒，130BAA ∠=︒，N 为11A D 上一点，且111A N A D λ=．若BD AN ⊥，则λ的值为__；若M 为棱1DD 的中点，//BM平面1AB N ，则λ的值为__．1 23【分析】∵BD AN ⊥，不妨取11AB AA AD ===，利用111()()0BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλ=-+=+--=，即可得出λ．∵连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，可得//BM EF ．根据E 点为1A B 的中点，可得F 点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．利用平行线的性质即可得出． 【详解】解：∵BD AN ⊥，不妨取11AB AA AD ===，∴11111()()cos60cos30cos60022BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλλλλ=-+=+--=︒+-︒-︒==．1λ∴=．∵连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，//BM EF ∴．E 点为1A B 的中点，F ∴点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．11//AA DD ，1A F FM =．112AA MP D P ∴==．∴11112A N AA ND D P==， ∴11123A N A D =．则23λ=．1，23．22．已知直线l 的一个方向向量(2,3,5)d =，平面α的一个法向量(4,,)u m n =-，若l α⊥，则m =______ ，n =______．【答案】-6 -10【分析】根据直线与平面垂直的条件为直线的方向向量与平面的法向量平行，再结合两个向量平行的条件，求得结果. 【详解】l α⊥，//d u ，且(2,3,5)d =，(4,,)u m n =-，4235m n-∴==，解得6m =-，10n =-. 故答案为：∵6-；∵10-. 四、解答题23．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，AC =90ACD ∠=︒，沿着它的对角线AC 将ACD△折起，使AB 与CD 成60︒角，求此时B ，D 之间的距离．【分析】根据AB 与CD 成60︒角，得到,60BA CD =︒<>或,120BA CD =︒<>，然后由BD BA AC CD =++，两边平方求解. 【详解】因为90ACD ∠=︒，所以0AC CD ⋅=，0AC BA ⋅=． 因为AB 与CD 成60︒角，所以,60BA CD =︒<>或,120BA CD =︒<>．因为BD BA AC CD =++，所以2222||||||||222BD BA AC CD BA AC BA CD AC CD =+++⋅+⋅+⋅，所以2222||2(2)20222cos ,0108cos ,BD BA CD BA CD =++++⨯⨯⨯+=+<><>．当,60BA CD =︒<>时，2||108cos ,108cos 6014BD BA CD =+=+⨯︒=<>，即||14BD =；当,120BA CD =︒<>时，2||108cos ,108cos1206BD BA CD =+=+⨯︒=<>，即||6BD =综上，可知B ，D ．24．已知正四棱锥P ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值． （1）OQ PQ yPC zPA =++；（2）PA xPO yPQ PD =++【答案】（1）12y z ==-；（2）x ＝2，y ＝－2． 【分析】（1）由平行四边形法则以及三角形法则得出1122OQ PQ PC PA =--，从而得出,y z ； （2）由平行四边形法则得出2,2PA PO PC PC PQ PD =-=-，进而得出22PA PO PQ PD =-+，从而得出,x y 的值. 【详解】（1）如图，()111222OQ PQ PO PQ PA PC PQ PC PA =-=-+=⋅--12y z ∴==-（2）∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点2,2PA PC PO PC PD PQ ∴+=+=2,2PA PO PC PC PQ PD ∴=-=-22PA PO PQ PD ∴=-+2,2x y ∴==-25．如图，已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间的9个点，且,,OE kOA OF kOB OH kOD ===， ,,0,0AC AD mAB EG EH mEF k m =+=+≠≠，求证：（1）,,,A B C D 四点共面，,,,E F G H 四点共面；（2）AC EG ∥；（3）OG kOC =.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）利用共面向量定理证明四点共面；（2）利用向量加减及数运算找到AC EG 、的关系，证明AC EG ∥；（3）利用向量加减及数运算可得.【详解】证明：（1）,0AC AD mAB m =+≠，∵A 、B 、C 、D 四点共面．,0EG EH mEF m =+≠，∵E 、F 、G 、H 四点共面．（2）()()()EF OH OE OF OE OD OA OB OA EG EH m m k km =+=-+-=-+-(),//k AD kmAB k AD mAB k AC AC EG =+=+=∴.（3）()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+=.26．如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法证明：（1）E ，F ，G ，H 四点共面;（2）BD //平面EFGH ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由共面向量定理得证.（2）用线面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图所示，连接BG，则EG=EB+BG=EB+12(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．（2）因为EH=AH-AE=12AD-12AB=12(AD-AB)=12BD，且E，H，B，D四点不共线，所以EH∵BD．又EH∵平面EFGH，BD∵平面EFGH，所以BD∵平面EFGH．。
数学高考复习空间向量及其运算专题训练(含答案)
数学2019届高考复习空间向量及其运算专题训练（含答案）空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，下面是空间向量及其运算专题训练，请考生及时练习。
一、选择题1.以下四个命题中正确的是().A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B.若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a+b，b+c，c+a}构成空间向量的另一组基底C.ABC为直角三角形的充要条件是=0D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若a+b、b+c、c+a为共面向量，则a+b=(b+c)+(c+a)，(1-)a=(-1)b+(+)c，，不可能同时为1，设1，则a=b+c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾. 答案 B2.若向量a=(1,1，x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，满足条件(c-a)(2b)=-2，则x= ().A.-4B.-2C.4D.2解析 a=(1,1，x)，b=(1,2,1)，c=(1,1,1)，c-a=(0,0,1-x)，2b=(2,4,2).(c-a)(2b)=2(1-x)=-2，x=2.答案 D3.若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是().A.{a，a+b，a-b}B.{b，a+b，a-b}C.{c，a+b，a-b}D.{a+b，a-b，a+2b}解析若c、a+b、a-b共面，则c=(a+b)+m(a-b)=(+m)a+(-m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a+b，a-b可构成空间向量的一组基底.答案 C4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，则cos〈，〉的值为().A.0B.C. D.解析设=a，=b，=c，由已知条件〈a，b〉=〈a，c〉=，且|b|=|c|，=a(c-b)=ac-ab=|a||c|-|a||b|=0，cos〈，〉=0.答案 A5.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是().A.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b+cD.a-b+c解析 =+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c.答案 A.如图，在大小为45的二面角A-EF-D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.B.C.1D.解析 =++，||2=||2+||2+||2+2+2+2=1+1+1-=3-，故||=.答案 D二、填空题R，向量，且，则解析 .答案8. 在空间四边形ABCD中，++=________.解析如图，设=a，=b，=c，++=a(c-b)+b(a-c)+c(b-a)=0.答案 0.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，(++)2=32;(-)=0;向量与向量的夹角是60正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为||.其中正确命题的序号是________.解析由，，，得(++)2=3()2，故正确;中-=，由于AB1A1C，故正确;中A1B与AD1两异面直线所成角为60，但与的夹角为120，故不正确;中||=0.故也不正确.答案10.如图，空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，OAC=45，OAB=60，则OA与BC所成角的余弦值等于________. 解析设=a，=b，=c.OA与BC所成的角为，=a(c-b)=ac-ab=a(a+)-a(a+)=a2+a-a2-a=24-16.cos ===.答案三、解答题.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足=(++).(1)判断、、三个向量是否共面;(2)判断点M是否在平面ABC内.解 (1)由已知++=3 ，即=+=--，，，共面.(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内..把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长;(2)折起后EOF的大小.如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O-xyz，则A(0，-a,0)，B(a,0,0)，C0，a,0)，D0,0，a)，E0，-a，a)，F(a，a,0).(1)||2=2+2+2=a2，|EF|=a.(2)=，=，=0a++a0=-，||=，||=，cos〈，〉==-，EOF=120..如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GMGA=13.求证：B、G、N三点共线.证明设=a，=b，=c，则=-a+(a+b+c)=-a+b+c，=-a+b+c=.∥，即B、G、N三点共线..如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)(2)(3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.解设=a，=b，=c.则|a|=|b|=|c|=1，〈a，b〉=〈b，c〉=〈c，a〉=60，(1)==c-a，=-a，=b-c，=(-a)=a2-ac=，(2)=(c-a)(b-c)=(bc-ab-c2+ac)=-;(3)=++=a+b-a+c-b=-a+b+c，||2=a2+b2+c2-ab+bc-ca=，则||=.(4)=b+c，=+=-b+a，cos〈，〉==-，由于异面直线所成角的范围是(0，90]，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.空间向量及其运算专题训练及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得优异的成绩。
1.1.1空间向量及其加减运算同步练习
1.1.1空间向量及其加减运算同步练习一、单项选择题1 .空间四边形OABC中,W L +AB-CB=< )A. OCB. OAC. A§D. AC【答案】A【解析】根据向量的加法、减法法那么,得方+而-丽=砺_函=历+觉=反.应选A.2 .己知D, E, F分别是aABC的边AB, BC, CA的中点,那么()A. AD + BE + CF=OB. BD-CF + DF = Oc. AD+CE-CF =6D.BD-BE-FC =6【答案】A【解析】•.•而=瓦,,病+分后=而+诟=方后=左,得而+砺+万;二.,或A5+ 卢+ C尸=4尸+.尸="应选A.3 .空间四边形ABC.中,假设E, F, G, H分别为AB, BC, CD, ZM边上的中点,那么以下各式中成立的是 ()A. EB+BF + EH+GH=6B. EB + FC + EH+GE =6c. ~EF+FG+EH+GH =6D.EF-FB+CG+GH =6【答案】B【解析】如图由题意得用+左=赤+而=育,而+历= 377,易证四边形"GH为平行四边形,故而+丽？=6应选B.4 .在直三棱柱中,假设31 = 1 丽=否,cq=c,那么奉=〔〕A・Q+I-G B. q—否+C C. -a + » + c D. -a+S-c【答案】D【解析】A^B = A}A + A]B l = —eg +GM — G4 = -CC1 +CB - CA = -c+b —ci,应选D.5 .以下命题中是真命题的是〔〕A.分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线,那么这两个向量不是共面向量B.假设|矶=同,那么无5的长度相等而方向相同或相反C.假设向量瓯函,满足|四且AB与前同向,那么血〉而D.假设两个非零向量血与丽满足荏+①=0,那么福〃前【答案】D【解析】由于空间任两向量平移之后可共面,所以空间任意两向量均共而,选项A错误；由于|4 = |可仅表示不与B的模相等,与方向无关,选项5错误：由于空间向量不研究大小关系,只能对向量的长度进行比拟,因此也就没有1月＞6这种写法,选项C错误：•;通+①=6,・・・福=—函,,而与丽共线,故而〃访,选项.正确.应选D.6 .在平行六面体ABCD--ABCD中,各条棱所在的向量中,模与向量痔的模相等的向量有〔〕A. 7个B. 3个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】画出平行六面体结构如以下图所示所以与H9的模相等的向量有肮不,无反而,CD,DC,W,ZTb共7个.应选A7 .空间任意四个点A、B、C、D,那么丽+在一曲等于〔〕A. ~DBB. ADC. DAD. AC【答案】c【解析】如图zU + CB-COnCZ + OCnO/C应选C.8 .在三棱柱ABC-A5G中,假设A月=£,4j=反4<=3,那么G^=〔〕A・a + h - c B・a — b + c C・—a+b — c D・.一 b - c【答案】D【解析】如下图：根据向量线性运算的加法法那么有./=£4 + 4乂 + 4月=—〃—〔：+4,整理顺序得：C月=4一〃—2应选D9,P是正六边形A8COEE外一点,.为正六边形A8COEE的中央,那么尸A + P8 + PC + PO + P石+尸产等于〔〕【答案】c【解析】l^ + l^ + PC + l^b + PE + PF = 6Pd + (OA + OB + OC + OD + OE + OF) = 6PO.应选c10 .如图,直三棱柱ABC -AMG 中,假设cX = £, cB = I ；,co =c ＞那么还等于〔〕【答案】C【解析】丽=而一丽=〔屈一夕〕一直,・・・菊=西=2,二质=B —应选c.11 .如下图,在正方体A8C .-44Gq 中,以下各式中运算结果为向量4G 的是〔〕(^)(AB + BC) + CC [：②(明+4Z)]) + /)G ： (AB + 881) +AG ；④(AAj+A£) + AG ・【答案】D【解析】对于①,原式=A C+CC ； = AC ；,符合题意,对于②,原式=AZ X+AG =A C ］,符合题意对于③,原式= A8I+8C = AC ；,符合题意.对于④,原式= A3|+4C ； = AC ；,符合题意.综上所述.A. POB. 3P6 D.d A ・ a + h-cD ・ b-a + cA.①③B. @@C.③④ D . CD@③④C. 6PO B.a应选D.12 .在空间假设把平行于同一平而且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是〔〕A. 一个球B. 一个圆C.半圆D. 一个点【答案】B【解析】平行于同一平面的所有非零向量是共面向量,把它们的起点放在同一点,那么终点在同一平面内,又这些向量的长度相等,那么终点到起点的距离为定值.故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是一个圆.应选3.二、填空题13 .直三棱柱ABC —A筋G中,假设CA = d,CB=6,CC[=^ ,那么朋|=.【答案】a—b +c【解析】直三棱柱ABC —A心G中,假设c4 = qc月= 6,CC； = 1BA^ =BA + AA i =CA-CB + CCi =a-b+c故填〃一〃十,14 .在正方体ABC.—中,点M是HA1的中点,丽=Z,AD = b » A\=c,用Z,/；,2表示函,那么函=.___ _ 1【答案】CM =-a-b+-c2【解析】-CM =CB + BA + AM =-BC-AB + Mf •又・.・M是A4 的中点,/. AA/= ；A4；, 乙CM ——BC — AB 4—, •； AB = ci,AD—b > AAy = c, : .CM ——a — b H—c ,故填2 2CM = _a _ b + _ c .215 .在正方体以3C力-月6GP中,给出以下向量表达式：①〔4.；-m〕-A月：②西+竭〕-DC：③〔A D-A Q〕-DD；：④区〞+4小十.〞.其中能够化简为向量8a的是_________ .【答案】①②【解析】①中,〔A.；一=②中,〔B〔j+BB；〕 - D£； = BC； - DC = BD；；③中,〔Ab-AB〕-DD； = BD-D*BD：：④中,〔而'+而+函=而+函=瓦帝国.故填①②16 .给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共而的：②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量：③空间向量的加法满足结合律：〔〃+5〕+5="+0+^〕：④首尾相接的假设干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.请将正确的说法题号填在横线上：.【答案】①©©【解析】①中,两个向量共起点,与两向量终点共有3个点,那么3点共面,可知两向量共而,①正确：②中,两个相等向量需大小相等,方向相同,②错误；③中,空间向量加法满足结合律,③正确：④中,由向量加法的三角形法那么可知④正确.故填①③④17 .如图,在长方体A8CO — A4G2中,长、宽、高分别为48 = 3, AD = 2, M = 1»以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：〔1〕单位向量共有个；〔2〕模为"的向量共有个；〔3〕与4区相等的向量共有个;〔4〕eq.的相反向量共有个.Dx GA B【答案】(1)8： (2) 8： (3) 3： (4) 4.【解析】(1)由于长方体的高为1,所以长方体的4条高所对应的向量分别为4乂,BB；, B岛 cc r cQ,西,印,共8个向量,都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为、回,故模为6的向量有, A A 4.以,BC；CB,共8个.(3)与向量AR相等的所有向量(除它自身)有AR D C D G,共3个.(4)向量eq.的相反向量为A A4A C Q,〃力,共4个.故填(1) 8； (2) 8； (3) 3； (4) 4.18 .对于空间中的非零向量而,BC,AC,有以下各式：®AB + BC = AC^ ®AB-AC = BCi③网+|明=1码：④网码=|罔.其中一定不成立的是________ (填序号).【答案】②【解析】根据空间向量的加减法运算,对于①而+沅二/恒成立：对于③当而,或方向相同时,有口回+|比卜|才4；对于④当人后,衣方向相同且|而上时,^-I|/I5|-|AC|=|BC|,对于②由向量减法可知而-/=屈,所以②一定不成立.故填②三、解做题19 .如图,己知一点.到平行四边形A8C.的三个顶点A,B, C的向量分别为小号不,求功.DO【解析】由于而= OC + C.,CD = BA = OA-OB所以而= 4 + 4—5.20 .如下图,棱长为1的正三棱柱A8C-A/1G.〔1〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出与向量AB相等的向量: 〔2〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出向量4?的相反向量：〔3〕假设E是3所的中点,列举出与向量A百平行的向量.【解析】〔1〕由正三棱柱的结构特征知,与向量A月相等的向量只有AR：〔2〕向量就的相反向量为C4G4.〔3〕诲是与AE平行的向量.21 .如下图,在三棱柱ABC-45G中,M是8片的中点,化简以下各式：〔1〕万+砒；〔2〕 4月+ 4G+GC；⑶戒-的-屈；〔4〕A4〕+ AB-AM .【解析】(1) AB + B\= A\.(2)4+照+束=隔+照+汞=4d⑶ Mf-BM-CB = AM+MB + BC = AC-(4) ^A4j +AB-AM = BM + AB +MA = AB +BM +AM = O .22.如图,在空间四边形S48c中,AC,BS为其对角线,.为3c的重心.(1)证实：OA + OB + OC = 0^(2)证实：SO = L(SX + SB +元).S【解析】〔1〕由于.为△A5C的重心,所以〕=_.〔砺+ *〕①,OB=--〔BA + BC〕②,OC=-1〔CA + CB〕③.©+②+③可得9+砺+配=」印+硝」〔丽+硝」〔而+阚=0,即砺+元=0.〔2〕由于例=玄 +而®,SO = SB + BO ®^SO = SC + CO⑥,由〔1〕知〕+砺 + 反=0,所以④+⑤+⑥可得3而=〔玄+而〕+ 〔况+旃〕+ 〔豆+初〕=中+况+豆,即SO = ；〔SZ + S8 +豆〕.。
空间向量及其运算(精讲)(原卷版)
1.1 空间向量及其运算（精讲）考点一 空间向量的线性运算【例1-1】（2022·湖南）如图，从长方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两点作为向量的起点和终点：(1)写出所有与AB 相等的向量；(2)写出1AA 的相反向量．【例1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，M 是对角线1AC 中点，化简下列表达式：(1)1AA CB -；(2)11111AB BC C D ++；(3)1111222AD AB A A +-.【例1-3】（2022·全国·高二课时练习）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=（ ）A ．52B ．2C ．32D ．116【一隅三反】1．（2022·四川）如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，点M 为A C ''与B D ''的交点，若A B a =''，A D b =''，A A c ='，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）.A ．1122a b c -+- B ．1122a b c ++ C ．1122a b c -+ D ．1122a b c --+ 2（2022·江苏）已知空间四边形ABCO 中，OA a =，OB b =，OC c =，点N 在BC 上，且2CN NB =，M 为OA 中点，则MN 等于（ ）A ．121233a b c -+B ．121233a b c -++C ．111232a b c +-D ．121233a b c -+- 3．（2022·云南玉溪）如图，在三棱锥O ABC -中，点E 在OA 上，满足2OE EA =，点F 为BC 的中点，记,,OA OB OC 分别为,,a b c ，则EF =（ ）A ．121232a b c -+- B ．211322a b c -++ C ．121232a b c -+ D ．211322a b c --4．（2022·全国·高二课时练习）根据如图的平行六面体ABCD A B C D ''''-，化简下列各式：(1)AB BB D A D D BC ''+'-+-'；(2)AC AC AD AA '-+'-.考点二 空间向量的共线问题【例2】（2022·湖南）已知向量a ，b ，c 不共面，453AB a b c =++，23AC a b c =++，675AD a b c =++．求证：B ，C ，D 三点共线．【一隅三反】1．（2022·湖南）如图，已知M ，N 分别为四面体A －BCD 的面BCD 与面ACD 的重心，G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3. 求证：B ，G ，N 三点共线．2．（2022·江苏）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 在11A D 上，且112A E ED =，F 在对角线A 1C 上，且12.3A F FC =若1,,AB A b c a D AA ===.（1）用,,a b c 表示EB .（2）求证：E ，F ，B 三点共线.3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在11A D 上，且112A E ED =，点F 在体对角线1AC 上，且123A F FC =．求证：E ，F ，B 三点共线．考点三 空间向量的共面问题【例3-1】（2022·全国·高二）下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（ ）A ．OA OB OC OP ++=-B ．OA OB OC OP ++= C ．2OA OB OC OP ++=D ．3OA OB OC OP ++=【例3-2】（2022·江西南昌）若{},,a b c 构成空间向量的一组基底，则下列向量不共面的是（ ） A ．2b c +，3b ，2b c -B ．a b +，2a b c +-，cC ．32a b +，3c a -，2c -D ．2a ，a b -，2b a +【例3-3】（2022·全国·高二）已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若54BD PA PB PC λ=-+，则λ=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【一隅三反】1．（2022·全国·高二）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定P ，A ，B ，C 四点共面的是（ ）A ．OP OA OB OC =++B ．2OP OA OB OC =-- C ．111532OP OA OB OC =++ D ．111333OP OA OB OC =++2（2022·江苏常州）对于空间任意一点O ，若111236OP OA OB OC =++，则A ，B ，C ，P 四点（ ） A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．与O 点位置有关3．（2022·全国·高二课时练习）已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若64BD PA PB PC λ=-+，则λ=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-4．（2022·全国·高三专题练习）有下列说法:∶若p xa yb =+，则p 与a ，b 共面；∶若p 与a ，b 共面，则p =x a +y b ；∶若MP =x MA +y MB ，则P ，M ，A ，B 共面；∶若P ，M ，A ，B 共面，则MP =x MA +y MB .其中正确的是（ ）A ．∶∶∶∶B ．∶∶∶C ．∶∶D ．∶∶考点四 空间向量的数量积【例4-1】（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，（1）用,,a b c 表示BM ；（2）求对角线1AC 的长；（3）求1cos ,AB AC 〈〉【例4-2】（2022·全国·高二课时练习）如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AA AD ==，160DAB A AD ∠=∠=︒，130BAA ∠=︒，N 为11A D 上一点，且111A N A D λ=，点M 棱11D C 上，且11112D M D C =.(1)用1AA ，AD ，AB 表示BM ；(2)若BD AN ⊥，求λ；(3)若23λ=，求证：//BM 平面1ANB . 【例4-3】（2022·河南省杞县）正四面体A BCD -的棱长为4，空间中的动点P 满足22PB PC +=则AP PD ⋅的取值范围为（ ）A ．423,423⎡-+⎣B ．2,32⎡⎤⎣⎦C ．432,42⎡-⎣D ．[]14,2-【一隅三反】 1．（2022·全国·高二课时练习）已知单位正方体ABCD A B C D ''''-，求下列各式的值：(1)AA BC ⋅'； (2)BD AC ⋅'； (3)BC AC '⋅； (4)BD BA ⋅； (5)BB BD ''⋅； (6)A A BD ''⋅.2．（2022·福建省连城县一中学）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱1AA 的长度为4，且11120A AB A AD ︒∠=∠=.用向量法求:(1)1BD 的长;(2)直线1BD 与AC 所成角的余弦值.3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在三棱锥A BCD -中，,,DA DB DC 两两垂直，且2DB DC DA ===，E 为BC 的中点．（1）证明：AE BC ⊥；（2）求直线AE 与DC 所成角的余弦值．4．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，CB AB ⊥，AB BC a ==，PA b =．(1)确定PC 在平面ABC 上的投影向量，并求⋅PC AB ；(2)确定PC 在AB 上的投影向量，并求⋅PC AB ．考点五 空间向量的概念辨析【例5】（2022·全国·高二课时练习）下列命题为真命题的是（ ）A ．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若a b =，则a ､b 的长度相等且方向相同C ．若向量AB ､CD 满足AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD >D ．若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则AB CD ∥.【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）A ．零向量没有方向B ．空间向量不可以平行移动C ．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D ．同向且等长的有向线段表示同一向量2．（2021·重庆南开中学高二阶段练习）给出下列命题：∶两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；∶若空间向量,a b 满足a b =，则a b =；∶在正方体1111ABCD A B C D -中，必有11AC AC =；∶若空间向量,,m n p 满足m n =，n p =，则m p =．其中正确的个数为（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．13．（2021·福建）给出下列命题∶空间中所有的单位向量都相等；∶方向相反的两个向量是相反向量；∶若,a b 满足a b >，且,a b 同向，则a b >；∶零向量的方向是任意的；∶对于任意向量,a b ，必有a b a b +≤+．其中正确命题的序号为（ ）A ．∶∶∶B ．∶C ．∶∶D ．∶∶。
高中试卷-1.1 空间向量及其运算(精讲)(含答案)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！1.1 空间向量及其运算（精讲）考点一 概念的辨析【例1】（2020·全国高二课时练习）下列命题中，假命题是（）A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等【答案】D【解析】A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.C.零向量：模长为0的向量.真命题.D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.故选：D.【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：①若向量,a b r r 共线，则,a b r r 所在的直线平行；②若向量,a b r r 所在的直线是异面直线，则,a b r r一定不共面；③若三个向量,a b c r r r ，两两共面，则,a b c r r r ，三个向量一定也共面；④已知三个向量,a b c r r r ，，则空间任意一个向量p r 总可以唯一表示为p xa yb zc =++r r r r.其中正确命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于③：若三个向量,,a b c r r r 两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于④：根据空间向量的基本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，所以选A2.（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：①若a r 、b r 共线，则a r 、b r 所在的直线平行；②若a r 、b r 所在的直线是异面直线，则a r 、b r 一定不共面；③若a r 、b r 、c r 三向量两两共面，则a r 、b r 、c r 三向量一定也共面；④已知三向量a r 、b r 、c r ，则空间任意一个向量p u r 总可以唯一表示为p xa yb zc =++u r r r r .其中正确命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】①若a r 、b r 共线，则a r 、b r 所在的直线平行或重合；所以①错；②因为向量是可以自由移动的量，因此即使a r 、b r 所在的直线是异面直线，a r 、b r 也可以共面；所以②错；③若a r 、b r 、c r 三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此a r 、b r 、c r三向量不一定共面；所以③错；④若三向量a r 、b r 、c r 共面，若向量p u r 不在该平面内，则向量p u r 不能表示为p xa yb zc =++u r r r r ，所以④错.故选：A.考法二 空间向量的线性运算【例2】2020·江西赣州.高二期中（理））在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF uuu r 等于（ ）A ．1223EF AC AB AD ®®®®=+-B ．112223EF AC AB AD ®®®®=--+C ．112223EF AC AB AD ®®®®=-+D ．112223EF AC AB AD ®®®®=-+-【答案】B【解析】在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，所以EF EB BA AF®®®®=++1223AB AC AB AD ®®®®æö=--+ç÷èø112223AC AB AD ®®®=--+，即112223EF AC AB AD ®®®®=--+.故选：B.【一隅三反】1．（2020·南昌市八一中学）如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===uuu r r uuu r r uuu r r，且2OM MA =，BN NC =，则MN =uuuu r（ ）A ．221332a b c ++r r r B ．111222a b c +-r r r C ．211322a b c -++r r r D ．121232a b c -+r r r 【答案】C 【解析】因为MN ON OM =-uuuu r uuu r uuuu r ，又因为()()2211,3322a OM OA ON OB OC c b =+===+uuuu r uuu r r uuu r uuu r uuu r r r，所以211322MN a b c =-++uuuu r r r r .故选：C 2．（2020·宝山.上海交大附中高二期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==uuu r r uuu r r ,1AA c =uuur r ，则与BM uuuu r 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++r r r B ．1122a b c --+r r r C ．1122a b c -+r r r D ．1122-++r r r a b c 【答案】D 【解析】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+uuuu r uuur uuuur 11112AA B D =+uuur uuuur ()1111112AA B A A D =++uuur uuuu r uuuur ()112AA AB AD =+-+uuur uuu r uuu r 因为,AB a AD b ==uuu r r uuu r r ,1AA c =uuur r ，则()112AA AB AD +-+uuur uuu r uuu r 1122a b c =-++r r r 即1122BM a b c =-++uuuu r r r r ，故选：D.3．（2019·张家口市宣化第一中学高二月考）如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD uuu r +12（BC uuu r -BD uuu r ）等于（ ）A ．AD uuu r B ．FA uuu r C ．AF uuu rD ．EFuuu r 【答案】C 【解析】BC uuu r -BD uuu r ＝DC uuur ，11()22BC BD DC DF -==uuu r uuu r uuu r uuu r ，∴AD uuu r +12（BC uuu r -BD uuu r ）AD DF AF =+=uuu r uuu r uuu r ．故选C ．考点三 空间向量的共面问题【例3】（2020·全国高二）在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是（）A ．OM OA OB OC =--uuuu r uuu r uuu r uuu r B ．111532OM OA OB OC =++uuuu r uuu r uuu r uuu r C ．0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu u r r D ．0OM OA OB OC +++=uuuu r uuu r uuu r uuu r r 【答案】C 【解析】对于A 选项，由于11111--=-¹，所以不能得出,,,M A B C 共面.对于B 选项，由于1111532++¹，所以不能得出,,,M A B C 共面.对于C 选项，由于MA MB MC =--uuu r uuu r uuu u r ，则,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r 为共面向量，所以,,,M A B C 共面.对于D 选项，由0OM OA OB OC +++=uuuu r uuu r uuu r uuu r r 得OM OA OB OC =---uuuu r uuu r uuu r uuu r，而11131---=-¹，所以不能得出,,,M A B C 共面.故选：C 【一隅三反】1．（2020·全国高二）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++uuu v uuu v uuu v uuu v ，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______．【答案】18【解析】P ，A ，B ，C 四点共面，且3148OP OA OB OC t =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，31148t ++=，解得18t =.故答案为: 182．（2020·全国高二）已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有1133OM xOA OB OC =++uuuu v uuu v uuu v uuu v ，则x ＝________.【答案】13【解析】已知1133OM xOA OB OC =++uuuu v uuu v uuu v uuu v 且M ，A ，B ，C 四点共面，则11133x ++= ，解得x=133．（2019·随州市第一中学高二期中）空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD uuu r uuu r uuu r uuu r =--，则实数x 的值为（ ）A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A【解析】因为空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点P 都有5133PA PB xPC PD uuu r uuu r uuu r uuu r =--，所以51133x --=，解得13x =.故选A 4．（2020·全国高二课时练习）已知平行四边形ABCD 从平面AC 外一点O 引向量．,OE k OA OF k OB ®®®®==，,OG k OC OH k OD ®®®®==．求证：四点E ，F ，G ，H 共面【答案】证明见解析【解析】∵,OE k OA OF k OB ®®®®==；∴||OE OF k OA OB==；EF //AB ，且EF ＝|k |AB ；同理HG //DC ，且HG ＝|k |DC ，AB ＝DC ；∴EF //HG ，且EF ＝HG ；∴四边形EFGH 为平行四边形；∴四点E ，F ，G ，H 共面.考点四 空间向量的数量积【例4】（2020·全国高二课时练习）已知平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.（1）求AC ′的长；（如图所示）（2）求AC ¢uuuu r 与AC uuu r 的夹角的余弦值．【答案】（1；（2【解析】（1）可得AC ¢uuuu r ＝'AC CC +uuu r uuuu r ＝'AB AD AA ++uuu r uuu r uuur ，2AC ¢uuuu r ＝2AB AD AA ¢++uuu r uuu r uuur ＝22AB AD AA ¢++uuu r uuu r uuur +2（AB AD AB AA AD AA ¢¢×+×+×uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur ）＝42+32+52+2（4×3×0+4×1153522´+´´）＝85故AC ′的长等于AC ¢uuuu r＝（2）由（1）可知AC ¢uuuu r ＝AB AD AA ¢++uuu r uuu r uuur ，AC ¢uuuu r＝故AC AC ¢×uuuu r uuu r ＝（AB AD AA ¢++uuu r uuu r uuur ）×（AB AD +uuu r uuu r ）＝222AB AB AD AD AA AB AA AD ¢¢+×++×+×uuu ruuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r ＝2211424303545322+´´´++´´+´´＝852又AC uuu r ＝＝5故AC ¢uuuu r 与ACuuu r的夹角的余弦值＝AC AC AC AC ¢×¢×uuuu r uuu r uuuu r uuu r ＝=【一隅三反】1．（2019·宁夏贺兰县景博中学高二月考（理））平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量1AB,AD,AA uuu r uuu r uuuu r 两两的夹角均为60°,且|AB uuu r |=1,|AD uuu r |=2,|1AA uuuu r |=3,则|1AC uuuu r |等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8【答案】A 【解析】在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中有，11AC AB AD CC =++uuuu v uuu v uuu v uuuu v =1AB AD AA ++uuu v uuu v uuuv 所以有1AC uuuu v =1AB AD AA ++uuu v uuu v uuuv ，于是有21AC uuuu v =21AB AD AA ++uuu v uuu v uuuv 21AC uuuu v =2220001112cos602cos602cos60AB AD AA AB AD AB AA AD AA +++××+××+××uuu v uuu v uuuv uuu v uuu v uuu v uuuv uuu v uuuv =25所以15AC =uuuu v ，答案选A2．（2020·延安市第一中学高二月考（理））四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为矩形，2AB =，4=AD ，16AA =，1160A AB A AD Ð=Ð=o ，则1AC的长为（ ）A ．B ．46C ．D ．32【答案】C 【解析】由11AC AC CC =+uuuu r uuu r uuuu r ,2222211111()2AC AC AC CC AC AC CC CC ==+=+×+uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuuu r .由底面ABCD 为矩形得；241620AC =+=uuu r ，2136CC =uuuu r ，另；1160A AB A AD Ð=Ð=o ，1122()AC CC AB BC CC ×=+×uuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r ,01126cos 606,12AB CC BC CC ×=´´=×=uuu r uuuu r uuu r uuuur 21120363692,AC AC =++==uuuu r uuuu r 3．（2020·四川雨城�雅安中学高二月考（理））若空间四边形OABC 的四个面均为等边三角形，则cos ,OA BC uuu r uuu r 的值为（ ）A ．12BC ．12-D ．0【答案】D【解析】依题意空间四边形OABC 的四个面均为等边三角形，设棱长均为a .而BC OC OB =-uuu r uuu r uuu r ，则()22cos cos 033OA OC OB OA OC OA OB a a p p ×-=×-×=×-×=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 所以()cos ,0OA OC OB OA BC OA BC OA BC OA BC ×-×===××uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .故选：D 4．（2020·全国高二课时练习）.1BB ⊥平面ABC ，且△ABC 是∠B ＝90°的等腰直角三角形，▱A 11B A B 、▱B 11B C C 的对角线都分别相互垂直且相等，若AB ＝a ，求异面直线1BA 与AC 所成的角.【答案】60°【解析】如图所示.因为11,BA BA BB AC AB BC=+=+uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r 故()()1111BA AC BA BB AB BC BA AB BA BC BB AB BB BC ×=+×+=×+×+×+×uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r 因为AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，故2110,0,0,AB BC BB AB BB BC BA AB a ×=×=×=×=-uuu r uuu r uuur uuu r uuuruuu r uuu r uuu r故21BA AC a ×=-uuu r uuu r 又111,BA AC BA AC cos BA AC×=××uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r故11,2cos BA AC ==-uuu r uuu r .而[]1,0,BA AC p Îuuu r uuu r ，故可得1,120BA AC =°uuu r uuu r <>，又∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴异面直线BA 1与AC 成60°角.。
空间向量综合测试(含答案)
空间向量综合测试一、选择题：本题共12小题，每小题5分1. 已知A(3, 2, 1) , B(1 , 0, 4),则线段AB的中点坐标和|AB是( )A. 2，1，5，17B. 2，- 1, 5 , 17C. 2, 1,- 5 , .17D. 2 , - 1, -1 ,172. 直三棱柱ABC-A1B1C1 中，若CA= a , CB = b，CC1= c,则A1B等于()A . a+ b —cB . a—b+ c C. —a + b + c D. —a + b —c3. 平面a的法向量U = (1 , 2 , —1),平面B的法向量v = (/< , 2 , 8)，若a丄则入的值是()A . 2B . —2 C. ±2 D.不存在4. 在空间四边形ABCD中，若向量AB = ( —3, 5, 2), CD = ( —7,—1,—4)，点E, F分别为线段BC, AD的中点，贝U EF的坐标为()A . (2, 3, 3)B . ( —2,—3,—3) C. (5, —2, 1) D.( —5, 2,—1)5. 已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E, F分别是AD, DC的中点，贝U EF BA=( )A . 1B . —1 C. 3 D. —. 36. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则与直线CE垂直的直线是()A . ACB . BDC . A1D D.A1A7. 已知a= 3m—2n —4p M0, b= (x+ 1)m+ 8n + 2y p,且m, n, p不共面，若a// b,贝U x, y 的值为()A . x=—13, y= 8B . x=—13, y= 5 C. x= 7, y = 5 D.x = 7, y= 8&已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为。
1，则AO1 AC的值为( )A. —1B. 0 C . 1 D.29.已知直线l的方向向量n= (1, 0, 2)，点A(0, 1, 1)在直线l上，则点P(1, 2, 2)到直为线1的距离为()30B^.30 C.嚅 D.2 . 30A. 510.在四棱锥P-ABCD 中，AB= (4,—2, 3), AD = (一4, 1, 0), AP = (—6, 2, —8)，则这个四棱锥的高h=()A . 1B. 2C. 13 D.26~》 1 ~》 1 ->11•如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP = -BA -?BCB F、选择题：本题共 12小题，每小题5分题号1 2 3 4 5 6789101112答案二、填空题：本题共 4小题，每小题5分.13. ________________________________________________________ 已知正方体 ABCD -A 1 B 1C 1D 1的棱长为a ,则A T B B 1C = ___________________________________________14. ______________________ 在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(1 , - 2, 0), B(2, 1, .6),则向量AB 与平面xOz 的 法向量的夹角的正弦值为.15.点P 是底边长为2.3,高为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM PN 的取值范围是 ___________ .16.如图所示，在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中，底面是以/ ABC 为直角的等腰三角形，AC = 2a ,BB 1= 3a , D 是A 1C 1的中点，点 E 在棱AA 1上，要使 CE 丄平面BQE ，则AE = _______________ .+ BD , 则|BP|2的值为()A.|C.7D.912.三棱柱 ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直, AA 1 = AB = AC = 1 ,AB 丄AC , N 是BC 的中点,点P 在A 1B 1上, 且满足: A 1P = AB 1,则直线PN 与平面ABC 所成角 B 取最大值时入的值为(三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）如图所示，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3,且AM和AB, AD的夹角都是60° N是CM的中点，设a= A B,c=AM，试以a, b, c为基向量表示出向量BN,并求BN的长.18. （12分）四边形ABCD为矩形，PA丄平面ABCD , PA= AD , M、N分别是PC、AB的中点, 求证：MN丄平面PCD.折起到△ EBD的位置，使平面EBD丄平面ABD.19. （12分）如图所示，平行四边形ABCD中，/ DAB = 60° AB = 2, AD = 4,将厶CBD沿BD（1）求证：AB丄DE ;⑵若点F为BE的中点，求直线AF与平面ADE所成角的正弦值.B20. (12分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PG 丄平面ABCD ，垂足1为G , G 在AD 上，且PG = 4, AG = 3GD , BG 丄GC , GB = GC = 2, E 是BC 的中点.（1）求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值; ⑵若F 是棱PC 上一点，且DF 丄GC ,求PFPC 的值.21 . (12 分)在厶 A'BC 中，A B= 4, A C = 4迄，/ BA'C = 45° 以 A C 的 中线BD 为折痕，将△ A BD 沿BD 折起，构成二面角 A-BD-C ,在平面 BCD 内作CE 丄CD ，且CE = ,2,连接DE , AE , AC ,如图所示.(1)求证：CE //平面 ABD ; (2)若二面角 A-BD-C 的大小为90 °求二面角B-AC-E 的余弦值.22. (12分)如图，四边形 PDCE 为矩形，四边形 ABCD 为梯形，平面 PDCE 丄平面 ABCD , / BAD = Z ADC = 90 ° AB = AD = ^CD = 1 , PD=V2.(1)若M 为FA 的中点，求证： AC //平面 MDE ; (2)求直线FA 与平面 PBC 所成角的正弦值；(3)在线段PC 上是否存在一点 Q(除去端点)，使得平面QAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大 小为n0), A /D = (0, 1,— 1), A ^A =(0, 0, — 1).显然C E BD =2—i +0=0,所以 CE 丄 BD ，即 CE 丄BD. 7.解析：选A.因为a // b 且a 丰0,所以 b = ，即(x + 1)m + 8n + 2y p = 3 ?m — 2 ?n — 4?p . 又因为m , n , p 不共面，所以宁=-% =斗,3 — 2 — 4所以 x =— 13, y = 8.& 解析：选 C.由于 AO 1 = AA 1 + A 1O 1 = AA 1 + 2(A 1B 1 + A 1D 1) = AA 1+ -(AB + AD), 而AC = AB + AD ,空间向量综合测试答案1•解析：选A.设P(x , y , z)是AB 中点，则 OP = 2 ( OA +) = 1 [(3 ,2 , 1) + (1 , 0 , 4)] =2 , 1 , 2 ， d AB = I AB | =(3 — 1) 2+( 2— 0) 2+( 1 — 4) 2 =17.2.解析：选 D.如图，A 1B = AB — AA 1 = CB — CA — AA 1 = CB — CA — CC 1 = b — a — c .3. 解析：选C. a 丄价u 丄v? u v = 0?入2+ 4— 8= 0?入=塑.4.解析：选 B.取 AC 中点 M ,连接 ME , MF ,则 ME = *AB = — | , 5，12 , — 2，— 2 ,所以 EF = MF — ME = (— 2, — 3, — 3),故选 B.5.解析：选 B.如图所示,E F = 1AC ,所以 EF BA = 1AC •— AB) = — *x 2X2cos60 °=— 1 故选 B.6.解析：选B.以轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为1,贝U A(0,0), C(1 , 1, 0), B(1, 0, 0), D(0 , 1 , 0) , A 1(0 , 0 , 1) , E 2，，1 ,所以 CE = — 2 ,AC = (1, 1, 0), BD = (— 1, 1 ,CiBC1CD =则AO i A \C = [AA i + 1（AB + AD ）] （A\B + AD ） = 1（AB + AD ）2 =舟（洁+ AD 2）= 1.9•解析：选A.过P 点作PH 丄I 于H 点，则 PH = P A +AH ，由 A H // n ，可设 A H = ?n =（入 0, 2 /）.所以 PH = （— 1 , — 1 , — 1） + （人 0, 2 ?）= （ 11，— 1 , 2 11）,由PH 丄n ,得 入一 1 + 2（2入一 1） = 0,解得入=鲁所以PH = — £, 一 1, £ . 因此点P 到I 的距离为|PH|=+ 1 + 1=亠严，选A.25 25 52,故选B.11解析：选 D.由题可知 |BA|= 1, |BC|= 1 , |BD|= 2. 〈B A , B D > = 45°〈 BD , BC > = 45°〈 BA , BC > = 60° 所以 |BP|2= （*BA — 2BC +BD ）2= 4晶2+ 4BC +BD 2- 2BA BC+ BABD 一 BC BD = 4 + 寸 + 2 — ?x 1x 1 x 1+ 1x-2了仆 2x 十4.12.解析：选A.如图，分别以A B ,A C ,晶1为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz,则P （入0,1）,N £, ?, 0]T 11PN =（2—入2,— 1）.易得平面 ABC 的一个法向量 n = （0, 0, 1），则直线 PN 与平面ABC 所成的 角B 满足：sin = |cos 〈 PN , n> |=1-，于是问题转化为二次函数求最值， 而 灰0, n ,； - 2 —n 丄AB 10.解析：选B.设平面ABCD 的法向量为 n = （x ,y , z ），则 Tn 丄AD4x — 2y + 3z = 0，即 Tx +y =0，设 y=4,贝U n =32所以当sin B 最大时，B 最大.所以当X=1时，sin B 最大，为爷，同时直线PN 与平面ABC 所成 的角B 取到最大值.—之 一之 一之 一之 一之 一之一之 一_213 解析：A 1BB 1C = A 1BA 1D = A 1B| |A 1D| cos 〈 A 1B , A 1D >= 2a x 2a x cos 60°= a .答案: 2a14解析：设平面xOz 的法向量为n = (0, t , 0)(t 丰0).又AB = (1, 3,6)，所以cos 〈 n , AB >jnjAB-=蛊，因为〈n , A B > € [0, n,所以 sin 〈n , AB >|n | |A B|1 1—> —>—>—>—> —>—215解析：由题意知内切球的半径为 1 ,设球心为O ,则PM PN = (PO + OM) (PO + ON)= OP +PO •OM + ON) + OM O N = |PO|2-1.因为 K I <5P |< 5，所以 PM PN € [0, 4].答案：[o , 4]16.解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A( 2a , 0, 0), B 1(0, 0, 3a), C(0, 2a , 0).设点 E 的坐标为 0 2a , 0, z)，则 CE = (,2a ,- . 2a , z), B j E = ( 2a , 0,z - 3a).由 CE 丄 £E ,得2a 2 + z 2- 3az = 0,解得 z = a 或 2a , 即卩 AE = a 或 2a. 答案：a 或 2a所以|前|=于，即卩BN 的长为」^.则 P(0, 0, a), D(0, a , 0), B(b , 0, 0), C(b , a , 0), N ；, 0, 0 , M :,所以 MN = 0, - 2, - 2 , DC = (b , 0, 0), PC = (b , a , - a),2 2所以 MN PC =-》+》=0, M N DC = 0,17•解：BN = BC + CN = AD + *CM = AD + ^(AM -AC) T 1 T1 T 1 T 1 T=AD + ?[AM — (AD + AB)] =- ?AB + §AD + §AM.所以 BN =-和 +1 b + 2c , |BN|2=BN 2= -2a + 2 b + 2 c = 4(a % b 2+ c 2-2a b - 2a c + 2 b c )=乎, 18.证明:所以MIN 丄PC , MIN 丄DC ，即 MN 丄PC , MN 丄DC ，又因为 PC n DC = C , MN?平面PCD ，所 以MN 丄平面PCD.2 2 2 2 19•解：⑴证明：在厶ABD 中，由余弦定理，得 BD = AB + AD — 2AB ADcos / DAB ，即BD=4+ 16— 16X 2= 12,所以BD = 2 3，所以BD 2+ AB 2= AD 2,所以△ ABD 和厶EBD 均为直角三角 形，所以ED 丄DB 又 DB 是平面 EBD 和平面 ABD 的交线，且平面 EBD 丄平面 ABD ,ED?平面EBD ，所以ED 丄平面ABD.又AB?平面ABD ，所以 AB 丄DE.（2）由（1）知/ABD = / CDB = 90 °以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 （图略），贝U D （0，0，0），B （2 3，0，0），C （0，2，0），E （0，0，2），A （2 3，— 2，0），F （ 3，0，1），所以 DA = （2 .3，— 2，0），DE = （0，0，2），A F = （— 3，2，1）.设平面ADE 的法向量为n = （x ，y ，z ）， 贝贿 n DA = 0，即 2 3X— 2y= 0,令 x = 1,则 y = 3•又 z = 0，所以 n = （1， 3, 0）.点=0,2z = 0.设直线AF 与平面ADE 所成的角为a,则有sin a= |cos 〈n , AF > |= |n Af 1 = —=^^. | 2x 2 28|n |AF| 2入 2 220.解：（1）以G 点为原点，GB , GC , GP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 系，贝U B （2, 0, 0）, C （0, 2, 0）, P （0, 0, 4），故 E （1, 1, 0）, GE = （1 , 1, 0）, PC = （0,2,— 4）.设 F(0, y , z),则 DF = (0, y , z)— — |, |, 0 = |, y— 3, z • 因为 DF 丄GC ,所以 DF GC = 0，即 3，y — 2, z (0, 2, 0) = 2y — 3 = 0，所以 y = |. 又点 F 在 PC 上，所以 PF = P C ,即 0, 2，z — 4 =3, 2, — 4)，所以 z = 1,故 F 0, 3, 1 ,3/5所以 PF = [0, 2，—3 , FC = [0, 2，— 1J,所以 £== 3.221. 解：(1)证明：由AB = 4, A'C = 4込,/ BA'C = 45°得BC = 4，所以△ A'BC 为等腰直角三因为 cos 〈G E , PC >GE PC = 2=血|品|PC 「2 X2 " 10所以GE 与PC 所成角的余弦值为10 10 •(2)因为 GD = 4乙=L2, 2 0 / 所以D〔一 2, 2角形，又D 为A'C 的中点，所以 BD 丄A'C.所以折起后BD 丄CD.又 CE 丄CD ，所以CE // BD ,因为CE?平面 ABD , BD?平面 ABD ，所以 CE //平面 ABD.⑵由二面角 A-BD-C 的大小为90 ° AD 丄BD ，得AD 丄平面BCD ，由 ⑴知BD 丄CD ,DB , DC , DA 所在直线为x , y , z 轴，建立如图所示的空间直 角坐标系.设F 为AC 的中点，连接 DF ，贝U DF 丄AC ,且DF = 2.因为CE 丄CD , AD 丄平面BCD ，所以CE 丄平面ACD ，所以DF 丄CE ，所以DF 丄平面ACE. 易求得 BD = CD = AD = 2 2 所以 D(0, 0, 0), B(2 .2, 0, 0), C(0, 2 .2, 0), A(0, 0, 2 .2), F(0, ■,2, 2).所以平面 ACE 的一个法向量为 DF = (0, .2, •, 2).又AB = (2 2, 0,— 2 2), AC = (0 , 2 2 , - 2 2),设平面ABC 的法向量为 n = (x , y , z),贝U n AB = 0, n AC = 0,所以x = y = z ,取n = (1, 1, 1)为平面 ABC 的一个法向量.所以 cos 〈n , D F > 22. 解：⑴证明：如图，在矩形 PDCE 中，设PC 交DE 于点N ,则点N 为PC 的中点.连接 MN.在厶APC 中，点M 为PA 的中点，点 N 为PC 的中点，所以 AC // MN.又MN?平面 MDE , AC?平面 MDE ，所以 AC //平面 MDE.于是以D 为坐标原点，分别以 根据图形可知二面角B-AC-E 的余弦值为― n DF _V6 T 3 , |n ||DF|(2)由/ ADC = 90 ° 得 AD 丄 CD ,由平面PDCE 丄平面 ABCD ，且平面 PDCE 门平面 ABCD = CD ，得 AD 丄平面PDCE , 所以AD 丄PD.在矩形PDCE 中，PD 丄CD ，贝U DA , DC, DP 两两垂直.以D 为坐标原点，DA , DC , DP 所在的直线分别为 x , y , z 轴，建立空间直角坐标系， 则D(0, 0, 0)，A(1，0，0)，P(0, 0，.2)，B(1，1，0)，C(0，2，0),所以 AP = (- 1, 0, .2), CP = (0, — 2, .2), BC = (— 1 , 1, 0).设平面PBC 的法向量为 n = (x , y , z),所以直线FA 与平面PBC 所成角的正弦值为(3) 假设存在点Q 满足条件，则可设 CQ = QP(0< X 1)，得Q(0, 2 — 2入\[2爪又D A = (1, 0, 0), D Q = (0, 2 — 2入 羽3, 设平面QAD 的法向量为n 1= (x 1, y 1, z 1),DA n 1= X 1= 0由「, DQ n 1 =( 2— 2 X) . 2 入 z= 0令 y 1=^2 X 贝U n 1 = (0,迄人 2 X — 2).2X ,2 X+X 4 ( X — 1) 2= 2,所以=3 或 X =1(舍去)，所以所求点Q 为线段CP 上靠近点C 的一个三等分点，即在线段 PC 上存在点Q 满足条件. 、BC 2y + 2Z = 0,取 n = (1x + y = 0设直线PA 与平面PBC 所成角为 B,则丽e=會=普|AP||n |由平面QAD 与平面PBC 所成的锐二面角为n 3,n |n 1 n | 得cos n=缶4.( 2018全国卷川)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点.(1)证明：平面AMD _平面BMC ;⑵当三棱锥M - ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.5.(2018 天津)如图，AD// BC 且AD=2BC , AD _ CD , EG// AD 且EG 二AD , CD// FG 且CD=2FG , DG —平面ABCD , DA 二DC 二DG = 2 .(1) 若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN //平面CDE ;(2) 求二面角E - BC -F的正弦值；(3) 若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长.。
空间向量试题和答案
空间向量及运算一、选择题：1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，设1123AC xAB yBC zCC =++，则x ＋y ＋z 等于 A ．1B ．23C ．56D ．1162．设a ＝(x ，4，3)，b ＝(3，2，z )，且a ∥b ，则xz 的值为 A ．9B ．－9C ．4D ．6493．已知A （1，2，－1）关于面xoy 的对称点为B ，而B 关于x 轴对称的点为C ，则BC = A ．（0，4，2）B ．（0，－4，－2）C ．（0，4，0）D ．（2，0，－2）4．如图，在四面体O —ABC 中，是M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN = A ．121232OA OB OC -+ B ．112223OA OB OC +- C ．211322OA OB OC -++D ．221332OA OB OC +-5．已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于A ．－1B ．－3C ．－5D ．－156．设空间四点O ，A ，B ，P ，满足,OP OA t AB =+ 其中0<t <1，则有A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段BA 的延长线上D ．点P 不一定在直线AB 上 7．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 等于 A ．1B ．15C ．35D ．758．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0,AB AC AC AD AB AD ⋅=⋅=⋅=则B 、C 、D 三点构成 A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．形状不能确定9．若向量,,MA MB MC 的起点与终点M 、A 、B 、C 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O 为空间任一点），则能使向量,,MA MB MC 成为空间一组基底的关系是 A ．111333OM OA OB OC =++ B ．MA MB MC ≠+ C ．1233OM OA OB OC =++D ．2MA MB MC =-10．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，且sin α≠cos α，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是A ．0°B ．30°C ．60°D ．90°答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题： 11．已知a ＝（2，－1，2），b ＝（2，2，1），则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为 ． 12．与向量a ＝（2，－1，2）共线，且满足方程a ·x ＝ －18的向量x ＝ ． 13．若点A 、B 的坐标为A （3cos α，3sin α，1）、B （2cos θ，2sin θ，1）则 ||AB 取值范围 ． 14．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA OB OC OG λ++=，则λ＝ ．15．已知a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝30，则123123a a ab b b ++=++ ．三、解答题：16．(本题满分l2分)已知a ＝（1，1，0），b ＝（1，1，1），若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，试求b 1，b 2． 17．（本题满分12分）如图，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为31(,,0)22，点D 在平面yoz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°． ⑴求向量CD 的坐标；⑵求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值．18．（本题满分14分）已知a ，b 是非零的空间向量，t 是实数，设u ＝a ＋t b ． ⑴当|u |取得最小值时，求实数t 的值；⑵当|u |取得最小值时，求证：b ⊥(a ＋t b )．19．（本题满分14分）如图，已知四面体O —ABC 中，E 、F 分别为AB ，OC 上的点，且AE ＝13AB ，F 为中点，若AB ＝3，BC ＝1，BO ＝2，且∠ABC ＝90°，∠OBA ＝∠OBC ＝60°，求异面直线OE 与BF 所成角的余弦值．20．(本题满分14分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P，Q分别是BC，CD上的动点，且|PQ|＝2，建立如图所示的直角坐标系．⑴确定P，Q的位置，使得B1Q⊥D1P；⑵当B1Q⊥D1P时，求二面角C1—PQ—C的正切值．21．(本题满分14分)如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都是2，M是BC的中点，P是侧棱BB1上一点，且A1P⊥B1M．⑴试求A1P与平面APC所成角的正弦；⑵求点A1到平面APC的距离．第十单元 空间向量及运算参考答案二、填空题11．65 12．（－4，2，－4） 13．[1，5] 14．3 15．56三、解答题16．解：∵b 1∥a ，∴令b 1＝(λ，λ，0)，b 2＝b －b 1＝(1－λ，1－λ，1)，又∵b 2⊥a ，∴a ·b 2＝(1，1，0)·(1－λ，1－λ，1)＝1－λ＋1－λ＝2－2λ＝0， ∴λ＝1，即b 1＝(1，1，0)，b 2＝(0，0，1)． 17．解：⑴过D 作DE ⊥BC 于E ，则DE ＝CD ·sin30°＝32，OE ＝OB －BD cos60°＝1－12＝12，∴D 的坐标为（0，－12，32），又∵C （0，1，0），∴3(0,2CD =-⑵依题设有A 点坐标为A 1,0)2，∴33(,1,),(0,2,0)22AD BC =--=则cos ,5||||AD BC AD BC AD BC ⋅<>==-⋅．故异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为105． 18．解：⑴∵22222222222()||||||2()||||()||||||a b a b u a tb a a b t t b b t a b b ⋅⋅=+=+⋅+=++-， ∴当t ＝2||a bb ⋅-时，|u |＝|a ＋t b |最小． ⑵∵222()||||()0()||a bb a tb a b t b a b b b a tb b ⋅⋅+=⋅+=⋅+-=∴⊥+． 19．解：∵12(),23BF BO BC OE BA BO =+=-， ∴222117||(||||2)(412||||cos60),444BF BO BC BO BC BO BC =++⋅=++︒=222744||;||||||4444,|| 2.293BF OE BA BO BA BO OE ==+-⋅=+-==又212213(||)(241)23322BF OE BA BO BO BC BA BC BO ⋅=⋅-+⋅-⋅=--=-， ∴337cos ,14||||27BF OE BF OE BF OE ⋅-<>===-， 故异面直线OE 与BF 所成的角的余弦值为3714． 20．解：⑴设BP ＝t ，则222(2),22(2),CQ t DQ t =--=---∴B 1（2，0，2），D 1（0，2，2），P （2，t ，0），Q 2211(22(2),2,0).(2(2),2,2),(2,2,2)t QB t PD t ---=---=-- 又∵11110BQ D P QB PD ⊥⇔⋅=， ∴2222(2)2(2)220,2(2)t t t t -----+⨯=--=即解得t ＝1，即P 、Q 分别为中点时，B 1Q ⊥D 1P ．⑵由⑴知PQ ∥BD ，且AC ⊥PQ ，设AC ∩PQ ＝E ，连C 1E ，∵CC 1⊥底面BD ，CE ⊥PQ ， ∴C 1E ⊥PQ ，即∠CEC 1为所求二面角O —PQ —C 1的平面角，易得1tan 22CEC ∠=． 21．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A 1（2，0，0），B 1(1,3,0),(1,3,)P z ，13(,,2),(0,0,2),(2,0,2)22M C A由A 1P ⊥B 1M 知110A PB M ⋅= ∴13131(1,3,)(,,2)20,,22222z z z -⋅--=-+=∴= 即点P 的坐标为P 1(1,3,)2． ⑴设平面APC的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由20,0,3(0,,).3230,0,2x n CA n z z x y z n CP =⎧⎧⋅=⎪⎪∴=⎨⎨+-=⋅=⎪⎪⎩⎩即 取z ＝ －1，则有n ＝3(0,,1)2--，方向指向平面APC 的左下方，又11(1,3,)2PA =--，111cos,119||PA nPA nPA n⋅<>===⋅．设直线A 1P与平面APC所成角为α，则sin119α=．⑵1||1A P=+=，设A1到平面P AC的距离为d，则1||sin27d A Pα====．。
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题1.已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )A．B．C．4D．8【答案】B．【解析】首先由向量的数量积公式可求与夹角的余弦值，然后根据同角三角函数的关系得，最后利用正弦定理表示平行四边形的面．【考点】向量模的运算；利用正弦定理表示三角形的面积．2.点关于原点对称的点的坐标是．【答案】【解析】空间直角坐标系中点的对称关系:,可得.【考点】空间直角坐标系中点的对称关系.3.在空间直角坐标系中，点P（1,3，-5）关于平面xoy对称的点的坐标是（ )A．（-1,3，-5）B．（1,3，5）C．（1,-3，5）D．（-1,-3，5）【答案】B【解析】根据空间直角坐标系坐标的对称的结论：点（x，y，z）关于平面xoy对称的点坐标为（x，y，-z），可知答案是B.【考点】空间直角坐标系点的对称问题.4.已知向量，且∥，则实数的值为．【答案】.【解析】由已知得=（k+1,2k+2，k+2），=（-1，-2，-3），再由两向量共线的充要条件知=，建立方程解得k=.【考点】（1）向量的坐标运算；（2）向量共线的充要条件.5.已知向量，，且，那么等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，解得，所以，选答案A.【考点】空间向量平行的坐标关系.6.已知空间四边形，其对角线为，分别是边的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为,选A7.已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】由已知中△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，-3，7），C（0，5，1），利用中点公式，求出BC边上中点D的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案.解：∵B（4，-3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为△ABC中BC边上的中线故选B.【考点】空间中两点之间的距离点评：本题考查的知识点是空间中两点之间的距离，其中根据已知条件求出BC边上中点的坐标，是解答本题的关键．8.为空间的两个不同的点，且，空间中适合条件的点的集合表示的图形是 .【答案】经过点且与垂直的平面【解析】设点M（x,y,z），那么可知设A（0，0，0），B（0，0，1），，由则可知（x,y,z）（0，0，1）=1，z=1，可知表示的图形为过点B的与AB垂直的平面。
空间向量及其运算综合测试题
空间向量及其运算综合测试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．与向量a ＝(1,3，－2)平行的一个向量的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，1，1 B.⎝⎛⎭⎫－12，－32，1 C.⎝⎛⎭⎫－12，32，－1 D ．(2，－3，－22)考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 B2．已知A (－1,0,1)，B (0,0,1)，C (2,2,2)，D (0,0,3)，则sin 〈AB →，CD →〉等于( ) A ．－23B.23C.53D ．－53考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 C解析 因为AB →＝(1,0,0)，CD →＝(－2，－2,1)， 所以cos 〈AB →，CD →〉＝－23，所以〈AB →，CD →〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以sin 〈AB →，CD →〉＝53.3．若向量a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0且b ·c ＝0是l ⊥α的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直 答案 B解析 若a ∥b 时，c ·a ＝0，且b ·c ＝0⇏ l ⊥α.但l ⊥α⇒c ·a ＝0且b ·c ＝0，故c ·a ＝0且b ·c ＝0是l ⊥α的必要不充分条件．4．若向量a 与b 不共线，且m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，p ＝a ，则( ) A ．m ，n ，p 共线 B ．m 与p 共线 C ．n 与p 共线D ．m ，n ，p 共面考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 D解析 ∵(a ＋b )＋(a －b )＝2a ，即m ＋n ＝2p ，即p ＝12m ＋12n ，m 与n 不共线，∴m ，n ，p共面．5．设a 1＝2m －j ＋k ，a 2＝m ＋3j －2k ，a 3＝－2m ＋j －3k ，a 4＝3m ＋2j ＋5k ，其中m ，j ，k 是两两垂直的单位向量，若a 4＝λa 1＋μa 2＋v a 3，则实数λ，μ，v 的值分别是( ) A ．1，－2,3 B ．－2,1，－3 C ．－2,1,3D ．－1,2,3 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 B解析 由题意知a 4＝2λm －λj ＋λk ＋μm ＋3μj －2μk －2v m ＋v j －3v k ＝3m ＋2j ＋5k ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋μ－2v ＝3，－λ＋3μ＋v ＝2，λ－2μ－3v ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝1，v ＝－3.故选B.6.如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A ⎝⎛⎭⎫32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC＝90°，∠DCB ＝30°，则AD 的长为( )A. 2B. 3C. 5D. 6考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 D解析 因为点D 在平面yOz 上，所以点D 的横坐标为0，又BC ＝4，原点O 是BC 的中点，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，所以点D 的竖坐标z ＝4×sin 30°×sin 60°＝3，纵坐标y ＝－(2－4×sin 30°×cos 60°)＝－1，所以D (0，－1，3)． 所以|AD |＝⎝⎛⎭⎫32－02＋⎝⎛⎭⎫12＋12＋(0－3)2＝ 6.故选D.7．已知空间三点O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (0,1,1)，在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为( ) A ．(－2,2,0) B ．(2，－2,0) C.⎝⎛⎭⎫－12，12，0 D.⎝⎛⎭⎫12，－12，0 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 C解析 由OA →＝(－1,1,0)，且点H 在直线OA 上，可设H (－λ，λ，0)，则BH →＝(－λ，λ－1，－1)．又BH ⊥OA ，∴BH →·OA →＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝12，∴H ⎝⎛⎭⎫－12，12，0，故选C. 8.如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3考点 空间向量数量积的概念与性质 题点 由定义求数量积 答案 A解析 AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →) ＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 90°－|AB →||AC →|cos 60° ＝2×2×cos 90°－2×2×cos 60°＝－2.9．若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |等于( ) A ．2 B. 2 C ．1D.22考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 答案 B解析 ∵(a ＋b )⊥a ，∴a ·(a ＋b )＝0， ∴a ·b ＝－|a |2.① 同理b ·(2a ＋b )＝0， ∴a ·b ＝－12|b |2.②联立①②，得－|a |2＝－12|b |2.又|a |＝1，∴|b |＝ 2.故选B.10．在四棱锥P －ABCD 中，AB →＝(4，－2,3)，AD →＝(－4,1,0)，AP →＝(－6,2，－8)，则这个四棱锥的高h 等于( ) A ．1 B ．2 C ．13D ．26 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离 答案 B解析 设平面ABCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＋3z ＝0，－4x ＋y ＝0.不妨令x ＝3，则y ＝12，z ＝4， 可得n ＝(3,12,4)，四棱锥的高h ＝|AP →·n ||n |＝2613＝2.11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为( ) A.12B.32C.33 D.13考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求二面角 答案 D解析 如图，以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1(1,0,1)，C (0,1,0)，A (1,0,0)，C 1(0,1,1)， ∴A 1C →＝(－1,1，－1)，AC 1→＝(－1,1,1)．易知A 1C ⊥平面BC 1D ，AC 1⊥平面A 1BD .∵cos 〈AC 1→，A 1C →〉＝13，∴结合图形可知平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为13.12．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 所成的角为60°；④AB 与CD 所成的角为60°.其中错误的结论是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线面角 答案 C解析 如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz ，设正方形ABCD 的边长为2，则D (1,0,0)，B (－1,0,0)，C (0，0,1)，A (0,1,0)，所以AC →＝(0，－1,1)，BD →＝(2,0,0)，AC →·BD →＝0，故AC ⊥BD ，①正确．又|AC →|＝2，|CD →|＝2，|AD →|＝2， 所以△ACD 为等边三角形，②正确． 对于③，OA →为平面BCD 的一个法向量，cos 〈AB →，OA →〉＝AB →·OA →|AB →| |OA →|＝(－1，－1，0)·(0，1，0)2·1＝－12＝－22.因为直线与平面所成的角∈[0°，90°]，所以AB 与平面BCD 所成的角为45°，故③错误． 又cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →| |CD →|＝(－1，－1，0)·(1，0，－1)2·2＝－12.因为异面直线所成的角为锐角或直角， 所以AB 与CD 所成的角为60°，故④正确． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1B →·B 1C →＝________ 考点 空间向量数量积的概念与性质 题点 由定义求数量积 答案 a 2解析 A 1B →·B 1C →＝A 1B →·A 1D →＝|A 1B →|·|A 1D →|·cos 〈A 1B →，A 1D →〉＝2a ×2a ×cos 60°＝a 2. 14．已知平面α的一个法向量为n ＝(1，－1,0)，则y 轴与平面α所成的角的大小为________． 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线面角 答案 π4解析 y 轴的一个方向向量s ＝(0,1,0)，cos 〈n ，s 〉＝n ·s |n ||s |＝－22，即y 轴与平面α所成角的正弦值是22，故其所成的角的大小是π4. 15.如图所示，已知正四面体A －BCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线线角 答案413解析 设正四面体棱长为4， ED →＝EA →＋AD →＝14BA →＋AD →，BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋14CD →，所以cos 〈ED →，BF →〉＝ED →·BF →|ED →||BF →|＝⎝⎛⎭⎫14BA→＋AD →·⎝⎛⎭⎫BC →＋14CD →⎝⎛⎭⎫14BA →＋AD →2·⎝⎛⎭⎫BC →＋14CD →2＝2＋0＋0＋213·13＝413.16.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥平面B 1DE ，则AE ＝________.考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直 答案 a 或2a解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2a,0,0)，B 1(0,0,3a )，C (0，2a,0)．设点E 的坐标为(2a,0，z )(0≤z ≤3a )，则CE →＝(2a ，－2a ，z )，B 1E →＝(2a,0，z －3a )，由CE →⊥B 1E →，得2a 2＋z 2－3az ＝0，解得z ＝a 或2a ，即AE ＝a 或2a .三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图所示，在四棱锥M －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AM 的长为3，且AM 和AB ，AD 的夹角都是60°，N 是CM 的中点，设a ＝AB →，b ＝AD →，c ＝AM →，试以a ，b ，c 为基向量表示出向量BN →，并求BN 的长．考点 空间向量数量积的应用 题点 利用数量积求线段长 解 BN →＝BC →＋CN →＝AD →＋12CM →＝AD →＋12(AM →－AC →)＝AD →＋12[AM →－(AD →＋AB →)]＝－12AB →＋12AD →＋12AM →.所以BN →＝－12a ＋12b ＋12c ，|BN →|2＝BN →2＝⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋12c 2 ＝14(a 2＋b 2＋c 2－2a ·b －2a ·c ＋2b ·c ) ＝174. 所以|BN →|＝172，即BN 的长为172.18．(12分)已知空间内三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 与向量AB →，AC →都垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标． 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算解 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， ∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714·14＝12，又∵∠BAC ∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°，∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由a ⊥AB →，得－2x －y ＋3z ＝0，由a ⊥AC →，得x －3y ＋2z ＝0， 由|a |＝3，得x 2＋y 2＋z 2＝3， ∴x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1. ∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．19．(12分)如图所示，已知点P 在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小；(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小． 考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线面角解 (1)如图所示，以D 为原点，DA →，DC →，DD ′→分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，设DA ＝1.则DA →＝(1,0,0)，CC ′→＝(0,0,1)．连接BD ，B ′D ′，在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H ，设DH →＝(m ，m,1)(m >0)， 由已知得〈DH →，DA →〉＝60°， 由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉， 可得2m ＝2m 2＋1，解得m ＝22， 所以DH →＝⎝⎛⎭⎫22，22，1.因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的法向量是DC →＝(0,1,0)， 因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.20．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且PG ＝4，AG ＝13GD ，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E 是BC 的中点．(1)求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值； (2)若F 是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求PFFC 的值．考点 空间向量在求空间角中的应用 题点 空间向量求线线角解 (1)如图，以G 点为原点，GB ，GC ，GP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (2,0,0)，C (0,2,0)，P (0,0,4)，故E (1,1,0)，GE →＝(1,1,0)，PC →＝(0,2，－4)．因为cos 〈GE →，PC →〉＝GE →·PC →|GE →||PC →|＝22×25＝1010，所以GE 与PC 所成角的余弦值为1010. (2)因为GD →＝34BC →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0， 所以D ⎝⎛⎭⎫－32，32，0.设F (0，y ，z )，则DF →＝(0，y ，z )－⎝⎛⎭⎫－32，32，0＝⎝⎛⎭⎫32，y －32，z . 因为DF →⊥GC →，所以DF →·GC →＝0，即⎝⎛⎭⎫32，y －32，z ·(0,2,0)＝2y －3＝0，所以y ＝32. 又点F 在PC 上，所以PF →＝λPC →，即⎝⎛⎭⎫0，32，z －4＝λ(0,2，－4)，所以z ＝1，故F ⎝⎛⎭⎫0，32，1. 所以PF →＝⎝⎛⎭⎫0，32，－3，FC →＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1， 所以PF FC ＝35252＝3. 21．(12分)如图①所示，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，点M 为线段AB 的中点，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图②所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)求二面角A －CD －M 的余弦值．考点 空间向量在求空间角中的应用题点 空间向量求二面角(1)证明 由已知可得AC ＝22，∠CAB ＝45°，在△ABC 中，由余弦定理得CB ＝22，从而AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC .∵平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，∴BC ⊥平面ACD .(2)解 取AC 的中点O ，连接DO ，MO ，由题意知DO ⊥平面ABC .∵O ，M 分别是AC ，AB 的中点，∴OM ∥BC ，∴OM ⊥AC .以O 为坐标原点，以OA ，OM ，OD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .由(1)知，M (0，2，0)，C (－2，0,0)，D (0,0，2)．∴CM →＝(2，2，0)，CD →＝(2，0，2)，设平面CDM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·CM →＝0，n ·CD →＝0， 即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，2x ＋2z ＝0.取x ＝－1，得平面CDM 的一个法向量为n ＝(－1,1,1)．由题意知平面ACD 的一个法向量为m ＝(0,1,0)．∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝33.结合图形知二面角A －CD －M 的余弦值为33. 22．(12分)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．考点 空间向量在求空间角中的应用题点 空间向量求线面角(1)证明 以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，0. ∵AD 1→·B 1E →＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B 1E ⊥AD 1.(2)解 假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)(0≤z 0≤1)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)．设平面B 1AE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0. 取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，即a 2－az 0＝0， 解得z 0＝12. 又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，使得DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12. (3)解 连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C ，又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1，∴AD 1→是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时AD 1→＝(0,1,1)．设AD 1→与n 所成的角为θ，则cos θ＝n ·AD 1→|n ||AD 1→|＝－a 2－a 2·1＋a 24＋a 2 ∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，∴|cos θ|＝cos 30°，即3a22·1＋5a 24＝32. 解得a ＝2，即AB 的长为2.。
36199_《空间向量及其运算》同步练习3(新人教A版选修2-1)
空间向量及其运算说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（） A ．c b a ++-2121 B ．c b a ++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A ．OC OB OA OM --=2 B ．OC OB OA OM213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 03．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（）A ．85B ．85C ．52D ．50 4．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知空间四边形ABCD 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（） A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++-C ．c b a 212121-+D ．c b a 213232-+7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=∙=∙=∙AD AB ，AD AC ，AC AB，图则?BCD 是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，?AOB=?AOC=600，则cos BC ，OA = （ ）A ．21B ．22 C ．?21 D ．09．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则∆ABC 的面积为 （）A ．3B ．32C ．6D ．2610．已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（） A ．55 B ．555 C ．553 D ．511 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．若)1,3,2(-=a，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为．12．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG =x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为．13．已知点A(1，?2，11)、B(4，2，3)，C(6，?1，4)，则?ABC 的形状是． 14．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k=． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°. （1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面O'N M D'C'B'A'CBA Dz yx图体的对棱两两垂直．18．（12分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}. （1）求证：PA ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P —ABCD 的体积；（3）对于向量a ={x 1，y 1，z 1}，b ={x 2，y 2，z 2}，c ={x 3，y 3，z 3}，定义一种运算：（a ×b ）·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P —ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的几何意义.．19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. （1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M .20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.（1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值； （3）当1CC CD 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.参考答案一、1．A ；解析：)(21111BC BA A A BM B B M B ++=+==c +21（－b a +）=－21a +21b +c ．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力. 2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．3．B ；解析：只需将A A AD AB C A '++='，运用向量的内即运算即可，2||C A C A '='．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b a b a b λ=⇔≠//,0．5．C ；解析：||||cos b a b a ⋅⋅=θ，计算结果为－1．6．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形． 8．D ；解析：建立一组基向量OC OB OA ,,，再来处理BC OA ⋅的值．9．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒⋅>=<AC AB AC AB AC AB AC AB ,sin ||||,cos ，从而得><=AC AB AC AB S ,sin ||||21． 10．C ；二、11．56；解析：72||||,cos -=⋅>=<b a ba b a ，得753,sin >=<b a ，可得结果．12．OC OB OA 313161++； 解析：13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=．14．39-；解析：219132||||,cos 2-=+=⋅⋅>=<k k b a b a b a ，得39±=k ．三、15．解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）． 由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=．16．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23.OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD [TX →]的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ， 所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则cos θ=222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅⋅BC AD BC AD 1051-=. 17．证：如图设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EH=GH=MN 得： 展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠0，23r r -≠0，∴1r ⊥（23r r -）即SA ⊥BC ． 同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．18．（1）证明：∵AB AP ⋅=－2－2+4=0，∴AP ⊥AB .又∵AD AP ⋅=－4+4+0=0，∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD . （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则cos θ=1053416161428||||=+⋅++-=⋅⋅AD AB AD ABV =31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍. 猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力. 19．如图，建立空间直角坐标系O —xyz . （1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA .（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M .评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（1）证明：设CB =a ，CD =b ，1CC =c ，则|a |=|b |，∵CB CD BD-==b －a ，∴BD ·1CC =（b －a ）·c =b ·c －a ·c =|b |·|c |cos60°－|a |·|c |cos60°=0， ∴C 1C ⊥BD .（2）解：连AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，连OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角. ∵21)(21=+=CD BC CO（a +b ），2111=-=CC CO O C （a +b ）－c 图∴CO ·211=OC （a +b ）·［21（a +b ）－c ］ =41（a 2+2a ·b +b 2）－21a ·c －21b ·c =41（4+2·2·2cos60°+4）－21·2·23cos60°－21·2·23cos60°=23. 则|CO |=3，|O C 1|=23，∴cos C 1OC =33||||11=⋅⋅O C CO O C CO （3）解：设1CC CD=x ，CD =2，则CC 1=x2. ∵BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足：D C C A 11⋅=0即可. 设A A 1=a ，AD =b ，DC =c ， ∵C A 1=a +b +c ，D C 1=a －c ，∴D C C A 11⋅=（a +b +c ）（a －c ）=a 2+a ·b －b ·c －c 2=xx 242+－6， 令6－242xx -=0，得x =1或x =－32（舍去）. 评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.。
1 空间向量及其线性运算(原卷版)
专题1.1 空间向量及其线性运算【玩前必备】知识点一 空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.4．几类特殊的空间向量知识点二 空间向量的线性运算知识点三 1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 知识点四 共面向量 1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .【玩转题型】【题型1 空间向量概念的理解】【例1】（2020秋•仙桃期末）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a →，b →满足|a →|＝|b →|，则a →=b →；④若空间向量m →，n →，p →满足m →=n →，n →=p →，则m →=p →；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【变式1-1】（2020秋•红岗区校级期中）下列说法中正确的是（ ） A ．若|a →|＝|b →|，则a →、b →的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a →是向量b →的相反向量，则|a →|＝|b →|C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →+AD →=AC →【变式1-2】[多选题]（2020秋•江阴市校级月考）下面的命题正确的有（ ） A ．方向相反的两个非零向量一定共线B ．单位向量都相等C ．若a →，b →满足|a →|＞|b →|且a →与b →同向，则a →＞b →D ．若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则“AB →=DC →”⇔“四边形ABCD 是平行四边形” 【变式1-3】[多选题]下列命题中为真命题的是（ ） A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【题型2 空间向量的加减运算】【例2】（2020秋•南开区校级月考）若A ，B ，C ，D 为空间任意四个点，则AB →+DA →−DC →=（ ） A ．CB →B ．BC →C ．BD →D ．AC →【变式2-1】[多选题]（2020秋•龙岩期末）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为AC 1→的是（ ） A ．AA 1→−B 1C 1→+D 1C 1→B ．AB →+BC →+CC 1→C ．AB →−C 1C →+B 1C 1→D ．AA 1→+DC →+B 1C 1→【变式2-2】在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，化简：DA →−DB →+B 1C →−B 1B →+A 1B 1→−A 1B →= ． 【变式2-3】在四棱柱ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，底面ABCD 为矩形，化简下列各式． （1）AB →+BB′→−D′A′→+D′D →−BC →． （2）AC′→−AC →+AD →−AA′→．【题型3 空间向量的线性运算】【例3】（2020秋•仓山区校级期末）已知三棱锥O ﹣ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →用a →，b →，c →表示MN →，则MN →等于（ ）A ．12（b →+c →−a →） B ．12（a →+b →+c →）C ．12（a →−b →+c →） D ．12（c →−a →−b →）【变式3-1】（2021春•成都期中）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，点E ，F 分别是SA ，BC 的中点，点G 在棱EF 上，且满足EG GF=12，若SA →=a →，SB →=b →，SC →=c →，则SG →=（ ）A ．13a →−12b →+16c → B ．13a →+16b →+16c → C ．16a →−13b →+12c → D ．13a →−16b →+12c →【变式3-2】（2020秋•长安区校级期末）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱CC 1的中点，连结B 1M ，BC 1交于点P ，则（ ）A ．AP →=23AB →+23AD →+AA 1→B ．AP →=AB →+23AD →+23AA 1→C ．AP →=23AB →+AD →+23AA 1→D ．AP →=AB →+12AD →+12AA 1→【变式3-3】（2020秋•西夏区校级月考）如图，在空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，则用向量a →，b →，c →表示向量MN →= ．【题型4 空间向量的线性运算（求参数）】【例4】（2020秋•栖霞区校级月考）如图所示，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．若EF →=x AB →+y AD →+z AA 1→，则x +y +z 等于（ ）A ．﹣1B ．0C ．13D ．1【变式4-1】（2020秋•新市区校级期末）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→=aAB →+2bAD →+3cA 1A →，则abc 的值等于（ ） A ．16B ．56C ．76D ．−16【变式4-2】（2020秋•唐山期末）在三棱锥P ﹣ABC 中，点M 为线段BC 的中点，AM →=xPA →+yPB →+zPC →，则x +y +z ＝（ ） A ．0B ．12C ．1D ．﹣1【变式4-4】（2020秋•和平区校级期中）如图，在空间四边形ABCD 中，AB →=a →−2c →，CD →=5a →+6b →−8c →，棱AC ，BD ，BC 的中点分别为E ，F ，G ，若FE →=−3a →−3b →+λc →，则λ＝ ．【题型5 向量共线的判定及应用】【例5】满足下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是（ ） A ．AB →+BC →=AC →B ．AB →−BC →=AC →C ．AB →=BC →D ．|AB →|＝|BC →|【变式5-1】（2020秋•南昌期末）已知非零向量a →、b →，且AB →=a →+2b →，BC →=−5a →+6b →，CD →=7a →−2b →，则一定共线的三点是（ ） A ．A 、B 、DB ．A 、B 、CC ．B 、C 、DD ．A 、C 、D【变式5-2】（2020秋•镜湖区校级期末）在四面体O ﹣ABC 中，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，若OG →=13OA →+x4OB →+x4OC →，则使G 与M ，N 共线的x 的值为（ ） A ．1B ．2C ．23D ．43【变式5-3】（2020秋•河西区校级月考）设e 1→，e 2→是空间两个不共线的向量，已知AB→=e 1→+k e 2→，BC→=5e 1→+4e 2→，DC →=−e 1→−2e 2→，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝ ． 【题型6 向量共面的判定及应用】【例6】（2020秋•运城期末）O 为空间任意一点，A ，B ，C 三点不共线，若OP →=13OA →+12OB →+16OC →，则A ，B ，C ，P 四点（ ） A ．一定不共面B ．不一定共面C ．一定共面D ．无法判断【变式6-1】（2020秋•渭滨区期末）已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且PA →=23PB →−xPC →+16BD →，则实数x 的值为（ ） A ．13B ．−13C ．16D ．−16【变式6-2】（2020秋•隆德县期末）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量OP →=15OA →+23OB →+λOC →确定的点P 与A ，B ，C 共面，那么λ＝ ． 【变式6-3】如图所示，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．（1）证明：A ，E ，C 1，F 四点共面； （2）试用AB →，AD →，AA 1→表示EF →．【课后检测】一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021春•秦淮区校级期中）如图，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 为OA 的中点，点N 在线段BC 上，且CN ＝2NB ，则MN →=（ ）A ．12a →−23b →−13c → B ．−13a →+12b →+23c → C ．23a →−12b →+13c →D ．−12a →+23b →+13c →2．（3分）（2021春•青铜峡市校级月考）在三棱锥O ﹣ABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，AM →=2MO →，N 为BC 中点，则MN →=（ ） A ．12a →−23b →+12c →B ．−13a →+12b →+12c →C ．12a →+12b →−12c →D ．13a →+23b →−12c →3．（3分）（2020秋•沈阳期末）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC →+DD 1→−AB →=（ ） A ．BD 1→B ．D 1B →C ．DB 1→D ．B 1D →4．（3分）如图所示空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则MG →−AB →+AD →等于（ ）A ．32DB →B ．3 MG →C ．3 GM →D ．2 MG →5．（3分）（2020秋•肥城市期中）如图，已知平行六面体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '，点E 是CC '的中点，下列结论中错误的是（ ）A ．AB →+AD →=AC →B ．AB →−AA′→=BA′→C ．AB →+AD →+AA′→=AC′→D ．AB →+BC →+12CC′→=AE →6．（3分）（2020秋•淄博期末）如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若AF →=x AD →+y AB →+z AA 1→，求x +y +z ＝（ ）A ．1B ．32C ．2D ．527．（3分）（2020秋•宁波期末）已知O ﹣ABC 为空间四面体，P 为底面ABC 上一点，且满足2AP →=xOA →+yOB →+zOC →，则以下等式一定成立的是（ ） A ．x +y +z ＝1B ．x +y +z ＝0C ．x +y +z ＝﹣1D ．x +y +z =128．（3分）（2020秋•聊城期中）在四面体OABC 中，空间的一点M 满足OM →=12OA →+16OB →+λOC →，若MA →，MB →，MC →共面，则λ＝（ ） A ．12B ．13C ．512D ．712二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2020秋•菏泽期中）在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，与向量AB →相等的向量有（ ） A ．CD →B ．A′B′→C ．D′C′→D ．BC →10．（4分）已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC 1的中点为O ，则下列互为相反向量的是（ ）A ．OA →+OD →与OB 1→+OC 1→B ．OB →−OC →与OA 1→−OD 1→C ．OA 1→−OA →与OC →−OC 1→D ．OA →+OB →+OC →+OD →与OA 1→+OB 1→+OC 1→+OD 1→11．（4分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为AC 1→的是（ ） A ．AB →+BC →+CC 1→B ．AA 1→+B 1C 1→+D 1C 1→C ．AB →−C 1C →+B 1C 1→D ．AA 1→+DC →+B 1C 1→12．（4分）（2020秋•天宁区校级期中）下列条件中，使点P 与A ，B ，C 三点一定共面的是（ ） A ．PC →=13PA →+23PB →B ．OP →=13OA →+13OB →+13OC →C ．OP →=OA →+OB →+OC →D ．OP →+OA →+OB →+OC →=0→三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2020秋•西夏区校级月考）如图，在空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，则用向量a →，b →，c →表示向量MN →= ．14．（4分）（2020春•上饶校级期中）已知点P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →=−2OA →+OB →+λOC →，则λ＝ ．15．（4分）（2020秋•泰安期末）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若 AC 1→=a AB →+2b AD →+3c A 1A →，则abc ＝ ． 16．（4分）（2020秋•都匀市校级期中）设e 1→，e 2→是两个不共线的空间向量，若AB→=2e 1→−e 2→，BC→=3e 1→+3e 2→，CD →=e 1→+ke 2→，且A ，C ，D 三点共线，则实数k 的值为 ．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）如图，在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，E ，F 分别是边AC ．BD 的中点，设AB →=a →−2c →，CD →=5a →+6b →−8c →，试用a →，b →，c →表示EF →．18．（6分）如图，已知空间四边形ABCD ，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →=23CB →，CG →=23CD →．用向量法求证：四边形EFGH 是梯形．19．（8分）已知A ，B ，C 三点不共线，点O 是平面ABC 外的任意一点，若点P 分别满足下列关系：（1）OA →+2OB →=6OP →−3OC →；（2）OP →+OC →=4OA →−OB →．试判断点P 是否与点A ，B ，C 共面．20．（8分）如图所示，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，设M 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心．（1）化简AA 1→+12（AD →+AB →）； （2）若BM →=x AB →+y AD →+z AA 1→，求实数x ，y ，z 的值．21．（8分）（2020秋•沈河区校级月考）如图，在空间四边形SABC 中，AC 、BS 为其对角线，O 为△ABC的重心，试证：（1）OA →+OB →+OC →=0→；（2）SO →=13(SA →+SB →+SC →)．22．（8分）（2020秋•德州期中）如图所示，已知几何体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是平行六面体．（1）化简12AA 1→+BC →+23AB →结果用EF →表示并在图上标出该结果（点明E ，F 的具体位置）；（2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且C 1N =14C 1B ， 设MN →=αAB →+βAD →+γAA 1→，试求α，β，γ的值．。
空间向量及其运算单元测试卷
空间向量及其运算单元测试卷一、选择题1. 下列哪个不是空间向量的表示方法？A. 箭头表示法B. 行向量表示法C. 列向量表示法D. 数量表示法2. 空间向量的模长是指什么？A. 向量的长度B. 向量的方向C. 向量的大小D. 向量的起点和终点的距离3. 空间向量的方向角是指什么？A. 向量与x轴正向的夹角B. 向量的长度C. 向量与y轴正向的夹角D. 向量与z轴正向的夹角4. 两空间向量的数量积的性质有哪些？A. 交换律B. 结合律C. 分配律D. 以上都是5. 两空间向量的数量积的运算律有哪些？A. 交换律B. 结合律C. 分配律D. 以上都是二、填空题1. 若向量a=(x, y, z)，则向量a的模长为 _______。
2. 两空间向量的数量积为ab，则ab= _______。
3. 若向量a与向量b的夹角为θ，则cosθ= _______。
4. 若向量a=(1, 2, 3)，向量b=(4, 5, 6)，则向量a与向量b的数量积为_______。
5. 若向量a的模长为3，向量b的模长为5，且向量a与向量b的夹角为60°，则向量a与向量b的数量积为 _______。
三、解答题1. 已知向量a=(1, -2, 3)，向量b=(2, 1, -1)，求向量a与向量b的数量积。
2. 已知向量a=(1, -2, 3)，向量b=(2, 1, -1)，求向量a与向量b的模长。
3. 已知两空间向量的数量积为-8，其中一个向量为(1, 2, 3)，求另一个向量的模长。
空间向量的模拟试题
空间向量的模拟试题题目一：向量运算已知向量a= −2a + 3a + 4a和向量a = 5a− 2a + a，计算以下向量运算：1. a + a2. a− a3. a ·a（内积）4. a ×a（叉积）解答：1. a + a:(−2a + 3a + 4a) + (5a− 2a + a)= (−2 + 5)a+ (3 − 2)a + (4 + 1)a= 3a + a + 5a2. a− a:(−2a + 3a + 4a) − (5a− 2a + a)= (−2 − 5)a + (3 + 2)a+ (4 − 1)a= −7a + 5a + 3a3. a ·a:(−2a + 3a + 4a) · (5a− 2a + a)= −10 − 6 + 4= −124. a ×a:使用右手定则，得到:a ×a = (3a)(a) − (4a)(−2a) + (−2a)(−2a)= 3a + 11a + 8a题目二：向量投影已知向量a = 2a + a + 3a和向量a = 3a− a + 2a，求向量a在向量a上的投影。
解答：向量a在向量a上的投影记为 proj a(a)。
根据向量投影的公式，可以计算出投影向量：proj a(a) = a ·a / |a|² * a其中，|a| 表示向量a的模长。
首先计算 |a| 的值：|a| = √(3²+ (−1)² + 2²) = √14然后计算a ·a的值：a ·a = (2a + a + 3a) · (3a− a + 2a)= 6 − 1 + 6= 11最后，代入公式计算投影向量：proj a(a) = 11 / (14) * (3a− a + 2a)= (33/14)a− (11/14)a + (22/14)a= (33/14)a− (11/14)a + (11/7)a题目三：向量夹角已知向量a = 2a− a和向量a = 3a + 4a，求向量a和向量a的夹角的余弦值。
空间向量基本定理及运算 第一章学业水平测试(B卷)
第一章学业水平测试卷(B卷)(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．1．下列向量中，与向量(2，－3，1)平行的是( )．A．(1，1，1)B．(－2，3，1)C．21133⎛⎫⎪⎝⎭－，，－D．(－2，－1，1)2．在空间直角坐标系中，已知点A(1，3，－4)关于原点中心对称的点为B，而点B关于x轴对称的点为C，则AC＝( )．A．(－2，0，0)B．(－2，3，0)C．(－2，0，－4)D．(1，0，－4)3．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点．若BE＝x1AA＋y AB ＋z AD，则( )．A．x＝1，12y＝－，12z＝B．x＝1，12y＝，12z＝－C．12x＝，y＝1，12z=-D．12x＝－，y＝1，12z＝4．如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，∠ABC＝90°，点D，E，N分别为P A，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，P A＝AC＝2AB＝4，则直线MN到平面BDE的距离为( )．A 3B ．47C ．57D 215．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BD 1上，且11D P D B λ＝(0＜λ＜1)．当∠APC 为锐角时，则实数λ的取值范围为( )．A ．10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1 12⎛⎫⎪⎝⎭，C ．10 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1 13⎛⎫⎪⎝⎭， 6．已知空间向量11 02OA ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝ ，，，1 2 0OB ＝ ，，()，10 1 2OC ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ＝ ，OP xOA yOB zOC ＝＋＋，且x ＋2y ＋z ＝2，则||OP 的最小值为( )．A 2B 3C ．2D ．4二、多项选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．7．下列说法不．正确的是( )． A ．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底B ．若向量a ，b ，c 不全为零向量，则{a ，b ，c }可构成空间的一个基底C ．若{a ，b ，c }和{d ，e ，f }都为空间的基底，则a ＝d ，b ＝e ，c ＝fD ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底8．已知平面α＝{P |n ·0P P ＝0}，其中点P 0(1，2，3)，α的法向量n ＝(1，1，1)，则下列各点中不．在平面α内的是( )． A ．(3，2，1)B ．(－2，5，4)C ．(－3，4，5)D ．(2，－3，6)三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在题后的横线上． 9．已知空间向量a ＝(1，2，3)，b ＝(3，－1，2)，c ＝(－1，0，1)，则a －b ＋2c ＝________． 10．已知空间向量a ＝(1，1，2)，b ＝(2，3，2)，则向量a 在向量b 上投影向量的坐标是________．11．直线l1，l2的方向向量分别为a＝(3，2，1)，b＝(2，x，1)．若l1⊥l2，则x＝________．12．已知球O的半径为1，AB是球O的直径，点D在球O的球面上．若空间中一点C 与点D间的距离为3，则CA CB的最小值为________．13．如图，在边长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在B1C1上，点Q在平面ABB1A1内，设直线AA1与直线PQ所成角为θ．若直线PQ到平面ACD1的距离为32，则sin θ的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.14．(8分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝2，点E是DC的中点．(1)求点B1到直线AD1距离；(2)求证：平面AD1E⊥平面BB1E．15．(10分)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC ＝AA1＝2A1B1＝2，D，E，F，G分别为AC，AB，BB1，CC1的中点．(1)求直线AB1与直线DG所成的角的余弦值；(2)求证：平面AB1C1∥平面DEFG．16．(10分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为棱AA1的中点，点P在侧面C C1D1D内，且DP⊥CP，D1E∥平面P AB．(1)求AP的长度；(2)求点E到平面P AB的距离．17．(10分)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠C＝60°，点D在AC上，AD＝2DC＝4，点F在BC上，CF＝2BF＝3，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到点P，且PF＝3．(1)求证：PF⊥平面BCDE；(2)求直线EF与平面PED所成角的正弦值．18．(10分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝2BC＝2，点E为AC1的中点，点F在线段AB1上，且B1F＝2AF．(1)求平面CEF与平面A1B1C1的夹角的余弦值；(2)点G在AB上，若直线CG在平面CEF内，求线段AG的长．参考答案一、单项选择题． 1．C ． 2．A ． 3．A ． 4．D ． 5．C ． 6．B ．二、多项选择题． 7．ABC ． 8．BD ． 三、填空题． 9．(－4，3，3)． 10．182718 171717⎛⎫⎪⎝⎭，，． 11．72－．12．323－． 13．33． 四、解答题．14．(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (1，2，0)，D 1(0，0，1)，B 1(1，2，1)，E (0，1，0)，所以1AD ＝(－1，0，1)，1AB ＝(0，2，1)，AE ＝(－1，1，0)，1BB ＝(0，0，1)，EB ＝(1，1，0)．取a ＝1AB ＝(0，2，1)，1122 0 22||AD AD ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝＝－，，u ，则a 2＝5，a ·u ＝22．所以点B 1到直线AD 1距离为22132522－()＝－＝a a u ．(2)设平面AD 1E 的法向量是n 1＝(x ，y ，z )，则11100AD AE ⎧⎪⎨⎪⎩，＝．＝n n 所以00x z x y ⎧⎨⎩－＋＝，－＋＝.取x ＝1，则y ＝z ＝1．所以n 1＝(1，1，1)是平面AD 1E 的一个法向量．同理，平面BB 1E 的一个法向量为n 2＝(1，－1，0)．因为n 1·n 2＝1－1＝0，所以平面AD 1E ⊥平面BB 1E ．15．(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B 1(1，0，2)，D (0，1，0)，E (1，0，0)，C 1(0，1，2)，30 12G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，3 0 12F ⎛⎫⎪⎝⎭，，，所以11 0 2AB ＝(，，)，10 12DG ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，，，1 0 12EF ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，，， 1 1 0DE ＝(，－，)，10 1 2AC ＝(，，)． 设向量1AB 与DG 的夹角为θ，则直线AB 1和DG 所成角的余弦值等于|cos θ|． 1AB ·DG ＝(1，0，2)·10 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，，＝2，|1AB |＝5，|DG |＝52． 所以1124cos 5||||552AB DG AB DG θ×＝＝＝．所以直线AB 1与直线DG 所成的角的余弦值45． (2)设平面DEFG 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则1100EF DE ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝．n n 所以1020x z x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋＝，－＝．取x ＝2，则y ＝2，z ＝－1．所以，n 1＝(2，2，－1)为平面DFG 的一个法向量．同理可得，n 2＝(2，2，－1)为平面AB 1C 1的一个法向量． 所以n 1＝n 2，即平面AB 1C 1∥平面DFG ．16．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB ＝2，P (0，m ，n )，则0 2 0AB ＝(，，)，12 0 1D E ＝(，，－)，2 AP m n ＝(－，，)， 0 DP m n ＝(，，)，0 2 CP m n ＝(，－，)．所以 DP CP ＝m (m －2)＋n 2＝0，即(m －1)2＋n 2＝1．设n ＝(x ，y ，z )是平面P AB 的法向量，则00AB AP ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝．，n n 所以2020y x my nz ⎧⎨⎩＝，－＋＋＝．取z ＝2，则x ＝n ． 所以n ＝(n ，0，2)是平面P AB 的一个法向量．又因为D 1E ∥平面P AB ，所以1 220D E n ＝－＝n ，即n ＝1，m ＝1． (1)因为2 1 1AP ＝(－，，)．所以||6AP ＝．(2)因为0 0 1AE ＝(，，)，由(1)可知，n ＝(1，0，2)是平面P AB 的一个法向量． 所以点E 到平面P AB 的距离为0 0 11 0 22555AE |||(，，)(，，)|＝＝||n n ． 即点E 到平面P AB 的距离为255． 17．(1)因为AC ＝6，CF ＝3，∠C ＝60°，所以AF ⊥BC ．因为DE ∥BC ，所以AF ⊥DE ．连接AF ，设直线DE 与直线AF 相交于点G ．建立如图所示的直角坐标系．设∠PGF ＝θ，则0 23cos 23sin P θθ(，，)，D (－2，0，0)，E (1，0，0)，F (0，3，0)．所以0 23cos 3 23sin PF θθ||＝|(，－＋，－)| 2223cos 323sin 3θθ＝(－)＋()＝．所以cos θ＝12．所以0 0 3PF ＝(，，－)． 因为m ＝(0，0，1)是平面BCDE 的一个法向量，且3PF ＝－m ，所以PF ⊥平面BCDE ． (2)由(1)得1 3 0EF ＝(－，，)，3 0 0DE ＝(，，)，1 3 3EP ＝(－，，)，设平面PED 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则00DE EP ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝．n n 所以30330x x y z ⎧⎪⎨⎪⎩＝，－＋＋＝． 取y ＝3，则z ＝－1．所以n ＝(0，3，－1)是平面PED 的一个法向量． 设直线EF 与平面PED 所成角为β，则 sin β＝0 3 1 1 3 03224 EF EF (，，－)(－，，)＝＝×||||n n ．所以直线EF 与平面PED 所成角的正弦值34． 18．取AC 中点为H ，建立如图所示的直角坐标系，则13 022C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭－，，，13 022A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，－，，A 1(0，0，3)， 13 022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，n ＝(0，0，1)为平面A 1B 1C 1的一个法向量．(1)设C 1(x 1，y 1，z 1)，因为11CC AA ＝，所以1111313 3 2222x y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－，，＋，－，＝． 所以x 1＝－1，y 1＝3，z 1＝3，即C 1(－1，3，3)，因此133 442E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭－，，． 设B 1(x 2，y 2，z 2)，因为11BB AA ＝，所以22213133 2222x y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－，，＝－，－，． 所以x 2＝0，y 2＝3， z 2＝3，即B 1(0，3，3)． 因为111133133 3 3322623AF AB ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝－，，＝－，，． 所以533 623CF ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝，－，，133 442CE ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝，－，． 设平面CEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，所以2200CE CF ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝．n n 即13304425330623x y z x y z ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－＋＝，－＋＝． 取3y ＝，则32x ＝，34z ＝．所以233 3 24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝，，n 是平面CEF 的一个法向量． 设平面CEF 与平面A 1B 1C 1的夹角为θ，则cos θ＝1212330 0 1 3 24 29 298714⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(，，)，，＝＝||||×n n n n ，即平面CEF 与平面A 1B 1C 1夹角的余弦值为2929． (2)设1 02G m ⎛⎫⎪⎝⎭，，，则31 02CG m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝，－，．因为直线CG在平面CEF内，所以CG xCG yCF＝＋，即2330 22CG＝＋－＝n，所以m＝0，即AG．。
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新课标高二数学同步测试（ 2－ 1 第三章）一、选择题 ：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分）． 1．在平行六面体 ABCD A 1 B 1C 1 D 1 中， M 为 AC 与 BD 的交点，若 A 1B = a ，—A 1 D 1 =b ， A 1 A =c . 则下列向量中与B 1M 相等的向量是（）A ． 1 a1 b cB ． 1a1b c2222图C ． 1a1b c D ． 1 a1b c22222．在下列条件中，使 M 与 A 、B 、C 一定共面的是（）A ． OM 2OA OBOC B ． OM1OA1OB1OC532C ． MA MB MC 0D ． OM OA OB OC3．已知平行六面体 ABCD A ' B 'C ' D ' 中， AB=4，AD=3， AA ' 5 ， BAD900 ，BAA 'DAA '600 ，则 AC ' 等于（）A ．85B ． 85C ． 5 2D ．50r (1, 3,2) 平行的一个向量的坐标是（4．与向量 a）A ．（ 1，1，1）B ．（－ 1，－ 3， 2） 来源 : 学| 科| 网 Z|X|X|K]3C ．（－ 1， 3，－ 1）D ．（ 2 ，－ 3，－ 2 2）2 2uuur uuur）5．已知 A （－ 1，－ 2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量 OA,与 OB 的夹角是（A ．0B ．C ．D ．3226．已知空间四边形 ABCD 中， OA a ，OB b ，OC c ，点 M 在 OA 上，且 OM=2MA ，N 为 BC 中点，则 MN =（）A ．1 a2 b 1 c． 21123 2322 C ．1 a 1 b 1 c． 2212 223327．设 A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足 AB ? AC 0，AC ? AD 0，AB ? AD 0 ，则BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．空间四边形 OABC 中， OB=OC ， 0，（ ）AOB= AOC=60，则 cos OA BC =A ．1B ．2C ． 1D ．02229．已知 A （ 1，1，1）、B （2，2，2）、 C （ 3， 2，4），则 ABC 的面积为（）A ． 3B ． 2 3C ． 6D ．6210． 已知 a (1t,1 t ,t ),b (2,t, t ) ，则 | a b | 的最小值为（）A ．5B ．55C ．3 5D ．115555二、填空题： 请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分）．11．若 a (2,3, 1) ， b ( 2,1,3) ，则 a, b 为邻边的平行四边形的面积为． 12．已知空间四边形 OABC ，其对角线为 OB 、AC ， M 、N 分别是对边 OA 、BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 MG 2GN ，现用基组 OA,OB,OC 表示向量，有 OG =xOA yOB zOC ，则 x 、y 、z 的值分别为．13．已知点 A(1， 2，11) 、B(4，2，3) ，C(6， 1，4) ，则 ABC 的形状是 ．14．已知向量 a(2, 3,0) ， b (k,0,3) ，若 a, b 成 1200 的角，则 k= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 共 76分) ．15．（12 分）如图，已知正方体 ABCD A' B 'C 'D ' 的棱长为 a ，M 为 BD '的中点，点 N 在 AC ' '上，且 | A' N | 3| NC '| ，试求 MN 的长．[ 来源 :][ 来源 : 学科网16．（12 分）如图在空间直角坐标系中 BC ，原点 O 是 BC 的中点，点 A 的坐标是=2( 3 , 1,0) ，点 D 在平面 yOz 上，且∠ =90°，∠ =30°. [ 来源 :]2 2BDC DCB （1）求向量 OD 的坐标； （2）设向量 AD 和 BC 的夹角为 θ，求 cos θ 的值图17．（12 分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．18．（ 12 分）四棱锥 P — ABCD 中，底面 ABCD 是一个平行四边形， AB ={2 ，－1，－4} ，AD ={4 ，2， 0} ， AP ={ －1，2，－ 1}. （1）求证： PA ⊥底面 ABCD ； （2）求四棱锥 P —ABCD 的体积；19．（14 分）如图所示，直三棱柱 ABC — A 1B 1 C 1 中， CA=CB=1，∠ BCA=90°，棱 AA 1=2，M 、N 分别是 A 1B 1 、A 1A 的中点 .（1）求 BN 的长；（2）求 cos< BA 1 ,CB 1 > 的值； [ 来源 : 学&科&网]（3）求证： A 1 B ⊥ C 1M.20．（14 分）如图，已知平行六面体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 的底面ABCD 是菱形且∠ C 1 CB ∠C 1CD ∠ == BCD=60°.（1）证明： C 1 C ⊥ BD ；（2）假定 CD=2，CC 1= 3，记面 C 1BD 为α，面 CBD 为 β，求二面角 α—2BD —β 的平面角的余弦值；（ 3）当CD的值为多少时，能使 A 1C ⊥平面 C 1BD ？请给出证明 .CC 1参考答案一、．；解析： 1 ( ) 1（－ a b ）－111 A B M B B BM A A BA BC =c + = a + b + c ．评2 2 2 2述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法 . 考查学生的空间想象能力 .2． A ；解析：空间的四点 P 、A 、B 、C 共面只需满足 OP xOA yOB zOC, 且 x y z 1 既可．只有选项 A ．3． B ；解析：只需将 ACAB ADAA ，运用向量的内即运算即可，| AC | AC2．4． C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即 b 0, a // b ab ．a b 5． C ；解析： cos，计算结果为－ 1．| a | | b |6． B ；解析：显然 MN ON OM1(OB OC )2OA ．2 37． B ；解析：过点 A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．8． D ；解析：建立一组基向量 OA,OB,OC ，再来处理 OA BC 的值．9． D ；解析：应用向量的运算，显然cos AB , ACAB ACsin AB, AC ，| AB || AC |从而得 S 1| AB || AC | sin AB, AC ．10．C ； 2二、11． 6 5 ；解析： cos a, ba b2，得 sina, b3 5，可得结果．| a || b |7712． 1OA1OB1OC ；63 3解析：OG OMMG1OA 2 MN1OA2(ON OM )2 3231OA 2 [ 1(OB OC ) 1OA]2 3 2 21 1 OB 1 OCOA 3 3613．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得： | AB |2 | BC |2 | AC |2 ．14．39 ；解析： cosa, ba b2k1，得 k39 ．| a | | b |13 9 k 22三、为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为 a ，所以 B （a ，a ， ）， 15．解：以 D （ ， a ， a ）， （ ， ，a ）． 0 A' （ a ， ，a ），C 'D '0 0 0 0由于 M 为 BD '的中点，取 A'C ' 中点 O' ，所以 M （ a ，a ，a ），O'（ a ，a，a ）．因为 | A' N | 3| NC ' | ，2 2 2 2 2所以 N 为 A'C ' 的四等分，从而 N 为 O 'C ' 的中点，故 N （ a，3a ， a ）．4 4根据空间两点距离公式，可得 | MN |(aa ) 2 (a3a )2 ( aa) 26a ．242424BC ， 16．解：（ 1）过 D 作 DE ⊥BC ，垂足为 E ，在Rt △ BDC 中, 由∠ BDC ° ∠ DCB°，=90 , =30=2得 BD=1，CD= 3 ，∴ DE=CD ·sin30 °= 3 . OE=OB －BE=OB －BD ·cos60°=1－11 .22 2∴D 点坐标为（ ，－ 1 3），即向量 OD → ] 的坐标为 {0 ，－1 3 }.,2 [TX, 222（2）依题意： OA { 3 , 1,0}, OB { 0, 1,0}, OC { 0,1,0} ，2 2所以 ADOD OA{3, 1,3}, BC OC OB{ 0,2,0} .22设向量 AD 和 BC 的夹角为 θ，则3 ( 1)23 0cos θ=AD BC22110 .| AD | | BC |(3) 2 ( 1)2 ( 3 )2 02220252 217． 证：如图设 SAr 1 , SB r 2 , SC r 3 ，则 SE, SF, SG, SH, SM , SN 分别为 1r 1 ， 1(r 2 r 3 ) ，1 (r 1 r2 ) ， 1 r3 ， 1r 3 ) ， 122(r 1 r 2 ，由条件 EH=GH=MN 得：2 2 22( r 2r 3 r1 )2( r 1r2 r3 ) 2( r 1r 3 r2 )2222展开得 r 1 r 2 r 2 r 3r 1 r 3∴ r 1 (r 3 r 2 ) 0 ，∵ r 1 ≠ 0 ， r 3 r 2 ≠ 0 ，∴ r 1 ⊥（ r 3 r 2 ）即 SA ⊥ BC ．同理可证 SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．18． （1）证明：∵ AP AB =－2－2+4=0，∴ AP ⊥ AB.又∵ AP AD =－4+4+0=0，∴ AP ⊥AD.∵ AB 、 AD 是底面 ABCD 上的两条相交直线，∴ AP ⊥底面 ABCD.（2）解：设 AB 与 AD 的夹角为 θ，则AB AD8 23cos θ=4 1 1616 4105| AB | | AD |V 1 | AB | · | AD | · sin θ ·| AP |= 2 105 91 4 1 1633105（ ）解： | （ AB × AD ）· AP |=| － － － －它是四棱锥 P —ABCD 体积的3 倍 . 34 32 4 8|=48猜测：|（ AB × AD ）· AP | 在几何上可表示以 AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积 （或以 AB 、AD 、 AP 为棱的直四棱柱的体积） .评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、 空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等. 主要考查考生的运算能力， 综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力 . O —xyz . 19．如图，建立空间直角坐标系 （1）依题意得 B （0，1，0）、N （1，0，1）∴|BN |= (1 0)2(0 1) 2(1 0)23 .图（2）依题意得 A 1（ ， ， ）、B （ ， ， ）、 C （ ， ， ）、B 1（ ， ， ）1 0 20 1 0 0 0 0 0 1 2∴ BA 1 ={ －1，－ 1，2} ， CB 1 ={0 ，1，2， } ， BA 1 · CB 1 =3，| BA 1 |= 6 ， | CB 1 |= 5∴cos< BA 1 ， CB 1 >= BA 1 CB 1130 .| BA 1 | | CB 1 | 10（3）证明：依题意，得 C 1（0，0，2）、M （ 1 , 1 ，2）， A 1 B ={ －1，1，2} ， C 1M ={ 1 , 1，2 22 20}. ∴ A 1B · C 1M =－11 +0=0，∴ A 1B ⊥ C 1M ，∴ A 1 B ⊥ C 1M.2 2评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识 . 考查空间两向量垂直的充要条件 .．（ ）证明：设 CB = a ， CD = b ，CC 1 =c ，则 | a |=| b | ，∵ BD CD CB =b － a ， 20 1∴ BD · CC 1 =（ b － a ）· c =b · c － a · c =| b | ·| c |cos60 °－ | a | ·| c |cos60 ° =0， ∴C 1C ⊥BD.（2）解：连 AC 、 BD ，设 AC ∩ BD=O ，连 OC 1，则∠ C 1OC 为二面角 α—BD —β的平面角 .∵ CO12(BCCD)1 （ a + b ）， C 1O2COCC 11 （ a +b ）－2c∴ CO ·C 1O1 （ a +b ）·［ 21 （ a +b ）－2c ］= 1 （ a 2+2 a · b +b 2）－ 1 a · c － 1b · c4 2 2= 1 （4+2·2·2cos60°+4）－ 1·2·3cos60°－ 1· 2· 3cos60° = 3 .4 22222则 | CO |= 3 ， | C 1O |= 3C 1OC CO C 1O3，∴ cos=| CO | | C 1O |32（3）解：设CD=x ，CD=2， 则 CC 1= 2.CC 1x∵BD ⊥平面 AA 1C 1C ，∴ BD ⊥A 1C∴只须求满足： A 1C C 1 D =0 即可 .设 A 1 A =a ， AD = b ， DC =c ，∵ A 1C =a + b + c ， C 1 D = a － c ，∴ A C C D （c ）（ a － c ） 2+ a · b － b · c － c 2=4 2－，2x x令 6－24，得 x=1 或－ 2（舍去） . xx 2 =0x= 3评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题 .。