高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (12)(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (12)

一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）

1.已知三个点A，B，C的坐标分别为(3,−4)，(6,−3)，(5−m,−3−m)，若△ABC为直角三角形，

求实数m的值．

2.已知m→=(√3sinωx,cosωx)，n→=(cosωx,−cosωx)(ω>0,x∈R)，f(x)=m→⋅n→−1

且f(x)的图

2

．

象上相邻两条对称轴之间的距离为π

2

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=√7，f(B)=0，sinA=3sinC，求

a，c的值及AC边上的中线．

3.已知向量a⃗=(−2,1)，b⃗ =(x,y)．

(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先

后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a⃗·b⃗ =−1的概率；

(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ⃗ ·b ⃗ <0的概率．

4. 在平面直角坐标系xOy 中，

已知A(−1,−1),B(2,−1),C(m,n)为三个不同的定点.以原点O 为圆心的圆与线段AB,AC,BC 都相切． (Ⅰ)求圆O 的方程及m,n 的值；

(Ⅱ)若直线l:y =−x +t (t ∈R)与圆O 相交于M,N 两点，且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12

，求t 的值； (Ⅲ)在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有|PA |

|PQ |=λ (λ为常数)？若存在，求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由．

5. 设向量a ⃗ =(cos 23°,cos 67°)，b ⃗ =(cos 68°,cos 22°)，u ⃗ =a ⃗ +t b ⃗ (t ∈R)．(1)求a ⃗ ⋅b ⃗ ；

(2)求u ⃗ 的模的最小值．

6. 在▵ABC 中，AB =2，AC =1，∠BAC =120o ，点E ，F 在BC 边上且BE →

=λBC →

，BF →

=μBC →

．

(1)若λ=1

3，求AE 的长； (2)若AE →

⋅AF →

=4，求1

λ+1

μ的值．

7. 在直角梯形ABCD 中，已知AB //CD ，∠DAB =90°，AB =6，AD =CD =3，对角线AC 交BD

于点O ，点M 在AB 上，且OM ⊥BD ．

(1)求AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD

⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (2)若N 为线段AC 上任意一点，求AN ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．

8.已知向量a⃗=(cos α,sin α),b⃗ =(cos β,sin β)，且a⃗与b⃗ 满足关系|k a⃗+b⃗ |=√3|a⃗−k b⃗ |(k>

0).

(1)求a⃗与b⃗ 的数量积用k表示的解析式f(k)；

(2)a⃗能否和b⃗ 垂直？a⃗能否和b⃗ 平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k值

(3)求a⃗与b⃗ 夹角的最大值．

9.已知向量a⃗=(cos3

2x,sin3

2

x),b⃗ =(cos x

2

,−sin x

2

)，且x∈[0,π

2

]，求：

(1)a⃗⋅b⃗ 及|a⃗+b⃗ |；

(2)若f(x)=a⃗⋅b⃗ −2λ|a⃗+b⃗ |的最小值为−3

2

，求实数λ的值．

10.在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且bsinA=√3

a．

2

(1)求B的大小；

(2)若AB=2，BC=3

，点D在边AC上，________，求BD的长．

2

请在①AD=DC；②∠DBC=∠DBA；③BD⊥AC这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答(如选多个条件作答，按排列最前的解法评分)．

11.对于一个向量组a1⃗⃗⃗⃗ ，a2⃗⃗⃗⃗ ，a3⃗⃗⃗⃗ ，⋯，a n⃗⃗⃗⃗ (n≥3,n∈N∗)，令S n⃗⃗⃗⃗ =a1⃗⃗⃗⃗ +a2⃗⃗⃗⃗ +a3⃗⃗⃗⃗ +⋯+a n⃗⃗⃗⃗ ，如果存在

a p⃗⃗⃗⃗ (p∈N∗)，使得|a p⃗⃗⃗⃗ |≥|S n⃗⃗⃗⃗ −a p⃗⃗⃗⃗ |，那么称a p⃗⃗⃗⃗ 是该向量组的“长向量”．

(1)若a3⃗⃗⃗⃗ 是向量组a1⃗⃗⃗⃗ ，a2⃗⃗⃗⃗ ，a3⃗⃗⃗⃗ 的“长向量”，且a n⃗⃗⃗⃗ =(n,x+n)，求实数x的取值范围;

(2)已知a1⃗⃗⃗⃗ ，a2⃗⃗⃗⃗ ，a3⃗⃗⃗⃗ 均是向量组a1⃗⃗⃗⃗ ，a2⃗⃗⃗⃗ ，a3⃗⃗⃗⃗ 的“长向量”，试探究a1⃗⃗⃗⃗ ，a2⃗⃗⃗⃗ ，a3⃗⃗⃗⃗ 的等量关系并加以

证明．

12.在平面上，给定非零向量b⃗ ，对任一向量a⃗，定义a′⃗⃗⃗ =a⃗−2(a⃗ ⋅b⃗)

|b⃗|

b⃗ ．

(1)若a⃗=(2,3)，b⃗ =(−1,3)，求a′⃗⃗⃗ ；

(2)若b⃗ =(2,1)，位置向量(某一点的位置向量是以原点为起点，以该点为终点的向量)a⃗的终点

坐标满足方程Ax+By+C=0，求位置向量a′⃗⃗⃗ 的终点坐标满足的条件；

(3)已知存在单位向量b⃗ ，当位置向量a⃗的终点坐标满足x2=y时，位置向量a′⃗⃗⃗ 的终点坐标满足

y2=x，求b⃗ 的坐标．

13.已知向量a⃗=(2+sinx,1)，b⃗ =(2,−2)，c⃗=(sinx−3,1)，d⃗=(1,k)(x∈R,k∈R)．

(1)若x∈[−π

2,π

2

]，且a⃗//(b⃗ +c⃗ )，求x的值．

(2)若函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ，求f(x)的值域．

(3)是否存在实数k，使得(a⃗+d⃗)⊥(b⃗ +c⃗ )?若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理

由．

14.平面向量a⃗,b⃗ 夹角为60∘，且|a⃗−b⃗ |=2．