椭圆的性质及应用
椭圆的定义与性质
椭圆的定义与性质椭圆是数学中的一个重要几何概念，它在几何学、物理学、天文学等领域中都有广泛的应用。
本文将从椭圆的定义、性质以及应用等方面进行探讨。
一、椭圆的定义椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点的距离之和等于常数的情况。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
椭圆的定义可以用数学表达式表示为：对于平面上的点P(x, y)，到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 =2a。
其中，a为椭圆的半长轴。
二、椭圆的性质1. 焦点与半长轴的关系：椭圆的两个焦点到椭圆中心的距离之和等于2a，即F1C + F2C = 2a。
这表明椭圆的中心C位于焦点连线的中垂线上。
2. 离心率与形状的关系：离心率e是椭圆的一个重要参数，它决定了椭圆的形状。
当离心率e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆的形状趋近于圆；当e=1时，椭圆退化为一个抛物线；当e>1时，椭圆的形状趋近于双曲线。
3. 半短轴与半长轴的关系：椭圆的半长轴为a，半短轴为b，它们之间的关系可以用离心率e来表示，即e = √(1 - b²/a²)。
通过这个公式，我们可以计算出椭圆的半短轴。
4. 焦点与直径的关系：椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的直径。
这个性质在椭圆的应用中非常重要，例如在天文学中，可以用椭圆的性质来描述行星的轨道。
三、椭圆的应用1. 天文学中的椭圆轨道：行星绕太阳运动的轨道可以近似看作椭圆，根据椭圆的性质，可以计算出行星的轨道参数，如离心率、半长轴等。
2. 椭圆的光学性质：椭圆镜是一种常见的光学元件，它可以将入射光线聚焦到一个点上，用于望远镜、显微镜等光学仪器中。
3. 椭圆的工程应用：在建筑、桥梁等工程设计中，椭圆形状的结构可以提供更好的力学性能和美观效果。
总结：椭圆作为一种重要的数学概念，在几何学和应用数学中都有广泛的应用。
通过对椭圆的定义与性质的探讨，我们可以更好地理解椭圆的形状特征以及其在各个领域中的应用。
椭圆的一个几何性质和在物理学中的应用
椭圆的几何性质和在物理学中的应用1 几何性质为了思路清晰简明，我们采用罗列命题的方式叙述椭圆的几何性质，但这又不是简单的罗列，各命题间是有紧密地联系的。
定义1：椭圆是到两个定点（焦点）的距离和等于定长（2a ）的点的轨迹。
命题1：椭圆外一点到椭圆两焦点的距离和大于椭圆上一点到两焦点的距离和。
【证明】：如图1所示，M 是椭圆外任一点，1MF 和2MF 分别是该点到两焦点1F 和2F 的距离。
由于M 在椭圆之外，所以我们总能够在椭圆上找到一点N ，使此点在21F MF ∆内。
所以总有a NF NF MF MF 22121=+>+。
下面我们证明命题1中用到的关于三角形的一个命题。
命题2：三角形内一点到两个顶点的距离和小于第三个顶点到这两个顶点的距离和。
【证明】：如图，M 是ABC ∆中任一点，我们要证明的是CB CA BM AM +<+。
延长AM 与BC 交于D 点。
在ADC ∆中，由于两边之和大于第三边，有MD AM CD CA +>+； 在BDM ∆中，由于两边之和大于第三边，有MB MD DB >+。
上面两式相加有CB CA BM AM +<+，命题得证。
命题3：椭圆内一点到两焦点的距离和小于椭圆上一点到两焦点的距离和。
图3图1ABCMD 图2【证明】：如图3所示，我们总能够在椭圆上找一点N ，使M 位于21F NF ∆内。
由命题2可知命题正确。
我们可以说，椭圆的外部是这样的点的集合，它到椭圆的两个焦点的距离之和大于2a ；椭圆的内部是这样的点的集合，它到椭圆的两个核糖点的距离之和小于2a ；椭圆上的点到两个焦点的距离之和恰为2a 。
定义2：与椭圆只有一个公共点的直线称为椭圆的切线。
命题4：椭圆的切线不可能通过椭圆内的任何一点。
【证明】：假设切线可过椭圆内一点，则必与椭圆交于两点，这与该线为椭圆的切线相矛盾。
命题5：构成椭圆的切线的点的集合中，切点是到两个焦点的距离和最小的点。
椭圆的性质及应用
椭圆的性质及应用教学目标(一)知识教学点通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．(二)能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．(三)学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．教学重点：椭圆的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．)教学难点：椭圆离心率的概念的理解．(解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．)教学疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．(解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．)活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．教学过程(一)复习提问1．椭圆的定义是什么？2．椭圆的标准方程是什么？学生口述，教师板书．(二)几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是b＞0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．1．范围即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．2．对称性先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，-y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x，y)必在曲线上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．3．顶点只须令x=0，得y=±b，点B1(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得x=±a，点A1(-a，0)、A2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．教师还需指出：(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．4．离心率教师直接给出椭圆的离心率的定义：等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义．先分析椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(2)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了．(三)应用为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1．例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成．后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：(2)描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19)．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少．本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M将上式化简，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆．由此例不难归纳出椭圆的第二定义．(四)椭圆的第二定义1．定义平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．2．说明这时还要讲清e的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比．(五)小结解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．布置学生最后小结下列表格：五、布置作业1．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．2．我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面266Km，远地点距地面1826Km，求这颗卫星的轨道方程．3．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．的方程．作业答案：4．顶点(0，2)可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情况求方程：。
椭圆及特殊椭圆知识点(经典完整版)
椭圆及特殊椭圆知识点(经典完整版)椭圆及特殊椭圆知识点（经典完整版）1.概述椭圆是一个重要的几何概念，具有许多特殊性质和应用。
本文将介绍椭圆的基本定义和性质，并探讨一些特殊类型的椭圆。
2.椭圆的定义椭圆是一个平面图形，由到两个焦点的距离之和恒定于一个常数，且大于两个焦点间距离的点构成。
椭圆可以由一个固定点（焦点F1）和一条固定线段（主轴）决定。
3.椭圆的性质椭圆具有以下性质：半长轴：椭圆主轴的一半长度，用a表示。
半短轴：椭圆次轴的一半长度，用b表示。
焦距：焦点到椭圆某点的距离之和，等于椭圆的长轴长度。
离心率：描述椭圆的扁平程度，为焦距与长轴长度之比，用e 表示。
焦点坐标：椭圆的焦点F1的坐标表示为(-ae。
0)，焦点F2的坐标表示为(ae。
0)。
4.特殊椭圆4.1 圆当椭圆的长轴和短轴长度相等时，椭圆变成一个圆。
圆是一种特殊的椭圆，具有对称性和均匀性。
4.2 扁圆当椭圆的离心率接近于1时，椭圆变得扁平，称为扁圆。
扁圆的长轴明显大于短轴，形状更接近于一个狭长的椭圆。
4.3 扇形扇形是由椭圆上的一段弧和两条半径组成的图形。
扇形的面积可以通过椭圆扇形公式计算。
4.4 椭圆柱体椭圆柱体是由椭圆沿其中一条轴旋转形成的立体图形。
椭圆柱体具有椭圆的特性，并且其体积和表面积可以通过相应的公式计算。
5.应用领域椭圆的特性使其在许多领域中得以应用，包括：天文学：描述轨道和行星运动。
工程学：设计轮廓和曲线。
密码学：用作加密算法的基础。
6.结论椭圆是一个重要的几何概念，具有多种特殊性质和应用。
我们通过介绍椭圆的定义、性质和特殊类型，认识到椭圆在几何学和其他领域中的重要性。
第28章椭圆的性质及应用
第二十八章 椭圆的性质及应用【基础知识】椭圆具有一般圆锥曲线的性质外，还具有如下有趣性质：性质1椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，其上任意一点()00,P x y 处的两条焦半径长分别为10PF ex =+，20PF a ex =-（其中e 为椭圆离心率，1F ，2F 分别为左、右焦点．下均同）． 性质2以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相切．证明设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，O 为中心，M 为2PF 的中点，则()1221112222MO PF a PF a PF ==-=-，即圆心距等于两圆半径之差，故M 与O （a ）相切．为叙述方便，定义椭圆上非顶点的某一点P 与两焦点1F ，2F 所构成的三角形为焦点三角形，且称顶点P 的内、外角平分线（即P 点处的法、切线）与长轴的交点分别为内点M 、外点N ．性质3椭圆焦三角形中，内点M 到一焦点之距离与该焦点为端点的焦半径之比为常数e ．证明设内点为M ，则1212121222MF MF MF MF ce PF PF PF PF a+====+． 性质4椭圆焦三角形中，（I ）其内心I 将内点M 与P 点连线段分成定比e ；（Ⅱ）半焦距为内点M 、外点N 到椭圆中心的距离的比例中项，即2c OM ON =⋅；（Ⅲ）椭圆中心到内点之距与内点到同侧焦点之距，半焦距与外点到同侧焦点之距成比例，即222OM OF MF F N=；（Ⅳ）半焦距、外点与椭圆中心连线段、内焦与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例，即122OF MF ONF N=；（V ）过一焦点2F 向P 点处外角平分线（即P 点处切线）引垂线，则椭圆中与垂足Q 连线必与另一焦半径1PF 所在直线平行（注意2F Q MP ∥）； （Ⅵ）OQ a =；（Ⅶ）22cos cos F PNe F NP∠=∠（设2F '为2F 关于PN 的对称点，则290F PN E '∠=︒-∠，22290F NP F F N '∠=︒-∠，注意12122212sin sin F F F FF F F F '=''∠∠，即证）．性质5椭圆()222210x y a b a b+=>>上任一点P ，（I ）()00,P x y 点处的两焦半径的乘积，其最大值为2a ，最小值为2b ；（Ⅱ）若122F PF θ∠=，则122tan PF F S b θ=△，且02t a n c y b θ=及两焦半径的乘积为定值22cos b θ．证明（Ⅰ）当P 点在短轴顶点时，212|||PF PF a ⋅=|；当P 点在长轴顶点时，22212PF PF a c b ⋅=-=； （Ⅱ）如图28-1，设12PF F △的内切圆半径为r ，注意切线长定理则可证明：()tan r a c θ=-⋅．又12PF F △的周长为22a c +，则12222122tan tan 2PF F S a c r a c b θθ+⋅=-⋅=△=（）（），图28-1从而1221222sin 2cos PF F S b PF PF θθ⋅==△．由2012tan 2c y b θ⋅⋅=⋅，得02tan c y b θ=．性质6设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 为焦点，12PF F α∠=，21PF F β∠=，则cos sec 22e αβαβ+-⋅=．证明由()121212sin sin sin sin sin F F PF PF PF PF αββααβ+===++，有()sin cos sec sin sin 22c a αβαβαβαβ++-==⋅+．即证． 性质7椭圆的焦点弦，（I ）两端点处的切线相交在焦点对应的准线上；（Ⅱ）两端点处的切线所成的角小于90︒；（Ⅲ）两端点处的法线相交于Q ，过Q 与长轴平行的直线平分焦点弦；（Ⅳ）其中点轨迹也是椭圆；（V ）垂直于两端点处切线交点与该焦点的连线．性质8设P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上异于长轴顶点的一点，1F ，2F 是其左、右焦点，O 是中心，设OP d =，则22212||PF PF d b a ⋅+=+．证明在12PF F △中，由中线长公式，得222212222PF PF d OF +=+． 配方，得()2221212222PF PF d c PF PF +=++⋅，由椭圆定义，得22222122PF PF d a c b a ⋅+=-=+．性质9直线0Ax By c ++=与椭圆22221x y a b+=相交、相切、相离的充要条件是22222A a B b C +（A ，B 不同时为0，0a >，0b >）．证明仅证相切情形，当0B ≠时，有A Cy x B B=--，并代入椭圆方程消去y ，化简得()()222222222220A aB b x a ACx aC B b +-+-=，由其0∆=化简得22222A a B b C +=，这说明直线与椭圆有两个重合交点（即相切）的充要条件为22222A a B b C +=．当0B =，则直线必切椭圆于左或右顶点，x a =±，从而有0Aa C +=或0Aa C -+=，即有222A a C =，亦有22222A a B b C +=．反之222A a C =，推知x a =±，这表示一条过长轴顶点的切线． 推论直线0Ax By C ++=与椭圆()()()222210x m y n a b ab--+=>>相交、相切、相离的充要条件是2222A a B b +()2Am Bn C ++．性质10设椭圆的一个焦点为F ，直线l 与过椭圆长轴的端点A '，A 的切线相交于M '，M ，则（1）0FM FM ⋅=⇔直线l 与椭圆相切； （2）0FM FM ⋅>⇔直线l 与椭圆相离； （3）0FM FM ⋅<⇔直线l 与椭圆相交．证明设椭圆方程()222210x y a b a b+=>>，(),0F c ，(),0A a '-，(),0A a ．直线l ：y kx m =+．()(),,FM FM a c m ka a c m ka ⋅=---⋅-+22222c a m k a =-+- 2222m b a k =--．由22221x y a b y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得 ()()2222222220ba k x a kmx a mb +++-=．()2222224a b b a k m ∆=+-．（1）2222000FM FM m b a k '⋅=⇔--=⇔∆=⇔直线l 与椭圆相切； （2）2222000FM FM m b a k '⋅>⇔-->⇔∆<直线l 与椭圆相离； （3）2222000FM FM m b a k '⋅<⇔--<⇔∆>⇔直线l 与椭圆相交．性质11设l 是过椭圆22221x y a a+=上异于长轴顶点的一点的切线，（I ）l 与过长轴顶点1A ，2A 的切线分别交于1P ，2P ，则21122PA PA b ⋅=；（Ⅱ）两焦点1F 、2F 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则212d d b ⋅=． 证明（Ⅰ）设()cos ,sin P a b θθ，过P 的切线方程为cos sin b x a y ab θθ⋅+⋅=，由x a =得221cos sin P A bθθ-=．同理，由x a =-得111cos sin P A bθθ+=．故21122P A P A b ⋅=．（Ⅱ）由(),0c -，(),0c 到直线cos sin 0b x a y ab θθ⋅+⋅-=的距离分别为1d =，2d =，故212d d b ⋅=．性质12设P ，Q 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上两点，（Ⅰ）设O 为中心，OP OQ ⊥，则22221111a bOPOQ+=+；（Ⅱ）设PQ 通过焦点F ，弦CD 也过点F ，且PQ CD ⊥，则 2221111a PQ CD ab ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭．（Ⅲ）设PQ 通过焦点F ，Q 是椭圆上一点，且OQ PQ ⊥，则2222111a PQ a bOQ +=+． 证明（Ⅰ）设()cos ,sin P OP OP θθ⋅⋅，则()sin ,cos Q OQ OQ θθ-⋅⋅．分别代入椭圆方程，相加即证．（Ⅱ）设椭圆的极坐标方程为1cos epe ρθ=-，可求得222222221cos sin ep ab PQ PF QF e b c θα=+==-+． 同理，22222cos ab CD b c α=+，由此即可证．（Ⅲ）由（Ⅰ），（Ⅱ），知22222221cos sin a b a b OQαα+=，22221sin 2b c PQ ab α+=即证． 性质13设()00,M x y ，椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，对于直线l 的方程00221x x y y a b +=，则（1）当M 在椭圆上时，l 为椭圆的切线；（2）当M 在椭圆外时，l 为椭圆的切点弦直线；（3）当M 在椭圆内时，l 为以M 为中点的弦平行且过此弦端点切线交点的直线．事实上，这可由第二十五章的性质7推论后的注即得．这里，其实l 为点M 关于椭圆的极线． 【典型例题与基本方法】例1试确定m 的取值范围，使对直线4y x m =+，在椭圆22143x y +=上有不同两点A ，B 关于该直线对称．解设()00,P x y 是弦AB 的中点，由性质10，知曲线22143x y +=关于点P 对称的曲线为()()220022143x x y y --+=．两式相减整理得公共弦方程：22000024340x x y y x y +--=．而公共弦的斜率为14-，故有003144x k y =-=-，即003y x =．又()00,P x y 在44y x =+上，有004y x m =+，由此两方程求得0x m =-，03y m =-．因()00,P x y 在椭圆内部，故有2200143x y +<，即有()()223143m m --+<，故m << 例2P 是椭圆2214x y +=上的动点，1F ，2F 是左、右焦点，试求12PF PF ⋅的最大值和最小值．（1996年“希望杯”竞赛题）解法1由性质5（I ），即知12PF PF ⋅的最大值为4，最小值为1． 解法2由性质8，知222212||||5PF PF b a d d ⋅=+-=-．又由椭圆的范围知222b d a ≤≤，即214d ≤≤，故知12PF PF ⋅的最大值为4，最小值为1．例3已知圆222x y r +=经过椭圆()22210x y a b a b+=>>２的两个焦点()1,0F c -，()2,0F c ，两曲线有四个交点，其中一个交点为P ．若12F PF △的面积为26，椭圆长轴长为15，试求a b c ++的值．（2000年“希望杯”竞赛题）解由题设，知1290F PF ∠=︒．由性质5（Ⅱ），知221222cos 45b PF PF b ⋅==︒． 又1212252sin 90F PF S PF PF ⋅==︒△，则b ． 而152a =，则112c =．故13a b c ++=例4求椭圆()()2223194x y -++=过已知点()5,1P 的切线方程．解令2x x '=-，3y y '=+，在新坐标系x O y ''下，P 点坐标变为()3,4P '，椭圆方程变为22194x y ''+=．设过点（3，4）的切线方程为0Ax By C ++=．由性质9，联立方程340A B C ++=与22294A B C +=，消去C 可得22B AB =-，于是0B =或2B A =-，从而求得3C A =或5C A =，故求得切线方程为30Ax A -=或250Ax Ay A +=-，即3x =与25x y -+即为所求．例5求证：椭圆()222210x y a b a b +=>>对中心张角的弦恒与圆222222a b x y a b +=+相切．证明设弦AB 对中心O 张直角，O 到AB 的距离为d ．由三角形面积公式，知 1122AB d OA OB ⋅=⋅．从而222222222111OA OB OA OB d AB OA OBOAOB⋅⋅===++．由性质11（Ⅰ），知22221111a b OAOB+=+，即知 2222222111a b d a b a b ==++，由此即证得弦AB 恒与圆222222a b x y a b +=+相切． 例6已知直线l 的斜率为12，且过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点与椭圆相交于A ，B 两点，椭圆的中心为O ，O 点到直线AB 的距离1d =，且弦AB 的长是椭圆长轴的45．求椭圆方程．解由题意可设AB 的方程为()12y x c =+，它到原点的距离d =1=，故25c =． 又425AB a =⋅，由性质11（Ⅲ），有222281115a a a b OP ⋅+=+，于是，得2221114b a OP=-． （*）又易知OP 的方程为2y x =-，将其代入椭圆方程，解得222224a b x a b =+，2222244a b y a b =+．于是222222254a b OP x y a b =+=+，并代入（*）式化简得2249a b =．再注意25c =，求得3a =，2b =．故所求椭圆方程为22194x y +=．例7设椭圆方程为22110036x y +=，25,4P ⎛ ⎝⎭，1F ，2F 是焦点，求12PF F △的内切圆方程． 解显然P 点在椭圆上．设12PF F △的内心为I PI 交x 轴于M ，易知()18,0F -，()28,0F ，可求得115PF =，25PF =．由11223PF F M PF MF ==，得4M x =．由性质4（Ⅰ），得45MI e PI ==． 于是2544455415I x +⋅==+，4045415Iy ==+．又内切圆半径I r y =，故所求圆的方程为()221353x y ⎛-+= ⎝⎭．注由此例，促使我们探求对于椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意异于长轴顶点的点P ，焦点12PF F △的内切圆圆心的方程为()()()()2220a c x a c y a c c y -++=-≠．事实上，可设12PF F α∠=，21PF F β∠=，内心(),I x y ，在12PF F △中由正弦定理可求得tantan 22a ca cαβα-⋅=+． 又1IF y k x c =+，()20IF y k y x c=≠-，从而 12tan tan 22IF IF y y a c k k x c x c a cαβ-⎛⎫⋅=⋅-⇒⋅=- ⎪+-+⎝⎭．整理得()()()()2220a c x a c y a c c y -++=-≠．例8已知0C ：221x y +=和1C ：()222210x y a b a b+=>>．试问：当且仅当a ，b 满足什么条件时，对1C 上任意一点P ，均存在以P 为顶点、与0C 外切、与1C 内接的平行四边形？并证明你的结论．（2000年全国高中联赛题）解所求条件为22111a b +=． 必要性：易知圆外切平行四边形必是菱形，圆心即为菱形中心．假设结论成立，则对点(),0a ，有(),0a 为顶点的菱形与1C 内接，与0C 外切，(),0a 的相对顶点为(),0a -．由于菱形的对角线互相垂直平分，另外两个顶点必在y 轴上且为()0,b 和()0,b -，菱形一条边的方程为1x ya b+=，即bx ay ab +=．由于菱形与0C1=，即为22111a b+=． 充分性：设22111a b +=，P 是1C 上任意一点，过P ，O 作1C 的弦PR ，再过O 作与PR 垂直的弦QS ，则PQRS 为与1C 内接的菱形．设1OP r =，2OQ r =，则()11cos ,sin P r r θθ，()()()22cos 90,sin 90Q r r θθ+︒+︒．代入椭圆方程，得22221122cos sin 1r r a b θθ⋅+=，22222222sin cos 1r r a b θθ+=，于是22222222222222121111cos sin sin cos 111r r a b a b a b OP OQθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 又在Rt POQ △中，设点O 到PQ 的距离为h ，则2221111h OP OQ =+=，故得1h =．同理O 到QR ，RS ，SP 的距离也为1．故菱形PQRS 与0C 外切，证毕．例19作斜率为13的直线l 与椭圆C ：221364x y +=交于A 、B 两点（图略），且(P 在直线l 的左上方．（1）证明；PAB △的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若60APB ∠=︒，求PAB △的面积．（2012年全国高中联赛题）解（1）设直线l ：13y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ．将13y x m =+代入22364x y +=中，化简整理得22269360x mx m ++-=．于是，有123x x m +=-，2129362m x x -=，AP k =，PB k ．则1221PAPBy x y xk k -+--+(()2293630m m m m-⋅+---==．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线平行于y 轴所在直线，所以PAB △的内切圆的圆心在直线x =在上．（2）若60APB ∠=︒，则由（1）知PA k PB k =．直线PA的方程为y x-，代入221364x y +=，消去y 得(214118130x x +-+-=．此方程的两根分别是1x 和，所以(1181314x -⋅=．于是)117PA x -=．同理)17PB =．所以1sin 602PAB S PA PB =⋅⋅︒=△为所求． 【解题思维策略分析】1．注意平面几何知识的综合运用例10设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上异于长轴顶点1A ，2A 的任一点，过P 点的切线与分别过1A ，2A 的切线相交于1B ，2B ，则以12B B 为直径的圆必过两焦点1F ，2F ．证明如图28-2，设()cos sinP a b θθ，，则过P 的切线方程为cos sin 1x ya bθθ⋅⋅+=，它与y 轴交于点()0,csc C b θ，C 是线段12B B 的中点，从而12CF CF =图28-2联立x a =-，cos sin 1x y a b θθ+=，得()11cos ,sin b B a θθ+⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是12112B B BC ==从而121212CF CF B B ==，故1F ，2F 在以12B B 为直径的圆上． 2．注意三角知识的综合应用 例11在面积为1的PMN △中．1tan 2M =，tan 2N =-，建立适当的坐标系，求出以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程．解以MN 所在直线为x 轴，线段MN 的中垂线为y 轴建立直角坐标系． 一方面，()tan tan 3tan tan tan tan 14M N P M N M N +=-+==⋅-．另一方面，22tan2tan 1tan 2PP P=-，从而 22tan 3241tan 2PP =-，即23tan 8tan 3022P P +-=． 解得1tan23P =或tan 32P=-（舍去）． 由性质5（Ⅱ），知2cot1332PMN Pb S =⋅=⋅=△． 作PQ MN ⊥，垂足为Q ，设PQ h =，NQ m =，由1tan 22h Mc m ==+及tan 2hPNQ m∠==，易得43h c =．又142123PMN c S c =⋅⋅=△，得234c =，即有222154a b c =+=．故所求椭圆方程为2241153x y +=．3．注意代数知识的综合运用例12设椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点为1F ，2F ，则椭圆上存在在点P ，使得()120F PF θθ∠=<<π的充要条件是sin 2e θ≤（e 为椭圆的离心率）．证明设()1,0F c -，()2,0F c ，点P 的坐标为(),x y ，则1PF y k x c =+，2PF y k x c=-． 由对称性，仅考虑点P 在上半椭圆，则 21212222tan 1PF PF PF PF k k yck k x y cθ-==+⋅+-，即2222c o t x y c y c θ+-=⋅．（上述前式不适合斜率不存在或90θ=︒的直线，而后式则适合于些直线．）椭圆上存在点P ，使12F PF θ∠=的充要条件是方程组22222220,1,2cot y b xy a b x y c yc θ<⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+-=⋅⎩≤有解，这又等价于方程()22222222cot cyc y b a y a b θ+⋅-+=，即22242cot 0c y yb c b θ+⋅-=在区间(]0,b 上有解．设()22242cot f y c y yb c b θ=+⋅-，则()400f b =-<，因此上述问题等价()22224202cot 02cot 10b bf b c b cb b c cθθ⇔+⋅-⇔-⋅-≥≥≤()cos 11cos 1cos 00sin sin sin b b c c θθθθθθθ-++⇔<<π⇔<≤≤≤()()222222221cos 21cos 01sin sin sin 2a c a c e c c aθθθθθ++-⇔<⇔<⇔=≤≤≤．注类似地，可以证明：椭圆()222210x y a b a b +=>>长轴上两顶点为1A ，2A ，则椭圆上存在异于1A ，2A 的点P ，使得122A PA θθπ⎛⎫∠=<<π ⎪⎝⎭e ．4．注意解析几何知识的综合应用例13给定椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，O ：22x y b +=，自椭圆上异于其顶点的任意一点P 作O的２条切线，切点分别为M ，N ．若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，证明：222222a b a n m b+=．证明设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则由圆的性质12，知PM 、PN 的方程分别为211x x y y b +=，222x x y y b +=．由于点P 在２条切线上，有21010x x y y b +=，22020x x y y b +=． 因此，直线MN 的方程为200x x y y b +=（此亦可由性质12即得）． 令0y =，得20b m x =；令0x =，得2b n y =．注意到()00,P x y 在椭圆上，有222222a yb x a b +=，故222222a b a n m b+=．注（1）由椭圆性质13，知点P 处的椭圆切线的斜率为20120b x k a y =-，此时直线MN 的斜率为020x k y =-，从而有21220b k k a-=．（2）若记上述例题中的椭圆为1C ，O 为2C ，且2C 为222x y a +=，点P 在2C 上，则类似于（1）有21220b k k a-=． （3）若将（2）中1C 改为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，点P 在222x y a +=上，则类似地有21220b k k a +=． （4）在（3）中，若点P 在1C 即双曲线上，则类似地有21220b k k a+=．（5）在上述（2）中，若2C 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，类似地有120k k +=．此时，若点P 在1C 时，亦有120k k +=．例14如图28-3，经过椭圆()2222220b x a y a b a b +=>>的长轴左顶点A 的弦AB 交y 轴于C ，MN 是过左焦点1F 的弦．若MN AB ∥，则a MN AB AC =⋅．图28-3证明设平行弦AB 、MN 的倾斜角为α，则AB 的参数方程为cos ,sin x a t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入椭圆方程并整理，得()222222cos sin 2cos 0ba t ab t ααα+-⋅=，于是222222cos cos sin B ab AB t b a ααα==⋅+⋅．又在AB 的参数方程中，令0x =，得sec C AC t a α==．上述两式相乘，得2222222cos sin a b AB AC b a αα⋅=+⋅．以1F 为极点，1F x 为极轴建立极坐标系，则椭圆方程为1cos epe ρθ=-．从而211222222221cos cos sin ep ab MN NF MF e b a ααα=+==-+． 故a MN AB AC =⋅． 【模拟实战】习题A1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在一点P ，使得1260F PF ∠=︒（1F ，2F 为椭圆焦点）．求离心率e 的取值范围．2．试问椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率e 在什么范围内，椭圆上恒存在一点P ，使得点P 到两焦点的距离之积等于焦距的平方？3．已知椭圆的长轴长为4，焦距为2，过左焦点的两条互相垂直的弦的长度之和为487．试求这两条弦的长度之积．4．已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆相交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，PQ =（1991年全国高考题）5．试证：椭圆22220x y a b a b>>+=1（）． 6．试证：椭圆()222210x y a b a b+=>>内接矩形的面积的最大值为2ab ．7．设AB 是过椭圆22220x y a b a b>>+=1（）中心的弦，F 是焦点，则ABF △面积的最大值是()222bc c a b =-．8．设P 是椭圆的准线l 与对称轴的交点，F 是对应焦点，AB 是过F 的弦，则APB ∠的最大值为2arctan e （e 为离心率）．9．设椭圆()222210x y a b a b+=>>，两焦点()1,0F c -，()2,0F c ，点Q 为椭圆上异于长轴顶点的点，过焦点1F （或2F ）作12F QF ∠的外角平分线的垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆（除点(),0a -，(),0a ）．108．11．已知A ，B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>上的两点，线段AB 的中垂线与x 轴相交于点()00,P x y ．求证：22220a b a b x a a---<<．（1992年全国高考题）12．求函数y 的值域．13．求函数()23f x x =+习题B1．试证：从椭圆2222220b x a y a b a b +=>>（）上的点P 看焦点的视角的最大值为222arccos 1b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．2．设P 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上任一点，12P P 是椭圆的任意一条弦，直线1PP ，2PP的斜率分别为1k ，2k ．若12P P 过中心O ，则2122b k k a⋅=-．3．设A ，B 是椭圆()222210x y a b a b+=>>长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A ，B的横坐标A x ，B x 满足2A B x x a ⋅=．（1）若过A 点引直线与椭圆相交于P ，Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 点引直线交椭圆于P ，Q ，则180PAB QAB ∠+∠=︒．4．设椭圆2222220b x a y a b a b +=>>（）的两条准线和x 轴相交于1E ，2E ，点P 在椭圆上，12E PE α∠=，e 为离心率，c 为半焦距，则α为钝角，且当)2112e >时有cot e α-≤，等号当且仅当22P ab y c=时取得．5．已知定点()1,1A ，F 为椭圆22184x y +=的左焦点，动点P 在椭圆上，试求PF PA +的最大值和最小值，并求取得最值时P 点的坐标．6．设AB ，A B ''分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆222x y a +=的弦，端点A 与A '，B 与B '的横坐标相同，纵坐标同号．试证：当AB 经过椭圆内的定点()M p q ，时，A B ''必经过定点,a M p q b ⎛⎫' ⎪⎝⎭．7．过椭圆()222210x y a b a b+=>>的中心O 任作两条互相垂直的射线交椭圆于A ，B 两点．求证：AB ≤8．椭圆Γ中心为O ，直线l 不与Γ相交．P 为l 上任一点，射线OP 交Γ于R ，而点Q 在射线OP 上，且满足2OQ OP OR ⋅=．以Q 为中点的中点弦记为P l ．求证：P l 经过一定点．9．已知直线l ：0Ax By C ++=与椭圆()222210x y a b a b+=>>交于P ，Q 两点，O 为椭圆中心．试证：当且仅当222222a A b B C +=时，OPQ △有最大面积12ab ．10．在椭圆()222210x y a b a b+=>>上任取两点()111,P x y ，()222,P x y ，点(),P x y 是以线段12P P 为直径的圆上任一点．求证：22223122x y a b ++≤． （《数学通报》问题1374题）11．设椭圆Γ的离心率为e ，1F ，2F 为其两焦点，P 为椭圆上任一点（除长轴两顶点外），r ，R 分别为12PF F △的内切圆、外接圆半径．求证：()21re e R-≤． 12．试找出离心率为m 的椭圆的特征量应满足的一些关系．。
椭圆的常用性质的推导及其应用
ⅲ双曲线的内切圆
解： 令PF1 m, PF2 n
y
y
x z
x
2c
z
2a
y
a
c
切点为A, 所以xI a
变式练习
1、已知：1
m
4, F1, F2为曲线C：x42
y2 4m
1的左右焦点，点P为曲线C与x2
y2 m 1
1
在第一象限的交点，直线 l 为曲线 C 在点 P 出的切线，如 F2 PF2的内心为M，
⑥焦点三角形的面积
解：
m
2
n2
2mn cos
4c 2
4a 2
2mn1 cos
4c 2
m n 2a
mn
1
2b 2 cos
SБайду номын сангаас
1 mn sin 2
sin 1 cos
b2
b2
tan
2
双曲线焦点三角形面积为 S
b2
cot
2
⑦焦半径和离心率的关系
ⅰ、由④可知 cos 1 2e2 e2 1 cos e sin
PM PN , F2 M F2T , F1N F1T F1P PN F1F2 F2T F1P PN F2 N F2 F1 F2T F2 N 2a 2c 2F2T F2T a c T与A重合 ⅱ内切圆的性质 MI F1M F2 M F1M F2 M 2c e PI F1P F2 P F1P F2 P 2a
直线F1M与直线l交于N点，则M , N横坐标之差为 ____ 1
2、已知： x 2 9
y2 8
1的焦点为F1, F2 , P为椭圆上任意一点，PF1F2的内心为I，过I 作平行于
椭圆定义及性质整合
椭圆定义及性质的应用一、椭圆的定义椭圆第一定义第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.★过点1F 作12PF F ∆的P ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 的轨迹方程为222x y a +=.推导过程：延长1F Q 交2F P 于M ，连接OQ ，由已知有PQ 为1MF 的中垂线，则1PF PM =，Q 为1F M 中点，212OQ F M ==()1212PF PF +=a ，所以Q 的轨迹方程为 222x y a +=.（椭圆的方程与离心率学案第5题）椭圆第二定义第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆.2PF e d =（d 为点P 到右准线的距离），右准线对应右焦点，其中2PF 称作焦半径，左、右准线公式2a x c=±..椭圆的焦半径公式为：1020,PF a ex PF a ex =+=-.推导过程：2200aPF ed e x a exc⎛⎫==-=-⎪⎝⎭；同理得10PF a ex=+.简记为：左加右减a在前.由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数. （离心率、焦点弦问题）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=＞＞的离心率为3，过右焦点F且斜率为(0)k k>的直线与C相交于,A B两点．若3AF FB=u u u r u u u r，则k=（）A.1 D.2B【解析】解法一：1122(,),(,)A x yB x y，∵3AF FB=u u u r u u u r，∴123y y=-，∵2e=，设2,a t c==，b t=，∴222440x y b+-=，直线AB方程为x my=.代入消去x，∴222(4)0m y b++-=，∴2121222,44by y y ym m+=-=-++，则2222222,344by ym m-=--=-++，解得212m=，则k= 0k>.解法二：设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过,A B别作11,AA BB垂直于l，11,A B为垂足，过B作BH垂直于1AA与H，设BF m=，由第二定义得，11,AF BFAA BBe e==，由3AF FB=u u u r u u u r，得13mAAe=,2mAHe=，4AB m=，则21cos42mAH eBAHAB m e∠====，则sin BAH∠=tan BAH∠=，则k=0k>.故选B.（离心率、焦点弦问题）例2：倾斜角为6π的直线过椭圆)0(12222>>=+babyax的左焦点F，交椭圆于,A B 两点，且有3AF BF=，求椭圆的离心率.33【解析】解法一：,AF BF 为左焦点上的焦半径，所以过,A B 两点分别作垂直于准线的直线且和准线交于11,A B 两点，从B 点作1BH AA ⊥.因为3AF BF =，设BF m =，则3AF m =，4AB m =，又因为11AF BF e AA BB ==，则1BF m BB e e ==,13m AA e =，所以2m AH e=，在ABH ∆中，6BAH π∠=，所以32AH AB =，解得33e =. 解法二：如图，设,3BF m AF m ==，则122,23BF a m AF a m =-=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222394(23)cos 62232m c a m m cπ+--==⨯⨯，化简得23326cm b am =-+①，222534(2)cos 6222m c a m m cπ+--=-=⨯⨯，化简得2322cm b am -=-+②，①＋②×3化简得，223b m a =，代入①解得3e =. 椭圆第三定义第三定义：在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，,A B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于,A B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则1222-=-=⋅e a b k k PBPA .（反之亦成立）.（★焦点在Y 轴上时，椭圆满足22ba k k PB PA -=⋅） 推导过程：设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以12222=+b y a x ①，1221221=+by a x ②；由①－②得22122212b y y a x x --=-，所以22212212a b x x y y -=--，所以222111222111PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-⋅=⋅==--+-为定值． 例1:已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴长为4，若点P 是椭圆上任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交与N M ,两点，记直线PN PM ,的斜率分别为21,k k .若4121-=⋅k k ，则椭圆的方程为 . 1422=+y x .【解析】解法一：(,)P x y ，11(,)M x y ，则11(,)N x y --，因为12222=+b y a x ，则)1(2222ax b y -=，)1(221221a x b y -=，则222212222211112222221111(1)(1)14x x b b y y y y y y b a a k k x x x x x x x x a ----+-⋅=⋅===-=--+--.且42=a ，则椭圆方程为1422=+y x .解法二：由第三定义知4122-=-a b ，且42=a ，则则椭圆方程为1422=+y x .例2:已知椭圆)0(13422>>=+b a y x 的左右顶点分别为21,A A ，点P 在椭圆上，且直线2PA 的斜率的取值范围是]1,2[--，那么直线1PA 的斜率的取值范围是 .]43,83[.【解析】设1PA ，2PA 的斜率分别为21,k k ，则432221-=-=⋅a b k k ，又]1,2[2--∈k ，所以]43,83[1∈k . 二、椭圆的性质焦点三角形椭圆焦点三角形的边角关系：122F F c =， 122PF PF a +=，周长为22a c +.设12F PF θ∠=. （1）当点P 处于短轴的顶点处时，顶角θ最大；（2）221221cos b PF PF a θ⋅=≤+，当且仅当12PF PF =时取等号；（3）122tan2PF F S b θ∆=；（4）12112122PF F B F F S S c b bc ∆∆≤=⨯⨯=，当且仅当12PF PF =时取等号. 推导过程：（1）()()()2222222212002222222120004444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---===-⋅-+， 当00x =时，cos θ有最小值2222a c a-，即12F PF θ∠=最大； （2）22212124cos 2PF PF c PF PF θ+-=⋅，()221212122cos 24PF PF PF PF PF PF c θ⋅=+-⋅-则有，21221cos b PF PF θ⋅=+，2221220max 2221cos 1cos 12cos 12b b b PF PF θθθ⋅=≤=+++-，（当点P 为短轴顶点时θ取得最大值0θ，此时0cos 2b a θ=），代入化简得221221cos b PF PF a θ⋅=≤+. （3）由（2）得12222212sin 2sin cos tan21cos 2222cos 2PF F b b S b θθθθθθ∆=⨯⋅=⋅=+. （离心率问题）例1.已知12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.【解析】解法一：在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，由题意得145F BO ∠≥︒， 所以1FO OB ≥,即c b ≥,解得e ∈. 解法二：设(,)P x y ，由题意得椭圆C 上存在一点P ，使得12F P F P ⊥u u u r u u u u r，即(,)(,)0x c y x c y +-=，化简，得222x y c +=，与12222=+b y a x 联立，消去y 得2222222a c ab x a b -=-，由椭圆范围知220x a ≤<，即22222220a c a b a a b -≤<-，化简得222b c a ≤<，解得[2e ∈. 变式1：已知12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得12F PF ∠为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，12F PF ∠为钝角，所以145F BO ∠>︒，所以1FO OB >,即c b >,解得,1)2e ∈. 变式2：已知12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得1260F PF ∠=︒（变式3：12120F PF ∠=︒），则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.1[,1)2【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，由题意得130F BO ∠≥︒，所以11sin sin 302c F BO a ∠=≥︒=，则1[,1)2e ∈.变式3：e ∈.（离心率问题）例2.已知12,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点，若在直线2a x c=上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.e ∈【解析】22PF c =，22PF F H ≥，即22a c c c ≥-解得：e ∈. （焦点三角形面积问题）例3.已知椭圆21221925F F y x 、，=+为焦点，点P 为椭圆上一点，123F PF π∠=，求21PF F S ∆.33【解析】解法一：设12,,PF m PF n ==则有10m n +=，在21F PF ∆中由余弦定理得mn n m c -+==222644，则mn mn n m 31003)(642-=-+=，则12=mn ，则333sin 2121==∆πmn S PF F .解法二：122tan9tan26PF F S b θπ∆==⨯=（焦点三角形面积问题）例4.过椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 中心的直线与椭圆交于,A B 两点，右焦点为2(c,0)F ，则 2ABF ∆的最大面积为_________.bc 【解析】由题意得,A B 关于原点对称，则有212ABF AF F S S ∆∆=，故当A 位于短轴的顶点处时，面积最大，为bc . （焦点三角形边角问题）例5.已知椭圆22194x y +=的两个焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，（1）在椭圆上满足12PF PF ⊥的点P 的个数是？（2）12PF PF ⋅的最大值是？（3）12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是？【解析】（1）画图知，所求点的个数即为圆222x y c +=与椭圆的交点个数，由于52c b =>=，故有4个点.（2）解法一：设12,,PF m PF n ==则有6m n +=，212()92m n PF PF mn +⋅=≤=，当且仅当m n =时取等号.解法二：由性质得2221220min 2221cos 1(cos )12cos 12b b b PF PF θθθ⋅=≤=+++-，（当点P 为短轴顶点时取得最大值，此时0cos 2b a θ=），代入化简得221221cos b PF PF a θ⋅=≤+. （3）如图所示，222x y c +=与椭圆有4个交点，假设在第一象限的交点为00(,)P x y ，此时122F PF π∠=，设12,,PF m PF n ==则有6m n +=，222420m n c +==，解得4,2m n ==（或2,4m n ==），由等面积法得0222y c mn ⨯=，则05y =，则由勾股定理得22200()c x y n -+=，解得05x =，则由对称性可知，点P 的横坐标的取值范围是3535(,)-. (焦点三角形中与距离最值有关的问题):注意在三角函数与解析几何中最值问题的一个很重要的用法：（1）三角形两边之和大于第三边，当三点在一条线上时取得最小值； （2）两边之差小于第三边.焦点三角形中的最值问题一般是距离之和的最值，且存在定点，故可以用三角形中的不等式来求； ★若点A 为椭圆内一定点，点P 在椭圆上，则有：111AF PA PF AF -≤-≤.（三角形三边关系）★若点A 为椭圆内一定点，点P 在椭圆上，则有：12122a AF PA PF a AF -≤+≤+.推导过程：连接11,,AP AF PF ，()21122AP PF AP a PF a AP PF +=+-=+-由三角形三边关系得111AF PA PF AF -≤-≤，则有12122a AF PA PF a AF -≤+≤+（椭圆定义的应用，三角形三边关系）.焦点弦经过椭圆焦点的弦是焦点弦.（1）焦点弦长可用弦长公式求22212121212211()41()4AB k x x x x y y y y k=++-=++-； *（2）设焦点弦所在的直线的倾斜角为θ，则有22222||=cos ab AB a c θ-. *（3）2211ba BF AF =+（F 为某一焦点）. （4）2ABF ∆的周长为4a .（离心率、焦点弦问题）（同第二定义例1）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =u u u r u u u r ，则k =（ ）A.1B.2C.3D.2B 【解析】解答题解法：1122(,),(,)A x y B x y ，∵ 3AF FB =u u u r u u u r，∴ 123y y =-， ∵ 3e =，设2,3a t c t ==，b t =，∴ 222440x y b +-=，直线AB 方程为3x my b =+.代入消去x ，∴ 222(4)230m y mby b ++-=，∴ 21212223,4mb b y y y y m +=-=-+，则22222232,34mb b y y m -=--=-+，解得212m =，则2k =，0k >.中点弦AB 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的任意一弦，P 是AB 中点，则1222-=-=⋅e ab k k OPAB .证明：令()()1122,,,A x y B x y ，()00,P x y则()1202x x x+=，()1202y y y +=，()()()()22112212121212222222221..01x y x x x x y y y y a b a b x y a b ⎫+=⎪+-+-⎪⇒+=⎬⎪+=⎪⎭， ()()()()2121221212y y b x x x x a y y -+⇒=--+，由于()()1212AB y y k x x -=-，00OPy k x =，则 22AB OP b k k a⋅=-. 例1：过点(2,1)M 作一条直线l 交椭圆221169x y +=于点AB ，若点M 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程.【解析】解答题步骤：解法一（点差法）：由题意得直线l 有斜率，设其斜率为k ，1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y ，代入椭圆方程，有222211221,1169169x y x y +=+=，两式作差得()()()()12121212..0169x x x x y y y y +-+-+=，()()120120916y y y x x x -⨯=--，即19216k ⨯=-，则98k =-.则直线l 的方程为91(2)8y x -=-⨯-，即98260x y +-=. 解法二（代入法）：由题意得直线l 有斜率，设其直线方程为1(2)y k x -=-，得12y kx k =+-，代入221169x y +=得222(916)32(12)16(12)1440k x k k x k ++-+--=，则120232(12)24916k k x x x k -+=-==+，解得98k =-，则直线l 的方程为98260x y +-=.这两种方法都体现了设而不求的思想，这是圆锥曲线解题的常用思想.切线及切点弦切线方程：（1）设),(00y x P 为圆222r y x =+上一点，则过该点的切线方程为：200r y y x x =+；（2）设),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，则过该点的切线方程为：12020=+b y y a x x .切点弦方程：（1）设),(00y x P 是圆222r y x =+外的一点，过点P 作曲线的两条切线,切点N M 、,则切点弦MN 所在直线方程为200r y y x x =+；（2）设),(00y x P 是椭圆外的一点，过点P 作曲线的两条切线,切点N M 、,则切点弦MN 所在直线方程为1220=+byyaxx.例1：以422=+yx上的点)3,1(P为切点的切线方程为_________.【解析】解法一：由题意得切线有斜率，设切线方程为)1(3-=-xky，则03=-+-kykx，则有2132=+-kk，解得33-=k，则切线方程为043=-+yx.解法二：点)3,1(P为切点，由公式得，切线方程为431=⨯+⨯yx，即043=-+yx.例2：以13422=+yx上的点)23,1(P为切点的切线方程为_________.【解析】解法一：由题意得切线有斜率，设切线方程为)1(23-=-xky，代入13422=+yx，化简得3124)23(4)43(222=--+-++kkxkkxk，则有0)3124)(43(4)23(162222=--+--=∆kkkkk，解得21-=k，则切线方程为042=-+yx.解法二：点)23,1(P为切点，由公式得，切线方程为132341=⨯+⨯yx，即042=-+yx.★过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过该准线对应的焦点.推导过程：设2,aM yc⎛⎫⎪⎝⎭，则AB的方程为2221ax y yca b+=，即021y yxc b+=必过点(),0c.★过椭圆焦点弦的两端点作椭圆的切线，切线交点在准线上.光学性质★椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点.★椭圆上一个点P 的两条焦半径12,PF PF 的夹角12F PF ∠被椭圆在点P 处的法线平分.（入射光线、反射光线、镜面、法线）已知：如图，椭圆C的方程为22221x y a b +=，12,F F 分别是其左、右焦点，l 是过椭圆上一点00(,)P x y 的切线，'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，交x 轴于D ，设21,F PD F PD αβ∠=∠=， 求证：αβ=.证明：在2222:1x y C a b+=上，00(,)P x y C ∈， 则过点P 的切线方程为：00221x x y y a b+=，'l 是通过点 P 且与切线l 垂直的法线，则0000222211':()()()y x l x x y b a b a-=-， ∴法线'l 与x 轴交于20((),0)c D x a， ∴22102022||,||c c F D x c F D c x a a=+=-，∴201220||||a cx F D F D a cx +=-，又由焦半径公式得：1020||,||PF a ex PF a ex =+=-，∴1122||||||||F D PF F D PF =，∴PD 是12F PF ∠的平分线， ∴αβ=，∵90ααββ''+=︒=+，故可得αβαβ''=⇔=.例1. 已知椭圆方程为1162522=+y x ，若有光束自焦点(3,0)A 射出，经二次反射回到A 点，设二次反射点为,B C ，如图所示，则ABC D 的周长为 .20【解析】：∵椭圆方程为1162522=+y x 中，225169c =-=， ∴(3,0)A 为该椭圆的一个焦点，∴自(3,0)A 射出的光线AB 反射后，反射光线BC 定过另一个焦点(3,0)A ¢-，故ABC D 的周长为：''44520AB BA A C CA a +++==⨯=.。
椭圆和双曲线的性质
椭圆和双曲线的性质椭圆和双曲线是数学中常见的曲线形状，它们具有一些独特的性质和特点。
本文将介绍椭圆和双曲线的定义、方程、焦点、直径、离心率等基本概念，并探讨它们的性质和应用。
一、椭圆的性质椭圆是平面上一点到两个固定点的距离之和等于常数的轨迹。
这两个固定点称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆的方程一般形式为：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
椭圆的中心位于原点(0,0)处。
椭圆的性质有以下几点：1. 椭圆是对称图形，关于x轴和y轴都具有对称性。
2. 椭圆的长轴和短轴分别是直径，且长轴和短轴的长度之比等于椭圆的离心率。
3. 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
4. 椭圆的离心率小于1，且越接近于1，椭圆越扁平。
椭圆的应用广泛，例如在天文学中，行星的轨道可以近似看作椭圆；在工程中，椭圆的形状常用于设计汽车、船舶等物体的外形。
二、双曲线的性质双曲线是平面上一点到两个固定点的距离之差等于常数的轨迹。
这两个固定点称为双曲线的焦点，常数称为双曲线的离心率。
双曲线的方程一般形式为：(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴的长度。
双曲线的中心位于原点(0,0)处。
双曲线的性质有以下几点：1. 双曲线是对称图形，关于x轴和y轴都具有对称性。
2. 双曲线的长轴和短轴分别是直径，且长轴和短轴的长度之比等于双曲线的离心率。
3. 双曲线的焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于双曲线的长轴长度。
4. 双曲线的离心率大于1，且越接近于1，双曲线越扁平。
双曲线的应用也非常广泛，例如在物理学中，双曲线常用于描述光的折射和反射现象；在经济学中，双曲线常用于描述供需关系和市场变化。
总结：椭圆和双曲线是两种常见的曲线形状，它们具有一些共同的性质，如对称性和焦点到曲线上任意一点的距离关系。
同时，它们也有一些不同的特点，如离心率的大小和形状的扁平程度。
椭圆的性质及其用法
椭圆的性质及其用法⑴椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b+=＞＞ 焦点为12(,0),(,0)F c F c -。
焦点为12(0,),(0,)F c F c -的椭圆的方程：22221y x a b+=(0)a b ＞＞ 122PF PF a +=。
以上两种方程都叫做椭圆的标准方程（其中222b ac =-）。
例：已知一个贮油罐横截面的轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m ，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m ，求这个椭圆的标准方程。
解：以两焦点12,F F 所在直线为x 轴，线段12,F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，则这个椭圆的标准方程为： 22221(0)x y a b a b+=＞＞ 根据题意23a =，2 2.4c =即： 1.5a =， 1.2c =∴222221.5 1.20.81b a c =-=-=因此，这个椭圆的标准方程： 2212.250.81x y +=。
⑵椭圆的几何性质：①范围： 由方程22221x y a b+=可知，椭圆上任意一点的坐标(,)x y 都满足222211x y a b =-≤ 即：22x a ≤∴a x a -≤≤ b y b -≤≤②对称性：椭圆是关于x 轴、y 轴和原点都对称的图形，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
③顶点：在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，这说明点12(0,),(0,)B b B b -是椭圆与y 轴的两个交点；点12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点。
这四个点是对称轴与椭圆的交点，称为椭圆的顶点。
线段1212,,,A A B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b 。
④离心率： 焦距与长轴长的比c a叫做椭圆的离心率，记为(0,1)e ∈。
当c a 越接近于0时，椭圆越接近于圆；当c a 越接近于1时，椭圆越扁，随着c a 的增大，椭圆越来越扁。
椭圆的基本概念与性质
椭圆的基本概念与性质椭圆是一种常见的几何图形，具有许多独特的性质和应用。
本文将介绍椭圆的基本概念和性质，包括定义、标准方程、焦点、直径、离心率、轨道和应用等方面。
1.椭圆的定义椭圆可以定义为平面上到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆也可以视为一个平面上到定点的连线长度之和等于一定长度（主轴）的点的轨迹。
2.椭圆的标准方程以坐标原点为中心的椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b 分别表示椭圆的长短半轴。
可以看出，a表示椭圆离心率对应的焦距长度，b表示椭圆的短半轴长度。
3.焦点和直径椭圆的焦点是椭圆的一个重要属性，它是椭圆离心率定义的核心。
可以通过标准方程中的离心率公式e = c/a（c为焦点到原点的距离），求得焦点的坐标表达式为(c, 0)和(-c, 0)。
椭圆的直径是通过椭圆中心并且同时与椭圆上两个点相交的线段。
对于以坐标原点为中心的椭圆，直径的长度为2a。
4.椭圆的离心率椭圆的离心率是描述椭圆形状的重要指标。
离心率的取值范围为0到1，离心率为0时表示圆形，离心率为1时表示扁平的线段。
椭圆的离心率定义为离心焦距和长半径之比，即e = c/a。
5.椭圆的轨迹椭圆的轨迹是指通过一定规则的运动得到的点所形成的图形。
在天体力学中，行星绕太阳运动的轨迹就是椭圆。
椭圆的轨迹具有许多独特的性质，例如对称性、曲率等。
6.椭圆的应用椭圆在现实生活中有许多重要的应用。
例如，在通信中，为了提高信号传输的质量和距离，卫星轨道通常选择为椭圆轨道。
此外，椭圆也被广泛应用于地理测量、天体力学、光学设计等领域。
总结：椭圆作为几何图形中的重要一员，具有许多独特的概念和性质。
通过本文的介绍，我们了解到椭圆的定义、标准方程、焦点、直径、离心率、轨迹和应用。
对于几何学的学习和实际应用，理解和掌握椭圆的基本概念与性质至关重要。
椭圆的经典知识总结
椭圆的经典知识总结椭圆是一个非常重要的几何形状，广泛应用于数学、物理和工程等领域。
下面将对椭圆的经典知识进行总结，涵盖椭圆的定义、性质以及一些常见的应用。
一、定义和性质：1.椭圆定义：椭圆是平面上到两个给定点（焦点）距离之和等于一定常数（长轴）的点的集合。
2.主要要素：(1)焦点：椭圆的两个焦点是确定椭圆形状的关键要素。
(2)长轴和短轴：椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴则是垂直于长轴并通过中心点的线段。
长轴的长度称为椭圆的主轴，短轴的长度则称为次轴。
(3)中心：椭圆的中心是指长轴和短轴的交点。
(4)半焦距：则是焦点到中心的距离。
(5)离心率：椭圆的离心率是一个用来衡量椭圆形状的值，定义为离心距（焦点到中心的距离）与主轴长度之比。
3.离心率和几何性质：(1)离心率的取值范围为0到1之间，当离心率为0时，椭圆退化为一个点；当离心率为1时，椭圆退化为一个抛物线。
(2)在椭圆上的任意一点，到焦点的距离之和等于常数，称为焦散性质。
(3)椭圆的两个焦点到任意一点的距离之差等于长轴的长度。
4.椭圆的方程：椭圆的标准方程为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)为椭圆中心点的坐标，a和b分别为长轴和短轴的长度，并且a>b。
二、椭圆的性质和应用：1.对称性：(1)椭圆具有对称性，关于中心对称，即中心点是对称中心。
(2)长轴和短轴也是椭圆的对称轴。
2.焦点与直线的关系：(1)焦点到椭圆上的任意一点的距离之和等于该点到椭圆的任意一条切线的长度。
(2)椭圆上的任意一条切线与焦点之间的两条线段的夹角相等。
3.切线和法线：(1)切线是与椭圆一点相切且垂直于切线的直线。
(2)法线是与切线垂直且通过椭圆上切点的直线。
4.面积公式：椭圆的面积为πab，其中a和b分别为长轴和短轴的长度。
5.椭圆的应用：(1)椭圆在天文学中被用来描述行星、彗星和其他天体的轨道。
(2)椭圆也广泛应用于工程学、建筑学和设计中，例如椭圆形的天花板和门窗等。
椭圆的特点和应用领域
椭圆的特点和应用领域椭圆是数学中一个重要的几何曲线，它有着独特的特点和广泛的应用领域。
本文将探讨椭圆的特点以及在各个领域中的实际应用。
一、椭圆的特点椭圆是一个闭合曲线，有两个焦点和一个恒定的总长度之和。
椭圆的关键特点如下：1. 长短半轴：椭圆有两个主轴，其中较长的一条是长半轴，较短的一条是短半轴。
长短半轴的比例决定了椭圆的形状。
2. 焦距：椭圆有两个焦点，位于椭圆的主轴上。
椭圆上的任意点到两个焦点的距离之和等于主轴的长度。
3. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长半轴之比。
离心率越接近于0，椭圆越扁平，离心率越接近于1，则椭圆越趋向于圆。
二、椭圆的应用领域由于椭圆的独特形状和特点，它在许多领域都得到了广泛的应用。
以下是椭圆在一些领域中的应用范例。
1. 天文学：椭圆轨道是描述行星、卫星等天体运动的常见方式。
根据开普勒定律，椭圆轨道可以准确地描述天体运动的轨迹。
2. 电子学：椭圆极化是光学与电子学中常见的现象。
当电磁波中的电场矢量在一个平面内展开时，其振动轨迹为椭圆。
该现象被广泛应用于偏振光的产生和控制。
3. 机械工程：椭圆齿轮是一种用于传动系统的特殊齿轮。
与普通齿轮相比，椭圆齿轮具有更大的接触面积和更高的传动效率，因此在一些高精度传动装置中得到应用。
4. 地球科学：地球的形状可以近似为一个略扁平的椭圆体。
这种近似模型被广泛应用于测量地球表面的长度和面积，以及进行地理坐标定位。
5. 通信技术：在椭圆曲线密码学中，椭圆曲线被应用于保护通信数据的安全性。
椭圆曲线密码学具有较高的安全性和效率，被广泛应用于现代密码学算法中。
6. 美学艺术：椭圆是一种具有优美曲线和对称性的形状，因此在建筑设计、绘画和雕塑等艺术领域中得到广泛应用。
椭圆的形状常常被运用于打造独特的建筑外立面和艺术品。
总结：椭圆作为一种重要的数学曲线，在科学、工程和艺术中都有着广泛的应用。
椭圆的特点包括长短半轴、焦距和离心率等，它们决定了椭圆的形状和性质。
椭圆的性质大总结
椭圆的性质大总结椭圆是我们常见的几何图形之一，具有独特的形状和性质。
在数学和物理学中，椭圆的性质和应用非常广泛，涉及到许多重要的概念和定理。
在本文中，我们将对椭圆的各种性质进行总结，并探讨其在现实世界中的一些应用。
一、椭圆的定义和基本性质椭圆是一个平面上的闭合曲线，其定义为到两个特定点的距离之和等于常数的所有点的轨迹。
这两个特定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆还具有以下基本性质：1. 椭圆是对称图形，具有中心对称性。
即椭圆上的任意一点关于中心对称点都存在。
2. 椭圆的两个焦点和中心在同一条直线上，并且中心距离两个焦点的距离等于a，即椭圆的长轴长度。
3. 椭圆的离心率满足0<e<1的条件。
当离心率e=0时，得到一个圆；当离心率e=1时，得到一个拋物线。
二、椭圆的参数方程与极坐标方程椭圆的一种常用参数方程可以表示为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b为椭圆的长半轴和短半轴。
这个参数方程可以将椭圆表示为以原点为焦点的平面曲线。
而椭圆的极坐标方程可以表示为：r = (a * b) / √(a^2 * sin^2θ + b^2 * cos^2θ)其中r是距离原点的距离。
三、椭圆的周长和面积椭圆的周长可以通过积分计算得到，其公式为：C = 4a * E(e)其中E(e)是椭圆的柯西数，满足以下积分表达式：E(e) = ∫(0 to π/2) √(1 - e^2*sin^2θ) dθ椭圆的面积可以通过以下公式计算：S = π * a * b四、焦准线和近心点椭圆的焦准线是由椭圆上各点到两个焦点垂直于长轴的连线组成的直线。
这些焦准线在离心率不等于0的椭圆中可以证明是相交于椭圆的坐标轴的。
椭圆的近心点是离两个焦点距离之和与椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于常数的点。
近心点与椭圆的中心之间的距离等于离心率乘以椭圆的长轴长度。
五、椭圆的应用椭圆在生活和科学研究中有着广泛的应用。
椭圆的标准方程及性质的应用
1234
4.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕， 继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再 次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一 起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看 成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm， 短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为_2_0_ cm.
kOM·kAB的值吗？
提示
将点 A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程得xxmm2122＋＋yynn2122＝＝11，，
将两式作差
并整理得x1－x2mx1＋x2＋y1－y2ny1＋y2＝0，记弦 AB 的中点为 M(x0，y0). 若 x1≠x2，则yx11－ －yx22yx11＋ ＋yx22＝－mn ，即xy11－－xy22·yx00＝－mn ，从而 kAB·yx00＝
∴x1＋2 x2＝442kk22＋－1k＝2， 解得 k＝－12. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 经检验，所求直线满足题意.
方法二 设点A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵M(2,1)为AB的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B两点在椭圆上，
则 x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16，
A.a1＋c1＝a2＋c2
√B.a1－c1＝a2－c2
C.ac11<ac22
√D.ac11>ac22
解析 由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确； 在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|， 在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2， 所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确； a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，a21＋c22＋2a1c2＝a22＋c21＋2a2c1， 所以 a21－c21＋2a1c2＝a22－c22＋a2c1，
椭圆的简单性质
圆锥曲线与方程
1.2 椭圆的简单性质应用
赵
椭圆的简单性质：
(1)范围: x y 1 1 从标准方程得出 a ,b , 即有 x a, y b ，可知椭圆落在 x a ，y b 组成的矩形中．
2
2
2
2
y
y=b
.
o
.
x
x=-a y=-b
x=a
椭圆的简单性质：
(2)对称性: x y 椭圆 a b 1是以x轴、y轴为对称轴的 轴对称图形，且是以原点为对称轴的中 心对称图形，这个对称中心称为椭圆的 中心。
焦点的位置 图形 标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
范围 顶点 轴长 焦点 焦距
对称性 离心率
例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程：
2 (1)长轴在x轴上,长轴的长等于12,离心率等于 ； 3
c 2 解：有已知2a=12，e a 3 ,得
a=6，c=4
从而
b a c 20
2 2 2
a、b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的简单性质：
(4)离心率: 概念：椭圆焦距与长轴长之比 c b e e 1 ( ) 定义式： 即 a a A1 范围： 0 e 1
2
y
B2
O
A2 B1
x
椭圆形状与 e 的关系： e 0, c 0 ,椭圆变圆,直至成为极限位置圆, 此时也可认为圆为椭圆在 e 0 时的特例。 e 1, c a,椭圆变扁,直至成为极限位置线 段 F1 F2 ,此时可认为该线段为椭圆在 e 1时的
所求椭圆的标准方程为 2 2 x y 1 36 20
例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程： （2）经过P(-6，0)和Q(0，8). 解:由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称 轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点， 所以P、Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端 点，于是有 b=6，a=8，
椭圆基础知识点
椭圆基础知识点椭圆是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、几何等领域。
本文将介绍椭圆的基础知识点，包括定义、性质、参数方程、焦点与准线等内容。
一、椭圆的定义椭圆是平面上一条封闭曲线，其上各点到两个定点的距离之和恒定。
这两个定点称为焦点，连接两焦点的线段称为主轴，主轴的中点为椭圆的中心，主轴长度的一半称为半长轴，垂直于主轴的线段称为次轴，次轴长度的一半称为半短轴。
二、椭圆的性质1. 弦长定理：椭圆上任意两点连线的长度之和等于两焦点之间的距离。
2. 焦点定理：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于两个焦点之间的距离。
3. 反射定理：从椭圆上一点出发的光线经过反射后，会经过另一个焦点。
4. 离心率：椭圆的离心率e是一个0到1之间的实数，定义为焦距与半长轴之间的比值。
三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以用参数θ表示，如下所示：x = a * cosθy = b * sinθ其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
四、椭圆的焦点与准线1. 焦点：椭圆上的焦点是满足椭圆定义的两个定点，记为F1和F2。
焦点与椭圆的离心率e有关，可以通过公式e = c / a计算，其中c为焦距，a为半长轴。
2. 准线：椭圆上到两个焦点距离之和等于椭圆长轴长度的两条直线称为准线，记为L1和L2。
五、应用领域1. 天体运动：行星、卫星等天体围绕太阳、行星等轨道呈椭圆形。
2. 光学：椭圆抛物面反射镜和透镜用于天文望远镜、摄影镜头等光学仪器中。
3. 电子学：椭圆偏振器在液晶显示器等领域有广泛应用。
4. 地理测量：在地球上，纬线和经线的组合形成椭圆，用来表示地球的形状。
六、总结椭圆作为一种几何形状，具有丰富的性质和广泛的应用。
本文介绍了椭圆的定义、性质、参数方程以及焦点与准线等内容。
椭圆在数学、物理、工程等领域中都有重要的应用，对于理解和解决相关问题具有重要意义。
希望本文能够帮助读者对椭圆有更深入的了解。
椭圆的基本性质与应用
椭圆的基本性质与应用椭圆是一种常见的几何图形，它具有许多基本性质和广泛的应用。
本文将介绍椭圆的基本定义和性质，并探讨椭圆在不同领域的应用。
1. 椭圆的定义和基本性质椭圆可由一个平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合来定义。
这两个定点称为焦点，记为F1和F2。
椭圆上任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a。
椭圆的中心为焦点连线的中点O，称为圆心。
椭圆的长轴为焦点连线的长度2a，短轴为焦点连线垂直中分线的长度2b。
椭圆的离心率e定义为焦点连线长度的一半与短轴长度的比值，即e=a/b。
椭圆具有以下基本性质：- 对称性：椭圆相对于它的长轴和短轴具有对称性。
- 焦半径定理：椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于长轴长度（2a）。
- 焦点定理：椭圆上任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于2a，这个性质可以用来定义椭圆。
- 内切圆和外切圆：椭圆的内切圆与椭圆的外切圆均与椭圆的长轴和短轴相切。
2. 椭圆的应用椭圆具有广泛的应用，下面我们将介绍椭圆在不同领域的一些应用。
- 物理学：在天体力学中，行星和卫星的运动轨迹常常被建模为椭圆。
椭圆轨道方程可以帮助科学家预测和计算行星和卫星的运动。
- 通信领域：在卫星通信和无线通信中，天线的辐射范围通常被建模为一个椭圆。
这有助于工程师设计和优化无线通信系统的覆盖范围和传输效果。
- 光学：椭圆曲线具有特殊的反射性质，因此在镜面技术中得到广泛应用，如天文望远镜、车辆的后视镜和照明灯的反射面等。
- 地理学：椭圆经纬线也被广泛用于精确测量地球表面上的位置，如GPS定位系统和地图制作中的坐标系统。
总结：椭圆是一种重要且常见的几何图形，它具有许多基本性质和广泛的应用。
椭圆的性质和特点可以帮助我们理解和分析许多自然和人造系统的运动和行为。
通过了解椭圆的定义、基本性质和应用，我们可以更好地应用它们在实际问题中进行计算和建模。
椭圆在天体力学、通信领域、光学和地理学等不同领域中都发挥着重要的作用，对实际应用具有重要的指导意义。
椭圆几何性质的总结方法
椭圆几何性质的总结方法摘要本文总结了椭圆的几何性质，并提供了一种简单的方法来理解和应用这些性质。
通过掌握这些方法，读者将能够更好地理解椭圆的特点和应用。
引言椭圆是数学中重要且广泛应用的几何形状之一。
它具有许多独特的性质，因此在各个领域都被广泛应用，包括工程学、天文学和物理学等。
椭圆的基本定义椭圆是一个平面上的封闭曲线，其到两个焦点的距离之和是常数。
通过这个定义，我们可以得出以下几个重要的性质。
1. 焦点性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，并且和椭圆的中心点对称。
这个性质在很多应用中起到重要的作用。
焦点性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，并且和椭圆的中心点对称。
这个性质在很多应用中起到重要的作用。
2. 几何性质：椭圆的长轴和短轴是互相垂直的，并且长轴是短轴的两倍长。
这个性质使得椭圆在计算和建模中易于处理。
几何性质：椭圆的长轴和短轴是互相垂直的，并且长轴是短轴的两倍长。
这个性质使得椭圆在计算和建模中易于处理。
3. 离心率性质：椭圆的离心率是一个衡量椭圆形状的参数，取值范围在0到1之间。
接近0的离心率表示椭圆形状接近于圆形，而接近1的离心率表示椭圆形状拉长。
离心率性质：椭圆的离心率是一个衡量椭圆形状的参数，取值范围在0到1之间。
接近0的离心率表示椭圆形状接近于圆形，而接近1的离心率表示椭圆形状拉长。
总结方法为了更好地理解和应用椭圆的性质，可以采取以下几个简单的方法。
1. 绘图法：通过绘制椭圆的图形，可以直观地观察到其性质，包括焦点位置、长短轴的关系和离心率等。
绘图方法是理解椭圆性质的基础。
绘图法：通过绘制椭圆的图形，可以直观地观察到其性质，包括焦点位置、长短轴的关系和离心率等。
绘图方法是理解椭圆性质的基础。
2. 数学公式：掌握椭圆的数学公式，包括焦点坐标、长轴和短轴长度、离心率等，可以更深入地理解椭圆的性质，并能够进行更复杂的计算和推导。
数学公式：掌握椭圆的数学公式，包括焦点坐标、长轴和短轴长度、离心率等，可以更深入地理解椭圆的性质，并能够进行更复杂的计算和推导。
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第5讲 椭圆的性质及应用一、知识梳理1x 2y 2y 2x 22（1）一类是与坐标系无关的椭圆本身故有的性质：长轴长、短轴长、焦距、离心率等. （2）一类是与坐标系有关的性质：顶点坐标、焦点坐标等.在解题时要特别注意第二类性质，应根据椭圆方程的形式，首先判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，然后再进行求解.问题 为什么椭圆的离心率决定椭圆的扁平程度？提示：椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，ba越接近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时，ba越接近于1，椭圆越接近于圆． 题型（一） 求椭圆的离心率例1 （1）下列椭圆中最扁的一个是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：椭圆的离心率越小，椭圆越圆，越大，离心率越大，椭圆越扁，越小， A 中＝，B 中＝，C 中＝，D 中＝，故选：B ．（2）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为________． 解析： 依题意，△BF 1F 2是正三角形，∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴a cos 60°＝c ，∴c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12.，答案： 12（3）如图，设椭圆的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆于C 点，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线， ∴OM ∥AB ，于是△OF A ∽△AFB ，且＝＝，即＝，可得e ＝＝．故选：C ．（4）《九章算术）是我国古代内容极为丰富的数学名著第九章“勾股”，讲述了“勾股定理及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2＝弦2”．设F 是椭圆＝1（a ＞b ＞0）的左焦点，直线y ＝x 交椭圆于A 、B 两点，若|AF |，|BF |恰好是Rt △ABF 的”勾”“股”，则此椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵|AF |，|BF |恰好是Rt △ABF 的”勾”“股”，∴AF 1⊥BF 1，∴OA ＝OB ＝OF 1＝c ． ∴A （，），∴⇒，，⇒，e 2＝1﹣＝4﹣2，∴﹣1．故选：A ．变式训练：1、美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆的长轴为2a，短轴的长为2b，“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，可得，即a＝2b，所以e＝＝＝．故选：C．2、己知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F作圆x2+y2＝b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由题意可得，，则2b2＝c2，即2（a2﹣c2）＝c2，则2a2＝3c2，∴，即e＝．故选：D．[题后感悟] (1)求离心率e 时，除用关系式a 2＝b 2＋c 2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2) 在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知识． 例21、设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1解法一：由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P ⎝⎛⎭⎫a2c ，y ，∵PF 1的中垂线过点F 2，∴|F 1F 2|＝|F 2P|，即2c ＝⎝⎛⎭⎫a 2c －c 2＋y 2，整理得y 2＝3c 2＋2a 2－a 4c 2.∵y 2≥0，∴3c 2＋2a 2－a 4c 2≥0，即3e 2－1e 2＋2≥0，解得e ≥33.∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.解法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于M 点，则|F 1F 2|＝|F 2P |≥|MF 2|，即2c ≥a 2c －c ，整理得13≤e 2<1，33≤e <1.∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.故选D.2、已知椭圆的标准方程为，F 1，F 2为椭圆的左右焦点，椭圆上存在一点P ，使得21PF F ∠为直角，求椭圆的离心率的取值范围 3、椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2若C 上的点P 满足21123F F PF =，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是A.21≤eB.41≥eC.2141≤≤eD.410≤<e 或121<≤e【答案】C 解析：∵12233,2PF F F c ==∴，由三角形中，两边之和大于第三边得，故选C.点拨：（1）对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化.在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因.（2）对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易.（3）整个图形都随着P 点的变化而变化，P 点的变化使得线段||PF 2的长度也在变化，进而||PF 2与||MF 2的长度关系也在变化.正确的描述这一变化中量与量之间的数量关系是解题的关键所在.（4）求椭圆的离心率通常要构造关于a ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程或不等式.题型二 直线与椭圆位置关系1、直线和椭圆位置关系判定方法概述①直线斜率存在时221y kx b mx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-= 当0∆>时 直线和椭圆相交 当0∆=时 直线和椭圆相切当0∆<时 直线和椭圆相离②直线斜率不存在时22221x x y a bλ=⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：1︒无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
2︒直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2. 中点弦问题椭圆的中点弦问题：（1）点差法（设而不求法）：设直线y=kx+b 与椭圆m x 2+ny 2=1（m>0,n>0，且m ≠n ）的交点为A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）,弦AB 的中点为M （x 0,y 0），则：1） x 0=221x x +，y 0=221y y + 2）由m x 21+n y 21=1减去m x 22+n y 22=1得：m x x 2221-+n y y 2221-=0，即：1212x x y y --=-m n ⋅2121y y x x ++，所以：设直线y=kx+b 的斜率k=-m n ⋅0y x例31、已知直线y ＝kx +2（k ∈R ）与椭圆+＝1恒有公共点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．（0，4] B ．[4，9）C ．（9，+∞）D ．[4，9）∪（9，+∞）【解答】解：根据题意，直线y ＝kx +2（k ∈R ）恒过定点（0，2）， 椭圆+＝1与y 轴正半轴的交点为（0，），若直线y ＝kx +2（k ∈R ）与椭圆+＝1恒有公共点，必有，解可得t ≥4且t ≠9，则t 的取值范围为[4，9）∪（9，+∞）；故选：D ．2、过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．答：.22[解析] 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)，点M 是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式作差可得x 21－x 22a 2＝－（y 21－y 22）b 2，即（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2，即k AB ＝－b 2a 2.由题意可知，直线AB 的斜率为－12，所以－b 2a 2＝－12，即a ＝2b .又a 2＝b 2＋c 2，所以c ＝b ，e ＝22.3、已知椭圆右焦点为F（3，0）过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则E的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得：+＝1，+＝1．相减可得：+＝0．又x1+x2＝2，y1+y2＝1，＝＝﹣．∴﹣＝0．∴＝，∴e＝＝＝．故选：C．4、已知点A，B是曲线x2+4y2＝1上两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），则+＝（）A．B．1C．D．5【解答】解：（1）若OA斜率为0，则|OA|＝1，|OB|＝，∴+＝5，（2）若OA有斜率且不为0，设直线OA的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝﹣x，联立方程组，解得x2＝，故y2＝，∴|OA|2＝x2+y2＝，将﹣替换k可得：|OB|2＝＝，∴+＝+＝5．综上，+＝5，故选：D．变式训练：1、已知椭圆221164x y +=过点(2,1)P 作弦且弦被P 平分，则此弦所在的直线方程为（ ） A ．230x y --= B ．210x y --= C ．210x y +-= D ．240x y +-= 【答案】D 【解析】：设被点(2,1)P 平分的弦与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则有22111164x y +=，22221164x y +=，两式相减，得12121212()()()()164x x x x y y y y +-+-=-，即121212124()422116()16212y y x x x x y y -+⨯⨯=-=-=--+⨯⨯，所以所求直线方程为11(2)2y x -=--，即240x y +-=，故选D ．2、已知椭圆C 方程为x 24＋y 23＝1.过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点．若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．(2)法一 由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中，Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)>0，解得k 2>32.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－24k 3＋4k 2，①x 1x 2＝243＋4k 2. ② 又因A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1， ③ 将③代入①，②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k 2，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2>32， 解得k ＝－32或k ＝32，所以，直线m 的斜率为－32或32.法二 由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵A 是PB 的中点，∴x 1＝x 22， ①y 1＝3＋y 22. ②又x 214＋y 213＝1， ③x 224＋y 223＝1，④联立①，②，③，④解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0，即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)，所以，直线m 的斜率为－32或32.家庭作业：1、直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析： 直线y ＝kx －k ＋1恒过定点(1,1)．又∵129＋124<1，∴点(1,1)在椭圆x 29＋y 24＝1内部．∴直线y ＝kx －k＋1与椭圆相交．故选B.2. 已知椭圆：y 29＋x 2＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋y －5＝0 答案：B 3、己知椭圆＝1（a ＞b ＞0）直线l 过左焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ． 【解答】解：直线l 的方程为：y ＝（x +c ），化为一般式：x ﹣y +c ＝0，以椭圆的长轴为直径的圆的方程为x 2+y 2＝a 2， ∴圆心（0，0）到直线l 的距离d ＝＝b ，即＝b ，即b ＝c ，∴e ＝＝＝＝．故选：D ．4、椭圆＝1的左右焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上第一象限内任意一点，F 1关于P 的对称点为M ，关于F 2的对称点为N ，则△MF 1N 的周长为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12【解答】解：椭圆＝1的左右焦点为F 1，F 2，可得a ＝2，c ＝1，P 为椭圆上第一象限内任意一点，F 1关于P 的对称点为M ，关于F 2的对称点为N ，如图： 则△MF 1N 的周长为：MF 1+MN +F 1N ＝2（F 1P +PF 2+F 1F 2）＝2（2a +2c ）＝12． 故选：D ．5、椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，可得（2a﹣c）2+c2＝4c2，可得2a2+2ac＝c2，所以e2+2e﹣2＝0，e∈（0，1），解得e＝＝．故选：A．6、设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，上下顶点分别为A、B直线AF2与该椭圆交于A、M两点．若∠F1AF2＝120°，则直线BM的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，椭圆+＝1（a＞b＞0），∠F1AF2＝120°，如图所示，则在△OAF2中，|OA|＝b，|AF2|＝a，∠OAF2＝60°，所以a＝2b，不妨设b＝1，则a＝2，所以c＝，则椭圆的方程为，又由A（0，1），F2（，0），所以＝﹣，所以直线AF2的方程为y＝﹣，联立方程组，整理得7x2﹣8＝0，解得x＝0或x＝，把x＝代入直线y＝﹣，解得y＝﹣，即M（，），又由点B（0，﹣1），所以BM的斜率为＝，故选：B．7、设命题p：实数x满足，q：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢q是￢p的充分不必要的条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1），可得，即为2＜x≤3；a＝1时，x2﹣4x+3＜0解得1＜x＜3，p∧q为真，可得p真q真，即有2＜x＜3，即x的取值范围是（2，3）；（2）若￢q是￢p的充分不必要的条件，可得p是q的充分不必要的条件，即p推得q，但q不能推得p，由p真可得2＜x≤3；q真可得a＜x＜3a．由（2，3]⊊（a，3a），a＞0，可得1＜a≤2，即a的范围是（1，2]．8、设命题P：对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立，命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得不等式x2﹣x+m﹣1≤0成立．（1）若P为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：对于成立，而x∈[0，1]，有（2x﹣2）min＝﹣2，∴﹣2≥m2﹣3m，∴1≤m≤2；q：存在x∈[﹣1，1]，使得不等式x2﹣x+m﹣1≤0成立，只需（x2﹣x+m﹣1）min≤0，而，∴，∴．（1）若p为真，则1≤m≤2；（2）若p∧q为假命题，p∨q为真命题，则p，q一真一假，若q为假命题，p为真命题，则，所以；若p为假命题，q为真命题，则，所以m＜1．综上，m＜1或．。