椭圆的性质及应用

第5讲 椭圆的性质及应用

一、知识梳理

1

x 2

y 2

y 2x 2

2（1）一类是与坐标系无关的椭圆本身故有的性质：长轴长、短轴长、焦距、离心率等. （2）一类是与坐标系有关的性质：顶点坐标、焦点坐标等.

在解题时要特别注意第二类性质，应根据椭圆方程的形式，首先判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，然后再进行求解.

问题 为什么椭圆的离心率决定椭圆的扁平程度？

提示：椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．

因为a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，b

a

越接近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时，

b

a

越接近于1，椭圆越接近于圆． 题型（一） 求椭圆的离心率

例1 （1）下列椭圆中最扁的一个是（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【解答】解：椭圆的离心率越小，椭圆越圆，越大，离心率越大，椭圆越扁，越小， A 中＝，B 中＝，C 中＝

，D 中＝

，

故选：B ．

（2）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为________． 解析： 依题意，△BF 1F 2是正三角形，

∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴a cos 60°＝c ，∴c a ＝1

2

，

即椭圆的离心率e ＝12.，答案： 1

2

（3）如图，设椭圆的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆于C 点，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆的离心率是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【解答】解：如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线， ∴OM ∥AB ，于是△OF A ∽△AFB ，且＝

＝，即

＝，可得e ＝＝．

故选：C ．

（4）《九章算术）是我国古代内容极为丰富的数学名著第九章“勾股”，讲述了“勾股定理及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2＝弦2”．设F 是椭圆＝

1（a ＞b ＞0）的左焦点，直线y ＝x 交椭圆于A 、B 两点，若|AF |，|BF |恰好是Rt △ABF 的”勾”“股”，

则此椭圆的离心率为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【解答】解：∵|AF |，|BF |恰好是Rt △ABF 的”勾”“股”，∴AF 1⊥BF 1，∴OA ＝OB ＝OF 1＝c ． ∴A （，

），∴

⇒

，

，⇒

，e 2＝1﹣

＝4﹣2，∴﹣1．

故选：A ．

变式训练：

1、美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了

明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”

是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

【解答】解：椭圆的长轴为2a，短轴的长为2b，“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，可得，即a＝2b，所以e＝＝＝．

故选：C．

2、己知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F作圆x2+y2＝b2的切线，若两条切线互相垂

直，则椭圆C的离心率为（）

A．B．C．D．

【解答】解：如图，

由题意可得，，则2b2＝c2，即2（a2﹣c2）＝c2，则2a2＝3c2，∴，即e＝．故选：D．

[题后感悟] (1)求离心率e 时，除用关系式a 2＝b 2＋c 2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2) 在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知识． 例2

1、设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2

c

上存在点P ，使线

段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )

A.⎝

⎛⎦

⎤0，

22 B.⎝

⎛⎦

⎤0，

33

C.⎣⎡

⎭

⎫

22，1

D.⎣⎡

⎭

⎫

33，1

解法一：由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P ⎝⎛⎭⎫a

2

c ，y ，∵PF 1的中垂线过点F 2，

∴|F 1F 2|＝|F 2P|，即2c ＝⎝⎛⎭

⎫a 2c －c 2

＋y 2，

整理得y 2＝3c 2＋2a 2－

a 4

c 2.

∵y 2≥0，∴3c 2＋2a 2

－a 4c 2≥0，即3e 2－1e 2＋2≥0，解得e ≥33.∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.

解法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于M 点，则|F 1F 2|＝|F 2P |≥|MF 2|，即2c ≥a 2c －c ，整理得13≤e 2<1，3

3

≤e <1.

∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫3

3，1.故选D.

2、已知椭圆的标准方程为

，F 1，F 2为椭圆的左右焦点，椭圆上存在一点P ，使

得21PF F ∠为直角，求椭圆的离心率的取值范围 3、椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2若C 上的点P 满足2112

3

F F PF =，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是

A.21≤e

B.41≥e

C.2141≤≤e

D.410≤

1

<≤e

【答案】C 解析：∵1223

3,2

PF F F c =

=∴，由三角形中，两边之和大于第三边得

，故选C.

点拨：

（1）对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化.在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因.

（2）对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易.

（3）整个图形都随着P 点的变化而变化，P 点的变化使得线段||PF 2的长度也在变化，进而||PF 2与||MF 2的长度关系也在变化.正确的描述这一变化中量与量之间的数量关系是解题的关键所在.

（4）求椭圆的离心率通常要构造关于a ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程或不等式.

题型二 直线与椭圆位置关系

1、直线和椭圆位置关系判定方法概述

①直线斜率存在时22

1

y kx b mx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222

()210m k n x kbnx b +++-= 当0∆>时 直线和椭圆相交 当0∆=时 直线和椭圆相切