一类散度型椭圆方程的霍普夫引理

2. 主要结论及证明
引理 1.2 [1] (霍普夫引理)设 B 是 Rn 中的一个开球，在 B 内，c ( x) ≥ 0 ，bi ( x)(i = 1, 2,
界。如果 u ∈ C2 ( B) ∩ C1 ( B ) 满足条件
(1) 在 B 内， Lu ≤ 0 ；
(2) 存在 x0 ∈ ∂B 使 u ( x0 ) ≥ 0 且对任意的 x ∈ B ，有 u ( x) < u ( x0 ) 。
要用到霍普夫引理。拉普拉斯方程的霍普夫引理如下：
( ) 引理 1.1 假设 u ∈ C B1 在 B1 = B1 (0) 内为调和函数，即 ∆u =0 ，如果对任意的 x ∈ B1 ，存在 x0 ∈ ∂B1 ，
使得 u ( x) < u ( x0 ) ，那么有
∂u ∂n
(
x0
)
≥
C
(
u
(
x0
)
−
u
(
一类散度型椭圆方程的霍普夫引理
阿迪拉·阿布都热依木，韩 菲* 新疆师范大学数学科学学院，新疆 乌鲁木齐
收稿日期：2020年8月28日；录用日期：2020年9月17日；发布日期：2020年9月24日
摘要
极值原理是椭圆偏微分方程的基本性质之一，线性椭圆偏微分方程具有强极值原理，其证明依赖于霍普 夫引理。本文得到一类散度型椭圆方程的霍普夫引理。
DOI: 10.12677/pm.2020.109100
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理论数学
阿迪拉·阿布都热依木，韩菲
显然可以找到一个小 ε > 0 ，使得在边界 ∂Ωρ 上有 u − u0 − ευ ≤ 0
由弱极值原理[3]知，在 Ωρ 内 u ≤ u0 + ευ ，尤其是
∂u (0) ≥ ε ∂υ (0)
(2.2)
理论数学
∂ν
∂ν
( ) 对于任意的在 x = 0 处指向 Ωρ 的外法向ν ，由[4]中的引理 3.4，即：设υ ∈ C1,α Ω 是问题(2.1)的正
解，那么随着
ρ
→
0+
，都有
∂υ ∂ν
(0)
~
CN* ρ
ν , eN
，其中ν
∈ RN
为单位向量且 CN*
=
N − 2 。可得 2N−2 −1
∂υ ∂ν
(0)
→
Keywords
Elliptic Partial Differential Equation, Divergence, Hopf’s Lemma, Positive Solution
*通讯作者。
文章引用: 阿迪拉·阿布都热依木, 韩菲. 一类散度型椭圆方程的霍普夫引理[J]. 理论数学, 2020, 10(9): 862-865. DOI: 10.12677/pm.2020.109100
基金项目
新疆师范大学重点实验室(XJNUSYS082018A02)。
参考文献
[1] 保继光, 朱汝金. 偏微分方程[M]. 北京: 北京师范大学出版社, 2011: 120. [2] Han, Q. and Lin, F.H. (2011) Elliptic Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 21-27. [3] Finn, R. and Gilbarg, D. (1957) Asymptotic Behavior and Uniqueness of Plane Subsonic Flows. Communications on
存在一个 ρ ， 0 < ρ < ρ0 ，使 ρ 包含在 Ω 内 Ω=ρ ρeN − D=ρ
x : ρ < 2
x + ρeN
<
ρ
( ) 根据[3]引入一个辅助函数υ ∈ C1,α Ω ，υ 是下面问题的弱解：
N
Lυ + ∑ bi∂iυ + c=υ 0, x ∈ Ωρ
i =1
=υ 1, x ∈ ∂Ω−ρ
f (x),x∈Ω
其中 x = ( x1, x2 , , xn ) ，在 Ω 内，对于1 ≤ i ≤ N ，有 bi ∈ L∞ (Ω) , c ∈ L∞ (Ω) 且 c ( x) ≥ 0 。
但选取适当的 aij ，我们可以得到如下霍普夫原理：
( ) 定理 1.3 Ω ∈ RN 为光滑有界域， aij ∈ Cα Ω ，其中 aij ( x) = a ji ( x) ，1 ≤ i, j ≤ N ， x ∈ Ω 且对所有的
Pure Mathematics 理论数学, 2020, 10(9), 862-865 Published Online September 2020 in Hans. /journal/pm https:///10.12677/pm.2020.109100
0
)
)
其中 C 为正常数且仅依赖于 n。
对如下形式的算子，霍普夫引理也是成立的： 假设 Ω 是一个在 Rn 中的有界连通区域，考虑 Ω 中的算子 L
Lu ≡ aij ( x) Diju + bi ( x) Diu + c ( x)u
( ) 对于 u ∈ C2 (Ω) ∩ C Ω 。我们总假设 aij ， bi 和 c 是连续的并且在 Ω 内有界[2]。
关键词
椭圆偏微分方程，散度型，霍普夫引理，正解
Hopf’s Lemma for a Class of Elliptic Equations of Divergence Type
Adila·Abudureyimu, Fei Han* School of Mathematical Sciences, Xinjiang Normal University, Urumqi Xinjiang
1-9. [5] Gilbarg, D. and Trudinger, N.S. (1983) Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Springer Verlag.
DOI: 10.12677/pm.2020.109100
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∂u ∂ν
(
x0
)
>
0
(1.5)
ν 为外法向，ν ∈ RN 以便 ν , n < 0 ，n 为指向 x0 的单位外法向量。
证明：定义一个算子
令 u0 = u ( x0 ) ，则
( ) N
Lu =− ∑ ∂i aij ( x) ∂ ju
i, j =1
N
L (u − u0 ) + ∑ bi∂i (u − u0 ) + c (u − u0 ) ≤ −cu0 ≤ 0
= i, j 1=i 1
(1.4)
在 Ω 内，对于1 ≤ i ≤ N ，有 bi ∈ L∞ (Ω) ， c ∈ L∞ (Ω) 且 c ( x) ≥ 0 。 假设对 x0 ∈ ∂Ω ，存在一个球 B ⊂ Ω 且 x0 ∈ ∂B ， u = u ( x) ，满足
u ( x) > u ( x0 )
如果 u ( x0 ) ≥ 0 ，则
Received: Aug. 28th, 2020; accepted: Sep. 17th, 2020; published: Sep. 24th, 2020
Abstract
The Maximum Principle is one of the basic properties of elliptic partial differential equations. Linear elliptic partial differential equations have strong maximum principle, whose proof depends on Hopf’s lemma. This paper obtains Hopf’s lemma for a class of divergence elliptic equations.
阿迪拉·阿布都热依木，韩菲
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). /licenses/by/4.0/
−∞,
ρ
→
0+
(2.3)
由(2.2)和(2.3)得出(1.5)。证毕
注：(a) 球 B 为“内球”，与边界 ∂Ω 相切于点 x0 ∈ ∂Ω ；
(b) 当 u ( x0 ) = 0 时，不需要限制 c 的符号或对所有 x ∈ Ω ，有 c ( x) = 0 ，那么 u ( x0 ) 的符号可以是任
意的。
i =1
不妨令 x0 为原点，通过对变量 x 进行适当的变换，令 eN 为 u 在 x0 点的外法向，保持定向的，此时，
u 在 x0 处的外法向就变成了 u 在 0 处对新变量的外法向。
选取一个环 D
=
x
∈
R
N
:1 2
<
x
< 1 ， ρ
> 0 ，令集合 D=ρ
ρ=D
{ρ x : x ∈ D} ，选取适当的 ρ0 > 0 ，
(2.1)
=υ 0, x ∈ ∂Ω+ρ
{ } = ∂Ω−ρ
x
:
x += ρeN
ρ 2
和
= ∂Ω+ρ
x : x + = ρeN ρ .
( ) 由[5]中的定理 8.3 知，(2.1)存在唯一正解υ ∈ H1 Ωρ ，这意味着在 Ω 内几乎处处有 0 ≤ υ ≤ 1 ，由于 ( ) υ ∈ L∞ (Ω) ，经典结果隐含着存在 0 < β < 1，使得υ ∈ Cβ Ωρ ，此外，强极值原理确保对所有 x ∈ Ωρ 都 ( ) ( ) 有υ ( x) > 0 ，再根据[5]中 8.11 的结果，可得υ ∈ C1,α Ωρ [4]。因此υ ∈ C1,α Ω 是问题(2.1)的唯一正解。