空间解析几何与向量代数

第八章 空间解析几何与向量代数

一、选择题

1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //，则 B

（A ）、x=0.5 y=6 (B)、x=-0.5 y=6

(C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3

2．平面x -2z = 0的位置是 D 。

（Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴

（Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴

3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。

（Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1

4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７

5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。

（Ａ）、2

π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。

（A ）233211+=+=-z y x （C ）1

0101z y x =-=+ （B ）{

4404=--=--y x z x （D ）⎪⎩⎪⎨⎧==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。

（A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1//L 2 （C ）、L 1与L 2相交但不垂直。（D ）、L 1与L 2为异面直线。

二、填空题

1. 点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。

2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。

3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线

51232-==-z y x 的直线方程 为 5

32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题

1· 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程.

解 所求平面的法线向量为n =(3, -7, 5), 所求平面的方程为

3(x -3)-7(y -0)+5(z +1)=0, 即3x -7y +5z -4=0.

2. 求过点(2, -3, 0)且以n =(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程.

解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为

(x -2)-2(y +3)+3z =0,

即 x -2y +3z -8=0.

3·求过三点M 1(2, -1, 4)、M 2(-1, 3, -2)和M 3(0, 2, 3)的平面的方程.

解 我们可以用→→

3121M M M M ⨯作为平面的法线向量n .

因为→)6 ,4 ,3(21--=M M , →)1 ,3 ,2(31--=M M ,

所以 →→

k j i k j i n -+=----=⨯=9141326433121M M M M . 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为

14(x -2)+9(y +1)-(z -4)=0,

即 14x +9y - z -15=0.

4· 求过点(4, -1, 3)且平行于直线5

1123-==-z y x 的直线方程. 解 所求直线的方向向量为s =(2, 1, 5), 所求的直线方程为

5

31124-=+=-z y x . 5·求过两点M 1(3, -2, 1)和M 2(-1, 0, 2)的直线方程.

解 所求直线的方向向量为s =(-1, 0, 2)-(3, -2, 1)=(-4, 2, 1), 所求的直线方程为 1

12243-=+=--z y x . 6. 求与两平面 x -4z =3和2x -y -5z =1的交线平行且过点(-3, 2, 5)的直线的方程. 解 平面x -4z =3和2x -y -5z =1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s ,

因为 )34(

512 401 )52()4(k j i k j i k j i k i s ++-=---=--⨯-=, 所以所求直线的方程为

1

53243-=-=+z y x . 7.一个平面过两点M 1(1, 11, 1)、M 2(0, 1, -1)，且垂直于平面x+y+z=0,求其方程 解：1098=-+z y x