罗尔定理论文

浅谈罗尔定理及拉格朗日定理推广及应用
摘 要：微分中值定理是导数应用的理论基础.本文在罗尔定理及拉格朗日定理原有描述的基础上，对其进行了推广，使其定理的适用范围更加广泛；同时，对罗尔定理在讨论方程根的存在性问题中的应用及拉格朗日定理在证明不等式和求极限问题中的应用进行了讨论，证实所得推广定理的有效性及实用性.
关键词：罗尔定理；拉格朗日中值定理；极限；导数
一、罗尔定理推广及应用 （一）罗尔定理推广 1.罗尔定理描述
若函数()f x 满足下列条件：在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可导；
()()f b f a =；则在(),a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ'=. 2.罗尔定理的推广
2.1罗尔定理推广 1 设(),a b 为有限或无限区间，()f x 在(),a b 内可微，且
()()lim lim f x f x A x x a b ==+-
→→（A 可为有限也可为+∞-），则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=.
证明：(1)设(),a b 为有限区间.若A 是有限值，令
()()()()(0),,
,,,0,.
f a x a F x f x x a b f b x b ⎧+=⎪
=∈⎨⎪
-=⎩
容易验证()F x 在[],a b 上满足罗尔定理的条件，故(),a b ξ∃∈，使
()()0F f ξξ''==.
(2)若A 为+∞， (),a b 为有限区间或无限区间，由()f x 在(),a b 内的连续性知，
当0c >充分大时，直线y c =与曲线()y f x =至少有两个焦点()()11,x f x 与
()()2
2
,x f x ，即()()1
2
f x f x c
==且()1,2,x x a b ∈.不妨设12x x <，对()f x 在
[]()1,2,x x a b ⊂上应用罗尔定理，使得()0f ξ'=；
(3)若A 为有限值，(),a b 为无限区间.
做变量替换，即选择函数()x x t =，满足如下要求：(),t αβ∈，（这里(),αβ是有限区间），(),x a b ∈，()x t '存在且不变号.然后对符合函数()()f x t 在(),αβ应用(1) 的结果.
1)当,a b =-∞=+∞，即()(),,a b =-∞+∞.做变换tan x t =，令()()tan g t f t =，则
()g t 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上满足(1)式的全部条件.故,22ππτ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，使()0g τ'=，而
()2(tan ).sec g f τττ''=， 2sec 0τ>，
于是取()tan ,ξτ=∈-∞+∞，就是()0f ξ'=；
2)若当a 有限，b =+∞，即()(),,a b a =+∞，作变换
()()
t m a x t m t
-=
-，a t m <<，（其中m 为正数） 令()()()g t f x t =，则()g t 在a t m <<上满足(1)式的全部条件.故(),a m τ∃∈，使
()0g τ'=，而
()()
()()
2
(
)m a m a m g f m τττ--''=-，
于是取()
(),m a a m ττ
ξ-∈+∞-=
，就有()0f ξ'=.
3)当a =-∞，b 为有限，即()(),,a b b =-∞，做变换
()(),t b s x t t s
-=- s t b <<，其中b 为负数，
同理可得，取()
b s s τξτ-=-，就有()0f ξ'=.
2.2 罗尔定理推广2 任意个函数的微分中值定理
设()21,(),x f x f ⋯⋯,()n x f 在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可微；()()i i a b f f ≠，
,1,2,n i j =⋯,，则(),a b ξ∃∈，使得
()()()()(),110n
i i j i j j j b a f f x f b a f f =⎡⎤
-'-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
∑ (1) 证明：根据题设，函数
()()()()()(),11n
i i j
i j j j b a f f H x x f
b a f f =⎡⎤
-=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
∑,
在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可微；
()()()()()()()(),11n
i i j
j i j j j b a f f H b H a b a f f b a f f =⎡⎤
-⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦
∑
()()()(),1
0n
i i j
j i j b a b a f f f
f =⎡⎤=---=⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑,
即()()H b H a =，所以由罗尔定理知道(),a b ξ∃∈，使得
()()()()()(),110n
i i j i j j j b a f f x H f b a f f ξ=⎡⎤
-''-==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
∑. 2.3罗尔定理推广3设()f x ，()g x ，()h x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则
(),a b ξ∃∈，使得
()()()()()()()()()
0f a g a h a f b g b h b f g h ξξξ='''.
证明：设
()()()()()()()()()()
f a
g a
h a F x f b g b h b f x g x h x =.
由行列式性质知()()0F a F b ==，则由于满足罗尔定理，则(),a b ξ∃∈，使得
()0f ξ'=，则问题得证. （二） 罗尔定理的应用
1.在讨论方程根的存在性问题时，可以应用罗尔定理.
罗尔定理的条件很宽松，给一个定义在闭区间[],a b 上的函数，只需函数在这个区间连续，可导（并不要求区间端点可导），在要求()f x 满足条件()()f a f b =.因此，可以应用罗尔中值定理解决一些复杂的代数方程的判根问题.其步骤一般是：分析命题条件→构造辅助函数()f x →验证()f x 满足罗尔定理的条件→应用罗尔定理→命题结论.
例1：若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a >，证明:在(),a b 内，方程
()(){}()()222x f b f a b a f x '-=-至少存在一个根.
证明：令
()()(){}()()222F x f b f a x b a f x =---，
显然，()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，而且
()()()()22F a f b a b f a F b =-=，
根据罗尔定理，至少存在一个(),a b ξ∃∈，使得()0F ξ'=，则有
()(){}()()222f b f a b a f ξξ'-=-，
故在(),a b 内，方程
()(){}()()222x f b f a b a f x '-=-.
至少存在一个根.
2.罗尔定理的推广也有广泛的应用.
在证明不等式时，首先我们可以根据不等式俩边的代数式选取不同的()F x ；其次，验证()F x 是否满足罗尔定理推广中的某种形式的条件；最后，应用定理进行解题，下面通过举例说明其应用.
例2：设()f x 在),a +∞⎡⎣内可微，且满足不等式
(
)0f x ≤≤， ()0,x ∀∈+∞,
证明存在一点()0,ξ∈+∞，使得
(
)221f ξξ'=
+ 证明:由已知不等式知 ()00f =，()0lim x f x →+∞
=.令
()(
)F x f x =-，
则
()00F =，()(
)0lim lim lim x x x F x f x →+∞
→+∞
→+∞
=-=，
则由推广的罗尔定理，()0,ξ∃∈+∞，使得()0F ξ'=，即
(
)221f ξξ'=
+二、拉格朗日中值定理推广及应用 （一）拉格朗日中值定理推广 1.拉格朗日中值定理描述
若函数()f x 满足下列条件：在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可导.则在开区间(),a b 内至少存在一点ξ，使
()()()f b f a f b a
ξ-'=
-.
2.拉格朗日中值定理推广
2.1 推广1在上述罗尔定理推广三中若令()g x x =，()1h x =并代入上式即得拉格朗日中值定理()()()
f b f a f b a
ξ-'=
-.则就有下面推广：
设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则至少(),a b ξ∃∈，使
()()()11010
f a a f b b f ε='， 容易得到()()()
f b f a f b a
ξ-'=
-.
2.2 推广2 拉格朗日推广到更一般的形式
如果函数()()()12,,,n f x f x f n ⋯在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则对于任意给定的一组实数12,,n k k k ⋯,，且120n k k k ++⋯+=，必存在(),a b ξ∈，使得
()()()11222111||||||0n n n n n b b b b b b
k f f f k f f f k f f f a a a a a a ξξξ-'''⋯+⋯+⋯⋯+⋯=，
其中，()()|i i i b f f b f a a =-，1,2,,.i n =⋯特别地，当12|||0n b b b
f f f a a a
⋯≠，上式可写
()()()()()()()
()()
121
211220n n n n f f f k k k f b f a f b f a f b f a ξξξ'''++⋯+=---.
证明：令
()()()()11222111||||||n n n n n b b b b b b
x k f x f f k f x f f k f x f f a a a a a a
φ-=⋯+⋯+⋯⋯+⋯.
显示()x φ在[],a b 上均满足罗尔定理的条件，由罗尔定理即可得证结论成立. 2.3 推广3 对于拉格朗日定理，若把条件减弱的话，定理应用将更加广泛. 命题 设函数()f x 在闭区间[],a b ，在开区间(),a b 内除了有限个点外可微，则存在
(),a b ξ∈使得()()()()f b f a f b a ξ'-≤
-.
证明：不妨设()f x 在仅在(),d a b ∈不可微，分别在[][],,,a d d b 应用拉格朗日定理中值定理，则得到
()()()()1f d f a f d a ξ'-=-， ()1,d a ξ∈， ()()()()2f b f d f b d ξ'-=-， ()2,b d ξ∈.
令()()(){}
12max ,f f f ξξξ'''=，使得
()()()()f b f a f b a ξ'-≤-.
2.4 推广4 设函数()f x 在区间[],a b 上连续，若()f x 在(),a b 内除了n 个点处可微，则存在1n +个点，211
n a b ξξξ+<<<⋯<<及1n +个正数1,21,,,n ααα+⋯使得1
11n i i α+==∑且
()()1
1
()()n i i i f b f a f b a αξ+='-=-∑.
证明：不妨设()f x 在仅在(),d a b ∈不可微，则由上述推广3得
()()()()1f d f a f d a ξ'-=-， ()1,d a ξ∈， ()()()()2f b f d f b d ξ'-=-， ()2,b d ξ∈，
取1,2αα使()()12,b a d a b a b d αα-=--=-则12121,0,0αααα+=>>且
()()()1122()()f b f a f f b a αξαξ''-=+-⎡⎤⎣⎦.
这个证明方法可以推广到()f x 在n 个点上不可微得情形，可以的以上的推论. 2.5 推广5 若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数,f f -+''，则存在()0,x a b ∈及0,0,1p q p q ≥≥+=，使得
()()()()()pf x qf x b a f b f a -+''+-=-⎡⎤⎣⎦.
证明：（1）先证明若()f x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数,f f -+''，且()()f b f a =，则存在()0,x a b ∈，使得()()000f x f x -+''≤.事实上，由()f x 在[],a b 连续，得,,M m ∃使得()m f x M ≤≤又()()f b f a =，故()f x 必在区间(),a b 内取得至少一个最值，不防设最值点为0x ，()0f x M =，
()()0
00lim 0x x f x f x x x +
→-≤-或()()
00lim 0x x f x f x x x -→-≥-，
()()000f x f x -+''≤.
（2）作辅助函数
()()()()()
()f b f a F x f x f a x a b a
-=--
--，
则由()f x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数,f f -+''知()F x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数F -'，F +'，且有因为()()0F b F a ==，故由上面的结论()1,x a b ∃∈使得()()000F x F x -+''≤.不妨设()()000,0,F x F x -+''≥≤则
()()()()
110f b f a F x f x b a ---''=-≥-，
()()()()
010f b f a F x f x b a
++-''=-
≤-，
即
()()()
()11f b f a f x f x b a
+--''≤
≤-，
又()()()()111G x xf x x f x -+''=+-在[]0,1上连续函数.且
()()10G f x +'=，()()11G f x -'=，
有介值定理，()0,1p ∃∈使得
()()()
f b f a G p b a
-=
-，
即
()()()()()
111f b f a pf x p f x b a
-+-''+-=
⎡⎤⎣⎦-，
又1q p =-，则
()()()()()pf x qf x b a f b f a -+''+-=-⎡⎤⎣⎦.
(二) 拉格朗日中值定理应用 1.利用拉格朗日定理证明不等式
拉格朗日中值定理中只肯定了在(),a b 内至少有一点ξ，使得等式成立，但对ξ的确切位置未作任何断定，这并不影响定理在做理论探讨和解决具体问题中所起的作业. 利用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是选择适当的函数()f x 和对应的区间[],a b ，使它满足拉格朗日中值定理，使得
()()()
(),,f b f a f a b b a
ξξ-'=
∈-，
在用不等式的性质可证明数学不等式.具体步骤如下： 第一步，选择适当的函数()f x 和对应的区间[],a b ；
第二步，对所取的函数()f x 和对应的区间[],a b ，写出拉格朗日中值公式，
()()()
(),,f b f a f a b b a
ξξ-'=
∈-，
第三步，确定导函数()f ξ'在所讨论的区间上的单调性；
第四步，分别,a b ξξ==，确定()f x '在区间端点上的导数值，由()f x '的单调性得出()f ξ'的范围：
()()()f a f f b ξ'''<<， （当()f x '单调增加时） ()()()f a f x f b >>， （当()f x '单调减少时）
由()()()
f b f a f b a
ε-'=- ，(),a b ξ∈这个等式就得到数学不等式；若当()f x '单调增加
时则有
()()()
()f b f a f a f b b a
-''<
<-，
或有
()()()()()()f a b a f b f a f b b a ''-<-<-.
等,以下举例说明.
例3 当0x >
时，则有(
1xIn x +>证明：设
(
)(
1f t tIn t =+ []0,t x ∈，
并满足中值定理条件，且有
(
)(
1f t In t t
⎛⎫'=+
(0In t =>， []0,t x ∈， 所以()f t 在[]0,x 是单调递增的.故当0x >时，()()00f x f >= 则有
(
1xIn x +>2.拉格朗日定理在为求极限提供一种简单而有效的方法
对于有些求极限的题，如果使用罗比达法则，则求导数的计算量很大.微分中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效地方法.其方法是对极限题中的某些部分构造辅助函数，使用微分中值定理，然后求出极限.
例4 求11
2
1
lim n n x n a a +→∞
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，其中0a >.
解：对()x f x a =应用拉格朗日定理，有
()112
2111lim lim |1x
n n x x x n a a n a n n ε+=→∞→∞⎛⎫⎛⎫'-=⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
()2lim 1x n a Ina Ina n n ε→∞
==+， 其中11,1n n ξ⎛⎫
∈ ⎪+⎝
⎭.
参考文献：
[1] 数学分析（上）（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社. 2001
[2] 刘玉琏 傅沛仁.数学分析讲义（上）（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社. 2008 [3] 陈绍东 宋苏罗. 微分中值定理的推广[J].河南:南阳理工学院.2008 [4] 陈守信.数学分析选讲[M]. 北京：机械工业出版社. 2009
[5] 邵红 陈实.拉格朗日中值定理证明数学不等式[J].牡丹江大学学报. 2008。