罗尔定理论文

浅谈罗尔定理及拉格朗日定理推广及应用

摘 要：微分中值定理是导数应用的理论基础.本文在罗尔定理及拉格朗日定理原有描述的基础上，对其进行了推广，使其定理的适用范围更加广泛；同时，对罗尔定理在讨论方程根的存在性问题中的应用及拉格朗日定理在证明不等式和求极限问题中的应用进行了讨论，证实所得推广定理的有效性及实用性.

关键词：罗尔定理；拉格朗日中值定理；极限；导数

一、罗尔定理推广及应用 （一）罗尔定理推广 1.罗尔定理描述

若函数()f x 满足下列条件：在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可导；

()()f b f a =；则在(),a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ'=. 2.罗尔定理的推广

2.1罗尔定理推广 1 设(),a b 为有限或无限区间，()f x 在(),a b 内可微，且

()()lim lim f x f x A x x a b ==+-

→→（A 可为有限也可为+∞-），则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=.

证明：(1)设(),a b 为有限区间.若A 是有限值，令

()()()()(0),,

,,,0,.

f a x a F x f x x a b f b x b ⎧+=⎪

=∈⎨⎪

-=⎩

容易验证()F x 在[],a b 上满足罗尔定理的条件，故(),a b ξ∃∈，使

()()0F f ξξ''==.

(2)若A 为+∞， (),a b 为有限区间或无限区间，由()f x 在(),a b 内的连续性知，

当0c >充分大时，直线y c =与曲线()y f x =至少有两个焦点()()11,x f x 与

()()2

2

,x f x ，即()()1

2

f x f x c

==且()1,2,x x a b ∈.不妨设12x x <，对()f x 在

[]()1,2,x x a b ⊂上应用罗尔定理，使得()0f ξ'=；

(3)若A 为有限值，(),a b 为无限区间.

做变量替换，即选择函数()x x t =，满足如下要求：(),t αβ∈，（这里(),αβ是有限区间），(),x a b ∈，()x t '存在且不变号.然后对符合函数()()f x t 在(),αβ应用(1) 的结果.

1)当,a b =-∞=+∞，即()(),,a b =-∞+∞.做变换tan x t =，令()()tan g t f t =，则

()g t 在,22ππ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

上满足(1)式的全部条件.故,22ππτ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，使()0g τ'=，而

()2(tan ).sec g f τττ''=， 2sec 0τ>，

于是取()tan ,ξτ=∈-∞+∞，就是()0f ξ'=；

2)若当a 有限，b =+∞，即()(),,a b a =+∞，作变换

()()

t m a x t m t

-=

-，a t m <<，（其中m 为正数） 令()()()g t f x t =，则()g t 在a t m <<上满足(1)式的全部条件.故(),a m τ∃∈，使

()0g τ'=，而

()()

()()

2

(

)m a m a m g f m τττ--''=-，

于是取()

(),m a a m ττ

ξ-∈+∞-=

，就有()0f ξ'=.

3)当a =-∞，b 为有限，即()(),,a b b =-∞，做变换

()(),t b s x t t s

-=- s t b <<，其中b 为负数，

同理可得，取()

b s s τξτ-=-，就有()0f ξ'=.

2.2 罗尔定理推广2 任意个函数的微分中值定理

设()21,(),x f x f ⋯⋯,()n x f 在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可微；()()i i a b f f ≠，

,1,2,n i j =⋯,，则(),a b ξ∃∈，使得

()()()()(),110n

i i j i j j j b a f f x f b a f f =⎡⎤

-'-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

∑ (1) 证明：根据题设，函数

()()()()()(),11n

i i j

i j j j b a f f H x x f

b a f f =⎡⎤

-=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

∑,

在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可微；

()()()()()()()(),11n

i i j

j i j j j b a f f H b H a b a f f b a f f =⎡⎤

-⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦

∑

()()()(),1

0n

i i j

j i j b a b a f f f

f =⎡⎤=---=⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑,

即()()H b H a =，所以由罗尔定理知道(),a b ξ∃∈，使得

()()()()()(),110n

i i j i j j j b a f f x H f b a f f ξ=⎡⎤

-''-==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

∑. 2.3罗尔定理推广3设()f x ，()g x ，()h x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则

(),a b ξ∃∈，使得

()()()()()()()()()

0f a g a h a f b g b h b f g h ξξξ='''.

证明：设

()()()()()()()()()()

f a

g a

h a F x f b g b h b f x g x h x =.