高三数学知识点总结35之23：等比数列
(完整版)等比数列知识点总结
等比数列知识梳理：1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n mn m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na =（2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列（3）通项公式：()0{}nn n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n nn n a a a q q A B A B q-===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ；②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A qq q q--==-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q 。
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质等比数列是数学中常见的一种数列，又被称为等比数列或几何数列。
在高中数学中，等比数列的概念及其性质是学习数列的重要一环。
本文将对等比数列以及等比数列的性质进行总结和讨论。
1. 等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
假设数列的首项为a，公比为r，那么等比数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)其中，an为数列的第n项。
2. 等比数列的性质等比数列有许多特殊的性质，下面将逐一介绍。
2.1 等比数列的公比公比r是等比数列中非常重要的一个概念，它决定了数列的增长或衰减趋势。
当|r|>1时，等比数列呈现增长趋势，此时数列的绝对值逐项增大；当|r|<1时，等比数列呈现衰减趋势，此时数列的绝对值逐项减小；当|r|=1时，等比数列的绝对值保持不变。
2.2 等比数列的通项公式的推导等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)可以通过递推关系式得出。
首先可以得到数列的第二项：a2 = a * r。
推导出来的通项公示能够方便我们计算等比数列中各项的大小。
同时，通过改变公比，我们可以观察等比数列的特点。
2.3 等比数列前n项和的计算等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式进行计算：Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)这个公式也可以通过递推关系式的推导得出。
等比数列前n项和的计算在实际问题中具有重要的应用，可以帮助我们求解等比数列求和问题。
3. 等比数列的应用举例3.1 高度问题假设一个球从一定的高度往下落，每次反弹高度都是之前一次的一半。
如果求第n次反弹的高度，我们可以建立等比数列来描述这个过程。
首项为球的初始高度，公比为1/2，利用等比数列的通项公式即可求解。
3.2 利息问题在金融领域中，利息的计算经常涉及到等比数列。
例如，一笔钱每年按照固定的利率计算利息，那么每年的本金和利息的总额就构成了一个等比数列。
等比数列知识点归纳及总结公式
等比数列知识点归纳及总结公式等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的定义是指一个数列中，从第二项起，每一项都是前一项与一个固定的非零常数的乘积。
在学习等比数列时，我们需要了解其定义、性质、求和公式等相关知识点。
本文将对等比数列的常见知识点进行归纳总结，并提供相应的公式。
一、等比数列的定义等比数列可以通过以下定义来进行理解：在数列$a_1,a_2,a_3,...,a_n$ 中，若对于任意的正整数 $n$ ，都有$\frac{{a_{n+1}}}{{a_n}}=r$ 成立（常数 $r$ 称为等比数列的公比），则称这个数列为等比数列。
通常我们用 $a_1$ 表示等比数列的首项。
二、等比数列的性质1. 公比与首项的关系：等比数列的公比 $r$ 与首项 $a_1$ 之间存在以下关系：$a_2=a_1 \cdot r$，$a_3=a_2 \cdot r=a_1 \cdot r^2$，以此类推，可得第 $n$ 项为 $a_n=a_1 \cdot r^{n-1}$。
2. 通项公式：根据等比数列的性质1，可推导出等比数列的通项公式为 $a_n=a_1 \cdot r^{n-1}$。
3. 首项与公比的关系：若已知等比数列的首项 $a_1$ 和第 $n$ 项$a_n$，则公比 $r$ 可以通过 $r=\sqrt[n-1]{\frac{{a_n}}{{a_1}}}$ 来求解。
4. 等比数列的倒数列：等比数列的倒数列也是一个等比数列，其公比为原数列公比的倒数。
即若 $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ 是一个等比数列，且公比为 $r$，则其倒数列为$\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},\frac{1}{a_3},...,\frac{1}{a_n}$，且其公比为 $\frac{1}{r}$。
5. 前 $n$ 项和公式：等比数列的前 $n$ 项和可以通过以下公式来求解：$S_n=a_1\frac{{1-r^n}}{{1-r}}$，其中 $S_n$ 表示前 $n$ 项和。
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列和等比数列是数学中的两个重要概念，它们在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结：
等差数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个数列被称为等差数列。
2. 通项公式：$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。
3. 求和公式：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d]$，其中 $S_n$ 是前$n$ 项的和。
4. 等差中项：任意两项的算术平均值等于第三项。
5. 等差数列的性质：如果两个数列都是等差数列，那么它们的和也是一个等差数列。
等比数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的比是一个常数，这个数列被称为等比数列。
2. 通项公式：$a_n = a_1 \times q^{n-1}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。
3. 求和公式：对于 $q \neq 1$，有 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$；对于 $q = 1$，有 $S_n = na_1$。
4. 等比中项：任意两项的几何平均值等于第三项。
5. 等比数列的性质：如果两个数列都是等比数列，那么它们的乘积是一个等比数列。
以上是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结。
在学习这些内容时，可以通过做练习题来加深理解和巩固知识。
等比数列知识点归纳总结图文
等比数列知识点归纳总结图文在数学中，等比数列是一种特殊的数列。
它是指从第二项开始，每一项与它的前一项的比相等的数列。
本文将对等比数列的相关知识点进行归纳总结，并以图文形式展示，帮助读者更好地理解和掌握等比数列的概念和性质。
1. 等比数列的定义等比数列是指从第二项开始，每一项与它的前一项的比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，数列的通项公式为an=a×r^(n-1)。
其中，n表示数列中的第n项。
2. 等比数列的性质（1）通项公式：等比数列的通项公式是an=a×r^(n-1)，其中a表示首项，r表示公比，n表示项数。
（2）前n项和公式：等比数列的前n项和公式是Sn=a×(1-r^n)/(1-r)，其中a表示首项，r表示公比，n表示项数。
（3）比值性质：等比数列中，任意两项的比值都为常数，即an/an-1=r。
（4）倒数性质：等比数列中，任意两项互为倒数，即an与1/an-1互为倒数。
3. 等比数列的图文示例下面通过图文形式对等比数列进行示例，以加深对等比数列的理解和记忆。
（插入示例图片）图1是一个等比数列的示例图，首项a=2，公比r=3/2。
根据等比数列的通项公式an=a×r^(n-1)，我们可以计算出数列的前几个项如下：a1=2a2=2×(3/2)^1=3a3=2×(3/2)^2=4.5a4=2×(3/2)^3=6.75...由此可见，该数列每一项与前一项的比相等，且比值为3/2。
（插入示例图片）图2展示了等比数列的前n项和的计算过程，首项a=10，公比r=0.5。
根据等比数列的前n项和公式Sn=a×(1-r^n)/(1-r)，我们可以计算出数列的前几项和如下：S1=10S2=10×(1-(0.5)^2)/(1-0.5)=15S3=10×(1-(0.5)^3)/(1-0.5)=19.5S4=10×(1-(0.5)^4)/(1-0.5)=21.75...可以看出，数列的前n项和随着项数的增加而增加。
等比数列知识点总结
等比数列知识点总结在数学学习中，等比数列是一种非常重要的数列形式。
它具有独特的特点和应用，是数学领域中必须深入了解和掌握的知识点之一。
本文将对等比数列的定义、通项公式、首项、公比、求和公式等知识点进行总结和讨论。
一、等比数列的定义等比数列，指的是数列中的每一项与其前一项的比相等的数列。
其中，比值称为公比，用字母q表示。
如果等比数列的首项为a1，公比为q，则数列的通项可以表示为：an = a1 * q^(n-1)其中，n表示数列的第n项。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中an表示等比数列的第n项，a1表示等比数列的首项，q表示等比数列的公比。
通过等比数列的通项公式，可以方便地计算数列中任意一项的数值。
例如，当等比数列的首项a1为2，公比q为3时，可以得到该数列的通项公式为：an = 2 * 3^(n-1)。
通过代入不同的n值，可以求得等比数列的不同项的数值。
三、等比数列的首项和公比等比数列的首项指的是数列中的第一项，用字母a1表示。
根据等比数列的定义，可知第二项a2 = a1 * q，第三项a3 = a2 * q = a1 * q^2，以此类推，第n项可以表示为an = a1 * q^(n-1)。
公比q则是指每一项与前一项的比值，用数值表示。
例如，当等比数列的首项为1，公比为2时，数列中的一些项可以表示为：a1 = 1，a2 = 1 * 2 = 2，a3 = 1 * 2^2 = 4，a4 = 1 * 2^3 = 8，以此类推。
首项和公比是等比数列中两个重要的参数，可以通过它们来确定数列的性质和变化规律。
四、等比数列的求和公式等比数列的求和公式是通过对数列中的每一项进行求和，得到数列的总和。
由于等比数列是无穷数列，求和公式对于计算有限项的总和非常有用。
等比数列的求和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示等比数列的前n项的和。
等比数列知识点总结
等比数列知识点总结等比数列是数学中常见的数列之一，它的特点是每个数都是前一个数乘以同一个常数，这个常数被称为公比。
接下来我们来总结一下与等比数列相关的一些重要知识点。
1. 等比数列的定义等比数列是指数列中的每一项与它的前一项的比都相等的数列。
换句话说，对于等比数列 {a1, a2, a3, ...}，对于任意项 ai，都有 ai+1/ai=d，其中 d 是公比。
2. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式用来表示数列中的任意一项。
对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，通项公式为 an = a1 * r^(n-1)，其中 a1 是首项，r 是公比，n 是项数。
3. 等比数列前 n 项和的公式等比数列的前 n 项和常用的公式是 Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)，其中Sn 是前 n 项的和。
4. 公比的取值范围公比的取值范围决定了等比数列的性质。
当公比 r 大于 1 时，数列递增；当公比 0<r<1 时，数列递减。
当 r 等于 1 时，数列退化成一个等差数列。
5. 等比中项的求解等比中项指的是等比数列中位于首项和末项之间的项。
通过等比数列的通项公式和前 n 项和的公式，我们可以求解等比数列中的中项。
6. 连续等比数列的求和连续等比数列是指等比数列中取任意项相邻的若干项组成的子数列。
对于连续等比数列，我们可以利用等比数列的前 n 项和的公式，将整个数列的和拆分成若干个连续子数列的和，从而求解整个数列的和。
7. 应用举例等比数列在实际问题中有广泛的应用。
例如，经济增长、人口增长、利润增长等都可以使用等比数列来进行建模和分析。
通过等比数列的性质和公式，我们可以更好地理解这些现象，并进行预测和决策。
总结：等比数列作为数学中常见的数列之一，具有重要的概念和公式。
深入理解等比数列的性质和应用对于解决和理解各种实际问题非常有帮助。
希望以上对于等比数列知识点的总结能够对你的学习和理解有所帮助。
等比数列知识点归纳总结讲解
等比数列知识点归纳总结讲解等比数列是数学中重要的一种数列，具有很广泛的应用。
本文将对等比数列的定义与性质、求和公式、通项公式等进行归纳总结与讲解。
一、定义与性质等比数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项的比相等。
设等比数列的首项为 a，公比为 r，则第 n 项的公式为 an = a * r^(n-1)。
其中，n 为项数，a_1 为首项。
1. 公比 r 的取值：- 当 r > 1 时，等比数列是递增的；- 当 0 < r < 1 时，等比数列是递减的；- 当 r = 1 时，等比数列的所有项都相等，即为常数数列。
2. 等比数列的性质：- 等比数列中任意两项的比值相等，即 a(n+1) / an = r；- 等比数列中的任意项与它之后的项的比值相同；- 等比数列的任意项可以表示为它前一项乘以公比的 n 次方。
二、求和公式求等比数列的前 n 项和是解决等比数列问题中常用的方法之一。
根据数列的性质和推导，可以得到等比数列的求和公式如下：等比数列的前 n 项和 Sn = a(1-r^n) / (1-r)，其中 a 为首项，r 为公比。
三、通项公式通项公式是指通过等比数列给出的某一项与它的位置之间的关系，可以求解该等比数列的各项的值。
根据等比数列的定义，可以得到等比数列的通项公式如下：等比数列的第 n 项 an = a * r^(n-1)，其中 a 为首项，r 为公比。
四、应用举例等比数列在实际问题中具有广泛的应用。
以下举两个例子加以说明：例1：一个微生物培养基中的细胞数量，每天增加一倍。
已知初始时刻有 1000 个细胞，求第 6 天的细胞数量。
解：根据已知条件，我们可以得知初始时刻（第 1 天）的细胞数量a = 1000，公比 r = 2。
根据通项公式 an = a * r^(n-1)，我们可以求得第6 天的细胞数量为 a6 = 1000 * 2^(6-1) = 32000。
例2：某公司每年的销售额都是前一年的 80%，已知第一年销售额为 500 万元，求五年后的销售额。
等比数列知识点归纳总结
等比数列知识点归纳总结等比数列是指一个数列中每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
在等比数列中，我们可以通过一些重要的知识点来解决与数列相关的问题。
本文将对等比数列的概念、性质以及求和公式进行归纳总结。
一、等比数列的概念与性质1. 等比数列的概念：等比数列是指一个数列中，从第2项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数的结果。
2. 公比的概念：在等比数列中，这个常数被称为公比，通常用字母q表示。
3. 公比的计算：公比q可以通过相邻两项的比值来计算，即等于后一项除以前一项。
公比q = 第(n+1) 项 / 第n 项4. 等比数列的性质：（1）任意项与它前一项的比值都等于公比q；（2）等比数列中，任意两项的比值都相等。
二、等比数列的求和公式在解决与等比数列相关的问题时，求和是一个重要的方面。
通过求和公式，我们能够快速计算等比数列的前n项的总和。
以下是等比数列的求和公式：Sn = a1*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示前n项的和，a1表示第一项，q表示公比。
三、等比数列的常见问题解答1. 已知等比数列的首项a1和公比q，求出该数列的通项公式：通项公式可以通过逐项相除来得到。
假设通项公式为an，那么有：a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ... = q根据这个比值相等的关系，可以得到通项公式：an = a1*(q^(n-1))2. 已知等比数列的部分项求和：有时候我们需要计算等比数列中从第m项到第n项的和，可以利用通项公式将问题转化为前n项和减去前m-1项和的差值。
S(m,n) = Sn - S(m-1)其中，S(m,n)表示从第m项到第n项的和。
3. 已知等比数列的前n项和Sn，求出该数列的通项公式：在这种情况下，可以通过求和公式逆推得到通项公式。
首先将求和公式改写为关于q的方程，然后解方程求得q的值，最后代入通项公式中即可得到结果。
以上是关于等比数列的概念、性质、求和公式以及常见问题的解答。
高中数学数列知识点总结(精华版)
高中数学数列知识点总结(精华版)等比数列公式性质知识点1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an=q(n∈n_，q为非零常数).(2)等比中项：如果a、g、b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项.即：g是a与b的等比中项a，g，b成等比数列g2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式：an=a1qn-1.3.等比数列{an}的常用性质(1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈n_)，则am·an=ap·aq=a.特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=….(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列，公比为qk;数列sm，s2m-sm，s3m-s2m，…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn-4.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数.(2)由an+1=qan，q≠0并无法立即断言{an}为等比数列，还要检验a1≠0.5.等比数列的前n项和sn(1)等比数列的前n项和sn就是用错位二者加法求出的，特别注意这种思想方法在数列议和中的运用.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.1.等比中项如果在a与b中间插入一个数g，使a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项。
存有关系：注：两个非零同号的实数的'等比中项有两个，它们互为相反数，所以g2=ab是a,g,b 三数成等比数列的必要不充分条件。
2.等比数列通项公式an=a1_q’(n-1)(其中首项是a1，公比是q)an=sn-s(n-1)(n≥2)前n项和当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1_q’n)/(1-q)(q≠1)当q=1时，等比数列的前n项和的公式为sn=na13.等比数列前n项和与通项的关系an=a1=s1(n=1)an=sn-s(n-1)(n≥2)4.等比数列性质(1)若m、n、p、q∈n_，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq;(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
等比数列中知识点总结
等比数列中知识点总结一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
具体而言，如果一个数列满足an=ar^(n-1)，其中a是首项，r是公比，n是项数，那么这个数列就是等比数列。
公比r是等比数列中相邻两项的比值，它代表着数列中每一项与前一项的比例关系。
二、等比数列的通项公式对于等比数列an=a1*r^(n-1)，我们可以通过求出前n项和来求解其通项公式。
等比数列的前n项和Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
通过这两个公式，我们可以方便地求解等比数列的通项公式，从而推导出数列中任意一项的值。
三、等比数列的性质1. 等比数列的前n项和公式在等比数列中，前n项和Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
这个公式可以帮助我们快速计算出数列的前n项和，从而对数列进行更深入的分析和应用。
2. 等比数列的性质等比数列具有许多重要的性质，例如任意一项与它的前一项的比值都是相等的，序列中相邻两项的比值等于公比r等。
这些性质使得等比数列可以在实际问题中被广泛地应用，例如在金融、生物、工程等领域中。
3. 等比数列的图像等比数列的图像是一条直线，其斜率等于公比r。
通过绘制等比数列的图像，我们可以更直观地理解数列中项与项之间的比例关系，从而更深入地理解等比数列的性质和应用。
四、等比数列的应用等比数列在实际问题中有许多重要的应用，下面我们就来介绍一些常见的应用领域。
1. 财务投资在财务投资中，等比数列可以用来描述利息的增长规律。
例如，如果某个投资方案的收益率是一个固定的百分比，那么这个投资方案的收益可以用等比数列来描述。
通过等比数列的通项公式，我们可以轻松地计算出不同时间段内的收益总额。
2. 生物学在生物学研究中，等比数列可以用来描述生物种群的增长规律。
例如，如果某种动植物的数量每一代都以相同的比例增长，那么这个生物种群的数量可以用等比数列来描述。
通过等比数列的通项公式，我们可以预测未来某一时刻该种群的数量。
高中数学《等比数列的概念及通项公式》知识点讲解及重点练习
§4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．知识点一等比数列的概念1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．递推公式形式的定义：a na n－1＝q(n∈N *且n>1)⎝⎛⎭⎫或a n＋1a n＝q，n∈N*.思考为什么等比数列的各项和公比q均不能为0?答案由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.知识点二等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.思考当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？答案不一定，如数列0,0,5就不是等比数列．知识点三等比数列的通项公式若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a n＝a1q n－1(n∈N*)．知识点四等比数列通项公式的推广和变形等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1①＝a m q n－m②＝a1 q·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝a1q·qx为指数型函数．1．数列1，－1,1，－1，…是等比数列．( √ )2．若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( × )3．等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( × )4．常数列一定为等比数列．( × )一、等比数列中的基本运算例1 在等比数列{a n }中：(1)a 1＝1，a 4＝8，求a n ；(2)a n ＝625，n ＝4，q ＝5，求a 1；(3)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .解 (1)因为a 4＝a 1q 3，所以8＝q 3，所以q ＝2，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)a 1＝a n q n －1＝62554－1＝5， 故a 1＝5.(3) 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①，得q ＝12，从而a 1＝32. 又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，故n ＝6.反思感悟 等比数列的通项公式涉及4个量a 1，a n ，n ，q ，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．跟踪训练1 在等比数列{a n }中：(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a 5；(2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n .解 (1)因为a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3， 所以a 5＝405.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4， 从而q ＝34，而a 1q 3＝2，于是a 1＝2q 3＝12， 所以a n ＝a 1q n －1＝2532n -.二、等比中项的应用例2 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝__________，ac ＝___________. 答案 －3 9解析 因为b 是－1，－9的等比中项，所以b 2＝9，b ＝±3.又等比数列奇数项符号相同，得b <0，故b ＝－3，而b 又是a ，c 的等比中项，故b 2＝ac ，即ac ＝9.反思感悟 (1)由等比中项的定义可知G a ＝b G⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ，所以只有a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．(3)a ，G ，b 成等比数列等价于G 2＝ab (ab >0)．跟踪训练2 在等比数列{a n }中，a 1＝－16，a 4＝8，则a 7等于( )A ．－4B ．±4C ．－2D ．±2答案 A解析 因为a 4是a 1与a 7的等比中项，所以a 24＝a 1a 7，即64＝－16a 7，故a 7＝－4.三、等比数列通项公式的推广及应用例3 在等比数列{a n }中．(1)已知a 3＝4，a 7＝16，且q >0，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n .解 (1)∵a 7a 3＝q 7－3＝q 4＝4， ∴q 2＝2，又q >0，∴q ＝2，∴a n ＝a 3·q n －3＝4·(2)n －3＝122n +(n ∈N *)．(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10－5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5，又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ，∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝12或q ＝2. ∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2. ∴a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．反思感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1.(2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.跟踪训练3 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( )A ．21B ．42C ．63D ．84答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.四、灵活设元求解等比数列问题例4 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．答案 45解析 (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即⎩⎪⎨⎪⎧ 2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)，2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a (q －1)2＝3，aq (q －1)2＝6， 解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．解 方法一 设前三个数分别为a q，a ，aq ， 则a q·a ·aq ＝216， 所以a 3＝216.所以a ＝6.因此前三个数为6q，6,6q . 由题意知第4个数为12q －6.所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23. 故所求的四个数为9,6,4,2.方法二 设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2， 由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216， 解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.反思感悟 几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为a q，a ，aq . 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，a q 2，a q，a ，aq ，aq 2，… (2)四个符号相同的数成等比数列设为a q 3，a q，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，a q 5，a q 3，a q，aq ，aq 3，aq 5，… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3.跟踪训练4 在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或352B ．4或352C ．4D.352答案 B解析 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22. 由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20. ∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5.当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝352.1．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( )A ．±12B ．±2 C.12D ．－2 答案 D解析 因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2. 2．(多选)已知a 是1,2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A ．6B ．－6C ．－12D ．12答案 AB解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)×(－16)＝16，b ＝±4， ∴ab ＝±6.3．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )A ．4B ．8C ．6D ．32答案 C解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.4．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( )A ．(－2)n －1B ．－(－2n －1) C ．(－2)nD ．－(－2)n 答案 A解析 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ，又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2，又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0，从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.5．在等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则数列{a n }的公比为________，通项公式为a n ＝______________.答案 ±2 (－2)n 或－2n解析 ∵a 3a 1＝q 2， ∴q 2＝－8－2＝4，即q ＝±2. 当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n ；当q ＝2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×2n －1＝－2n .1．知识清单：(1)等比数列的概念．(2)等比数列的通项公式．(3)等比中项的概念．(4)等比数列的通项公式推广．2．方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法．3．常见误区：(1)x ，G ，y 成等比数列⇒G 2＝xy ，但G 2＝xy ⇏x ，G ，y 成等比数列．(2)四个数成等比数列时设成a q 3，a q，aq ，aq 3，未考虑公比为负的情况． (3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错．1．在数列{a n }中，若a n ＋1＝3a n ，a 1＝2，则a 4为( )A ．108B ．54C ．36D ．18答案 B解析 因为a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比为3的等比数列，则a 4＝33a 1＝54.2．(多选)在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为( ) A ．－4 B ．4 C ．－14 D.14答案 AB解析 由题意得a 26＝a 4a 8，因为a 1＝18，q ＝2， 所以a 4与a 8的等比中项为±a 6＝±4.3．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析 ∵a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.4．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( ) A. 2 B ．4 C ．2 D.12答案 C解析 因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 23＝a 1a 7，设数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d＝2. 5．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．22n －1B ．2nC ．22n ＋1D ．22n －3答案 A解析 由a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0， 得(a n ＋1－4a n )·(a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }是正项数列，所以a n ＋1－4a n ＝0，a n ＋1a n＝4. 由等比数列的定义知数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得a n ＝2×4n －1＝22n －1.6．若{a n }为等比数列，且a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q ＝________.答案 1或－2解析 根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＋a 1q 3＝4，a 1q ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－1，q ＝－2.7．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，且a 1＝________，d ＝________.答案 23－1 解析 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.①又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.②由①②解得a 1＝23，d ＝－1. 8．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.答案 4×⎝⎛⎭⎫32n －1解析 由已知可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32， 所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫32n －1.9．在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a n ＝12，求n . 解 (1)因为a 5＝a 3q 2，所以q 2＝a 5a 3＝14.所以q ＝±12.当q ＝12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫12n －3＝28－n ；当q ＝－12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3.所以a n ＝28－n 或a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3.(2)当a n ＝12时，即28－n ＝12或32×⎝⎛⎭⎫－12n －3＝12，解得n ＝9.10．在等比数列{a n }中：(1)已知a 3＝2，a 5＝8，求a 7；(2)已知a 3＋a 1＝5，a 5－a 1＝15，求通项公式a n .解 (1)因为a 5a 3＝q 2＝82，所以q 2＝4，所以a 7＝a 5q 2＝8×4＝32.(2)a 3＋a 1＝a 1(q 2＋1)＝5，a 5－a 1＝a 1(q 4－1)＝15，所以q 2－1＝3，所以q 2＝4，所以a 1＝1，q ＝±2，所以a n ＝a 1q n －1＝(±2)n －1.11．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于()A ．3B ．2C ．1D ．－2答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.12．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18答案 C解析 方法一 ∵a 3，a 5的等比中项为±a 4，∴a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12.方法二 ∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12.13．(多选)已知等差数列a ，b ，c 三项之和为12，且a ，b ，c ＋2成等比数列，则a 等于() A ．－2 B ．2 C ．－8 D. 8答案 BD解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝12，a (c ＋2)＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4，c ＝0.故a ＝2或a ＝8.14．若数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2S n－3，则{a n}的通项公式是________．答案a n＝3·(－1)n－1解析由a n＝2S n－3得a n－1＝2S n－1－3(n≥2)，两式相减得a n－a n－1＝2a n(n≥2)，∴a n＝－a n－1(n≥2)，又a1＝3，故{a n}是首项为3，公比为－1的等比数列，∴a n＝3·(－1)n－1.15．已知在等差数列{a n}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．答案275或8解析设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，化简得a1－d＝－1或d＝0，②当d＝3时，a n＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{a n}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，a n＝8，a92＝8.16．设数列{a n}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n(n＋2－λ)，且数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．解(1)设数列{a n}的公比为q.由题意，可得a n＝8q n－1，且0＜q＜1.由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，解得q＝12或152(舍去)，所以a n＝8×⎝⎛⎭⎫12n－1＝24－n，n∈N*.(2)b n＝a n(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，由b n＞b n＋1，得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，即λ＜n＋1，所以λ＜(n＋1)min＝2，故实数λ的取值范围为(－∞，2)．。
等差数列等比数列知识点归纳总结
等差数列等比数列知识点归纳总结等差数列和等比数列是高中数学中非常重要的概念，它们在解决各种数学问题中都起着重要的作用。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行归纳总结。
一、等差数列等差数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的差都相等。
这个相等的差值被称为等差数列的公差，通常用字母d表示。
1. 基本概念一个等差数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 + (n - 1) * d，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，d表示公差。
2. 性质（1）公差：等差数列的公差d是等差数列中相邻两项的差，公差可以是正数、负数或零。
（2）公式：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1) * d，其中n表示项数。
（3）前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2来计算。
3. 应用等差数列广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的差额、间隔、递推关系等。
（2）物理问题中的匀速直线运动、连续等差分布等。
（3）经济学中的利润、销售额等。
二、等比数列等比数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的比都相等。
这个相等的比值被称为等比数列的公比，通常用字母r表示。
1. 基本概念一个等比数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，r表示公比。
2. 性质（1）公比：等比数列的公比r是等比数列中相邻两项的比值，公比可以是正数、负数或零。
（2）公式：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n表示项数。
（3）前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)来计算。
3. 应用等比数列也广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的倍数关系、增长衰减等。
（2）物理问题中的连续等比分布、指数增长等。
等比数列高考知识点总结
等比数列高考知识点总结等比数列是高中数学中一个非常重要的概念，不仅在高考中出现频率较高，而且在数学学习的后续阶段也经常被应用。
掌握等比数列的相关知识是高考数学理科考生的必备技能之一。
下面就从定义、基本性质、常见应用等方面进行总结。
一、等比数列的定义等比数列指的是一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项的公比倍。
具体地，如果一个数列满足对于任意正整数 n，都有a_{n+1} = a_n * q (q ≠ 0)，其中 a_n 为数列的第 n 项，q 为数列的公比，那么就称这个数列为等比数列。
二、等比数列的基本性质1. 等比数列的通项公式对于等比数列中的任意一项 a_n，都可以通过以下公式计算出来：a_n = a_1 * q^(n-1)其中 a_1 为数列的首项，q 为公比。
2. 等比数列的前 n 项和等比数列的前 n 项和 Sn 可以通过以下公式计算出来：Sn = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中 a_1 为数列的首项，q 为公比。
3. 等比中项的计算对于等比数列中的任意两项 a_m 和 a_n，都可以通过以下公式计算出它们的等比中项：amn = sqrt(a_m * a_n)其中 sqrt 为平方根函数。
三、等比数列的常见应用1. 等比数列在复利计算中的应用等比数列经常出现在复利计算中。
当我们进行复利计算时，每一期的利息都是上一期利息的公比倍。
通过等比数列的通项公式和前 n 项和公式，我们可以轻松计算出复利的总额。
2. 等比数列在几何问题中的应用等比数列在几何问题中也经常被应用。
例如，当我们研究物体的成长、缩减或者某种特性的变化时，经常会遇到等比数列。
通过等比数列的性质，我们可以方便地分析物体的发展趋势。
3. 等比数列在数列求和中的应用等比数列的前 n 项和公式在数列求和中扮演着重要的角色。
考生掌握等比数列的前 n 项和公式，可以快速求解高考中出现的相关题型，提高解题效率。
等比数列知识点总结PPT
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03
定义
等比数列的极限是指当等 比数列的项数趋于无穷大 时，数列的通项趋于的某 个常数。
性质
等比数列的极限存在且唯 一，当且仅当公比的绝对 值小于1。此时，极限值 为首项除以(1-公比)。
应用
等比数列的极限在数学分 析、概率论等领域有着广 泛的应用，如求解某些无 穷级数的和等。
等比数列与其他知识点的综合应用
06
等比数列常见误区与解题技巧
常见误区及避免方法
误区一
忽视等比数列的首项和公比是否 为零。在解决等比数列问题时， 必须注意等比数列的首项和公比 都不能为零，否则会导致数列无
法构成或计算错误。
误区二
混淆等比数列的求和公式与通项 公式。等比数列的求和公式和通 项公式是解决等比数列问题的关 键，混淆两者会导致计算错误。
02
等比数列求和公式
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
有限项求和公式
01
等比数列前n项和公式：$S_n = frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$，其中 $a_1$是首项，$r$是公比，$n$ 是项数。
02
特别地，当$r = 1$时，前n项和 公式变为：$S_n = na_1$。
技巧三
构造等比数列求解。对于一些看似不是等比数列的问题， 可以通过构造等比数列的方法，将其转化为等比数列问题 进行求解。
经典例题解析
01 例题一
已知等比数列{an}中，a1=2， q=3，求a4。
02 解析
根据等比数列的通项公式 an=a1*q^(n-1)，将a1=2， q=3，n=4代入公式，可得 a4=2*3^(4-1)=54。
利用求和公式进行数学推导和 证明。
等比数列知识点及题型归纳
等比数列知识点及题型归纳一、等比数列简介等比数列是数学中常见的一种数列。
如果一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比都相等，则这个数列被称为等比数列。
等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，r表示公比，n表示项数。
二、等比数列的性质：1. 常比：等比数列中，公比r始终是一个常数。
2. 正比和负比：如果公比r>1，则称等比数列为正比数列；如果0<r<1，则称等比数列为负比数列。
3. 倒数和倒数的倒数：对于等比数列，如果公比r不等于1，则相邻两项的倒数也是一个等比数列，并且它们的公比是1/r。
4. 等比中项：对于等比数列，存在一个项x，称为等比中项，它满足x²=a1*a(n+1)，其中a1表示第一项，an表示最后一项。
5. 等比数列的和：等比数列的前n项和可以表示为Sn = a1 * (1-r^n) / (1-r)，其中a1表示第一项，r表示公比。
三、等比数列的常见题型：1. 求第n项：已知等比数列的首项和公比，求第n项的值。
2. 求前n项和：已知等比数列的首项和公比，求前n项和的值。
3. 求公比：已知等比数列的首项和第n项，求公比的值。
4. 求等比中项：已知等比数列的首项和最后一项，求等比中项的值。
5. 求满足条件的项数：已知等比数列的首项和公比，求满足条件的项数。
6. 判断数列性质：已知数列的前几项，判断数列是等比数列还是等差数列。
7. 求等差数列对应项：已知等差数列和等比数列的相同位置上的项相等，求该等差数列的对应项。
四、等比数列的应用：等比数列在实际生活和工作中有着广泛的应用。
以下是一些等比数列的典型应用场景：1. 财务计算：等比数列可以用来计算贷款或投资的复利。
2. 科学研究：等比数列的合理运用可以帮助科学家研究自然界中的各种现象。
3. 经济分析：等比数列可以用来分析经济增长和衰退的趋势。
4. 工程计划：等比数列可以用来计算任务的进度和耗时。
等比数列知识点归纳总结公式
等比数列知识点归纳总结公式一、等比数列的定义。
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，即frac{a_n}{a_n - 1}=q(n≥2)，a_1≠0，q≠0。
二、等比数列的通项公式。
1. 通项公式的推导。
- 由等比数列的定义可知：a_2=a_1q，a_3=a_2q=a_1q^2，a_4=a_3q =a_1q^3，以此类推可得等比数列的通项公式a_n=a_1q^n - 1。
2. 通项公式的应用。
- 已知a_1（首项）和q（公比），可以求出等比数列的任意一项a_n。
- 已知等比数列中的两项a_m和a_n，可以通过通项公式建立方程求出q或a_1。
- 根据通项公式a_n=a_1q^n - 1，如果a_n，a_1，q，n这四个量中已知其中三个，就可以求出第四个量。
三、等比数列的前n项和公式。
1. 公式的推导（错位相减法）- 设等比数列{a_n}的首项为a_1，公比为q，其前n项和为S_n，则S_n=a_1+a_1q + a_1q^2+·s+a_1q^n - 1- qS_n=a_1q+a_1q^2+·s+a_1q^n - 1+a_1q^n- - 得：(1 - q)S_n=a_1-a_1q^n- 当q≠1时，S_n=frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}；当q = 1时，S_n=na_1。
2. 前n项和公式的应用。
- 已知a_1，q，n，求S_n，需要先判断q是否等于1，然后选择相应的公式进行计算。
- 在等比数列的实际应用问题中，如增长率问题、复利计算问题等，通常可以建立等比数列模型，利用前n项和公式求解。
四、等比数列的性质。
1. 若m,n,p,q∈ N^+，且m + n=p + q，则a_ma_n=a_pa_q- 特别地，当m + n = 2k（m,n,k∈ N^+）时，a_ma_n=a_k^2。
等比数列知识点归纳总结高中
等比数列知识点归纳总结高中等比数列是高中数学中非常重要的一部分。
在学习等比数列时，我们需要掌握一些关键的知识点。
本文将对等比数列的基本概念、通项公式、前n项和以及求和等内容进行归纳总结。
一、基本概念等比数列是指数列中连续两个数之间的比是一个常数的数列。
该常数称为公比，通常用字母q表示。
在等比数列中，首项一般用字母a表示。
二、通项公式通项公式是指通过将等比数列的第n项与首项a和公比q联系起来，可以直接计算得到任意一项的数值。
等比数列的通项公式为：an = a * q^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项，a表示首项，q表示公比，n表示项数。
三、前n项和前n项和是指等比数列中前n个数的和。
求等比数列前n项和的公式如下：Sn = a * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn表示前n项和。
四、性质与应用1. 若公比q>1，则等比数列呈现出递增的趋势；若0<q<1，则等比数列呈现出递减的趋势。
2. 若公比q>1，则等比数列无上界；若0<q<1，则等比数列无下界。
3. 等比数列常常用于解决与倍数关系有关的问题，如利润增长、人口增长等。
总结：在学习等比数列时，我们需要掌握基本概念、通项公式、前n项和以及性质与应用。
等比数列在解决与倍数关系有关的问题时起到非常重要的作用。
通过理解等比数列的概念和公式，并熟练运用相关的求解步骤，我们可以更好地应对相关问题，提高解题效率。
以上就是对等比数列知识点的归纳总结，希望能对你的学习有所帮助。
在学习过程中，多进行相关的练习和实践，加深对等比数列的理解和掌握。
祝你在学习中取得好成绩！。
高中数学知识点总结等差数列与等比数列
高中数学知识点总结等差数列与等比数列高中数学知识点总结：等差数列与等比数列等差数列和等比数列是高中数学中重要的数列概念。
它们在数学和实际问题中都具有广泛的应用。
本文将对等差数列和等比数列进行详细的总结和学习。
一、等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）等差数列是指数列中任意两个相邻的项之间的差都是一个常数。
这个常数称为公差，通常用字母d表示。
等差数列的一般形式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列的第n项。
等差数列常见的性质和公式如下：1. 第n项公式：an = a1 + (n-1)d2. 前n项和公式：Sn = (n/2)(a1 + an) = (n/2)(2a1 + (n-1)d)3. 公差d的求法：d = (an - a1)/(n-1)4. 通项公式：an = a1 + (n-1)d5. 前n项和公式（求和公式）：Sn = (n/2)(a1 + an)等差数列的应用非常广泛，特别是在数学、物理和工程学中。
等差数列可以帮助我们推导出一些重要的关系式，解决许多实际问题。
二、等比数列（Geometric Progression，简称GP）等比数列是指数列中任意两个相邻的项之间的比都是一个常数。
这个常数称为公比，通常用字母r表示。
等比数列的一般形式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项。
等比数列常见的性质和公式如下：1. 第n项公式：an = a1 * r^(n-1)2. 前n项和公式：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠ 13. 公比r的求法：r = √(an / a1)4. 通项公式：an = a1 * r^(n-1)5. 前n项和公式（求和公式）：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠1等比数列的应用同样非常广泛，在数学、物理、经济学等领域都有重要的作用。
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等比数列
1.等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，即).(1*+∈=N n q a a n
n 2.等比数列的通项公式：设等比数列}{n a 的首项为,1a 公比为,q 则它的通项.11-=n n q a a
注：公式推广：).,(*-∈⋅=N m n q a a m n m n
3.等比中项：若b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项且ab G ±=. 注意：等比数列}{n a 的,,00≠≠q a n 等比数列的奇数项和偶数项分别同号.
例：等比数列}{n a 中，,9,462==a a 则=4a ________.答：6.
4.等比数列的前n 项和公式
等比数列的公比为),0(≠q q 其前n 项和为,n S 当1=q 时，=n S 1na ；
当1≠q 时，=n S q q a n --1)1(1=q
q a a n --11. 注意（1）在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对1=q 与1≠q 分类讨论.
（2）因为等比数列的前n 项和比较复杂，通项公式比较简单，所以能将“和”化“项”能简化运算，这也是一种重要的解题方法.
例：等比数列}{n a 中，n S 是数列}{n a 的前n 项和，,333a S =则公比=q ______.答：1,2
1-
. 5.等比数列的判定方法 （1）定义法：对于数列{}n a ，若q a a n
n =+1，则数列{}n a 是等比数列. （2）等比中项法：对于数列{}n a ，若n
n n n a a a a 112+++=，则数列{}n a 是等比数列. 6.等比数列的常用性质
（1）等积性质:若}{n a 为等比数列，且),,,,,(2*
∈=+=+N s n m l k s n m l k 则 .2s n m l k a a a a a =⋅=⋅
（2）片段和性质：等比数列}{n a 的前n 项和为,n S 则n n n n n S S S S S 232,,--仍为等比数列，
其公比为.n q （注意：此结论要求任意的,0≠n S 如公比为1-的等比数列不满足这个性质.)
（3）隔项成等比：若}{n a 成等比数列，公比为,q 则),(,,,2*++∈N m k a a a m k m k k 成公比
为m q 的等比数列.（4）单调性：当⎩⎨⎧>>101q a 或⎩⎨⎧<<<1001q a 时，}{n a 为递增数列；当⎩⎨⎧<<>1
001q a 或⎩⎨⎧><101q a 时，}{n a 为递减数列.（5）奇偶性质：{}n a 是等比数列且项数是偶数，则.q S S =奇
偶 7.一种设法：（1）若三个数成等差数列，则可设为d a a d a +-,,；若四个数成等差数列，
则可设为.3,,,3d a d a d a d a ++--（2）若三个数成等比数列，则可设为aq a q
a ,,. 8.等差数列与等比数列的联系
（1）若数列}{n a 是等差数列，则数列}{n a
b 是等比数列，公比为,d b 其中b 是常数且0>b 且1≠b ，d 是}{n a 的公差.
（2）若数列}{n a 是等比数列，且,0>n a 则数列}{log n b a 是等差数列，公差为,log q b 其中b 为常数且0>b 且1≠b ，q 是}{n a 的公比.
（3）若数列}{n a 既是等差数列又是等比数列，则}{n a 是非零常数列.
1：集合与常用逻辑用语与不等式的性质；2：一元二次不等式；3：基本不等式；4：函数的概念和求函数解析式；5：函数的定义域和值域；6：函数的单调性；7：奇偶性；8：函数的图像和周期性；9：二次函数和幂函数；10：指数函数与对数函数；11：函数与方程；12：导数；13：平面向量；14：平面向量的数量积；15：复数；16：任意角的三角函数和同角关系；17：诱导公式，两角和与差的三角函数，几个三角恒等式；18：三角求值问题归类；19：三角函数的图像和性质；20：三角函数的图像和性质2+题目；21：解三角形；22：数列的概念和等差数列；23：等比数列；24：数列通项；25：数列求和；26：立体几何；27：空间向量；28：直线方程和两条直线的位置关系；29：圆的方程和直线与圆的位置关系；30：椭圆；31：双曲线；32：抛物线；33：统计；34：概率；35：排列组合和二项式定理。