高三数学知识点总结35之23：等比数列

等比数列

1.等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，即).(1*+∈=N n q a a n

n 2.等比数列的通项公式：设等比数列}{n a 的首项为,1a 公比为,q 则它的通项.11-=n n q a a

注：公式推广：).,(*-∈⋅=N m n q a a m n m n

3.等比中项：若b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项且ab G ±=. 注意：等比数列}{n a 的,,00≠≠q a n 等比数列的奇数项和偶数项分别同号.

例：等比数列}{n a 中，,9,462==a a 则=4a ________.答：6.

4.等比数列的前n 项和公式

等比数列的公比为),0(≠q q 其前n 项和为,n S 当1=q 时，=n S 1na ；

当1≠q 时，=n S q q a n --1)1(1=q

q a a n --11. 注意（1）在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对1=q 与1≠q 分类讨论.

（2）因为等比数列的前n 项和比较复杂，通项公式比较简单，所以能将“和”化“项”能简化运算，这也是一种重要的解题方法.

例：等比数列}{n a 中，n S 是数列}{n a 的前n 项和，,333a S =则公比=q ______.答：1,2

1-

. 5.等比数列的判定方法 （1）定义法：对于数列{}n a ，若q a a n

n =+1，则数列{}n a 是等比数列. （2）等比中项法：对于数列{}n a ，若n

n n n a a a a 112+++=，则数列{}n a 是等比数列. 6.等比数列的常用性质

（1）等积性质:若}{n a 为等比数列，且),,,,,(2*

∈=+=+N s n m l k s n m l k 则 .2s n m l k a a a a a =⋅=⋅

（2）片段和性质：等比数列}{n a 的前n 项和为,n S 则n n n n n S S S S S 232,,--仍为等比数列，

其公比为.n q （注意：此结论要求任意的,0≠n S 如公比为1-的等比数列不满足这个性质.)

（3）隔项成等比：若}{n a 成等比数列，公比为,q 则),(,,,2*++∈N m k a a a m k m k k 成公比

为m q 的等比数列.（4）单调性：当⎩⎨⎧>>101q a 或⎩⎨⎧<<<1001q a 时，}{n a 为递增数列；当⎩⎨⎧<<>1

001q a 或⎩⎨⎧><101q a 时，}{n a 为递减数列.（5）奇偶性质：{}n a 是等比数列且项数是偶数，则.q S S =奇

偶 7.一种设法：（1）若三个数成等差数列，则可设为d a a d a +-,,；若四个数成等差数列，

则可设为.3,,,3d a d a d a d a ++--（2）若三个数成等比数列，则可设为aq a q

a ,,. 8.等差数列与等比数列的联系

（1）若数列}{n a 是等差数列，则数列}{n a

b 是等比数列，公比为,d b 其中b 是常数且0>b 且1≠b ，d 是}{n a 的公差.

（2）若数列}{n a 是等比数列，且,0>n a 则数列}{log n b a 是等差数列，公差为,log q b 其中b 为常数且0>b 且1≠b ，q 是}{n a 的公比.

（3）若数列}{n a 既是等差数列又是等比数列，则}{n a 是非零常数列.

1：集合与常用逻辑用语与不等式的性质；2：一元二次不等式；3：基本不等式；4：函数的概念和求函数解析式；5：函数的定义域和值域；6：函数的单调性；7：奇偶性；8：函数的图像和周期性；9：二次函数和幂函数；10：指数函数与对数函数；11：函数与方程；12：导数；13：平面向量；14：平面向量的数量积；15：复数；16：任意角的三角函数和同角关系；17：诱导公式，两角和与差的三角函数，几个三角恒等式；18：三角求值问题归类；19：三角函数的图像和性质；20：三角函数的图像和性质2+题目；21：解三角形；22：数列的概念和等差数列；23：等比数列；24：数列通项；25：数列求和；26：立体几何；27：空间向量；28：直线方程和两条直线的位置关系；29：圆的方程和直线与圆的位置关系；30：椭圆；31：双曲线；32：抛物线；33：统计；34：概率；35：排列组合和二项式定理