交集、并集、补集、全集

交集、并集、补集、全集

交集.并集.补集.全集

一.学习内容:

1.理解交集.并集.全集与补集的概念.

2.熟悉交集.并集.补集的性质,熟练进行交.并.补的运算

二.例题

第一阶梯

例1.什么叫集合A.B的交集?并集?

答案:

交集:A∩B={_ _∈A , 且_∈B}

并集:A∪B={_ _∈A , 或_∈B}

说明:

上面用描述法给出的交集.并集的定义,要特别注意逻辑联结词;且;.;或;的准确意义,在交集中

用;且;在并集中用;或交.并运算有下列推论:

例2.什么叫全集?补集?

答案:

在研究集合与集合的关系时,相对于所研究的问题,存在一个集合I,使得问题中的所有集合都是I的

子集,我们就把集合I看作全集,全集通常用I表示.

补集:

.

说明:

全集和补集都是相对的概念.全集相对于所研究的问题,我们可以适当地选取全集,而补集又相对于

全集而言.如果全集改设了,那么补集也随之而改变.为了简化问题可以巧设全集或改设全集,;选

取全集;成为解题的巧妙方法.

补运算有下列推论:①;②;③.

例3.(1)求证:

,

.

(2)画出下列集合图(用阴影表示):

①

; ②; ③;④

.

提示:

(1)证明两个集合M和P相等可分两步完成:第一步证明;由_∈MT

_∈P;;第二步证明;由_∈P

T_∈M ;.

(2)利用(1)的结果画③.④.

答案:

说明:

(1)中的两个等式是集合的运算定律,很容易记住它,解题时可以应用它.这

个证明较难,通常不作

要求.

但其证明是对交.并.补运算及子集的很好练习.

(2)中的四个集合图也是集合的图示法的很好练习.图(1)叫做;左月牙;,图2叫做;右月牙;.画图3.

图4时要利用集合的两个运算律来画.

第二阶梯

例1.已知A={_ 2_4＋5_3－3_2=0},B={_ _2＋2_－15=0},求A∩B,A∪B.

[提示]

先用列举法化简集合A和B.

[答案]

由2_4＋5_3－3_2=0得_=0,或2_2＋5_－3=0,

∴_=0,或_=－3,或_=,

∴A={－3,0, }

由_2＋2_－15=0得_=3或_=－5,

∴_= ±3,即得B={－3,3}.

∴A∩B={－3},A∪B={－3,0,

,3}

例2.设全集I={2,3,a2＋2a－3} , A={2 , 2a－1} , ={5} , 求实数a的值. 答案:

说明:

例3.设全集I={1,2,3,…9},={3,8},

={2,5},={1,2,3,5,6,7,8},

求集合A,B.

[答案]

说明:

例4.设A={_ __gt;5或__lt;－1} , B={_ a≤_≤a＋3},试问实数a为何值时,

(1) A∩B=φ;(2) A∩B≠φ;(3) AB.

答案:

说明:

数形结合在集合中有两个方法:一是画集合图,如例3;二是利用坐标系,如本例画数轴(数轴是

一维的坐标系).这两个方法总括为集合的图示法,即寻求集合与图形的对应,找到直觉.从而把

抽象的集合问题具体化和形象化

此外,本题之(二)的解法是补集法,省去了多少烦恼!

第三阶梯:

例1.设全集I={(_ , y) _ , y∈R},集合M={(_ , y)

},N={(_ , y) y=3_－2},那

么

等于( ).

(A) φ

(B) (2 , 4) (C) {(2 , 4)}

(D) N

提示:

先等价化简集合M,再用坐标平面内的点集理解集合M与N的关系.

答案:

,

∴M={(_ , y) y=3_－2,且_≠2},

∴N=M∪{(2 , 4)}

∴={(2

, 4)},故选(C).

说明:

本题是数形结合法的范例,用点集来理解抽象的集合M.N的关系就十分清晰.直观.解题的关键是

分清M和N的关系,当找到N=M∪{(2 , 4)}时,问题便迎刃而解.此外,注意单元素

集合{(2,4)}和元素

(2, 4)不同,所以选(B)是错误的.

例2.据统计我校高中一年级的100名学生中,爱好体育的学生有75人,爱好文艺的学生有56人,试问文

艺.体育都爱好的学生最多有多少人?最少有多少人?

提示:

利用集合图列出各种爱好者的人数间的函数关系.

答案:

设A={爱好体育的学生},B={爱好文艺的学生},

则A∩B={文艺.体育都爱好的学生},

A∪B={爱好文艺或爱好体育的学生}.

我们把有限集合M的元素个数记作card(M),card(A)=75,

card(B)=56,card(A∩B)=y , card(A∪B)=_.于是由集合图(图7)

得 _=75＋56－y (75≤_≤100)

即 y=131－_ (75≤_≤100)

∴31≤y≤56.

答:文艺.体育都爱好的学生最多有56人,最少有31人.

说明:

关于有限集合的并.交的元素个数的问题,用图解法解决具有无比的优越性.

一般地,对于任意两个有限集合A , B有

card(A∪B)=card(A)＋card(B)－card(A∩B).

其道理可由图8看出来.

对于任意的三个有限集合A,B,C,有

card(A∪B∪C)

=card(A)＋card(B)+card(C)－

card(A∩B)－card(B∩C)－card(C∩A)＋card(A∩B∩C)

其道理可由图9看出来.