2000年高考.上海卷.理科数学试题及答案
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故所求直线为 ，取直线上一点 ，其经变换后得到的点 仍在该直线上。
∴ ，…（16分）
即 ，得 或 ，
故这样的直线存在，其方程为 或 ，…（18分）
[解]（1）
[解]（2）
[解]（3）
2000年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准
说明
1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。
2．评阅试卷，应坚持每题评阅以底，不要因为考生的解称中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
3．圆锥曲线 的焦点坐标是。
4．计算： =。
5．已知 的反函数为 的图象经过点 ，则 =。
6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需年。
∴所求直线可设为 ，…（12分）
[解法一]∵该直线上的任一点 ，其经变换后得到的点
仍在该直线上，
∴ ，
即 ，
当 时，方程组 无解，
故这样的直线不存在。…（16分）
当 时，由
得 ，
解得 或 ，
故这样的直线存在，其方程为 或 ，…（18分）
[解法二]取直线上一点 ，其经变换后的点 仍在该直线上，
∴ ，
得 ，…（14分）
2000年全国普通主等学校招生统一考试
上海数学试卷（理工农医类）
考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分
一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．已知向量 (－1，2)、 =(3，m)，若 ┴ ，则m=。
2．函数， 的定义域为。
[解]
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。已知函数 。
（1）当 时，求函数 的最小值：
（2）若对任意 恒成立，试求实数 的取值范围。
[解]（1）
[解]（2）
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。
根据指令 ，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度 （ 为正时，按逆时针方向旋转 ， 为负时，按顺时针方向旋转－ ），再朝其面对的方向沿直线行走距离 。
（1）若 ， ，则 。（2）若 ， ，则 。
（3）若 , ，则 。
其中正确的个数是
（A）0．（B）1．（C）2．（D）3．
[答]（）
15．若集合 是：
.
[答]（）
16．下列命题中正确的命题是
（A）若点 为角 终边上一点，则 。
（B）同时满足 的角 有且只有一个。
（C）当 时， 的值恒正。
（D）三角方程 的解集为 。
[答]（）
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．（本题满分12分）
已知椭圆 的焦点分别为 ，长轴长为6，设直 交椭圆 于 、 两点，求线段 的中点坐标。
[解]
18．（本题满分12分）
如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为 ，求四面体ABCD的体积。
10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是。
11．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线 两点，则 。
12．在等差数列 中，若 ，则有等式 成立，类比上述性质，相应地：在等此数列 中，若 ，则有等式成立。
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。
13．复数
[答]（）
14．设有不同的直线 、 和不同的平面 、 、 ，给出下列三个命题：
（2）将( 、 )作为点 的坐标，( 、 )作为点 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点 变到这一平面上的点 ，
当点 在直线 上移动时，试求点 经该变换后得到的点 的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。
于是当 时， ，当 时， ，
因此，数列 的最大项的项数 满足不等式 且 。
22．[解]（1）由题设， ，
于是由 ，…（3分）
因此由 ，
得关系式 …（5分）
[解]（2）设点 在直线 上，则其经变换后的点 满足
，…（7分）
消去 ，得 ，
故点 的轨迹方程为 …（10分）
[解]（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，
二、（第13题至第16题）第一题正确的给4分。
题号
13
14
15
16
代号
C
A
A
D
三、（第17题至第22题）
17．[解]设椭圆C的方程为
由题意
因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同交点，…（8分）
设
18．[解法一]如图建立空间直角坐标系…（2分）
由题意，有A(0，2，0)，C(2，0，0)，E(1，1，0)。设D点的坐标为(0，0，z) ，则
3．第17至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数，给分或扣分均以1分为单位。
解答
一、（第1题至第12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。
1．4．2． 3．(－4，0)，(6，0)。4． 。5．1．6．9．7．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/……8．X．9．－462。10． 11． 12．
（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）。
（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。
又 ，
因此四面体ABCD的体积是 ，…（12分）
19．[解]（1）当 ，
在区间 上为增函数，…（3分）
地区间 上最小值为 ，…（6分）
（2）[解法一]在区让 上，
恒成立，…（8分）
设 ，
递增，∴当 时， ，…（12分）
于是当且仅当 时，函数 恒成立，
故 。…（14分）
（2）[解法二] ，当 时，函数 的值恒为正，…（8分）
（按：1999年本市常住人口总数约1300）
7．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A的等价题B可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。
8．设函数 是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段 ，则在区间[1，2]上 =。
9．在二项式 的展开式中，系数最小的项的系数为，（结果用数值表示）
又
[解法二]过A引BE的平行线，交与CB的延长线于F，∠DAF是异面直线BE与AD所成的角，
∴∠DAF= …（4分）
∵E是AC的中点，∴B是CF的中点，
AF=2BE= 。…（6分）
又BF，BA分别是DF，DA的射影，且BF=BC=BA。
∴DF=DA。…（8分）
三角形ADF是等腰三角形， ，
故 ，…（10分）
（3）设 ，若 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列 的最大项的项数。
[解]（1）
[解]（2）
[解]（3）
22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
已知复数 均为实数， 为虚数单位，且对于任意复数 。
（1）试求 的值，并分别写出 和 用 、 表示的关系式；
当 时，函数 递增，故当 ，…（12分）
于是当且仅当 时，函数 恒成立，故 。…（14分）
20．[解]（1） ，得指ห้องสมุดไป่ตู้为 ，…（4分）
（2）设机器人最快在点 处截住小球…（6分）
则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有 ，…（8分）。
即 ，得 或 ，
∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短， ，
[解]（1）
[解]（2）
21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
在XOY平面上有一点列 对每个自然数 ，点 ，位于函数 的图象上，且点 ，点 构成一个以 为顶点的等腰三角形。
（1）求点 的纵坐标 的表达式。
（2）若对每个自然数 ，以 ， 为边长能构成一个三角形，求 取值范围。
故机器人最快可在点 处截住小球，（10分）
所给的指令为 ，（14分）
21．[解]（1）由题意， ，∴ ，…（4分）
[解]（2）∵函数 递减，
∴对每个自然数n，有 ，则以 为边长能构成一个三角形的充要条件是 ，
即 …（7分）
解得 或 ∴ ，…（10分）
[解]（3）∴ ∴ …（12分）
数列 是一个递减的正数数列，对每个自然数 ，
∴ ，…（16分）
即 ，得 或 ，
故这样的直线存在，其方程为 或 ，…（18分）
[解]（1）
[解]（2）
[解]（3）
2000年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准
说明
1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。
2．评阅试卷，应坚持每题评阅以底，不要因为考生的解称中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
3．圆锥曲线 的焦点坐标是。
4．计算： =。
5．已知 的反函数为 的图象经过点 ，则 =。
6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需年。
∴所求直线可设为 ，…（12分）
[解法一]∵该直线上的任一点 ，其经变换后得到的点
仍在该直线上，
∴ ，
即 ，
当 时，方程组 无解，
故这样的直线不存在。…（16分）
当 时，由
得 ，
解得 或 ，
故这样的直线存在，其方程为 或 ，…（18分）
[解法二]取直线上一点 ，其经变换后的点 仍在该直线上，
∴ ，
得 ，…（14分）
2000年全国普通主等学校招生统一考试
上海数学试卷（理工农医类）
考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分
一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．已知向量 (－1，2)、 =(3，m)，若 ┴ ，则m=。
2．函数， 的定义域为。
[解]
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。已知函数 。
（1）当 时，求函数 的最小值：
（2）若对任意 恒成立，试求实数 的取值范围。
[解]（1）
[解]（2）
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。
根据指令 ，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度 （ 为正时，按逆时针方向旋转 ， 为负时，按顺时针方向旋转－ ），再朝其面对的方向沿直线行走距离 。
（1）若 ， ，则 。（2）若 ， ，则 。
（3）若 , ，则 。
其中正确的个数是
（A）0．（B）1．（C）2．（D）3．
[答]（）
15．若集合 是：
.
[答]（）
16．下列命题中正确的命题是
（A）若点 为角 终边上一点，则 。
（B）同时满足 的角 有且只有一个。
（C）当 时， 的值恒正。
（D）三角方程 的解集为 。
[答]（）
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．（本题满分12分）
已知椭圆 的焦点分别为 ，长轴长为6，设直 交椭圆 于 、 两点，求线段 的中点坐标。
[解]
18．（本题满分12分）
如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为 ，求四面体ABCD的体积。
10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是。
11．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线 两点，则 。
12．在等差数列 中，若 ，则有等式 成立，类比上述性质，相应地：在等此数列 中，若 ，则有等式成立。
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。
13．复数
[答]（）
14．设有不同的直线 、 和不同的平面 、 、 ，给出下列三个命题：
（2）将( 、 )作为点 的坐标，( 、 )作为点 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点 变到这一平面上的点 ，
当点 在直线 上移动时，试求点 经该变换后得到的点 的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。
于是当 时， ，当 时， ，
因此，数列 的最大项的项数 满足不等式 且 。
22．[解]（1）由题设， ，
于是由 ，…（3分）
因此由 ，
得关系式 …（5分）
[解]（2）设点 在直线 上，则其经变换后的点 满足
，…（7分）
消去 ，得 ，
故点 的轨迹方程为 …（10分）
[解]（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，
二、（第13题至第16题）第一题正确的给4分。
题号
13
14
15
16
代号
C
A
A
D
三、（第17题至第22题）
17．[解]设椭圆C的方程为
由题意
因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同交点，…（8分）
设
18．[解法一]如图建立空间直角坐标系…（2分）
由题意，有A(0，2，0)，C(2，0，0)，E(1，1，0)。设D点的坐标为(0，0，z) ，则
3．第17至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数，给分或扣分均以1分为单位。
解答
一、（第1题至第12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。
1．4．2． 3．(－4，0)，(6，0)。4． 。5．1．6．9．7．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/……8．X．9．－462。10． 11． 12．
（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）。
（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。
又 ，
因此四面体ABCD的体积是 ，…（12分）
19．[解]（1）当 ，
在区间 上为增函数，…（3分）
地区间 上最小值为 ，…（6分）
（2）[解法一]在区让 上，
恒成立，…（8分）
设 ，
递增，∴当 时， ，…（12分）
于是当且仅当 时，函数 恒成立，
故 。…（14分）
（2）[解法二] ，当 时，函数 的值恒为正，…（8分）
（按：1999年本市常住人口总数约1300）
7．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A的等价题B可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。
8．设函数 是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段 ，则在区间[1，2]上 =。
9．在二项式 的展开式中，系数最小的项的系数为，（结果用数值表示）
又
[解法二]过A引BE的平行线，交与CB的延长线于F，∠DAF是异面直线BE与AD所成的角，
∴∠DAF= …（4分）
∵E是AC的中点，∴B是CF的中点，
AF=2BE= 。…（6分）
又BF，BA分别是DF，DA的射影，且BF=BC=BA。
∴DF=DA。…（8分）
三角形ADF是等腰三角形， ，
故 ，…（10分）
（3）设 ，若 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列 的最大项的项数。
[解]（1）
[解]（2）
[解]（3）
22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
已知复数 均为实数， 为虚数单位，且对于任意复数 。
（1）试求 的值，并分别写出 和 用 、 表示的关系式；
当 时，函数 递增，故当 ，…（12分）
于是当且仅当 时，函数 恒成立，故 。…（14分）
20．[解]（1） ，得指ห้องสมุดไป่ตู้为 ，…（4分）
（2）设机器人最快在点 处截住小球…（6分）
则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有 ，…（8分）。
即 ，得 或 ，
∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短， ，
[解]（1）
[解]（2）
21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
在XOY平面上有一点列 对每个自然数 ，点 ，位于函数 的图象上，且点 ，点 构成一个以 为顶点的等腰三角形。
（1）求点 的纵坐标 的表达式。
（2）若对每个自然数 ，以 ， 为边长能构成一个三角形，求 取值范围。
故机器人最快可在点 处截住小球，（10分）
所给的指令为 ，（14分）
21．[解]（1）由题意， ，∴ ，…（4分）
[解]（2）∵函数 递减，
∴对每个自然数n，有 ，则以 为边长能构成一个三角形的充要条件是 ，
即 …（7分）
解得 或 ∴ ，…（10分）
[解]（3）∴ ∴ …（12分）
数列 是一个递减的正数数列，对每个自然数 ，