平方根和立方根专题(比较难)

平方根和立方根专题(比较难) 平方根和立方根
知识归纳】
1.平方根：
1）若$x=a$（$a>0$），那么$a$叫做$x$的算术平方根，记为$\sqrt{x}$。

规定，$\sqrt{1}=1$。

2）一个正数的平方根有2个，它们互为相反数；只有1个平方根，它是本身；负数没有实数平方根。

3）两个公式：
a）$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；
b）$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。

2.立方根：
1）若$x=a$（$a>0$），那么$a$叫做$x$的算术立方根，记为$\sqrt[3]{x}$。

2）一个正数的立方根有1个，负数有1个立方根。

3）立方根的性质：
a）$\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}$；
b）$a^3=(\sqrt[3]{a})^3$。

4.已知某数有两个平方根分别是$a+3$与$2a-15$，求这个数。

设这个数为$x$，则有$(a+3)^2=x$，$2a-15$也是$x$的平
方根，因此$(2a-15)^2=x$。

解得$a=7$，$x=64$。

5.已知：$2m+2$的平方根是$\pm4$，$3m+n+1$的平方根
是$\pm5$，求$m+2n$的值。

由题意可列出方程组：
begin{cases}
sqrt{2m+2}=4\\
sqrt{3m+n+1}=5
end{cases}$
解得$m=6$，$n=13$，因此$m+2n=32$。

6.已知$a<0$，$b<0$，求$4a^2+12ab+9b^2$的算术平方根。

4a^2+12ab+9b^2=(2a+3b)^2$，因此算术平方根为
$|2a+3b|$。

7.甲乙二人计算$a+1-2a+a^2$的值，当$a=3$的时候，得
到下面不同的答案：甲的解答：$a+1-2a+a^2=a+(1-a)^2=a+1-
a=1$。

乙的解答：$a+1-2a+a^2=a+(a-1)^2=a+a-1=2a-1=5$。

哪
一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？
乙的解答是正确的。

甲的解答错在了$(1-a)^2$的展开式上，应该是$(1-a)^2=1-2a+a^2$。

巩固练】：
1、$16$的算术平方根是$4$，平方根是$\pm4$；
2、若$x^2=16$，则$5-x$的算术平方根是$\pm3$；
3、$64-36$的平方根是$2\sqrt{7}$，算术平方根是
$\sqrt{28}$；
4、若$4a+1$的平方根是$\pm5$，则$a^2$的算术平方根是$3$；
5、$a-1+(b-2)=25$，则$a+b$的平方根为$6$。

6.第一个正方体纸盒的棱长为$6$ cm，第二个正方体纸盒
的体积比第一个纸盒的体积大$127$ cm$^3$，求第二个纸盒的棱长。

设第二个纸盒的棱长为$x$，则有$x^3-6^3=127$，解得$x=7$。

平方根立方根的综合应用
1、若$x$、$y$为实数，且$x+y+\frac{x}{y}-2=2010$，则$\frac{(x+1)^3+(y-1)^3}{xy}$的值为
由题意可列出方程$\begin{cases}x+y+\frac{x}{y}=2012\\x-y=2\end{cases}$，解得$x=1005+2\sqrt{1003}$，$y=1005-
2\sqrt{1003}$，因此$\frac{(x+1)^3+(y-
1)^3}{xy}=2(2008+3\sqrt{1003})$。

2、若$2a-2$与$|b+2|$互为相反数，则$(a-
b)^2=$__________
由题意可列出方程组$\begin{cases}2a-2=-|b+2|\\a-
b=x\end{cases}$，解得$a=1$，$b=-4$，因此$(a-b)^2=25$。

3、若$2x+1+|y-1|=10$，则$x^2+y^2=$__________
由题意可列出方程组$\begin{cases}2x+1+|y-
1|=10\\x^2+y^2=r^2\end{cases}$，其中$r$为圆的半径。

解得$r=3$，因此$x^2+y^2=9$。

4、已知$x$、$y$为实数，且$y=x-9-\frac{9}{x-4}$。

求$x+y$的值。

将$y$化简得$x+y=(x-4)-\frac{9}{x-4}$。

令$t=x-4$，则$x+y=t-\frac{9}{t}$。

对$t-\frac{9}{t}$求导可得$t-
\frac{9}{t}$在$t=3$处取得最小值$6$，因此$x+y=6$。

5、已知$a$、$b$、$c$实数在数轴上的对应点如图所示，化简$a-a-b+c-a+(b-c)$。

a-a-b+c-a+(b-c)=-b+c$。

6、已知实数$a$、$b$、$c$满足$a+b+c=0$，
$ab+bc+ca=1$，求
$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}$的值。

将式子拆分得到
$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}=\frac{a( b+c)}{(a+b)(a+c)}+\frac{b(c+a)}{(b+c)(b+a)}+\frac{c(a+b)}{(c+
a)(c+b)}$。

由$a+b+c=0$可得$a=-b-c$，代入原式得到
$\frac{a(b+c)}{(a+b)(a+c)}+\frac{b(c+a)}{(b+c)(b+a)}+\frac{c(a
+b)}{(c+a)(c+b)}=\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$。

由
$ab+bc+ca=1$可得$abc=-1$，因此原式的值为$-2$。

7、已知$a-5+10-2a=b+4$，求$a$、$b$的值。

化简得$a+b=9$，因此$a$、$b$的取值有无数组，例如
$a=1$，$b=8$。

8、已知$2009-a+a-2010=a$，求$a-2009^2+490$的值。

化简得$a=2005$，因此$a-2009^2+490=-$。

9、如果$a+2=-2a-b$，且$b=3a+m$，求$m$的值是多少？
将$b$代入第一个式子得到$3a+m=-3a-2$，因此$m=-6a-2$。

10、已知$a-1+ab-2=0$，求$(a+1)(b+2)$的值。

将式子化简得$(a+1)(b+2)=3$。

11、一个三角形的两边长为3和2，则第三边长可能是
A.0.2，
B.1，
C.5，
D.512.答案是B.1.
11、已知$\frac{a-b+2b+c+(c-2)}{2}=\frac{a(b+c)}{2}$，求$a(b+c)$的值。

13、求下列各式中的$x$：(1) $3^2(x-2)^2-4=0$，(2) $(x+3)^3+27=0$，(3) $27x+125=0$，(4) $2x-1=25$。

16、已知$3a-22$和$2a-3$都是$m$的平方根，试求$m$的值。

17、已知实数$a$、$b$满足$(a-2)^2+b-2a=0$，那么$b-a$等于$\frac{3}{2}-a$。

18、观察下列各式：$4+\frac{1}{1^2}$，
$8+\frac{1}{2^2}=5$，$12+\frac{1}{3^2}=7$，
$16+\frac{1}{4^2}=9$，$\dots=\frac{3}{2}$。

请你将猜想到的规律用含自然数$n(n\geq 1)$的代数式表示出来。

答案是$4n-3+\frac{1}{n^2}$。

19、若$x$、$y$都是实数且$y=2x-3+\sqrt{3-2x+4}$，求$xy$的值。