二次函数十大基本问题
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第九讲：二次函数十大基本问题
知识模块与方法
知识模块一：二次函数的定义问题
1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，
，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二
次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．
（2）a b c ，
，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 知识、题型、方法
例1：若x m m m y 2
32
)3(+--=是二次函数，则=m 。
变式练习： 已知x m
m m m y 19
92
2
)972
(+---=，试讨论m 分别为何值时为正比例函数、反比例函数、
二次函数？
课堂演练一：
1. 二次函数62
)
3(2
+-=-x y 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，
常数项是 。 2. 若y ＝(m ＋1)x m
m -2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为__________．
3. 已知函数4
31
2
--+=
x x y x
，则自变量x 的取值范围是 。
4. 某广告公司欲设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000米，设 矩形的一边长为x 米，所花费用为y 元。则y 与x 之间的函数关系式为 。
5. 已知函数x
m m y 23
2
)
12(--=，当m 为何值时：
（1）y 是x 的正比例函数，且y 随着x 增大而增大。 （2）函数图象是位于第二、四象限的双曲线。 （3）函数图象是开口向上的抛物线。
知识模块二：二次函数的图象及其性质
1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：
上加下减。
3. ()2
y a x h =-的性质：
左加右减。
4. ()2
y a x h k =-+的性质：
a 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a > 向上
()00， y 轴
0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随
x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a <
向下
()00，
y 轴
0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．
a 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a > 向上
()0c ， y 轴
0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随
x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．
0a <
向下
()0c ，
y 轴
0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．
a 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a > 向上
()0h ，
X=h
x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随
x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a <
向下
()0h ，
X=h
x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．
a 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a >
向上
()h k ， X=h
x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随
x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ． 0a < 向下 ()h k ，
X=h
x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．
二次函数图象的过点问题与交点问题
中考方法点拨：二次函数图象的过点问题与交点问题实际上就是方程问题、代入求值问题
的综合，只要紧紧抓住函数图象经过的点或交点的横坐标与纵坐标都满足 函数解析式，然后代入解析式可得方程（组），从而求解。
知识、题型、方法
例2：已知抛物线x
y 2
-
=和直线m x y +=3都经过点（2-，n ）。
（1）求m ，n 的值。
（2）是否存在另一个交点？若存在，请求出。
变式练习：
1．（2008，长春）已知，如图，直线l 经过)0,4(A 和)4,0(B 两点，它与抛物线2
ax y =在
第一象限内相交于点P ，又知AOP ∆的面积为4，求a 的值。
第1题图 第2题图
2．（2008，辽宁大连）如图10，直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2
都经过点A (1，
0)，B (3，2)．
（1）求m 的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式m x c bx x +>++2
的解集(直接写出答案)。
课堂演练二：
1．二次函数22
-=x a y 的图象经过两点A （4-，2），B （m ，2），则=m 。 2．若抛物线c x a
y x ++=2
与x 轴的交点坐标是（1-，0）则
=+c a 。 3. 已知函数)0(2
≠=a a
y x
的图象与直线32-=x y 交于点（1，b ），
则求=a 。
4. 如图，是二次函数y ＝ax 2－x ＋a 2
－1的图象，则a ＝____________． 第4题图
A
O B P
y
x
O y
x
B
A