二次函数十大基本问题
二次函数存在性问题专题复习(全面典型含答案)
中考数学专题复习——存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来包括深圳在内各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
以下为几种典型的二次函数中出现的存在性问题，讲解后希望各位考生在以后的考试中如果遇到此类型时能够很顺畅的把过程写下来。
一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.（2011枣庄10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D. （1）写出h k 、的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM ∽△ABC ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.2.（2011临沂13分）如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题3. （2011日照10分）如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX 错误!未找到引用源。
二次函数的常见问题
二次函数的常见问题二次函数是高中数学中常见的一种函数形式，它的图像呈现出抛物线的形状，具有很多特性和应用。
然而，在学习和使用二次函数的过程中，人们常常会遇到一些问题。
本文将探讨二次函数的常见问题，并给出解答和解决方法。
一、二次函数的基本形式和特点在介绍常见问题之前，首先需要了解二次函数的基本形式和特点。
二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像通常为一个抛物线，开口的方向和抛物线的开口方向与a的正负有关。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，是二次函数的最值点。
二次函数还可通过平移、缩放等变换获得不同的函数图像。
二、常见问题及解答问题一：如何求二次函数的解析式？解答：求解二次函数的解析式需要已知函数经过的点或给定其他的条件。
首先，利用已知条件列方程，然后使用解方程的方法求得系数a、b、c的值，最终得到二次函数的解析式。
问题二：如何确定二次函数的开口方向？解答：二次函数的开口方向由系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
问题三：如何求二次函数的顶点坐标及最值？解答：二次函数的顶点坐标可以通过对称轴的概念求解。
对称轴的横坐标为-x⁰/2a，带入函数表达式找到对应的函数值即可得到顶点坐标。
最值即为顶点的纵坐标。
问题四：如何根据函数图像确定二次函数的性质？解答：二次函数的图像可以反映出其诸多性质，如开口方向、顶点坐标、最值等。
通过观察图像的形状和位置，可以确定二次函数的性质。
问题五：如何判断给定的点是否在二次函数上？解答：将点的坐标代入二次函数的解析式，若等式成立，则给定的点在二次函数上。
问题六：如何求二次函数与坐标轴的交点？解答：对于二次函数与x轴的交点，即求解方程f(x) = 0；对于二次函数与y轴的交点，直接读取常数项即可。
学好二次函数的九大基本题型
4 x y o 2 x y o 2 4 x y o 2 4 x y o 2 4 学好二次函数必须面对的几个问题二次函数基础问题主要分为以下九个方面：（一）与定义有关的问题、（二）交点问题（三）与顶点坐标、对称轴、增减性有关的习题（四）求表达式（五）与a 、b 、c 符号有关问题（六）与一元二次方程有关（七）与不等式有关的习题（八）过某个点（九）配方法与二次函数，只有学好以上几个问题才能把二次函数基本问题（不包括二次函数的应用）彻底掌握。
（一）与定义有关的问题1． 232mm y mx ++=是二次函数，则m 的值为（ ）A ．0或－3B ．0或3C ．0D ．－32．如图，在平行四边形ABCD 中，AC=4，BD=6，P 是BD 上的任一点，过P 作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E ，F ．设BP=x ，EF=y ，则能反映y 与x 之间关系的图象为……………（ ）3、如图所示，已知△ABC 中，BC ＝8，BC 上的高h ＝4，Ｄ为ＢＣ上一点．EF ∥BC ，交AB 于点Ｅ，交AC 于点F （EF 不过Ａ、Ｂ），设E 到BC 的距离为x ，则△DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为A B C D （二）交点问题4、已知二次函数y=x 2－2x －3的图象与x 轴交于点A 、B 两点，在x 轴上方的抛物线上有一点C ，且△ABC 的面积等于10，则C 点的坐标_________________ ；5、二次函数21y x x =++， ∵24b ac -=__________，∴函数图象与x 轴有_______个交点。
6、抛物线122++-=x x y 在x 轴上截得的线段长度是7、抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点A 、B 的坐标是________和________,与y 轴的交点C 的坐标是______,△ABC 的面积为______8、234y x x =--与x 轴的交点坐标是__________，与y 轴交点坐标是____________ABC DEFP C B DF AE9、一男生推铅球，铅球出手后运动的高度y （m ），与水平距离x(m)之间的函数关系是y ＝35321212++-x x ，该生能推 米 １0、如果抛物线y ＝21x 2－mx ＋5m 2与x 轴有交点，则m___________ 11、二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是A ．0B ．1C ．2D ．312、抛物线ｙ＝ｘ2＋3ｘ－4与ｘ轴交于A 、B 两点，Ｃ在抛物线上，若△ABC 的面积为10，则点C 的坐标为 ． 13、二次函数y ＝ －21x 2－3x －25的图象与x 轴交点的坐标是____________。
二次函数的七大问题
二次函数的七大问题高中数学内容的主线是函数，函数的灵魂是二次函数，许多函数问题最终要转化为二次函数问题求解，因此，熟练掌握二次函数处理方法和技巧，对每个学生都很重要。
一、画二次函数的图像1、 画下列二次函数的图像（1）()26f x x x =-- （2）()26f x x ax =+-（a ∈R ）练习：如图，已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点是()4,1--， 且与x 轴交于A 、B ()0,1两点，交y 轴于点C ；则此抛物线的解析式为方法归纳：1、定轴、定顶点、定交点、定截距、定开口方向。
2、含字母的二次函数先看哪些要素是确定的。
二、二次函数的奇偶性例题：若函数()26f x x bx =+-为偶函数，则a 的值为练习：若函数()(3)()f x x x a =+-为偶函数，则a 的值为 。
归纳：不含一次项的二次函数是偶函数。
三、二次函数的单调性例题：已知二次函数221y x ax =-+在区间（2，3）内是单调函数，则实数a 的取值范围是练习：1、函数132log ()y x x =-的单调增区间为 2、函数9234x xy =-+g的递增区间为 归纳：1、二次函数2y ax bx c =++总有两个单调区间，且单调性相反。
2、单调区间的分界点为2b a-四、二次函数在闭区间上最值问题 例题：函数()[]222,0,3f x x x x =+-∈的值域是练习：1、函数()221(01)x x f x a a a a =+->≠且在区间[-1，1]上的最大值为14，求a 的值。
2、 函数()21322f x x x =-+的定义域和值域都是[1，k]，则k= 3、 设12x x 是方程2260x ax a -++=的两根，则2212x x +的最小值是4、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．归纳：求二次函数的最值一看区间二看单调性。
一道二次函数经典题的50种问法
一道二次函数经典50问已知：如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OA =OC =3，顶点为D 。
（1）求此抛物线的解析式；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）求四边形ABCD 的面积；X XX（4）在对称轴上找一点P ，使△BCP 的周长最小，求出点P 的坐标及△BPC 的周长。
（5）在直线AC 下方的抛物线有一点N ，过点N 作直线//l y 轴，交AC 于点M ，当点N 的坐标是多少时，线段MN 的长度最大？最大值是多少？（6）在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使△CAN 的面积最大？最大面积是多少？XXX X（7）在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使四边形ABCN 的面积最大？最大面积是多少？（8）在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由。
（9）在y 轴上是否存在一点F ，使△ADF 为等腰三角形，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由。
（10）在抛物线上是否存在一点N ，使ABN ABC =S S △△，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由。
XX X（11）在抛物线上是否存在一点H ，使BCH ABC =S S △△，若存在，求出点H 的坐标，若不存在，请说明理由。
（12）在抛物线上是否存在一点Q ，使AOQ COQ =S S △△，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由。
（13）在抛物线上是否存在一点E ，使BE 平分△ABC 的面积，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由。
（14）在抛物线上找一点F ，作FM ⊥x 轴，交AC 于点H ，使AC 平分△AFM 的面积？XX XX（15）在抛物线的对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A 、B 、K 、L 为顶点的四边形是平行四边形，求出K 、L 两点的坐标。
二次函数 相关概念难点及答案解析
二次函数1.二次函数的相关概念1.1二次函数的定义一般地，形如：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数，叫做.其中，a叫做，b叫做，c叫做.【答案】二次函数；二次项系数，一次项系数，常数项.2.二次函数的图象与性质2.1二次函数的顶点式的图象与性质y轴;抛物线的顶点的.一般地，二次项系数a决定了抛物线的，|a|，抛物线的开口越小.【答案】（1）向上；y轴；增大而减小；增大而增大（2）向下；y轴；增大而增大；增大而减小（3）开口方向和开口大小；越大【答案】完全相同；不同；向上；向下2.1.4二次函数y=ax2+k的图象和性质：【答案】向上；（0,k）；向下；（0,k）2.1.5比较二次函数y=x 2，y=(x+1)2和y=(x−1)2的图象：从形状上看，二次函数y=（x+1）2和y=（x−1）2的图象与二次函数y=x 2的图象是的，但它们的位置.可以知道，二次函数y=a(x−h)2的图象可以由y=ax2的图象作如下平移得到：当h>0时，平移h个单位长度；当h<0时，平移|hl个单位长度.【答案】完全相同；不同；向右；向左2.1.6二次函数y=a（x−h）2的图象与性质：【答案】向上；（h,0）；向下；（h,0）【答案】完全相同;不同向左；向上；向右；向上；向右；向下；向左；向下【答案】向上；（h,k）；向下；（h,k）2.1.9平移规律【答案】h；k；左加右减，上加下减2.2二次函数的一般式的图象与性质（2）描点：在直角坐标系中描出相应的点（3）连线：用平滑曲线顺次连接各点，得到二次函数y=x²+2x+3的图象2.2.2二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质函数y=ax²+bx+c（a＞0）y=ax²+bx+c（a＜0）开口方向向上向下对称轴直线顶点坐标（ b2a ，4ac b^24a )增减性当x＜ b 2a 时，y 随x 的增大而减小;当x＞ b2a 时，y 随x 的增大而增大当x＜ b2a 时，y 随x 的增大而增大;当x＞ b2a 时，y 随x 的增大而减小最值当x= b2a 时，y 最小值=当x= b 2a 时，y 最大值=【答案】【答案】【答案】【答案】1.顶点；2. b 2a ；4ac b^24a ；(1)ax22+bx2+c；ax12+bx1+c；(2)ax12+bx1+c；ax22+bx2+c【答案】开口向上；开口向下；对称轴为y 轴；对称轴在y 轴左侧；对称轴在y 轴右侧；图象过原点；与y 轴正半轴相交；与y 轴负半轴相交第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中.【答案】【答案】ax²+bx+c=0；y=ax²+bx+c3.2.2由一元二次方程的根的情况，可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系：【答案】【答案】横坐标3.2.5二次函数与x轴的交点【答案】（1）上方;（2）下方；(3)x＜a或x＞b；x≠a；全体实数；a＜x＜b；无解；无解3.2.6二次函数与直线的交点二次函数y1=ax²+bx+c的与一次函数y2=kx+b的函数值y1>y2，y1<y2时函数图象的特征：【答案】(1)上方；(2)下方；(3)x<a 或x>c；a<x<c.。
二次函数知识点总结及相关典型题目2008.12.8
二次函数知识点总结及相关典型题目一．基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，顶点是），（a b ac a b 4422--， 对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab.12．二次函数值恒正或恒负的条件：恒正的条件：a ＜0且0<∆；恒负的条件：a ＞0且0<∆。
二次函数问题
二次函数问题二次函数最值对于二次函数y=a(x-m)2+n,x ∈[t,s]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。
为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。
①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。
然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。
含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值 １、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。
分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。
解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ∴此函数图像开口向上，对称轴x=a①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a③、当2≤a＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =32、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3[,2]2-上最大值为1,求实数a 的值分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在3[,2]2-上取不到最大值为1,∴a ≠02)若a ≠0,则2()(21)3f x ax a x =+--的对称轴为0122ax a-=(Ⅰ)若3()12f -=，解得103a =-，此时0233[,2]202x =-∈-a<0, 0()f x 为最大值，但23()120f -≠(Ⅱ) 若(2)1f =解得34a =此时013[,2]32x =-∈-0310,43a x =>=-距右端点2较远(2)f 最大值符合条件(Ⅲ) 若0()1f x =解得32a -±=当302a -+=<时034[,2]2x =-∉-当302a --=<时034[,2]2x =∈-综收所述34a =或32a --=评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。
初中数学 二次函数 知识点 易错题精选(含答案)
数学数学二次函数知识点+易错题精选一、二次函数基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b,c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵ a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：y=ax2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. y=ax2+c的性质：（上加下减）3. y=a(x-h)2的性质：（左加右减）4. y=a(x-h)2+k的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标(h,k)；⑵保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c的比较从解析式上看，y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．五、二次函数y=ax2+bx+c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点(0,c)、以及(0,c)关于对称轴对称的点(2h,c)、与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数y=ax2+bx+c的性质七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）；2. 顶点式：y=a(x-h)2+k（a，h，k为常数，a≠0）；3. 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a≠0．⑴当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，∣a∣的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b3. 常数项c⑴当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：2. 抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0,c)3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bx+c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c本身就是所含字母x的二次函数；下面以a>0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数易错题精选一、选择题1.已知二次函数y=2(x+1)(x﹣a)，其中a＞0，且对称轴为直线x=2，则a的值是( )A.3B.5C.7D.不确定2.将抛物线y=－2x2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为( )A.y=－2(x＋1)2B.y=－2(x＋1)2＋2C.y=－2(x－1)2＋2D.y=－2(x－1)2＋13.若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为( )A.-1或3B.-1C.3D.-3或14.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象与直线y=1交点坐标为(1,1),(3,1)，则不等式ax2+bx+c﹣1＞0的解集为（）A.x＞1B.1＜x＜3C.x＜1或x＞3D.x＞35.下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c=0的一个解，则下列选项的正确是（）A.1.6<x<1.8B.1.8<x<2.0C.2.0<x<2.2D.2.2<x<2.46.在学习“一次函数与二元一次方程”时，我们知道了两个一次函数图像的交点坐标与其相应的二元一次方程组的解之间的关系．请通过此经验推断：在同一平面直角坐标系中，函数y=5x2－3x＋4与y=4x2－x＋3的图像交点个数有 ( )A.0个B.1个C.2个D.无数个7.在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为( )A.88米B.68米C.48米D.28米8.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m,水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是（）A.y=﹣2x2B.y=2x2C.y=﹣0.5x2D.y=0.5x29.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10.如图,点A的坐标为（0,1）,点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等腰Rt△ABC,使∠BAC=90°,设点B的横坐标为x,设点C纵坐标为y,能表示y与x的函数关系图象大致是（）11.已知二次函数y=a(x-2)2+c，当x=x时,函数值为y1；当x=x2时,函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|,则下列表达1式正确的是（）A.y1+y2＞0B.y1﹣y2＞0C.a(y1﹣y2)>0D.a（y1+y2）＞012.如图，正方形ABCD中，AB＝8 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1 cm/s 的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( B )二、填空题13.如果函数y=(k﹣3)+kx+1是二次函数，那么k的值一定是．14.抛物线y=2x2+x-3与x轴交点个数为_____个.15.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是．16.如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处M（1，2.25），如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要m，才能使喷出的水流不至落到池外．17.已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于．18.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-1．且过点（0.5，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a ﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）三、解答题19.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，且抛物线的对称轴为直线x=4．（1）求出抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标．（2）试确定抛物线的解析式．20.如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.(1)求S与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米?21.设抛物线y=mx2－2mx＋3(m≠0)与x轴交于点A(a，0)和B(b，0).(1)若a=－1，求m，b的值；(2)若2m＋n=3，求证：抛物线的顶点在直线y=mx＋n上；(3)抛物线上有两点P(x1，p)和Q(x2，q)，若x1＜1＜x2，且x1＋x2＞2，试比较p与q的大小.22.已知二次函数y=ax2-4x+c的图象过点(-1, 0)和点(2,-9)．(1) 求该二次函数的解析式并写出其对称轴；(2) 已知点P(2 , -2),连结OP , 在x轴上找一点M,使△OPM是等腰三角形,请直接写出点M的坐标(不写求解过程).23.如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(-2,4),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,连结OA。
初中数学二次函数知识点及难题汇总
一、基本概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如 y ax2 bx c （ a ，b ，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而 b，c 可以为零．二次函数的定义域是 全体实数． 2. 二次函数 y ax2 bx c 的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．
是“左同右异” 总结：
3. 常数项 c ⑴ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ；
⑶ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．
y ax2 y a x h2 k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y a x h2 k ；
3. 关于原点对称 y ax2 bx c 关于原点对称后，得到的解析式是 y ax2 bx c ；
2a
2a
2a
最小值 4ac b2 ． 4a
2.
当 a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x b 2a
，顶点坐标为
b 2a
，4ac 4a
b
2
．当
x
b 2a
时，y
随 x 的增大而增大；当 x b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x b 时， y 有最大值 4ac b2 ．
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.
六、二次函数 y ax2 bx c 的性质
一道二次函数经典30问解析（全）
01特别说明02针对变式题目03形定问题1、分析：二次函数有三种表达形式：由A、C两点坐标可以求出表达式里b、c两个参数的值，由顶点公式可求出顶点D的坐标。
（也可以采用设一般式或交点式方法求解）2、分析：由点A、C、D的坐标可以求出AD、AC、CD的长度，从而判断出ΔACD的形状。
04线段问题3、分析：因为BE=CE,则点E为BC的垂直平分线与y轴的交点。
根据勾股定理找出直角ΔOBE三边的关系从而求出点E的坐标。
4、分析：设出点P的坐标，然后再求出直线AC的表达式，从而表示出交点N的坐标，从而用x表示PM和MN的长度，根据PM和MN的关系求出点P的坐标。
05线段最值问题5、分析：求线段PH可以转化为求PF的最值，用含有x的表达式表示出PF的长度，根据二次函数求最值的方法从而求出PF的最大值。
根据PH和PF的数量关系求出PH的最大值和P的坐标。
（或者根据面积法求出高PH的函数表达式，同理可求）06线段最值问题6、分析：由（5）知PH=GH,矩形PEGH为正方形。
C矩形PEGH=4PH,当PH最大时成立。
7、分析：△BCP的周长为：BC+BP+PC,BC长度是定值，当PB+PC最小时，△BCP的周长最小。
07面积问题10、分析：四边形ABCD为不规则图形，可以采用隔或者补的方法转化为规则的图形。
解：过点D作DE垂直于x轴于点E。
08特殊图形1直角三角形2等腰三角形09平行四边形存在性10相似三角形11角度问题27、分析：若使直线AC与BM的夹角等于∠ACB的2倍，则∠MCB=∠MBC,则MC=MB,利用勾股定理用点M的坐标表示出MC和MB的长度，从而求出点M的坐标。
28、分析：若使∠BCO+∠BNO=∠BAC,可以在∠BAC上截取∠OAE=∠BCO,过点E作EF垂直AC于点F,则∠BNO=∠EAF，根据∠EAF的正切值求出点ON的长度即可。
12旋转问题29、分析：如图所示，分两种情况，根据旋转前后图形全等，设出抛物线一个点的坐标，根据数量关系表示出另一个抛物线的点的坐标，代入抛物线解析式，从而求出点O’坐标。
二次函数基础知识详细讲解（附例题与答案）
二次函数基础知识详细讲解（附例题与答案）一、什么是二次函数？【引例】一个正方体的棱长为a，它的表面积为S，于是我们可以得到函数关系式：S=6a²，这里a是自变量，S是a的函数，因为这里自变量的最高次数是2，所以我们把它称为二次函数我们可以以图表的形式把对应关系表示出来(不考虑实际意义)：我们根据列表绘制出它的图像：我们发现：二次函数的图像是一条抛物线二、二次函数的图象研究刚才我们已经知道二次函数的图像是一条抛物线，那么这条抛物线有什么特点那？二次函数的一般形式：y=ax²+bx+c（a≠0）（1）我们先来研究a与抛物线y=ax²+bx+c图像的联系我们发现：当a>0时，抛物线开口向上；当a<>观察上面的抛物线我们发现：当a>0，a越大，开口越小当a<>即|a|越大，开口越小（2）抛物线与y轴的交点对于y=ax²+bx+c，令x=0，得y=c，即抛物线与y轴的交点为(0,c)（3）抛物线与x轴的交点对于y=ax²+bx+c，令y=0，就转化成了一元二次方程ax²+bx+c=0我们知道这个方程根的个数可以用判别式△=b²-4ac来判断，①当△>0时，方程有两个不相等的实根②当△=0时，方程有两个相等的实根③当△<>而一元二次方程ax²+bx+c=0的实根个数和抛物线y=ax²+bx+c 与x轴的交点个数是相对应的①当△>0时，抛物线与x轴有两个交点所以，当给出两个交点时，我们也可以把函数关系式写成：我们也把这个关系式叫做交点式②当△=0时，抛物线与x轴有一个交点③当△<>（4）抛物线的顶点及对称性不难发现，抛物线是个轴对称图形，那么它的对称轴是什么那？我们随便找一个二次函数y=2x²-4x+1，我们对它进行配方，得到y=2(x-1)²-1我们利用列表法描点：根据图像我们发现：此函数图像的对称轴为x=1当x<>当x>1，即在对称轴右侧时，抛物线呈增强趋势；当x=1，即在对称轴上时，y=-1，而(1,-1)即为抛物线y=2(x-1)²-1的顶点下面我们对一般情况进行分析：对二次函数一般形式y=ax²+bx+c进行配方得：因此抛物线y=ax²+bx+c的对称轴：顶点坐标：所以我们也把称为顶点式（5）抛物线的增减性与最值观察图像，我们发现：①若a>0②若a<>三、二次函数图象分析常用图四、二次函数题型归纳及做题技巧类型一二次函数的概念【知识点】判断二次函数解析式的三个特征：①整式；②a≠0；③化简后x的最高次数是2 例题1 下列函数中属于二次函数的是（）A. y = 2x + 1 B. y = (x - 1)² - x²C. y = 2x²D.【提示】根据二次函数解析式三个特征例题2 已知是y关于x的二次函数，那么m的值为（）A. -2 B. 2 C. ±2 D. 0【提示】根据二次函数解析式三个特征类型二二次函数的图像和性质【知识点】二次函数y=ax²+bx+c图像性质1、根据a判断开口方向，|a|判断开口大小①a>0，开口向上；a<>②|a|越大开口越小，|a|相等，抛物线的开口大小，形状相同2、根据c判断与y轴的交点位置①c>0，交于y轴正半轴②c<>③c=0，抛物线经过原点3、根据△判断交点个数①△>0，与x轴有2个交点②△=0，与x轴有1个交点③△<>4、对称轴对称轴是直线x = -b/2a①b=0时，对称轴为y轴②b/a>0（即a、b同号），对称轴在y轴左侧③b/a<>5、根据开口方向和对称轴判断增减性①a>0，对称轴左侧递减，右侧递增②a<>6、看图象判定代数式的值或范围①判断a，b，c的符号和取值根据开口方向及大小，对称轴在y轴哪侧，与y轴交点判断②如何得到a±b+c的值或范围x取±1时可得出③如何得到2a±b的值或范围比较对称轴-b/2a与±1的大小关系得出④如何得到b²-4ac的大小根据图象与x轴的交点个数⑤如何得到a，b，c的关系式试试经过的点代入⑥碰到特殊的技巧和规律就积累下来例题3 函数y= - x² + 1的图象大致为（）【提示】根据二次函数的开口方向、对称轴和y轴的交点可得相关图象例题4 关于抛物线y = x² - 2x +1，下列说法错误的是（）A. 开口向上B. 与x轴有两个重合的交点C. 对称轴是直线x = 1D. 当x>1时，y随x的增大而减小【提示】根据二次函数的开口方向、对称轴和y轴的交点可得相关图像，或直接画出图象例题5 下列图像中，有一个可能是函数y = ax² + bx + a + b （a≠0）的图象，它是（）【提示】根据y = ax² + bx + a + b（a≠0），对a，b的正负进行分类讨论，把一定错误的排除掉即可得到正确选项例题6 已知函数y = ax² + bx +a + c，当y > 0时，-1/3 < x="">< 1/2，则函数y="cx²" -="" bx="" +="">【提示】根据a，b，c分别对图象的影响或利用根与系数的关系例题7 如图，已知二次函数y = ax² + bx + c（a≠0）的图像与x 轴交于点A（-1，0），与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x = 1.下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac-b²＜8a ④1/3 < a="">< 2/3="" ="">其中含所有正确结论的选项是（）A. ①③B. ①③④C. ②④⑤D. ①③④⑤【提示】根据对称轴及图象开口方向向上可判断出a，b，c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），从而判断②；根据图像经过（-1，0）可得到a，b，c之间的关系，从而判断③⑤；从图像与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间，从而判断c的大小，进而判断④类型三利用二次函数的对称性解题【知识点】1、若抛物线上的点，纵坐标相同，它们一定关于对称轴对称如上图，经过抛物线的A、B两点的纵坐标都是2，那么它们一定关于对称轴对称2、若抛物线上A、B两点关于对称轴对称，且它们的横坐标分别为m、n，则对称轴为x=(m+n)/2例题8 二次函数y = ax² + bx +c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是（）A. 抛物线开口向下B. 当x＞-3时，y随x的增大而增大C. 二次函数的最小值是-2D. 抛物线的对称轴是x=-5/2【提示】注意表格中给出的y值，有三对相同的数字，而它们都是图象上点的纵坐标，抛物线上的点，纵坐标相同，它们一定关于对称轴对称，再根据二次函数的性质逐项判断例题9【提示】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，根据二次函数图象的对称性可知，关于对称轴对称，即可判断例题10 如图，抛物线y = x² - bx + c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x = 2（1）求抛物线的解析式（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB 的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【提示】（1）根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是x=2列出方程组，求出b，c即可；（2）因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质连接BC 与x=2交于点P，点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可类型四根据条件确定二次函数的解析式【知识点】注：有顶点信息用顶点式，有交点信息用交点式，没特殊信息用一般式例题11 已知某二次函数的图象如图，则这个二次函数的解析式为（）A. y = - 3（x - 1）² + 3B. y = 3（x - 1）² + 3C. y = - 3（x + 1）² + 3D. y = 3（x + 1）² + 3【提示】有顶点信息，用顶点式例题12 已知二次函数的图象经过（-1，-5），（0，-4），（1，1），则这个二次函数的表达式为（）A. y = - 6x² + 3x + 4B. y = - 2x² + 3x - 4C. y = x² + 2x - 4D. y = 2x² + 3x - 4【提示】无特殊信息，用一般式例题13 已知二次函数图象经过（1，0），（2，0），（0，2）三点，则该函数图象的关系式是_____________________.【提示】有交点信息，用交点式类型五利用二次函数解决实际问题例题14 在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图，如果要使整个挂图的面积是y cm²，设金色纸边的宽度为x cm，那么y关于x的函数是（）A. y = (60+2x)(40+2x)B. y = (60+x)(40+x)C. y = (60+2x)(40+x)D. y = (60+x)(40+2x)【提示】挂图面积 = 长×宽 =(60+2x)(40+2x)例题15 某商店进了一批服装，每件成本50元，如果按每件60元出售，可销售800件，如果每件提价5元出售，其销量将减少100件.（1）求售价为70元时的销售量及销售利润（2）求销售利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系，并求售价为多少元时获得最大利润；（3）如果商店销售这批服装想获利12000元，那么这批服装的定价是多少元？【提示】可参考（九年级第5讲）一元二次方程的实际应用【参考答案】例题1：C例题2：A例题3：B例题4：D例题5：C例题6：D例题7：D例题8：D例题9：D例题10：（1）解析式为：y=x²- 4x + 3（2）点P的坐标为（2，1）例题11：A例题12：D例题13：y= x² - 3x + 2例题14：A例题15：（1）销售量：600（件），销售利润：12000（元）（2）关系式：y= -20(x-75)² + 12500最大利润：12500元（3）定价为70元或80元时这批服装可获利12000元。
二次函数的十个基本问题.doc
二次函数的十个基本问题高考数学金牌老师九年级第一学期知识改变命运，学习成就未来！练习语文思维模式解题方法课程讲义自信激发潜能，勤奋成就成功！第9讲:二次函数十个基本问题知识模块和方法知识模块1: 二次函数1的定义。
二次函数的概念；一般来说，形状像(常数)的函数称为二次函数。
这里应该强调的是:与一元二次方程相似，二次项的系数可以为零。
二次函数的定义域是所有实数的结构特征。
2.二次函数:(1)等号的左边是一个函数，右边是关于自变量的二次型。
最高次数是2。
(2)它是常数、二次系数、一阶系数和常数项。
知识、问题类型和方法示例1:如果是二次函数，那么。
变体练习:已知，试讨论为什么这些值分别是正比例函数、反比例函数和二次函数？课堂练习1:1.二次函数的二次项的系数是，第一项的系数是，常数项是。
2.如果y=(m 1) x-3x 1是一个二次函数，那么m的值是_ _ _ _ _ _ 3。
给定函数，自变量的范围为。
4.一家广告公司想设计一个周长为12米的长方形广告牌。
广告设计费是每平方米1000米，长方形的一边是米。
费用是元。
和之间的函数关系是。
5.已知功能，当值为何:(1)是正比例函数，并且随着增加而增加。
(2)功能图像位于第一两个或四个象限的双曲线。
(3)函数图像是开口向上的抛物线。
知识模块2:二次函数的图像和性质1。
二次函数的基本形式；性质:A的绝对值越大，抛物线的开口越小。
符号开口方向上顶点坐标对称轴的特征随着对称轴的增加而增加。
时，随着增加和减少；当轴向下时，它随着增加而减少。
当，随着增加而增加；当，有一个最大值。
2.的性质:增加和减少。
符号开口方向上顶点坐标对称轴的特征随着对称轴的增加而增加。
时，随着增加和减少；当轴向下时，它随着增加而减少。
当，随着增加而增加；当，有一个最大值。
3.的性质:左加右减。
当顶点坐标的对称轴在符号开度方向的性质是向上的X=h时，它随着增加而增加；时，随着增加和减少；当X=h向下时，它随着增加而减少。
二次函数经典例题及解答
⎧⎪⎨⎪⎩二次函数一、中考导航图1.二次函数的意义;2.二次函数的图象;3.二次函数的性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩顶点对称轴开口方向增减性顶点式：y=a(x-h)2+k(a ≠0) 4.二次函数 待定系数法确定函数解析式一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0) 两根式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)5.二次函数与一元二次方程的关系。
6.抛物线y=ax 2+bx+c 的图象与a 、b 、c 之间的关系。
三、中考知识梳理 1.二次函数的图象在画二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b 2a)2+ 4a 24ac-b 的形式,先确定顶点(-b 2a ,4a24ac-b ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a 的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y 随x 的增大而减小;在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-b2a 时,y 最小值=4a24ac-b ;反之当a<•0时,简记左增右减,当x=-b 2a 时y 最大值=4a24ac-b . 3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y•的值)•可设解析式为y=ax 2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x•轴两交点坐标或已知抛物线与x 轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2)来求解. 4.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2+bx+c 当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax 2+bx+c=0,即抛物线与x 轴有两个交点时,方程ax 2+bx+c=0有两个不相等实根;当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有一个交点,方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根;当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴无交点,•方程ax 2+bx+c=0无实根.5.抛物线y=ax 2+bx+c 中a 、b 、c 符号的确定a 的符号由抛物线开口方向决定,当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,•抛物线开口向下;c 的符号由抛物线与y 轴交点的纵坐标决定.当c>0时,抛物线交y 轴于正半轴;当c<0时,抛物线交y 轴于负半轴;b 的符号由对称轴来决定.当对称轴在y•轴左侧时,b 的符号与a 的符号相同;当对称轴在y 轴右侧时,b 的符号与a 的符号相反;•简记左同右异. 6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,•应用数形结合思想来解决有关的综合性问题. 四、中考题型例析 1. 二次函数解析式的确定例1 求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); (2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8; (3)图象顶点坐标是(-1,9),与x 轴两交点间的距离是6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为y=ax 2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得3,3,642.a b c a b c a b c =-+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 解得1,0,2.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴解析式为y=x 2+2.(2)解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).• 设解析式为y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8. 把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x 2-4x-6.解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把x=1,y=-8•代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2, ∴解析式为y=2x 2-4x-6.解法3:∵图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a. ∵函数有最小值-8.∴24(3)(2)4a a a a---=-8.又∵a ≠0,∴a=2.∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,xyO又∵图象与x 轴两交点的距离为6,即AB=6.由抛物线的对称性可得A 、B 两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0), 设出两根式y=a(x-x 1)·(x-x 2),将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x 2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;•如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与x 轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2). 2. 二次函数的图象例2 (2003·孝感)y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,则点M(a,bc)在( • ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 分析:由图可知: 抛物线开口向上⇒a>0.002y c bx y b a ⇒<=-⇒<⎫⎪⎬⎪⎭抛物线与轴负半轴相交对称轴在轴右侧⇒bc>0.∴点M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定a 、b 、c 的符号.例3 (2003·岳阳)已知一次函数y=ax+c 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ).分析:一次函数y=ax+c,当a>0时,图象过一、三象限;当a<0时,图象过二、•四象限;c>0时,直线交y 轴于正半轴;当c<0时,直线交y 轴于负半轴;•对于二次函数y=•ax 2+bx+c(a ≠0)来讲:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩开口上下决定a的正负左同右异(即对称轴在y轴左侧,b的符号与a的符号相同;)来判别b的符号抛物线与y轴的正半轴或负半轴相交确定c 的正负解:可用排除法,设当a>0时,二次函数y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数y=•ax+c 应过一、三象限,故排除C;当a<0时,用同样方法可排除A;c 决定直线与y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D.3. 二次函数的性质例4 (2002·杭州)对于反比例函数y=-2x与二次函数y=-x 2+3,•请说出他们的两个相同点:①_________,•②_________;•再说出它们的两个不同点:••①________,••②_________.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命题的热点.4. 二次函数的应用例5 (2003·厦门)已知抛物线y=x 2+(2k+1)x-k 2+k, (1)求证:此抛物线与x 轴总有两个不同的交点.(2)设x 1、x 2是此抛物线与x 轴两个交点的横坐标,且满足x 12+x 22=-2k 2+2k+1. ①求抛物线的解析式.②设点P (m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点,•且关于此抛物线的对称轴对称. 求m+m 的值.分析:(1)欲证抛物线与x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令y=0,证△>0即可.(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出k 的值,可确定抛物线解析式;•②由P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得n 1=n 2,由n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2得m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0可求得m 1+m 2=-1. 解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k) =4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1. ∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与x 轴总有两个不同的交点.(2)①由题意得x1+x2=-(2k+1), x1· x2=-k2+k.∵x12+x22=-2k2+2k+1,∴(x1+x2)2-2x1x2=-2k2+2k+1,即(2k+1)2-2(-k2+k)=-2k2+k+1,4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1.∴8k2=0,∴k=0,∴抛物线的解析式是y=x2+x.②∵点P、Q关于此抛物线的对称轴对称,∴n1=n2.又n1=m12+m1,n2=m22+m2.∴m12+m1=m22+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0.∵P、Q是抛物上不同的点,∴m1≠m2,即m1-m2≠0.∴m1+m2+1=0即m1+m2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与x轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.基础达标验收卷一、选择题:1.(2003·大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ).A.直线x=-3B.直线x=3C.直线x=-2D.直线x=22.(2004·重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,ca)在( ).A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限3.(2004·天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有( ).A.b2-4ac>0B.b2-4ac=0C.b2-4ac<0D.b2-4ac≤04.(2003·杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( ).A.b=3,c=7B.b=-9,c=-15C.b=3,c=3D.b=-9,c=215.(2004·河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ).6.(2004·昆明)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,•图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是( ).A.4+mB.mC.2m-8D.8-2m二、填空题1.(2004·河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则y=_______.2.(2003·新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.3.(2003·天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.4.(2004·武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.5.(2003·黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.6.(2002·北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:甲:对称轴是直线x=4;乙:与x 轴两个交点的横坐标都是整数;丙:与y 轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式: 三、解答题1.已知函数y=x 2+bx-1的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的解析式;(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x>0时,求使y ≥2的x 取值范围.2.已知抛物线y=- 12x 2与x 轴有A 、B 两个交点,且A 、B 两点关于y 轴对称.(1)求m 的值;(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来. 一、学科内综合题1.如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于B 、C 两点,•与y 轴交于A 点. (1)根据图象确定a 、b 、c 的符号,并说明理由;(2)如果点A 的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,•求这个二次函数的解析式.二、实际应用题3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,•公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)•刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?4.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB•的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,•忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,•要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?答案:基础达标验收卷一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C二、1.(x-1)2+2 2.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点(最小值)3.y=-12x 2+2x+52 4.如y=-x 2+1 5.1 6.y=15x 2-85x+3或y=-15x 2+85x-3或y=-17x 2-87x+1或y=-17x 2+87x-1三、1.解:(1)∵函数y=x 2+bx-1的图象经过点(3,2), ∴9+3b-1=2,解得b=-2. ∴函数解析式为y=x 2-2x-1. (2)y=x 2-2x-1=(x-1)2-2. 图象略.图象的顶点坐标为(1,-2).(3)当x=3时,y=2,根据图象知,当x ≥3时,y ≥2. ∴当x>0时,使y ≥2的x 的取值范围是x ≥3. 2.(1)设A(x 1,0) B(x 2,0). ∵A 、B 两点关于y 轴对称.∴12120,0.x x x x +=⎧⎨≤⎩∴2(60,2(3)0.m ⎧⎪-=⎨--≤⎪⎩解得m=6. (2)求得y=-12x 2+3.顶点坐标是(0,3) (3)方程-12x 2的两根互为相反数(或两根之和为零等). 3.解:(1)符合条件的抛物线还有5条,分别如下:①抛物线AEC; ②抛物线CBE; ③抛物线DEB; ④抛物线DEC; ⑤抛物线DBC. (2)在(1)中存在抛物线DBC,它与直线AE 不相交. 设抛物线DBC 的解析式为y=ax 2+bx+c.将D(-2, 92),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入,得942,20,164.a b c a b c a b c ⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩解这个方程组,得a=14,b=-54,c=1. ∴抛物线DBC 的解析式为y=14x 2-54x+1.【另法:设抛物线为y=a(x-1)(x-4),代入D(-2, 92),得a=14也可.】 又将直线AE 的解析式为y=mx+n.将A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入,得20,6.m n n -+=⎧⎨=-⎩解这个方程组,得m=-3,n=-6. ∴直线AE 的解析式为y=-3x-6. 能力提高练习 一、1.解:(1)∵抛物线开口向上,∴a>0.又∵对称轴在y 轴的左侧, ∴-2ba<0,∴b>0. 又∵抛物线交于y 轴的负半轴. ∴c<0.(2)如图,连结AB 、AC.∵在Rt △AOB 中,∠ABO=45°, ∴∠OAB=45°.∴OB=OA.∴B(-3,0). 又∵在Rt △ACO 中,∠ACO=60°,∴OC=OA ·cot60°∴ 设二次函数的解析式为 y=ax 2+bx+c(a ≠0).由题意930,30,3.a b c a c c -+=⎧⎪+=⎨⎪=-⎩1,3.a b c ⎧=⎪⎪⎪⇒=⎨⎪=-⎪⎪⎩∴所求二次函数的解析式为23.解:(1)设s 与t 的函数关系式为s=at 2+bt+c由题意得 1.5,422,255 2.5;a b c a b c a b c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩ 或 1.5,422,0.a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩ 解得1,22,0.a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩∴s=12t 2-2t. (2)把s=30代入s=12t 2-2t, 得30=12t 2-2t. 解得t 1=0,t 2=-6(舍).答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元.(3)把t=7代入,得s=12×72-2×7=212=10.5; 把t=8代入,得s=12×82-2×8=16. 16-10.5=5.5.答:第8个月公司获利润5.5万元.4.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax 2,桥拱最高点O 到水面CD 的距离为hm, 则D(5,-h),B(10,-h-3).∴25,100 3.a ha h=-⎧⎨=--⎩解得1,251.ah⎧=-⎪⎨⎪=⎩抛物线的解析式为y=-125x2.(2)水位由CD处涨到点O的时间为:1÷0.25=4(小时).货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200<280, ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提高到xkm/h.当4x+40×1=280时,x=60.∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h.。
《二次函数》题型总结
二次函数题型总结一、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2－4x+1； ①y=2x 2； ①y=2x 2+4x ； ①y=－3x ； ①y=－2x －1； ①y=mx 2+nx+p ； ①y =； ①y=－5x 。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。
4、若函数y=(m －2)x m －2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。
6、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。
二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数的对称轴、顶点、最值记忆：如果解析式为顶点式：y=a(x －h)2+k ，则对称轴为： ，最值为： ；如果解析式为一般式：y=ax 2+bx+c ，则对称轴为： ，最值为： ；如果解析式为交点式：y=(x -x 1)(x -x 2), 则对称轴为： ，最值为： 。
1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。
2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ .7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。
二次函数常见题型(含答案)解析
中考二次函数常见题型考点1：二次函数的数学应用题1. （2011湖北黄石，16，3分）初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j）,则称该生作了平移[a,b]=[m－i，n－j]，并称a+b为该生的位置数。
若某生的位置数为10，则当m+n取最小值时，m·n的最大值为。
【答案】362.（2011浙江金华，23，10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C.（1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；（2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，①试求出当n=3时a的值；②直接写出a关于n的关系式.∴1421112 1.42a ba b=++⎧⎪⎨=++⎪⎩，解得4,38.3ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线解析式为248133y x x=-++；……4分（3）①当n=3时，OC=1，BC=3，设所求抛物线解析式为2y ax bx=+，过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD，∴13OD OCCD BC==,设OD=t，则CD=3t，∵222OD CD OC+=，∴222(3)1t t+=，∴1101010t==,∴C（1010，31010）, 又B（10，0），∴把B 、C坐标代入抛物线解析式，得01010311010.101010a ba b⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得:a=103-；……2分②21nan+=-. ……2分3. （2011山东日照，24，10分）如图，抛物线y=ax2+bx（a0）与双曲线y=xk相交于点A，B. 已知点B的坐标为（－2，－2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4. 过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；xyOABCDxyOCEABM NF（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．【答案】（1）把点B （－2，－2）的坐标，代入y =xk， 得：－2=2-k，∴k =4． 即双曲线的解析式为：y =x4． 设A 点的坐标为（m ，n ）。
二次函数专题知识点 常考(典型)题型 重难点题型(含详细答案)
二次函数和基本性质专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (2)1.二次函数的概念 (2)2.二次函数y=ax2的图像和性质 (2)3.二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的性质 (4)4，用配方法求y=ax2+bx+c（a≠0） (6)5.二次函数图像性质总结 (7)6.二次函数解析式的求法 (7)7.二次函数图像的平移 (9)三、重难点题型 (11)1.由抛物线的位置确定系数的符号 (11)2.用待定系数法求二次函数的解析式 (13)3.运用抛物线的对称性解题 (17)4.用二次函数解决最值问题 (18)5.二次函数的图像 (20)6.二次函数与应用问题 (21)二、基础知识点1.二次函数的概念形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫作二次函数。
注：①a、b、c为常数，且a≠0，即二次项必须有，一次项和常数项可以没有②二次函数为函数的一种，满足函数的所有性质。
即在定义域内，自变量x有且仅有唯一应变量y与之对应例1.下列各项中，y是x的二次函数的有：①y=√2x2−x+5；②y=（m−1）x2+x+1（m为常数）；③y=2x2+4x−m（m为常数）；④y=(2x+1)(3x−2)−6x2答案：①是二次函数，二次项系数不为0；②不应定，当m=1时，二次项为0，则不是二次函数；③是二次函数，二次项系数不为0；④化简得：－x－2，因此不是二次函数例2.已知y=（k+3）x k2+k−4是二次函数，求k的值。
答案：因为y=（k+3）x k2+k−4是二次函数所以{k+3≠0 k2+k−4=2解得：k=22.二次函数y=ax2的图像和性质y=ax2（a≠0，b=0，c=0，即一次项和常数项皆为0）的性质：①图形为抛物线形状②a>0，开口向上；a<0，开口向下③过原点（顶点），为最大值或最小值（由a的正负决定）④关于y轴对称，即关于x=0对称⑤|a|越大，开口越小，即上升或下降越快注：关于y轴对称的前提条件是：函数定义域关于y轴对称例1.求等边三角形面积S与边长a的函数关系式。
二次函数十大基本问题
第九讲：二次函数十大基本问题知识模块与方法知识模块一：二次函数的定义问题1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． （2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．知识、题型、方法例1：若x m m m y 232)3(+--=是二次函数，则=m 。
变式练习： 已知x mm m m y 19922)972(+---=，试讨论m 分别为何值时为正比例函数、反比例函数、二次函数？课堂演练一：1. 二次函数62)3(2+-=-x y 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
2. 若y ＝(m ＋1)x mm -2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为__________．3. 已知函数4312--+=x x y x，则自变量x 的取值范围是 。
4. 某广告公司欲设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000米，设 矩形的一边长为x 米，所花费用为y 元。
则y 与x 之间的函数关系式为 。
5. 已知函数xm m y 232)12(--=，当m 为何值时：（1）y 是x 的正比例函数，且y 随着x 增大而增大。
（2）函数图象是位于第二、四象限的双曲线。
（3）函数图象是开口向上的抛物线。
知识模块二：二次函数的图象及其性质1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a <向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．0a <向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．0a <向下()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．二次函数图象的过点问题与交点问题中考方法点拨：二次函数图象的过点问题与交点问题实际上就是方程问题、代入求值问题的综合，只要紧紧抓住函数图象经过的点或交点的横坐标与纵坐标都满足 函数解析式，然后代入解析式可得方程（组），从而求解。
二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)
二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)考点1：二次函数的图象和性质一、考点讲解：1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数．2．二次函数的图象及性质：⑴ 二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。
⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而增大，x ＜－2b a，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2b a，y 随x 的增大而增大． ⑶ 当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当 x=－2b a时，函数有最大值244ac b a-。
3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．注意：二次函数y=ax 2 与y =－ax 2 的图像关于x 轴对称。
突破中学数学二次函数的八个难题
突破中学数学二次函数的八个难题第一难题：求二次函数的顶点坐标在解决二次函数的问题时，确定顶点是至关重要的一步。
顶点的坐标可以通过将二次函数标准形式转化为顶点形式来得到。
标准形式为y = ax^2 + bx + c，而顶点形式为y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
为了确定顶点坐标，可使用以下公式：h = -b / (2a)k = c - b^2 / (4a)这样，我们就可以通过计算得到二次函数的顶点坐标。
第二难题：求二次函数与坐标轴的交点要求二次函数与x轴的交点，只需令y = 0，然后解方程。
同样地，要求二次函数与y轴的交点，只需令x = 0，再解方程。
通过解方程，我们可以找到二次函数与坐标轴的交点的坐标。
第三难题：求二次函数的对称轴对称轴是二次函数的一个重要概念。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其对称轴方程为x = -b / (2a)。
我们可以通过计算得到对称轴方程，从而确定二次函数的对称轴。
第四难题：求二次函数的焦点坐标对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其焦点坐标为[(h, k + 1 / (4a))]，其中(h, k)为顶点坐标。
通过计算顶点坐标，我们可以得到二次函数的焦点坐标。
第五难题：求二次函数的图像方向图像方向用来描述二次函数的开口方向。
要确定二次函数的图像方向，需要根据a的值进行判断。
若a > 0，则图像开口向上；若a < 0，则图像开口向下。
第六难题：求二次函数的最值最值是指二次函数的最大值或最小值。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，最值的计算方法如下：最小值：当a > 0时，二次函数的最小值为顶点的y坐标；最大值：当a < 0时，二次函数的最大值为顶点的y坐标。
通过计算可以得到二次函数的最值。
第七难题：求二次函数与直线的交点要求二次函数与直线的交点坐标，需要将直线方程代入二次函数方程，并解方程得到交点坐标。
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第九讲：二次函数十大基本问题知识模块与方法知识模块一：二次函数的定义问题1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．（2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 知识、题型、方法例1：若x m m m y 232)3(+--=是二次函数，则=m 。
变式练习： 已知x mm m m y 19922)972(+---=，试讨论m 分别为何值时为正比例函数、反比例函数、二次函数？课堂演练一：1. 二次函数62)3(2+-=-x y 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
2. 若y ＝(m ＋1)x mm -2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为__________．3. 已知函数4312--+=x x y x，则自变量x 的取值范围是 。
4. 某广告公司欲设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000米，设 矩形的一边长为x 米，所花费用为y 元。
则y 与x 之间的函数关系式为 。
5. 已知函数xm m y 232)12(--=，当m 为何值时：（1）y 是x 的正比例函数，且y 随着x 增大而增大。
（2）函数图象是位于第二、四象限的双曲线。
（3）函数图象是开口向上的抛物线。
知识模块二：二次函数的图象及其性质1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a > 向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a <向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a > 向上()0c ， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．0a <向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a > 向上()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a <向下()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()h k ， X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ． 0a < 向下 ()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．二次函数图象的过点问题与交点问题中考方法点拨：二次函数图象的过点问题与交点问题实际上就是方程问题、代入求值问题的综合，只要紧紧抓住函数图象经过的点或交点的横坐标与纵坐标都满足 函数解析式，然后代入解析式可得方程（组），从而求解。
知识、题型、方法例2：已知抛物线xy 2-=和直线m x y +=3都经过点（2-，n ）。
（1）求m ，n 的值。
（2）是否存在另一个交点？若存在，请求出。
变式练习：1．（2008，长春）已知，如图，直线l 经过)0,4(A 和)4,0(B 两点，它与抛物线2ax y =在第一象限内相交于点P ，又知AOP ∆的面积为4，求a 的值。
第1题图 第2题图2．（2008，辽宁大连）如图10，直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A (1，0)，B (3，2)．（1）求m 的值和抛物线的解析式；（2）求不等式m x c bx x +>++2的解集(直接写出答案)。
课堂演练二：1．二次函数22-=x a y 的图象经过两点A （4-，2），B （m ，2），则=m 。
2．若抛物线c x ay x ++=2与x 轴的交点坐标是（1-，0）则=+c a 。
3. 已知函数)0(2≠=a ay x的图象与直线32-=x y 交于点（1，b ），则求=a 。
4. 如图，是二次函数y ＝ax 2－x ＋a 2－1的图象，则a ＝____________． 第4题图AO B PyxO yxBA二次函数图象的单调性问题：中考方法点拨： 判断二次函数的单调性要紧紧抓住抛物线的开口方向和对称轴2b x a=-， 对称轴2bx a=-是二次函数单调性的分界点，即： 1. 当0a >时，抛物线开口向上： 在2b x a <-范围内，y 随x 的增大而减小；在2bx a>-范围内，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-。
2. 当0a <时，抛物线开口向下： 在2b x a <-范围内，y 随x 的增大而增大；在2bx a>-范围内，y 随x 的增大而减小； 当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a-。
知识、题型、方法例3：（2011，浙江舟山）如图，已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是 。
变式练习第2题图 例4：（2008，山东东营）若A （1,413y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =+- 的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是 （ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y << 变式练习：1．（2011，广安）若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）A ．m =lB ．m >lC ．m ≥lD ．m ≤l 2．（2011，浙江温州）已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如第9题图所示。
关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A ．有最小值0，有最大值3B ．有最小值－1，有最大值0C ．有最小值－1，有最大值3D ．有最小值－1，无最大值xy例3图O11（1,-2）cbx x y ++=2-1课堂演练三：1．当22≤≤-x 时，二次函数xy 2-=的最小值是 ，最大值是 。
2．（2011，广东广州）下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是（ ）． A ．y = x 2B ．y = x －１C ． y = 34xD ．y = 1x3．（2011，山东聊城）下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）4. 若A （－134 ，y 1），B （－1，y 2），C （53 ，y 3）为二次函数y ＝－x 2－4x ＋5图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是 。
5. 已知x mm m y +=2，当=m 时，它的图象是开口向下的抛物线，这时，当x 时，y 随x 的增大而增大。
二次函数图象的对称性问题： 知识、题型、方法例5：（平面直角坐标系中点的对称问题）平面直角坐标系中的点P （3,-5），关于x 轴对称的点1P 的坐标为 ；关于y 轴对称的点2P 的坐标为 ；关于原点对称的点3P 的坐标为 。
变式练习：在平面直角坐标系中，点（a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称 的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为 。
例6：（2011，山东济宁）已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：x …… 0 12 3 4 …… y (4)1 0 1 4 ……点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在函数的图象上，则当112,x <<234x <<时，1y 与2y 的大小关系正确的是（ ）A ．12y y >B ． 12y y <C ． 12y y ≥D ． 12y y ≤变式练习： 1。
已知抛物线c ay x +=-)1(2的图象如图7所示，该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，B点坐标为（2，0），则A 点坐标为 。
yO A B x 图72.（2011，嘉兴）如图8，已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点（-1，0），（1，-2），该图象与x 轴的另一个交点为C ，则AC 长为 。
课堂演练四第4题图课堂演练四：1．已知点M ()y x ,与点N ()3,2--关于x 轴对称，则x + y = 。
2.（－3，4）关于x 轴对称的点的坐标为________，关于y 轴对称的点的坐标为________， 关于原点对称的坐标为__________。
3．（2011，山东枣庄）抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x… －2 －1 0 1 2 … y…4664…从上表可知，下列说法中正确的是 。
（填写序号）①抛物线与x 轴的一个交点为（3,0）； ②函数2y ax bx c =++的最大值为6； ③抛物线的对称轴是12x =； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大． 4．（2010，日照）如图，是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是 .xy图8 O11（1,-2） cbx x y ++=2-1 ABC5．（2011，山东泰安）若二次函数y=ax 2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：X -7 -6 -5 -4 -3 -2 y-27-13-3353则当x =1时，y 的值为A 。
5B 。
-3C 。