实变函数题库集答案

实变函数试题库及参考答案 本科之马矢奏春创作
一、题
1．设,A B 为集合,则()\A B B =A B （用描述集合间关系的符号填写）
2．设A 是B 的子集,则A ≤B （用描述集合间关系的符号填写）
3．假如E 中聚点都属于E ,则称E 是闭集
4．有限个开集的交是开集
5．设1E 、2E 是可测集,则()12m E E ≤12mE mE +（用描述集合间关系
的符号填写）
6．设n E ⊂是可数集,则*m E =0
7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,假如1a ∀∈
,()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦
是可测集,则称()f x 在E 上可测
8．可测函数列的上极限也是可测函数 9．设()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒,则()()n n f x g x +⇒()()f x g x + 10．设()f x 在E 上L 可积,则()f x 在E 上可积
11．设,A B 为集合,则()\B A A ⊃A （用描述集合间关系的符号填写）
12．设{}211,2,A k k =-=,则A =a （个中a 暗示自然数集N 的基数）
13．设n E ⊂,假如E 中没有不属于E ,则称E 是闭集
14．随便率性个开集的并是开集
15．设1E 、2E 是可测集,且12E E ⊂,则1mE ≤2mE
16．设E 中只有孤立点,则*m E =0
17．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,假如1a ∀∈,()E x f x a ⎡⎤<⎣⎦
是可测,则称()f x 在E 上可测
18．可测函数列的下极限也是可测函数 19．设()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒,则()()n n f x g x ⇒()()f x g x
20．设()n x ϕ是E 上的单调增收敛于()f x 的非负简单函数列,则()E f x dx =⎰()lim n
E n x dx ϕ→∞⎰ 21．设,A B 为集合,则()\A B B ⊃B
22．设A 为有理数集,则A =a （个中a 暗示自然数集N 的基数）
23．设n E ⊂,假如E 中的每个点都是内点,则称E 是开集
24．有限个闭集的交是闭集
25．设n E ⊂
,则*m E ≥0 26．设E 是n 中的区间,则*m E =E 的体积
27．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,假如1a ∀∈
,()E x f x a ⎡⎤≤⎣⎦
是可测集,则称()f x 在E 上可测
28．可测函数列的极限也是可测函数
29．设()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒..a e ,则()n f x ⇒()g x 30．设()n f x 是E 上的非负可测函数列,且单调增收敛于()f x ,由勒维定理,有
31．设,A B 为集合,则()\B A B A =A B
32．设A 为无理数集,则A =c （个中c 暗示自然数集[]0,1的基数）
33．设n E ⊂,假如E 中没有不是内点的点,则称E 是开集
34．随便率性个闭集的交是闭集
35．设n E ⊂,称E 是可测集,假如n T ∀⊂,()**m T m T E =+()*c m T E
36．设E 是外测度为零的集合,且F E ⊂,则*m F =0
37．设()f x 是定义在可测集
E 上的实函数,假如1a ∀∈,()E x a f x b ⎡⎤≤<⎣⎦是可测,（a b ≤）则称()f x 在E 上可测
38．可测函数列的上确界也是可测函数
39．设()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒..a e ,则()()n n f x g x ⇒()()f x g x
40．设()()n f x f x ⇒,那么由黎斯定理,(){}n f x 有子列()k n f x ,使()()k n f x f x →..a e 于E
41.设,A B 为两个集合,则__c A B A B -.（等于）
42.设n E R ⊂,假如E 知足E E '⊆(个中E '暗示E 的导集),则E 是闭.
43.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个组成区间,则(,)αβ满(i)(a,b)G ⊆ (ii),a G b G ∉∉
44.设A 为无限集.则A 的基数__A a (个中a 暗示自然数集N 的基数) 答案：≥
45.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 答案：≥
46.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,若对随便率性实数a ,都有[()]E x f x a >是可测集E 上的可测函数.
47.设0x 是E (R ⊆)的内点,则*__0m E . 答案>
48.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ⇒∈,则由____黎斯__定理可知得,消掉{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()()()k a e n f x f x x E →∈.
49.设()f x 为可测集E (n R ⊆)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分
值不必定消掉且|()|f x 在E 上不必定L 可积.
50.若()f x 是[,]a b 上的绝对中断函数,则()f x 是[,]a b 上的有界变差函数.
51．设,A B 为集合,则___(\)A B B A A 答案=
52．设n E R ⊂,假如E 知足0E E =（个中0E 暗示E 的内部）,则E 是开集
53．设G 为直线上的开集,若开区间(,)a b 知足(,)a b G ⊆且,a G b G ∉∉,则(,)a b 必为G 的组成区间
54．设{|2,}A x x n n ==为自然数,则A 的基数=a (个中a 暗示自然数集N 的基数)
55．设,A B 为可测集,B A ⊆且mB <+∞,则__(\)mA mB m A B - 答案 =
56．设()f x 是可测集E 上的可测函数,则对随便率性实数,()a b a b <,都有[()]E x a f x b <<是可测集
57．若()E R ⊆是可数集,则__0mE 答案=
58．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,()f x 为E 上的可测函数,假如.()()()a e n f x f x x E →∈,则()()n f x f x ⇒x E ∈不必定成立
59． 设()f x 为可测集()n E R ⊆上的非负可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值必定消掉
60．若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数,则()f x 必可暗示成两个递增函数的差（或递减函数的差）
多项选择题（每题至少有两个以上的精确答案）
1．设[]{}0,1E =中无理数,则（ ACD ）
mE=
A E是不成数集
B E是闭集
C E中没有内点D1
2．设n
E⊂是无限集,则（ AB ）
A E可以和自身的某个真子集对等
B E a
≥（a为自然数集的基数）
3．设()
f x是E上的可测函数,则（ABD）
f x在E上可测
A函数()
f x在E的可测子集上可测
B()
f x是有界的
C()
f x是简单函数的极限
D()
4．设()
f x是[],a b上的有界函数,且黎曼可积,则（ABC ）
f x在[],a b上可测
A()
f x在[],a b上L可积
B()
f x在[],a b上几乎处处中断
C()
f x在[],a b上几乎处处等于某个中断函数
D()
5．设n
E⊂,假如E至少有一个内点,则（ BD ）
m E>C E可能是可数集D E不成能是可数集A*m E可以等于0B*0
6．设n
E⊂是无限集,则（ AB ）
A E含有可数子集
B E不必定有聚点
C E含有内点
D E是无界的
7．设()
f x是E上的可测函数,则（ BD ）
f x在E上可测
A函数()
f x长短负简单函数列的极限
B()
C ()
f x 是有界的 D ()f x 在E 的可测子集上可测
8．设()f x 是[],a b 上的中断函数,则（ ABD ） A ()f x 在[],a b 上可测
B ()f x 在[],a b 上L 可积,且()()()()[],b a a b R f x dx L f x dx =⎰⎰
C ()f x 在[],a b 上L 可积,但()()()()[]
,b a a b R f x dx L f x dx ≠⎰⎰ D ()f x 在[],a b 上有界
9．设()D x 是狄利克莱函数,即()[][]10,100,1x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为中有理数为中无理数,则（ BCD ） A ()D x 几乎处处等于1B ()D x 几乎处处等于0 C ()D x 长短负可测函数 D ()D x 是L 可积函数
10．设n E ⊂
,*0m E =,则（ ABD ） A E 是可测集 B E 的任何子集是可测集 C E 是可数集 D E 不必定是可数集
11．设n E ⊂,()10E c x E
x x E χ∈⎧=⎨∈⎩,则（ AB ）
A 当E 是可测集时,()E x χ是可测函数
B 当()E x χ是可测函数时,E 是可测集
C 当E 是不成测集时,()E x χ可所以可测函数
D 当()
E x χ是不是可测函数时,E 不必定是可测集
12．设()f x 是(),a b 上的中断函数,则（BD ） A ()f x 在(),a b 上有界
B ()f x 在(),a b 上可测
C ()f x 在(),a b 上L 可积
D ()f x 在(),a b 上不必定L 可积
13．设()f x 在可测集E 上L 可积,则（AC ） A ()f x +,()f x -都是E 上的非负可积函数 B ()f x +和()f x -有一个在E 上的非负可积 C ()
f x 在E 上L 可积 D ()f x 在E 上不必定L 可积
14．设n E ⊂是可测集,则（ AD ）
A c E 是可测集
B mE <+∞
C E 的子集是可测集
D
E 的可数子集是可测集
15．设()()n f x f x ⇒,则（ CD ）
A ()n f x 几乎处处收敛于()f x
B ()n f x 一致收敛于()f x
C ()n f x 有子列()n f x ,使()()n f x f x →..a e 于E
D ()n f x 可能几乎处处收敛于()f x
16．设()f x 是[],a b 上有界函数,且L 可积,则（BD ） A ()f x 在[],a b 上黎曼可积
B ()f x 在[],a b 上可测
C ()f x 在[],a b 上几乎处处中断
D ()f x 在[],a b 上不必定中断
17. 设{[0,1]}E =中的无理点,则(CD)
（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每个点均是聚
点 （D ）0mE >
18. 若E (R ⊆)至少有一个内点,则（BD ）
（A ）*m E 可以等于０ （B ）*0m E = （C ）E 可能是可数集 （D ）E 不成能是可数集
19．设[,]E a b ⊆是可测集,则E 的特色函数()E x χ是（ABC ）
（A ）[,]a b 上的符号函数 （C ）E 上的中断函数
（B ）[,]a b 上的可测函数 （D ）[,]a b 上的中断函数
20． 设()f x 是[,]a b 上的单调函数,则（ACD ）
（A ）()f x 是[,]a b 上的有界变差函数 （B ）()f x 是[,]a b 上的绝对中断函数
（C ）()f x 在[,]a b 上几乎处处收敛 （D ）()f x 在[,]a b 上几乎处处可导
21．设{[0,1]}E =中的有理点,则（ AC ）
（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集
（C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点
22．若()E R ⊆的外测度为0,则（ AB ）
（A ）E 是可测集（B ）0mE =
（C ）E 必定是可数集（D ）E 必定不是可数集
23．设mE <+∞,{}()n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列,()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数,假如()(),()n f x f x x E ⇒∈,则下列哪些成果不必定成立（ ABCD ）
（A ）()E f x dx ⎰消掉（B ）()f x 在E 上L -可积
（C ）.()()()a e n f x f x x E →∈（D ）lim ()()n E E
n f x dx f x dx →∞=⎰⎰ 24．若可测集E 上的可测函数()f x 在E 上有L 积分值,则（ AD ）
（A ）()()f x L E +∈与()()f x L E -∈至少有一个成立
（B ）()()f x L E +∈且()()f x L E -∈
（C ）|()|f x 在E 上也有L -积分值
（D ）|()|()f x L E ∈
三、单项选择 1．下列集合关系成立的是（ A ）
2．若n R E ⊂是开集,则（ B ）
4．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数,则（ B ）
5．下列集合关系成立的是（ A ）
6．若n R E ⊂是闭集,则（ C ）
7．设E 为无理数集,则（ C ）
A E 为闭集
B E 是不成测集
C mE =+∞
D 0m
E =
9．下列集合关系成立的是（B ）
10．设n R E ⊂,则( A )
11．设P 为康托集,则（ B ）
A P 是可数集
B 0mP =
C P 是不成数集
D P 是开集
13．下列集合关系成立的是（ A ） A 若A B ⊂则c c B A ⊂B 若A B ⊂则c c A B ⊂ C 若A B ⊂则A B B =D 若A B ⊂则A B B =
14．设n R E ⊂,则（ A ）
15．设(){},001E x x =≤≤,则（ B ） A 1mE =B 0mE =C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完全集
16．设()f x ,()g x 是E 上的可测函数,则（ B ） A ()()E x f x g x ⎡⎤≥⎣⎦不必定是可测集 B ()()E x f x g x ⎡⎤≠⎣⎦是可测集
C ()()E x f x g x ⎡⎤≤⎣⎦是不成测集
D ()()
E x f x g x ⎡⎤=⎣⎦不必定是可测集 １7．下列集合关系成立的是（A ）
（A ）(\)A B B A B = （B ）(\)A B B A =
（C ）(\)B A A A ⊆ （D ）\B A A ⊆
18. 若()n E R ⊆是开集,则 （ B ）
（A ）E 的导集E ⊆ （B ）E 的开核E =
（C ）E E = （D ）E 的导集E =
19. 设P 的康托集,则(C)
（A ）P 为可数集 （B ）P 为开集
（C ）0mP = （D ）1mP =
20、设E 是1R 中的可测集,()x ϕ是E 上的简单函数,则 （ D ）
（A ）()x ϕ是E 上的中断函数 （B ）()x ϕ是E 上的单调函数
（C ）()x ϕ在E 上必定不成L 积 （D ）()x ϕ是E 上的可测函数
21．下列集合关系成立的是（ A ）
（A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =∅ （C ）(\)B A A =∅ （D ）A B A B ⊆ 22. 若()n E R ⊆是闭集,则 （ B ）
（A ）0E E = （B ）E E = （C ）E E '⊆ （D ）E E '= 23. 设Q 的有理数集,则（ C ）
（A ）0mQ > （B ）Q 为闭集 （C ）0mQ = （D ）Q 为不成测集
24.设E 是n R 中的可测集,()f x 为E 上的可测函数,若()0E
f x dx =⎰,则
（ A ）
（A ）在E 上,()f x 不必定恒为零 （B ）在E 上,()0f x ≥ （C ）在E 上,()0f x ≡ （D ）在E 上,()0f x ≠ 四、判断题 1.
可
数
个
闭
集
的
并
是
闭
集
.
（ × ） 2.
可
数
个
可
测
集
的
并
是
可
测
集
.
（ √ ） 3.
相
等
的
集
合
是
对
等
的
.
（ √ ）
4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ √ ）
5.
可
数
个
F σ
集的交是
F σ
集.
（× ）
6. 可数个可测函数的和使可测函数. （√ ）
7. 对等的集合是相等的. (× )
8. 称()()
,
f x
g x在E上几乎处处相等是指使()()
f x
g x
=的x全体是零
测集. （× ）
9. 可数个G
σ集的并是G
σ
集.
（√ ）
10. 零测集上的函数是可测函数. （√ ）
11. 对等的集合不必定相等. （√ ）
12. 称()()
,
f x
g x在E上几乎处处相等是指使()()
f x
g x
≠的x全体是
零测集.（√ ）
13. 可数个开集的交是开集
（× ）
14. 可测函数不必定是中断函数. （√ ）
15. 对等的集合有相同的基数. （√ ）
16. 称()()
,
f x
g x在E上几乎处处相等是指使()()
f x
g x
≠的x全体的
测度大于0 （ × ） 17.
可
列
个
闭
集
的
并
集
仍
为
闭
集
（ × ）
18. 任何无限集均含有一个可列子集 （ √ ）
19. 设E 为可测集,则必定消掉G σ集G ,使E G ⊆,且()\0m G E =. （ √ ）
20. 设E 为零测集,()f x 为E 上的实函数,则()f x 不必定是E 上的可测函数（ × ） 21. 设()f x 为可测集E
上的非负可测函数,则()()f x L E ∈
（ × ） 22.
可
列
个
开
集
的
交
集
仍
为
开
集
（× ） 23.
任
何
无
限
集
均
是
可
列
集
（ × ）
24. 设E 为可测集,则必定消掉F σ集F ,使F E ⊆,且()\0m E F =. （ √ ）
25. 设E 为零测集,则()f x 为E 上的可测函数的充要前提是：
∀实数a
都有
()E x f x a ⎡≥⎤⎣⎦
是可测集
（ √ ）
26. 设()f x 为可测集E
上的可测函数,则()E
f x dx ⎰必定消掉.
（ × ）
五、简答题
1. 简述无限分离有基数最小的集合,但没有最大的集合.
答：因为任何无限集均含有可数集,所以可数集是无限分离基数最小的,但无限集没有基数最大的,这是因为任何集合A ,A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.
2. 简述点集的鸿沟点,聚点和内点的关系.
答: 内点必定是聚点,鸿沟点不必定是聚点,点集的鸿沟点或为孤立点或为聚点.
3. 简单函数、可测函数与中断函数有什么关系？
答：中断函数必定是可测函数；简单函数必定是可测函数；简单函数可暗示成简单函数或中断函数的极限
4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？
答：单调函数是有界变差函数,有界变差函数可暗示成两个单调增函数之差.
5. 简述集合对等的基赋性质. 答：A
A ；若A
B ,则B
A ；若A
B ,且B
C ,则A C .
6. 简述点集的内点、聚点、鸿沟点和孤立点之间关系.
答：内点必定是聚点,内点不是孤立点,鸿沟点由点集的孤立点和聚点组成.
7. 可测集与开集、G σ集有什么关系？
答：设E 是可测集,则0ε∀>,∃开集G ,使G E ⊃,使()\m G E ε<,或
∃G σ集G ,使G E ⊃,且()\0m G E =.
8. [],a b 上单调函数、有界变差函数与绝对中断函数有什么关系？ 答：绝对中断函数是有界变差函数,反之不然；有界变差函数是单调增函数的差,而单调函数是有界变差函数. 9. 简述证实集合对等的伯恩斯坦定理. 答：若A B B *⊂,又B A A *⊂,则A B
10. 简述1R 中开集的机关.
答: 设G 为1R 中开集,则G 可暗示成1R 中至多可数个互不订交的开区间的并.
11. 可测集与闭集、F σ集有什么关系？ 答：设E 是可测集,则0ε
∀>,∃闭集F E
⊂,使()\m E F ε<或∃F σ集
F E ⊂,使()\0m E F =.
12. 为什么说绝对中断函数几乎处处可微？
答：因为绝对中断函数是有界变差,由若当分化定理,它可暗示成两个单调增函数的差,而单调函数几乎处处有有限的导数,所以绝对中断函数几乎处处可微.
13. 简述中断集的基数大于可数集的基数的情由.
答:中断集是无限集,因而包含可数子集,又中断集是不成数集,所以中断集的基数大于可数集的基数. 14. 简述n R 中开集的机关.
答：n R 中开集可暗示成可数个互不订交的半开半闭区间的并 15. 可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？ 答：设()(),n f x f x 是可测集E 上的一列可测函数,那
当mE <+∞时,()(),.n f x f x a e →于E ,必有()()n f x f x ⇒.
反之不成立,但不管mE <+∞照样mE =+∞,(){}n f x 消掉子列(){}k
n f x ,
使()(),.k
n f x f x a e →于E .
当mE <+∞时,()(),.n f x f x a e →于E ,由Egoroff 定理可得()n f x 近一致收敛于()f x ,反之,无需前提mE <+∞,结论也成立. 16. 为什么说有界变差函数几乎处处可微？
答：由若当分化定理,有界变差函数可暗示成两个单调增函数的差,而单调函数几乎处处可微,所以有界变差函数几乎处处可微. 17. 简述无限多个开集的交集是否必为开集？
答：不必定,如[]1
111,11,1n n
n +∞=⎛⎫---+=- ⎪⎝
⎭
18. 可测集E 上的可测函数与简单函数有什么关系？
答：简单函数必是可测函数但可测函数不必定是简单函数,可测函数必定可暗示成简单函数列的极限形式.
19.[],a b 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？
答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不必定为单调函数,有界变差函数可暗示成单调函数之差.
20. 简述无限多个闭集的并集是否必为闭集？
答：不必定 如()1
111,11,1n n
n +∞=⎡⎤---+=-⎢⎥⎣
⎦
21. 可测集E 上的可测函数与中断函数有什么关系？
答：E 上中断函数必为可测函数但E 上的可测函数不一准时中断函数,E 上可测函数在E 上是“底子上”中断的函数
22.[],a b 上的绝对中断函数与有界变差函数有什么关系？
答：绝对中断函数必为有界变差函数但有界变差函数不必定为绝对中断函数 六、计算题 1. 设
()[]23
0,1\x x E f x x
x E
⎧∈⎪
=⎨∈⎪⎩,个中E 为[]0,1中有理数集,求
()[]
0,1f x dx ⎰.
解：因为0mE =,所以()3,.f x x a e =于[]0,1,于是
()[]
[]
30,10,1f x dx x dx =
⎰
⎰
,
而3x 在[]0,1上中断,从而黎曼可积,故由黎曼积分与勒贝格积分的关系, 是以
()[]
0,11
4
f x dx =
⎰
. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数,(){}[]{}
12121
,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨
∈⎪⎩,求
()[]
0,1lim
n
n f x dx →∞
⎰.
解：显然()n f x 在[]0,1上可测,别的由()n f x 定义知,()0,.n f x a e =于
[]0,1()1n ≥
所以
()[]
[]
0,10,100n
f x dx dx ==⎰⎰
是以()[]
0,1lim
0n
n f x dx →∞
=⎰.
3. 设()[]2sin 0,1\x
x P f x x x P ∈⎧=⎨∈⎩,P 为康托集,求()[]
0,1f x dx ⎰.
解：因为0mP =,所以()2,.f x x a e =于[]0,1 于是
()[]
[]
20,10,1f x dx x dx =
⎰
⎰
而2x 在[]0,1上中断,所以 是以
()[]
0,113f x dx =⎰. 4. 设()()
[]22sin ,0,11n nx nx f x x n x =
∈+,求()[]
0,1lim n n f x dx →∞⎰. 解：因为()n f x 在[]0,1上中断,所以可测()1,2,n = 又()()[]2222
sin 1
,0,1,1,2,1122
n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =≤≤=
∈=++
而22
lim
01n nx
n x →∞
=+,所以()lim 0n n f x →∞=.
是以由有界控制收敛定理 5. 设
()3
cos 0,\2x x E f x x x E π⎧∈⎪=⎨
⎡⎤
∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩
,E 为0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
中有理数集,求
()0,2f x dx π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
⎰.
解：因为0mE =,所以()cos ,.f x x a e =于[]0,1 于是
()0,0,22cos f x dx xdx ππ
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
=⎰⎰
而cos x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上中断,所以黎曼可积,由牛顿莱布尼公式
是以
()0,21f x dx π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
=⎰
6. 设()()
[]22cos ,0,11n nx nx f x x n x =
∈+,求()[]
0,1lim n n f x dx →∞⎰. 解：因为()n f x 在[]0,1上中断,所以可测()1,2,n = 又()()[]2222
cos 1
,0,1,1,2,1122
n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =≤≤=
∈=++
而22
lim
01n nx
n x →∞
=+,所以()lim 0n n f x →∞=.
是以由有界控制收敛定理
7. 设
()[]3
sin 0,1\x x P f x x
x P
⎧∈⎪=⎨
∈⎪⎩,P 为康托集,求
()[]
0,1f x dx ⎰.
解：因为0mP =,所以(),.f x x a e =于[]0,1 于是
()[]
[]
0,10,1f x dx xdx =⎰⎰
而x 在[]0,1上中断,所以 是以
()[]
0,11
2
f x dx =
⎰
. 8. 求()()
0,ln lim
cos x
n n x n e xdx n -→∞+⎰. 解：令
()()()()0,ln cos x
n n x n f x x e x n
χ-+=
显然()n f x 在()0,+∞上可测,且 因为()()()
()ln ln cos ,0,,1,2,x n x n x n f x e x x n n n
-++≤
≤
∀∈+∞=
不难验证()()
ln n x n g x n
+=
,当n 足够大时,是单调递减非负函数,且 ()lim 0n n g x →∞
=,所以
由勒贝格控制收敛定理 故()()
0,ln lim cos 0x
n n x n e xdx n -→∞
+=⎰. 9. 设()[]
[]1
01001x D x x ⎧⎪=⎨
⎪⎩为，上的有理点为，上的无理点
,求
()[]01D x dx ⎰，
.
证实 记1E 是[]0,1中有理数集,2E 是[]0,1中无理数集,则
[]1
21
20,1,E E E E ==∅,120,1mE mE ==,且()1210E E D x χχ=+,
所以
()[]
1
20,1100D x dx mE
mE =+=⎰.
10 求()0
ln lim
cos x
n x n e xdx n
+∞
-→∞+⎰. 证实 易知()ln lim
cos 0x
n x n e x n
-→∞+= 对随便率性0,1x n ≥≥,()()
ln ln cos x x n x n e x n n
-++≤
设()
ln ()x y f y y
+=
,0y >,则()2
ln ()y
x y x y
f y y -++'=,
当3y ≥时,()1ln y
x y x y
<<++,()0f y '<. 则
()ln ()x n f n n +=是单调减函数且非负（3n ≥）；
又()ln 1
lim
lim 0n n x n n x n
→∞
→∞+==+,由Levi 单调收敛定理得 ()()0
00ln ln lim lim 00n n x n x n dx dx dx n n
+∞
+∞+∞→∞→∞++===⎰
⎰⎰,即()
ln ()x n L E n +∈, 再由Lebsgue 控制收敛定理得 11. 设
()[]23
0,1x x P
f x x
x P ⎧∈⎪=⎨∈-⎪⎩,个中P 为康托集,求()[]01f x dx ⎰，
.
解：因为P 为康托集,故0mP =,[]()0,1\1m P = 所以()[]320,1P P f x x x χχ-=+ 所以
()[]
[]()2
3
3
0,10,1f x dx x mP x m P x
=+-=⎰
12. 求()[]22
,0,11n nx
f x E n x =
=+,求()lim n n E
f x dx →∞⎰. 解：易知：[]()22
lim
00,11n nx
x n x →∞=∈+
令
()()222
1
,1n nx f x g x n x x
==+,
则()()()2
223222
222222
1110111n nx n x nx n x nx g x f x nx nx x n x x x n x n x
+-+--=-==≥+++ 所以()()[]()00,1,1n f x g x x n ≤≤∈≥ 又因为()g x 在[]0,1上Lebesgue 可积, 所以由控制收敛定理,得 22
lim 001n E E
nx
dx dx n x →∞==+⎰⎰ 七、证实题
1．证实集合等式：(\)A B B A B = 证实
2．设E 是[0,1]中的无理数集,则E 是可测集,且1mE =
证实 设F 是[0,1]中的有理数集,则F 是可数集,从而*0m F =,是所以F 可测集,从而c F 可测,又[0,1]\[0,1]c E F F ==,故E 是可测集.因为E F =∅,所以
1[0,1]()0m m E
F mE mF mF ===+=+,故1mF =
3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数,则[|()()]E x f x g x >是可测集 证实 设{}n r 为全体有理数所成之集,则
因为(),()f x g x 是E 上的可测函数,所以[|()]n E x f x r ≥,[|()]n E x g x r <是可测集,1,2,n =,于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是
E
上的可测函数,则对任何常数
a >,有
1
[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a
≥≤
⎰ 证实 因为()f x 在E 上可测,所以|()|f x 在E 上非负可测,由非负可测函数积分性质,
而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰,所以
5．设()f x 是E 上的L -可积函数,{}n E 是E 的一列可测子集,且
lim 0n n mE →∞
=,则
证实 因为lim 0n n mE →∞
=,所以0,1N δ∀>∃≥,当n N ≥时,n mE δ<,又()f x 在
E
上
L -
可积,所以由积分的绝对中断性,0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ
⊂<时|()|e f x dx ε<⎰
于是当n N ≥时,n mE δ<,是以|()|n
E f x dx ε<⎰,即lim ()0n
E
n f x dx →∞=⎰
6．证实集合等式：\(\)A A B A B =
证实 \(\)()(())()c c c c c c A A B A A B A A B A A B === 7．设12,A A 是[0,1]的可测子集,且121mA mA +>,则12()0m A A >
证实 因为12[0,1],[0,1]A A ⊂⊂,所以12[0,1]A A ⊂,于是
1
2()[0,1]1m A A m ≤=
另一方面,121122[\()]A A A A A A =,所以
()1
211
2211
2211
22
()[\()][\()]()m A A m A A A A m A A A mA mA m A A mA ==+=-+ 于是121212()()0m A A mA mA m A A =+->
8．设()f x 是定义在可测集n E R ⊂上的实函数,n E 为E 的可测子集（1,2,n =）,且1
n
n E E ∞
==,则()f x 在E 上可测的充要前提是()f x 在每
个n E 上可测
证实 对任何实数a ,因为
所以()f x 在E 上可测的充要前提是对每个1,2,n =,()f x 在每个
n E 上可测
9．设()f x 是
E
上的可测函数,则对任何常数
a >,有
()[|()]a f x E
mE x f x a e e dx -≥≤⎰
证实 因为()f x 在E 上可测,所以()f x e 长短负可测函数,于是由非负可测函数积分性质,()()[|()][|()]a f x f x E x f x a E x f x a E e dx e dx e dx ≥≥≤≤⎰⎰⎰
而[|()][|()]a a E x f x a e dx e mE x f x a ≥=⋅≥⎰, 所以 ()[|()]a f x E mE x f x a e e dx -≥≤⎰
10．设()f x 是E 上的可积函数,{}n E 为E 的一列可测子集,mE <+∞,
假如lim n n mE mE →∞
= 则lim ()()n
E
E n f x dx f x dx →∞=⎰⎰
证实 因()f x 在E 上L -可积,由积分的绝对中断性知,对随便率性
0ε>,消掉0δ>,对任何A E ⊆,当mA δ<时有|()|A
f x dx ε<⎰,因为
lim n n mE mE →∞
=<+∞,故对上述的0δ>,消掉0k ,当0n k >时n E E
⊆,且有
()n n mE mE m E E δ-=-<,于是
|()()||()|n
n
E
E E E f x dx f x dx f x dx ε--=<⎰⎰⎰
,
即 lim ()()n
E
E n f x dx f x dx →∞=⎰⎰
11．证实集合等式：()\(\)(\)A B C A C B C =
证实 ()\()()()(\)(\)c c c A B C A B C A C B C A C B C === 12．设n E R ⊂是零测集,则E 的任何子集F 是可测集,且0mF = 证实 设
F E
⊂,*0m E =,由外测度的单调性和非负
性,*00m F mE ≤≤=,所以
*0m F =,于是由卡氏前提易知F
是可测集
13．设(),(),(),()n n f x g x f x g x 是E 上几乎处处有限的可测函数,且
()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒,则()()()()n n f x g x f x g x +⇒+
.证实 对任何正数0σ>,因为
所以[|(()())(()())|]n n E x f x g x f x g x σ+-+≥ 于是[|(()())(()())|]n n mE x f x g x f x g x σ+-+≥ 故()()()()n n f x g x f x g x +⇒+
14．设(),()f x g x 是E 上L -可积函数,
E 上也是L -可积的
证实 因(),()f x g x 是E 上L -可积,所以|()|,|()|f x g x 在E 上L -可积,从而
|()||()|f x g x +L -可积,
|()||()|f x g x ≤=+
E 上L -可积
15．设()f x 是可测集E 上的非负可测函数,假如()0E f x dx =⎰,则
()0
.f x a e =于E
证实 反证,令[|()0]A E x f x =>,则由()f x 的可测性知,A 是可测集.下证0mA =,若不然,则0mA >
因为1
1
[|()0][|()]n A E x f x E x f x n ∞
==>=≥,所以消掉1N ≥,使
于
是
1
1
[|()][|()]111()()[|()]0E
E x f x E x f x N
N
d f x dx f x dx dx mE x f x N N N N ≥
≥≥≥=≥=>⎰
⎰⎰
是以()0E f x dx >⎰,抵触,故()0
.f x a e =于E
16．证实等式：\()(\)(\)A B C A B A C = 证实
17．设n E R ⊂是有界集,则*m E <+∞
.证实 因为E 是有界集,所以消掉开区间I ,使E I ⊂
由外测度的单调性,**m E m I ≤,而*||m I I =<+∞（个中||I 暗示区间I 的体积）,所以 *m E <+∞ 18．1R 上的实值中断函数()f x 是可测函数
证实 因为()f x 中断,所以对任何实数a ,{|()}x f x a >是开集,而开集为可测集,是所以()f x 可测函数
19．设mE <+∞,函数()f x 在E 上有界可测,则()f x 在E 上L -可积,从而[,]a b 上的中断函数是L -可积的 证实 因为()f x 在
E
上有界可测,所以消掉
M >,使
|()|f x M
<,x E ∈,|()|f x 长短负可测函数,由非负可测函数的积分单
调性,
故|()|f x 在E 上L -可积,从而()f x 在E 上L -可积
因为[,]a b 上的中断函数是有界可测函数,所以L -可积的
20．设()n f x （1,2,n =）是E 上的L -可积函数,假如lim |()|0n
n E
n f x dx →∞=⎰,则()0n f x ⇒
证实 对任何常数0σ>,[|()|][|()|]|()|n
n n E x f x mE x f x f x dx σσσ≥⋅≥≤⎰
所以 [|()|]
1
[|()|]|()|n n n E x f x mE x f x f x dx σσσ≥≥≤⎰
是以 ()0n f x ⇒
21. 证实集合等式 ：()()()\\\A B C A C B C =. 证实 ()()()
()()
()\\\c c c A B C A B C A C B C A C B C ===
22. 设[]{}00,1E =中的有理点,则0E 为可测集且00mE =.
证实 因为0E 为可数集,记为{}012,,,n E r r r =,
0ε∀>,取()11,1,2,
22n n n n n I r r n εε++⎛
⎫=--= ⎪⎝
⎭
显然 01
n n E I +∞=⊂
,所以001
1
102
n n n
n n n E I m E I ε
ε+∞
+∞
+∞*
===⊂
≤≤==∑∑
,
让0ε→,得00m E *=.
n T R ∀∈,因为()
()00c T T
E T E =
所以()()00c m T m T E m T E ***≤+.
又00,0c T E T m E *⊆=,所以()()()000c c m T m T E m T E m T E ****≥=+. 故()()00c m T m T E m T E ***=+ 故0E 为可测集,且00mE =
23. 证实：1R 上的实值中断函数()f x 必为1R 上的可测函数
证实 1,a b R ∀∈,无妨假设a b <,因为()f x 是1R 上的中断函数,故
()f x 是[],a b 上的中断函数,记[],F a b =,由()f x 在F 上中断,则(),M m m M ∃<,使()m f x M ≤≤,则显然易证,()1,R F f αα∀∈≥是闭集,
即()f x 为[],a b 上的可测函数,
由,a b 的随便率性性可知,()f x 是1R 上的可测函数.
24. 设()()f x L E ∈,{}n E 为E 的一列可测子集,mE <+∞ ,假如
lim n n mE mE →∞
=,则()()lim n
n E E
f x dx f x dx →∞
=⎰⎰.
证实 因()f x 在E 上L 可积,由积分的绝对中断性知,对随便率性
0ε>,消掉0δ>,对任何A E ⊆,当mA δ<时有|()|A
f x dx ε<⎰,因为
lim n n mE mE →∞
=<+∞,故对上述的0δ>,消掉0k ,当0n k >时n E E
⊆,且有
()n n mE mE m E E δ-=-<,于是
\|()()||()|n
n
E
E E E f x dx f x dx f x dx ε
-=<⎰⎰⎰
,即
25. 证实集合等式 ：()()()\\\A B C A B A C =. 证实
26. 设1E R ⊆,且0m E *=,则E 为可测集. 证实 n T R ∀∈,因为()()n c T R T T E T E ∀∈=
所以()()c m T m T E m T E ***≤+.
又,0c T E T m E *⊆=,所以()()()c c m T m T E m T E m T E ****≥=+. 故()()c m T m T E m T E ***=+ 所以为E 可测集
27. 证实：1R 上的单调函数()f x 必为可测函数.
证实 1,a b R ∀∈,无妨假设a b <,因为()f x 是1R 上的单调函数,无妨设()f x 为单调增函数,故()f x 是[],a b 上的单调增函数,即
()()121212,,,x x E x x f x f x ∀∈<≤,
则1R α∀∈,有
1） 当()sup x E
f x α
∈≤时,();E x f x α⎡>⎤=∅⎣⎦ 2） 当()inf x E
f x α
∈>时,();E x f x E α⎡>⎤=⎣⎦
3） 当()()inf sup x E
x E
f x f x α∈∈≤<时,必有10x E
R ∈,使
()()000,f x f x αα+>≤或()()000,0f x f x αα+≥-<.
由()f x 的单调增知,()0(),E x f x E x α⎡>⎤=+∞⎣⎦或[)0,E x +∞. 在所有情况下,()E x f x α⎡>⎤⎣⎦都可测. 等于()f x [],a b 上的可测函数.
由由,a b 的随便率性性可知,()f x 是1R 上的可测函数.
28. 设()f x 为可测集n E R ⊆上的可测函数,则()()f x L E ∈的充要前提()()f x L E ∈.
证实 需要性 若()()f x L E ∈, 因为()()()f x f x f x +-=+,且()()f x L E ∈
所以()(),E
E
f x dx f x dx +-⎰⎰中至少有一个是有限值,
故()()()E
E
E
f x dx f x dx f x dx +-=+⎰⎰⎰
即()()f x L E ∈
充分性 若()()f x L E ∈
因为()()()f x f x f x +-=-,且()()f x L E ∈
所以()(),E
E
f x dx f x dx +-⎰⎰中至少有一个是有限值,
故()()()E
E
E
f x dx f x dx f x dx +-=-⎰⎰⎰,
即()()f x L E ∈.。