实变函数题库集答案

实变函数试题库及参考答案 本科之马矢奏春创作

一、题

1．设,A B 为集合,则()\A B B =A B （用描述集合间关系的符号填写）

2．设A 是B 的子集,则A ≤B （用描述集合间关系的符号填写）

3．假如E 中聚点都属于E ,则称E 是闭集

4．有限个开集的交是开集

5．设1E 、2E 是可测集,则()12m E E ≤12mE mE +（用描述集合间关系

的符号填写）

6．设n E ⊂是可数集,则*m E =0

7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,假如1a ∀∈

,()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦

是可测集,则称()f x 在E 上可测

8．可测函数列的上极限也是可测函数 9．设()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒,则()()n n f x g x +⇒()()f x g x + 10．设()f x 在E 上L 可积,则()f x 在E 上可积

11．设,A B 为集合,则()\B A A ⊃A （用描述集合间关系的符号填写）

12．设{}211,2,A k k =-=,则A =a （个中a 暗示自然数集N 的基数）

13．设n E ⊂,假如E 中没有不属于E ,则称E 是闭集

14．随便率性个开集的并是开集

15．设1E 、2E 是可测集,且12E E ⊂,则1mE ≤2mE

16．设E 中只有孤立点,则*m E =0

17．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,假如1a ∀∈,()E x f x a ⎡⎤<⎣⎦

是可测,则称()f x 在E 上可测

18．可测函数列的下极限也是可测函数 19．设()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒,则()()n n f x g x ⇒()()f x g x

20．设()n x ϕ是E 上的单调增收敛于()f x 的非负简单函数列,则()E f x dx =⎰()lim n

E n x dx ϕ→∞⎰ 21．设,A B 为集合,则()\A B B ⊃B

22．设A 为有理数集,则A =a （个中a 暗示自然数集N 的基数）

23．设n E ⊂,假如E 中的每个点都是内点,则称E 是开集

24．有限个闭集的交是闭集

25．设n E ⊂

,则*m E ≥0 26．设E 是n 中的区间,则*m E =E 的体积

27．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,假如1a ∀∈

,()E x f x a ⎡⎤≤⎣⎦

是可测集,则称()f x 在E 上可测

28．可测函数列的极限也是可测函数

29．设()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒..a e ,则()n f x ⇒()g x 30．设()n f x 是E 上的非负可测函数列,且单调增收敛于()f x ,由勒维定理,有

31．设,A B 为集合,则()\B A B A =A B

32．设A 为无理数集,则A =c （个中c 暗示自然数集[]0,1的基数）

33．设n E ⊂,假如E 中没有不是内点的点,则称E 是开集

34．随便率性个闭集的交是闭集

35．设n E ⊂,称E 是可测集,假如n T ∀⊂,()**m T m T E =+()*c m T E

36．设E 是外测度为零的集合,且F E ⊂,则*m F =0

37．设()f x 是定义在可测集

E 上的实函数,假如1a ∀∈,()E x a f x b ⎡⎤≤<⎣⎦是可测,（a b ≤）则称()f x 在E 上可测

38．可测函数列的上确界也是可测函数

39．设()()n f x f x ⇒,()()n g x g x ⇒..a e ,则()()n n f x g x ⇒()()f x g x

40．设()()n f x f x ⇒,那么由黎斯定理,(){}n f x 有子列()k n f x ,使()()k n f x f x →..a e 于E

41.设,A B 为两个集合,则__c A B A B -.（等于）

42.设n E R ⊂,假如E 知足E E '⊆(个中E '暗示E 的导集),则E 是闭.

43.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个组成区间,则(,)αβ满(i)(a,b)G ⊆ (ii),a G b G ∉∉

44.设A 为无限集.则A 的基数__A a (个中a 暗示自然数集N 的基数) 答案：≥

45.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 答案：≥

46.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,若对随便率性实数a ,都有[()]E x f x a >是可测集E 上的可测函数.

47.设0x 是E (R ⊆)的内点,则*__0m E . 答案>

48.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ⇒∈,则由____黎斯__定理可知得,消掉{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()()()k a e n f x f x x E →∈.

49.设()f x 为可测集E (n R ⊆)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分

值不必定消掉且|()|f x 在E 上不必定L 可积.

50.若()f x 是[,]a b 上的绝对中断函数,则()f x 是[,]a b 上的有界变差函数.

51．设,A B 为集合,则___(\)A B B A A 答案=

52．设n E R ⊂,假如E 知足0E E =（个中0E 暗示E 的内部）,则E 是开集

53．设G 为直线上的开集,若开区间(,)a b 知足(,)a b G ⊆且,a G b G ∉∉,则(,)a b 必为G 的组成区间

54．设{|2,}A x x n n ==为自然数,则A 的基数=a (个中a 暗示自然数集N 的基数)

55．设,A B 为可测集,B A ⊆且mB <+∞,则__(\)mA mB m A B - 答案 =

56．设()f x 是可测集E 上的可测函数,则对随便率性实数,()a b a b <,都有[()]E x a f x b <<是可测集

57．若()E R ⊆是可数集,则__0mE 答案=

58．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,()f x 为E 上的可测函数,假如.()()()a e n f x f x x E →∈,则()()n f x f x ⇒x E ∈不必定成立

59． 设()f x 为可测集()n E R ⊆上的非负可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值必定消掉

60．若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数,则()f x 必可暗示成两个递增函数的差（或递减函数的差）

多项选择题（每题至少有两个以上的精确答案）

1．设[]{}0,1E =中无理数,则（ ACD ）