-非线性电路混沌现象的探究以及基于Multisim的仿真设计

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非线性电路混沌现象的探究以及基于Multisim的仿真设计
一、引言
混沌是二十世纪最重要的科学发现之一，被誉为继相对论和量子力学之后的第三次物理革命，它打破了确定性与随机性之间不可逾越的分界线，将经典力学研究推进到一个崭新的时代。

由于混沌信号是一种貌似随机而实际却是由确定信号系统产生的信号，使得混沌在许多领域（如保密通信，自动控制，传感技术等）得到了广泛的应用[1]。

20多年来混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序性和无序的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了人们对客观世界的认识。

目前混沌控制与同步的研究成果已被用来解决秘密通信、改善和提高激光器性能以及控制人类心律不齐等问题。

混沌(chaos)作为一个科学概念，是指一个确定性系统中出现的类似随机的过程。

理论和实践都证明，即使是最简单的非线性系统也能产生十分复杂的行为特性，可以概括一大类非线性系统的演化特征。

混沌现象出现在非线性电路中是极为普遍的现象，通过改变电路中的参数可以观察到倍周期分岔、阵法混乱和奇异吸引子等现象。

二、混沌电路简介
对电路系统来说，在有些二阶非线性非自治电路或三阶非线性自治电路中，出现电路的解既不是周期性的也不是拟周期的，但在状态平面上其相轨迹始终不会重复，但是有界的，而且电路对初始条件十分敏感，这便是非线性电路中的混沌现象。

根据Li-York定义，一个混沌系统应具有三种性质：
（1）存在所有阶的周期轨道；
（2）存在一个不可数集合，此集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐近周期轨道；
（3）混沌轨道具有高度的不稳定性。

可见，周期轨道与混沌运动有密切关系，表现在两个方面：
第一，在参数空间中考察定常的运动状态，系统往往要在参量变化过程中先经历一系列周期制度，然后进入混沌状态；
第二，一个混沌吸引子里面包含着无穷多条不稳定的周期轨道，一条混沌轨道中有许许多多或长或短的片段，它们十分靠近这条或那条不稳定的周期轨道。

根据文献[2][3]，混沌主要特征表现在：
（1）敏感依赖于初始条件；
（2）伸长与折叠；
（3）具有丰富的层次和自相似结构；
（4）在非线性耗散系统中存在混沌吸引子。

同时，混沌运动还具有如下特征：
（1）存在可数无穷多个稳定的周期轨道；
（2）存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道；
（3）至少存在一个不稳定的非周期轨道。

非线性电路是指电路中至少包含一个非线性元件的电路。

事实上一切实际
元件都是非线性的。

因为给任何元件上加足够大的电压或电流后都将破坏其线性。

实质上，确定系统受确定性激励，影响也可能是不确定的，这是由于运动对初始值的敏感性造成的。

三、实验原理
3.1蔡氏电路及其动力学方程
本实验采用的电路图如图1所示，即蔡氏电路。

蔡氏电路是由美国贝克莱大学的蔡少棠教授设计的能产生混沌行为的最简单的一种自制电路。

R 是非线性电阻元件，这是该电路中唯一的非线性元件，是一个有源负阻元件。

电容C2与电感L 组成一个损耗很小的振荡回路。

可变电阻1/G 和电容C1构成移相电路。

最简单的非线性元件R 可以看作由三个分段线性的元件组成。

由于加在此元件上的电压增加时，故称为非线性负阻元件。

图1 蔡氏电路
21221121-=dt
di i +)-(=•g -)-(=1
1
C L L C C C C C C C V L V V G dt dV C V V V G dt dV C 式中，G 代表可变电组的导纳，VC1、VC2分别表示加在电容上C1、C2上的电压，iL 表示流过L 的电流u ，g=1/R 表示非线性电阻R 的导纳。

实验时将G 取最小，用示波器观察VC1和VC2的李萨如图形，并可用双踪观察两电压详细曲线[4]。

3.2通向混沌道路方式简述
震荡系统一旦发生倍周期分岔必将导致混沌。

混沌是一种运动状态，从确定性系统通往混沌主要有倍周期分岔、阵发性、准周期等道路。

对于一位映射： )-1(=n 1+X X μX n n
当参数μ增加时出现周期分岔的过程，即周期1分岔出周期2，周期2又分岔出周期4……若周期倍分岔相邻3个分岔点的参数分别为：μn -1，μn，μn+1则当n→∞时，比值：
6992016091.4=--lim =n
1+n 1-n μμμμδn 这是一个无理常数，δ称为费根鲍姆常数。

3.3有源非线性负阻元件
有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用一种较为简单的电路，采用两个运算放大器（1个双运放TL082）和六个配置电阻来实现，其电路如图2，它主要是一个正反馈电路，能输出电流以维持振荡器不断震荡，而非线性负阻元件能使振荡周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。

四、实验仪器——NCE —1非线性电路混沌实验仪
本实验装置的核心是NCE-1非线性电路混沌实验仪，它是由非线性电路混沌实验电路板、-15～0～+15V 稳压电源和四位半数字电压表（0～20V ，分辨率1mV ）组成，装在一个仪器箱内。

非线性电路除电感外，全部焊接在一块电路板上。

实验还另配有电感测量盒（其内部及外部连线如图3）、双踪示波器、信号发生器和电阻箱各一个，电缆6根，三通1个。

混沌振荡电路板如上图，双运放TL082的前级和后级正负反馈同时存在，正反馈的强弱与比值R3/RV,R6/RV 有关，负反馈的强弱与比值R2/R1,R5/R4有关。

当正反馈大于负反馈时，振荡电路才能振荡。

若调节RV ，正反馈就发生变化，因为运放TL082处于振荡状态，所以是一种非线性应用，混沌振荡电路实际上是一个可调的特殊振荡器。

途中电感L 约为20mH 。

五、实验现象
5.1倍周期分叉和混沌现象的观察
打开机箱，按图1连接好实验装置后，用示波器测量李萨如图形。

讲RV=1/G 调节到某一较大值，这时出现一个斜椭圆，它表明系统开始自激振荡。

继续增加电导（减小可变电阻值1/G），此时将有1倍周期变化为2倍周期，即系统需要两个周期才恢复原状。

这在非线性理论中称为倍周期分岔。

它揭开了动力学系统步入混沌的“序幕”。

继续减小1/G的值，依次初现4倍周期和阵发混沌。

再减小1/G，出现3倍周期。

随着1/G值得进一步减小，系统将完全进入混沌区。

其运动轨线不再是周期性的，从屏幕上观察轨道的演化时，可以看到的轨道线在的绕行规律是随机的。

但是这种随机性与真正随机系统中不可预测的无规性又不相同。

因为相点貌似无规振荡，不会重复以走过的路，但并不以连续概分布在相平面上随机行走。

类似“线圈”的轨道本身是有界的，其极限集合呈现出奇特而美丽的性状，显然有某种规律。

我们仍把这时的解集和前面看到的周期成为一种吸引子。

此类吸引子与其他周期解得吸引子不同，通常称之为奇异吸引子或混沌吸引子[5]。

在实验中，我们观察到的图像记录如下：
一倍周期：两倍周期：
三倍周期：四倍周期：
阵发混乱：单吸引子：
双吸引子：
5.2非线性电阻测量
在实验中，将电路的LC 振荡部分与非线性电阻直接断开，因为负阻部分是含源的，所以可用一个电阻箱作电阻，只要直接测出加在非线性负阻的电压，并记录相应R 值，通过公式：
R
V I R R = V （v ） R(Ω)
V （v ） R （Ω） V （v ） R （Ω） -12.0 76000.0 -8.0 2061.8 -4.0
1798.5 -11.8 2152.0 -7.8 2053.2 -3.8
1774.6 -11.6 12330.0 -7.6 2044.4 -3.6
1749.0 -11.4 8530.0 -7.4 2035.1 -3.4
1721.5 -11.2 6450.0 -7.2 2025.4 -3.2
1691.5 -11.0 5145.0 -7.0 2015.2 -3.0
1623.8 -10.8 4248.0 -6.8 2009.6 -2.8
1585.4 -10.6 3591.0 -6.6 1993.4 -2.6
1542.8 -10.4 3091.0 -6.4 1981.6 -2.4
1495.8 -10.2 2699.0 -6.2 1969.3 -2.2
1443.6 -10.0 2384.0 -6.0 1956.2 -2.0
1385.5 -9.8 2130.0 -5.8 1942.5 -1.8
1320.0 -9.6 2118.9 -5.6 1928.1 -1.6
1306.4 -9.4 2112.7 -5.4 1912.7 -1.4
1304.9 -9.2 2106.2 -5.2 1896.6 -1.2
1302.8 -9.0 2099.5 -5.0 1879.3 -1.0
1300.1 -8.8 2092.6 -4.8 1861.1 -0.8
1295.9 -8.6 2085.3 -4.6 1841.5 -0.6
1288.9 -8.4 2077.8 -4.4 1820.8 -0.4
1275.2 -8.2 2069.9 -4.2 1798.5 -0.2
1235.6
六、 基于MultiSim 的蔡氏电路仿真
6.1 MultiSim 软件介绍
Multisim 是美国国家仪器（NI ）有限公司推出的以Windows 为基础的仿
真工具，适用于板级的模拟/数字电路板的设计工作。

它包含了电路原理图的图形输入、电路硬件描述语言输入方式，具有丰富的仿真分析能力。

这款软件具有如下特点：
①直观的图形界面：整个操作界面就像一个电子实验工作台，绘制电路所需的元器件和仿真所需的测试仪器均可直接拖放到屏幕上，轻点鼠标可用导线将它们连接起来，软件仪器的控制面板和操作方式都与实物相似，测量数据、波形和特性曲线如同在真实仪器上看到的；
②丰富的元器件：提供了世界主流元件提供商的超过17000多种元件，同时能方便的对元件各种参数进行编辑修改，能利用模型生成器以及代码模式创建模型等功能，创建自己的元器件。

③强大的仿真能力：以SPICE3F5和Xspice的内核作为仿真的引擎，通过Electronic workbench带有的增强设计功能将数字和混合模式的仿真性能进行优化。

包括SPICE仿真、RF仿真、MCU仿真、VHDL仿真、电路向导等功能。

④完备的分析手段：Multisimt提供了许多分析功能：它们利用仿真产生的数据执行分析，分析范围很广，从基本的到极端的到不常见的都有，并可以将一个分析作为另一个分析的一部分的自动执行。

集成LabVIEW和Signalexpress
快速进行原型开发和测试设计，具有符合行业标准的交互式测量和分析功能；这是软件的界面图：
对于蔡氏电路的仿真，在实验中，我们也已经尝试使用MatLab进行编程，除此之外，还有数种软件可以使我们进行仿真。

以下是一个列表，来比较其他软件的仿真与MultiSim的区别。

软件名称功能原
理图电路原
理图
波形图相图频谱图管理界
面
MultiSim 好好好很好很好无Matlab 很好无很好很好编程编程
VC 无无编程技
巧编程技
巧
编程编程技
巧
VB 无无编程技
巧编程技
巧
编程编程技
巧
Protel 最好最好好无好无Pspice 好好好好很好无VewSyste
m
好好好很好很好无
6.2 MultiSim仿真蔡氏电路的过程
运用MultiSim 10.0软件对蔡氏电路进行仿真，其具体步骤如下[6]：
1. 在菜单栏中的文件中，新建一个原理图“蔡氏电路仿真”，文件名的后缀名为“ms10”。

2.在菜单栏中的放置中，点击元件（Component），可以打开元件库，输入不同的型号与参数，可以轻松获得需要使用的元件。

将元件添加入工作区之后，还能右键点击鼠标，在菜单中，可以对元件进行翻转、替换等操作。

3.双击元件，点出元件参数修改菜单。

可以对元件的标识、参数、显示等等做出修改。

4. 按下Ctrl+Q，可以使用导线，将各个元器件连接起来，将鼠标指针在一个元件的端口点击一次之后，再在另一个元件的端口点击，即可完成连接。

5.蔡氏电路仿真所需要用到的元器件如下：
i)示波器
ii)电容：100nf一个，10nf一个；
iii)线性电阻6个：200Ω二个，22kΩ二个，2.2kΩ一个，3.3kΩ一个；
iv)电感：18mH一个；
v)运算放大器：五端运放TL083二个；
vi)可变电阻：可变电阻一个；
vii)稳压电源：9V的VCC二个，-9V的VEE二个；
viii)接地：接地一个；
选好元器件进行连接，然后对每个元器件进行参数设置，完成之后就可以对蔡氏电路进行仿真了。

双击示波器，可以看到示波器的控制面板和显示界面，在控制面板上可以通过相关按键对显示波形进行调节。

下面是搭建完电路的截图：
6.3 MultiSim仿真蔡氏电路的结果
蔡氏电路的运动形态因元件参数值的不同而具有不同的拓扑性质，可以把电路元件参数值看做控制参数而使蔡氏电路工作在不同的拓扑结构状态。

现在以其中的线性电阻R为例说明，将电阻R以从大到小的顺序进行讨论，重点讨论R在1.298kΩ~1.92kΩ这一范围的状态[7]。

先考虑R很大的情况，即R>1.92kΩ，电路状态变化中V1与V2相图为稳定焦点，呈蝌蚪型，为衰减振荡，这就是不动点。

R=1.92 kΩ时R=2.0 kΩ时R逐渐减小至1.911kΩ，此时等幅振荡：
R逐渐减小至1.910kΩ，增幅振荡开始，一倍周期：
当R=1.918kΩ~1.820kΩ时，两倍周期：
当R=1.819kΩ~1.818kΩ时：
当R=1.787kΩ时：
当R=1.786kΩ时：
通过R=1.787kΩ与R=1.786kΩ两个图像的对比，可以发现：当电路处于单涡旋混沌状态时，改变电路的初始状态，可以观察到向左和向右两种单涡旋混沌吸引子相图。

R持续减少至1.750kΩ时为单吸引子图形，这是电路第一次进入单吸引子混沌。

当R继续减小，当R=1.7165kΩ时，出现双吸引子混沌图形：
当R=1.349kΩ时：
当R=1.320kΩ时，呈单叶周期：
6.4基于MultiSim的非线性电阻伏安特性的测量
在实验中，我们将电路中的LC振荡部分与非线性电阻直接断开，因为负阻部分是含源的，因而用一个电阻箱作为电阻，测出加载非线性负阻上的电压，记录相应的R值，通过这个方法计算得非线性电阻的伏安特性。

在这里，我们通过MultiSim软件，来验证所获得的伏安特性曲线。

用如下电路：
图中，RN就是我们所需要进行研究的有源非线性负阻。

元件的详细参数如下原理图所示，运放的工作电源取±9V。

信号源为三角波，
其输出波幅从-3.75V至3.75V。

为测量电流i，在电路中串联了一个10Ω的取样
电阻R，其电压与电流成正比。

示波器记录的结果也如下图所示。

我们可以观察到，仿真得到的伏安特性曲线与通过实验数据绘制得出的伏
安特性曲线一致，基本相符。

八、结语
通过论文的撰写，我们对于非线性电路中的混沌现象有了进一步的认识。

在刚开始研究MultiSim 软件的研究时，我们也遇到了不少困难，但是通过不断的努力，我们最终也获得了理想中的现象。

本文设计了产生混沌现象的简单蔡氏电路，并从实验结果和MultiSim 软件仿真两个角度分别研究了蔡氏电路的不同运行状态进行了研究和结果的印证。

在混沌电路中，初态的变化，也就是R 的初始值的细微改变，也会对混沌现象产生质的改变，所以当我们也在获得各个混沌图像的过程中，花了相当多的精力。

参考文献
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术,2004,5:26-28.
[2] 王兴元.复杂非线性系统中的混沌[M].北京:电子工业出版社,2003,6. [3] 高金峰.非线性电路与混沌[M].北京:科学出版社,2005,4.
[4] 叶昕,张茂青,周纯.蔡氏电路的仿真研究[J].电工电气,2009,4:48-51. [5] 冉立新,陈抗生.蔡氏电路混沌信号频谱分布特征及其在电路设计中的应用
[J].电路与系统学报1998,3(1):8-13.
[6] 黄智伟，李传琦，邹其洪.基于NIMultisim10的电子电路计算机仿真设计
与分析[M].北京：电子工业出版社.2008.
[7] 黄培根. Multisim10虚拟仿真和业余制版实用技术[M].北京：电子工业出
版社,2008.。