-非线性电路混沌现象的探究以及基于Multisim的仿真设计

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非线性电路混沌现象的探究以及基于Multisim的仿真设计

一、引言

混沌是二十世纪最重要的科学发现之一，被誉为继相对论和量子力学之后的第三次物理革命，它打破了确定性与随机性之间不可逾越的分界线，将经典力学研究推进到一个崭新的时代。由于混沌信号是一种貌似随机而实际却是由确定信号系统产生的信号，使得混沌在许多领域（如保密通信，自动控制，传感技术等）得到了广泛的应用[1]。

20多年来混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序性和无序的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了人们对客观世界的认识。目前混沌控制与同步的研究成果已被用来解决秘密通信、改善和提高激光器性能以及控制人类心律不齐等问题。

混沌(chaos)作为一个科学概念，是指一个确定性系统中出现的类似随机的过程。理论和实践都证明，即使是最简单的非线性系统也能产生十分复杂的行为特性，可以概括一大类非线性系统的演化特征。混沌现象出现在非线性电路中是极为普遍的现象，通过改变电路中的参数可以观察到倍周期分岔、阵法混乱和奇异吸引子等现象。

二、混沌电路简介

对电路系统来说，在有些二阶非线性非自治电路或三阶非线性自治电路中，出现电路的解既不是周期性的也不是拟周期的，但在状态平面上其相轨迹始终不会重复，但是有界的，而且电路对初始条件十分敏感，这便是非线性电路中的混沌现象。

根据Li-York定义，一个混沌系统应具有三种性质：

（1）存在所有阶的周期轨道；

（2）存在一个不可数集合，此集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐近周期轨道；

（3）混沌轨道具有高度的不稳定性。

可见，周期轨道与混沌运动有密切关系，表现在两个方面：

第一，在参数空间中考察定常的运动状态，系统往往要在参量变化过程中先经历一系列周期制度，然后进入混沌状态；

第二，一个混沌吸引子里面包含着无穷多条不稳定的周期轨道，一条混沌轨道中有许许多多或长或短的片段，它们十分靠近这条或那条不稳定的周期轨道。

根据文献[2][3]，混沌主要特征表现在：

（1）敏感依赖于初始条件；

（2）伸长与折叠；

（3）具有丰富的层次和自相似结构；

（4）在非线性耗散系统中存在混沌吸引子。

同时，混沌运动还具有如下特征：

（1）存在可数无穷多个稳定的周期轨道；

（2）存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道；

（3）至少存在一个不稳定的非周期轨道。

非线性电路是指电路中至少包含一个非线性元件的电路。事实上一切实际

元件都是非线性的。因为给任何元件上加足够大的电压或电流后都将破坏其线性。实质上，确定系统受确定性激励，影响也可能是不确定的，这是由于运动对初始值的敏感性造成的。

三、实验原理

3.1蔡氏电路及其动力学方程

本实验采用的电路图如图1所示，即蔡氏电路。蔡氏电路是由美国贝克莱大学的蔡少棠教授设计的能产生混沌行为的最简单的一种自制电路。R 是非线性电阻元件，这是该电路中唯一的非线性元件，是一个有源负阻元件。电容C2与电感L 组成一个损耗很小的振荡回路。可变电阻1/G 和电容C1构成移相电路。最简单的非线性元件R 可以看作由三个分段线性的元件组成。由于加在此元件上的电压增加时，故称为非线性负阻元件。

图1 蔡氏电路

21221121-=dt

di i +)-(=•g -)-(=1

1

C L L C C C C C C C V L V V G dt dV C V V V G dt dV C 式中，G 代表可变电组的导纳，VC1、VC2分别表示加在电容上C1、C2上的电压，iL 表示流过L 的电流u ，g=1/R 表示非线性电阻R 的导纳。实验时将G 取最小，用示波器观察VC1和VC2的李萨如图形，并可用双踪观察两电压详细曲线[4]。

3.2通向混沌道路方式简述

震荡系统一旦发生倍周期分岔必将导致混沌。混沌是一种运动状态，从确定性系统通往混沌主要有倍周期分岔、阵发性、准周期等道路。对于一位映射： )-1(=n 1+X X μX n n

当参数μ增加时出现周期分岔的过程，即周期1分岔出周期2，周期2又分岔出周期4……若周期倍分岔相邻3个分岔点的参数分别为：μn -1，μn，μn+1则当n→∞时，比值：

6992016091.4=--lim =n

1+n 1-n μμμμδn 这是一个无理常数，δ称为费根鲍姆常数。

3.3有源非线性负阻元件

有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用一种较为简单的电路，采用两个运算放大器（1个双运放TL082）和六个配置电阻来实现，其电路如图2，它主要是一个正反馈电路，能输出电流以维持振荡器不断震荡，而非线性负阻元件能使振荡周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。

四、实验仪器——NCE —1非线性电路混沌实验仪

本实验装置的核心是NCE-1非线性电路混沌实验仪，它是由非线性电路混沌实验电路板、-15～0～+15V 稳压电源和四位半数字电压表（0～20V ，分辨率1mV ）组成，装在一个仪器箱内。非线性电路除电感外，全部焊接在一块电路板上。实验还另配有电感测量盒（其内部及外部连线如图3）、双踪示波器、信号发生器和电阻箱各一个，电缆6根，三通1个。

混沌振荡电路板如上图，双运放TL082的前级和后级正负反馈同时存在，正反馈的强弱与比值R3/RV,R6/RV 有关，负反馈的强弱与比值R2/R1,R5/R4有关。当正反馈大于负反馈时，振荡电路才能振荡。若调节RV ，正反馈就发生变化，因为运放TL082处于振荡状态，所以是一种非线性应用，混沌振荡电路实际上是一个可调的特殊振荡器。途中电感L 约为20mH 。