微积分总结下册

微积分(B II)总结

chapteｒ8 多元函数微分学

８、1 多元函数的极限

先瞧极限就是否存在(一个方向组(ｙ=kx)或两个方向趋近于极限点(给定方向必须当x满足极限过程时,ｙ也满足极限过程))。如果存在,能先求的先求,能用等价无穷小替换的就替换,最后考虑夹逼准则。

8、２偏导数

点导数定义(多用于分段函数的分界点)

f x (x,y)=lim

D x®0

f(x

+D x,y

)-f(x

,y

)

D x

f xx (x

,y

)=lim

D x®0

f

x

(x

+D x,y

)-f

x

(x

,y

)

D x

例:求f(x,y)=f

x

(0,0)

,就就是求分段函数的点偏导数

f(x,y)在(x

0,y

)连续,但偏导数不一定存在(如:锥)

8.３全微分

函数可微,则偏导数必存在(逆否命题可证明函数不可微,证明时,把右边前两项移到左边,瞧它就是不就是r的高阶无穷小)

D z=¶z

¶x

D x+

¶z

¶y

D y+o(r)

dz=¶z

¶x

dx+

¶z

¶y

dy

例:

对于某一点处的全微分,也可能要用到点导数。

8、４多元复合函数求导

8、4、1链式求导法则

z(x,y)=f(u(x,y),v(x,y))

¶z

¶x

=

¶f

¶u

¶u

¶x

+

¶f

¶v

¶v

¶x

链式求导法则要求函数对每个中间变量求偏导,乘以中间变量对自变量求偏导。而所谓函数对第一中间变量求偏导就就是说另外把两个中间变量瞧做不变。

小心:中间变量要带入,例:

(在计算z对u的偏导时,相当于把v,t瞧做不变)

这里的u,ｖ要带入(第三行),并且z就是具体的函数,所以在对中间变量求偏导数时,偏导数可以求出来

8、4.２隐函数求偏导

全微分性质的不变性

例:

①用全微分形式的不变性

两边同时取全微分,相当于(-xy)为中间变量,求出全微分后,直接出偏导

②想象ｚ=z(x,y)即z就是复合函数,两边对ｘ,y求导也能的出来(较慢)

8、5 隐函数求导公式

8、5、1 一个方程

F(x,y)=0=>dy

dx

=-

F

x

F

y

F(x,y,z)=0=>¶z

¶x

=-

F

x

F

z

,

¶z

¶y

=-

F

y

F

z

分母上的做函数,分子上的做一个自变量,对分子上的求偏导

如:

若求偏x,那就把方程瞧成z=z(x,y)对ｚ求导。注意,x,ｙy独立,然而z对x,y求导不就是0

8、5、2方程组

F(x,y,u,v)=0 G(x,y,u,v)=0

观察方程组,4个变量,两个等式,那么说有两个自由变量。让求¶u

¶y,就就是把方程

组瞧成u=u(x,ｙ),v＝v(x,y),上下对y求导。(把分母上的变量瞧做函数)

8、6空间曲线的几何应用

8、6、1空间曲线的切线与法平面

{x'

t ,y'

t

,z'

t

}

特殊地,

{1,y'

x

,z'

x

}

无论方程如何给出,弄出对ｘ或对ｔ的导数十分关键。注意,在某点处的切线方程在瞧方向向量时要把那个点带入

８、6、2曲面的切平面与法线

F(x,y,z)=0=>{F

x ,F

y

,F

z

}

,特殊地

z=f(x,y)=>{f

x ,f

y

,-1}

8.6、3 方向导数与梯度

¶z ¶l =

¶z

¶x

cos a+

¶z

¶y

cos b

即梯度与所给方向ｌ的方向向量的点

积

记住,如果求某一点的方向导数,要求的两个偏导数就就是点偏导数如果用此公式,需要z有一阶连续偏导数。

¶

f

¶

l =

lim

r®0

f(x+D x,y+D y)-f(x,y)

r

当ｌ的方向与梯度的方向一致时,方向导数的值最大,为梯度的摸8、7多元函数的极值

8.７、1多元函数极值

极值取在驻点处,或者在不可微的点处

如果出现(3)的情况,需要回归定义,

8.7.2多元函数最值

加上定义域边界上的值,与函数的极值比较

对于定义域无界的情况,要考虑ｘ,y逼近于无穷

8.7.３拉格朗日乘数法(条件极值)

z=f(x,y)

j(x,y)=0

构造方程,其中(x,y)

为驻点

记住:相当于构造F(x,y,l)=f(x,y)+lj(x,y),每一个方程就就是对每个自变量求导,然后再加上约束条件(也就就是对lamｂda求偏导)。求导时,一定要对j也求偏导。

至于这里的驻点如何为极值点,需要人为验证(回归定义)