微积分总结下册

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微积分知识点总结
微积分知识点总结如下：
1.极限：极限是微积分的基础，描述函数在某个点附近的趋势。

极限有多种计算方法，包括直接代入法、因式分解法、有理化法、夹逼定理等。

2.导数：导数表示函数在某一点处的变化率或斜率。

导数的计算方法有定义法、四则运算法则、链式法则、乘积法则、商法则等。

3.积分：积分表示函数在某个区间上的累积量或面积。

定积分等于被积函数在该区间上与x轴围成的面积。

积分的计算方法有反导数法、换元法、分部法、定积分性质等。

4.无穷级数：无穷级数表示无穷多项相加的表达式。

它可以分为收敛和发散两种类型，收敛级数有有限或无限的和，而发散级数的和是无穷大。

5.微分学：微分学是微积分的重要组成部分，包括函数的微分、微分法则、微分的应用等。

6.积分学：积分学是微积分的另一个重要部分，包括定积分、不定积分、积分的应用等。

7.多元函数微积分：多元函数微积分包括多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分、方向导数等，以及多元函数的积分和重积分等。

8.微分方程：微分方程是描述变量之间依赖关系的数学模型，包括一阶微分方程、高阶微分方程、线性微分方程和非线性微分方程等。

9.泰勒公式与麦克劳林公式：泰勒公式是一个将一个函数展开成无穷级数的公式，而麦克劳林公式则是泰勒公式的特殊形式。

10.幂级数与傅里叶级数：幂级数是一种无穷级数，可以用来展开函数；傅里叶
级数则是将一个函数展开成正弦和余弦函数的无穷级数。

微积分(下册)主要知识点汇总

一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ.二、常用凑微分公式三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下:当被积函数中含有a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c),22a x - 可令 .sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换tx 1=.四、积分表续 4.3分部积分法xu x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx xx f x d x f dx xx f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx xx f x d x f dx x x f a b ax d b axf a dx b ax f xx xx x x xx x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1)(ln .3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμμμμμμ分部积分公式：⎰⎰-=vdu uv udv (3.1) ⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数)..arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x e x mx e mx e mx x mx x n n n n mx n nx nx n n5.1定积分的概念 5.2定积分的性质两点补充规定：(a) 当b a =时, ;0)(=⎰badx x f (b) 当b a >时,⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(.性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f性质2 ,)()(⎰⎰=baba dx x f k dx x kf (k 为常数).性质3⎰⎰⎰+=bccab a dx x f dx x f dx x f )()()(.性质4 .1a b dx dx ba ba-==⋅⎰⎰性质5 若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤ 则,)()(⎰⎰≤babadx x g dx x f ).(b a <推论1 若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则 ,0)(≥⎰badx x f ).(b a <推论2 ).(|)(|)(b a dxx f dx x f baba<≤⎰⎰性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则).()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使).(),)(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ5.3微积分的基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数：⎰=Φxadt t f x )()(定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数⎰=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数. 三、牛顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰. (3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式.5.4定积分的换元法积分法和分部积分法一、定积分换元积分法定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足条件：（1）,)(,)(b a ==βϕαϕ且b t a ≤≤)(ϕ；（2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(. (4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2）求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了. 二、定积分的分部积分法⎰baudv ⎰-=bab a vdu uv ][ 或 ⎰'badx v u ⎰'-=bab a dx u v uv ][5.5广义积分一、无穷限的广义积分)()(|)()(a F F x F dx x f a a-+∞==∞++∞⎰)()(|)()(-∞-==∞-∞-⎰F b F x F dx x f b b)()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞∞-⎰F F x F dx x f二、无界函数的广义积分⎰⎰++→=ba ba dx x f dx x f εε)(lim )(0.)(lim)(0⎰⎰-+→=εεb aba dx x f dx x f5.6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U （总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ，任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +，求出相应于这个区间微元上部分量U ∆的近似值，即求出所求总量U 的微元 dx x f dU )(=；(2) 由微元写出积分根据dx x f dU )(=写出表示总量U 的定积分⎰⎰==bab adx x f dU U )(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性，即如果把区间],[b a 分成许多部分区间, 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部分量U ∆之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量U ∆的近似表达式dx x f )(，即使得U dU dx x f ∆≈=)(. 在通常情况下，要检验dx x f U )(-∆是否为dx 的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意dx x f dU )(=的合理性. 二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 θθd r dA 2)]([21=所求曲边扇形的面积 .)]([212θθϕβαd A ⎰=三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 ,)]([2dx x f dV π=所求旋转体的体积 .)]([2⎰=badx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 ,)(dx x A dV = 所求立体的体积 .)(⎰=ba dx x A V5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介一、空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来. 同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴，依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz （图6-1-1）. 空间直角坐标系有右手系和左手系两种. 我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中，如果曲面S 上任一点坐标都满足方程0),,(=z y x F ，而不在曲面S 上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程, 而曲面S 就称为方程0),,(=z y x F 的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程; (2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状. 平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1.3)来表示，反之亦然. 其中A 、B 、C 、D 是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.椭球面 1222222=++c z b y a x )0,0,0(>>>c b a (1.4)椭圆抛物面 q y p x z 2222+=（同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号) 单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 00.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →）也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续，则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z xf xz x y y x x xy y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如，有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim00000.类似地，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记为).,(,,00000000y x f z yfy z y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之. 二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：（1）对一元函数而言，导数dxdy可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记号xu∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.例如，二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆yy f y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =，)),(,,(00000y x f y x M 是该曲面上一点，过点0M 作平面0y y =，截此曲面得一条曲线，其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理，偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入. 记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆和 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆ 易见，pQ p ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率. 而pQ p Qp p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称Qp p Q pp Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理，yQ y ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率. 而yQ y Qy y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称 Qy y Q yy Q Q E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对收入y 的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c ycx y x p aa且，其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。

微积分下册主要知识点汇总

vduuvudv (3.1)
vdxuuvdxvu (3.2)
(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被
(其中m, n都是正整数).
arctanarccosarcsin)(lncossincossin等mxxmxxmxxxxexmxemxemxxmxxnnnnmxnnxnxnn
:
已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;
已知曲面方程，研究曲面的几何形状.
. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次
DCzByAx
(1.3)
. 其中A、B、C、D是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.
2 平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲
定积分的概念
定积分的性质
(a) 当ba时, ;0)(b
dxxf (b) 当ba时, abbadxxfdxxf)()(.
1
)()()]()([b
babadxxgdxxfdxxgxf
2 ,)()(b
badxxfkdxxkf (k为常数).
3 b
cabadxxfdxxfdxxf)()()(.
1 设函数)(xf在闭区间],[ba上连续,函数)(tx满足条件：
1）,)(,)(ba 且bta)(；
2）)(t在],[(或],[)上具有连续导数,则有
ttfdxxfb
)()]([)(. (4.1)
(4.1)称为定积分的换元公式.
. 但是,在应用定积分的换元公式时应
1）用)(tx把变量x换成新变量t时, 积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且
),(),(lim00000,
).,(,,

微积分二知识点总结

微积分二知识点总结1. 级数1.1 级数的定义级数可以看作是无穷多个数的和，即将无穷多个数按照一定的顺序加起来。

表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ + …1.2 收敛与发散级数的和是否有限可以分为两种情况： - 如果级数的部分和Sₙ当n趋于无穷大时有极限L，即limₙ→∞ Sₙ = L，则称该级数是收敛的； - 如果级数的部分和Sₙ当n趋于无穷大时无极限，即limₙ→∞ Sₙ不存在，则称该级数是发散的。

1.3 级数的判定法判定一个级数是收敛的还是发散的有多种方法，以下是常见的几种判定法： - 比较判定法：将要求解的级数与一个已知级数进行比较，确定其大小关系。

- 比值判定法：通过求级数的项与前一项的比值或相邻两项的比值的极限来判断级数的收敛性。

- 根值判定法：通过求级数的项的绝对值的n次方根的极限来判断级数的收敛性。

- 积分判定法：将级数转化为函数的积分形式，利用定积分的性质来判断级数的收敛性。

2. 泰勒级数2.1 泰勒级数的定义泰勒级数是一种用函数的无穷多个项的和来表示该函数的级数。

泰勒级数在微积分中起到了重要的作用，可以将一个复杂的函数近似地用一系列较简单的函数表示。

2.2 泰勒级数的求法泰勒级数的求法主要有以下几个步骤： 1. 求函数在某一点的各阶导数； 2. 计算函数在该点的各阶导数值并带入泰勒展开公式中； 3. 按照展开公式的形式将函数以多项式的形式展开。

2.3 常见的泰勒级数展开2.3.1 三角函数的泰勒级数展开•正弦函数的泰勒级数展开式：sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + …•余弦函数的泰勒级数展开式：cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + …2.3.2 自然指数函数的泰勒级数展开•自然指数函数的泰勒级数展开式：e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …2.3.3 对数函数的泰勒级数展开•自然对数函数的泰勒级数展开式：ln(1 + x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + …3. 函数的极限3.1 函数的极限的定义函数的极限可以用来描述函数在某一点的取值趋于的结果。

微积分下册

微积分下册微积分是数学的一个重要分支，研究了函数的变化率和积分。

它是物理学、工程学和计算机科学等其他领域的基础。

本文将介绍微积分下册的内容，包括导数、定积分、不定积分和微分方程等知识点。

导数是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点上的变化率。

导数的计算方法有很多，包括用极限定义、求导法则和微分等。

导数在实际问题中有广泛的应用，例如求速度、加速度、变化率等。

在导数的学习中，我们会遇到常见函数的导数，如幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

通过掌握这些函数的导数性质，我们可以更好地应用导数来解决实际问题。

第二章定积分定积分是微积分中的另一个重要概念，它描述了函数在一个区间上的累积变化量。

定积分的计算可以通过求和的方法，将区间划分成无限多个微小的小区间，然后将每个小区间上的函数值相乘再求和。

在定积分的学习中，我们会遇到一些不可积函数的情况，这时我们需要借助极限的概念，使用黎曼和或达布和的方法来逼近定积分的值。

定积分在物理学中有着广泛的应用，例如计算曲线下的面积、质量、体积等。

第三章不定积分不定积分是定积分的逆运算，它描述了函数的原函数。

不定积分的计算可以通过找到一个函数，它的导数等于给定函数，这个函数就是原函数。

不定积分的计算方法有很多，包括换元法、分部积分法和三角换元法等。

掌握不定积分的技巧对于解决一些复杂函数的积分问题非常重要。

不定积分在求解微分方程、计算曲线长度和求解面积等问题时都有着重要的应用。

第四章微分方程微分方程是微积分中的一个重要内容，它描述了含有未知函数及其导数的关系式。

微分方程的解可以通过积分和求导的操作来得到。

微分方程在自然科学和工程科学中有广泛的应用，例如物理学中的运动方程、电路中的电流方程等。

在微分方程的学习中，我们会遇到一阶和高阶微分方程，它们的解需要根据给定条件来确定。

解微分方程的方法包括分离变量法、变量代换法和特殊的方程形式等。

微积分下册主要介绍了导数、定积分、不定积分和微分方程等知识点。

微积分下册主要知识点汇总

一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ.二、常用凑微分公式三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下:当被积函数中含有a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c),22a x - 可令 .sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换tx 1=.四、积分表续 4.3分部积分法xu x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx xx f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx xx f x d x f dx x x f a b ax d b axf a dx b ax f xx xx x x xx x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1)(ln .3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμμμμμμ分部积分公式： ⎰⎰-=vdu uv udv (3.1)⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数)..arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x e x mx e mx e mx x mx x n n n n mx n nx nx n n5.1定积分的概念 5.2定积分的性质两点补充规定：(a) 当b a =时, ;0)(=⎰badx x f (b) 当b a >时,⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(.性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f性质2 ,)()(⎰⎰=baba dx x f k dx x kf (k 为常数).性质3⎰⎰⎰+=bccab a dx x f dx x f dx x f )()()(.性质4 .1a b dx dx baba-==⋅⎰⎰性质5 若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤ 则,)()(⎰⎰≤babadx x g dx x f ).(b a <推论1 若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则 ,0)(≥⎰badx x f ).(b a <推论2).(|)(|)(b a dxx f dx x f baba<≤⎰⎰性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则).()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使).(),)(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ5.3微积分的基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数：⎰=Φxadt t f x )()(定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数⎰=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数.三、牛顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰. (3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式.5.4定积分的换元法积分法和分部积分法一、定积分换元积分法定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足条件：（1）,)(,)(b a ==βϕαϕ 且b t a ≤≤)(ϕ；（2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(. (4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2）求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了. 二、定积分的分部积分法⎰baudv ⎰-=ba b a vdu uv ][ 或⎰'badx v u ⎰'-=ba b a dx u v uv ][5.5广义积分一、无穷限的广义积分)()(|)()(a F F x F dx x f a a-+∞==∞++∞⎰)()(|)()(-∞-==∞-∞-⎰F b F x F dx x f b b)()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞∞-⎰F F x F dx x f二、无界函数的广义积分⎰⎰++→=ba ba dx x f dx x f εε)(lim )(0.)(lim)(0⎰⎰-+→=εεb aba dx x f dx x f5.6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U （总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ，任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +，求出相应于这个区间微元上部分量U ∆的近似值，即求出所求总量U 的微元 dx x f dU )(=；(2) 由微元写出积分根据dx x f dU )(=写出表示总量U 的定积分⎰⎰==bab adx x f dU U )(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性，即如果把区间],[b a 分成许多部分区间, 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部分量U ∆之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量U ∆的近似表达式dx x f )(，即使得U dU dx x f ∆≈=)(. 在通常情况下，要检验dx x f U )(-∆是否为dx 的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意dx x f dU )(=的合理性. 二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 θθd r dA 2)]([21=所求曲边扇形的面积 .)]([212θθϕβαd A ⎰=三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 ,)]([2dx x f dV π= 所求旋转体的体积 .)]([2⎰=badx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 ,)(dx x A dV = 所求立体的体积 .)(⎰=badx x A V5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介一、空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来. 同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴，依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz （图6-1-1）. 空间直角坐标系有右手系和左手系两种. 我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中，如果曲面S 上任一点坐标都满足方程0),,(=z y x F ，而不在曲面S 上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程, 而曲面S 就称为方程0),,(=z y x F 的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程; (2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状. 平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1.3)来表示，反之亦然. 其中A 、B 、C 、D 是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.椭球面 1222222=++c z b y a x )0,0,0(>>>c b a (1.4)椭圆抛物面 q y p x z 2222+=（同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 00.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →）也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续，则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界. 定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z xf xz x y y x x xy y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如，有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim00000.类似地，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记为).,(,,00000000y x f z yfy z y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之. 二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：（1）对一元函数而言，导数dxdy可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记号xu∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.例如，二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x yx xyy x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆xx f x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆y yf y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =，)),(,,(00000y x f y x M 是该曲面上一点，过点0M 作平面0y y =，截此曲面得一条曲线，其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理，偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入. 记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆和 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆易见，pQ p ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率. 而pQ p Qp p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称Qp p Q pp Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理，yQ y ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率. 而yQ y Q y y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称 Qy y Q yy Q Q E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对收入y 的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c ycx y x p aa且，其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。

微积分下册复习要点（共5篇）

微积分下册复习要点（共5篇）第一篇：微积分下册复习要点微积分下册复习要点第七章多元函数微分学1．了解分段函数在分界点连续的判别；2．掌握偏导数的计算（特别是抽象函数的二阶偏导数）必考3．掌握隐函数求导（曲面的切平面和法线），及方程组求导（曲线的切线和法平面方程）必考。

4．方向导数的计算，特别是梯度，散度，旋度的计算公式；必考。

5．可微的定义，分段函数的连续性及可微性，偏导数及偏导数的连续性。

6．多元函数的极值和最值：无条件极值和条件极值（拉格朗日乘数法），实际问题的最值。

必考。

第八章重积分1．二重积分交换积分次序；必考。

2．利用合适的坐标系计算（特别是极坐标）3．三重积分中三种坐标系的合理使用（直角坐标系，柱坐标系，球坐标系）在使用时特别注意“先二后一法”的运用。

必考。

4．重积分的应用中曲面面积、重心、转动惯量、引力的公式，曲面面积为重点。

第九章曲线曲面积分1．第一、二类曲线积分的计算公式（特别是参数方程）；2．第一、二类曲面积分的计算公式（常考第一类曲面积分，第二类曲面积分一般用高斯公式）3．三个公式的正确使用（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）必考。

可以参考期中考试卷中最后三个题。

4．格林公式中有“奇点”的使用条件及积分与路径无关的条件（可能和全微分方程结合）必考。

第10章级数1．数项级数的敛散性的判别：定义，收敛的必要条件，比较判别法及极限形式，比值判别法，根值判别法，莱布尼兹判别法，条件收敛和绝对收敛的概念。

2．幂级数的收敛域及和函数的计算。

（利用逐项求导和逐项积分）必考。

3．将函数展成幂级数。

（一般利用间接法）必考。

4．将函数展成傅里叶级数，系数的计算公式；狄利克雷收敛定理；几个词的理解（周期延拓、奇延拓、偶延拓、变量替换）第11章常微分方程1．各种一阶微分方程的计算：可分离变量、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程。

2．可降阶的微分方程三种形式，特别注意不显含x 这种情形。

微积分下总结

齐次方程通解非齐次方程特解
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
一、 f (x) e x Pm (x) 型
为实数 , Pm (x) 为 m 次多项式 .
设特解为 y* e x Q (x) , 其中 Q (x) 为待定多项式 , y* e x[ Q (x) Q(x) ]
非齐次方程特解
二、伯努利 ( Bernoulli )方程
伯努利方程的标准形式:
解法:
除方程两边 , 得
yn d y P(x)y1n Q(x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n)yn dy
dx
dx
dz (1 n) P(x) z (1 n)Q(x) (线性方程) dx
故方程化为
设其通解为 p ( y,C1), 即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法逐次积分
令 y p(x) , 令 y p(y) ,
定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
数) 是该方程的通解. (自证)
这时原方程有两个复数解:
y1 e( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e( i ) x e x (cos x i sin x )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y1

1 2
( y1

y2 )
e x cos x
①
设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式

微积分下知识点总结

微积分下知识点总结微积分下知识点总结引导语：微积分是很多人都掌握不太好的一门课，那么临近考试，有哪些下册的微积分的知识点呢？接下来是小编为你带来收集整理的文微积分下知识点总结，欢迎阅读！A．Function函数（1）函数的定义和性质（定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等）（2）幂函数（一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数）（3）指数和对数（指数和对数的公式运算以及函数性质）（4）三角函数和反三角函数（运算公式和函数性质）（5）复合函数，反函数*（6）参数函数，极坐标函数，分段函数（7）函数图像平移和变换B．Limit and Continuity极限和连续（1）极限的定义和左右极限（2）极限的运算法则和有理函数求极限（3）两个重要的极限（4）极限的应用-求渐近线（5）连续的定义（6）三类不连续点（移点、跳点和无穷点）（7）最值定理、介值定理和零值定理C．Derivative导数（1）导数的定义、几何意义和单侧导数（2）极限、连续和可导的关系（3）导数的求导法则（共21个）（4）复合函数求导（5）高阶导数（6）隐函数求导数和高阶导数（7）反函数求导数*（8）参数函数求导数和极坐标求导数D．Application of Derivative导数的应用（1）微分中值定理（D-MVT）（2）几何应用-切线和法线和相对变化率（3）物理应用-求速度和加速度（一维和二维运动）（4）求极值、最值，函数的增减性和凹凸性*（5）洛比达法则求极限（6）微分和线性估计，四种估计求近似值（7）欧拉法则求近似值E．Indefinite Integral不定积分（1）不定积分和导数的关系（2）不定积分的公式（18个）（3）U换元法求不定积分*（4）分部积分法求不定积分*（5）待定系数法求不定积分F．Definite Integral 定积分（1）Riemann Sum（左、右、中和梯形）和定积分的定义和几何意义（2）牛顿-莱布尼茨公式和定积分的性质*（3）Accumulation function求导数*（4）反常函数求积分H．Application of Integral定积分的'应用（1）积分中值定理（I-MVT）（2）定积分求面积、极坐标求面积（3）定积分求体积，横截面体积（4）求弧长（5）定积分的物理应用I．Differential Equation微分方程（1）可分离变量的微分方程和逻辑斯特微分方程（2）斜率场*J．Infinite Series无穷级数（1）无穷级数的定义和数列的级数（2）三个审敛法-比值、积分、比较审敛法（3）四种级数-调和级数、几何级数、P级数和交错级数（4）函数的级数-幂级数（收敛半径）、泰勒级数和麦克劳林级数（5）级数的运算和拉格朗日余项、拉格朗日误差注意：（1）问答题主要考察知识点的综合运用，一般每道问答题都有3-4问，可能同时涵盖导数、积分或者微分方程的内容，解出的答案一般都是保留3位小数。

微积分(下册)主要知识点汇总

微积分(下册)主要知识点汇总一、第一换元积分法（凑微分法）：对于形如$\int g[\phi(x)]\phi'(x)dx$的积分，可以令$u=\phi(x)$，则$du=\phi'(x)dx$，将原式转化为$\int g(u)du$的形式，然后进行积分，最后再将$u$用$\phi(x)$表示回去，即可得到结果$\int g[\phi(x)]\phi'(x)dx=F[\phi(x)]+C$。

二、常用凑微分公式：1.积分类型换元公式：int x^\mu(x^\mu-1)f(x)dx=\int x^\mu d(x^{\mu-1})$$当$\mu\neq 1$时成立。

int x^3f(\ln x)dx=\int x^3d(\ln x)=\int x^3\frac{1}{x}dx$$int e^xf(e^x)dx=\int e^xd(e^x)=e^xf(e^x)$$int_a^b f(x)dx=\int_{\ln a}^{\ln b}f(e^t)e^tdt$$当$a,b>0$时成立。

int \frac{f(\sin x)\cos x}{\sqrt{1-\sin^2 x}}dx=\int f(\sin x)d(\cos x)$$int \frac{f(\cos x)\sin x}{\sqrt{1-\cos^2 x}}dx=-\int f(\cos x)d(\sin x)$$int \frac{f(\tan x)}{\cos^2 x}dx=\int f(\tan x)d(\tan x)$$int \frac{f(\cot x)}{\sin^2 x}dx=-\int f(\cot x)d(\cot x)$$int f(\arctan x)\frac{1}{1+x^2}dx=\int f(t)dt$$int f(\arcsin x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\int f(t)dt$$三、第二换元法：对于形如$\int f(x)dx=\intf[\psi(t)]\psi'(t)dt=F(t)+C=F[\phi(x)]+C$的积分，可以令$\psi(t)=x$，则$\psi'(t)dt=dx$，将原式转化为$\intf[\psi(t)]\psi'(t)dt$的形式，然后进行积分，最后再将$t$用$\phi(x)$表示回去，即可得到结果。

大一微积分下学期期末总结

大一微积分下学期期末总结大一微积分下学期的课程即微积分二，是继微积分一之后的延续和深化。

本学期的内容主要包括多元函数的微分与积分、向量与曲线积分、梯度与导数、偏导数与隐函数、Taylor展开等。

首先，本学期我们学习了多元函数的微分与积分。

与微积分一中的一元函数相比，多元函数的微积分相对来说更为复杂。

我们需要掌握多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分和偏导数的应用等知识点。

学习这些知识时，我们需要更加灵活地运用极限的定义、求导法则、链式法则等，来推导出多元函数的微分公式。

同时，在实际应用中，我们要注意函数的连续性和可微性的条件，以保证得到正确的结果。

其次，我们学习了向量与曲线积分。

向量是微积分中一种重要的概念，在物理学、工程学及其他科学领域中都有广泛的应用。

我们需要掌握向量的加法、减法、数量积、向量积等操作，以及曲线的参数方程表示、切向量、曲线长度等概念。

在曲线积分中，我们学习了第一类曲线积分和第二类曲线积分，用来描述曲线上的物理量如质量、电荷等的累积量。

接着，我们学习了梯度与导数的概念。

梯度是向量的导数，它描述了函数在某点上的变化率最大的方向。

我们需要掌握梯度的计算方法以及其在微积分中的应用，如求解最大最小值、方向导数等。

此外，我们还学习了偏导数与隐函数的知识。

在实际问题中，有时我们无法显式地表示函数的关系式，此时我们需要利用偏导数的概念，通过求解方程组来得到函数的表达。

最后，我们学习了Taylor展开。

当函数在某点附近具有足够多的可导导数时，我们可以利用Taylor展开将函数近似地表示为一个多项式。

Taylor展开在数值计算、物理学及工程学中有广泛的应用，它可以用于计算函数的近似值、求解极限、证明函数的性质等。

在学习微积分二的过程中，我深刻体会到了微积分在实际应用中的重要性。

微积分不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的工具。

通过微积分，我们可以对问题进行分析、建模，并通过推导和计算得出准确的结果。

微积分大一下知识点总结

微积分大一下知识点总结微积分是数学的一门重要分支，是研究变化率、斜率和曲线面积等概念的数学方法。

在大一下学期中，我们学习了微积分的一些基础知识，包括导数、积分和微分方程等内容。

本文将对这些知识点进行总结。

一、导数导数是微积分的基本概念之一，它描述了函数在某一点处的变化率。

我们通过求导数可以得到函数的切线斜率、最值点等重要信息。

1. 导数的定义对于函数y=f(x)，其在某点x处的导数可以表示为f'(x)或dy/dx，它的定义为导数值等于函数在该点的极限值，即f'(x)=lim┬(Δx→0)⁡〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗。

2. 常见函数的导数- 常数函数：对于常数C，其导数为0，即d(C)/dx=0。

- 幂函数：对于y=x^n，其中n为常数，其导数为dy/dx=nx^(n-1)。

- 指数函数：对于y=a^x，其中a为常数且大于0，其导数为dy/dx=a^x·ln(a)。

- 对数函数：对于y=log_a⁡〖x〗，其中a为常数且大于0且不等于1，其导数为dy/dx=1/(x·ln(a))。

二、积分积分是导数的逆运算，它描述了函数的累积效应和曲线所围成的面积。

通过积分，我们可以求得函数的原函数，并计算曲线下的面积。

1. 定积分定积分是对函数在某一区间上的积分，表示为∫┬(a)⁡(b)⁡f(x)dx。

其计算方法为将区间[a, b]分为无穷多个小的短短区间，然后对每一个小区间内的函数值进行累加。

2. 基本积分法- 幂函数积分：对于∫x^n dx，其中n≠-1，其积分结果为∫x^ndx=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C为常数。

- 指数函数积分：对于∫a^x dx，其中a>0且a≠1，其积分结果为∫a^x dx=(1/ln⁡(a))a^x+C，其中C为常数。

- 三角函数积分：对于∫sin⁡(x) dx、∫cos⁡(x) dx、∫tan⁡(x) dx等三角函数的积分，可以通过查表或使用特定的积分公式进行计算。

微积分下册主要知识点doc资料

微积分下册主要知识点一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ.二、常用凑微分公式三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x =xu x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx xx f x d x f dx xx f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx xx f x d x f dx x x f a b ax d b axf a dx b ax f xx xx x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1)(ln .3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμμμμμμc) ,22a x - 可令 .sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换tx 1=. 四、积分表续 4.3分部积分法分部积分公式：⎰⎰-=vdu uv udv (3.1) ⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数)..arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x e x mx e mx e mx x mx x n n n n mx n nx nx n n5.1定积分的概念 5.2定积分的性质两点补充规定：(a) 当b a =时, ;0)(=⎰b adx x f (b) 当b a >时,⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(.性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f性质2 ,)()(⎰⎰=bab adx x f k dx x kf (k 为常数).性质3 ⎰⎰⎰+=bcc ab adx x f dx x f dx x f )()()(.性质4 .1a b dx dx bab a-==⋅⎰⎰性质5 若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤ 则,)()(⎰⎰≤bab adx x g dx x f ).(b a <推论1 若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则 ,0)(≥⎰badx x f ).(b a <推论2 ).(|)(|)(b a dx x f dx x f bab a<≤⎰⎰性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则).()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使).(),)(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ5.3微积分的基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数：⎰=Φxadt t f x )()(定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数⎰=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数. 三、牛顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰. (3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式. 5.4定积分的换元法积分法和分部积分法一、定积分换元积分法定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足条件：（1）,)(,)(b a ==βϕαϕ且b t a ≤≤)(ϕ；（2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(. (4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2）求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了.二、定积分的分部积分法 ⎰ba udv⎰-=bab a vdu uv ][ 或 ⎰'badx v u ⎰'-=ba b a dx u v uv ][5.5广义积分一、无穷限的广义积分)()(|)()(a F F x F dx x f a a-+∞==∞++∞⎰)()(|)()(-∞-==∞-∞-⎰F b F x F dx x f b b)()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞∞-⎰F F x F dx x f 二、无界函数的广义积分⎰⎰++→=ba ba dx x f dx x f εε)(lim )(0.)(lim)(0⎰⎰-+→=εεb aba dx x f dx x f5.6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U （总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ，任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +，求出相应于这个区间微元上部分量U ∆的近似值，即求出所求总量U 的微元 dx x f dU )(=；(2) 由微元写出积分根据dx x f dU )(=写出表示总量U 的定积分⎰⎰==babadx x f dU U )(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用. 应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性，即如果把区间],[b a 分成许多部分区间, 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部分量U ∆之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量U ∆的近似表达式dx x f )(，即使得U dU dx x f ∆≈=)(. 在通常情况下，要检验dx x f U )(-∆是否为dx 的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意dx x f dU )(=的合理性.二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 θθd r dA 2)]([21=所求曲边扇形的面积 .)]([212θθϕβαd A ⎰=三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 ,)]([2dx x f dV π= 所求旋转体的体积 .)]([2⎰=ba dx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 ,)(dx x A dV = 所求立体的体积 .)(⎰=ba dx x A V5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介一、空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来. 同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴，依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz （图6-1-1）.空间直角坐标系有右手系和左手系两种. 我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中，如果曲面S 上任一点坐标都满足方程0),,(=z y x F ，而不在曲面S 上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程, 而曲面S 就称为方程0),,(=z y x F 的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程; (2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状. 平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1.3)来表示，反之亦然. 其中A 、B 、C 、D 是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.椭球面 1222222=++c z b y a x )0,0,0(>>>c b a (1.4)椭圆抛物面 qy p x z 2222+=（同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号) 单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 0.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →）也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续，则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界. 定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+ 如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z x fx zx y y x x x y y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如，有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim 00000. 类似地，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 00000, 记为 ).,(,,00000000y x f z y f y z y y y x x y y y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之.二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：（1）对一元函数而言，导数dx dy 可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记号xu ∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.例如，二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim )0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim )0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆y y f y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =，)),(,,(00000y x f y x M 是该曲面上一点，过点0M 作平面0y y =，截此曲面得一条曲线，其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理，偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入. 记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆和 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆ 易见，p Qp ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率. 而pQ p Q p p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称 Q p p Q p p Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim0 为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理，y Qy ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率. 而 yQ y Q y y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称 Q y y Q y y QQ E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim 0为需求Q 对收入y 的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c y cx y x p a a 且，其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。