常微分方程考研讲义第四章 高阶微分方程
常微分第四章
c e2 t 2
cnen
t
;
(2)有复根 i，则 i 也一定是特征根(复
根成对出现)，它们相应方程(4.19)旳两个实值解
et cos t, et sin t .
2 特征根有重根旳情形. 设 1 是特征方程(4.20)的k1重根，则它对应(4.19)的k1
个线性无关旳解
e1 , t te1 , t t 2e1 t ,, t k11e ; 1 t
1 2
t
2
.
代入通解形式，得原方程通解
x
1
2t 2
1 t 3. 3
§4.2 线性微分方程旳解法
4.2.1 实变量复值函数——预备知识 4.2.2 常系数线性方程旳解法 4.2.3 求变系数齐线性方程特解旳幂级数法
4.2.1 实变量复值函数——预备知识
1. 实变量复值指数函数旳定义：
e(i )t e t (cos t i sin t) ,
n
x i xi (t) xi (t) i (t)dt.
i 1
i 1
求方程x x 1 的通解，已知它对应的齐线性方
例1
cos t 程旳基本解组是cost , sint.
解 用常数变易法. 令通解形式
x c1(t) cost c2 (t)sin t.
作c1(t), c2 (t)的线性方程组
tt0
z(t)
z(t0
)
;
导数定义：
要存在
z(t0
)
dz(t0 dt
)
lim
tt0
z(t) t
z(t0 t0
)
d t0
dt
i
d t0
dt
;
3. 导数旳四则运算：
第四章高阶微分方程
高阶微分方程
本章先从一个实际例子出发， 介绍高阶微分方程的一般形式， 进一步了解可降阶的 微分方程， 重点讲述高阶线性方程的基本理论和常系数线性方程的求解方法。最后给出 高阶方程的一些应用实例。 【例1】 鱼雷追击模型 一敌舰在某海域内沿着正北方向航行时， 我方战舰恰好位于敌舰的正西方向1 公里 处。 我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42 公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。 试问敌舰航行多远时将被击中 ？ 〖 解〗 设敌舰初始点在Q0 (1, 0) 处，运动方向为平行y 轴的直线，t 时刻到达Q 点，鱼 雷的初始点在P0 (0, 0)处，沿曲线y = y (x)追击，敌舰的速度v0 = 0.42，则在时刻t ，鱼雷 在点P (x, y )处，此时敌舰在点Q(1, v0 t)，如图4.1。由于鱼雷在追击过程中始终指向敌舰， 而鱼雷的运动方向正好是沿曲线y = y (x) 的切线方向，那么，鱼雷的运动方程为 dy v0 t − y = (4.1) dx 1−x 而鱼雷行使的速度为2v0，分为水平方向运动和垂直方向运动，故满足以下关系式 ( 将(4.1)改写为 v0 t − y = (1 − x) 将(4.3)两边同时对x求导数，得 v0 由(4.2)可得 dt 1 = dx 2v0 将(4.5)代入(4.4)中，得 1+( dy 2 ) dx (4.5) dy d2 y dy dt − = (1 − x) 2 − dx dx dx dx (4.4) dy dx (4.3) dx 2 dy ) + ( )2 = 2v0 dt dt (4.2)
−
t t0
(4.15)
a1 (s)ds
,
t, t0 ∈ [a, b]
(4.16)
【例3】 验证函数xt是方程 出该方程的通解。
第四章 高阶微分方程 常微分方程课件 高教社 王高雄教材配套ppt
5/8/2021
第四章
10
x1
t 2 , 0,
1 t 0 0t 1
注 仅对函数而言 线性相关时W(t)≡0的
逆定理一般不成立。
例 函数
和
x1
t 2 , 0,
x2
0,
t
2
,
1 t 0 0t 1
1 t 0 0t 1
在区间-1≤t≤1上有W[x1(t),x2(t)]≡0 ,但却线性无 关。
证 5/8/2021 用反证法证。
第四章
12
(续)定理4 齐次线性微分方程的线性 无关解的伏朗斯基行列式恒不为零
dn x dtn
a1(t)
dn1 x d t n1
an1 (t )
d d
x t
an
(t ) x
0
证 用反证法证。设有t0 (a≤t0≤b) 使得W(t0)=0，则t = t0时 的 (6)、(7)组成的n个齐次线性代数方程组有非零解 c1 ,c2 ,…,cn。 根椐叠加原理，函数 x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ cnxn(t) 是方程(2)的解，
第四章
13
定理5 齐次线性方程(2)的基本 解组必存在且其伏朗斯基行列式 恒不为零。
证 根据定理1，线性 方程(2)的满足初值 条件:
的解x1(t),x2(t),…,xn(t)必 存在，且有
x1
(t0
)
1,
x1'
(t0
)
0,
x2
(t0
)
0,
x2'
(t0
)
1,
xn
(t0
)
0,
xn'
考研数学之高等数学讲义第四章(考点知识点+概念定理总结)
第四章 常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲） 内容要点一、基本概念1、 常微分方程和阶2、 解、通解和特解3、 初始条件4、 齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、 0)(()()(≠=y Q y Q x p dx dy )2、齐次方程：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 三、一阶线性方程及其推广1、)()(x Q y x P dxdy =+ 2、)1,0()()(≠=+ααy x Q y x P dx dy四、全微分方程及其推广（数学一）1、 yP x Q dy y x Q dx y x P ∂∂=∂∂=+满足,0),(),( 2、 yRP x RQ y x R y p x Q dy y x Q dx y x P ∂∂=∂∂∂∂≠∂∂=+)()(),(,0),(),(，使但存在§4.2 特殊的高阶微分方程（数学四不要）（甲）内容要点二、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 0)()(=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 )()()(x f y x q y x p y =+'+'' （2）1、 若)(),(21x y x y 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合)()(2211x y C x y C +（21,C C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当)()()(21为常数λλx y x y ≠，也即)()(21x y x y 与线性无关时，则方程的通解为)()(2211x y C x y C y +=。
2、 若()y x 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而)()(2211x y C x y C +为对应的二阶齐次线性方程的通解（21,C C 为独立的任意常数）则1122()()()y y x C y x C y x =++是此二阶非齐次线性方程的通解。
高数常微分方程 高阶微分方程讲解
15
定义：设 y1 , y2 ,? , yn 为定义在区间I 内的n
个函数．如果存在n 个不全为零的常数，使得 当 x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 ? k 2 y2 ? ? ? k n yn ? 0，
那么称这n 个函数在区间I 内线性相关．否则
P(x)的一阶方程
F ( x , P( x ), P?( x )) ? 0. 求得 P( x ),
解 y(n?1) ? P( x) ,
可得通解 .
2
例 2 求方程 xy (5) ? y(4) ? 0 的通解.
解 设 y(4) ? P( x ), y (5) ? P?( x )
代入原方程 xP?? P ? 0, （P ? 0）
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解 .
例 4 求方程 yy??? y?2 ? 0 的通解.
解
两端同乘不为零因子
1 y2
,
yy??? y?2 d y?
y2
? ( ) ? 0, dx y
故 y?? C1 y,
从而通解为 y ? C2eC1x .
10
另解 原方程变为 y??? y?, y? y
两边积分 ,得 ln y?? ln y ? ln C1， 即 y?? C1 y， 原方程通解为 y ? C2eC1x .
第三节 可降阶的高阶微分方程
一 y(n) ? f (x)
特点： 左端只含有 n 阶导数，右端只含有自变量
解法： 将 y(n) ? f ( x ) 连续积分 n 次, 可得通解.
例 1 y???? x
解
? y???
xdx
?
《高阶微分方程》PPT课件
16
2. 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理4 设 y( x) 是方程(1)的一个特解,
yc ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y yc y .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
这样比代入原方程要简便得多.
26
例7 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解,
其中 为实数.
解 特征方程 2 4 4 0 , 特征根 1,2 2 ，
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e2x .
1）若 2 , 则设特解为 y Ax 2e2x ,
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e3x .
因为 r 3 是二重特征根,
所以设特解为 y x2 ( Ax B)e2x ( Ax3 Bx2 )e2x ,
注意：实际计算时，只要将Q( x) Ax3 Bx2 代入
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) 现即 Q( x) Pm ( x) , 即得 6Ax 2B x .
(2)
线性非齐次微分方程的解的结构
定理2 如果 y( x) 是 n 阶非齐次线性方程(1)的一个特 解, yc ( x) 是对应齐次方程(2)的通解，则(1)的通解为
y(x) yc(x) y(x) .
5
二、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程的标准形式
y ay by f ( x) (1) 其中a,b是常数. 若 f ( x) 0 ,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
只讨论 f (x) 的两种类型.
用待定系数法求解.
常微分方程--第四章 高阶微分方程(4.1节)
上线性无关的充分必要条件是朗斯基行列式
W [ x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )]
在这个区间的任何点上都不等于零。
说明：
1. n阶齐次线性微分方程(4.2)的n个解构成的 朗斯基行列式或者恒为零，或者恒不为零；
2. 在是解的情况下，朗斯基行列式恒为零与
这n个解线性相关等价；
3. 在是解的情况下，朗斯基行列式恒不为零
其中 c1 , c2 ,, cn 是任意常数。且它包含了方程 （4.2）的所有解。
推论:
方程（4.2）的线性无关解的最大个数是n;且n阶齐次线性微分方程的所有 解构成一个n维线性空间。 方程（4.2）的n个线性无关解称为方程的一个基本解组。
三、非齐次线性微分方程与常数变易法
性质1 如果 x (t ) 是方程(4.1)的解，而 x(t )
问题：如何应用朗斯基行列式判定函数相关性？
如果 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 是齐次线性微分方程 （4.2）的解，则有下述定理
定理4：如果 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )是齐次线性微 分方程（4.2）的n个解，则它们在区间 a t b
n
n
1 例1 求方程x x cos t 的通解。已知它的对应的齐次 线性微分方程的基本解组为 cos t ,sin t.
(t ) cos t c2 (t )sin t 0 代入方程可得 c1
解 应用常数变易法，令 x c (t )cos t c (t )sin t 1 2
也是方程（4.2）的解，这里c1 , c2 ,, ck为任意常数。 特别地，当 k n 时，即方程（4.2）有解
x c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t )
(整理)常微分方程考研讲义第四章高阶微分方程
第四章高阶微分方程[教学目标]1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。
4.掌握高阶方程的应用。
[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。
难点是待定系数法求特解。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
[考核目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
§4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言讨论n阶线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d xdxa t a t a t x f t dt dtdt---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n =及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为：1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dtdt---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。
定理1 如果()(1,2,,)i a t i n =及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一[]0,t a b ∈ (1)(1)000,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a tb ≤≤上，且满足初始条件：1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dtdtϕϕϕ---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n =及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。
常系数高阶线性微分方程
04 高阶常系数线性微分方程
定义与性质
要点一
定义
常系数高阶线性微分方程是指形式为$y^{(n)}(x) + a_{n1}y^{(n-1)}(x) + ldots + a_1y'(x) + a_0y(x) = f(x)$的微 分方程，其中$a_0, a_1, ldots, a_{n-1}$是常数，$f(x)$是 已知函数。
解法：特征值法
特征值法是通过将二阶常系数线性微 分方程转化为两个一阶常系数线性微 分方程来求解的方法。
通过对方程进行变换，得到两个一阶线性微 分方程 $y' + lambda y = 0$ 和 $y'' + lambda y' + mu y = 0$，其中 $lambda$ 和 $mu$ 是特征值。然后分别求解这两个 一阶方程，得到原方程的解。
工程问题
在解决工程问题时，如控制系统、电路分析等，常系数高阶线性微分方程也是重要的数 学工具。
02 一阶常系数线性微分方程
定义与性质
定义
一阶常系数线性微分方程是形如 y' + p(x)y = q(x) 的方程，其中 p(x) 和 q(x) 是已知函数。
VS
性质
该方程具有线性性质，即如果 y1 和 y2 是方程的两个解，那么 c1y1 + c2y2 也 是方程的解，其中 c1 和 c2 是任意常数 。
要点二
性质
高阶线性微分方程具有叠加原理、齐次解、特解等性质， 这些性质使得求解高阶线性微分方程成为可能。
解法：降阶法
降阶法是将高阶微分方程转化为低阶微分方程的方法，通过逐次求解低阶微分方 程来找到高阶微分方程的解。
第四章高阶微分方程
i 1
非齐次线性方程通解求法------常数变易法
y P ( x ) y Q( x ) y 0 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )
设对应齐次方程通解为 设非齐次方程通解为
y C1 y1 C 2 y2 y c1 ( x ) y1 c2 ( x ) y2
定理４*：若k个可微k 1次的函数1 ( t )， 2 ( t )，..., n ( t )是
( ２的解，则 ) 1 ( t )， 2 ( t )，..., n ( t )在 a,b 上线性相关的充分
条件是存在某个t0 a,b 使得他们的Wronsky行列式W ( t ) 0。
y2 f ( x ) ( x) c1 , w( x )
积分可得
y1 f ( x ) c , 2 ( x) w( x )
y2 f ( x ) c1 ( x ) C1 dx, w( x ) y1 f ( x ) c2 ( x ) C 2 dx, w( x )
(1)
的微分方程是n阶线性微分方程，其中x是未知函数， t是自变量，ai ( t )( i 1, 2, ..., n)及f ( t )都是定义区间上 已知的连续函数。 当f (t ) 0时，(1)变成
dnx d n 1 x dx a1 ( t ) n1 ... an1 ( t ) an ( t ) x 0 n dt dt dt
(1) (2)
(3)
( x ) y1 c y c1 2 ( x ) y2 c1 ( x ) y1 c2 ( x ) y2
设
( x ) y1 c c1 2 ( x ) y2 0
微分方程PPT(罗兆富等编)第四章 高阶线性常微分方程
在(－∞,＋∞)上恒成立. 因此,这两个函数是已知方程的两 个线性无关解, 即是一基本解组, 故该方程的通解可写为
y ( n ) a1 ( x) y ( n1) an1 ( x ) y an ( x ) y 0 (4.1.05)
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11
结束
y( x) C1 cos x C2 sin x
y ( n ) a1 ( x) y (n1) a2 ( x ) y (n 2) an 1 (x ) y an (x )y f (x )
(4.1.01) 其中系数函数 a1 ( x), a2 ( x),, an ( x)和自由项f(x)都是区间I
上的连续函数.
2
机线性方程(4.1.05)的通解.
y ( n ) a1 ( x) y ( n1) an1 ( x ) y an ( x ) y 0 (4.1.05)
基本定理!
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■
10
返回 结束
方程(4.1.05)的基本定理又可叙述为: 齐次线性常微 分方程(4.1.05)的通解等于它的基本解组的线性组合.
5
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二、n 阶齐次线性常微分方程的一般理论 显然, n阶齐次线性常微分方程(4.1.05)等价于一阶齐 次线性常微分方程组
dY A( x)Y dx
(4.1.06)
所以一阶齐次线性常微分方程组解的理论都可移植到高 阶齐次线性常微分方程上来. 为此,我们先给出函数组线 性相关的概念. 定义1. 对于定义在区间I上的函数组 1 ( x), 2 ( x),, n ( x ), 如果存在一组不全为零的常数a , a ,…, a , 使得 1 2 n a11 ( x) a22 ( x) ann ( x) 0 (4.1.07) 在区间I上恒成立, 则称 1 ( x), 2 ( x),, n ( x) 区间I上线性 6 相关. 否则称之为线性无关.
常微分方程第四章知识总结
常微分方程第四章知识总结常微分方程是微分方程的一种，它研究的是未知函数的导数和初值之间的关系。
常微分方程在物理学、工程学、生物学、经济学等领域都有广泛的应用。
第四章是常微分方程的一个重要章节，主要介绍了高阶常微分方程、常系数线性微分方程以及常微分方程的解法等内容。
高阶常微分方程是指未知函数的导数的阶数大于一的微分方程。
高阶常微分方程的一般形式为：$$y^{(n)} = f(x,y,y',\ldots,y^{(n-1)})$$其中$y$是未知函数，$y', y'', \ldots, y^{(n)}$分别表示$y$的一阶、二阶、$\ldots$、$n$阶导数，$f$是已知函数。
高阶常微分方程的解法包括常系数线性微分方程的特解与常数法、待定系数法、矩阵法等几种。
首先是常系数线性微分方程的特解与常数法。
对于形如$y^{(n)} +a_1y^{(n-1)}+ \cdots + a_ny = f(x)$的常系数线性微分方程，可以设其特解为$y^* = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} + \cdots$，其中$r_i$为特征方程$ r^n + a_1r^{n-1}+ \cdots + a_n = 0$的根。
将特解代入原方程，得到特解的解析形式。
然后与齐次方程求得的通解相加，即可得到原方程的通解。
常数法适用于右端为多项式的情况。
其次是常系数线性微分方程的待定系数法。
对于形如$y^{(n)} +a_1y^{(n-1)}+ \cdots + a_ny = f(x)$的常系数线性微分方程，当右端函数为指数函数、三角函数、幂函数、多项式函数和指数型函数等形式时，可以假设其特解为一些已知函数形式的线性组合，然后求解待定系数，得到特解的解析形式。
其次是常系数线性微分方程的矩阵法。
对于形如$\mathbf{y}' =A\mathbf{y}$的常系数线性微分方程组，可以使用特征方程的根以及线性代数的相关技巧，构造齐次方程的基本解组，然后通过矩阵的指数函数的性质得到原方程的通解。
第四章 高阶微分方程
第四章高阶微分方程本章教学目的及要求1、使学生掌握n阶线性齐次方程和非齐次方程解的性质。
熟练掌握通解结构。
2、要求学生熟练掌握常系数线性齐次方程的基本解组的特征根法和常系数线性非齐次方程特解的待定系数法。
熟练掌握常数变易法，掌握较简单的二阶变系数方程的解法。
本章重点线性方程的性质及其解的结构，解常系数线性方程的特征根法和待定系数法及视常数为变数法。
难点函数组线性相关性及判别，一般理论中定理证明二阶变系数线性方程求解。
课时安排：讲授16学时，习题课4学时第四章高阶微分方程本章主要介绍n阶线性微分方程的一般理论和求解方法.我们将把n阶线性微分方程化成等价的一阶线性微分方程组,这样可以把第3章的主要结论自然地应用到本章内容中.即把n阶线性微分方程作为一阶线性微分方程组的特例加以处理,以避免理论推导上的重复.§4.1 线性微分方程的一般理论4.1.1 引言n阶线性微分方程在自然科学与工程技术中有着极其广泛的应用.在介绍线性方程的一般理论之前,先让我们来研究两个实际例子.例1 弹簧振动.图 4-1设一质量为m 的物体B 被系于挂在顶板上一弹簧的末端,(我们将假设弹簧的质量与这一物体的质量比较起来是小的可以忽略不计的),现在来求该物体在外力扰动时的运动微分方程式.当物体B 不受外力扰动时,重力被作用于物体B 上的弹簧的弹力所平衡而处于静止位置,把物体B 的静止位置取为坐标轴x 的原点0,向下方向取为正向,如图4-1的(a ).若有一外力f(t)沿垂直方向作用在物体B 上,那么物体B 将离开静止位置0,如图4-1的(b ),记x=x(t)表物体B 在t 时刻关于静止位置0的位移,于是22,dtx d dx dx 分别表示物体B 的速度和加速度. 由牛顿第二定律F=ma, m 是物体B 的质量,a =22dtx d 是物体B 位移的加速度,而F 是作用于物体B 上的合外力.这时,合外力F 由如下几部分构成.(1)弹簧的恢复力f 1,依虎克定律,弹簧恢复力f 1与物体B 的位移x 成正比,即f 1=-cx式中比例常数c (>0)叫作弹性系数,根据所取的坐标系,恢复力f 1的方向与位移x 的方向相反,所以上式右端添一负号.(2)空气的阻力f 2,当速度不太大时,空气阻力f 2可取为与物体B 位移的速度成正比,亦即f 2=—μdt dx 式中比例常数μ(>0)叫作阻尼系数,式中右边的负号,是由于阻力f 2的方向与物体B 的速度dtdx 的方向相反. (3)外力f(t).因此,我们得到F=-cx-μdt dx +f(t) 从而我们得物体B 在外力f(t)作用下的运动微分方程式).(22t f cs dt dx dtx d m =++μ (4.1) 我们将在本章第4节,详细叙述方程(4.1)所描述的弹簧振动性质.由于方程(4.1)是描述物体B 在外力f(t)经常作用下的运动,所以方程(4.1)亦称为阻尼强迫振动.我们将在本章第4节,详细叙述方程(4.1)所描述的弹簧振动性质.由于方程(4.1)是描述物体B 在外力f(t)经常作用下的运动,所以方程(4.1)亦称为阻尼强迫振动.例2 电振荡在很多无线电设备(如收音机和电视机)中,我们经常见到如图4-2的回路.它由四个元件组成,即电源(设其电动势为E)图4-2电阻R,电感L 以及电容器C.为了简单起见,电容器的电容量我们也用C 表示,它所储藏的电荷量为q.这时电容器的两个极板分别带着等量但符号相反的电荷,极板间的电位差等于 1c E q C =. 此外,当电路中流过交流电时,电容器极板上的电量以及它们的正负符号均随时间发生变化.根据电流定义,这时有dq i dt=. 根据基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律,在闭合回路中全部元件的电压的代数和等于零,即0di q E Ri Ldt C ---= 整理后可得di q LRi E dt C ++= (4．2) 考虑到dq i dt=,上式可写成 22d q dq q L R E dt dt C++= (4．3) 于是,得到了关于电荷量q 的方程.如果在式(4.2)两端对t 求导数,并假设E 是常量(直流电压),则可得关于电流的方程220d i di iL Rdt dt C++= (4.4)实验表明,在一定条件下,上述回路中的电流会产生周期振荡,因此我们把上述回路称为电振荡回路.不难看出,方程(4.1),(4.3)和(4.4)都具有一个明显的特点,就是在这些方程中,未知函数及其导数是一次式,因此这些方程称为线性微分方程.又由于出现在上述方程中的导数的最高阶数为2,故我们称上述方程为二阶线性微分方程.一般的n阶线性微分方程可以写成如下形状：y(n)+p1(x)y(n-1) +…+p n-1(x)y′+p n(x)y=f(x) (4.5) 方程(4.5)的初始条件记为y(x0)=y0,y′(x0)=y0′,…,y (n-1)(x0)=y0 (n-1)(4.6) n阶线性微分方程与第三章讲过的一阶线性微分方程组有着密切的关系,即可以把前者化成后者,而且二者是等价的,这样就可以把前者作为后者的特例加以处理.在方程(4.5)中,令y′=y1,y″=y2,…,y(n-1)=y n-1,(4.5)就可以化成一阶方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+----====-----)()()()(1111112211x f y x p y x p y x p dxdy y dx dy y dx dy y dx dy n n n n n n(4.7) (4.7)可以写成向量形式()()d x Y x dx=+Y A F (4.8) 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--)()()(01000010)(121x p x p p x p x A n n n ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(000)(x f x F , ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-121n y y y y Y 方程组(4.8)的初始条件可记为Y (x 0)=Y 0其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--)1(000010100')()()(n n y y y x y x y x y Y 引理 4.1 方程(4.5)与方程组(4.7)是等价的,即若()y x ϕ=是方程(4.5)在区间I 上的解,则()y x ϕ=，1'()y x ϕ=,…(1)1()n n y x ϕ--=是方程组(4.7)在区间I 上的解；反之,若()y x ϕ=，1'()y x ϕ=,…(1)1()n n y x ϕ--=是方程组(4.7)在区间I 上的解,则()y x ϕ=是方程(4.5)在区间I 上的解.证明 设()y x ϕ=是方程(4.5)在区间I 上的解.令(1)121()'(),()''(),,()()n n x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ--=== (4.9)则有⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+----===---)()()()()()()()()()()(1111)1(211x f x p x x p x x p dx x d x dx x d x dx x d n n n n ϕϕϕϕϕϕϕϕ (4.10)在区间I 上恒成立.这表明, ()y x ϕ=，11()y x ϕ=,…，11()n n y x ϕ--=是方程组(4.7)在区间I 上的解.反之,设()y x ϕ=，11()y x ϕ=,…，11()n n y x ϕ--=是方程组(4.7)在区间I 上的解.于是(4.10)式在区间I 上恒成立.由(4.10)的前n-1个等式.可以看出,函数()x ϕ，1()x ϕ,…，1()n x ϕ-满足关系式(4.9),将它们代入到(4.10)的最后一个等式就有()(1)11()()()()'()()()()n n n n x p x x p x x p x x f x ϕϕϕϕ--++++=在区间I 上恒成立,这就表明()y x ϕ=是方程(4.5)在区间I 上的解.证毕.由引理4.1和第三章的定理3.1′,我们立即可以得到下面的 定理 4.1 如果方程(4.5)的系数p k (x)(k=1,2,…,n)及其右端函数f(x)在区间I 上有定义且连续,则对于I 上的任一x ０及任意给定的y ０,y ０′,…,y 0(n-1),方程(4.5)的满足初始条件(4.6)的解在I 上存在且唯一.在下面的讨论中,总假设(4.5)的系数p k (x)(k=1,2,…,n)及其右端函数f(x)在区间I 上连续,从而,方程(4.5)的满足初始条件(4.6)的解在整个区间I 上总存在且唯一.如果在(4.5)中,f(x)在区间I 上恒等于零,(4.5)变成y (n)＋p １(x)y n-1+…+p n-1(x)y ′+p n (x)y=0 (4.11)方程(4.11)称为n 阶线性齐次微分方程 (或简称n 阶齐次方程),与此相应,(4.5)称为n 阶线性非齐次微分方程(或简称n 阶非齐次方程).有时,为了叙述上的方便,还称(4.11)为(4.5)的对应的齐次方程.４.１.２ 齐次线性微分方程的解的性质与结构由引理 4.1,齐次方程(4.11)等价于下面的一阶线性齐次微分方程组Y x A dxdY )(= (4.12) 这里A(x)和Y 与(4.8)中的相同.于是由第三章的定理3.2可知,齐次方程(4.11)的所有解也构成一个线性空间.为了研究这个线性空间的性质,进而搞清楚(4.11)的解的结构,我们需要下面的定义和引理.定义4.1 函数组12(),(),,()n x x x ϕϕϕ称为在区间I 上线性相关,如果存在一组不全为零的常数α１,α２,…,αn ,使得1122()()()0n n x x x αϕαϕαϕ+++= (4.13)在区间I 上恒成立. 反之,如果只当α１＝α２＝…＝αn =0时,才能使(4.13)在I 上成立,则称函数组12(),(),,()n x x x ϕϕϕ在I 上线性无关.引理4.2 一组n-1阶可微的数值函数12(),(),,()n x x x ϕϕϕ在I 上线性相关的充要条件是向量函数组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-)()(')()1(111x x x n ϕϕϕ , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-)()(')()1(222x x x n ϕϕϕ ,…, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-)()(')()1(x x x n n n n ϕϕϕ (4.14)在I 上线性相关.证明 若12(),(),,()n x x x ϕϕϕ在I 上线性相关,则存在一组不全为零的常数α１,α２,…,αn ,使得1122()()()0n n x x x αϕαϕαϕ+++= (4.15)０在I 上恒成立.将(4.15)0式对x 逐次微分n-1次,得'''1122()()()0n n x x x αϕαϕαϕ+++= (4.15)１………………………………………(1)(1)(1)1122()()()0n n n n n x x x αϕαϕαϕ---+++= (4.15)n-1联合(4.15)０,(4.15)１,…,(4.15)n-1就得到向量函数组(4.14)是线性相关的.反之,若向量函数组(4.14)在I 上线性相关,则存在不全为零的常数α１,α２,…,αn ,使得(4.15)０,(4.15)１,…,(4.15)n-1各式在I 上恒成立,由(4.15)０表明12(),(),,()n x x x ϕϕϕ在I 上线性相关.证毕.由引理 4.2,为了建立函数组线性相关与线性无关的判别法则,自然需要引入下面的定义.定义4.2 设函数组12(),(),,()n x x x ϕϕϕ中每一个函数()k x ϕ (k=1,2,…,n)均有n-1阶导数,我们称行列式)()()()(')(')(')()()()()1()1(2)1(12121x x x x x x x x x x W n n n n n n ---=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ为已知函数组的朗斯基(Wronski)行列式.有了以上的准备工作,我们现在可以清楚地看到,齐次方程(4.11)的一般理论完全可以归结为第三章中一阶线性齐次微分方程组的一般理论来加以处理.由§3.3中关于齐次方程组的有关定理,可以自然地得到下面的关于齐次方程(4.11)的一系列定理.定理4.2 齐次方程(4.11)的n 个解12(),(),,()n x x x ϕϕϕ在其定义区间I 上线性无关(相关)的充要条件是在I 上存在点x 0,使得它们的朗斯基行列式W(x ０)≠0(W(x ０)＝０).定理4.3 如果12(),(),,()n x x x ϕϕϕ是方程(4.11)的n 个线性无关解,则1122()()()n n y C x C x C x ϕϕϕ=+++ (4.16)是方程(4.11)的通解,其中C １,C ２,…,C n 为n 个任意常数.通常称定理4.3为方程(4.11)的基本定理.定义4.3 方程(4.11)的定义在区间I 上的n 个线性无关解称为(4.11)的基本解组.由定义4.3,方程(4.11)的基本定理又可叙述为：方程(4.11)的通解为它的基本解组的线性组合.例3 易于验证函数y １=cos x, y ２=sin x 是方程y ″＋y=0的解.并且由它们构成的朗斯基行列式01cos sin sin cos ''2121≠=-=x x xx y y y y在(－∞,＋∞)上恒成立,因此,这两个函数是已知方程的两个线性无关解,即是一基本解组,故该方程的通解可写为y(x)=C １cos x+C ２sin x其中,C １,C ２是任意常数.不难看出,对于任意的非零常数k １和k ２函数组y １＝k １cos x, y ２=k ２sin x都是已知方程的基本解组.基本定理表明,齐次方程(4.11)的所有解的集合是一个n 维线性空间.进一步,我们还有定理4.4 n 阶齐次方程(4.11)的线性无关解的个数不超过n 个. 定理4.5 n 阶齐次方程(4.11)总存在定义在区间I 上的基本解组. 最后,齐次方程(4.11)的解与它的系数之间有如下关系.定理4.6 设12(),(),,()n x x x ϕϕϕ是方程(4.11)的任意n 个解,W(x)是它们的朗斯基行列式,则对区间I 上的任一x ０有10-()0W(x)=W(x )exx p t dt⎰ (4.17)上述关系式称为刘维尔(Liouvill e )公式.由公式(4.17)可以再次看出齐次方程(4.11)的朗斯基行列式的两个重要性质：１．方程(4.11)解的朗斯基行列式W(x)在区间I 上某一点为零,则在整个区间I 上恒等于零.２． 方程(4.11)解的朗斯斯行列式W(x)在区间I 上某一点不等于零,则在整个区间I 上恒不为零.下面给出刘维尔公式的一个简单应用：对于二阶线性齐次方程y ″+p(x)y ′+q(x)y=0如果已知它的一个非零特解y １,依刘维尔公式(4.17),可用积分的方法求出与y 1线性无关的另一特解,从而可求出它的通解.设y 是已知二阶齐次方程一个解,根据公式(4.17)有⎰=-dsx p C y y y y )(11e '' 或⎰=--ds x p C yy y y )(11e '' 为了积分上面这个一阶线性方程,用211y 乘上式两端,整理后可得 ⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-dxd p y C y y x )(211e d d 由此可得⎰+⎰=-*21)(1e C dx y C y y dx x p 易见⎰⎰=-dx y y y dxx p )(211e 1是已知方程的另一个解,即C *=0, C=1所对应的解.此外,由0e '')(11≠⎰=-dxx p C y y y y所以,所求得的解y 与已知解y １是线性无关解.从而,可得已知方程的通解⎰⎰+=-x y Cy C*y y dxx p d e 1)(2111 (4.18) 其中C *和C 是任意常数.例4 求方程(1-x ２)y ″-2xy ′+2y=0的通解.解 容易看出,已知方程有特解y １＝x.此处212)(x xx p --=, 根据公式(4.18),立刻可以求得通解⎪⎭⎫⎝⎛--++=⎪⎭⎫⎝⎛-++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰+=⎰⎰⎰-111ln 211ln 211112111211)1(e 1**2*22*1221*12x x x C C x x x Cx C dx x x x C C x x x dx C C x dx y C C y y dx x x习题4.1.21. 试讨论下列各函数组在他们的定义区间上是线性相关的还是线性无关的?(1) sin 2,cos ,sin t t t (2) ,tan x x (3) 223,2,24x x x x x -+++ (4) 2,,t t t e te t e2．设在方程()()0y p x y q x y '''++= 中,()p x 在某区间I 上连续且恒不为零,试证它的任意两个线性无关的解的朗斯基行列式是区间I 上的严格单调函数.3．试证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性的解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数..4．已知方程(1)0x y xy y '''--+=的一个解1y x =,是求其通5．已知方程211(1ln )0x y y y x x'''-+-=的一个解1ln y x =,试求其通解. 6．在方程中()()0y p x y q x y '''++=,当系数满足什么条件时,其基本解组的朗斯基行列式等于常数. 7．设1()y x 是n 阶线性齐次方程()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'+++=的一个非零解. 试证明：利用线性变换1()y y x z =可将已知方程化为1n -阶的齐次方程.8．求方程3260x y x y xy y ''''''-+-=的通解,一只他的两个特解1y x =,22y x =. 9．设111213212223313233()()()()()()()()()()a x a x a x x a x a x a x a x a x a x ∆=, 求证：111213212223313233111213111213212223212223313233313233()()()() ()()()()()()()()()()()() ()()()()()()()()()()()()a x a x a x d x a x a x a x dxa x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x '''∆='''++'''并试证对n 阶行列式也有类似结果.４.１.３ 非齐次线性微分方程与常数变易法由于n 阶非齐次方程(4.5)等价于一阶非齐次方程组(4.7),于是由第三章的定理3.10,我们有下面的定理4.7 n 阶线性非齐次方程(4.5)的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和.由此可见,求(4.5)的通解问题,就归结为求(4.5)的一个特解和对应齐次方程的一个基本解组的问题了.和一阶非齐次线性微分方程组一样,对于非齐次方程(4.5),也能够由对应齐次方程的一个基本解组求出它本身的一个特解,即常数变易法.具体作法如下.设y １,y ２,…,y n 是(4.5)的对应齐次方程的n 个线性无关解,则函数y=C １y １+C ２y ２+…+C n y n是(4.5)的通解,其中C １,C ２,…,C n 是任意常数.现在设一组函数C １(x),C ２(x),…,C n (x),使n n y x C y x C y x C y )()()(~2211+++= (4.19)成为非齐次方程(4.5)的解.由非齐次方程(4.5)与一阶非齐次方程组(4.7)的等价关系和第三章的(3.18)式,可知,'''12(),(),,()n C x C x C x 满足下面的非齐次方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---)()()()(')(')(')()()()1()1(2)1(12121x y x y x y x y x y x y x y x y x y n n n n n n ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(')(')('21x C x C x C n =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(00x f (4.20) 它是关于变量'()i C x (i=1,2,…,n)的线性代数方程组,由于它的系数行列式恰是齐次方程的n 个线性无关解的朗斯基行列式,故它恒不为零,因此,上述方程组关于'()i C x 有唯一解.解出后再积分,并代入到(4.19)中,便得到(4.5)的一个特解.例5 求非齐次方程xy y cos 1"=+ 的通解.解 由例3知y １=cosx,y ２=sinx 是对应齐次方程的线性无关解,故它的通解为y=C １cosx+C ２sinx现在求已知方程形如y 1=C 1(x)cosx+C 2(x)sinx的一个特解.由关系式(4.20), '1()C x ,'2()C x 满足方程组⎥⎦⎤⎢⎣⎡-cos sin sin cos x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(')('21x C x C =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡x cos 10或写成纯量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+x x x C x x C x x C x x C cos 1cos )('sin )('0sin )('cos )('2121 解上述方程组,得xxx C cos sin )('1-= , 1)('2=x C 积分得C １(x)=ln ｜cosx ｜, C ２(x)=x故已知方程的通解为y=C 1cos x+C 2sin x+cos x ln ｜cos x ｜+x sin x习题4.1.31.设()p x ,()q x ,()f x 在[0,1]上连续,试证明,方程()()()'''++=y p x y q x y f x 满足条件(0)(1)0==y y 的解唯一的充要条件是:方程()()0'''++=y p x y q x y 只有零解满足条件:(0)(1)0==y y .2.用常数变易法求方程21xx e y y e ''-=-的通解.3.在方程32()y y y f x '''++=中,()f x 在[,)a +∞上连续,且lim ()0x f x →+∞=,试证明,已知方程的任一解()y x 均有:lim ()0x y x →+∞=.§4.2 常系数线性微分方程的解法本节先讨论常系数线性齐次方程()(1)11'0n n n n y a y a y a y --++++= (4.21)的求解问题,这里12,,,n a a a 为实常数.由定理4.3,我们知道(4.21)的求解问题归结为求其基本解组即可.虽然对于一般的线性齐次微分方程,人们至今没有找到一个求其基本解组的一般方法,但是对于方程(4.21),这一问题已彻底解决.其中,一个自然的作法是把(4.21)化成与之等价的一阶线性常系数齐次微分方程组,然后按3.5节的有关解法及引理4.1和引理4.2,就可以求得(4.21)的基本解组.但是这样的推导过程并不十分简洁,因此我们这里将对方程(4.21)采用下面的待定指数函数法求解.首先,研究一个简单的一阶方程y ′+ay=0 (4.22)其中a 是常数,不难求出它有特解y=e -ax .比较(4.21)与(4.22),我们可以猜想方程(4.21)也有形如y=e λx (４.23)的解,其中λ是待定常数.将(4.23)代入(4.21)中得到111()0n n x n n a a a e λλλλ--++++= (4.24)因为0x e λ≠,所以有111()0n n n n P a a a λλλλ--=++++=, (4.25)我们称(4.25)为方程(4.21)的特征方程,它的根称为特征根.这样,y =e λx 是方程(4.21)的解,当且仅当λ是特征方程(4.25)的根. 下面分两种情形讨论. 4.2.1 特征根都是单根.定理4.8 若特征方程(4.25)有n 个互异根λ1,λ2,…,λn ,则x n x x n y , y y λλλe ,,e e 2121=== (4.26)是方程(4.21)的一个基本解组.证明 显然,x i iy λe = (i=1,2,…,n)分别是(4.21)的解.它们的朗斯基行列式),,(,0)(e 111e e e ee e e e e e )(1)(1121121)(11211212121212121+∞-∞∈≠-===∏≤<≤++---++---ni j j ixn nn n nx x n n x n x n x n x xxx xx x W n n n n n λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ从而(4.26)是方程(4.21)的一个基本解组.上述行列式为著名的范德蒙(Vandermond)行列式.例1 求方程y ″－５y ′=0的通解.解 特征方程为λ2－5λ＝０特征根为λ1＝０,λ2＝５,故所求通解为y=C 1＋C 2e 5x其中C 1,C 2为任意常数.例2 求方程y ″－5y ′＋6y ＝０的通解及满足初始条件：当x =0时,y =1, y ′＝２的特解.解 特征方程为2560λλ-+=。
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第四章高阶微分方程[教学目标]1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。
4.掌握高阶方程的应用。
[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。
难点是待定系数法求特解。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
[考核目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
§4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言讨论n阶线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dxa t a t a t x f t dt dt dt---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数 如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为：1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dt dt---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。
定理1 如果()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一[]0,t a b ∈ (1)(1)000,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件：1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dtϕϕϕ---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。
4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构 讨论齐线性方程1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dt dt---++++= （4.2） 定理2（叠加原理）如果12(),(),,()k x t x t x t 是方程（4.2）的k 个解，则它们的线性组合1122()()()k k c x t c x t c x t +++ 也是（4.2）的解，这里12,,,k c c c 是任意常数。
特别地，当k n =时，即方程（4.2）有解1122()()()n n x c x t c x t c x t =+++ （4.4）它含有n 个任意常数。
在什么条件下，表达式（4.4）能够成为n 阶齐线性方程（4.2）的通解？为了讨论的需要，引进函数线性相关与线性无关及伏朗斯基()Wronsky 行列式等概念。
设12(),(),,()k x t x t x t 是定义在区间a t b ≤≤上的函数，如果存在不全为零的常数12,,,k c c c ，使得恒等式1122()()()0k k c x t c x t c x t +++≡对于所有[],t a b ∈都成立，称这些函数是线性相关的，否则称这些函数在所给区间上线性无关,即当且仅当120k c c c ==== 时,上述恒等式才成立, 称这些函数在所给区间上线性无关。
由此定义不难推出如下的两个结论：1)在函数组n y y y ,,21中如果有一个函数为零，则n y y y ,,21在),(b a 上线性相关.2)如果两个函数21,y y 之比21y y 在),(b a 有定义，则它们在),(b a 上线性无关等价于比式21y y 在),(b a 上不恒等于常数. 例1函数组x x e y e y -==,1在任意区间上都是线性无关的.解 比式21y y =x x xe ee 2=-不恒等于常数在任意区间上成立：例2函数组1,cos ,sin 32221===y x y x y 在区间),(+∞-∞上线性相关. 解 若取1,1,1321-===c c c 则01)1(cos 1sin 122=-+⋅+⋅x x 故已知函数组在),(+∞-∞上线性相关.设函数12(),(),,()k x t x t x t 在区间a t b ≤≤上均有1k -阶导数,行列式[]12(),(),,()()k W x t x t x t W t ≡ 12'''12(1)(1)(1)12()()()()()()()()()k k k k k k x t x t x t x t x t x t x t x t x t ---≡称为这些函数的伏朗斯基行列式。
定理3 若函数12(),(),,()n x t x t x t 在区间a t b ≤≤上线性相关，则在[],a b 上它们的伏朗斯基行列式()0W t ≡。
证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数12,,,n c c c ，使得1122()()()0,n n c x t c x t c x t +++≡ a t b ≤≤ （4.6） 依次对t 微分此恒等式，得到'''1122''''''1122(1)(1)(1)1122()()()0()()()0()()()0n n n n n n n n n c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t ---⎧+++≡⎪+++≡⎪⎨⎪⎪+++≡⎩ （4.7）把（4.6）和（4.7）看成关于12,,,n c c c 的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是[]12(),(),,()n W x t x t x t ，由线性代数的理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零，即()0W t = ()a t b ≤≤。
反之，其逆定理一般不成立。
例如函数21 10()0 0 1 t t x t t ⎧-≤<=⎨≤≤⎩和 120 10() 0 1 t x t t t -≤<⎧=⎨≤≤⎩在区间11t -≤≤上，12[(),()]0W x t x t ≡，但在此区间上却是线性无关的。
因为，假设存在恒等式1122()()0 11c x t c x t t +≡-≤≤ （4.8）则当10t -≤<时，可知10c =；当01t ≤≤时，可知20c =.即当且仅当120c c ==时，(4.8)式对一切11t -≤≤成立.故12(),()x t x t 是线性无关的.推论1 如果函数组12(),(),,()n x t x t x t 的朗斯基行列式()W t 在区间[,]a b 上某一点0x 处不等于零，即0)(0≠x W ，则该函数组在[,]a b 上线性无关.但是，如果12(),(),,()n x t x t x t 是齐线性方程（4.2）的解，那么就有下面的定理：定理4 如果方程（4.2）的解12(),(),,()n x t x t x t 在区间a t b ≤≤上线性无关，则[]12(),(),,()n W x t x t x t 在这个区间的任何点上都不等于零，即()0W t ≠ ()a t b ≤≤。
证明：采用反证法。
设有某个0t ，0a t b ≤≤，使得0()0W t =。
考虑关于12,,,n c c c 的齐次线性代数方程组1102200'''1102200(1)(1)(1)1102200()()()0()()()0()()()0n n n n n n n n n c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t ---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（4.9）其系数行列式0()0W t =，故（4.9）有非零解12,,,n c c c 。
现以这组常数构造函数1122()()()()n n x t c x t c x t c x t ≡+++ a t b ≤≤根据叠加原理，()x t 是方程（4.2）的解。
注意到（4.9），知道这个解()x t 满足初始条件'(1)000()()()0n x t x t x t -==== （4.10）但是0x =显然也是方程（4.2）的满足初始条件（4.10）的解。
由解的唯一性，即知()0x t ≡ ()a t b ≤≤，即1122()()()0n n c x t c x t c x t +++≡ a t b ≤≤因为12,,,n c c c 不全为0，这就与12(),(),,()n x t x t x t 线性无关的假设矛盾，定理得证。
推论2 设12(),(),,()n x t x t x t 是方程（4.2）定义在[,]a b 上的n 个解，如果存在0[,]x a b ∈，使得它的朗斯基行列式0)(0≡x W , 则该解组在[,]a b 上线性相关.推论3 方程（4.2）的n 个解12(),(),,()n x t x t x t 在其定义区间[,]a b 上线性无关的充要条件是，存在0[,]x a b ∈，使得它的朗斯基行列式0)(0≠x W . 定理5 n 阶齐线性方程（4.2）一定存在n 个线性无关的解。
定理6（通解结构定理） 如果12(),(),,()n x t x t x t 是方程（4.2）的n 个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为1122()()()n n x c x t c x t c x t =+++ （4.11） 其中，12,,,n c c c 是任意常数，且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解。
证明：由叠加原理知道（4.11）是（4.2）的解，它包含有n 个任意常数。
这些常数是彼此独立的。
事实上，[]12'1212(1)(1)(1)12(),(),()0n n n n n n nx x x c c c x x x c c c W x t x t x t x x x c c c ---∂∂∂∂∂∂''∂∂∂∂∂∂≡≠∂∂∂∂∂∂()a t b ≤≤因此，（4.11）为方程（4.2）的通解；现在，我们证明它包括不方程的所有解。