常微分方程考研讲义第四章 高阶微分方程

第四章高阶微分方程

[教学目标]

1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与

结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。

2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。

3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。

4.掌握高阶方程的应用。

[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。难点是待

定系数法求特解。

[教学方法] 讲授，实践。

[教学时间] 16学时

[教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性

方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。[考核目标]

1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。

2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。

3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。

4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。

§4.1线性微分方程的一般理论

4.1.1引言

讨论n阶线性微分方程

1111()()()()n n n n n n d x d x dx

a t a t a t x f t dt dt dt

---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数 如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为：

1111()()

()0n n n n n n d x d x dx

a t a t a t x dt dt dt

---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。

定理1 如果()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一

[]0,t a b ∈ (1)(1)

000

,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件：

1(1)(1)0000001

()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dt

ϕϕϕ---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。 4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构 讨论齐线性方程

1111()()

()0n n n n n n d x d x dx

a t a t a t x dt dt dt

---++++= （4.2） 定理2（叠加原理）如果12(),(),,()k x t x t x t 是方程（4.2）的k 个解，则它们的线性组合1122()()()k k c x t c x t c x t +++ 也是（4.2）的解，这里12,,,k c c c 是任意常数。

特别地，当k n =时，即方程（4.2）有解

1122()()()n n x c x t c x t c x t =+++ （4.4）

它含有n 个任意常数。在什么条件下，表达式（4.4）能够成为n 阶齐线性方程（4.2）的通解？为了讨论的需要，引进函数线性相关与线性无关及伏朗斯基()Wronsky 行列式等概念。

设12(),(),,()k x t x t x t 是定义在区间a t b ≤≤上的函数，如果存在不全为零的常数

12,,,k c c c ，使得恒等式

1122()()()0k k c x t c x t c x t +++≡

对于所有[],t a b ∈都成立，称这些函数是线性相关的，否则称这些函数在所给区间上线性无关,即当且仅当120k c c c ==== 时,上述恒等式才成立, 称这些函数在所给区间上线性无关。

由此定义不难推出如下的两个结论：

1)在函数组n y y y ,,21中如果有一个函数为零，则n y y y ,,21在),(b a 上线性相关.

2)如果两个函数21,y y 之比2

1

y y 在),(b a 有定义，则它们在),(b a 上线性无关等价于比式

2

1

y y 在),(b a 上不恒等于常数. 例1函数组x x e y e y -==,1在任意区间上都是线性无关的.

解 比式21y y =x x x

e e

e 2=-不恒等于常数在任意区间上成立：

例2函数组1,cos ,sin 32221===y x y x y 在区间),(+∞-∞上线性相关. 解 若取1,1,1321-===c c c 则01)1(cos 1sin 122=-+⋅+⋅x x 故已知函数组在

),(+∞-∞上线性相关.

设函数12(),(),,()k x t x t x t 在区间a t b ≤≤上均有1k -阶导数,行列式

[]12(),(),,()()k W x t x t x t W t ≡ 12'''

12(1)(1)(1)

12()

()

()

()()

()

()()()

k k k k k k x t x t x t x t x t x t x t x t x t ---≡

称为这些函数的伏朗斯基行列式。

定理3 若函数12(),(),,()n x t x t x t 在区间a t b ≤≤上线性相关，则在[],a b 上它们的伏朗斯基行列式()0W t ≡。

证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数12,,,n c c c ，使得

1122()()()0,n n c x t c x t c x t +++≡ a t b ≤≤ （4.6） 依次对t 微分此恒等式，得到