逻辑代数基础(卡诺图应用及无关项)
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第六讲 具有无关项和多输出逻辑函数卡诺图化简法
L = A D + AD
L = L = A D + AD
L = A D + AD
CD 00 AB 00 0 01 0 11 10
01 11 10
1
= A D • AD = ( A + D) • ( A + D ) = ( A + D) • ( A + D ) = A+ D+ A + D
1 1
× 0 1 × 0 0 × × 0 0 ×
L2 = AB C + BC
将两个输出函数视为一个整体， 将两个输出函数视为一个整体，其化简过程如下
BC A 00 0 0 1
01
11
1 1
1 1
BC 10 A 00 0 0 0
01
11
10
0 0
1 1
0 0
1
0
1
1
L1 = AB C + C
L2 = AB C + BC
逻辑图如 ２８图 逻辑图如Ｐ２８图１．２０，图１．２１ ２０，
•
•
逻辑问题的描述可用真值表、函数式、逻辑图、 逻辑问题的描述可用真值表、函数式、逻辑图、卡诺 图和时序图
求其最简与或式
F = D + BC
某逻辑函数输入是8421 8421BCD码，其逻辑表达式为： 例８. 某逻辑函数输入是8421 码 其逻辑表达式为： L（A,B,C,D）=∑ （1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15） , ）=∑m（1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15） （ 用卡诺图法化简该逻辑函数。 用卡诺图法化简该逻辑函数。 解：（1）画出4变量卡诺图。将1、4、5、6、7、9号小方格填入1； 画出4变量卡诺图。 号小方格填入1 10、11、12、13、14、15号小方格填入 号小方格填入× 将10、11、12、13、14、15号小方格填入×。 合并最小项，如图（ ） 所示。注意， 方格不能漏。 （ 2 ） 合并最小项 ， 如图 （ a）所示 。 注意 ， 1 方格不能漏 。 × 方 格根据需要，可以圈入，也可以放弃。 格根据需要，可以圈入，也可以放弃。 写出逻辑函数的最简与—或表达式 或表达式: （3）写出逻辑函数的最简与 或表达式: 如果不考虑无关项，如图（b）所示，写出表达式为： 如果不考虑无关项，如图（b）所示，写出表达式为：
卡诺图及其应用
重点和难点各是什么？
课外能力强化
1、书面作业： 课本习题4.4.2（必做题） 习题集4.4.2（选做题） 学习与训练4.4（选做题） 2、实践作业： 实践指导4.4
探究
在三变量的卡诺图中BC为何取00，01， 11，10，而不是从小到大．
因为卡诺图中任意两相邻方格中的项，
只有一项因子不同，即逻辑相邻．
实训
请画出四个逻辑变量的卡诺图。
练习与评价
画出下列各逻辑函数的卡诺图： （1） f ( A，B，C) ABC （2） f ( A，B，C) AC
导学
下面是两个逻辑变量的卡诺图（如图）：
为了清楚地看出卡诺图与逻辑函数表达式之间的关系，我 们将卡诺图画成下面的形式
B
A
A
B 0 1
0
m0 m2
B 1
m1
A
m3
导学
三个逻辑变量的卡诺图为
BC
A
A
BC
01
m1
m5
BC
BC
BC 0 1
00
m0 m4
11
m3
m7
10
m2 m6
A
k个逻辑变量的卡诺图，要画出 2k 个方格．每个方格 与一个最小项相对应，方格的编号与最小项的编号相同．
4.4 卡诺图及其应用
4.4.2 卡诺图
导入
利用运算律来化简逻辑函数表达式，需 要一系列的推导，一般是比较复杂的．实际 中，这种化简过程可以利用“卡诺图”来完 成．
预读
1、什么是卡诺图？ 2、了解两个逻辑变量的卡诺图和三个逻辑 变量的卡诺图？
思议
四个逻辑变量的卡诺图应该如何画？
导学
卡诺图是一张表，除了直接相邻的两个格称为相邻外， 表中最左边一行的小方格与最右边一行的对应方格也称为
第二章_逻辑代数卡诺图
2.12.1 逻辑代数•逻辑代数——布尔代数–分析和设计逻辑电路不可缺少的数学工具。
–提供一种方法：使用二值函数进行逻辑运算。
–逻辑代数有一系列的定律和规则，用它们对数学表达式进行处理，可以完成对电路的化简、变换、分析和设计。
2.1.1逻辑代数的定律和运算规则一、逻辑代数的基本公式在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：（1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明。
（2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变。
2.1.3逻辑函数的代数化简法一、逻辑函数式的常见形式一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。
例如：其中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。
二、逻辑函数的最简“与—或表达式”的标准（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。
（2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“· ”号最少。
（3）消去法。
2.2逻辑函数的卡诺图化简法一、最小项的定义与性质）2 .卡诺图最小项的定义：n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项。
n变量逻辑函数的全部最小项共有2n个。
用小方格来表示最小项，一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按照相邻性排列起来。
即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。
3．卡诺图的结构（1）二变量卡诺图仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性：（1）直观相邻性，只要小方格在几何位置上相邻（不管上下左右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。
（2）对边相邻性，即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性。
2.2.3用卡诺图表示逻辑函数1．从真值表到卡诺图2．从逻辑表达式到卡诺图（1）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。
（2）如表达式不是最小项表达式，但是“与—或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。
也可直接填入。
2.2.4逻辑函数的卡诺图化简法1．卡诺图化简逻辑函数的原理 :（1）2个相邻的最小项结合，可以消去1个取值不同的变量而合并为l项。
约束项、任意项和无关项的辨析
约束项、任意项和⽆关项的辨析约束项、任意项和⽆关项等⼀、逻辑代数的基本定理带⼊定理，⽤⼀个逻辑式代替等式中所有同⼀个变量，等式仍然成⽴。
反演定理，与或互换，原反互换，结果为原来结果的取反。
--注：1.仍要注意先括号再乘，最后加的优先次次序。
2.不属于单个变量上的反号要保留不变。
对偶定理，所谓对偶，就是把逻辑式中与、或互换，0、1互换（注意，不是逻辑式取反。
），如果两逻辑式相等，那么他们的对偶式也相等。
⼆、从真值表写出逻辑函数式的⼀般⽅法找出真值表中Y=1的输⼊变量的组合；取值为1的取原变量，为0的取反变量，然后与起来；这些乘积项相加即得Y的逻辑函数式。
三、逻辑函数的标准形式，最⼩项之和、最⼤项之积。
最⼩项，所有变量（或其反变量）都在⼀个乘积项中出现⼀次。
最⼤项，所有变量（或其反变量）都在和式中出现⼀次。
四、逻辑函数的化简⽅法最简形式，在逻辑式中，乘积项最少，乘积项中的因⼦也最少。
五、卡诺图，将n变量的全部最⼩项⽤⼀个⼩⽅块表⽰，并使具有逻辑相邻性(6) 若两个最⼩项只有⼀个因⼦不同，则称他们有逻辑相邻性）的最⼩项在⼏何位置上也相邻的排列起来的图形。
⽤卡诺图化简的步骤：将逻辑函数化为最⼩项之和的形式；画出卡诺图（1表⽰原变量，0表⽰取反的；有相应最⼩项的地⽅添1，没有则添0）；找出可以合并的最⼩项；--允许重复使⽤最⼩项；选取化简后的乘积项。
选取化简后的乘积项。
注：也可以合并0求出Y反再把Y反求反得到Y，因为所有的最⼩项之和为1，Y与Y反之和也为⼀，Y为添1那部分最⼩项的和，所以Y反⼀定就是添0那部分最⼩项的和了。
六、具有⽆关项的逻辑函数以及其化简1、与函数⽆关的最⼩项称为⽆关项，⽆关项是约束项和任意项的总称，⽤d 表⽰。
2、约束项⑴⼀个n变量的函数并不⼀定与2n个最⼩项都有关，有时，它仅与其中⼀部分有关，⽽与另⼀部分⽆关。
例如BCD 码，只⽤了4位⼆进制数组成的16个最⼩项中的10个编码，其中必有6个最⼩项是不会出现的，我们称这些最⼩项为约束项。
卡诺图化简
Y ( A, B, C , D ) ABC ABCD ABCD ABCD 约束条件：A ⊙ B＝0
逻辑函数中的无关项
• 无关项在逻辑函数化简中的作用：
– 例2：用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最 简与或式和或与式。
Y ABC ABCD ABCD ABCD CD AB 00 约束条件：A B＝0 00 × 约束条件可表示为：AB AB 0 01 1
逻辑函数中的无关项
• 约束项：
– 表示方法：
ABC 0 ABC 0 ABC 0 ABC 0 ABC 0
或
由于约束项的值始终为 0，所以既可以将约束 项写进逻辑函数式，也 可以不写。
ABC ABC ABC ABC ABC 0
逻辑函数中的无关项
BC A 0 1
1
00
01
1 1
11
1
10
1 1
卡诺图化简法
• 利用卡诺图化简函数
– 例1：用卡诺图化简 Y AC AC BC BC
Y AC AC BC BC AC BC AB
BC A 0 1
1
00
01
1 1
11
1
10
1 1
注：卡诺图化简不是唯 一，不同的圈法得到的 简化结果不同，但实现 的逻辑功能相同的。
0
11
0
10
0
最简或与式：
Y B( A C D)( A C D)
1
0 0
1
1 0
0
1 0
1
1 0
卡诺图化简法
• 利用卡诺图化简函数
– 例3：用卡诺图化简为最简与或式和最简或与式 Y M (2,3,4,6,11,12,14)
逻辑函数中的无关项
• 无关项在逻辑函数化简中的作用：
– 例2：用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最 简与或式和或与式。
Y ABC ABCD ABCD ABCD CD AB 00 约束条件：A B＝0 00 × 约束条件可表示为：AB AB 0 01 1
逻辑函数中的无关项
• 约束项：
– 表示方法：
ABC 0 ABC 0 ABC 0 ABC 0 ABC 0
或
由于约束项的值始终为 0，所以既可以将约束 项写进逻辑函数式，也 可以不写。
ABC ABC ABC ABC ABC 0
逻辑函数中的无关项
BC A 0 1
1
00
01
1 1
11
1
10
1 1
卡诺图化简法
• 利用卡诺图化简函数
– 例1：用卡诺图化简 Y AC AC BC BC
Y AC AC BC BC AC BC AB
BC A 0 1
1
00
01
1 1
11
1
10
1 1
注：卡诺图化简不是唯 一，不同的圈法得到的 简化结果不同，但实现 的逻辑功能相同的。
0
11
0
10
0
最简或与式：
Y B( A C D)( A C D)
1
0 0
1
1 0
0
1 0
1
1 0
卡诺图化简法
• 利用卡诺图化简函数
– 例3：用卡诺图化简为最简与或式和最简或与式 Y M (2,3,4,6,11,12,14)
第2章 逻辑代数基础2.6具有无关项的逻辑函数及其化简(6)
2 –5 –3
三、用卡诺图化简逻辑函数
①卡诺图的性质
a. 卡诺图上任何2（21)个标“1”的相邻最小项，可 以合并成一项，并消去1个取值不同的变量。 消去变 量D 表 2.6.10 Y 的卡诺图 例1：图中有 CD
m2 m 3 ABCD ABCD ABC ( D D) ABC
1 1 1
1
1 1
Y AB AC BC
2 –5 –10
或者圈法如图所示，则
表2.6.14 Y BC A 00 01 0 1 1 1
的卡诺图 11 1 10 1 1
的卡诺图 11 10
Y BC AB AC
与第一种圈法相比
1
Y AB AC BC
AB 00 01 11 10
2 –5 –4
00 1
01
11 1
10 1
1 1 1 1 1
b. 卡诺图上任何4（22)个标“1”的相邻最小项， 可以合并成一项，并消去2个取值不同的变量。 例2：图有
m5 m7 m13 m15
CD A' BC ' D A' BCD ABC ' D ABCD AB 00 BD( A' C ' A' C AC ' AC ) BD 00 1 01 11 10
故卡诺图简化不是唯一的
表2.6.13 Y BC A 00 01 0 1
1 1 1
1
1 1
2 –5 –11
例 2： 化简 简 函 Y A' BC ABC ' ABC 为最简与或式。 第二步，填卡诺图 BC 第四步，各乘积项 第一步，将函数化 第三步，合并最 11 10 00 01 相加 A 成最小项和的形式。 小项 0 1 0 0 0 BC
第2章逻辑代数基础
卡诺图是真值 表的一种特殊形式， 是化简逻辑函数的 重要工具。
1、卡诺图的构成
将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且 使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序 排列，这样构成的图形就是卡诺图。
项小 每 与项 个 它有 2 相两 变 邻个 量
最的 小最
A
AB
B
0 1C
0 m0 m2
Y(A, B,C, D) m(1,3,4,6,7,11,14,15)
AB
CD
00
01
11
10
00 0
1
0
0
m4
m1
01 1
0
0
0
m3
11 1
1
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
m11
10 0
1
1
0
m6 m7
m14
m15
（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不 必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那 些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余 的方格内填入0。
ABC
DE
000 001 011 010
110 111 101 100
变量数 n = 5 在卡诺图
m m m m m m m m 00
0
4 12 8
24 28 20 16
上有 25 = 32 个小方格，对 应32个最小项。每个小方格 有5个相邻格。
m m m m m m m m 01
1
5 13 9
25 29 21 17
0
1 m1 m3
1
2 变量卡诺图
00 01 11 10 m0 m2 m6 m4 m1 m3 m7 m5
1、卡诺图的构成
将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且 使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序 排列，这样构成的图形就是卡诺图。
项小 每 与项 个 它有 2 相两 变 邻个 量
最的 小最
A
AB
B
0 1C
0 m0 m2
Y(A, B,C, D) m(1,3,4,6,7,11,14,15)
AB
CD
00
01
11
10
00 0
1
0
0
m4
m1
01 1
0
0
0
m3
11 1
1
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
m11
10 0
1
1
0
m6 m7
m14
m15
（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不 必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那 些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余 的方格内填入0。
ABC
DE
000 001 011 010
110 111 101 100
变量数 n = 5 在卡诺图
m m m m m m m m 00
0
4 12 8
24 28 20 16
上有 25 = 32 个小方格，对 应32个最小项。每个小方格 有5个相邻格。
m m m m m m m m 01
1
5 13 9
25 29 21 17
0
1 m1 m3
1
2 变量卡诺图
00 01 11 10 m0 m2 m6 m4 m1 m3 m7 m5
逻辑代数基础
2、不属于单个变量上的反号应保留不变。
Y A( B C ) CD
Y ( A BC)(C D) Y (( AB C ) D) C
Y (((A B)C)D) C
三、 对偶定理
对任何一个逻辑表达式Y 作对偶变换，可得Y的 对偶式YD, YD称为Y的对偶式。 对偶变换： “﹒”→“﹢” 对偶定理：如果两个逻辑式相等， 则它们的对偶式也相等。
1 1
C
0
1
1 0
1 0
1 1 t 1 0 1 1
0
1 0 1
Y
1
0
1
三、逻辑函数的两种标准形式 最小项: 在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘 积项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在 m 中出现，且仅出现一次，则这个乘积项m称为该 组变量的最小项。 3个变量A、B、C可组成 8(23)个最小项：
“﹢”→“﹒”
“0” → “1”
“1” →“0”
利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公 式数目减少一半。
Y A( B C )
Y A B C
D
Y ( AB CD)
Y (( A B) (C D))
D
（2）式 （12）式
1 A A
0 A A
A( B C ) AB AC
§2.2
逻辑代数中的三种基本运算
一、与逻辑（与运算） 与逻辑：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，
B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。表达
式为： Ｙ＝ＡＢＣ…
例：开关A，B串联控制灯泡Y
A A A A E E E E
电路图
BB B B YY Y Y
逻辑代数基础
第1章 逻辑代数基础
主要内容
1.1 逻辑代数概述 1.2 逻辑代数的基本定理 1.3 逻辑代数的标准表达式和卡诺图 1.4 逻辑函数的化简
2019/10/20
要求：
1.掌握逻辑代数的基本公式和基本定理 2.掌握逻辑函数的化简方法
2
数字逻辑基础
1.1 逻辑代数概述
2019/10/20
3
数字逻辑基础
1.2 逻辑代数的基本定理
2019/10/20
5
数字逻辑基础
1.1.1 逻辑变量和逻辑函数 (1)
1.逻辑变量 A.分类：输入和输出。 B.取值：真、假，常用1代表“真”，0代表 “假”。 C.和二进制数的区别：“1”与“0”是逻辑概念，仅 代表真与假，没有数量大小，运算规律依照逻辑 运算进行。
2019/10/20
6
数字逻辑基础
2019/10/20
19
数字逻辑基础
1.2 逻辑代数的基本定理
1.2.1 基本公式 1.2.2 其他常用逻辑恒等式 1.2.3 基本逻辑定理
2019/10/20
20
数字逻辑基础
1.2.1 基本公式 (1)
2019/10/20
数字逻辑基础
21
1.2.1 基本公式 (2)
四.特殊定律
注意：
A. 同一律（等幂律）： 1.可用基本公式进行化简，以简
A
=1
B
=1
C
A
=1 &
&
YB
Y
C
2019/10/20
一般表示法
17
组合表示法
数字逻辑基础
4.国外逻辑图符号对照
国标符号 GB4728.12-1996 美、日常用符号
主要内容
1.1 逻辑代数概述 1.2 逻辑代数的基本定理 1.3 逻辑代数的标准表达式和卡诺图 1.4 逻辑函数的化简
2019/10/20
要求：
1.掌握逻辑代数的基本公式和基本定理 2.掌握逻辑函数的化简方法
2
数字逻辑基础
1.1 逻辑代数概述
2019/10/20
3
数字逻辑基础
1.2 逻辑代数的基本定理
2019/10/20
5
数字逻辑基础
1.1.1 逻辑变量和逻辑函数 (1)
1.逻辑变量 A.分类：输入和输出。 B.取值：真、假，常用1代表“真”，0代表 “假”。 C.和二进制数的区别：“1”与“0”是逻辑概念，仅 代表真与假，没有数量大小，运算规律依照逻辑 运算进行。
2019/10/20
6
数字逻辑基础
2019/10/20
19
数字逻辑基础
1.2 逻辑代数的基本定理
1.2.1 基本公式 1.2.2 其他常用逻辑恒等式 1.2.3 基本逻辑定理
2019/10/20
20
数字逻辑基础
1.2.1 基本公式 (1)
2019/10/20
数字逻辑基础
21
1.2.1 基本公式 (2)
四.特殊定律
注意：
A. 同一律（等幂律）： 1.可用基本公式进行化简，以简
A
=1
B
=1
C
A
=1 &
&
YB
Y
C
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一般表示法
17
组合表示法
数字逻辑基础
4.国外逻辑图符号对照
国标符号 GB4728.12-1996 美、日常用符号
逻辑代数基础(卡诺图应用及无关项)
表2.6.1 Y的卡诺图 CD AB 00 01 11 10
00 1 1
×
01 ×
×1
11 × × 1 1 × 1××
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项 还有另一种圈法，如图2.6.2所示
此种圈法圈数少，变量少，
比上一种简单
表2.6.2 Y的卡诺图
CD
简化后的逻辑函数为
AB 00 01 11 10
它们的卡诺图如表2.7.2和 2.7.3所示
BC 表2.7.2 Y的卡诺图 A 00 01 11 10
0
1 11
1
11
则 Y G
BC 表2.7.3 G的卡诺图 A 00 01 11 10
01
11
1
2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算
2.函数运算
若已知函数Y1和Y2，则可利用卡诺图做逻辑运算。 例2.7.1若Y1＝AB＋AC ，Y2＝A＋BC 试利用卡诺 图求Y1＋Y2 、Y1＋Y2及Y1⊙Y2
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项
例2.6.1 用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最简与或式 和或与式
Y(A, B,C, D) (0,1,6,9,14,15) d(2,4,7,8,10,11,12,13)
解：Y的卡诺图如表2.6.1所示 则最简与或式为
Y D A BC
Y ABCD ACD ABCD 约束条件：C、D不可能相同
*2.7 卡诺图的其它应用
卡诺图除了简化逻辑函数，还可以有下面的一些应用
2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算
1 判明函数关系 利用卡诺图可以判明函数是否相等、互补。若
两个函数的卡诺图相同，则这两个函数一定相等。 即若函数Y和G的卡诺图相同，则Y＝G。若两个函 数的卡诺图中“0”和“1”对调，则这两个函数为互 补。
第3章-逻辑代数基础
为0。 (b) 任何两个不同最大项逻辑“或”为“1”。 (c) 全部最大项之逻辑“与”为“0”。 (d) 某一种最大项不是包括在逻辑函数F中，就是包括在反变
量F中。 (e) n个变量构成旳最大项有n个相邻最大项。相邻最大项是指
除一种变量互为相反外，其他变量均相同旳最大项。
35
最小项与最大项旳关系
下标i相同旳最小项与最大项互补，即: mi Mi
措施二：
Y AB(C D E)
12
AB AC AB AC 合理( A地利B用)反( A演定C理) 能将某些问题简化
证明：
AA AC AB BC AC AB BC
AC AB
13
３．对偶规则 对于任何一种逻辑体现式F，假如将式中全
部旳“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0” 换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变， 原体现式中旳运算优先顺序不变。那么就能够得 到一种新旳体现式，这个新旳体现式称为F旳对 偶式F*。这个规则叫做对偶规则。
A BD CD BC 25
例3-13 化简 F (B D)(B D A G)(C E)(C G)(A E G)
解：(1) 先求出F旳对偶函数,并对其进行化简 F* BD BDAG CE CG AEG
BD CE CG
(2) 求 F* 旳对偶函数，得F旳最简或与体现式:
F A BC ( A BC)( A BC D)
( A BC) ( A BC)( A BC D)
( A BC)
20
(4)F ABCD ABC F D ABC
(5)F A ACD ABC F A CD ABC A CD BC
(6)F AC AD CD F AC ( A C)D AC ACD AC D
量F中。 (e) n个变量构成旳最大项有n个相邻最大项。相邻最大项是指
除一种变量互为相反外，其他变量均相同旳最大项。
35
最小项与最大项旳关系
下标i相同旳最小项与最大项互补，即: mi Mi
措施二：
Y AB(C D E)
12
AB AC AB AC 合理( A地利B用)反( A演定C理) 能将某些问题简化
证明：
AA AC AB BC AC AB BC
AC AB
13
３．对偶规则 对于任何一种逻辑体现式F，假如将式中全
部旳“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0” 换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变， 原体现式中旳运算优先顺序不变。那么就能够得 到一种新旳体现式，这个新旳体现式称为F旳对 偶式F*。这个规则叫做对偶规则。
A BD CD BC 25
例3-13 化简 F (B D)(B D A G)(C E)(C G)(A E G)
解：(1) 先求出F旳对偶函数,并对其进行化简 F* BD BDAG CE CG AEG
BD CE CG
(2) 求 F* 旳对偶函数，得F旳最简或与体现式:
F A BC ( A BC)( A BC D)
( A BC) ( A BC)( A BC D)
( A BC)
20
(4)F ABCD ABC F D ABC
(5)F A ACD ABC F A CD ABC A CD BC
(6)F AC AD CD F AC ( A C)D AC ACD AC D
2、具有无关项的逻辑函数及
解：列真值表，见表1-20所示。
表1-20 例1-12的真值表
画卡诺图并化简。
5
图1-20 例1-12的卡诺图
利用无关项化简结果为：Y＝A＋BD＋BC 充分利用无关项化简后得到的结果要简单得 多。注意：当圈组后，圈内的无关项已自动取值 为1，而圈外无关项自动取值为0。
2012-11-2 6
例1-13化简逻辑函数 Y(A、B、C、D)= ∑m(1,2,5,6,9)+ ∑d(10,11,12,13,14,15) 式中d表示无关项。 解：画函数的卡诺图并化简。
2012-11-2 3
② 具有无关项的逻辑函数及其化简 因为无关项的值可以根据需要取0或取1，所以在 用卡诺图化简逻辑函数时，充分利用无关项，可以使 逻辑函数进一步得到简化。
2012-11-2
4
例1-12 设ABCD是十进制数X的二进制编码，当 X≥5时输出Y为1，求Y的最简与或表达式。
X A B 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 1 0 9 1 0 / 1 0 / 1 0 / 1 1 / 1 1 / 1 1 / 2012-11-2 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 × × × × × ×
1.3
1.3.5
逻辑函数及其化简
结束 放映
逻辑函数的卡诺图化简法
5. 具有无关项的逻辑函数及其化简
本章小结
2012-11-2
1
复习
卡诺图化简法的特点？步骤？ 什么叫逻辑相邻？ 正确圈组的原则？
数字逻辑基础卡诺图化简
AB C ABC ABC
Y ( A, B, C ) m3 m6 m7 或： m (3,6,7)
2019/3/18
8
例2: 写出三变量函数的最小项表达式。 解 利用摩根定律将函数变换为与或表达 式，然后展开成最小项之和形式。
Y ( A, B, C ) AB AB C AB
2019/3/18 22
m3
BCD
m11
图1-15
2019/3/18
两个最小项合并
23
图1-16
2019/3/18
四个最小项合并
24
2019/3/18
图1-17
八个最小项合并
25
（2）利用卡诺图化简逻辑函数 A．基本步骤： ① 画出逻辑函数的卡诺图； ② 合并相邻最小项（圈组）； ③ 从圈组写出最简与或表达式。 关键是能否正确圈组 。 B．正确圈组的原则 ① 必须按2、4、8、2N的规律来圈取值为1的相 邻最小项； ② 每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一次， 但可以圈多次； ③ 圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能 大（消去的变量就越多）。
2019/3/18
卡诺图化简法
含有无关项的逻辑函数的化简
2
2.4 逻辑函数的卡诺图化简法
公式化简法评价： 优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简 有时不易判断。
利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。 它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺 点。 卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑 函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一 种方法。 卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论 2019/3/18 3 一下最小项及最小项表达式。
2019/3/18 26
7-3 无关项及其在化简中的应用.
如：对8421-BCD码而言，输出的有效码为0000～ 1001，其余六个代码1010～1111则为其禁用码。若能 在输入禁用码时给出输入错误指示（如示警LED灯亮或 蜂鸣器发出声响），则这些输入对应的输出是‘0’或 ‘1’已不重要，即可当任意项进行处理。
《数字电子技术基础》
第七讲 逻辑函数的卡诺图化简法
█ 无关项定义
无关项——约束项和任意项统称为逻辑函数 中的无关项。“无关”指是否将这些最小项写入逻 辑函数式无关紧要，在卡诺图中用“×”表示无关 项。在化简逻辑函数时，可认为它是1，也可认为 它是0。
《数字电子技术基础》
第七讲 逻辑函数的卡诺图化简法
█ 无关项在化简逻辑函数中的应用
化简具有无关项的逻辑函数时，如果能合理利用这些 无关项，一般都可以得到更加简单的化简结果。
《数字电子技术基础》
第七讲 逻辑函数的卡诺图化简法
思考 由上例可得出什么结论和启示？
解答：此例有两种解法，从原理而言，两 种解法均正确，但就“最简”原则而言，只有一 种解法最简单、最可取。因此，在考虑卡诺图 化简不唯一性的同时，还应考虑“最简”原则。
《数字电子技术基础》
合并最小项时，究竟把卡诺图上的“×”作为1还是0， 应以得到的相邻最小项矩形组合最大，而且矩形组合数目 最小为原则。
例1：试化简逻辑函数
Y = AC D + ABC D + ABC D
已知约束条件为：
ABC D + ABCD + ABC D + ABCD + ABC D + ABCD = 0
《数字电子技术基础》
第七讲 逻辑函数的卡诺图化简法
1
1
1
x x xx
பைடு நூலகம்
《数字电子技术基础》
第七讲 逻辑函数的卡诺图化简法
█ 无关项定义
无关项——约束项和任意项统称为逻辑函数 中的无关项。“无关”指是否将这些最小项写入逻 辑函数式无关紧要，在卡诺图中用“×”表示无关 项。在化简逻辑函数时，可认为它是1，也可认为 它是0。
《数字电子技术基础》
第七讲 逻辑函数的卡诺图化简法
█ 无关项在化简逻辑函数中的应用
化简具有无关项的逻辑函数时，如果能合理利用这些 无关项，一般都可以得到更加简单的化简结果。
《数字电子技术基础》
第七讲 逻辑函数的卡诺图化简法
思考 由上例可得出什么结论和启示？
解答：此例有两种解法，从原理而言，两 种解法均正确，但就“最简”原则而言，只有一 种解法最简单、最可取。因此，在考虑卡诺图 化简不唯一性的同时，还应考虑“最简”原则。
《数字电子技术基础》
合并最小项时，究竟把卡诺图上的“×”作为1还是0， 应以得到的相邻最小项矩形组合最大，而且矩形组合数目 最小为原则。
例1：试化简逻辑函数
Y = AC D + ABC D + ABC D
已知约束条件为：
ABC D + ABCD + ABC D + ABCD + ABC D + ABCD = 0
《数字电子技术基础》
第七讲 逻辑函数的卡诺图化简法
1
1
1
x x xx
பைடு நூலகம்
卡诺图化简所应用的逻辑代数原理与方法
卡诺图化简所应用的逻辑代数原理与方法kamaugh map Simplification of the applicationof principles and methods of algebraic logic【摘要】逻辑代数卡诺图化简是数字电子技术的一个重要内容，本文讨论了卡诺图化简逻辑代数的化简原理以及基本方法。
卡诺图利用了格雷码的循环相接性质进行化简，采用画卡诺圈进行逻辑合并。
【关键词】逻辑代数；卡诺图；化简【Abstract】Simplifying logic function by kamaugh map is an important content of digital electronic technique. This paper explores the principle and basic methods of Simplifying logic function by kamaugh map.K-map use the cycle phase nature of the Gray code to simplifying logic function and use carnot cycle to merge logic.【Key Word】Logic Function;Karnaugh Map;Simplifying引言在ASIC设计和基于PLD的设计中，最小化都是一个重要的步骤。
多余的门和门输入端需要更多的面积，从而增加了成本。
但是在杂乱的代数符号中找出可结合的项是困难的。
卡诺图是逻辑函数真值表的图形表示，是一种更适于人工操作的最小化方法，其出发点是对真值表进行图形等效，它是通过一种直观形象、易于操作的方式来实现逻辑代数化简。
一、卡诺图化简的相关概念1、最小和：逻辑函数F的最小和是F的一个“积之和”表达式，F的其它“积之和”表达式不会比最小和最小和式中的乘积项更少。
电子技术——卡诺图
逻辑函数的卡诺图化简法
利用代数法化简逻辑函数，要求熟练掌握逻辑代数的基本定 律和规则，而且要有一定的技巧，特别是化简结果是否最简有时 也不能确定。而下面介绍的卡诺图法则是一种图形化简法,它有 确定的化简步骤，可以确定最终的化简结果，能比较方便地得到 逻辑函数的最简与－或表达式。
1．逻辑函数的最小项及其表达式 对于有n个变量的逻辑函数，可以组成2n个与项（乘积项）， 如果每个与项中包含全部变量，而且每个变量在与项中都以原变 量或反变量的形式出现一次，这样的与项称为逻辑函数的最小项。
L
m(0,1, 2,3,6,8) d (10,11,12,13,14,15)
解：卡诺图如图11.23所示。 把相邻项按画框的规则用框圈起来，其中令约束项d10和d14 为1，然后合并。得到 【例11.24】利用约束项化简逻辑函数 L m(0,1, 2,3, 4,5,6,9) 。 约束条件为：AB AC 0 。
L AB CD BD
解：首先将约束条件写成最小项形式为 AB(C C ) ( D D) A( B B)C ( D D) 0 即 ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD
或者 d (10,11,12,13,14,15) 0 卡诺图如图11.24所示。
2．逻辑函数的卡诺图表示法 卡诺图即最小项方格图，是以发明者美国工程师卡诺 （Karnaugh）命名的。它是用2n个方格来表示n个变量的2n个最 小项。卡诺图的特点是按几何相邻反映逻辑相邻规律进行排列， 即相邻方格里的最小项只有一个变量因子不同。在卡诺图中，将 n个变量分为两组，即行变量和列变量，分别标注在卡诺图的左 上角。行、列变量的取值顺序必须按格雷码排列，以保证相邻位 置上的最小项逻辑相邻。 一般为了画图方便，卡诺图有几种表示方法。图11.15为卡诺图 的三种表示方法（以二变量为例）。图11.16和图11.17分别为三 变量和四变量卡诺图的常用表示方法。在化简逻辑函数时，逻辑 表达式中存在的最小项通常填“1”。
利用代数法化简逻辑函数，要求熟练掌握逻辑代数的基本定 律和规则，而且要有一定的技巧，特别是化简结果是否最简有时 也不能确定。而下面介绍的卡诺图法则是一种图形化简法,它有 确定的化简步骤，可以确定最终的化简结果，能比较方便地得到 逻辑函数的最简与－或表达式。
1．逻辑函数的最小项及其表达式 对于有n个变量的逻辑函数，可以组成2n个与项（乘积项）， 如果每个与项中包含全部变量，而且每个变量在与项中都以原变 量或反变量的形式出现一次，这样的与项称为逻辑函数的最小项。
L
m(0,1, 2,3,6,8) d (10,11,12,13,14,15)
解：卡诺图如图11.23所示。 把相邻项按画框的规则用框圈起来，其中令约束项d10和d14 为1，然后合并。得到 【例11.24】利用约束项化简逻辑函数 L m(0,1, 2,3, 4,5,6,9) 。 约束条件为：AB AC 0 。
L AB CD BD
解：首先将约束条件写成最小项形式为 AB(C C ) ( D D) A( B B)C ( D D) 0 即 ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD
或者 d (10,11,12,13,14,15) 0 卡诺图如图11.24所示。
2．逻辑函数的卡诺图表示法 卡诺图即最小项方格图，是以发明者美国工程师卡诺 （Karnaugh）命名的。它是用2n个方格来表示n个变量的2n个最 小项。卡诺图的特点是按几何相邻反映逻辑相邻规律进行排列， 即相邻方格里的最小项只有一个变量因子不同。在卡诺图中，将 n个变量分为两组，即行变量和列变量，分别标注在卡诺图的左 上角。行、列变量的取值顺序必须按格雷码排列，以保证相邻位 置上的最小项逻辑相邻。 一般为了画图方便，卡诺图有几种表示方法。图11.15为卡诺图 的三种表示方法（以二变量为例）。图11.16和图11.17分别为三 变量和四变量卡诺图的常用表示方法。在化简逻辑函数时，逻辑 表达式中存在的最小项通常填“1”。
2009逻辑代数基础卡诺图
A
0 m0 m 1 m 3 m2 1 m4 m 5 m 7 m6
BC
00
01 11
10
0 m0 m 1 m 3 m2 1 m4 m 5 m 7 m6
4=22个相邻最小项（包括两 行两列的两端、四个角）可以合 并为一项，消去2个不同的变量；
CD 01 11 10 AB 00 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10
CD 00 AB m0 00 01 11
01 m1
11 m3
10 m2
m4
m12 m8
m5
m13 m9
m7
m15 m11
m6
m14 m10
10
AB CD 00 00 m0 01 m1 11 m3 10 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10
CD 00 01 AB 00 ABCD /m0 ABCD /m1 01 ABCD /m4 ABCD /m5
11
10
ABCD/m3 ABCD /m2 ABCD /m7 ABC D/m6
11 ABCD/m12 ABCD/m13 ABCD/m15 ABCD/m14 10 ABCD /m8 ABCD /m9 ABCD/m11 ABCD/m10 卡诺图特点： （1）n变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格 代表一个最小项； （2）卡诺图上处在相邻、相对或相重位置上的小方 格所代表的最小项为相邻最小项，n变量的最小项有n个 相邻最小项。
ABCD /m2
0010 ABC D/m6 0110 ABCD/m14 1110 ABCD/m10 1010
0 m0 m 1 m 3 m2 1 m4 m 5 m 7 m6
BC
00
01 11
10
0 m0 m 1 m 3 m2 1 m4 m 5 m 7 m6
4=22个相邻最小项（包括两 行两列的两端、四个角）可以合 并为一项，消去2个不同的变量；
CD 01 11 10 AB 00 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10
CD 00 AB m0 00 01 11
01 m1
11 m3
10 m2
m4
m12 m8
m5
m13 m9
m7
m15 m11
m6
m14 m10
10
AB CD 00 00 m0 01 m1 11 m3 10 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10
CD 00 01 AB 00 ABCD /m0 ABCD /m1 01 ABCD /m4 ABCD /m5
11
10
ABCD/m3 ABCD /m2 ABCD /m7 ABC D/m6
11 ABCD/m12 ABCD/m13 ABCD/m15 ABCD/m14 10 ABCD /m8 ABCD /m9 ABCD/m11 ABCD/m10 卡诺图特点： （1）n变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格 代表一个最小项； （2）卡诺图上处在相邻、相对或相重位置上的小方 格所代表的最小项为相邻最小项，n变量的最小项有n个 相邻最小项。
ABCD /m2
0010 ABC D/m6 0110 ABCD/m14 1110 ABCD/m10 1010
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2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算 例如
YA B A C BC
GA B A C
它们的卡诺图如表 2.7.1所示，则Y＝G
表2.7.1 Y和G的卡诺图 BC
A 00 01 11 10
0
11
1
11
2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算
再例如 YABC
G A C B C
它们的卡诺图如表2.7.2和 2.7.3所示
1. 与或式转换成或与式
已知逻辑函数的与或式，先画出逻辑函数的卡 诺图，再圈“0”，便可得到最简的或与式。
2.7.2 逻辑函数表达式类型的转换
例2.7.2将下面逻辑函数化成最简或与式
Y A B B C A C
解：其卡诺图如表2.7.8 所示
则
BC 表2.7.8 Y的卡诺图 A 00 01 11 10
解：Y的卡诺图如表2.6.1所示 则最简与或式为
YD A B 00 01 11 10
00 1 1
×
01 ×
×1
11 × × 1 1 × 1××
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项
还有另一种圈法，如图2.6.2所示
此种圈法圈数少，变量少， 比上一种简单
YABCDACDABCD 约束条件 C、 ： D不可能相同
*2.7 卡诺图的其它应用
卡诺图除了简化逻辑函数，还可以有下面的一些应用
2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算
1 判明函数关系 利用卡诺图可以判明函数是否相等、互补。若
两个函数的卡诺图相同，则这两个函数一定相等。 即若函数Y和G的卡诺图相同，则Y＝G。若两个函 数的卡诺图中“0”和“1”对调，则这两个函数为互 补。
0
1
11
1
1 11 1 1
=
BC 表2.7.8 Y的卡诺图 A 00 01 11 10
0 1 11
YY1⊙Y2 ACBCAC
11
1
2.7.2 逻辑函数表达式类型的转换
逻辑函数表达式的形式有很多种，如与或式、 或与式、与非式、与或非式等，不同的表达形式可 由不同的门电路来实现。一般的逻辑函数为与或式 （乘积和），这样需要转换成其它的形式，利用卡 诺图可以很方便的实现转换。
解：约束条件为
A B A B 0
（即AB取值不能相同） 则Y的卡诺图如表2.6.4所示
CD 表2.6.4 Y的卡诺图 AB 00 01 11 10
00 × × × ×
01 1 1
1
最简与或式为
11 × × × ×
Y A A C C C D 10
11
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项
表2.7.4 Y1的卡诺图 BC A 00 01 11 10
0
11
BC 表2.7.5 Y2的卡诺图 A 00 01 11 10
0
1
11
1
1 11 1 1
2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算 则两个函数的与为
表2.7.4 Y1的卡诺图 BC A 00 01 11 10
0
11
11
1
.
BC 表2.7.5 Y2的卡诺图 A 00 01 11 10
圈“0”
则最简或与式为
表2.6.4 Y的卡诺图 CD
AB 00 01 11 10
Y (A C )A ( C D ) 00 × × × ×
01 1 1 0 1
11 × × × × 10 0 0 1 1
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项 练习：将下列函数简化成最简与或式和或与式
Y ( A , B , C , D ) m ( 0 , 1 , 5 , 7 , 8 , 1 , 1 ) 0 4 d ( 3 , 9 , 1 , 1 )1 5 Y ( A , B , C , D ) m ( 0 , 2 , 7 , 1 , 1 ) 3 5 d ( 1 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 1 ) 0
0
1
1 11 1 1
BC 表2.7.7 Y的卡诺图
A 00 01 11 10
=0
11
1 1 11 1
YY 1Y2AB
2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算 则两个函数的同或为
表2.7.4 Y1的卡诺图 BC A 00 01 11 10
0
11
⊙
BC 表2.7.5 Y2的卡诺图 A 00 01 11 10
0
1
1 11 1 1
=
BC 表2.7.6 Y的卡诺图 A 00 01 11 10
0
1
11
1
Y Y1 Y2 AC ABC
2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算 则两个函数的或为
表2.7.4 Y1的卡诺图 BC A 00 01 11 10
0
11
11
1
＋
BC 表2.7.5 Y2的卡诺图 A 00 01 11 10
YABBCAC
00 1 1 1
(ABC)(ABC) 1 1 1 0 1
简化后的逻辑函数为
YBCBC
表2.6.2 Y的卡诺图 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 0 ×
01 × 0 × 1
11 × × 1 1
10 × 1 × ×
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项 写成或与式为
Y(B C )B (C )
表2.6.3 Y的卡诺图 CD AB 00 01 11 10
BC 表2.7.2 Y的卡诺图 A 00 01 11 10
0
1 11
1
11
则 YG
表2.7.3 G的卡诺图 BC A 00 01 11 10
01
11
1
2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算
2.函数运算
若已知函数Y1和Y2，则可利用卡诺图做逻辑运算。 例2.7.1若Y1＝AB＋AC ，Y2＝A＋BC 试利用卡诺 图求Y1＋Y2 、Y1＋Y2及Y1⊙Y2 解： Y1和Y2的卡诺图如表2.7.4及2.7.5所示
00 1 1 0 ×
01 × 0 × 1
11 × × 10 × 1
11 0×
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项
例1.4.13 试简化下列逻辑函数，写最简成与或式和或
与式
Y (A ,B ,C ,D )A B C A BD C A B C D A B CD 约束 A ⊙ 条 B ＝ 0件：
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项
例2.6.1 用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最简与或式 和或与式
Y ( A , B , C , D ) ( 0 , 1 , 6 , 9 , 1 , 1 ) 4 d 5 ( 2 , 4 , 7 , 8 , 1 , 1 , 1 , 1 0 ) 1 2