拉格朗日插值公式的证明及其应用

拉格朗日插值公式的证明及其应用

拉格朗日插值公式的证明及其应用

摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中"线性化" (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷.

关键词：拉格朗日插值公式唯一性证明解题应用资产评估

曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数

3

据点()n k k k

f x 0

,=是准确的，这些数据点所表现的准确函

数关系()x f 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线()x P 且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线()x P 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线()x P 是否稳定地收敛于未知函数()x f ，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义，推导及其在解题中的应用 １.线性插值

１.１. 线性插值的定义

假定已知区间[]1

,+k k

x x 的端

点处的函数值()

k k

x f y =,

()

11++=k k x f y ,

要求线性插值多项式()x L 1

使它满

足()k k

y x

L =1

,

()1

11++=k k y x L ．

()

x L y 1=的几何意义:通过两点()

k k

y

x ,和()

11

,++k k y x

的直线，如图１所示，()x L 1

的表达式由几何

意义直接给出，即

()()k k

k k

k k x x x x y y y x L ---+

=++111 (点斜式)， 图１

()1

1111++++--+--=

k k

k k

k k k k y x x x x y x x x x x L (两点式)．

由两点式方程看出，()x L 1

由两个线性函数

()1

1

++--=

k k k k x x x x x l ,()k

k k k x x x x x l

--=

++11的线性组合得到,其系数分别

y=L 1x ()

y=f x ()

y k+1

k

x k+1

x k

o

y

4 为k

y 及1

+k y ,即()()()x l

y

x l y x L k k k

k 1

11

+++=．

显然,()x l k

及()x l

k 1

+也是插值多项式,在节点k x 及1+k x 上满

足条件

()1

=k k x l ， ()01

=+k k

x

l ， ()0=k k x l ， ()111=++k k x l ．

称函数,()x l k

（图２）及()x l k 1

+（图３）为一次插值基函

数或线性插值基函数.

图象为：

图

2

图3

１.２. 线性插值例题

例 1. 已知,

352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===l k+1x ()

x

x k+1

k

o

l k+1x ()

x

y

k+1

k o

5

用线性插值计算.

解：由题意取000.320.314567

x y =

⎧⎨

=⎩，

⎩⎨

⎧==

333487

.034.011y x ，

⎩⎨

⎧==

352274

.036.022y x ．

若取34

.0,32.010

==x x

为节点，则线性插值为：

()()00

10

1013367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+

=≈

330365.00167.002

.001892

.0314567.0=⨯+

=.

若取36

.0,34.021

==x x

为节点，则线性插值为：

()()11

21

2113367.03367.03367.0sin x x x y y y L ---+

=≈()330387.00033.002

.0018787

.0333487.0=-⨯+

=

.

２.二次插值

２.１. 二次插值的定义

若2=n 时,假定插值节点为1

1

,,+-k k k x x x

要求二次插值

多项式()x L 2

,使它满足()j

j

y x L =2

(1,,1+-=k k k j )

()

x L y 2=的几何意义:通过三点的()

11

,--k k y x

,()k

k

y x , ,

()11,++k k y x 的抛物线.

()()()()()()()()()⎪

⎩⎪

⎨⎧-===+-===+===+++---.

,1 0,1,1,1

0,1,1, 0,1111111k k j x l x l k k j x l x l k k j x l x l j k k k j k k k j k k k