函数的性质、反函数函数的单调性例题
反函数和对数函数的图像和性质
精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_(2) 设函数)12lg()(2++=x ax x f ，若)(x f 的定义域域为R ，求实数a 的取值范围10、（1）求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，11、比较下列各数大小：(1)3.0log 7.0log 4.03.0与 (2) 120.6 3.41log 0.8log 0.73-⎛⎫⎪⎝⎭，和 (3) 1.0log 1.0log 2.03.0和12、函数2)1e ln()(xx f x-+=是（ ） A.奇函数而非偶函数 B. 偶函数而非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数又非偶函数13、图中的曲线是对数函数x y a log =的图象．已知a 取101,53,34,3四个值，则相应于4321,,,c c c c 的a 值依次为（ ） （A ）10153343，，， （B ）53101343，，，（C ）10153334，，， （D ）53101334，，，二、选择题（本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 3分，否则一律得零分，满分16分）13、如果b a <<0，那么下列不等式中错误的是（ ）（A ）c b c a +<+ （B ）b a <（C ） 22bc ac < （D ）ba 11> 14、设函数268y kx x k =-++的定义域为R ，则k 的取值范围是（ ）A ．1k ≥或9k ≤-B ．1k ≥C ．91k -≤≤D ．01k <≤ 15、下列函数在定义域上，既是奇函数又是减函数的是（ ） （A ）x x x y --=1)1( （B ）1y x=（C ）3x y -= （D ）233xx y --=16．右图中的图象所表示的函数的解析式为 （ ）（A ）|1|2323--=x y (0≤x ≤2) （B ）|1|23-=x y (0≤x ≤2) （C ）3|1|2y x =-- (0≤x ≤2) （D ）|1|1--=x y (0≤x ≤2)三、解答题：（本题共有5题，共48分） 17、（本题满分8分）已知集合2{|0,},{|2|2,}3x A x x R B x x a x R x -=≥∈=-≤∈-， 若A B R =U ，求实数a 的取值范围。
高三一轮复习 函数的性质(偏难题)含答案
函数的性质及其应用教师用函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。
函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。
研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。
函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。
对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。
掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。
要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。
一、函数与反函数例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有 6 个．解：从A到B建立映射共有23=8个，其中由2个映射的像集是{4}和{5}，把这2个映射去掉，其它映射的像集都是{4，5}，函数的本质是一个数集到另一个数集的映射，所以，构成以A为定义域，B为值域的不同的函数共有8﹣2=6个，故答案为6．（2）、（2012•徐汇区一模）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有9 个．解：∵f（x）=x2﹣1，∴f（0）=﹣1，f（±1）=0，f（±）=1因此，定义域D有：{0，1，}，{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，1，，﹣}，{0，﹣1，，﹣}，{0，﹣1，1，，﹣}共9种情况，故答案为：9（3）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= 2 ．解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），所以对于函数f（x），当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f （x）=x无解；所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案为：2．二、函数值域及最值求法例2、（1）（2011•上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g （x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7] ．解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]【正好是一个周期区间长度】的值域是[﹣2，5]，令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]，此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1 ，所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[﹣1，6] (1)同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x） =[x+g（x）]+2所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7] (2)由已知条件及（1）（2）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]故答案为：[﹣2，7]．（2）（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是（0，4）．解：∵f（x）=4﹣在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在x∈[a，b]上值域为[f（a），f（b）]，所以f（a）=ma且f（b）=mb，即4﹣=ma且4﹣=mb，所以ma2﹣4a+1=0且mb2﹣4b+1=0，所以mx2﹣4x+1=0必须有两个不相等的正根，故m≠0，∴，解得0＜m＜4．∴实数m的取值范围是（0，4）．故答案为：（0，4）．（3）．（2012•虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是[﹣2，6] ．解：∵函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，∴x1∈[﹣1，1]时，f（x）的值域就是[a﹣2，a+2]，要使上述范围内总能找到x2满足 g（x2）=f（x1），即g（x）的值域要包含[a﹣2，a+2]，∵g（x）是一个二次函数，在[﹣1，1]上单调递减，∴值域为[﹣4，8]，因此，解得﹣2≤a≤6．故答案为：[﹣2，6]．三、函数单调性与奇偶性例3、（1）（2013•资阳一模）已知函数若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值范围是（﹣1，3）．解：∵x≤1时，函数y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，在（﹣∞，1]上单调递增；x＞1时，函数y=x3+1在（1，+∞）上单调递增，又x≤1时，﹣x2+2x+1≤2，x＞1时，x3+1＞2，∴函数，∴函数在R上单调增，∴2m+1＞m2﹣2，∴m2﹣2m﹣3＜0，∴﹣1＜m＜3，故答案为：（﹣1，3）（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是（1，3）．解：∵是R上的增函数，∴∴a∈（1，3）故答案为：（1，3）（3）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）= 3 ．解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，又g（1）=1∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3，故答案为3（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ﹣3 ．解：由f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，得f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x﹣1），得f（x）=g（x+1）=﹣g（﹣x﹣1）=﹣f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2），即f（x）=﹣f（x+2），所以f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2012）=f（4×503）=f （0）=g（1）=﹣g（﹣1）=﹣3，f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（﹣1）=g（0）=0，所以f（2012）+f（2013）=﹣3，故答案为：﹣3．四、函数的周期性例4、（1）已知奇函数满足的值为。
大一反函数的经典例题（范文5篇）
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大一反函数的经典例题（1）［例1］若函数f (x ) 与g (x)的图象关于直线y =x 对称，且f (x )=(x -1) (x ≤1) ，求g (x ). 选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象间的对称关系.解：f (x ) 与g (x ) 在定义域内互为反函数，f (x )=(x -1) 2(x ≤1) 的反函数是2y =1-x (x ≥0) ，∴g (x )=1-x (x ≥0).说明：互为反函数的图象关于y =x 对称，反之亦然，也是判断两个函数互为反函数的方法之一，本是f (x ) 与g (x )互为反函数，要求g (x ), 只须求f (x ) 在限定区间上的反函数即可.［例2］若点P (1，2) 在函数y=ax +b 的图象上，又在它的反函数的图象上，求a , b 的值.选题意图：本题考查反函数的概念，反函数的图象与原函数图象的对称关系的应用.解：由题意知P (1，2) 在其反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于y =x 对称的性质，Ｐ′(2，1) 也在函数y =+b 的图象上，⎧⎪2=a +b 因此：⎨解得:a =-3,b =7. ⎪⎩1=2a +b说明：引导学生树立创造性思考问题的方式、方法，利用互为反函数的图象的对称关系. （１，２）在反函数图象上，则(2，1) 也在原函数图象上是解决该问题的关键所在，即f (2)=1,这是得到a , b 的另一个关系式的条件，这样两个条件两个未知数，就可解出a , b 的值.［例3］已知函数f (x )=(1+x 2-1) -2(x ≥-2) ，求方程f (x )=f (x ) 的2解集.选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象关于y =x 对称的关系，灵活运用这一关系解决问题的能力.分析：若先求出f (x )=2x +2-2(x ≥-2), 再解方程(1+-1-1图2—8 x 2) -2=2x +2-2，整理得四2次方程，求解有困难，但我们可以利用y =f (x ) 与y =f (x ) 的图象的关系求解. 先画出y =f (x )=(1+x 2-1) -2的图象，如图，因为y =f (x ) 的图象和y =f (x ) 的图象关于直线y =x 对称，2-1可立即画出y =f (x ) 的图象，由图象可见两图象恰有两个交点，且交点在y =x 上，因此，由x 2⎧⎪y =(1+) -2方程组⎨联立即可解得. 2⎪⎩y =x解：由函数f (x )=(1+x 2) -2(x ≥-2) 画出图象，如图，由于函数f (x ) 的反函数的图象与2函数f (x ) 的图象关于y =x 对称，故可以画出其反函数图象(如图)，由图可知两图象恰有两x 2⎧y =(1+) -2⎪-1个交点且交点都在y =x 上. 因此，方程组⎨的解即为f (x )=f (x ) 的解，于是2⎪⎩y =x解方程组得x =-2或x =2,从而方程f (x )=f (x ) 的解集为｛-2,2｝.说明：解决本题的关键是，根据互为反函数的图象关于y =x 对称，若两个函数有交点，则交点必在直线y =x 上，由此，将要解的两个较复杂的方程组转化为直线y =x 与其中-1y =(1+x 2) -２一个方程组的解的问题. 2大一反函数的经典例题（2）［例1］下列各组函数中，不互为反函数的是( ) ．．．．．．1(x -3) 21B. f (x )=2x +3,g (y )= (y -3)2A. f (x )=2x +3,g (x )=C. f (x )=x , g (x )=x2D. f (x )=x (x ＜0) , g (x )=-x (x ＞0)2选题意图：本题主要考查函数的反函数的有关概念，判断互为反函数的两个函数必须满足的条件：即函数解析式之间的关系是互相能确定x 、y ，定义域与值域之间的关系，是否是一个函数的定义域和值域分别是另一个函数的值域和定义域.解析：由f (x )=x 的定义域为x ∈R ，而值域为y ≥0; g (x )= x 的定义域为x ≥0，而值域为y ≥0. 由反函数的概念知反函数的定义域和值域正是原函数的值域和定义域推得它们不能互为反函数.说明：注意例1是判断不互为反函数的命题，否定互为反函数的三条件之一即不是反函数.［例2］判断函数y =x -x 有无反函数? 如果有，求出其反函数.选题意图：加深函数有无反函数判断的理解以及熟悉求反函数的方法与步骤.解：判断函数y =f (x ) 有无反函数，根据反函数的概念，应该判断：对每个确定的y 的(可能取到) 值，是否有惟一确定的x 值与之相对应. 由y =x -x112-12-1，得∴(x ) -y ⋅x -1=0112212①.11y ±y 2+4y -y +4x =, , x 0, ∴x =舍去,22y +y 2+4y 2+y y 2+4∴x =, ∴x =+1∴每一个确定的y 值，对应着(即只能221求出) 一个x , ∴ｘ是y 的函数，即y =x -x1-1有反函数，，由上面过程，易见反函数为x 2+x x 2+4x 2+x x 2+4，值域为(0，y =+1, 且f (x ) =y =+1的定义域是(x ∈Ｒ）22＋∞).说明：上述过程包含着：对于任意实数y 的取值方程①必有根，因此x 2-x11-12可以取到任意实数即函数y =x -x 的值域为（－∞，＋∞），所以反函数的定义域为（－∞，x 2+x x 2+4＋∞），恰是函数y =+1的定义域，在这种情况下，可以不注明函数的定义2域，当然原函数y =x -x 的值域也可以用以下方法解：当x =1时，y =0，当0＜ｘ＜１时，0＜x ＜1，x112-12-1＞1, 则y ＜０，且当x →0时，x →0, x121-1→+∞, 这时y 可以取任12何负数. 当x ＞1时，x ＞1，0＜x12-12＜1, 则y ＞0，且当x →＋∞时，x →+∞, x-12-12→0.这时y 可以取任何正数，∴y =x -x 的值域为R ，即（－∞，＋∞）.［例3］已知一次函数y =f (x ) 的反函数仍是它自己，求f(x ). 选题意图：本题考查反函数的概念，利用反函数与原函数的关系分析问题解决问题的能力.解：设y =f (x )=ax +b (a ≠0) ，则f1bx -, a a 1bax +b =x -对于一切x 都成立，a a-1(x ) =1⎧a =⎪⎧a =1⎧a =-1⎪a ∴⎨∴⎨或⎨⎪-b =b , ⎩b =0. ⎩b ∈R, ⎪⎩a∴f (x )=x 或f (x )=-x +b (b ∈R).说明：利用互为反函数的条件判断或证明某个或某两个函数是互为反函数的基本方法，此题是一个特殊函数的反函数的证明，希望读者掌握这种证明方法和思路.大一反函数的经典例题（3）函数的性质、反函数函数的单调性例题例1-5-1 下列函数中，属于增函数的是[ ]解 D例1-5-2 若一次函数y=kx+b(k≠0) 在(-∞，+∞) 上是单调递减函数，则点(k，b) 在直角坐标平面的[ ]A ．上半平面B．下半平面C ．左半平面D．右半平面解 C 因为k ＜0，b ∈R ．例1-5-3 函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4) 上是减函数，则实数a 的取值范围是[ ]A ．a ≥3 B．a ≤-3C ．a ≤5 D．a=-3解 B 因抛物线开口向上，对称轴方程为x=1-a，所以1-a ≥4，即a ≤-3．例1-5-4 已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2) ，那么g(x) [ ]A ．在区间(-1，0) 内是减函数B ．在区间(0，1) 内是减函数C ．在区间(-2，0) 内是增函数D ．在区间(0，2) 内是增函数解 A g(x)=-(x2-1) 2+9．画出草图可知g(x)在(-1，0) 上是减函数．+bx在(0，+∞) 上是______函数(选填“增”或“减”) ．解[-2，1]大一反函数的经典例题（4）反函数例题讲解例1．下列函数中，没有反函数的是(A) y = x 2－1（x 1）2( )(B) y = x 3+1（x ∈R ）(D) y =⎨⎧2x -2(x ≥2) ，-4x (x x（x ∈R ，x ≠1）x -1分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定．判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数．本题应选（D ）．因为若y = 4，则由⎨⎧2x -2=4，得x = 3．x ≥2⎩由⎨⎧-4x =4，得x = －1．x ∴（D ）中函数没有反函数．如果作出y =⎨⎧2x -2(x ≥2) ，的图像（如图），依图-4x (x 更易判断它没有反函数．例2．求函数y =1--x 2（－1≤x ≤0）的反函数．解：由y =1--x 2，得：-x 2=1-y ．∴1－x 2 = (1－y ) 2，x 2 = 1－(1－y ) 2 = 2y －y 2 ．∵－1≤x ≤0，故x =-2y -y 2．又当－1≤x ≤0 时，0≤1－x 2≤1，∴0≤-x 2≤1，0≤1－-x 2≤1，即0≤y ≤1 ．∴所求的反函数为y =-2x -x 2（0≤x ≤1）．由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是：①把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x = φ ( y )．②求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域；③依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x = φ ( y ) 为y = φ ( x )．例3．已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2（x 分析：依据f －1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）．依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( m ) = 2．据此求f －1(2 )的值会简捷些．令x 2 + 2x + 2 = 2，则得：x 2 + 2x = 0 ．∴x = 0 或x =－2 ．又x 的图像是（( )（B（（分析：作为选择题，当然不必由f ( x )求出f －1 ( x )，再作出f －1 ( x )图像，予以比较、判断．由f (x ) =+4x 2（x ≤0）易得函数f ( x )的定义域为(-∞, 0]，值域为[1, +∞)．于是有函数f－1( x )的定义域为[1, +∞)，值域为(-∞, 0]．依此对给出图像作检验，显然只有（D ）是正确的．因此本题应选（D ）．例5．给定实数a ，a ≠0，a ≠1，设函数y =x -11（x ∈R ，x ≠）．a ax -1求证：这个函数的图像关于直线y = x 成轴对称图形．分析：本题可用证明此函数与其反函数是同一个函数的思路．证明：先求给出函数的反函数：由y =∴x -11（x ∈R ，x ≠），得y ( ax －1) = x －1 ．a ax -1(ay －1) x = y －1 ．①若ay －1 = 0，则ay = 1 ．又a ≠0，故y =11．此时由①可有y = 1．于是=1，即a = 1， a a这与已知a ≠1是矛盾的，故ay －1 ≠ 0 ．则由①得x =∴函数y =≠）．由于函数f ( x )与f －1 ( x )的图像关于直线y = x 对称，故函数y =（x ∈R 且x ≠1）的图像关于直线y = x 成轴对称图形． a1ay -11（y ∈R ，y ≠）．ay -1ax -11x -1（x ∈R ，x ≠）的反函数还是y =（x ∈R ，xa ax -1ax -1x -1ax -1本题证明还可依轴对称的概念进行，即证明：若点P （x ，y ）是函数f ( x ) 图像上任一点，则点P 关于直线的对称点Q （y ，x ）也在函数f ( x )的图像上（过程略）．例题讲解（反函数）例1．求下列函数的反函数：(1) y =3x －1 (x ∈R ) ；(2) y =x 3＋1 (x ∈R ) ；(3)y =x +1 (x ≥0) ；(4)y =2x +3(x ∈R ，且x ≠1) ．x -1通过本例，使学生掌握求反函数的方法．求反函数时，要强调分三个步骤进行．第一步将y = f (x ) 看成方程，解出x = f －1 (y ) ，第二步将x ，y 互换，得到y = f －1 (x ) ，第三步求出原函数的值域，作为反函数的定义域．其中第三步容易被忽略，造成错误．如第(3)小题，由y =x +1解得x = (y －1) 2，再将x ，y 互换，得y = (x －1) 2．到此以为反函数即y = (x －1) 2，这就错了．必须根据原函数的定义域x ≥0，求得值域y ≥1，得到反函数的定义域，于是所求反函数为y = (x －1) 2 (x ≥1) ．例2．求下列函数的反函数：(1) y = x 2－2x －3 (x ≤0) ；⎧x -1(x ≤0) ，⎪(2) y =⎨1-1(x ＞0) ．⎪⎩x通过本例，使学生进一步掌握求反函数的方法，明确求解中三个步骤缺一不可．解：(1) 由y = x 2－2x －3，得y = (x －1) 2－4，即(x －1) 2 = y ＋4，因为x ≤0，所以x -1=-y +4，所以原函数的反函数是y =1-x +4 ( x≥－3) ．(2) 当x ≤0时，得x = y＋1且y ≤－1；当x ＞0时，得x =1且y ＞－1，y +1所以，原函数的反函数是：x ≤－1，x ＞－1．⎧x +1⎪y =⎨1⎪⎩x +1例题讲解(反函数）［例1］若函数f (x ) 与g (x)的图象关于直线y =x 对称，且f (x )=(x -1) 2(x ≤1) ，求g (x ).选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象间的对称关系. 解：f (x ) 与g (x ) 在定义域内互为反函数，f (x )=(x -1) 2(x ≤1) 的反函数是y =1-x (x ≥0) ，∴g (x )=1-x (x ≥0).说明：互为反函数的图象关于y =x 对称，反之亦然，也是判断两个函数互为反函数的方法之一，本是f (x ) 与g (x ) 互为反函数，要求g (x ), 只须求f (x ) 在限定区间上的反函数即可.［例2］若点P (1，2) 在函数y=ax +b 的图象上，又在它的反函数的图象上，求a , b 的值. 选题意图：本题考查反函数的概念，反函数的图象与原函数图象的对称关系的应用. 解：由题意知P (1，2) 在其反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于y =x 对称的性质，Ｐ′(2，1) 也在函数y =ax +b 的图象上，⎧⎪2=a +b因此：⎨解得:a =-3,b =7.⎪⎩1=2a +b说明：引导学生树立创造性思考问题的方式、方法，利用互为反函数的图象的对称关系. （１，２）在反函数图象上，则(2，1) 也在原函数图象上是解决该问题的关键所在，即f (2)=1,这是得到a , b 的另一个关系式的条件，这样两个条件两个未知数，就可解出a , b 的值.x［例3］已知函数f (x )=(1+) 2-2(x ≥-2) ，求方程2-1f (x )=f (x ) 的解集.选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象关于y =x 对称的关系，灵活运图2—8 用这一关系解决问题的能力.x分析：若先求出 f -1(x )=2x +2-2(x ≥-2), 再解方程(1+) 2-2=2x +2-2，2整理得四次方程，求解有困难，但我们可以利用y =f (x ) 与y =f -1(x ) 的图象的关系x求解. 先画出y =f (x )=(1+) 2-2的图象，如图，因为y =f (x ) 的图象和y =f -1(x ) 的2图象关于直线y =x 对称，可立即画出y =f -1(x ) 的图象，由图象可见两图象恰有两x 2⎧y =(1+) -2⎪个交点，且交点在y =x 上，因此，由方程组⎨联立即可解得. 2⎪⎩y =xx 2) -2(x ≥-2) 画出图象，如图，由于函数f (x ) 的反函2数的图象与函数f (x ) 的图象关于y =x 对称，故可以画出其反函数图象(如图) ，解：由函数f (x )=(1+x 2⎧⎪y =(1+) -2由图可知两图象恰有两个交点且交点都在y =x 上. 因此，方程组⎨2⎪⎩y =x 的解即为f (x )=f -1(x ) 的解，于是解方程组得x =-2或x =2,从而方程f (x )=f -1(x )的解集为｛-2,2｝.说明：解决本题的关键是，根据互为反函数的图象关于y =x 对称，若两个函数有交点，则交点必在直线y =x 上，由此，将要解的两个较复杂的方程组转化为x 2直线y =x 与其中y =(1+) -２一个方程组的解的问题.2例题讲解（练习）例1．函数f (x )=x －x 是否存在反函数？说明理由点评：不存在，∵ f (0)=f (－1)=f (1)=0．例2．求下列函数的反函数．(1) f (x )=36x +5x -1(2) y =-x -1(3) f (x )=x －2x +3，x ∈(1，+∞) (4)f (x )=1--x 2(－1≤x ≤0)点评：(1) f-12(x )=2x +5(x ∈R 且x ≠6) x -6(2) f (x )=x +1 (x ≤0) (3) f (4) f-1－1(x )=(x )=-x -2+1 (x >2)-x -1 (0≤x ≤1)2-1⎧⎪x -1(x ≥1)例3．求函数y =⎨的反函数．⎪⎩--x (x 2 ⎧⎪x +1点评：反函数为y =⎨2⎪⎩1-x(x ≥0)．(x 例4．已知f (x )=3x +2－1，求f [f (x )]的值．x +1⎡点评：f ⎢f⎢⎣-1⎛2⎫⎤2⎪⎥=，注意f (x ) 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠－1}，值域为{y |y 2⎪2⎝⎭⎥⎦∈R 且y ≠－3}．例5．已知一次函数y =f (x ) 反函数仍是它自己，试求f (x ) 的表达式．分析：设y =f (x )=ax +b (a ≠0) ，则f (x )=－11(x －b ) ．a⎧1=a ⎪⎧a =-1⎧a =11⎪a由(x －b )=ax +b 得⎨或⎨⇒⎨a b b ∈R b =0⎩⎩⎪-=b ⎪⎩a∴ f (x )=x 或f (x )=－x+b (b ∈R )例6．若函数y =ax +1在其定义域内存在反函数．4x +3(1) 求a 的取值范围；(2) 求此函数的值域．解：(1)方法一：原式可化为4xy +3y =ax +1，(4y －a ) x =1－3y ，a ax +1a≠时，，即44x +344解得a ≠时原函数有反函数．3ax +1方法二：要使y =在其定义域内存在反函数，则需此函数为非常数函数，4x +3a 14ax +1即≠，所以a ≠时函数y =在其定义域内存在反函数．3434x +3当y ≠(2) 由y =ax +1-3y +1解得x =．4x +34y -aax +1-3x +1的反函数为y =．4x +34x -a -3x +1a ∵y =的定义域是{x |x ∈R 且x =}44x -aax +1a 故y =的值域是{y |y ∈R 且y ≠}．44x +3∴y =例7．设函数y =f (x ) 满足f (x －1)=x －2x +3(x ≤0) ，求f (x +1)．解：∵x ≤0，则x －1≤－1．∵ f (x －1)=(x －1) +2 (x ≤0) ∴ f (x )=x +2 (x ≤－1) ．由y =x +2 (x ≤1) 解得x =-y -2(y ≥3)2222－1∴ f 故f-1(x )=-x -2 (x ≥3) ．x -1 (x ≥2) ．－1－1-1(x +1)=-－1点评：f (x +1)表示以x +1代替反函数f (x ) 中的x ，所以要先求f (x ) ，再以x +1代x ，不能把f (x +1)理解成求f (x +1)的反函数．习题1．已知函数 f (x )=x －1 (x ≤－2) ，那么 f (4)=______________．2．函数y =－x +x －1 (x ≤22－1－11) 的反函数是_________________．22⎧1]⎪x -1，x ∈(0，3．函数y =⎨2的反函数为__________________．⎪⎩x ，x ∈[-1，0)4．函数y =5．已知y =x 2-2x +3 (x ≤1) 的反函数的定义域是_____________．11x +m 与y =nx -是互为反函数，则m =______和n =________．23答案1．-2．y =1--4x -3⎛⎝x ≤-3⎫24⎪⎭3．y =⎧⎪⎨x +1，x ∈(-1，0]，⎪⎩-x ，x ∈(0，1]4．2，+∞)5．16，2大一反函数的经典例题（5）反函数求值例1、设互为反函数，求有反函数的值．，且函数与分析：本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果．解：设在函数这样即有，则点的图象上，即，从而在函数的图象上，从而点．由反函数定义有．，小结：利用反函数的概念，在不同式子间建立联系，此题考查对反函数概念的理解，符号间关系的理解．两函数互为反函数, 确定两函数的解析式例2 若函数的值.与函数互为反函数，求分析：常规思路是根据已知条件布列关于布列？如果注意到g(x)的定义域、值域已知，又义域与值域互换，有如下解法：的三元方程组，关键是如何与g(x)互为反函数，其定解：∵g(x)的定义域为.且，的值域为又∵g(x) 的定义域就是∵g(x) 的值域为的值域, ∴,.由条件可知∴.的定义域是, ,∴.令, 则即点(3,1) 在的图象上.又∵与g(x) 互为反函数,的对称点(1,3) 必在g(x)的图象上.∴(3,1) 关于∴3=1+ , .故 .判断是否存在反函数例3、给出下列函数:(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .其中不存在反函数的是__________________.分析:判断一个函数是否有反函数, 从概念上讲即看对函数值域内任意一个,依照这函数的对应法则, 自变量总有唯一确定的值与之对应, 由于这种判断难度较大, 故通常对给出的函数的图象进行观察, 断定是否具有反函数.解: (1) ,(2)都没有问题, 对于(3)当.对于(4)时,和时, 和,且.对于(5)当时, 和 .故(3),(4),(5)均不存在反函数.小结:从图象上观察, 只要看在相应的区间内是否单调即可.求复合函数的反函数例4、已知函数分析: 由于已知是找到解:令,由得. 于是有,再由,则,所求是求出, ,求的反函数.的反函数,因此应首先由的表达式, 再求反函数., ,.,由于,又,的反函数是. 的值域是, .小结:此题涉及对抽象函数符号的认识与理解, 特别是在换元过程中, 相应变量的取值范围也要随之发生改变, 这一点是学生经常忽略的问题.原来的函数与反函数解析式相同求系数例5、已知函数试指出与其反函数是同一个一次函数,的所有取值可能.的反函数的解析式,与分析:此题可以有两种求解思路:一是求解比较, 让对应系数相等, 列出关于的方程, 二是利用两个函数图象的对称性, 找对称点, 利用点的坐标满足解析式来列方程. 解：由上, 于是又于是知点在图象上, 则点定在的图象(1) 过点(2),则点也在的图象上,由(1)得当或,当.时, 代入(2),此时(2)恒成立即;代入(2)解得综上, 的所有取值可能有或 .小结:此题是反函数概念与方程思想的综合. 在这个题目中特殊点的选取一般是考虑计算简单方便, 而且这种取特殊点列方程的方法在其他地方也有应用, 故对此种方法要引起重视. 另外此题在最后作答时, 要求写出的所有取值可能即要把的取值与的取值搭配在一起, 所以解方程组时要特别小心这一点. 选题角度：反函数图象关系、将反函数问题转化为原函数、利用性质求解析式、两函数互为反函数，确定两函数的解析式判断是否存在反函数、求出反函数解析式解关于反函数的不等式、求复合函数的反函数、由原来函数运算关系证明反函数运算。
第七讲反函数
x ( 2) y log2 ( ) 2, ( x 0) x1
x 2 1(0 x 1) ( 3) y 2 x ( 1 x 0)
f
1
x 1 ( 1 x 0 ) ( x) x (0 x 1)
x 1 1 1 练：已知f ( x ) , 求f ( ). x 1 x
a x ( 2)已知函数f ( x ) ，其反函数图象的对称中 x a 1 心是（-1，），求实数 3 a的值.
1 x x 1 （3）已知函数f ( x ) ( 2 2 )的反函数为f ( x )， 2 则不等式f 1 ( x ) 1的解集为 _____ .
例3、(1)已知f ( x )的反函数为f 1 ( x )， 则函数y f ( x 1)的反函数为 __________ .
变式一：已知函数f ( x ) x 1,( x 2)
2
则f ( 4) ________ .
变式二：已知函数f ( x )是定义在R上的奇函数， 1 x 1 当x 0时，f ( x ) 3 , 则f ( ) ____ . 9
（94 高考） 设函数 f ( x) 1 1 x （-1≤x≤0） ，则
(2) f ( x )的图象经过点(0, 1), 则函数f ( x 3)的 反函数图象经过点 ___________ .
2x 3 (3)已知函数f ( x ) ,函数g( x )的图象 x 1 1 与函数y f ( x 1)的图象关于直线y x对 称，则g( 1)的值是 _________ .
a( x 2) 2a 1 1 2a 分析：y a x2 x2
1 1 2a 0 a 2
2.5.1 函数的单调性与反函数(一)
1.取值: 对任意 x1, x2∈M, 且 x1<x2; 2.作差: f(x1)-f(x2); 3.判定差的正负;
4.根据判定的结果作出相应的结论.
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四、复合函数的单调性
§2.5.1 函数的单调性与反函数(一)
复合函数 f[g(x)] 的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u) 的单调性密切相关, 其规律如下：
x2 1 x ①试判断函数f(x)的单调性并给出证明；
②若f(x)的反函数为f -1(x)，证明方程f -1(x)=0有惟一解；
③解关于x的不等式f [x(x-
1 2
)]＜
1 2
解题分析:用定义证明函数的单调性.
利用反证法,结合互为反函数的函数单调性的关系,
证明方程有唯一解.
解: ①函数的定义域是(-1,1),由增减函数的定义可以证 明f(x)在(-1,1)上是减函数 .
,
b a
、
b a
,
上分别是增函数;
f
(
x
)在
b a
,
0
、
0,
b a
上分别是减函数
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典型例题
§2.5.1 函数的单调性与反函数(一)
1.试求函数
f(x)=ax+
b x
(a>0,
b>0)
的单调区间.
解法2: ∵函数 f(x) 的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞),
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典型例题
§2.5.1 函数的单调性与反函数(一)
函数的单调性及应用
contents
目录
• 函数的单调性定义 • 函数的单调性性质 • 函数的单调性应用 • 反函数的单调性 • 单调性在实际问题中的应用 • 总结与展望
01 函数的单调性定义
增函数的定义
增函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内的任 意$x_{1}, x_{2}$（$x_{1} < x_{2}$）， 都有$f(x_{1}) < f(x_{2})$，则称函数 $f(x)$在其定义域内是增函数。
06 总结与展望
函数单调性的重要性
数学基础
单调性是函数的重要性质之一，是数学分析、微积分等学科的 基础概念，对于理解函数的变化规律和性质具有重要意义。
解决实际问题
单调性在解决实际问题中也有广泛应用，如经济学、生物学、 工程学等领域的研究中，单调性可以帮助我们更好地理解和描
述事物的发展趋势和变化规律。
判断函数值大小
通过比较原函数和反函数的单调性，可以判 断两个函数值的大小关系。
优化问题
在某些优化问题中，可以利用反函数的单调 性来寻找最优解。
05 单调性在实际问题中的应 用
在经济问题中的应用
总结词
单调性在经济分析中有着广泛的应用，可以 帮助我们理解经济现象和预测未来的趋势。
详细描述
在经济学中，单调性可以用于研究商品价格 的变化趋势、消费者需求的变化趋势、劳动 力市场的供求关系等。通过分析这些经济变 量的单调性，我们可以更好地理解经济规律 ，预测未来的经济走势，为决策提供依据。
单调性法
利用函数的单调性，可以确定函数在某个区间 内的最大值或最小值，从而求解最值问题。
导数法
通过求导数，可以判断函数的单调性，从而确 定函数的最值。
4.4反函数
4.4 反函数的概念考点诠释1 反函数的定义：2 互为反函数的两个函数的性质：① 原函数和反函数的图像关于直线y x =对称；② 反函数的定义域为原函数的值域，反函数的值域为原函数的定义域 ③ 若原函数是奇函数则反函数也为奇函数； ④ 原函数与反函数有相同的单调性； ⑤ [()][()]11f f x f f x x --==注意：①“一个函数为单调函数”是“这个函数具有反函数”的充分非必要条件；（单调函数一定有反函数；但是若一个函数有反函数这个函数未必单调，例如，反比例函数）②反函数与原函数的交点不一定在直线y x =上；若反函数与直线y x =有交点，这个点一定在反函数上。
③若函数()y f x =的反函数为()1y f x -=则函数()1y f x =+的反函数为()11y f x -=-； 函数()1y f x =+的反函数为()11y f x -=-例题精析例1 求下列函数的反函数 （1）[,]503y x =∈-；（2）(,)332232x y x x x +=≥-≠-+ 精辟分析解： （1）[,]252503y x =-∈-，[,],50y ∴∈-且.22259y x =-x ∴=；所以原函数[,]503yx =∈-的反函数为[,]50y x =∈-。
（2）31323246x y x x +==+++,,,324624602x x x x ≥-≠-∴+≥-+≠33462x ∴≤-+或3046x >+,112y y ∴≤->又,.1333333461246422212y y x x x y y y --=+=∴=-=+--- 所以函数(,)332232x y x x x +=≥-≠-+的反函数是(,)3311212x y x x x -=≤->- 方法规律和总结 求一个函数的反函数可以遵循以下步骤：1 求原来函数的值域；2 把()()y f x x D =∈看作关于x 的方程，用y 的解析式表示x ，即()x g x =；2 如果()x g y =中任一个y 对应唯一的x ，那么()(),.1f x g x x A -=∈如果()x g y =中，存在一个y 对应多个x ，那么原函数不存在反函数。
函数基本性质
函数的基本性质一、函数的单调性定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数.定理2：（导数法确定单调区间） 若[]b a x ,∈，那么()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时， ①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同， ②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定；(2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么： ①1()()()F x f x g x =+的增减性不能确定； ②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠为增函数，5()()(()0)()g x F x f x f x =≠为减函数。
5.函数性质、反函数
5．反函数与函数性质知识点1：反函数1．的反函数为；的反函数为；的反函数为；的反函数为；的反函数为。
2．二次函数是否存在反函数？；要使存在反函数，则定义域为（写出任意一个即可）；，的反函数为。
3．原函数与反函数关于对称，若原函数经过点（），则反函数必经过点，若的反函数经过点（2，4），则= 。
知识点二：定义域、值域4．，的值域；，的值域。
5．定义域，值域。
定义域，值域。
定义域。
6．的值域，的值域。
知识点三：函数奇偶性7．为奇函数，则满足；若为偶函数，则满足。
8．，若，则= ，为奇函数，则的值为。
9．则= ；为奇函数，在上有最小值7，则在的最值为。
10．为奇函数，为偶函数，，则，= 。
11．定义域在上的奇函数，已知时，，求的解析式。
12．是定义在上的奇函数，当时，，不等式的解集为。
知识点四：单调性13．证明：函数在上是增函数14．判断并证明在的单调性15．判断并证明在上的单调性16．判断并证明在定义域上的单调性17．递减区间，递减区间。
18．递增区间，递增区间。
19．在上递减，则的取值范围。
知识点五：综合20．若，规定：，例如：，则的奇偶性为21．在中，当时，使成立的是。
22．已知函数=（1）求证：；（2）若＝1，，求的值。
23．在上是增函数，求的取值范围．24．函数是定义在上的奇函数，且．（1）求实数，并确定函数的解析式；（2）用定义证明在上是增函数；（3）写出的单调减区间，并判断有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（本小问不需说明理由）25．已知函数满足（1）求的解析式，并判断的奇偶性；（2）讨论的单调性。
2.4必修一：奇偶性—函数性质、单调性、奇偶性、反函数
2.4必修一：奇偶性—函数性质、单调性、奇偶性、反函数1.判断下列函数是否为奇偶函数。
⑴ f (x ) = x 3, x ∈[-1，1] ⑵ f (x ) = x 3, x ∈[-1,1)2.已知① f (x ) = x ，② f (x ) = 1 ，③ f (x ) = x 2，④ f (x ) =| x | ，⑤ f (x ) ＝ x ＋ 1 ，⑥ f (x ) ＝ x。
偶函x数的序号为 ，奇函数的序号为 。
x 1 + x 2 3．已知函数 f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则 m 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2011·茂名月考)如果奇函数 f (x )在区间[3,7]上是增函数且最大值为 5，那么 f (x )在区间[－7，－3]上是 ( )A ．增函数且最小值是－5B ．增函数且最大值是－5C ．减函数且最大值是－5D ．减函数且最小值是－55. 函数 y ＝x 1( ) －x 的图象 A ．关于原点对称B ．关于直线 y ＝－x 对称C ．关于 y 轴对称D ．关于直线 y ＝x 对称6. 若偶函数 f (x ) 在(- ∞,-1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A ． f (- 3) < 2f (-1) <f (2) B ． f (-1) <f (- 3) < 2f (2)C ． f (2) < f (-1) < f (- 3) D ． f (2) <2f (- 3) < 2f (-1)7.已知函数 f (x ) = x2- ax + 1 是偶函数，则实数 a = 。
(x ＋1)(x ＋a )8．(2011·开封模拟)设函数 f (x )＝9. 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 2－x 3；x为奇函数，则 a ＝ .(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；10.已知函数f (x) =x3 +x 是定义域(a, a +1) 上的奇函数，则实数a =_。
函数的单调性与反函数一.ppt
如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自 变量的值 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数.
注: 函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区 间而言的. 有的函数在一些区间上是增函数, 而在另一些 区间上可能是减函数.
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的图象如图所示:
y
2 ab
-
b a
o
b a
x
-2 ab
②求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题, 但必须注意, 如果函数的解析式含有参数, 而且参数 的取值影响函数的单调区间, 这时必须对参数的取值 进行分类讨论.
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典型例题
§2.5.1 函数的单调性与反函数(一)
1.试求函数
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ห้องสมุดไป่ตู้
典型例题
§2.5.1 函数的单调性与反函数(一)
1.试求函数
f(x)=ax+
b x
(a>0,
b>0) 的单调区间.
解法2: ∵函数 f(x) 的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞),
函数
f(x) 的导函数
f (x)=a-
b x2
=
ax2-b x2
,
令
f
(x)>0
得:
x2>
b a
x<-
b a
或
x>
当x1 x2
b时, 0 b a
a
x1 x2
f 故
( f
x1 ) f (
(
x)在
x2 ) b, a
0
函数知识点及例题(有答案)
集合与函数1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |====== 中元素各表示什么？A 表示函数y=lgx 的定义域，B 表示的是值域，而C 表示的却是函数上的点的轨迹2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况，注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂（答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭1013显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。
故B 只能是-1或者3。
根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0，不要把它搞忘记了。
3. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。
同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n 种选择， 即集合A 有2n个子集。
当然，我们也要注意到，这2n种情况之中，包含了这n 个元素全部在和全部不在的情况，故真子集个数为21n-，非空真子集个数为22n-（）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔==（3）德摩根定律：()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x aM M M a --<∈∉50352的取值范围。
()（∵，∴·∵，∴·，，）335305555015392522∈--<∉--≥⇒∈⎡⎣⎢⎫⎭⎪M a a M a aa注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0) 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1. 5、熟悉命题的几种形式、()()().∨∧⌝可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非”若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假⌝p p命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。
奇偶性与单调性及典型例题
奇偶性与单调性及典型例题函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考察内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.难点磁场(★★★★)设a>0(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明： f(x)在(0，+∞)上是增函数.案例探究［例1］函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)(y)(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.★★★★题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：此题对思维能力要求较高，如果"赋值"不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.证明：(1)由f(x)(y)(),令0,得f(0)=0,令－x,得f(x)(－x)()(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,那么f(x2)－f(x1)(x2)－f(－x1)()∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.［例2］设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a21)<f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数()的单调递减区间.★★★★★级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：此题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过此题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0<x1<x2,那么－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)(x2)(－x1)(x1),∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.由f(2a21)<f(3a2－2a+1)得：2a21>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.又a2－3a+1=(a－)2－.∴函数()的单调减区间是［，+∞］结合0<a<3,得函数()的单调递减区间为［，3).锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)判断函数的奇偶性与单调性假设为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.假设为抽象函数，在依托定义的根底上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的"磁场"及"训练"认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握根本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决根本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)以下函数中的奇函数是( )(x)=(x－1) (x)=(x)= (x)=2.(★★★★★)函数f(x)=的图象( )二、填空题3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，那么(1|)的一个单调递减区间是.4.(★★★★★)假设函数f(x)32满足f(0)(x1)(x2)=0 (0<x1<x2),且在［x2∞上单调递增，那么b的取值范围是.三、解答题5.(★★★★)函数f(x) (a>1).(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f(x)=在区间(1，+∞)上是减函数.7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)=；()存在正常数a使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.8.(★★★★★)函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f()(m)(n)－1,且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)(－x),即.整理，得(a －)(－)=0.因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴1(2)证法一：设0＜x1＜x2,那么f(x1)－f(x2)=由x1>02>02>x1,∴>0,1－e＜0,∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2)∴f(x)在(0∞)上是增函数证法二：由f(x)－x，得f′(x)－e－－x·(e2x－1).当x ∈(0∞)时，e－x>02x－1>0.此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数.歼灭难点训练一、1.解析：f(－x)= =－f(x)，故f(x)为奇函数.答案：C2.解析：f(－x)=－f(x)(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C二、3.解析：令1|,那么t在(－∞,－1上递减，又(x)在R 上单调递增，∴(1|)在(－∞,－1上递减.答案：(－∞,－14.解析：∵f(0)(x1)(x2)=0,∴f(0)0(x)(x－x1)(x－x2)3－a(x12)x21x2x，∴－a(x12),又f(x)在［x2∞单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x12>0,∴－a(x12)＜0.答案：(－∞,0〕三、5.证明：(1〕设－1＜x1＜x2＜+∞,那么x2－x1>0, >1且>0,∴>0,又x1+1>02+1>0∴>0,于是f(x2)－f(x1) >0∴f(x)在(－1，+∞〕上为递增函数.(2〕证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,那么且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,假设－1＜x0＜0,那么＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，假设x0＜－1,那么>0, >0，∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.6.证明：∵x≠0,∴f(x)=,设1＜x1＜x2＜+∞,那么.∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1，+∞〕上是减函数.(此题也可用求导方法解决〕7.证明：(1〕不妨令1－x2,那么f(－x)(x2－x1)==－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.(2〕要证f(4a)(x),可先计算f()(2a).∵f()［x－(－a)］=.∴f(4a)［(2a)+2a］(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.8.(1〕证明：设x1＜x2,那么x2－x1－>－,由题意f(x2－x1－)>0,∵f(x2)－f(x1)［(x2－x1)1］－f(x1)(x2－x1)(x1)－1－f(x1)(x2－x1)－1(x2－x1)(－)－1［(x2－x1)－］>0, ∴f(x)是单调递增函数.(2)解：f(x)=21.验证过程略.难点8 奇偶性与单调性(二)函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握根本方法，形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f［2(x2+54)］≥0.●案例探究［例1］奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)(x2－3)<0,设不等式解集为A，∪{1≤x≤},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：此题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的"f"号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去"f"号，转化为不等式，利用数形结合进展集合运算和求最值.解：由且x≠0,故0<x<,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x<,即{2<x<},∴∪{1≤x≤}={1≤x<},又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－)2－知：g(x)在B上为减函数，∴g(x)(1)=－4.［例2］奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(2θ－3)(4m－2θ)>f(0)对所有θ∈［0,］都成立？假设存在，求出符合条件的所有实数m的范围，假设不存在，说明理由.命题意图：此题属于探索性问题，主要考察考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(2θ－3)>f(2θ－4m),即2θ－3>2θ－4m,即2θ－θ+2m－2>0.设θ,那么问题等价地转化为函数g(t)2－2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正.∴当<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0m>1与m<0不符；当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>04－2<m<4+2,∴4－2<m≤2.当>1,即m>2时，g(1)－1>0m>1.∴m>2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为根本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f(x)是(－∞∞)上的奇函数，f(2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x),那么f(7.5)等于( )A.0.52.(★★★★)定义域为(－1，1)的奇函数(x)又是减函数，且f(a－3)(9－a2)<0,那么a的取值范围是( )A.(2，3)B.(3，)C.(2，4)D.(－2，3)二、填空题3.(★★★★)假设f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,那么(x)<0的解集为.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(2)=－f(x),试比拟f()()(1)的大小关系.三、解答题5.(★★★★★)f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)f(x)= (a∈R)是R上的奇函数，(1)求a的值；(2)求f(x)的反函数f－1(x);(3)对任意给定的k∈,解不等式f－1(x)>.7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－)≤f(－2x)对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)函数(x)= (∈>0>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，假设存在，求出点的坐标；假设不存在，说明理由.参考答案难点磁场解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［2(x2+54)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0〕上为减函数且f(－2)(2)=0∴不等式可化为2(x2+54)≥2①或2(x2+54)≤－2②由①得x2+54≥4∴x≤－5或x≥0③由②得0＜x2+54≤得≤x＜－4或－1＜x≤④由③④得原不等式的解集为{≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0}歼灭难点训练一、 1.解析：f(7.5)(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)(3.5)(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1〕上的奇函数又是减函数，且f(a－3)(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴∴a∈(2,3).答案：A二、3.解析：由题意可知：(x)＜0∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0〕∪(0，3〕4.解析：∵f(x)为R上的奇函数∴f()=－f(－)()=－f(－)(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－>－>－1.∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f()＜f()＜f(1).答案：f()＜f()＜f(1)三、5.解：函数f(x)在(－∞,0〕上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)(x1)(－x2)(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1〕1.(2)f(x)= (x∈R)f－-1(x)2 (－1＜x＜1.(3)由2>22(1－x)＜2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{1－k＜x＜1;当k≥2时，不等式解集为{－1＜x＜1.7.解：，对x∈R恒成立,∴m∈［,3］∪{}.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即∴0,∵a>0>0>0,∴f(x)=≥2，当且仅当时等号成立，于是2=2,∴2,由f(1)＜得＜即＜,∴2b2－52＜0,解得＜b＜2，又b ∈N,∴1,∴1,∴f(x).(2)设存在一点(x00)在(x)的图象上，并且关于(1，0〕的对称点(2－x0,－y0)也在(x)图象上，那么消去y0得x02－2x0－1=00=1±.∴(x)图象上存在两点(1+,2),(1－,－2)关于(1，0)对称.函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握根本方法，形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f［2(x2+54)］≥0.●案例探究［例1］奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)(x2－3)<0,设不等式解集为A，∪{1≤x≤ },求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：此题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f〞号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f〞号，转化为不等式，利用数形结合进展集合运算和求最值.解：由且x≠0,故0<x< ,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x< ,即{2<x< },∴∪{1≤x≤ }={1≤x< },又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－ )2－知：g(x)在B上为减函数，∴g(x)(1)=－4.［例2］奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(2θ－3)(4m－2θ)>f(0)对所有θ∈［0, ］都成立？假设存在，求出符合条件的所有实数m的范围，假设不存在，说明理由.命题意图：此题属于探索性问题，主要考察考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(2θ－3)>f(2θ－4m),即2θ－3>2θ－4m,即2θ－θ+2m－2>0.设θ,那么问题等价地转化为函数g(t)2－2m－2=(t－ )2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正.∴当 <0,即m<0时，g(0)=2m－2>0 m>1与m<0不符；当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－ +2m－2>04－2 <m<4+2 ,∴4－2 <m≤2.当 >1,即m>2时，g(1)－1>0 m>1.∴m>2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2 .●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为根本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f(x)是(－∞∞)上的奇函数，f(2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x),那么f(7.5)等于( )A.0.5B.－0.52.(★★★★)定义域为(－1，1)的奇函数(x)又是减函数，且f(a－3)(9－a2)<0,那么a的取值范围是( )A.(2 ，3)B.(3， )C.(2 ，4)D.(－2，3)二、填空题3.(★★★★)假设f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,那么(x)<0的解集为.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(2)=－f(x),试比拟f( )( )(1)的大小关系.三、解答题5.(★★★★★)f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)f(x)= (a∈R)是R上的奇函数，(1)求a的值；(2)求f(x)的反函数f－1(x);(3)对任意给定的k∈,解不等式f－1(x)> .7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－)≤f( － 2x)对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)函数(x)= (∈>0>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)< .(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，假设存在，求出点的坐标；假设不存在，说明理由.参考答案难点磁场解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［2(x2+54)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0〕上为减函数且f(－2)(2)=0∴不等式可化为2(x2+54)≥2①或2(x2+54)≤－2 ②由①得x2+54≥4∴x≤－5或x≥0③由②得0＜x2+54≤得≤x＜－4或－1＜x≤④由③④得原不等式的解集为{≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0}歼灭难点训练一、 1.解析：f(7.5)(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)(3.5)(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1〕上的奇函数又是减函数，且f(a－3)(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴∴a∈(2 ,3).答案：A二、3.解析：由题意可知：(x)＜0∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0〕∪(0，3〕4.解析：∵f(x)为R上的奇函数∴f( )=－f(－ )( )=－f(－ )(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－ >－ >－1.∴f(－ )>f(－ )>f(－1),∴f( )＜f( )＜f(1).答案：f( )＜f( )＜f(1)三、5.解：函数f(x)在(－∞,0〕上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)(x1)(－x2)(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1〕1.(2)f(x)= (x∈R) f－-1(x)2 (－1＜x＜1 .(3)由2 >2 2(1－x)＜2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{1－k＜x＜1 ;当k≥2时，不等式解集为{－1＜x＜1 .7.解：，对x∈R恒成立,∴m∈［ ,3］∪{ }.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即∴0,∵a>0>0>0,∴f(x)= ≥2 ，当且仅当时等号成立，于是2 =2,∴2,由f(1)＜得＜即＜ ,∴2b2－52＜0,解得＜b＜2，又b ∈N,∴1,∴1,∴f(x) .(2)设存在一点(x00)在(x)的图象上，并且关于(1，0〕的对称点(2－x0,－y0)也在(x)图象上，那么消去y0得x02－2x0－1=00=1± .∴(x)图象上存在两点(1+ ,2 ),(1－ ,－2 )关于(1，0)对称.。
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称⾮奇⾮偶例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常⽤性质：1．0)(=x f 是既奇⼜偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满⾜)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满⾜：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=⾮奇⾮偶（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成⼀个奇函数2)()()(x f x f x --=和⼀个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应⽤：（⼀）常⽤定义法来证明⼀个函数的单调性⼀般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（⼆）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常⽤结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）⼀般地对于函数内⼀切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在⼀个最⼩正数，就把这个最⼩正数叫最⼩正周期。
高一数学 单调性 反函数
黄冈中学高一数学 函数的单调性 反函数1、函数的单调性:（1）设函数y=f(x)的定义域是M ，区间D 是M 的一个子集，若对于当x 1＜x 2时，恒有f(x 1)＜f(x 2)成立，则称函数y=f(x)在区间D 上是单调递增函数．（2）设函数y=f(x)的定义域是M ，区间D 是M 的一个子集，若对于当x 1＜x 2时，恒有f(x 1)＞f(x 2)成立，则称函数y=f(x)在区间D 上是单调递减函数．（3）单调函数：单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数.若y=f(x)在区间D 上为单调函数，则称D 是这个函数的单调区间．2、单调函数的基本性质:（1）y=f(x)在区间I 上是单调递增（减）函数，c ，d 都是常数，则y=cf(x)+d 在I 上也是单调函数．若c ＞0，y=cf(x)+d 在I 上是单调递增（减）函数；若c ＜0，y=cf(x)+d 在I 是单调递减（增）函数．（2）若函数y=f （x ）与y=g （x ）在区间I 上同为单调递增（减）函数，则y=f(x)+g(x)在I 上也是单调递增（减）函数．（3）u=g(x)在区间(a,b)上为增（减）函数，y=f(u)在(g(a),g(b))(或(g(b), g(a)）)上为增（减）函数，则y=f(g(x))在（a ，b ）上为增函数．（4）u=g(x)在（a ，b ）上为增（减）函数，y=f(u)在(g(a)，g(b))(或（g(b)，g(a)））上为减（增）函数，则y=f(g(x))在（a ，b ）上为减函数．3、一次函数，反比例函数和二次函数的单调性函数 y=ax＋b(a≠0)y=(a≠0) y=ax 2＋bx ＋c(a≠0) 单调区间 (－∞,＋∞)(－∞,0) (0,＋∞) (－∞,－] [－,＋∞) 单调性 a>0 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 a<0 减函数 增函数 增函数 增函数 减函数4、反函数的概念：（1）只有自变量x 与其对应的函数值y 是一一对应的函数才存在反函数，反函数的对应法则是原函数对应法则f 的逆对应，反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．（2）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，即点（a，b）在y=f(x)的图象上，则点（b，a）必在y=f－1(x)图象上.（3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．5、反函数的性质:（1）y =f－1(x)是y=f（x）的反函数，则y=f（x）也是y =f－1(x)的反函数，即y=f(x)和y =f－1(x)互为反函数．（2）函数y=f(x)存在反函数的充要条件是函数y=f(x)是定义域到值域的一一映射．（3）函数y=f(x)和反函数y =f－1(x)的定义域，值域互换，即函数y =f－1(x)函数y=f(x)定义域 A C值域 C A6、互为反函数的图象关系:函数y=f(x)的图象和它的反函数y =f－1(x)的图象关于直线y=x对称．7、反函数与原函数的其它性质和联系:1）反函数与原函数 f[f-1(x)]=x，f－1[f(x)]=x注：f－1 [f－1(x)]）并不是反函数的反函数，而是y=f－1(x)与自身形成的复合函数，谨防出现f－1 [f－1(x)]=f(x)的错误作法.（2）反函数与单调性:如果函数y=f(x)有单调性，则反函数y=f－1(x)也有与y=f(x)一致的单调性，即y=f(x)在[a，b]上为增函数，则y=f－1(x)在[f(a)，f(b)]上为增函数；y=f(x)在[a，b]上为减函数，则y=f－1(x)在[f(b)，f(a)]上为减函数．8、复合函数的单调性::复合函数y=f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即f(u)与g(x)若具有相同的单调性，则f[g(x)]必定是增函数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必定是减函数，讨论复合函数单调性的步骤是：（1）求出复合函数的定义域；（2）把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其定义域；（3）把中间变量的变化范围转化为自变量的变化范围；（4）根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性.三、方法指导1、判定函数单调性的方法:（1）定义法：根据函数单调性的定义进行证明，其步骤如下：第一步：取值．即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2.第二步：作差变形．即作差f(x1)-f(x2)，并通过因式分解，配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．第三步：定正负．确定差f(x1)-f(x2)的正负，当正负不确定时，可以进行分区间讨论．第四步：判断．根据定义作出结论．即“取值——作差变形——定正负——判断”这几个步骤．（2）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性．如一次函数，二次函数，反比例函数的单调性均可直接说出，注意了解以下一些结论，对于直接判断函数的单调性有好处：①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反．②当f(x)恒为正或恒为负时，函数的单调性相反．③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等．（3）图象法：根据函数的图象进行判断．例1、讨论函数（x>0）的单调性.例2已知f(x)=8+2x-x2， g(x)=f(2-x2)，试求g(x)的单调区间．例3、已知函数（－5≤x≤0），点P（－2，－4）在它的反函数的图象上.（1）求f(x)的反函数f－1（x）；（2）证明f－1（x）在其定义域上是减函数.例4、求函数的值域例5、已知函数y=kx＋b的图象过(1，2)点，它的反函数f-1(x)的图象过(4，0)点，求函数f(x)的解析式.例6、设f(x)的定义域为（0，＋∞），且对一切x、y>0，都有=f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的单调性并证明；（3）若f(6)=1，解不等式.。
最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题
函数及基本性质一、函数的概念（1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．（2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则．注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑪3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑫111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑬x x f =)(，2)(x x g =；⑭()f x =()F x =⑮21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A ．⑪、⑫B ．⑫、⑬ C ．⑭D ．⑬、⑮ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()635-=x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ，131><x x 或 ④对数函数的真数大于零0,log )(>=x x x f a ，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。
如：()212()log 25f x x x =-+⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．如：2)32()(-+=x x f⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．如：)2(log 22x y --=⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．如：()[]()x f x f 28,2，的定义域是的定义域为822≤≤x⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．例：求函数()())1lg(lg x k x x f -+-=的定义域。
反函数及其图像性质
这表明函数 y x 没有反函。
2
并非所有的函数都有反函数！
问：怎样的函数才具有反函数呢？
• 连续的单调函数一定有反函数
二、新授课
（一）例题讲解
例1. 求函数y=3x-2的反函数, 并画出原函数和反函数的图象.
解 ∵y=3x-2
y=3x-2
yx
y2 ∴x= 3
∴函数y=3x-2(x∈R） 的反函数为
设函数f ( x)的图象关于点(1, 2)对称, 且存在反函数f ( x), f (4) 0. 则f (4)
1 1
1- ax 1 1.若函数f ( x) ( x - )的图像 1 ax a 关于直线y x对称，则a .
2x 3 2.设y f ( x) , y g ( x)的图像与 x -1 -1 y f ( x 1)的图像关于直线y x对称. 则g (3) .
.)2 x且,R x (
x3 互换 x, y得反函数为： y x2
也就是说,反函数定义是一种生成性定 义，体现了反函数的获得的过程
y = f(x) (x∈A)
反解
用 y 把 x 表示出来
2.求反函数的步骤 概念表明
x= ( y ) (y∈C)
判断
x=f
1
如果…那么…
( y) (y∈C)
1 1
2
2
同样，在(2)中，也把新函数 x y 1 称为原函数
2
y g( x) x 1,
改写为：
x 的反函数，记为： g
1 2
1
( y ) y 1.
2
y g ( x) x 1( x 0).
反函数的一般定义参见课本P.60第二段。
函数与极限重点知识归纳
常量与变量变量的定义我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化,我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。
注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。
变量的表示如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。
在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。
以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：[a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；(-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b；(-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。
邻域设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
函数函数的定义如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。
变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。
通常x叫做自变量，y叫做因变量。
注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的.注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。
这里我们只讨论单值函数。
函数的有界性如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.函数的单调性如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。
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函数的性质、反函数·函数的单调性·例题
例1-5-1下列函数中，属于增函数的是 [ ]
解 D
例1-5-2若一次函数y=kx+b(k≠0)在(-∞，+∞)上是单调递减函数，则点(k，b)在直角坐标平面的 [ ]
A．上半平
面 B．下半平面
C．左半平
面 D．右半平面
解 C 因为k＜0，b∈R．
例1-5-3函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是 [ ]
A．a≥
3
B．a≤-3
C．a≤
5
D．a=-3
解 B 因抛物线开口向上，对称轴方程为x=1-a，所以1-a≥4，即a ≤-3．
例1-5-4已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x)
[ ]
A．在区间(-1，0)内是减函数
B．在区间(0，1)内是减函数
C．在区间(-2，0)内是增函数
D．在区间(0，2)内是增函数
解 A g(x)=-(x2-1)2+9．画出草图可知g(x)在(-1，0)上是减函数．+bx在(0，+∞)上是______函数(选填“增”或“减”)．
解 [-2，1]
已知函数的定义域是-5≤x≤1．设
u=-x2-4x+5=-(x+2)2+9
可知当x∈[-5，-2]时，随x增大时，u也增大但y值减小；当x∈[-2，1]时，随x增大时，u减小，但y值增大，此时y是x的单调增函数，即注在求函数单调区间时，应先求函数的定义域．
例1-5-7 y=f(x)在定义域上是单调递增函数，且f(x)＞0，那么在同函数；y=[f(x)]2是单调______函数．
解递减；递减；递增．
例1-5-8 (1)证明函数f(x)=x2-1在(-∞，0)上是减函数；
解 (1)任取x1＜x2＜0，则
所以 f(x1)＞f(x2)．
故f(x)在(-∞，0)上递减．
(2)任取0＜x1＜x2，则
当x2＞x1＞1时，f(x2)＞f(x1)；当1＞x2＞x1＞0时，f(x2)＜f(x1)．
所以函数在(0，1]上是减函数，在[1，+∞)上是增函数．
例1-5-9已知f(x)=-x3-x+1(x∈R)，证明y=f(x)是定义域上的减函数，且满足等式f(x)=0的实数值x至多只有一个．
解设x1，x2∈R，且x1＜x2，则
所以f(x1)＞f(x2)．所以y=f(x)是R上的减函数．
假设使f(x)=0成立的x的值有两个，设为x1，x2，且x1＜x2，则
f(x1)=f(x2)=0
但因f(x)为R上的减数，故有f(x1)＞f(x2)．矛盾．所以使f(x)=0成立的x的值至多有一个．
例1-5-10定义域为R的函数y=f(x)，对任意x∈R，都有
f(a+x)=f(a-x)，其中a为常数．又知x∈(a，+∞)时，该函数为减函数，判断当x∈(-∞，a)时，函数y=f(x)的单调状况，证明自己的结论．解当x∈(-∞，a)时，函数是增函数．
设x1＜x2＜a，则2a-x1＞2a-x2＞a．
因为函数y=f(x)在(a，+∞)上是减函数，所以
f(2a-x1)＜f(2a-x2)
注意到对任意x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，可见对于实数a-x1，也有f[a+(a-x1)]=f[a-(a-x1)]，即f(2a-x1)=f(x1)．
同理f(2a-x2)=f(x2)．
所以f(x1)＜f(x2)，所以函数y=f(x)在(-∞，a)上是增函数．
例1-5-11设f(x)是定义在R+上的递增函数，且
f(xy)=f(x)+f(y)
(2)若f(3)=1，且f(a)＞f(a-1)+2，求a的取值范围．
(2)因为f(3)=1，f(9)=f(3)+f(3)=2，于是
由题设有。