东南大学05-06-3线性代数期末考试试卷
东南大学高数A下学期末试卷及答案 03-09
[ （B）必要而非充分条件 （D）既非充分也非必要条件
]
f ( y 2 − 3 z ) 所确定的隐函数，其中 f 可微，求
2y
∂z ∂z + 3x . ∂x ∂y
2．确定 λ 的值，使曲线积分
C
∫(x
2
+ 4 xy λ ) dx + ( 6 x λ −1 y 2 − 2 y ) dy 在 XoY 平面上与路径
；
处的函数值 S (−1) = 8．设 C 为正向圆周： z = 1 ，则
学号
� ∫
C
sin z dz = z2
；
9．设 f ( z ) 在 z 平面上解析， f ( z ) =
∑a z
n =0 n
∞
n
，则对任一正整数 k ，函数
f ( z) 在点 z = 0 zk
的留数 Res
f ( z) ;0 = k z
n =1
∞
2n sin 2 n x 的敛散性；当级数收敛时，判别其是绝对收敛，还是条件收敛？ n
四（15） ． （本题满分 10 分）将函数 f ( z ) =
1 分别在圆环域（1）1 < z < +∞ ； （2） z (1 + z )
2
1 < z − 1 < 2 内展开成罗朗级数。
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∫x
L
x 2 + y 2 dx + y x + x 2 + y 2 dy ，
(
)
其中 L 是从点 A(2,1) 沿曲线= y
x − 1 到点 B (1, 0) 的一段。
三（14） ． （本题满分 9 分）试就 x 在区间
东南大学线性代数几何代数历年试题
《线性代数》教学大纲32学时本课程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是本科阶段关于离散量数学的最重要的课程。
本课程的目的是使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。
教学内容和基本要求一．行列式1．理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；12．知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；3．了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式；4．掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；5．掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；6．理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。
二．矩阵1．理解矩阵的概念；2．理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；3．理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；4．理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；5．了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；26．了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。
三．矩阵的初等变换与Gauss消元法1．理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系，理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；2．了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；3．了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解；4．理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系；5．熟练掌握用矩阵的秩判断线性方程组的相容性及讨论解的情况的方法。
四．向量组的线性相关性1．理解向量的概念，理解线性组合和线性表示的概念；2．理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；3．理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质；34．理解向量组的最大线性无关组的概念，理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的最大线性无关组；5．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；6．理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法；7．知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解空间的基及它们的维数；8．知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。
2005级数三线性代数期末考试试卷A
λ=0或25.当n元二次型正定时, 二次型的秩为 n二． 选择题（每小题3分，共15分）1. 设 0,A n A =为阶方阵则的必要条件是( B ) (a) A 的两行(或列)元素对应成比例 (b) A 中必有一行为其余行的线性组合 (c) A 中有一行元素全为零 (d) 任一行为其余行的线性组合2. 设n 维行向量112200 2 (,,,,),,,T T A E B E ααααα==-=+ 矩阵 ,E n AB =其中为阶单位矩阵则( B )(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+T αα3. 设 0 ,,,A B n AB =为阶方阵满足等式则必有( C )(a) 00A B ==或 (b) 0A B += (c) 00A B ==或 (d) 0A B +=4.s 维向量组12,,,n ααα (3n s ≤≤)线性无关的充分必要条件是( C ) (a) 存在一组不全为零的数12,,,n k k k , 使得11220n n k k k ααα+++≠ (b) 12,,,n ααα 中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出 (c) 12,,,n ααα 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d) 12,,,n ααα 中任意两个向量都线性无关5. 设A 为n 阶方阵, 且秩121 ,0(),R A n Ax αα=-=是的两个不同的解, 则0Ax =的通解为( AB )(a) 1k α (b) 2k α (c) 12()k αα- (d) 12()k αα+三. 计算题(每小题10分,共30分)1. 计算2512371459274612D ---=--的值.D=-92. 设1100213401100213 C=0011002100010002,B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 矩阵X 满足关系式:1 (),.T T X E C B C E X --=求1 0 0 0 X=-2 1 0 0 1 -2 1 0 0 1 -2 13. 设二次型222123123121323224(,,)f x x x x x x x x x x x x αβ=+++++经正交变换化为标准型22232,,.f y y αβ=+求的值 α=β=0四. 解答题(每小题12分,共24分)21 2.,,,?123123123x +x +kx =4k x +kx +x =k x x +x =4⎧⎪-⎨⎪--⎩为何值时线性方程组有唯一解无解有无穷多解,.若有解时求出其全部解1 1 k 4r(A,b)=-1 k 1 k2 1 -1 2 -4当k=-1或-2时,方程组无解 当k=2时,方程组有无穷多解当k ≠±2且k ≠-1时,方程组有唯一解2. 求向量组11111(,,,)α=,21111(,,,)α=--,31111(,,,)α=--,41111(,,,)α=--,1211(,,,)β=的一个极大线性无关组和秩, 并将β用极大线性无关组线性表出.1 1 1 1 1 A= 1 1 -1 -12 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1α1,α2,α4, β是一个极大线性无关组 r(α1,α2,α3,α4, β)=4β=0×α1+0×α2+0×α4+1×β五. 证明题(每小题8分,共16分)1. 已知123,,ααα线性无关, 证明向量组: 1111122133l l l βααα=++,2211222233l l l βααα=++,3311322333l l l βααα=++线性无关的充分必要条件是1112132122233132330.l l l D l l l l l l =≠2. 设A B n 与为阶对称阵, 且1 ,()AB E A AB E A -++及都可逆证明为 可逆的对称阵.令C=(AB+E)-1A,D=A-1(AB+E) 所以CD=E,DC=E 所以C 可逆又CT=[(AB+E)-1A]T=AT[(AB+E)-1]T=A[(AB+E)T]-1=A(BA+E)-1。
东南大学05-06-3线性代数期末考试试卷
05-06第三学期线性代数期终考试试卷一． （30%）填空题（E 表示相应的单位矩阵）1. 设3阶矩阵()123,,A ααα=的行列式3A =,矩阵()231,,B ααα=， 则矩阵A B -的行列式A B -= 3 ；2. 若矩阵A 满足2A O =，则E A +的逆矩阵1()E A -+= E-a ；3. 若向量组()()()1231,,1,1,1,,,1,1,t t t ααα===的秩为2，则参数t 满足条件-2 ；4. 假设3阶矩阵A 的特征值为1,2,1-，矩阵*2B E A =-，其中，*A 是A 的伴随矩阵，则B 的行列式B =；5. 若矩阵10022312A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵03B y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则(),x y = 1,-1 ；6. 设(1,1,0),(1,0,1)TT--是3阶实对称矩阵A 的相应于某个非零二重特征值的特征向量。
若A 不可逆，则A 的另一个特征值为，相应的一个特征向量为；7. 已知3元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为2, 并且，123,,ααα是Ax b =的3个解向量,其中123(1,1,1),(2,4,6)T T ααα=+=,则Ax b =的通解是； 8. 若4阶方阵,A B 的秩都等于1，则矩阵A B +的行列式A B +=；9. 若矩阵211A x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与矩阵1221B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭合同，则参数x 满足条件。
二．（10%）计算下述行列式的值：111+11111+11111111x xD x x=--三．（15%）设线性方程组 1231231233032314x x x x x x x x x λμ++=⎧⎪++=-⎨⎪-++=⎩。
问：当参数,λμ取何值时, 线性方程组有唯一解？当参数,λμ取何值时，线性方程组有无穷多组解？当线性方程组有无穷多组解时，求出其通解。
四．（12%）假设矩阵101012001A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，103101C ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵X 满足1*2A X A C X -=+，其中*A 是A 的伴随矩阵，求X 。
线性代数-期末测试题及其答案
线性代数期末考试题、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题5分，共25分）1 -3 11.若0 5 X =°，则；t = 。
-1 2 -2| f x2 . X3 = 02. ___________________________________________________________________ 若齐次线性方程组+^X2 +x3=0只有零解，则人应满足_____________________________________ 。
x1 +x2 +x3 = 03. 已知矩阵A, B, C =（q ）s n,满足AC二CB，则A与B分别是 _____________ 阶矩阵。
4•已知矩阵A为3 3的矩阵，且|A| = 3，则|2A| = ___________ 。
5. n阶方阵A满足A2 -3A - E = 0，则A A=。
二、选择题（每小题5分，共25分）6•已知二次型f • X；• 5x2 2tX i X2 -2^X3 - 4X2X3 ,当t取何值时，该二次型为正定？（）4 - 4 4 4 4 1A. —— <t W0B. ——<t < —C. 0<t< —D. —一c t< 一一5 5 5 5 5 2q 4 2''1 2 3"7.已知矩阵A =0 -3 4 B = 0X6 ，且A ~ B，求x的值（）<0 4<0 0 5」3」A.3B.-2C.5D.-58 •设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A^OB. A，HOC. r（A） = nD. A的行向量组线性相关9 •过点（0, 2, 4）且与两平面x 2z =1和y -3z =2的交线平行的直线方程为（）A.xy-2 z -4B.x y —2 z-4-2 _ 3-1 2_ 3 -2 C.xy 2 z 4 D.x y 2 z 4-2312 32.已知矩阵'3 1、 10 A =,其特征值为（)-1A.初=2,為 =4B.人二=_2,九2C.=4D. Z_1 :=2丄2 =-4 三、解答题（每小题10分，共50分）15.证明：若A 是n 阶方阵，且 从丁=|，A = —1,证明 A+I =0。
东南大学考试卷(A)2005-2006学年高等数学期末试卷(后附答案)
共 6 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）（共4页第1页）课程名称高等数学（B ）期末考试学期 05-06-3得分适用专业 选学高数（B ）的各专业 考试形式 闭卷考试时间长度 150分钟一、 填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1．设函数(,)z z x y =由方程e y zz x =确定，则d z = ；2．曲线23,,x t y t z t ===在对应于1t =-的点处的切线方程是 ；3．曲面e 3zz xy ++=在点(2,1,0)M 处的切平面方程为 ； 4．交换积分次序101d (,)d x x f x y y -=⎰ ；5．向量场22223342x yz xy z xyz =++A i j k 在点(2,1,1)处的散度div =A ；6．()221sin d d x y x x y x y +≤+=⎰⎰；7．空间区域Ω为2222x y z R ++≤，则V Ω的值为 ；8．已知曲线积分()()3ecos ()d e sin d xx Ly yf x x x y y ++-⎰与路径无关，则()f x = ； 9．已知()()222d 23d 3d z xy x x x y y =+++，则z = 。
二．计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，满分32分） 10．设()20,e d x ytz f t t =⎰，其中f 具有一阶连续偏导数，求zx ∂∂及2z x y∂∂∂。
共 6 页 第 2 页第2页 11．计算二次积分：110d d x yx y ⎰12．问通过两直线223112x y z -+-==-和111121x y z -+-==-能否决定一平面？若能，则求此平面的方程。
13．设半球体:02z Ω≤-≤z μ=，试求半球体Ω的质量。
共 6 页 第 3 页三．（14）（本题满分10分）设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，其面积记为S ，试求该三角形内一点到三边距离之乘积的最大值。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 0; 0, 0]2. 如果向量v = (3, -2)，那么其对应的单位向量是什么？A. (1, -2/3)B. (3/√13, -2/√13)C. (3/√29, -2/√29)D. (3/√10, -2/√10)3. 对于矩阵A，|A|表示其行列式，那么|A| = 0表示：A. A是单位矩阵B. A是零矩阵C. A不是满秩矩阵D. A是可逆矩阵4. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵的对角元素B. 矩阵的迹C. 满足Av = λv的非零向量v对应的λD. 矩阵的行列式5. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [1, -1; 1, 1]D. [1, 0; 0, 1]二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果矩阵A的秩为1，那么A的零空间的维数是_________。
7. 对于任意非零向量α和β，如果α + β和α - β都是零向量，那么向量α和β_________。
8. 一个向量空间的一组基的向量数量至少是_________。
9. 如果矩阵A是n阶方阵，且A^2 = I（单位矩阵），那么矩阵A是_________矩阵。
10. 对于实数域上的向量空间，任意两个非零向量的标量积是_________的。
三、简答题（每题10分，共20分）11. 解释什么是线性变换，并给出一个线性变换的例子。
12. 证明如果矩阵A和B是可交换的，即AB = BA，那么它们的行列式之积等于各自行列式的乘积，即|AB| = |A||B|。
四、计算题（每题15分，共30分）13. 给定矩阵A = [4, 1; 3, 2]，求A的逆矩阵A^-1。
14. 设向量空间V是所有2x2实对称矩阵的集合，证明V是一个向量空间，并找出一组基。
线性代数期末考试题库及答案
2、n2, 当 n 为偶数时为偶排列，当 n 为奇数时为奇排列. 4、29.
1、12.
2、 x2 y2 .
4
∑ 3、 x = 0 或 − ai . i =1
4、 λ = ±1, 2 .
三、证明题
证明提示: 由于 f(x)是关于 x 的二次多项式，在[0，1]中可导，又可计算出 f (0) = f (1) = 0 ，
3、解方程 D4( x) =
a1 a1
a1 + x
a2 a2 a2 + x a2
a3 a3 + x
a3 a3
a4 + x a4 = 0 . a4 a4
4、已知下列齐次线性方程组有非零解，求参数λ的值。
（5
− λ）x1 −6 x1
−4 x2 +(7 − λ )x2
−7 x3 +11x3
=0 =0
6 x1
（B）若 AX=0有非零解，则 AX=b有无穷多解；
（C）若 AX=b有无穷多个解，则 AX=0仅有零解；
（D）若 AX=b有无穷多个解，则 AX=0有非零解。
（7）非齐次线性方程组 AX=b中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A的秩为 r，则
（）
（A）r=m时，方程组 AX=b有解； （B）r=n时，方程组 AX=b有唯一解；
《线性代数》补充练习二
一、选择题：
（1）设 n阶方阵 A的秩 r<n，则在 A的 n个行向量中（ ）
（A）必有 r个行向量线性无关； （B）任意 r个行向量均可构成极大无关组；
（C）任意 r个行向量均线性无关；（D）任一个行向量均可由其他 r个行向量线性表示
（2）若向量组α，β，γ线性无关；α，β，δ线性相关，则（ ）
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A是可逆的，则下列哪个选项是正确的？A. A的行列式为0B. A的行列式不为0C. A的逆矩阵不存在D. A的逆矩阵是其转置矩阵答案：B2. 线性方程组有唯一解的充分必要条件是：A. 系数矩阵的行列式为0B. 系数矩阵的行列式不为0C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩D. 增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩答案：B3. 设A是n阶方阵，若A的特征值均为1，则A可能是：A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 任意对角矩阵D. 任意方阵答案：B4. 向量空间中，若两个向量组等价，则它们：A. 包含相同数量的向量B. 包含相同数量的线性无关向量C. 可以相互线性表出D. 具有相同的维数答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A的秩为r，则矩阵A的行向量组和列向量组的最大线性无关组包含的向量数量均为______。
答案：r2. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1+β,α2+β, ..., αn+β线性相关，其中β为非零向量，这说明向量组α1, α2, ..., αn的线性相关性与向量β的______有关。
答案：选择3. 设A是3×3矩阵，且A的行列式|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式|A^(-1)|等于______。
答案：1/24. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B具有相同的秩，则该线性方程组的解集的维数为n-r，其中n是矩阵A的阶数，r是矩阵A的秩，则该线性方程组的解集的维数为______。
答案：n-r三、解答题（每题15分，共40分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。
答案：特征值λ1 = 5，对应的特征向量为\[\begin{pmatrix}-2 \\1\end{pmatrix}\]；特征值λ2 = 1，对应的特征向量为\[\begin{pmatrix}1 \\1.5\end{pmatrix}\]。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若矩阵A的秩为r(A)，则下列结论正确的是（）A. r(A) ≤ n，其中n是矩阵A的列数B. r(A) ≤ m，其中m是矩阵A的行数C. r(A) ≤ min(m, n)D. r(A) = max(m, n)答案：C2. 下列矩阵中，哪一个不是对称矩阵？（）A. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 &5 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 &9 \end{pmatrix}\)答案：D3. 若向量组α1, α2, α3线性无关，则向量组（）A. α1 + α2, α2 +α3, α3 + α1 线性无关B. α1 - α2, α2 - α3, α3 - α1 线性无关C. α1 + 2α2, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关D. α1 + α2 + α3, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关答案：B4. 设矩阵A是n阶可逆矩阵，则下列结论正确的是（）A. A的伴随矩阵A也是可逆矩阵B. A的逆矩阵A-1也是可逆矩阵C. A的转置矩阵AT也是可逆矩阵D. A的n次幂An也是可逆矩阵答案：D5. 若行列式D = |A|的值为0，则下列结论正确的是（）A. 方程组Ax = b有唯一解B. 方程组Ax = b无解C. 方程组Ax = 0有非零解D. 方程组Ax = b有无穷多解答案：C6. 若矩阵A是正交矩阵，则下列结论正确的是（）A. A的行列式值为1B. A的行列式值为-1C. A的转置矩阵AT等于A的逆矩阵A-1D. A的平方等于单位矩阵E答案：CD二、填空题（每题5分，共30分）7. 若矩阵A的行列式值为3，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式值为________。
线性代数 期末测试题及其答案
线性代数期末考试题之杨若古兰创作一、填空题（将准确答案填在题中横线上.每小题5分，共25分）1.2足.3是阶矩阵.45二、选择题（每小题5分，共25分）6当t 取何值时，该二次型为正定？（ ）7．已知矩阵，求的值（ ）8．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不准确的是（ ）A的行向量组线性相干9．过点（0，2，4行的直线方程为（）10其特征值为（）三、解答题（每小题10分，共50分）11.矩足关系式12.问取何值时，以下向量组线性相干？解和有没有量多解？当方程组有没有量多解时求其通解.14.求此向量组的秩和一个极大有关组，并将其余向量用该极大有关组线性暗示. 15.证实其中线性代数期末考试题答案一、填空题1. 5.解析:采取对角线法则,考查常识点:行列式的计算.难度系数:解析:要使该现行方程组只要零解,考查常识点:线性方程组的求解难度系数:解析;,,,阶矩阵.考查常识点:n 阶矩阵的性质难度系数: 4. 24解析:由题可知3考查常识点:矩阵的运算 难度系数: 解析:考查常识点:求解矩阵的逆矩阵 难度系数:二、选择题 6. A解析：由题可知，该二次型矩阵为，而此时，该二次型正定.考查常识点:二次型正定的判断难度系数7. C解析：由矩阵特征值性质有1-3+3=1+x+5，可解得x=-5. 考查常识点:n 阶矩阵特征值的性质 难度系数:8. D解析：由题可知，A 为n 阶可逆矩阵，则A 的行向量组线性有关.考查常识点:n 阶可逆矩阵的性质 难度系数:9. A.解析：由题可知，两平面法向量分别为，则所求直线的方向向量为考查常识点:求空间平面交线平行的直线方程 难度系数:10. C.考查常识点:求解矩阵的特征值三、解答题11.解：考查常识点:矩阵方程的运算求解难度系数:12.解：.考查常识点:向量组的线性相干性难度系数:13.解：③当时，有没有量多组解，通解为考查常识点:线性方程组的求解14.解：由题可知,且线性关系为考查常识点:向量组的秩与最大有关组难度系数:15.证实：由题可知,考查常识点:n 阶方阵的性质难度系数:。
线性代数期末考试试卷(doc 6页)
D ．12.n ααα⋅⋅⋅中任一部分线性无关。
5．下列条件中不是n 阶方阵A 可逆的充要条件的是（ ）。
A ．0A ≠；B ．()R A n =；C ．A 是正定矩阵；D ．A 等价于n 阶单位矩阵。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．123212233031332x x x x x x x x x ------=+-的根的个数为 个。
7．20102009100110100001012010010101001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
8．010100002A x ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，当 时，矩阵A 为正交矩阵。
9．设A 为5阶方阵，且()3R A =，则()*R A = 。
10．设三阶方阵A 的特征值为1、2、2，则14A E --= 。
三、计算题（每小题10分，共50分）11．计算行列式ab ac ae bd cd de bfcf ef ---。
得分 得分12．已知111022003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求()1*A -、()*1A -、1A -。
13．问,a b 各取何值时，线性方程组1231231232021324x x x x x ax x x x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解？无解？有无穷多解？有无穷多解时求其通解。
得分 得分14．设向量组()131T a α=，()223T b α=，()3121T α=，()4231T α=的秩为2，求,a b 。
15. 设n 维向量(),0,0,T a a α=⋅⋅⋅，0a <，且T A E αα=-⋅,11T A E a αα-=+⋅,求a 。
得分得分学院：专业：班级：四、解答题（10分）16．设3阶对称矩阵A的特征值为6、3、3，与6对应的特征向量为()1111TP=,,，求矩阵A。
得分五、证明题（每小题5分，共10分） 17．设A 、B 为两个n 阶方阵，且A 的n 个特征值互异，若A 的特征向量恒为B 的特征向量，证明AB BA =。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1.下列哪一个不是线性空间？A. 实数集RB. 矩阵的集合M(n,R)C. 正实数集R+D. 空集答案：C2.下列关于线性变换的叙述，正确的是（）A. 线性变换保持向量的长度不变B. 线性变换保持向量的方向不变C. 线性变换保持向量的数量积不变D. 线性变换保持向量的线性组合关系不变答案：D3.若向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（）A. 2α1，3α2，4α3 线性相关B. 2α1+3α2，4α3 线性无关C. α1+α2，α2+α3，α3+α1 线性无关D. α1，α1+α2，α1+α2+α3 线性相关答案：C4.设A是3阶矩阵，且|A|=5，则|2A|=（）A. 10B. 25C. 50D. 125答案：D5.下列关于线性方程组的叙述，正确的是（）A. 如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，则方程组一定有解B. 如果系数矩阵的秩等于未知数的个数，则方程组一定有唯一解C. 如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组一定有解D. 如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方程组一定无解答案：C二、填空题（每题5分，共25分）6.若向量组α1，α2，α3线性无关，则其极大线性无关组所含向量的个数为______。
答案：37.设A是3阶矩阵，且|A|=4，则|A的逆矩阵|=______。
答案：1/48.若线性方程组Ax=b有解，则系数矩阵A的秩r(A)与增广矩阵B的秩r(B)满足关系______。
答案：r(A)=r(B)9.设A是n阶对称矩阵，则A的转置矩阵A^T______。
答案：等于A10.线性空间V的维数等于______。
答案：V中极大线性无关组所含向量的个数三、计算题（每题10分，共30分）11.已知向量组α1=(1,2,3)，α2=(4,5,6)，α3=(7,8,9)，判断向量组是否线性相关，并说明理由。
答案：线性相关。
因为α3=α1+α2，所以向量组线性相关。
大学线性代数期末考试试卷答案
大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
线代期末试题及答案共享
线代期末试题及答案共享线性代数是一门重要的数学学科，在各个领域都有广泛的应用。
为了帮助同学们更好地复习线性代数课程，我将在本文中提供线性代数期末试题及答案供大家共享。
一、选择题1. 下列哪个向量不是向量组{(1, -2, 3), (2, -4, 6), (3, -6, 9)}的一个线性组合？A. (4, -8, 12)B. (5, -10, 15)C. (-1, 2, -3)D. (0, 0, 0)答案：A. (4, -8, 12)2. 给定矩阵A = (1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9)，则A的转置矩阵是：A. (1, 4, 7; 2, 5, 8; 3, 6, 9)B. (1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9)C. (1, 2, 3; 7, 8, 9)D. (1, 4, 7; 2, 5, 8; 3, 6, 9)答案：A. (1, 4, 7; 2, 5, 8; 3, 6, 9)3. 设矩阵A = (1, 2; 3, 4)，则A的逆矩阵是：A. (-2, 1; 3/2, -1/2)B. (1, -1; -3/2, 1/2)C. (-1, 2; 3/2, -1/2)D. (1/2, -1/2; -3/2, 1/2)答案：A. (-2, 1; 3/2, -1/2)二、填空题1. 设A是一个n阶矩阵，若A的行列式为5，则A的伴随矩阵的元素之和为_______。
答案：02. 设向量组{(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, k)}是线性相关的，则k的取值范围为_________。
答案：[-3, 3]三、计算题1. 设向量a = (2, 1, 3)，向量b = (4, 2, 1)，求向量a与向量b的点积。
答案：a·b = 2*4 + 1*2 + 3*1 = 112. 设向量a = (-1, 2, 3)，向量b = (2, -1, 1)，求向量a与向量b的叉积。
东南大学几何与代数线性代数01到10期末试卷
01-02学年第二学期一（30%）填空题：1． 设(1,2)α=，(1,1)β=-，则T αβ= ；T αβ== ；100()Tαβ= ；2． 设矩阵120031130A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，234056007B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则行列式1AB -= ； 3． 若向量组123,,ααα线性无关，则当参数k 时，122331,,k αααααα---也线性无关； 4． 矩阵11110111001101A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的伴随矩阵*A =⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 5． 设矩阵A 及A E +均可逆，则1()G E A E -=-+，且1G -= ； 6． 与向量(1,0,1)α=，(1,1,1)β=均正交的单位向量为 ；7． 四点(1,1,1),(1,1,),(2,1,1),(2,,3)A B x C D y 共面的充要条件为 ；8． 设实二次型22212312323(,,)2f x x x x kx x x x =+++，则当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是椭球面；当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是柱面。
二（8%）记1π为由曲线23z y x ⎧=-⎨=⎩绕z -轴旋转所产生的旋转曲面,2π为以1π与平面3:1x y z π++=的交线为准线，母线平行于z -轴的柱面。
试给出曲面12ππ及的方程，并画出13ππ被所截有界部分在x y -平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点）。
三（8%）求经过直线2221x y z x y z+-=⎧⎨-+-=⎩且与x y -平面垂直的平面方程.四（12%）求矩阵方程2XA X B =+的解，其中，311101010,321003A B ⎛⎫-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎝⎭.五（12%）设线性方程组12341234234123403552232(3)1x x x x x x x x x px x q x x x p x +++=⎧⎪+++=⎪⎨-+-=⎪⎪++++=-⎩1． 问：当参数,p q 满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 2． 当方程组有无穷多解时，求出其通解。
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05-06第三学期线性代数期终考试试卷一． （30%）填空题（E 表示相应的单位矩阵）1. 设3阶矩阵()123,,A ααα=的行列式3A =,矩阵()231,,B ααα=， 则矩阵A B-的行列式A B -= 3 ；2. 若矩阵A 满足2A O =，则E A +的逆矩阵1()E A -+= E-a ； 3. 若向量组()()()1231,,1,1,1,,,1,1,t t t ααα===的秩为2，则参数t 满足条件-2 ；4. 假设3阶矩阵A 的特征值为1,2,1-，矩阵*2B E A =-，其中，*A 是A 的伴随矩阵，则B 的行列式B = ；5. 若矩阵10022312A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵03B y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则(),x y = 1,-1 ；6. 设(1,1,0),(1,0,1)T T --是3阶实对称矩阵A 的相应于某个非零二重特征值的特征向量。
若A 不可逆，则A 的另一个特征值为 ，相应的一个特征向量为 ；7. 已知3元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为2, 并且，123,,ααα是Ax b=的3个解向量,其中123(1,1,1),(2,4,6)T T ααα=+=,则Ax b =的通解是 ；8. 若4阶方阵,A B 的秩都等于1，则矩阵A B +的行列式A B += ；9. 若矩阵211A x ⎛⎫=⎪⎝⎭与矩阵1221B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭合同，则参数x 满足条件 。
二．（10%）计算下述行列式的值：111+11111+11111111x x D x x=--三．（15%）设线性方程组 1231231233032314x x x x x x x x x λμ++=⎧⎪++=-⎨⎪-++=⎩。
问：当参数,λμ取何值时, 线性方程组有唯一解？当参数,λμ取何值时，线性方程组有无穷多组解？当线性方程组有无穷多组解时，求出其通解。
四．（12%）假设矩阵101012001A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，103101C ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵X 满足1*2A X A C X -=+，其中*A 是A 的伴随矩阵，求X 。
五．（10%）已知向量组123,,ηηη线性无关，问：参数,,a b c 满足什么条件时，向量组122331,,a b c ηηηηηη+++线性相关？六．（15%）已知二次型22212312313(,,)22f x x x x x x x x =++-① 写出二次型f 的矩阵； ②求一正交变换x Qy =，将f 变成其标准形（并写出f 的相应的标准形）； ③求当1Tx x =时123(,,)f x x x 的最大值。
七．（8%）证明题：1. 设向量组1234,,,αααα中，123,,ααα线性相关，234,,ααα线性无关，证明：1α能由234,,ααα线性表示。
2. 设A 是n 阶正定矩阵,证明：矩阵1A A E -+-也是正定矩阵。
07-08学年第一学期线性代数转系考试试卷一 (18%)填空题（E 表示单位矩阵）1. 设1002A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41x B y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若AB 和B 都是对称矩阵，则,x y 的值分别为 ； 2. 若33⨯矩阵A 的特征值是1,1,2-，则A 的伴随矩阵*A 的行列式等于 ；3. 如果矩阵210A x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 相似于对角阵，则参数x 必满足条件 ；4. 如果矩阵3x x A x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正定的，则参数x 满足条件 ；5. 对秩为r 的s n ⨯矩阵A ，非齐次线性方程组()Ax b b θ=≠的解集合中，线性无关的解向量的个数为 ；6. 如果将实对称矩阵按合同关系分类，使得两个矩阵在同一类的充分必要条件是它们是合同的，则n n ⨯实对称矩阵全体可以分成的合同类的个数为 ． 二(12%)选择题1． 对于46⨯矩阵A ，齐次线性方程组Ax θ=的基础解系中向量个数不可能是 （A ）１； （B ）２； （C ）３； （D ）４．2． 假设,αβ是矩阵A 的属于不同特征值,k l 的特征向量，则,()A ααβ+线性无关的充分必要条件是（A ）0k ≠； （B ）0l ≠； （C ）0k =； （D ）0l =． 3． 下列论断中，正确的一项为（Ａ）存在实对称矩阵,A B ，使得A B O +≠，但22A B O ==； （Ｂ）存在实对称矩阵,A B ，使得22A B O ==，但A B O +≠； （Ｃ）存在实对称矩阵,A B ，使得A 与B 相似，但A 与B 不合同； （Ｄ）存在实对称矩阵,A B ，使得A 与B 合同，但A 与B 不相似．三（10%）计算行列式0342420324303023D -=- ． 四（12%）已知线性方程组 1231231234x x x x x ax +-=⎧⎨++=⎩的每个解都满足方程122x x b +=。
1． 求参数,a b 的值；2． 求所述线性方程组的通解．五（14%）已知矩阵方程101021211102X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与010001100a X b c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有公共解．求公共解X ，并求参数,,a b c 的值．六（12%）已知矩阵01010a A a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与100000001-⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭相似．求参数,a b 的值，并求一正交矩阵Q 使得T Q AQ =Λ．七（14%）假设,,a b c 是不全为零的实数，二次型123123123(,,)()()f x x x x x x ax bx cx =++++1． 求二次型123(,,)f x x x 的矩阵A ；2． 证明：二次型f 的秩等于2当且仅当 ,,a b c 不全相等；3． 当f 的秩等于2时，求f 的正、负惯性指数．八（8%）设A 是n n ⨯上三角矩阵，且A 的主对角元素均为1．记B I A =-（其中I 是单位阵）。
证明A 可逆，且121n A I B B B --=++++ ．05-06第三学期线性代数期终考试试卷八． （30%）填空题（E 表示相应的单位矩阵）10. 设3阶矩阵()123,,A ααα=的行列式3A =,矩阵()231,,B ααα=， 则矩阵A B-的行列式A B -= ；11. 若矩阵A 满足2A O =，则E A +的逆矩阵1()E A -+= ；12. 若向量组()()()1231,,1,1,1,,,1,1,t t t ααα===的秩为2，则参数t 满足条件 ； 13. 假设3阶矩阵A 的特征值为1,2,1-，矩阵*2B E A =-，其中，*A 是A 的伴随矩阵，则B 的行列式B = ；14. 若矩阵10022312A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵03B y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则(),x y = ；15. 设(1,1,0),(1,0,1)T T --是3阶实对称矩阵A 的相应于某个非零二重特征值的特征向量。
若A 不可逆，则A 的另一个特征值为 ，相应的一个特征向量为 ；16. 已知3元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为2, 并且，123,,ααα是Ax b=的3个解向量,其中123(1,1,1),(2,4,6)T T ααα=+=,则Ax b =的通解是 ；17. 若4阶方阵,A B 的秩都等于1，则矩阵A B +的行列式A B += ；18. 若矩阵211A x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与矩阵1221B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭合同，则参数x 满足条件 。
九．（10%）计算下述行列式的值：111+11111+11111111x xD x x =--十．（15%）设线性方程组 1231231233032314x x x x x x x x x λμ++=⎧⎪++=-⎨⎪-++=⎩。
问：当参数,λμ取何值时, 线性方程组有唯一解？当参数,λμ取何值时，线性方程组有无穷多组解？当线性方程组有无穷多组解时，求出其通解。
十一． （12%）假设矩阵101012001A ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭，103101C ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵X 满足1*2A X A C X -=+，其中*A 是A 的伴随矩阵，求X 。
十二． （10%）已知向量组123,,ηηη线性无关，问：参数,,a b c 满足什么条件时，向量组122331,,a b c ηηηηηη+++线性相关？十三． （15%）已知二次型22212312313(,,)22f x x x x x x x x =++-② 写出二次型f 的矩阵； ②求一正交变换x Qy =，将f 变成其标准形（并写出f 的相应的标准形）； ③求当1Tx x =时123(,,)f x x x 的最大值。
十四． （8%）证明题：3. 设向量组1234,,,αααα中，123,,ααα线性相关，234,,ααα线性无关，证明：1α能由234,,ααα线性表示。
4. 设A 是n 阶正定矩阵,证明：矩阵1A A E -+-也是正定矩阵。
03-04学年第三学期线性代数期终考试试卷二． （24%）填空题：1． 假设矩阵10010002A λ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，则n A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
2． 假设向量组A ：111,,111t t t αβγ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当参数t 满足条件 时，向量组A 的秩为1； 时A 的秩为2； 时A 的秩为3。
3． 若向量11b η⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭是矩阵11120120a A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征向量，则(),a b =()。
4． 设矩阵11a A b ⎛⎫=⎪⎝⎭，0110B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且22()()A B A B A B +-=-，则参数,a b 满足条件 。
5． 若矩阵30431100A x ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭与对角阵Λ相似，则x 满足条件 。
6． 若1a A b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正交矩阵，则,,a b c 满足条件 。
7． 若对满足条件234A A E O +-=的实对称矩阵A ， aE A +都是正定矩阵，则实数a必定满足条件 。
三． （8%）求矩阵1111111111x x x A x x x ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的行列式det()A 的值。
四．（15%）已知矩阵1111212A pp ⎛⎫ ⎪=-⎪ ⎪⎝⎭，向量313,11b q η⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
1． 若η是线性方程组Ax b =的解，试求,p q 的值，并求这时Ax b =的通解； 2． 若Ax b =有无穷多组解，但η不是Ax b =的解，求,p q 的值。