第十六届华杯赛总决赛试题
华杯赛决赛试题及答案
华杯赛决赛试题及答案题一：现代通信技术的发展与应用一、背景介绍随着科技的飞速发展，现代通信技术已经成为人们生活中不可或缺的一部分。
它的高效便捷为社会经济的发展带来了许多积极影响，同时也带来了新的挑战。
本文将讨论现代通信技术的发展和应用，并探讨其在不同领域中的影响和前景。
二、通信技术的发展历程1. 传统通信技术的发展2. 数字通信技术的兴起3. 移动通信技术的突破三、通信技术在商业领域中的应用1. 电子商务的兴起与发展2. 移动支付的普及3. 大数据和云计算的应用四、通信技术在交通领域中的应用1. 智能交通系统的建设2. 自动驾驶技术的推广3. 无人机在物流领域中的应用五、通信技术在医疗领域中的应用1. 远程医疗的实现2. 人工智能在医疗诊断中的应用3. 医疗信息化的普及六、通信技术的发展前景与挑战1. 5G时代的到来2. 物联网的快速发展3. 数据安全和隐私保护的考量七、总结与展望现代通信技术的发展和应用为人们的生活带来了巨大的便利，也为社会经济发展带来了新的活力。
然而，在享受其便利的同时，我们也要注意数据安全和个人隐私的保护。
未来，随着5G时代和物联网的广泛应用，通信技术将会走向更高的发展峰值，给各个行业带来更多可能性。
题二：人工智能在教育领域的应用及影响一、背景介绍随着人工智能技术的迅猛发展，它在各个领域中的应用已经取得了长足进步。
其中，教育领域也不例外。
人工智能技术在教育中的应用不仅提供了更加个性化的学习方式，还改变了传统教学模式，为教育事业带来了巨大的变革。
本文将重点讨论人工智能技术在教育领域中的应用及其带来的影响。
二、人工智能在教育领域中的应用1. 个性化学习的实现2. 智能辅助教学工具的发展3. 智能评估和反馈系统的应用三、人工智能对传统教学模式的改变1. 传统教学模式的弊端2. 人工智能技术对教师角色的改变3. 学生学习能力的提升四、人工智能在高等教育中的应用1. 虚拟教室和在线学位的兴起2. MOOC课程的普及3. AI辅助科研和论文撰写五、人工智能教育的挑战与发展1. 数据隐私和安全保护2. 教师素质和技能的提升3. 教育公平和普惠性的保障六、总结与展望人工智能技术的应用为教育领域带来了许多新的机遇和挑战。
2011年第16届华杯赛小学组决赛真题及答案
答案：（1）18+23/24（2）70（3）45（4）12（5）2.094（6）5（7）8000/3（8）10
（9）2011。
连结DF，可以证明三角形ADF既是长方形的一半，也是梯形的一半
（10）8种354、367、381、397、851、957、961、991。
注：如果坏的可以是不亮的，那么还包含351、357、361、391、951，共计13种。
（11）三或五。
第一个和最后一个周日可以是1、29或3、31。
（12）253。
14*0+15*1+15*2+……+15*15+16*14>2011。
（13）312。
个位和为21，十位和为9，共36+48+48=132种；个位和为11，十位和为20，共72+36+72=180种。
（14）假设小虫向F方向走，则两只蜘蛛走向B和E，这样小虫必须退回G。
其中一只蜘蛛由B走向C，另一只在E点徘徊不动。
之后C点的蜘蛛继续向G点追逐小虫，而E点的蜘蛛一直保持自己位于小虫关于面对角线HF的对称点上，即可抓到小虫。
另外两个方向同理，蜘蛛必可抓到小虫。
华杯赛决赛试题及答案
华杯赛决赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若一个数的平方根是a，则这个数是：A. a^2B. -a^2C. |a|D. a^32. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，则此数列的通项公式为：A. 3n - 1B. 3n - 2C. 3n + 2D. 3n - 33. 对于函数f(x) = ax^2 + bx + c，若a < 0，b > 0，则f(x)的图像可能是：A. 一个开口向上的抛物线B. 一个开口向下的抛物线C. 一个开口向上的双曲线D. 一个开口向下的双曲线4. 一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若圆与直线相交，则：A. d > rB. d < rC. d = rD. d ≤ r答案：1. A2. B3. B4. B二、填空题（每题5分，共10分）1. 一个圆的周长为2π，那么它的面积是______。
2. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，夹角为60度，那么第三边的长度是______。
答案：1. π2. √13三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则这个三角形是直角三角形。
2. 解方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x + 3y = 11\end{cases}\]答案：1. 证明：根据勾股定理的逆定理，如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
设三角形ABC，其中AB=a，BC=b，AC=c。
根据题目条件，有a^2 + b^2 = c^2。
根据勾股定理的逆定理，可以得出∠C=90°，即三角形ABC是直角三角形。
2. 解：将第一个方程乘以2得到2x + 2y = 10。
然后用这个新方程减去第二个方程，得到y = 1。
将y = 1代入第一个方程，得到x + 1 = 5，解得x = 4。
因此，方程组的解为x = 4，y = 1。
历届华杯赛决赛试题剖析--第三讲(第十六届)
历届华杯赛决赛试题剖析华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题〔小学组〕真题尝试感悟心得1.【解法一】：注意到各个分数分子与分母的差都是1，可以先都补成整数求和，再减去所补的部分。
在几个真分数求和时，也可以采取凑整的方法。
算式如下：原式=(2+4+6+8)-(1/2+1/4+1/6+1/8)=20-(1+1/6-1/8)=20-(1+1/24)=18+23/24。
1.【解法二】：把带分数拆成整数与真分数之和，再分别求出各个整数之和与各个分数之和，最后求出总和〔计算过程的算式略〕。
【点评】方法二的思路可能比较常规，容易想到。
但计算不如方法一方便。
两种方法的不同选择，主要在于时能否从多角度进行观察。
掌握套路，形成思维定势，对于解答常规标准的题目，自然可以提高速度。
但这是一种“模仿”行为。
如能通过自己的观察、思考，抓住要害，有针对性地选择、改良、或设计出解决问题的方案，那就是一种“探索、研究、开创”行为。
解之，得x=45(千米)答：〔略〕4.【解】此时分针指向已经略微超过35分钟的刻度小彩灯，又尚未到达36分钟小彩灯；时针每小时，走过5个小彩灯；35分钟走过5×35/60=5×7/12=35/12个小彩灯，取整数为2.最后走过的小彩灯是47分钟的小彩灯。
47-35=12 (个)。
(思考：你戴着手表呢吗？拨一下表针，看看可以吧！)5.【解】△FAB是等边三角形，所以弧AGF是六分之一圆，同理弧GFC也是六分之一圆，则弧GF是1/6+1/6-1/4=1/12圆，四条弧的长度之和相当于1/3圆，长度为2×π×1÷3=2.094(厘米)。
6.【解】列表枚举(注意条理性)序号购买本数支付金额11元本5元本2元本合计11元本5元本2元本合计1 1 1 12 14 11 5 24 402 13 7 11 11 15 14 403 1 5 2 8 11 254 40【点评】注意：需要具体构造出来这些分数，才能确定最终答案。
第16届华杯赛决赛模拟题.答案版(终版)
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛——模拟试卷一、 填空题（每小题10分，共80分）1. 计算：=+⨯++⨯+⨯125.0201131407725.040223201114 。
【分析】： 2。
2. 四位数中，数码0出现_ ____次。
【分析】一个数中出现3个0的有1000，2000，……, 9000.共9个。
一个数中出现2个0的有993243⨯⨯=个；只出现1个0的有39992187⨯⨯⨯=个。
因此 ，四位数中，数码0出现21872243392700+⨯+⨯=次。
3. 如图,每个正六边形的面积是1,则图中虚线围成的五边形的面积是_______.【分析】：整个图形的面积减去外面的8个小块的面积.整个图形一共有10个小正六边形.我们把外面8个小块编号为1,2,3,4,5,6,7,8.如图.1号和6号正好是小六边形的一半,面积都是0.5.2号和3号刚好可以凑成一个六边形,所以,面积是1.同样,7号和8好凑成一个六边形,面积是1.4号和5号是两个一样的小三角形,而正六边形可以分成6个这样的小三角形,所以,4号和5号的面积都是1/6.所求面积是: 10-0.5×2-1-1-1/6×2=6+2/3=6.7.4. “12345678910111213…484950”是一个位数很多的多位数，从中划去80个数字，使剩下的数字（顺序不变）组成一个首位不为0的多位数，则这个多位数最大为______，最小为___ ___。
【分析】：根据题意，由于共有941291+⨯=个数字，最后划去80个数字，还剩下11个数字，99997484950；10000123440。
，为得到最小值，留下小的数字。
5. 所有适合不等式187＜5n ＜720的自然数n 之和为 。
【分析】：根据题意，n 可以是2到14中的任意自然数，于是：2＋3＋…＋14 = 104。
6. 请从2、3、5、7、9中选出4个不同的数字组成一个四位完全平方数，那么这个平方数是 。
第十六届华赛杯小学组决赛试题及答案
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（深圳赛区小学组）（时间: 2011年4月16日）一、填空（每题 10 分, 共80分）1．11122181819 .2320320192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.甲车从A 出发驶向B,往返来回；乙车从B 同时出发驶向A,往返来回.两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B ，乙车继续行驶1小时到达A. 若A,B 两地相距100千米，那么当甲车第一次到达B 时,乙车的位置距离A 千米。
3.每个铅字上刻有一个数码.如果印刷十二页书，所用的页码铅字要以下15个：1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2。
现要印刷一本新书，从库房领出页码铅字共2011个，排版完成后有剩余.那么，这本书最多有页.最少剩余 个铅字.4. 一列数:8,3,1,4,.….., 从第三个开始,每个数都是最靠近它前两个数的和的个位数.那么第2011个数是 .5.编号从1到50的50个球排成一行,现在按照如下方法涂色:1)涂2个球；２）被涂色的２个球的编号之差大于2.如果一种涂法被涂色的两个球与另一种涂法被涂色的两个球至少有一个是不同号的,这两种涂法就称为”不同的”.那么不同的涂色方法有种.6. A，B两地相距100千米。
甲车从A到B要走m个小时，乙车从A 到B要走n个小时，m ,n是整数.现在甲车从A,乙车从B同时出发，相向而行，经过5小时在途中C点相遇。
若甲车已经走过路程的一半，那么C到A路程是千米。
7. 自然数b与175的最大公约数记为d. 如果176(111)51⨯-⨯+=⨯+，b d d则b = .8. 如右图. ABCD为平行四边形.AE=2EB.若三角形CEF的面积=1.那么，平行四边形ABCD的面积= .二、解答下列各题（每题10 分, 共40分, 要求写出简要过程）9．三位数的十位数字与个位数字的和等于百位数字的数,称为”好数”.共有多少个好数？10．在下列2n 个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中任意两个数的比都不是2或12?2345213, 32, 32, 32, 32, 32,, 32.n -⨯⨯⨯⨯⨯⨯11 .一个四位数abcd 和它的反序数dcba 都是65 的倍数.求这个数.12. 用写有+1和-1的长方块放在10n方格中，使得每一列和每一行的数的乘积都是正的，n的最小值是多少？三、解答下列各题（每题15 分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 十五个盒子，每个盒子装一个白球或一个黑球.，且白球不多于 12个.你可以任选三个盒子来提问：“这三个盒子中的球是否有白球？”并得到真实的回答. 那么你最少要问多少次，就能找出一个或更多的白球？14. 求与2001互质，且小于2001的所有自然数的和。
(华杯)16届初一总决赛试题答案讲解版
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛初一组一试试题解答一、填空题（共3题，每题10分）1. 计算)]5(31[)41(2)32(|231|)1()2(22343-⨯-+-⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷---⨯-= 解： 3432228594(2)(1)|123|()8122832781146472()[13(5)]4⎡⎤-⨯---÷---⨯-÷--⎢⎥⎣⎦==+-⨯-+-⨯- 6459431.4784--==-⨯ 2. 正方形ABCD 的面积等于625平方厘米.如图，DE 与CF 相交于G.已知125ADE CDG S S ∆∆==平方厘米.△BFG 的面积是 平方厘米.答：△BFG 的面积是50平方厘米.解：由于正方形ABCD 的面积等于625平方厘米.所以，边长25AB =厘米.由于125ADE S ∆=平方厘米，所以AE =10厘米.连接CE , 则1162531222CDE S ∆=⨯=（平方厘米）. 而已知125CDG S ∆=（平方厘米）， 则1252,312.55CDG CDE S DG DE S ∆∆===连接AG . 由221255055ADG ADE S S ∆∆==⨯=（平方厘米） 但16252ADGCBG S S ∆∆+=⨯，而16252BFG CBG S S ∆∆+=⨯，比较可得 50BFG ADG S S ∆∆==（平方厘米）.3. 用长度分别为50,,2,1 的木条去摆三角形，每个三角形的三条边的长度分别为c b a ,,，c b a <<，问),,(c b a 最多有多少种不同的取法？答案：9500.解：利用三条边可以构成三角形的条件：任意的两个边的和大于第三边. 边长为1的木条不能与其它长度的木条构成三角形.三角形的最小边长为2时，边长为2的木条只能与差值为1的两个木条构成三角形，故有47对.三角形的最小边长为3时，边长为3的木条只能与差值为1，2的两个木条构成三角形，故有46+45对.三角形的最小边长为4时，边长为3的木条只能与差值为1，2，3的两个木条构成三角形，故有45+44+43对.......三角形的最小边长为k （)25≤k 时，边长k 为的木条只能与差值为1，2，3，⋯，1-k 的两个木条构成三角形，故有(49)(491)(4922)k k k -+--++-+ 对.三角形的最小边长为k （)25>k 时，边长k 为的木条只能与差值为1，2，3，⋯，1-k 的两个木条构成三角形，故有1)149()49(++--+- k k 对. 故总数为(47461)(45441)(43421)(212k k +++++++++++++-+-+++ (321)1++++ 47244523(21)53321k k =⨯+⨯++-⨯++⨯+⨯+()22224231(24231)9500.=+++-+++=二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4. 用)(n S 表示自然数n 的数字和，如1)1(=S ，6)123(=S ，10)1234(=S 等等，求自然数n ，使得2011)(=+n S n .答: 1991.解1： 2011)(=+n S n ，20111900<<∴n 则可设y x n ++=101900或y x n ++=102000，其中90,90≤≤≤≤y x ，且y x ,为整数.若y x n ++=101900，则201191101900=++++++y x y x ，即101211=+y x ⎩⎨⎧==∴19y x 1991=n 若y x n ++=102000，则20112102000=+++++y x y x ，即9211=+y x 没有符合条件的整数解.因此，n =1991.解2：因为()(mod9),n S n ≡要使2011)(=+n S n ，只须()2011(mod9),n S n +≡ 即220114(mod9)2(mod9).n n ≡≡⇒≡已知在2011n ≤时()S n 最大为38，所以19832011,n ≤≤其中被9除余2的有1991，2000，2009.其中只有1991满足1991+20=2011，所以1991.n =5. 两个21位自然数m 和n ，每个都由三个1、三个2、三个3、三个4、三个5、三个6和三个7组成，使得nm k =是自然数，问k 能取哪几个自然数？说明你的理由.答：1.解：显然777666555444333222111 1.777666555444333222111k == 假设存在这样的m 和n ，使得数m n 是一个大于1的自然数，则可设m k n=，故m kn =. 两边分别除以9，用数被9除的性质知m 和n 被9除的余数均等于3(1234567)⨯++++++被9除的余数，即84被9除的余数，为3. 因此3与3k 模9同余. 由7776665554443332221117111222333444555666777m k n =≤<， 及m 和n 不同（即1k ≠）推得4k =，即4m n =. 考虑数n 最低位的数字7，当把n 乘以4时，这个数字7的下一位（如果有）最多为6，因此乘以4最多进两位，这说明m 中对应位的数字为8（下面不进位,7×4=28）或9（下面进一位）或0（下面进两位），这与m 由三个1、三个2、三个3、三个4、三个5、三个6和三个7组成相矛盾！即不存在满足条件的m 和n .使得数m n是一个大于1的自然数. 所以，只有 1.k =6. 使得关于未知数x 的方程k x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡32无解的自然数 k 由小到大排成一行,其前2011个k 的值之和等于多少？解. k0 1 2 3 x 1 2 3 4 23x x ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0 1 2 3 设5,0,1,2,3k m r r =+=；令6,x m p p =+待定. 325232323x x p p p p m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 从上表可知，=,0,1,2,3,23p p r r ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是有解的. 因此，5,0,1,2,3,(1)k m r r =+=都有解.下面考虑 5 1.k m =-显然，665.23m m m ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦而对于01,q <<66323121115 2.232323m q m q q q q q m m m m m --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=-+-=-+-+-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦上式对于任意01q <<的q 成立. 所以当51k m =-时，方程无正有理数解.因此，前2011个k 的值之和=20112012(511)(521)(520111)5201110113319.2⨯⨯-+⨯-++⨯-=⨯-=初一组二试试题解答图3 一、填空题（共3题，每题10分）1. 一水池有一进水口，若干同样大小的排水口.如果同时打开进水口和5个排水口，连续30个小时可以将水排尽；如果同时打开进水口和6个排水口，连续20小时可以将水排尽.如果同时打开进水口和15个排水口，几小时可以将水排尽？答：5小时.解：设一水池水为z 立方米，进水口每小时过水y 立方米，一个排水口每小时排水x 立方米.于是 3053020620x y z x y z ⨯=+⎧⎨⨯=+⎩由此此得 2305230232063203x y z xy z ⨯⨯=⨯+⎧⎨⨯⨯=⨯+⎩ 两式两边分别相减得 60x z = ∴ 160x z =；同样可得 120y z =. 设同时打开一进水口和15个排水口，t 小时可以将水排尽. 则1115,6020t z t z z ⨯=⨯+ 即 11 1.420t t =+ 所以 1155t t =⇒=（小时）. 2. 图中，四边形ABCD 是一个长方形，EF //AB ，GH //AD , EF 和GH 相交于点O , 三角形OBD 的面积是m ，求长方形OFCH 的面积和长方形AGOE 的面积差.答：2.m解：从图中可见，1.2BODC BOD ABCD BODA BOD S S S S S ∆∆-==+ 即 22.BODC BODA BOD S S S m ∆-==即 ()()2O F C H B O F D O H A G O E B O G D O ES S S S S S m ∆∆∆∆++-++= 但 ,,BOF BOG DOH DOE S S S S ∆∆∆∆== 因此得2.OFCH AGOE S S m -=3. 自然数a ，b 互质，如果a a b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡，n b a b 101⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧，n 是10进制数b 的位数，则a b = .其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡a b 表示不超过a b 的最大整数，⎭⎬⎫⎩⎨⎧a b 表示a b 的小数部分.答：.25 解：设符合题意的最简分数为b a ，a 、b 均为正整数且互质.可知b >a ，根据题意即，则110n b a b a+⨯=，整理成正整数方程为210()n b a -=ab . 从方程中可知2a a b ≤<.因为a 与b 互质，所以b - a 2与ab 也互质.因为若 b -a 2与ab 有公因子p ，那么p 能整除a (或能整除b )，也能整除b -a 2，从而p 也能整除b (或也能整除a )，这样，与题意最简分数(分子与分母互质的分数)矛盾.因此，互质的a 与b 的积只能是10n 与1的乘积或5n 与2n 的乘积两种可能.若10n b =，1a =，这时21b a -≠； 若ab =10n =)(52n⨯，b =5n ,2n a =, 这时b -a =1得25(2)1n n -=,即()2521n n -=. 因此，n 只能是1时才成立，即a =2，b =5. 最简分数为.25 二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4. 将正整数1，2，3，… ，8分别放置于正方体的8个顶点，每个顶点与相邻3个顶点上的数之和称为该顶点的“众数”.对每一种填法，都可以得到最大“众数”的与最小“众数”的差，那么这个差至少等于多少.答：2解：首先考虑这样的8个众数能否全相等，如果能，因为它们的和等于144，即 1444364)8_321(=⨯=⨯+++，所以每个都等于18，那么最大与最小的众数之差就是0.如果不能全相等，为了求得最小可能值，如果有一个是19，那么 相应地得有一个是17，（总和须等于144）所以这个最小的可能值就不能小于21719=-.这样我们只要先证明8个众数不能全相等，然后找出一种布法，其最大与最小众数之差等于2，就可以断定所求的这个最小值是2.设顶点的编号为1，2，3，4，5，6，7，8，如图，记在顶点i 的数为,18,i x i ≤≤.这样，顶点1的众数为1234x x x x +++；顶点5的众数为1568x x x x +++. 若此二顶点的众数相等，则864286515421x x x x x x x x x x x x +=+⇒+++=+++同样地，顶点2的众数为1236x x x x +++，顶点4的众数为1348x x x x +++，若此二顶点的众数相等，则846284316321x x x x x x x x x x x x +=+⇒+++=+++由上面得到的二式相加得 2822,x x =即 28,x x =这是不可能的. 这就证明了8个众数不能全相等.构造一个摆放方式的图例（见右图），最大数和最小数的差等于2，故最小差值等于2.5. 已知三角形边长都是整数，周长不超过28，三个边长两两之差的平方和等于14. 问这样的三角形共有多少个？（三条边长分别对应相等的三角形只算1个）答：12个.解：设三角形三条边长分别为a,b,c ，由已知等式可得：()()()22214a b b c a c -+-+-=. ①令a b m,b c n -=-=，则a c m n -=+，其中m,n 均为自然数.于是，等式①变为 227m n mn ++=. ② 由于m,n 均为自然数，判断易知，2()3737.m n mn mn -+=⇒≤因此，使得等式②成立的m ，n 只有两组：21m n =⎧⎨=⎩ 和 12m n =⎧⎨=⎩. （1）当m ＝2，n ＝1时，b =c +1,a =c +3.又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即13c c c ++>+，解得2c >.又因为三角形的周长不超过28，即3428a b c c ++=+≤，解得8c ≤.因此28c <≤，所以c 可以取值3，4，5，6，7，8，对应可得到6个符合条件的三角形.（2）当12m ,n ==时，23b c ,a c =+=+.a,b,c 又为三角形的三边长，所以b c a +>，即23c c c ++>+.解得1c >.又因为三角形的周长不超过28，即()()3228a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤，因此17c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形，且和（1）中得到的三角形不同.综合可知：符合条件且周长不超过28的三角形的个数为6612+=个.6. 求最小自然数k , 使得对于任意正整数n , k 个奇数2n +1, 2n +3, ……, 2n +2k -1中至少有一个数, 不能被3, 5, 7, 11中的任何一个整除.解. 试验可知，我们有6个奇数: 115,117,119,121,123,125,它们中每一个都可以被3,5,7,11中的一个或几个数整除.所以,k>6.对于任意的正整数 n , 当 k >6时, 取前7 个数:2n +1, 2n +3, ….., 2n +13 (1)由于2个能被3整除的奇数之差,不小于6; 2个能被5整除的奇数之差,不小于10; 2个能被7整除的奇数之差,不小于14; 2个能被11整除的奇数之差,不小于22. 因此,(1)中能被3整除的数最多有3个,且只能是2n +1, 2n +7, 2n +13.(1)中能被5整除的数最多有2个,且只能是2n +1,2n +11或者2n +3，2n +13;(1)中能被7整除的数最多有1个;(1)中能被11整除的数最多有1个.下面证明(1)中能被3 或5 整除的数的个数不超过4.若能被3整除的数只有2个，显然能能被3 或5 整除的数的个数不超过4. 若能被3整除的数有3个，不管什么情况，能被3整除的数和能被5整除的数，必有一个重合. 能被3整除和能被5整除的数一共不能超过4个.除了能被3 或5 整除的数外，还余下3个.但能被7或11整除的数最多只有2个，因此，必有一个数不能含有质因子3，5，7，11.即这个数不能被3, 5, 7, 11中的任何一个整除.答.k的最小值是7。
第十六届“华杯赛”深圳小学组决赛试题
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（深圳赛区小学组）（时间: 2011年4月16日）一、填空（每题 10 分, 共80分）1．11122181819 .2320320192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.甲车从A 出发驶向B,往返来回；乙车从B 同时出发驶向A,往返来回.两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B ，乙车继续行驶1小时到达A. 若A,B 两地相距100千米，那么当甲车第一次到达B 时,乙车的位置距离A 千米。
3.每个铅字上刻有一个数码.如果印刷十二页书，所用的页码铅字要以下15个：1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2。
现要印刷一本新书，从库房领出页码铅字共2011个，排版完成后有剩余.那么，这本书最多有 页.最少剩余 个铅字.4. 一列数:8,3,1,4,.….., 从第三个开始,每个数都是最靠近它前两个数的和的个位数.那么第2011个数是 .5.编号从1到50的50个球排成一行,现在按照如下方法涂色:1)涂2个球；２）被涂色的２个球的编号之差大于2.如果一种涂法被涂色的两个球与另一种涂法被涂色的两个球至少有一个是不同号的,这两种涂法就称为”不同的”.那么不同的涂色方法有种.6. A，B两地相距100千米。
甲车从A到B要走m个小时，乙车从A 到B要走n个小时，m ,n是整数.现在甲车从A,乙车从B同时出发，相向而行，经过5小时在途中C点相遇。
若甲车已经走过路程的一半，那么C到A路程是千米。
7. 自然数b与175的最大公约数记为d. 如果176(111)51⨯-⨯+=⨯+，b d d则b = .8. 如右图. ABCD为平行四边形.AE=2EB.若三角形CEF的面积=1.那么，平行四边形ABCD的面积= .二、解答下列各题（每题10 分, 共40分, 要求写出简要过程）9．三位数的十位数字与个位数字的和等于百位数字的数,称为”好数”.共有多少个好数？10．在下列2n 个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中任意两个数的比都不是2或12?2345213, 32, 32, 32, 32, 32,, 32.n -⨯⨯⨯⨯⨯⨯11 .一个四位数abcd 和它的反序数dcba 都是65 的倍数.求这个数.12. 用写有+1和-1的长方块放在10n方格中，使得每一列和每一行的数的乘积都是正的，n的最小值是多少？三、解答下列各题（每题15 分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 十五个盒子，每个盒子装一个白球或一个黑球.，且白球不多于 12个.你可以任选三个盒子来提问：“这三个盒子中的球是否有白球？”并得到真实的回答. 那么你最少要问多少次，就能找出一个或更多的白球？14. 求与2001互质，且小于2001的所有自然数的和。
华杯赛考试题及答案
华杯赛考试题及答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。
A. 7B. 1C. 4D. 10答案：A2. 一个数列的前三项分别为2，4，8，求第四项的值。
A. 16B. 24C. 32D. 64答案：D二、填空题3. 计算圆的面积，半径为3厘米，面积为______平方厘米。
答案：28.264. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边为______。
答案：5三、解答题5. 求方程x^2 - 5x + 6 = 0的解。
解：将方程因式分解得(x - 2)(x - 3) = 0，所以解为x = 2或x = 3。
6. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
证明：设直角三角形的直角边为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，a^2 + b^2 = c^2。
通过构造辅助线和相似三角形，可以证明该等式成立。
四、应用题7. 一个农场有鸡和兔子共35只，腿的总数为94条。
问农场里有多少只鸡和兔子？解：设鸡的数量为x，兔子的数量为y。
根据题意可得方程组：x + y = 352x + 4y = 94解方程组得x = 23，y = 12。
所以农场里有23只鸡和12只兔子。
8. 一个工厂生产A、B两种产品，A产品每件利润10元，B产品每件利润15元。
如果工厂一天生产了100件产品，总利润为1250元，问工厂生产了多少件A产品和B产品？解：设A产品生产了x件，B产品生产了y件。
根据题意可得方程组：x + y = 10010x + 15y = 1250解方程组得x = 50，y = 50。
所以工厂生产了50件A产品和50件B 产品。
第十六届“华杯赛”小学组决赛试题D答案
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题D 参考答案（小学组）一、 填空题 (每小题 10分，共80分)二、解答下列各题 (每题10分，共40分, 要求写出简要过程)9. 答案: 1901解答. 因为华杯决赛是四位数, 十六届是三位数, 兔年是两位数, 所以等式成立时有华杯决赛=19011010020112011=--≤--兔年十六届.当华杯决赛=1901, 十六届=100, 兔年=10时题目要求的等式成立. 10. 答案: 52.5.解答：因为DE AC //，所以COD AOE S S ∆∆=.又CDE COD S S CE OC ∆∆=，EACCODEAC AOE S S S S CE OE ∆∆∆∆==， 所以=OE OC CDEEACS S ∆∆. 因为三角形EAC 在边AC 上的高和三角形CDE 在边DE 上的高相等，所以21===∆∆DE AC S S OE OC CDE EAC . 因为21==∆∆OE OC S S DOE COD , 所以202==∆∆COD DOE S S . 因为21==∆∆OE OC S S AOE AOC , 所以52121===∆∆∆COD AOE AOC S S S . 所以15=+=∆∆∆AOE AOC ACE S S S .因为CE AB //，所以21==∆∆CE AB S S ACE ABC ， 即5.721==∆∆ACE ABC S S . 所以5.52=+++=∆∆∆∆DOE COD ACE ABC ABCDE S S S S S .11. 答案: 7.解答. 每张卡片, 所写数字有几个约数就被翻过几次. 被翻了奇数次的卡片红色面朝上, 而只有完全平方数才能有奇数个约数, 所以本题也就是求写有完全平方数的卡片有几张, 而50765432112222222<<<<<<<≤,所以红色朝上的卡片共有7张. 12. 答案： 11厘米. 解答. 如图,球的内接正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点在球面上, 它的（体）对角线AC 1就是球的直径, 即201021=⨯=AC (厘米).由图形的对称性, 可知 1111190,90AA C A B C ∠=︒∠=︒. 设正方体的棱长为a 即11111AA A B B C a ===, 连续用勾股定理两次, 得到2222221111112,3AC a AC AA AC a ==+=,则2224001320400,13333a a ====. 显然, 只要一个正方体的棱长a 为整数, 满足2133a ≤, 那么这个正方体一定可以放入球中, 因为 221112113314412=<<=. 故所求的棱长为整数的正方体的最大棱长等于11厘米.三、解答下列各题 (每小题 15分，共30分，要求写出详细过程)13. 答案: 2004, 2032, 2060, 2088.解答. 根据题意, 符合题意的年份必定是闰年(二月有29天), 并且二月一日恰好是星期日, 所以得先找到二十一世纪第一个二月一日是星期日的年份.根据题意, 2011年4月16日是星期六, 可倒推得2004年2月1日是星期日.这样可按每隔4⨯7(28)年为一个周期推算, 二十一世纪符合题意的年份有2004, 2032, 2060和2088年, 共有4个. 14. 答案:51703475，解答. 设这两个最简分数为am bk 和cm dk, 其中:()1b,d =； （1） ()1a,c =； （2） ()1am,bk =；()1cm,dk =. （3）既然cm am m -=, 所以有1a c -=. （4）又因为[]1050123557am,cm ==⨯⨯⨯⨯⨯，并结合（4），可得到: ① 14c =， 15a =，5m =，此时，757056bk dk -=，或 151416bk dk -=； （5） ② 6c =， 7a =，55m =⨯，此时，756516bk dk ⨯⨯-=； （6） ③ 5c =， 6a =，57m =⨯，此时，675716bk dk ⨯⨯-=； （7） ④ 2c =， 3a =，557m =⨯⨯，此时，35725716bk dk ⨯⨯⨯⨯-=； （8） ⑤ 1c =， 2a =，3557m =⨯⨯⨯，此时，235735716bk dk ⨯⨯⨯⨯⨯-=. （9） 上面第（6）式中，756576156bk dk bk dk ⨯⨯⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭，结合条件（1），必有5k ，即k 有约数5，和（3）矛盾. 即151416b k d k -=无解. 同样，(7) ，(8) 和 (9) 中，必有7k , 均和（3）矛盾，即都无解. 仅考虑（5），151416bk dk -=，151415141161514d bkbd bk dkkbd d b--===-， （10)根据（1），（2）和（3），应当有()()15141 15141b,d b ,d ,d b -=-=，此即意味着：n b d k ⨯-=)1415(， （11）并且（10）变形为11123nbd =⨯⨯，即n,b,d 只能取1，2，3，6. 由（3）和（11），可知：()()151141n,,n,==，因此得1n =. 同样，()151b,=，()141d ,=，因此可得：23b ,d ==. 所以()2151434bk d b =⨯-=，()3151451dk d b =⨯-=. 这两个分数是7534和7051.。
华杯赛决赛试题及答案
华杯赛决赛试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是正确的？A. 2 + 3 = 5B. 3 + 4 = 7C. 5 - 2 = 2D. 4 - 3 = 2答案：A2. 如果一个数的平方根是正数，那么这个数是：A. 负数B. 零C. 正数D. 任意实数答案：C二、填空题1. 圆的周长公式是 ________ 。
答案：2πr2. 一个直角三角形的两个直角边长分别为3和4，斜边长为________ 。
答案：5三、简答题1. 请解释什么是质数，并给出一个质数的例子。
答案：质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数。
例如，2是一个质数，因为它只能被1和2整除。
2. 什么是勾股定理，并给出一个应用的例子。
答案：勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
例如，如果一个直角三角形的两个直角边长分别为3和4，根据勾股定理，斜边的长度应该是√(3² + 4²) = 5。
四、计算题1. 计算下列表达式的值：(3 + 4) × (8 - 2) ÷ 2答案：352. 一个数的平方是36，求这个数的值。
答案：±6五、证明题1. 证明：对于任意正整数n，n² - 1总是能被8整除。
答案：对于任意正整数n，可以表示为n = 8k + r，其中k是整数，r是0到7之间的整数。
那么n² - 1 = (8k + r)² - 1 = 64k² +16kr + r² - 1 = 8(8k² + 2kr) + (r² - 1)。
由于r² - 1是8的倍数或者-1，所以n² - 1能被8整除。
2. 证明：在一个直角三角形中，如果斜边是直角边的两倍，那么这个三角形是等腰直角三角形。
答案：设直角三角形的直角边长分别为a和b，斜边为c。
根据题意，c = 2a。
华杯赛考试题及答案
华杯赛考试题及答案
一、选择题
1. 下列哪个选项是正确的？
A. 2 + 2 = 3
B. 3 + 3 = 7
C. 4 + 4 = 8
D. 5 + 5 = 10
答案：D
2. 哪个数字是素数？
A. 4
B. 6
C. 8
D. 11
答案：D
二、填空题
3. 一个数的平方是36，这个数是______。
答案：6或-6
4. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项是______。
答案：17
三、解答题
5. 已知一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，求第三边长的取值范围。
答案：根据三角形的三边关系，第三边长x应满足1cm < x < 7cm。
6. 计算以下表达式的值：(3x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 4x - 3)。
答案：2x^2 - 6x + 4
四、证明题
7. 证明：对于任意实数a和b，(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
答案：证明如下：
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
= a^2 + ab + ab + b^2
= a^2 + 2ab + b^2
8. 证明：勾股定理在直角三角形中成立。
答案：证明如下：
设直角三角形的两直角边长分别为a和b，斜边长为c。
根据勾股定理，a^2 + b^2 = c^2。
通过构造辅助线和相似三角形，可以证明该等式成立。
华杯赛考试题及答案
华杯赛考试题及答案
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 下列哪个选项是正确的？
A. 2+2=5
B. 3+3=7
C. 4+4=8
D. 5+5=10
答案：D
2. 一个数的平方是16，这个数是多少？
A. 2
B. 4
C. -4
D. 以上都是
答案：D
3. 以下哪个图形是轴对称图形？
A. 矩形
B. 平行四边形
C. 梯形
D. 不规则多边形
答案：A
4. 一个圆的直径是10厘米，它的周长是多少？
A. 31.4厘米
B. 62.8厘米
C. 314厘米
D. 628厘米
答案：B
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 一个数的立方是-8，这个数是________。
答案：-2
2. 一个三角形的内角和是________度。
答案：180
3. 一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，它的面积是________平方厘米。
答案：32
4. 一个数除以3余2，除以5余3，这个数最小是________。
答案：8
三、解答题（每题15分，共30分）
1. 一个数列的前三项是2，4，8，求第四项是多少？
答案：16
2. 一个长方体的长、宽、高分别是3厘米、4厘米、5厘米，求它的体积是多少？
答案：60立方厘米
四、证明题（每题15分，共15分）
1. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
答案：略（此处省略证明过程）
以上为华杯赛考试题及答案的排版及格式。
16届华杯赛试题与解答
解析：若 2a 天的行程结束后，乙距 B 地的路程是甲距 B 地的路程的二倍，则有 2×（500-30 ×2a）＝500-50×a，a 无整数解；若 2b-1 天的行程结束后，乙距 B 地的路程是甲距 B 地的 路程的二倍， 则有 2×[500-30×(2b-1)]＝500-50×b， 解得 b＝8.所以第 15 天的行程结束后， 乙距 B 地的路程是甲距 B 地的路程的二倍.
测
试
版
本
4、三个牧人在一起，甲对乙说： “如果把你的羊给我一只，然后把我的羊的总数的五分之一 给你，我们两个的羊就一样多了.”甲对丙说： “如果把你的羊给我两只，然后把我的羊总 数的七分之二给你，我们两个的羊就一样多了.”那么三个人羊的总数最少是.
1 4 解析： 设甲、 乙、 丙分别有 a、 b、 c 只羊， 根据题意， 可列出如下等式： (b 1) (a 1) (a 1) ， 5 5 2 5 3 8 3 20 (c 2) (a 2) (a 2) .化简后得：b a , c a .所以三个人的羊的总数为 7 7 5 5 7 7 3 8 3 20 a 16 为整数，所以 a 取最小可能值 19 时，三 abc a a a 2a 4 5 5 7 7 35
学习改变命运
第十六届罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 B（小学组）
（时间：2011 年 4 月 16 日 10：00~11：30）
一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）
3 5 7 9 1、 3 5 7 9 . 4 6 8 10 1 1 1 1 30 20 15 12 43 解析：原式＝ 4 6 8 10 28 . 27 4 6 8 10 120 120
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第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
总决赛 小学组一试
2011年7月23日
中国·惠州
一. 填空题：（共3题，每题10分）
1. 计算 313615176413900114009144736543++++++＝_________.
2. 如右图所示，正方形ABCD 的面积为12，AE ＝ED ，且EF ＝2FC ，
则三角形ABF 的面积等于_________.
3. 某地区的气象记录表明，在一段时间内，全天下雨共1天；白天雨夜间晴或白天晴夜间雨共9天；6个夜间和7个白天晴朗。
则这段时间有_______天，其中全天天晴有_______天。
二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程）
4. 已知a 是各位数字相同的两位数，b 是各位数字相同的两位数，c 是各位数字相同的四位数，且c b a =+2。
求所有满足条件的（a ，b ，c ）。
5. 纸板上写着100、200、400三个自然数，再写上两个自然数，然后从这五个数中选出若干个数（至少两个）做只有加、减法的四则运算，在一个四则运算式子中，选出的数只能出现一次，经过所有这样的运算，可以得到k 个不同的非零自然数。
那么k 最大是多少？
6. 将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入右图的圆圈中，每
个圆圈恰填一个数，满足下列条件：
1） 正三角形各边上的数之和相等；
2） 正三角形各边上的数之平方和除以3的余数相等。
问：有多少种不同的填入方法？
( 注意，经过旋转和轴对称反射，排列一致的，视为同一种填法 )
总决赛 小学组二试
2011年7月23日
中国·惠州
一. 填空题：（共3题，每题10分）
1. 某班共36人都买了铅笔，共买了50支，有人买了1支，有人买了2支，有人买了3支。
如果买1支的人数是其余人数的2倍，则买2支的人数是_________.
2. 右图中，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于
O ，E 为BC 的中点，三角形ABO 的面积为45，
三角形ADO 的面积为18，三角形CDO 的面积为
69。
则三角形AED 的面积等于_________.
3. 一列数的前三个依次是1，7，8，以后每个都是它前面相邻三个数之和除以４所得的余数，则这列数中的前2011个数的和是_________.
二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程）
4. 用57个边长等于1的小等边三角形拼成一个内角不大于180度的六边形，小等边三角形之间既无缝隙，也没有重叠部分。
则这个六边形的周长至少是多少？
5. 黑板上写有1，2，3，…，2011一串数。
如果每次都擦去最前面的16个数，并在这串数的的最后再写上擦去的16个数的和，直至只剩下1个数，则
1） 最后剩下的这个数是多少？
2） 所有在黑板上出现过的数的总和是多少？
6. 试确定积)12()12)(12)(12(2011321++++ 的末两位的数字。
总决赛 初一组一试
2011年7月23日
中国·惠州
一. 填空题：（共3题，每题10分）
1. 计算 )]5(31[)41(2])32([|231|)1()2(22343-⨯-+-⨯---÷---⨯-＝_________.
2. 如图，正方形ABCD 的面积等于625，DE 与CF 相交于G 。
已知ADE S ∆＝CDG S ∆＝125平方厘米，那么△BFG 的面积是
_________平方厘米.
3. 用程度分别为1，2，…，50的木条去摆三角形，每个三角形的三条边的程度分别为a ，b ，c ，a <b <c ，则（a ，b ，c ）最多有_________种不同的取法？
二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程）
4. 用S (n )表示自然数n 的数字和，
如S (1)＝1，S (123)＝6，S (1234)＝10等等，
求自然数n ，使得n ＋S (n )＝2011. 5. 两个21位自然数m 和n ，每个都由三个1、三个2、三个3、三个4、三个5、三个6、三个7组成，使得n
m k =是自然数，问k 能取哪几个自然数？说明你的理由。
6. 设自然数k 使得方程 k x x =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡32 无解，将这样的k 由小到大排成一行，其前2011个k 的值之和等于多少？
总决赛 初一组二试
2011年7月23日
中国·惠州
一. 填空题：（共3题，每题10分）
1. 水池有一个进水口和若干个同样大小的排水口，池中有水若干。
如果同时打开进水口和5个排水口，则连续30个小时可以将水排尽；如果同时打开进水口和6个排水口，则连续20小时可以将水排尽。
那么同时打开进水口和15个排水口，_________小时就可以将水排尽。
2. 在右图中，四边形ABCD 是一个长方形，EF ∥AB ，
GH ∥AD ，EF 和GH 相交于点O ，三角形OBD 的
面积是m ，长方形OFCH 的面积和长方形AGOE 的
面积差等于_________. 3. 自然数a ，b 互质，如果a a b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡，n b a b 101⨯=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧，n 是10进制数b 的位数， 则a b ＝________. 其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡a b 表示不超过a b 的最大整数，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧a b 表示a b 的小数部分。
二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程）
4. 将数1，2，3，…，8分别放置于正方体的8个顶点，每个顶点与相邻3个顶点上的数之和称为该顶点的“众数”。
对每一种填法，都可以得到最大“众数”与最小“众数”的差，那么这个差至少等于多少？
5. 已知三角形边长都是整数，周长不超过28，三个边长两两之差的平方和等于14。
问这样的三角形共有多少个？（三条边长分别对应相等的只算1个）
6. 求最小自然数k ，使得对于任意正整数n ，k 个奇数2n ＋1，2n ＋3，2n ＋5，…，2n ＋2k －1中至少有一个数，不能被3，5，7，11中的任何一个整除。