第十六届华杯赛总决赛试题

第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛

总决赛 小学组一试

2011年7月23日

中国·惠州

一. 填空题：（共3题，每题10分）

1. 计算 313615176413900114009144736543++++++＝_________.

2. 如右图所示，正方形ABCD 的面积为12，AE ＝ED ，且EF ＝2FC ，

则三角形ABF 的面积等于_________.

3. 某地区的气象记录表明，在一段时间内，全天下雨共1天；白天雨夜间晴或白天晴夜间雨共9天；6个夜间和7个白天晴朗。则这段时间有_______天，其中全天天晴有_______天。

二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程）

4. 已知a 是各位数字相同的两位数，b 是各位数字相同的两位数，c 是各位数字相同的四位数，且c b a =+2。求所有满足条件的（a ，b ，c ）。

5. 纸板上写着100、200、400三个自然数，再写上两个自然数，然后从这五个数中选出若干个数（至少两个）做只有加、减法的四则运算，在一个四则运算式子中，选出的数只能出现一次，经过所有这样的运算，可以得到k 个不同的非零自然数。那么k 最大是多少？

6. 将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入右图的圆圈中，每

个圆圈恰填一个数，满足下列条件：

1） 正三角形各边上的数之和相等；

2） 正三角形各边上的数之平方和除以3的余数相等。

问：有多少种不同的填入方法？

( 注意，经过旋转和轴对称反射，排列一致的，视为同一种填法 )

总决赛 小学组二试

2011年7月23日

中国·惠州

一. 填空题：（共3题，每题10分）

1. 某班共36人都买了铅笔，共买了50支，有人买了1支，有人买了2支，有人买了3支。如果买1支的人数是其余人数的2倍，则买2支的人数是_________.

2. 右图中，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于

O ，E 为BC 的中点，三角形ABO 的面积为45，

三角形ADO 的面积为18，三角形CDO 的面积为

69。则三角形AED 的面积等于_________.

3. 一列数的前三个依次是1，7，8，以后每个都是它前面相邻三个数之和除以４所得的余数，则这列数中的前2011个数的和是_________.

二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程）

4. 用57个边长等于1的小等边三角形拼成一个内角不大于180度的六边形，小等边三角形之间既无缝隙，也没有重叠部分。则这个六边形的周长至少是多少？

5. 黑板上写有1，2，3，…，2011一串数。如果每次都擦去最前面的16个数，并在这串数的的最后再写上擦去的16个数的和，直至只剩下1个数，则

1） 最后剩下的这个数是多少？

2） 所有在黑板上出现过的数的总和是多少？

6. 试确定积)12()12)(12)(12(2011321++++ 的末两位的数字。

总决赛 初一组一试

2011年7月23日

中国·惠州

一. 填空题：（共3题，每题10分）

1. 计算 )]5(31[)41(2])32([|231|)1()2(22343-⨯-+-⨯---÷---⨯-＝_________.

2. 如图，正方形ABCD 的面积等于625，DE 与CF 相交于G 。

已知ADE S ∆＝CDG S ∆＝125平方厘米，那么△BFG 的面积是

_________平方厘米.

3. 用程度分别为1，2，…，50的木条去摆三角形，每个三角形的三条边的程度分别为a ，b ，c ，a

二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程）

4. 用S (n )表示自然数n 的数字和，

如S (1)＝1，S (123)＝6，S (1234)＝10等等，

求自然数n ，使得n ＋S (n )＝2011. 5. 两个21位自然数m 和n ，每个都由三个1、三个2、三个3、三个4、三个5、三个6、三个7组成，使得n

m k =是自然数，问k 能取哪几个自然数？说明你的理由。 6. 设自然数k 使得方程 k x x =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡32 无解，将这样的k 由小到大排成一行，其前2011个k 的值之和等于多少？

总决赛 初一组二试

2011年7月23日

中国·惠州

一. 填空题：（共3题，每题10分）

1. 水池有一个进水口和若干个同样大小的排水口，池中有水若干。如果同时打开进水口和5个排水口，则连续30个小时可以将水排尽；如果同时打开进水口和6个排水口，则连续20小时可以将水排尽。那么同时打开进水口和15个排水口，_________小时就可以将水排尽。

2. 在右图中，四边形ABCD 是一个长方形，EF ∥AB ，

GH ∥AD ，EF 和GH 相交于点O ，三角形OBD 的

面积是m ，长方形OFCH 的面积和长方形AGOE 的

面积差等于_________. 3. 自然数a ，b 互质，如果a a b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡，n b a b 101⨯=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧，n 是10进制数b 的位数， 则a b ＝________. 其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡a b 表示不超过a b 的最大整数，⎭

⎬⎫⎩⎨⎧a b 表示a b 的小数部分。 二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程）

4. 将数1，2，3，…，8分别放置于正方体的8个顶点，每个顶点与相邻3个顶点上的数之和称为该顶点的“众数”。对每一种填法，都可以得到最大“众数”与最小“众数”的差，那么这个差至少等于多少？

5. 已知三角形边长都是整数，周长不超过28，三个边长两两之差的平方和等于14。问这样的三角形共有多少个？（三条边长分别对应相等的只算1个）

6. 求最小自然数k ，使得对于任意正整数n ，k 个奇数2n ＋1，2n ＋3，2n ＋5，…，2n ＋2k －1中至少有一个数，不能被3，5，7，11中的任何一个整除。