函数动点问题中等腰三角形存在性问题教学设计
初中数学存在性问题等腰三角形教学设计
F
C
B
D 腰长GD 4x 12 84 48 14 7
G
你能用代数法求解吗？ 代数法展示.
腰长GD 4x 12 84 48 14 7
4
5
m9
,
108 m9
BF 2
9m m9
92
108
2
m9
812 1082
m 92
①CF2=CB2
② FC2 = FB2
2
③ BC2 = BF2
81
812 1082
m 92
m4 6, m5 24
81m2 1082
是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．
A
E
A
E
AEG
F
F G
FG
FG EA
C
D
B
C
D
B
CD
B
DCBBiblioteka 当点 D 在线段 BC点 D 沿射线 B-C 方向运动
上时，GF=GD
G
F
G
G EA
E
A
DC
B
当点 D 在线段 BC 的延长线上， 且 F 在 AE 上方时，GF=GD.
D
C
E
A
初三数学复习课
《存在性问题 1--等腰三角形》教学设计
教学目标： 1.通过对等腰三角形存在性问题的探索，学会解决相关问题的方法； 2.体会用几何法和代数法解决等腰三角形的存在性问题的不同，学会选取合适的方法来 解决问题； 3.通过对等腰三角形存在性问题的学习，培养运用分类讨论思想解决问题的能力、探究 能力、动手实践和综合运用能力.
《动点与等腰三角形》教学设计
一、教学目标：《动点与等腰三角形》教学设计知识与技能：理解动点与等腰三角形问题的基本解题方法：代数法、几何法, 会进行分类讨论,掌握根据两边和夹角的余弦值进行求解的方法. 过程与方法：渗透分类讨论、转化、数形结合的数学思想方法.情感态度与价值观：通过几何画板动态演示、一题多解等激发学习数学的兴趣,培养数学情感. 二、教学重难点：重点：掌握分类讨论,并根据两边和夹角的余弦值求解的方法. 难点：灵活选择最 优方法解题 三、教学过程：（一【开门见山】在广东的中考压轴题中,屡次考到动点与等腰三角形的存在性问题.这类题目思维灵活,不易解出,但也有迹可循,有法可依.今天我们通过具体例子学习这类问题的解法. （二【火力全开】 例题：已知,如图 1,一条抛物线的顶点为 E （﹣1,4）,且过点 A （﹣3,0）,与 y 轴交于点 C,点 D 是这条抛物线上一点,它的横坐标为 m, 且﹣3＜m ＜﹣1,过点 D 作 DK⊥x 轴,垂足为 K,DK 分别交线段 AE 、AC 于点 G 、H ．（1） 求这条抛物线的解析式； （2） 求证：GH=HK ；（3） 当△CGH 是等腰三角形时,求 m 的值．图 1分析：(1)运用待定系数法,可以求出解析式为 y=﹣（x+1）2+4．(2)运用待定系数法可以求出直线 AE 的解析式为 y=2x+6,求出直线 AC 的解析式为 y=x+3．可以表示出点G（m,2m+6）,H（m,m+3）,可得HK=m+3,GH=m+3．故 GH=HK.(3)观察几何画板制作的动图,拖动点D,可以发现,点G 和点H 也随之运动,运动到如图 2 时,运动到如图 3 时,运动到如图 4 时,△CGH是等腰三角形,故需分类讨论.图2图3图4观察动图,比较直观,但是否准确？怎么求出点的坐标？著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微；数形结合百般好,隔离分家万事休”．因此,需要再认真理性分析.△CGH是等腰三角形,可能有以下三种情况,①点 G 为顶角端点,即 GH=GC；②点H 为顶角端点,即 HG=HC；③点C 为顶角端点, 即CG=CH.第（2）问已经求出点 G、点H 的坐标,点 C 的坐标也知道了,则可以利用两点之间的距离公式,表示出三条线段GH、HC、CG 的长度,再分类列出方程, 即可求出答案.解题思路可用以下框图表示：答案如下：由（2）可知：C（0,3）,G（m,2m+6）,H（m,m+3）,则C H=,CG=,HG=m+3①若CG=CH,则=,解得m1=﹣1,m2=﹣3,∵﹣3＜m＜﹣1,∴m≠﹣1 且m≠﹣3．∴这种情况不存在．②若GC=GH,则=m+3,解得m =0（舍去）, m2=-32m2 +m2m2 +m2 m2 + (2m +3)2m2 +(2m +3)2m2 +(2m +3)21③ 若 H C=HG,则 = m+3,解得；m 1=3﹣3,m 2=3+3（舍去）． 综上所述：当△CGH 是等腰三角形时,m 的 - 32 或．（三【另辟蹊径】 上面问题的第三问是一个几何问题，你能运用等腰三角形等几何知识解决这个问题吗？分析：分别画出三种图形.对于等腰三角形的问题，应该充分运用等腰三角形的性质，尤其是“三线合一”的特殊性质，因此，考虑“作高线”.作出高线后，出现了直角三角形，与已知图形的中的直角三角形相似，则可以运用“相似三角形对应边的比相等”去求出边长.图 5 图 6 图 7答案如下：①如图 5,HG=HC 时，注意到 OC=OA=3，则∠CAO=450.过点 H 作 HP,则 HP=-m ， 且∠CHP=∠CAO=450，解直角三角形可知,HC= -m=3-3 2 ;2m .HG=HC 时, m+3=2m ,解得②如图 6,GH=GC 时,过点 G 作 GI⊥HC 于点 I,则由“三线合一”得 HI= 12HC=③如图 7,当 CG=CH 时,过点 C 作 CM⊥GH 于点 M,则由“三线合一”得-方法点击：对于动点与等腰三角形的问题,往往进行分类讨论,分三步走①列出三条边长,②分类列方程,③解方程并检验.此法称为代数法.m 2 + m 2 -m = -1（舍去）；综上所述：当△CGH 是等腰三角形时,m 的值为- 32 或 ．（四）【再闯新路】 聪明的你还有其他方法吗？分析：在“运动变化”中往往隐含着“不变”,解决动点问题需要“动中求静”.请注意在点 D 运动的过程中,△GHC 有哪些量没有变化？可以发现∠GHC的大小不变,∠GHC 的三角函数值不变,且可以求出∠GHC=450, cos∠GHC=√22.夹着∠GHC 的两条边可以表示出来,GH=m+3,HC= - 2m .则可以作高，构造直角三角形，运用“三线合一”，表示出∠GHC 的邻边和斜边，运用∠GHC 的余弦值是定值列出方程，得解.① 如图 5,HG=HC 时, m+3= - 2m ,解得 m=3 -3 2 ;② 如图 6,GH=GC 时,过点 G 作 GI⊥HC 于点 I,则由“三线合一”得 HI= 12HC=③ 如图 7,当 CG=CH 时,过点 C 作 CM⊥GH 于点 M,则由“三线合一”得m = -1（舍去）；综上所述：当△CGH 是等腰三角形时,m 的值为- 32或 -方法点击：在很多等腰三角形的存在性问题中,三角形运动变化时有一个角 保持不变, 它的余弦值可以求出来,它的两条夹边也可以表示出来.则可以分类讨论,作出等腰三角形的高,运用解直角形的知识列出方程.如图,若∠A 的值不变,AC 、AB 的值方法点击：对于此类题目,可以分类画出图形,作出等腰三角形的高,标出边长,寻找相似三角形,利用“相似三角形对应边的比相等”列出方程求解. 此法称为几何法.可以表示出来.则如图8,AC=AB,直接列方程；如图9, ,列出方程；如图10, ,列出方程.图8 图9 图10此法与上述几何法,本质是相同的,但解题过程简洁一些.此法也属几何法.解题分析时，首选此法.（五变式练习：（模拟）如图,在Rt∆ABC中, ∠ACB=90︒,AC=8, BC = 6 ,CD ⊥AB 【变式练习】于点D ．点P 从点D 出发,沿线段DC 向点C 运动,点Q 从点C 出发,沿线段CA 向点A 运动,两点同时出发,速度都为每秒 1 个单位长度,当点P运动到C 时,两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）求线段CD 的长；（2）当t 为何值时, ∆CPQ 为等腰三角形？请说明理由.图11 图12 图13分析:（1）利用勾股定理可求出AB 长,再用等积法就可求出线段CD 的长．（2）需分三种情况进行讨论;可以发现∠PCQ 大小不变,且容易求出 cos ∠PCQ 的值,表示出 CQ,CP 的长度,则利用上述几何法模型解决比较简洁.答案:解：（1）如图11∵∠ACB = 90︒, AC = 8 , BC = 6 ,∴AB =10 ．CD ⊥AB ,∴S∆ABC = 12BC×AC = 12AB CD ．∴CD ==BC·ACAB= 6×810=4.8 .∴线段CD 的长为 4.8．（2）在Rt△ACD 中,cos ∠PCQ= 4.88= 35,CQ=t, CP= 4.8 -t .①若CQ =CP ,如图 11,则t = 4.8 -t ．解得：t = 2.4 ．②若PQ =PC ,如图 12 所示．过点 P 作PH ⊥QC ,垂足为 H.∵PQ =PC ,PH ⊥QC ,∴QH =CH = 12QC = t2．③若QC =QP ,如图 13 所示．过点Q 作QE ⊥CP ,垂足为 E , 同理可得：t = 2411.综上所述：当t 为 2.4秒或 14455秒或 2411秒时, ∆CPQ 为等腰三角形．（六【画龙点睛】（七【作业巩固】问题: 如图,在Rt∆ABC 中, ∠A = 90︒, AB = 12 , AC = 16,点D 为边BC 的中点, DE ⊥BC 交边AC 于点E ,点P 为线段AB 上的一动点,点Q 为边AC 上的一动点,且∠PDQ = 90︒．（1）求ED 、EC 的长；（2）若BP＝2，求CQ 的长；（3）若线段PQ 与线段DE 的交点为F，当△PDF 为等腰三角形时，求BP 的长．（提示：∆PDF 的三边长均不易表示,但注意到∆PDF∽∆CDQ ,故转化为讨论∆CDQ 为等腰三角形的三种情况．∆CDQ 的∠C的余弦值容易求出,CD、CQ 也能表示出来,则可以用前述方法解答）答案如下:解：（1）∵∠A＝90°，AB＝12，AC＝16，∴根据勾股定理得到，BC＝＝20，∴CD＝BC＝10，∵DE⊥BC，∴∠A＝∠CDE＝90°，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴DE：AB＝CE：CB＝CD：CA，即DE：12＝CE：20＝10：16，∴DE＝，CE＝；（2）∵△CDE∽△CAB，∴∠B＝∠DEC，∵∠PDQ＝90°，∴∠QDC+∠PDB＝90°，∵∠QDC+∠EDQ＝90°，∴∠EDQ＝∠PDB，∴△PBD∽△QED，前述方法解答）答案如下:解：（1）∵∠A＝90°，AB＝12，AC＝16，∴根据勾股定理得到，BC＝＝20，∴CD＝BC＝10，∵DE⊥BC，∴∠A＝∠CDE＝90°，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴DE：AB＝CE：CB＝CD：CA，即DE：12＝CE：20＝10：16，∴DE＝，CE＝；（3）∵△CDE∽△CAB，∴∠B＝∠DEC，∵∠PDQ＝90°，∴∠QDC+∠PDB＝90°，∵∠QDC+∠EDQ＝90°，∴∠EDQ＝∠PDB，∴△PBD∽△QED，∴＝，即＝，∴EQ＝，∴CQ＝CE﹣EQ＝﹣＝11；（4）∵△BPD∽△EQD，∴＝＝＝＝，∴cos∠QPD＝＝，又∵cos∠C＝＝＝，∴∠QPD＝∠C，又∵∠PDE ＝∠CDQ ，∴△PDF ∽△CDQ ，∵△PDF 为等腰三角形，∴△CDQ 为等腰三角形，设 B P ＝x ，∵＝ ＝ ＝ ＝ ，则 E Q ＝ x ，CQ ＝ ﹣ x ，①当 C Q ＝CD 时，可得：252- 34 x 10 ,解得：x ＝；② 当 QC ＝QD 时，过点 Q 作 QM ⊥CB 于 M ，如图 3 所示，∴CM ＝ CD ＝5，∵cos ∠C ＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴CQ ＝ ， ∴ ﹣ x ＝ ， 解得：x ＝ ； ③当 DC ＝DQ 时，如图 4.∵点 P 在线段AB 上，故点Q 在 CE 上. ∵DE ＜DC ，∴DQ不可能等于DC ，此情况不存在.∴综上所述，BP ＝ 或．。
北师大版 九年级下册 动点专题----等腰三角形的存在性问题
动点专题复习——等腰三角形的存在性问题教学设计教学目标①学会解决等腰三角形存在性问题的方法，会解相关的简单压轴题②培养运用分类讨论思想解决问题的能力、探究能力和综合运用数学知识解决问题能力重难点：解等腰三角形存在性问题的一般方法，准确审题，分类讨论，根据题意画出等腰三角形教学流程：一、准备知识1.等腰三角形的定义、、判定2.勾股定理3.三角函数（或相似）4.两点间的距离公式 AB=√(x1−x2)2+(y1−y2)25. 思想二、类型1 两定一动型1.在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（2，-1），P是x轴上的一个动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点P的个数为( )A.2B.3C.4D.5（备用图）（备用图）2.如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个3.如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与直线l的夹角为60°,请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x 轴于另一点C（3，0）．（1）写出A点，B点坐标和抛物线对称轴（2）抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ΔABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．（备用图）（备用图）三、方法归纳法一：几何法（“两圆一线”法）若已知边是腰，分别以为圆心，定长为半径作圆找点；若已知边是底，作线段的找点.法二：代数法①设未知数，罗列出；②分类列方程；③分别解这三个方程，判断方程的解是否符合题意四、类型2 两动一定型5.矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度沿A→C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度沿C→B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时停止运动，当△PCQ为等腰三角形时，求时间t的值．（备用图）（备用图）五、方法归纳法三：作等腰三角形底边上的，利用三线合一、相似、三角函数等相关知识建立等量关系求解课后提升练习6．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，点E 在AC边上，∠ADE＝∠B．设BD的长为x，如果△ADE为等腰三角形，求x的值．7.在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），C在x轴正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．若P 为直线AB上的一点，且△BMP为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．。
二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)
_ Q_ G_P_ O二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式〔1〕、【一般式】抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解； 〔2〕、【顶点式】抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解；2、二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2+bx+c = 0是否有根的情况进展判定；判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况 △ ＞ 0与x 轴交点 方程有的实数根△ ＜ 0 与x 轴交点 实数根 △ ＝ 0与x 轴交点方程有的实数根3、抛物线上有两个点为A 〔x 1，y 〕，B 〔x 2，y 〕 (1)对称轴是直线2x 21x x +=(2)两点之间距离公式： 两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 那么由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：A 〔0，5〕和B 〔－2，3〕，那么AB ＝。
4、 常见考察形式1〕A 〔1,0〕，B 〔0，2〕，请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线方法规律:平面直角坐标系中一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线〞：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2〕A 〔-2,0〕，B 〔1，3〕，请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结： 两线一圆方法规律{平面直角坐标系中一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆〞：分别过线段的两个端点作线段的垂线，再以线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：〔1〕直接用面积公式计算；〔2〕割补法；〔3〕铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽〞〔a 〕，中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高〞〔h 〕． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
九年级春季班第8讲：等腰三角形的存在性问题(教案教学设计导学案)
根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB = BC；（2）BC = CA；（3）CA = AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意．1、知识内容：在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；（2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边（3）两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为：．2、解题思路：（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之．【例1】如图，已知中，AB = AC = 6，BC = 8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE =∠B．设BD的长为x，CE的长为y．（1）当D为BC的中点时，求CE的长；（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果为等腰三角形，求x的值．【答案】（1）；（2）（）；（3）2或．【解析】解：∵，，∴．∴．∴．（1）当D为BC中点时，，∴．（2），x的取值范围为．（3）分情况讨论，①当AD = AE时：∵，∴，此情况不存在；②当AD = DE时：∴，即，解得：（舍）或；③当AE = DE时：∴．∴．又∵，∴，∴，解得：，综上：x的值为2或．【总结】本题综合性较强，主要考查等腰三角形的性质及分类讨论的运用．【例2】已知，一条抛物线的顶点为E（，4），且过点A（，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且，过点D作轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求证：GH = HK；（3）当是等腰三角形时，求m的值．【解析】（1）；（2）略；（3）m的值为或．【解析】（1）∵抛物线的顶点为E（，4），∴设抛物线的解析式为（）又∵抛物线过点A（，0）∴，∴这条抛物线的解析式为；（2）∵A（，0），E（，4），C（0，3）∴直线AE的解析式为；直线AC的解析式为，∵D的横坐标为m，轴，∴G（m，2m + 6），H（m，m + 3）∵K（m，0），∴GH = m + 3，HK = m + 3，∴GH = HK；（3）∵C（0，3），G（m，2m + 6），H（m，m + 3）1° 若CG = CH，则解得：，都是原方程的解，但不合题意舍去；所以这种情况不存在．2° 若GC = GH，则，解得：，都是原方程的解，但不合题意，舍去．∴；3° 若HC = HG，则，解得：．综上所述：当是等腰三角形时，m的值为或．【总结】本题主要考查二次函数背景下的等腰三角形的分类讨论问题，注意对方法的选择．1、与圆有关知识内容：在模块一的基础上，加入了与圆有关的要求。
第4章一次函数-一次函数之等腰直角三角形的存在性(教案)
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了《一次函数之等腰直角三角形的存在性》，整体来看，学生的学习效果还是不错的。但在教学过程中，我也发现了一些值得思考的问题。
首先，我发现有些学生对一次函数图像与等腰直角三角形之间的关系理解不够深入。在讲解过程中，我尽量用生动的例子和形象的比喻来帮助他们理解，但显然，这部分内容对于他们来说还是有一定难度的。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生的需求，尽可能用简单易懂的方式讲解难点，让他们能够真正消化吸收。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数和等腰直角三角形的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k是斜率，b是y轴截距。等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它的两条腰相等且与底边成直角。在一次函数图像中，等腰直角三角形的存在性与函数的斜率有关。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何在一次函数图像中找出等腰直角三角形，以及它如何帮助我们解决实际问题。
-运用逻辑推理和分析数据的能力，解决一次函数图像中等腰直角三角形的定位问题。
举例解释：
-解释斜率为1或-1时，图像上的点与原点的连线和x轴或y轴形成的特殊角度题时，指导学生如何从问题描述中提取关键信息，构建一次函数模型，并利用等腰直角三角形的性质进行解答。
其次，在实践活动环节，学生们的参与度很高，但部分小组在讨论时显得有些拘谨，可能是因为对等腰直角三角形在实际生活中的应用不够了解。在今后的教学中，我会多设计一些与实际生活紧密相关的案例，让学生在实践中更好地理解理论知识。
初中九年级数学教案-函数动点问题中等腰三角形存在性问题-市赛一等奖
课题：函数动点问题中的等腰三角形存在性问题
教学目标： 1、通过实际问题的探究，使学生经历画图、演算，列方程等掌握由函数动点问题产生
等腰三角形存在性问题一般解题方法
2、掌握数形结合思想，方程思想，分类讨论思想的实际运用、
教学重点：探究出函数动点问题中的等腰三角形存在性问题的一般解题方法
教学难点：分类讨论思想
教学辅助：多媒体课件，圆规，尺子
教学过程：
一、情境引入
函数动点问题是近几年中考中的热点问题，也是中考试卷的压轴题。
特别是在函数中由动点产生等腰三角形存在性问题居多。
本节课我们将探讨解决此类问题的一般方法。
我们知道有两边相等的三角形是等腰三角形，那么思考以下问题：
1、若△ABC 是等腰三角形，请写出相等的边。
2、如图，在平面直角坐标系
Oy 中，已知线段O D ，点221y x x m =-++-的值； （2）求∠CDE 的度数；
（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P ，使得△PDC 是等腰三角形如果存在，求出符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
y O
C
A B
D E。
《等腰三角形存在性初探》教学设计
《等腰三角形存在性初探》教学设计在近年来的中考题中，等腰三角形的存在性问题是一个热点问题，但是很多同学在解这类问题过程中往往存在解答不完整，漏点现象。
本节课就是为了解决这个问题，为解决综合题型分散难点。
其类型及思考方法多为动点问题和计算相结合，本节课从简单问题入手，循序渐进易于激发学生学习兴趣，同时也适合学生的认知特点。
培养学生在探究过程中发现问题，提出问题的能力。
从而进一步分析问题、解决问题。
体会从简单到复杂，分类讨论思想方法。
采用探究式教学，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课内容。
利用几何画板辅助教学，增强直观效果，提高课堂效率。
一、教学目标（一）知识技能目标初步掌握等腰三角形存在性问题的解题思路和方法，并能应用“一线两圆”法解决问题。
(二）过程与方法1、经历运用几何画板找等腰三角形过程，体会分类思想在几何中的应用。
2、学生经历猜想、探究、推理等数学活动，在活动中总结“一线两圆”法积累基本活动经验和基本方法。
（三）情感态度价值观学生经历猜想、探究、推理等数学活动，积累基本活动经验，二、重点:1、如何分类才能使所找的的点不重不漏。
2、重点掌握“一线两圆”找等腰三角形的方法。
三、教学过程（一）、复习引入1、等腰三角形定义、性质。
2、（1）已知等腰三角形两边长为2和6，那么它的周长是___；（2）等腰三角形的两边长为6和4，那么这个三角形的周长是___。
（二）、合作交流，探究新知活动一：已知，Ｏ是直线a上一点，Ｐ是直线外一点。
直线a上是否存在一点Ｑ，使得OPQ是等腰三角形。
这个环节利用几何画板，用分类讨论的思想演示找等腰三角形的过程，借助画板的动态演示和颜色直观，总结得出；“一线两圆”法解决下列问题以一条线段为边作等腰三角形方法:(1)分别以这条线段两个端点为圆心,这条线段为半径画圆，找到圆与目标直线的交点；（2)作这条线段的中垂线，找中垂线与目标直线的交点。
上述方法找到的点都满足条件。
初中数学_二次函数的动点问题教学设计学情分析教材分析课后反思.docx
《二次函数中的动点问题(一)三角形的存在性问题》教学设计教学目标1.熟练运用两直线平行、两直线垂直时比例系数之间的关系解决相关问题。
2.探索动点问题中等腰三角形存在性的方法“两圆一线”，并能熟练运用，体会数形结合的数学思想。
3.探索动点问题中直角三角形存在性的方法“两线一圆”，并能熟练运用，体会数形结合的数学思想。
评价设计目标1过程性评价：学生课前完成，教师及时评价补充。
终结性评价：技巧提炼1. 2.目标2过程性评价：以学习任务单的形式，提供问题技巧提炼3 (1),鼓励学生自主合作探究，得出结论，教师做出相应的评价。
终结性评价：精讲精练1.目标3过程性评价：以学习任务单的形式，提供问题技巧提炼3 (2),学生交流展示，教师追问跟进。
重点评价学生在学习过程中的参与状况、行为表现、学习的主动性等方面。
终结性评价：精讲精练2.学习效果评测工具、方/：小测试卷，课后批阅分析教学重难点：“两圆一线”和“两线一圆”规律的探究学生课前活动设諾：独立完成技巧提炼。
备用图《二次函数的动点问题（1）三角形存在性问题》学情分析本届学生考试的成绩不是很理想，总体来看，成绩只能算一般。
在学生所学知识的掌握程度上，整个年级己经开始出现两极分化了，对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，对后进生来说，简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差，学生仍然缺少大量的推理题训练，推理的思考方法与写法上均存在着一定的困难，对几何有畏难情绪，相关知识学得不很透彻。
在学习能力上，学生课外主动获取知识的能力较差，为减轻学生的经济负担与课业负担，不提倡学生买教辅参考书，学生自主拓展知识面，向深处学习知识的能力没有得到培养。
在以后的教学中，对有条件的孩子应鼓励他们买课外参考书，不一定是教辅参考书，有趣的课外数学读物更好，培养学生课外主动获取知识的能力。
学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要得到加强，以提升学生的整体成绩，应在合适的时候补充课外知识，拓展学生的知识面，提升学生素质；在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去，少数几个学生对数学处于一种放弃的心态，课堂作业，大部分学生能认真完成，少数学生需要教师督促，这一少数学生也成为老师的重点牵挂对象, 课堂家庭作业，学生完成的质量要打折扣；学生的学习习惯养成还不理想，预习的习惯，进行总结的习惯，自习课专心致至学习的习惯，主动纠正（考试、作业后）错误的习惯，比较多的学生不具有，需要教师的督促才能做，陶行知说：教育就是培养习惯，这是本期教学中重点予以关注的。
等腰三角形存在性问题教案
教学重难点
知识储备
一、课前热身：
二、方法提炼：
三、典例精析
四、变式训练重点：等腰三角形存在性问题的讨论分类
难点：计算过程中的方法选择
两点间的距离公式，A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB=________________
1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点 D 的坐标为 (3, 4) ，点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，
如果△ DOP 是等腰三角形，求点P 的坐标．
例（ 2014?邵阳第26题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x
2
﹣（ m+n）x+mn （ m＞ n）与 x 轴
相交于 A 、B 两点（点 A 位于点 B 的右侧），与y 轴相交于点C．
（ 3）若 m=2，△ ABC 是等腰三角形，求n 的值．（《冲刺》P92 页第 5 题）
[08 浙江温州 ] 如图，在Rt△ABC中， A 90，AB6， AC8， D，E 分别是边 AB，AC 的中点，点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动，过点P作PQ BC于Q，过点 Q作QR∥BA交AC于R ，当点Q与点 C 重合时，点 P 停止运动．设BQ x ， QR y ．
（ 1）求点D到BC的距离DH的长；
（ 2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（ 3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．
A
R
D P E
B
H Q
C
五、课堂小结、 1、等腰三角形的存在性问题解题策略及方法选择布置作业
2、作业：《冲刺》 P95第1题P100第5题。
初中数学_等腰三角形存在性问题教学设计学情分析教材分析课后反思
《等腰三角形存在性问题》教学设计执教者学情分析本节课是在已经进行过一轮复习，也适当做了一些往年的中考试卷，对于基础知识学生掌握的还是不错的，但对于综合性的题目却感觉困难，特别是动点问题。
对于这类问题存在以下几种情况：1)这类问题无论教师做了多大的努力,对学生来说都比较困难,所以一部分学生放弃作答。
2、一部分学生对动点问题从根本上不理解,勉强照猫画虎,写了不少但不得分。
3、学生对动点问题有一定认识,对分类能进行简单尝试, 但不完整。
针对以上情况，我希望通过本节课的学习，一方面帮助学生树立信心，让他们明白所谓的综合题都是由诸多小知识点组成的，所谓的动态问题可以变为“静”来解决。
另一方面通过例题讲解让学生掌握解决这类题目的解题策略。
效果分析针对学生面临的困难：首先，我在教学时注意层次性，讲究循序渐进，由浅入深，由易到难，不要一步到位，逐步过渡。
其次，注意所选例题的典型性，选了最具代表性的两类动点问题产生的等腰三角形存在性问题，一类一个例题，这样就可由一题推及一类，让学生可触类旁通，达到举一反三的效果。
教学时注重这几个方面：1、利用几何画板动态画图，让学生体会点在运动过程中，图形会跟着发生变化。
在变化的过程中抓住某一瞬间，化“动”为“静”，使其构成等腰三角形，再利用所学知识解决问题。
2、注重板书。
通过清晰的板书让学生一目明了如何分析等腰三角形存在性问题。
3、注重数学思想方法的渗透。
数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，在数学教学和探究活动中始终体现这些数学思想方法，动点问题也不例外，因此，在数学教学中应特别注重这些思想方法的渗透，因为只有让学生充分掌握领会这种思维，才能更有效地运用所学知识，形成求解动点问题的能力。
动点问题中主要体现方程思想，数形结合思想，分类讨论思想等。
方程思想。
大多数动点问题到最后都转化为方程形式，然后利用方程来求解。
数形结合思想。
动点问题中，所研究的量的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
函数动点问题中等腰三角形存在性问题优秀教学设计(教案)
课题：函数动点问题中的等腰三角形存在性问题教课目的：1、经过实质问题的研究，使学生经历绘图、演算，列方程等掌握由函数动点问题产生等腰三角形存在性问题一般解题方法2、掌握数形联合思想，方程思想，分类议论思想的实质运用、教课要点：研究出函数动点问题中的等腰三角形存在性问题的一般解题方法教课难点：分类议论思想教课协助：多媒体课件，圆规，尺子教课过程：一、情境引入函数动点问题是近几年中考取的热门问题，也是中考试卷的压轴题。
特别是在函数中由动点产生等腰三角形存在性问题居多。
本节课我们将商讨解决此类问题的一般方法。
我们知道有两边相等的三角形是等腰三角形，那么思虑以下问题：1、若△ ABC 是等腰三角形，请写出相等的边。
2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知线段 OD，点 P 是 x 轴上的一个动点，假如△DOP 是等腰三角形，请画出P 点的地点。
谈谈你的方法。
变式：若其余条件不变，点P 是坐标轴上的一个动点。
请画出点P 的地点。
（说明：经过写出相等的边，画等腰三角形。
让学生回首：知道一边时，这个边可能是底点也可能是腰，表现分类议论思想）二，合作研究例题：如图，抛物线y=ax2+bx﹣ 3（a≠0）的极点为 E，该抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 BO=OC=3AO，直线 y=﹣ x+1 与 y 轴交于点 D．（1）求抛物线的分析式。
（2）在抛物线的对称轴上能否存在点 P，使△ PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出切合条件的 P 点坐标，若不存在，请说明理思虑（ 1）、求分析式我们需要求出分析式的什么？有几个未知的需要确立，确立未知的我们需要几个条件。
请写出解题过程。
（2）、相像三角形的判断方程法有哪些？依据本题的已知条件，我们采用哪个方法适合？试一试看。
请写出证明过程。
（3）存在与否我们怎么确立？用什么方法适合呢？不如大家先绘图试一试看。
若存在你能求出点 P 的坐标吗小结：经过以上问题的解题过程。
一次函数等腰直角三角形存在性问题教案
专题：一次函数中等腰直角三角形存在性问题【教学目标】理解、掌握一次函数中等腰直角三角形存在性问题两定一动模型点的找法和算法，以及两动一定模型的解题思路。
经历作图，旋转三角板这些操作，促进学生对数学知识的理解，形成有效的学习模式。
【回顾】 一次函数中等腰三角形存在性问题找点方法： ，算法： 一次函数中直角三角形存在性问题找点方法： ，算法：【新知】以(,)A A A x y 、(,)c c C x y 为三角形的边，在平面内找一点B 使得△ABC 为等腰直角三角形（二定一动）一.找法：二．算法：例题例1：如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0)，B(0,b)其中a、b满足关系式|a﹣2|＝-(b﹣6)2（1）求a,b的值，并写出直线AB的函数表达式；（2）过点A作AD⊥AB，交BC延长线于点D，且AB＝AD，N是平面直角坐标系中的一点，是否存在以BD为直角边的等腰直角三角形△BDN，若存在，请直接写出点N的坐标．变式：如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0)，B(0,b)，其中a、b满足关系式|a﹣2|＝-(b﹣6)2（1）求a,b的值，并写出直线AB的函数表达式；（2）过点A作AD⊥AB，交BC延长线于点D，且AB＝AD，点M在直线AB 上，点Q是x轴上异于点A的一个动点，是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形△DQM，若存在，请直接写出点Q的坐标．练习1：如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB＝90°,点A坐标(﹣9,0)，直线BC的解析式为y=−34x+12，点D是线段BC上一动点（不与点B、点C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．（1）求点B、点C的坐标；（2）求直线AC的解析式；（3）若点N在射线DE上，是否存在点N使△BCN是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图1，直线y=−34x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B．（1）求△AOB的面积；（2）如图2，直线AC交y轴负半轴于点C，AB＝BC，P为射线AB（不含A点）上一点，过点P作y轴的平行线交射线AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点N，使△PQN是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。
函数中等腰三角形存在性问题教学设计
函数中等腰三角形存在性问题教学设计一、考点解析：函数中图形存在性问题是指在函数背景中判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年各地中考的“热点”，常见类型包括：抛物线存在等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、线段的最值与面积的最值问题。
常见于广东中考第 23 题，作为代数综合题命题。
针对以上类型，通过分类归纳解题方法，有针对性的进行教学，对突破难点，提高学生数学能力有很大的意义。
本节适用中考第二轮《专题复习》，建立在学生已掌握基础知识和基本技能的基础上进行。
主要侧重于等腰三角形存在性问题的分析与解题方法。
方法归纳：化繁为简，分类讨论，勾股定理，方程解答。
要点归纳：分类清晰、不重不漏，计算精准、快速。
本节知识要点：等腰三角形分类讨论包括按点分和按边分两种方法。
二、教学目标：1、掌握函数图像中等腰三角形存在问题的求解方法及流程；2、通过辅助例题及主例题的讲解，熟悉等腰三角形存在解题的切入点及解决方案，形成技能。
并训练不同图形中等腰三角形的解法，概况归纳思路。
三、教学疑难点分析：通常初中阶段解决等腰三角形常用几何变换进行解决，但由于不确定因素太多，导致学生无所适从。
为解决这方面问题，我大胆运用平面直角坐标系内两点距离公式，把所有类型进行统一，便于学生进行理解掌握。
本节使用的知识包括：待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系内两点距离公式、等腰三角形判定定理、分类讨论思想、方程思想。
通性解法为：1、找出图中确定的点的坐标：把不确定的点的坐标用一个未知数设定2、分别求出三个点所连接线段的长度（用两点距离公式）3、分类讨论三种相等的情况，解各自方程4、得出结论。
四、教学流程图：1、利用辅例 1、 2 让学生熟悉了解函数中 等腰三角形存在性问题的解题切入点。
辅例 1 主要引入分类讨论思想。
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课题：函数动点问题中的等腰三角形存在性问题
教学目标： 1、通过实际问题的探究，使学生经历画图、演算，列方程等掌握由函数动点问题产生等腰三角形存在性问题一般解题方法
2、掌握数形结合思想，方程思想，分类讨论思想的实际运用、
教学重点：探究出函数动点问题中的等腰三角形存在性问题的一般解题方法
教学难点：分类讨论思想
教学辅助：多媒体课件，圆规，尺子
教学过程：
一、情境引入
函数动点问题是近几年中考中的热点问题，也是中考试卷的压轴题。
特别是在函数中由动点产生等腰三角形存在性问题居多。
本节课我们将探讨解决此类问题的一般方法。
我们知道有两边相等的三角形是等腰三角形，那么思考以下问题：
1、若△ABC是等腰三角形，请写出相等的边。
2、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知线段O D，点P是x 轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，请画出P点的位置。
说说你的方法。
变式：若其他条件不变，点P是坐标轴上的一个动点。
请画出点P 的位置。
（说明：通过写出相等的边，画等腰三角形。
让学生回顾：知道一边时，这个边可能是底点也可能是腰，体现分类讨论思想）
二，合作探究
例题：如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式。
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理
思考（1）、求解析式我们需要求出解析式的什么？有几个未知的需要确定，确定未知的我们需要几个条件。
请写出解题过程。
（2）、相似三角形的判定方程法有哪些？根据此题的已知条件，我们选用哪个方法合适？
试试看。
请写出证明过程。
（3）存在与否我们怎么确定？用什么方法合适呢？不妨大家先画图试试看。
若存在你能求出点P 的坐标吗
小结：通过以上问题的解题过程。
你能总结一下解决此类问题都用了那些数学思想方法。
归纳
❖ 解题思路：
❖ 1、本题点的移动贯穿始终，对于等腰三角形的确定需要分类讨论，如果△PBC 是等腰
三角形，那么存在①PB ＝PC ，②BP ＝BC ，③CP ＝CB 三种情况．(分类讨论）
❖ 2、解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合。
（数
形结合 ）
❖ 解题步骤：几何法一般分三步：分类、画图、计算．
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．（方程
思想）
三、课后小结
谈谈本节课你的收获
四、作业。
五、教后反思
附加思考 如图，已知抛物线 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，其中点C 的坐标是（0，3），顶点为点D ，联结CD ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E ．
（1）求m 的值； （2）求∠CDE 的度数；
（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P ，使得△PDC 是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
221y x x m =-++-y O
x
C
A B
D E。