高等工程数学课件--第1章 集合与映射

lim An Ak .
n k 1

如果 An n 1是单调递减集合序列，则

lim An Ak .
n k 1

1.2 映 射(mapping)
定义1.2.1 设X、Y是两个非空集合，如果存在一
个X 到Y 的对应法则 f ，使得对 X中的每一个元素 x 都有Y中唯一的一个元素 y 与之对应，则称 f 是X 到Y的一个映射,记为 y f (x).
f ( A) { f ( x) | x A}
为集合A的像集。
f 1 ( B) {x | x A, f ( x) B} 称为集合B的原像集。
Im( f ) {( x, y) | x A, y f ( x)}
称为映射 f 的图像。
设X 是一个非空集合， X 到自身的映射称为X 的变换(transformation).
（2）如果对任意 y Y 都有一个x X 使 得 f ( x) y ，则称 f 是X 到 Y的满映射 (surjective)；
（3）如果映射f 既是单映射又是满映射， 则称f 是X 到 Y的双映射(bijective)。
设 f 是集合 X 到 Y的一个映射，则
（1）如果对任意 a, b X ，由 f (a) f (b) 能导出 a b ，则f 是X 到 Y的单映射；
第1章 集合与映射
1.1 集合
1.2 映射 1.3 等价关系 1.4 序结构
1.5 集合的势
1.1 集 合
1.1.1 集合的概念
集合(set)是近代数学的最基本概念之一，它 是由具有某种性质所确定的事物的总体。根 据这种性质可以辨别任一事物属于或不属于 这个集合。属于这个集合的事物称为这个集 合的元素。若a为集合A的元素，则a称属于A， 记为 a ；若a不是集合A的元素，则称a A 不属于A，记为 a 。 A
常用集合记号
N ----正整数集; Z ----整数集; Q ----有理数集; R ----实数集; C ----复数集; R
m n
(C
mn
)----R (C )上m n矩阵的全体;
R[ x]----实数集R上一元多项式全体; C[a, b]----[ a, b]上连续函数全体.
集合表示方法
例. (1)
(2)
R
m n
上的相抵关系；
C
R
nn
nn
上的相似关系；
(3)
上的相合关系。
1.3.2
集合的分类
a 定义1.3.3 设R是A上的一个等价关系， A 称 [a] {x | x A, xRa} 为 a 关于R的等价类 (equivalence class)。
定理1.3.1 设R是集合A上的一个等价关系，
1.1.3 集合序列的极限
设 An n 1是集合序列，如果

A1 A2 An
则称 An n 1 为递增序列；如果

A1 A2 An
则称 An n 1为递减序列。

设 An 1 是任一集合序列，令 n
X n Ak , Yn Ak
A A A,
A B B,
A ,
A B B A, ( A B) C A ( B C ).
定义1.1.3 设A，B是两个集合，由属于A但不 属于B的所有元素作成的集合称为A与B的差 集，记为 A\B ，即
A\B {x | x A且x B}
a, b A, 则 [a] [b] aRb.
定义1.3.4 设R是A上的一个等价关系。A的所 有元素关于R的等价类集合

lim An Ak n n 1 k n

为集合序列 An n 1 的上极限。若 limAn lim An A， n n 则称集合序列 An n 1 收敛，并称A为其极限。

设 An n 1是集合序列，则
c (4) Ai Ai , Ai Aic . iI iI iI iI
c
c
定义1.1.4 设A是一个非空集合， A的所有子集 组成的集合称为A的幂集，记为P( A) 或 2 A ，即
P( A) { X | X A}.
•列举法：即把一个集合的元素都列举出来.
A {a1 , a2 , a3}
•概括法：即把这个集合的元素所具有的特 征性质表示出来.
A {x | P( x)}
例如
C ( n) [a, b] { f ( x) | f ( n) ( x)在[a, b]上连续}, n 1, 2,,
设A，B是两个集合，如果集合A的元素 都是集合B的元素，则称A为B的子集，或称 B包含A，记为 B A 或 A B 。
( g f ) 1 f 1 g 1 。 并且
1.3 等价关系
1.3.1 关系与等价关系 定义1.3.1 设A、B是两个集合，A B 的子集 R 称为 A B 中的一个二元关系 (binary relation)，即对任意 a A，b B，如果 (a, b) R ，则称a与b有关系R，记为aRb。 特别地， A A 中的二元关系简称为A上的 二元关系。
（2） f 是X 到 Y的满映射当且仅当 Y R( f ).
非空集合，X 到自身的双映射称为X的一 一变换(one-to-one transformation)；如果X 是有限集，X 的一一变换称为X 的置换 (permutation)。
非空集合X 上的恒等映射是一个双映射。 例. 微分算子，积分算子，矩阵。
定理1.2.3 映射f :X→Y是可逆映射的充分必 要条件是 f 是X到Y的双映射。 定理1.2.4 设映射f : X→Y ， g :Y→Z，则 (1) 如果 f 和 g 都是单映射，则g f 是单映射；
(2) 如果 f 和 g 都是满映射，则g f 是满映射；
(3) 如果 f 和 g 都是双映射，则g f 是双映射,
定义1.1.5 设A、B是两个非空集合，元素对 的集合 {(a, b) | a A, b B} 称为A与B的笛卡 儿积(Cartesian product)，记作 A B ，即
A B {(a, b) | a A, b B}
( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) A B, ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) x1 x2 , y1 y2 .
X1 X 2 , Y1 Y2 , 并且x X1有 f1 ( x) f 2 ( x)
如果
则称映射 f1与f 2 相等， 记为f1 f 2 .
定义1.2.2 设 f 是集合 X 到 Y 的一个映射， （1）如果对任意 a, b X ，当 a b 时有 f (a) f (b)，则称f 是X 到 Y的单映射 (injective)；
通常用记号
f : X Y
抽象地表示 f 是A到B的一个映射。 用记号
f : x f ( x)
表示映射 f 所规定的元素之间对应关系。
例1.2.1 设A是一个非空集合。令
I A : a a, a A
I A 是A上的恒等映射或单位映射。
设
f1 : X1 Y1 f 2 : X 2 Y2
设A，B是两个集合，如果A是B的子集， 并且B中至少有一个元素不属于A ，则称A是 B的真子集，或称B真包含A，记为 B A 或 A B。 如果 A B且 A B ， 则称集合A与B 相等，记为 A B 。
含有有限个元素的集合称为有限集；否则 称为无限集。
不含任何元素的集合称为空集，记为 。
例. Z中模n的同余关系。
定义1.3.2 若集合A上的一个二元关系R满足 （1）自反性(reflexivity)：对任意 a A ， 有aRa； （2）对称性(symmetry)：对任意 a, b A ， 如果aRb，则bRa；
（3）传递性(transitivity)：对任意 a, b, c A ， 如果 aRb，bRc，则aRc , 则称R是A上的一个等价关系(equivalence relation)。
(2) ( A B) \ C ( A \ C ) ( B \ C ); ( A B) \ C ( A \ C ) ( B \ C );
(3) C \ ( A B) (C \ A) (C \ B); C \ ( A B) (C \ A) (C \ B);
若 B A ，则称 A\B 为B 在A中的余集或B c 的补集，记为 B 。
定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合, Ai (i I )为集合X的 子集，则
(1) A ( B C ) ( A B) ( A C ); A ( B C ) ( A B) ( A C );
A A A,
A B B A,
( A B) C A ( B C ).
定义1.1.2 设A，B是两个集合，由既属于A又 属于B的所有元素作成的集合称为A与B的交 集，记为 A B ，即
A B {x | x A且x B}
集合交运算的性质
A B A,
为了方便，规定空集是任意集合的子集。
1.1.2
集合的运算
定义1.1.1 设A，B是两个集合，由属于A或者 属于B的所有元素作成的集合称为A与B的并 集，记为 A B ，即 A B {x | x A 或 x B}
集合并运算的性质
A A B,
B A B,
A A,
元素 y Y 称为元素 x X 在映射 f 下的像， 称x为y的原像。集合X称为映射 f 的定义域。当 X 中元素 x 改变时，x 在映射 f 下的像的全体作成 Y 的一个子集，称为映射 f 的值域，记为R(f)，即
R( f ) { f ( x) | x X }
设 f 是X到Y的一个映射,并且 A X , B Y，称
(1)
(2)
f3 ( f 2 f1 ) ( f3 f 2 ) f1;
f1 I A I B f1 f1.
定义1.2.4 设有映射f : X→Y，如果存在映射 g: Y→X使得
g f IX ,
f g IY
其中 I X , IY 分别是X与Y上的恒等映射，则称 g为 f 的逆映射(inverse mapping),记为 f 1 。 1 如果映射 f 有逆映射 f ，则称 f 为可逆映射 (invertible mapping)。 定理1.2.2 设映射f :X→Y 是可逆的，则f 的逆 映射 f 1 是唯一的。
k n k n
则称 X n n1为递增序列， Yn n 1 为递减序列。

定义1.1.6 设
An n 1是集合序列，称集合

limAn Ak n n 1 k n

为集合序列 An n 1 的上极限；称集合
定义1.2.3 设X、Y、Z是三个非空集合，并设 有两个映射 f1 : X Y , f2 : Y Z , 由 f1 , f 2 确定 X 到 Z 的映射 f3 : x f2 ( f1 ( x))( x X ) 称为映射 f1 和 f 2 的乘积(product)，记为 f 3 f 2 f1 定理1.2.1 设有映射 f1 : X Y , f2 : Y Z , f3 : Z W , 则

（1）x limAn 当且仅当存在无穷多个 An 使得 x An；
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（2）x lim An 当且仅当存在正整数N，使得对
n
n N
，都有 x An ；
（3） lim An limAn . n
n
容易证明：单调集合序列是收敛的。
如果 An n 1是单调递增集合序列，则