抛物线定义及标准方程教案
《抛物线及其标准方程》教案(公开课)
(一)知识教育点使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．(二)能力训练点要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对照、概括、转化等方面的能力．(三)学科渗透点通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．1．重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识． )2．难点：抛物线的标准方程的推导．(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系． )3．疑点：抛物线的定义中需要加之“定点 F 不在定直线 l 上”的限制．(解决办法：向学生加以说明． )提问、回顾、实验、讲解、演板、归纳表格．(一)导出课题我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．请大家思量两个问题：问题 1：同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？问题 2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于 y 轴、开口向上或者开口向下两种情形．引导学生进一步思量：如果抛物线的对称轴不平行于 y 轴，那末就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更普通意义上来研究抛物线．(二)抛物线的定义1．回顾平面内与一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 e 的轨迹，当0＜e＜1 时是椭圆，当 e＞1 时是双曲线，那末当 e=1 时，它又是什么曲线？2．简单实验如图 2-29，把一根直尺固定在画图板内直线 l 的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于 A 到直线 l 的距离 AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点 F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺摆布滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．3．定义这样，可以把抛物线的定义概括成：平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线 l 上)．定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线．(三)抛物线的标准方程设定点 F 到定直线 l 的距离为 p(p 为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才干使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师巡视，启示辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：方案 1： (由第一组同学完成，请一优等生演板． )以 l 为 y 轴，过点 F 与直线 l 垂直的直线为 x 轴建立直角坐标系(图 2-30)．设定点 F(p，0)，动点 M 的坐标为(x，y)，过 M 作MD⊥y 轴于 D，抛物线的集合为： p={M| |MF|= |MD|}．化简后得： y2=2px-p2(p＞0)．方案 2： (由第二组同学完成，请一优等生演板)以定点 F 为原点，平行 l 的直线为 y 轴建立直角坐标系(图 2-31)．设动点 M 的坐标为(x，y)，且设直线 l 的方程为 x=-p，定点 F(0，0)，过 M 作MD⊥l 于 D，抛物线的集合为：p={M| |MF|= |MD|}．化简得： y2=2px+p2(p＞0)．方案 3： (由第三、四组同学完成，请一优等生演板． )取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，x 轴与 l 交于 K，以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系(图 2-32)．抛物线上的点 M(x，y)到 l 的距离为 d，抛物线是集合 p={M||MF|=d}．化简后得： y2=2px(p＞0)．比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？引导学生分析出：方案 3 中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的 2 倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会浮现四种不同的情形，四种情形中 P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为 x 轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为 y2；当对称轴为 y 轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为 x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(四)四种标准方程的应用例题： (1)已知抛物线的标准方程是 y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0，-2)，求它的标准方程．方程是 x2=-8y．练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是 F(3，0)；(3)焦点到准线的距离是 2．由三名学生演板，教师予以订正．答案是： (1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y．这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数 p，因此只要给出确定p 的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或者准线方程给定以后，它的标准方程就惟一确定了；若抛物线的焦点坐标或者准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．(五)小结本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．五、布置作业到准线的距离是多少？点 M 的横坐标是多少？2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x2=2y； (2)4x2+3y=0；(3)2y2+5x=0； (4)y2-6x=0．3．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：(1)顶点在原点，对称轴是 x 轴，并且顶点与焦点的距离等于 6；(2)顶点在原点，对称轴是 y 轴，并经过点 p(-6，-3)．4．求焦点在直线 3x-4y-12=0 上的抛物线的标准方程．作业答案：3． (1)y2=24x，y2=-2x(2)x2=-12y(图略)4．分别令 x=0，y=0 得两个焦点F1(0，-3)，F2(4，0)，从而可得抛物线方程为 x2=-12y 或者 y2=16x六、板书设计。
抛物线及其标准方程教案
抛物线及其标准方程教案教案：抛物线及其标准方程目标：1.了解抛物线的定义和性质。
2.学习抛物线的标准方程，并能够根据给定的条件写出抛物线的标准方程。
3.能够利用抛物线的标准方程求解与抛物线相关的问题。
教学步骤：Step 1：导入通过展示一张抛物线的图片，引起学生对抛物线的兴趣，并提出问题：“你认为抛物线有什么特点？”Step 2：定义抛物线讲解抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，它的每个点到焦点的距离与该点到直线的距离相等。
Step 3：抛物线的性质- 抛物线是对称的，它关于焦点所在的直线称为对称轴。
- 抛物线的顶点是对称轴上的点，也是抛物线的最低点（凹部）或最高点（凸部）。
- 抛物线的焦点到顶点的距离称为焦距。
- 抛物线是单调增加或单调减少的。
Step 4：抛物线的标准方程介绍抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a，b，c是常数，a不等于零。
说明标准方程的各个参数的含义：- a决定抛物线的开口方向和大小。
- b决定抛物线在对称轴上的位置。
- c是抛物线的顶点的纵坐标。
Step 5：根据条件写出抛物线的标准方程示范如何根据给定的条件写出抛物线的标准方程，例如：- 已知抛物线的顶点坐标为(2,5)，求抛物线的标准方程。
- 已知抛物线与x轴相交于点(1,0)和(-3,0)，求抛物线的标准方程。
- 已知抛物线经过点(1,3)和(4,6)，求抛物线的标准方程。
Step 6：练习与讨论让学生自主完成一些练习题，并与全班讨论答案。
示范题目：1. 已知抛物线的焦点在原点，对称轴与x轴平行，焦距为4，求抛物线的标准方程。
2. 已知抛物线过点(3,-1)，且与y轴平行，求抛物线的标准方程。
3. 已知抛物线的标准方程为y = -2x^2 + 4x - 3，求抛物线的顶点坐标和焦距。
Step 7：拓展如果时间允许，可以讲解一些与抛物线相关的应用问题，例如：一个摄像机抛出的炮弹在空中的轨迹是一个抛物线，如何求解炮弹的最大高度和飞行距离等。
抛物线教案
抛物线教案(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--抛物线教案：抛物线及其标准方程索争科攀钢一中【教学目的】1．掌握抛物线的定义及其标准方程；2．掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系；3．认识抛物线的变化规律.【教学重点】抛物线的定义及标准方程【教学难点】区分标准方程的四种形式【课时安排】两课时【教学过程】第一课时一、导入新课：通过前面的学习，我们知道，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？用自制的抛物线作图演示模板作出抛物线，然后得出结论，曲线就是初中见过的抛物线。
下面，我们就将学习抛物线的定义及其标准方程。
二、讲授新课：1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
点F 叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
下面，根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程。
2．抛物线的标准方程：23①推导过程：取过点F 且垂直于直线l 的直线为x 轴，垂足为K ，线段KF 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系xOy （如图8—20）。
设|KF |=p (p ＞0)，那么焦点F 的坐标为（)0,2p ，准线l 的方程为.2p x -=设点M （x ，y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d 。
由抛物线的定义知，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==.|2|)2(|,2|,)2(||2222px y p x p x d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简，得y 2=2px （p >0） ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是).0,2(p 它的准线方程是2p x -=。
②抛物线标准方程的四种形式：一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 2=－2px ，x 2=2py ，x 2=－2py 。
《抛物线及其标准方程》教案(公开课
《抛物线及其标准方程》教案(公开课《抛物线及其标准方程》教案(公开课)一、教学内容本节课选自高中数学教材选修22第二章第四节《抛物线及其标准方程》。
具体内容包括：1. 抛物线的定义及其简单性质；2. 抛物线的标准方程：y²=2px(p>0)和x²=2py(p>0)；3. 抛物线的图形及其在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 让学生掌握抛物线的定义、标准方程及其简单性质；2. 培养学生运用抛物线知识解决实际问题的能力；3. 培养学生的观察能力、空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：抛物线标准方程的推导，抛物线图形的识别；2. 教学重点：抛物线的定义，标准方程及其性质。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，黑板，粉笔；2. 学具：直尺，圆规，量角器，练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入（1）展示图片：篮球投篮、投掷铅球、卫星轨道等；（2）提问：这些情景中，物体的运动轨迹有什么共同特点？2. 知识讲解（1）抛物线的定义：物体在只受重力作用下，从一点出发，经过一段时间后，落回到这一点，且在运动过程中始终受到同一平面的约束，这样的运动轨迹称为抛物线；（2）抛物线的标准方程：y²=2px(p>0)和x²=2py(p>0)；（3）抛物线的性质：对称性、开口方向、顶点、焦点、准线等。
3. 例题讲解（1）求抛物线y²=4x的焦点、顶点和准线；（2）已知抛物线的焦点为F(1,0)，求该抛物线的标准方程。
4. 随堂练习（2）已知抛物线的焦点和顶点，求其标准方程。
5. 小结六、板书设计1. 定义：抛物线是物体在只受重力作用下，从一点出发，经过一段时间后，落回到这一点，且在运动过程中始终受到同一平面的约束的运动轨迹；2. 标准方程：y²=2px(p>0)和x²=2py(p>0)；3. 性质：对称性、开口方向、顶点、焦点、准线；4. 例题：抛物线y²=4x的焦点、顶点和准线；已知焦点求抛物线标准方程。
《抛物线及其标准方程》教案(公开课
《抛物线及其标准方程》教案(公开课一、教学内容本节课的教学内容来自于高中数学教材，第三章解析几何，第五节抛物线。
本节课的主要内容有：抛物线的定义、性质、标准方程及其应用。
其中，重点讲解抛物线的标准方程及其求法。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义和性质，掌握抛物线的标准方程及其求法。
2. 能够运用抛物线的性质和方程解决一些实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点重点：抛物线的标准方程及其求法。
难点：抛物线性质的理解和应用。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、投影仪、教学课件。
学具：笔记本、尺子、圆规、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察一些生活中常见的抛物线形状，如篮球投篮、抛物线运动等，引发学生对抛物线的兴趣。
2. 讲解抛物线的定义和性质：在黑板上画出一条抛物线，讲解抛物线的定义，如焦点、准线等，并引导学生理解抛物线的性质。
3. 讲解抛物线的标准方程：通过示例，讲解如何求解抛物线的标准方程，让学生跟随步骤，进行练习。
4. 应用练习：给出一些抛物线应用问题，让学生运用所学知识解决，如求解抛物线与坐标轴的交点等。
六、板书设计板书设计如下：抛物线的定义和性质：焦点：到抛物线上任意一点的距离等于到准线距离的点。
准线：与抛物线对称，且到焦点的距离等于到抛物线上任意一点的距离。
抛物线的标准方程：y^2 = 4ax （a > 0）y^2 = 4ax （a < 0）七、作业设计（1）焦点在x轴上，顶点在原点，开口向上。
（2）焦点在y轴上，顶点在原点，开口向下。
答案：（1）y^2 = 4ax（2）x^2 = 4ay2. 已知抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，求解抛物线与x轴、y 轴的交点坐标。
答案：与x轴的交点：(a, 0)，(a, 0)与y轴的交点：(0, 2a)，(0, 2a)八、课后反思及拓展延伸本节课通过讲解抛物线的定义、性质和标准方程，让学生掌握了抛物线的基本知识，能够在实际问题中应用。
公开课教案《折纸法探究抛物线的定义和标准方程》
公开课教案《折纸法探究抛物线的定义和标准方程》一、教学目标1. 让学生通过折纸活动，直观地理解抛物线的定义和标准方程。
2. 培养学生动手操作、观察分析、推理归纳的能力。
3. 提高学生对数学美的感知，激发学习兴趣，培养合作意识。
二、教学内容1. 抛物线的定义2. 抛物线的标准方程3. 折纸法探究抛物线三、教学重点与难点1. 重点：抛物线的定义和标准方程的理解与应用。
2. 难点：通过折纸活动，引导学生发现抛物线的性质，推导标准方程。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究。
2. 运用直观演示法，让学生清晰地观察抛物线的形成过程。
3. 利用合作学习法，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入：利用多媒体展示各种抛物线的实际应用，如奥运会射击、跳远等，激发学生的兴趣。
2. 新课：介绍抛物线的定义，引导学生思考抛物线的特点。
3. 折纸活动：发放折纸材料，引导学生动手折纸，观察折痕，发现抛物线的性质。
4. 小组讨论：学生分组讨论，总结抛物线的特点，尝试推导标准方程。
5. 展示与评价：各小组展示研究成果，师生共同评价，完善理解。
6. 总结：回顾本节课的学习内容，强化抛物线的定义和标准方程。
7. 作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学反思在课后，教师应引导学生进行教学反思，思考折纸活动对于理解抛物线定义和标准方程的帮助，以及自己在探究过程中的收获和不足。
教师也应对本次课程进行自我反思，考虑教学方法的有效性、学生的参与度以及教学目标的达成情况，为后续的教学活动提供改进的方向。
七、课后练习为学生设计一系列的课后练习题，包括理论题和应用题。
理论题旨在巩固抛物线定义和标准方程的知识，应用题则要求学生将所学知识应用于实际问题中，如计算抛物线上的点的坐标、分析实际场景中的抛物线运动等。
通过这些练习题，可以检验学生对课堂内容的掌握情况。
八、拓展阅读推荐学生阅读一些关于抛物线的历史背景、数学原理和应用案例的拓展材料。
《抛物线及其标准方程》教案(公开课
《抛物线及其标准方程》教案(公开课《抛物线及其标准方程》教案(公开课)一、教学内容本节课选自《解析几何》教材第四章第一节，主要内容包括抛物线的定义、性质及其标准方程的推导和应用。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的性质。
2. 学会推导抛物线的标准方程，并能解决实际问题。
3. 能够运用抛物线标准方程解决几何问题和实际应用。
三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、性质及其标准方程。
难点：抛物线标准方程的推导和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入2. 知识讲解(1) 抛物线的定义：平面内到一个定点F的距离等于到一条定直线l的距离的点的轨迹。
(2) 抛物线的性质：① 对称性；② 焦点、准线；③ 直线与抛物线的交点；④ 平面几何关系。
(3) 抛物线的标准方程：y^2 = 2px (p > 0) 或 x^2 = 2py (p > 0)。
3. 例题讲解(1) 求抛物线y^2 = 4x的焦点和准线。
(2) 已知抛物线x^2 = 8y，求过点P(2,3)且与抛物线相切的直线方程。
4. 随堂练习(1) 求抛物线y^2 = 12x的焦点、准线及对称轴。
(2) 已知抛物线x^2 = 16y，求过点A(4,2)且与抛物线相交的直线方程。
5. 课堂小结六、板书设计1. 定义2. 性质3. 标准方程4. 例题解析5. 随堂练习七、作业设计1. 作业题目(1) 求抛物线y^2 = 20x的焦点、准线及对称轴。
(2) 已知抛物线x^2 = 18y，求过点B(3,2)且与抛物线相切的直线方程。
2. 答案(1) 焦点：F(5,0)，准线：x = 5，对称轴：y轴。
(2) 直线方程：y = 4/3x 2/3。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入、知识讲解、例题讲解、随堂练习等环节，使学生掌握了抛物线的定义、性质和标准方程。
《抛物线及其标准方程》 讲义
《抛物线及其标准方程》讲义一、抛物线的定义在平面内，到一个定点 F 和一条定直线 l（F 不在 l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
为了更好地理解抛物线的定义，我们可以通过一个简单的实例来感受。
比如，我们在生活中常见的喷泉喷出的水线，在忽略空气阻力的情况下，水线的轨迹就近似于一条抛物线。
从几何角度来看，抛物线是一种非常优美和对称的曲线。
它的每一个点到焦点和准线的距离关系始终保持不变，这一特性是抛物线的本质特征。
二、抛物线的标准方程1、焦点在 x 轴正半轴上的抛物线标准方程当抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上时，其标准方程为＼（y^2 ＝2px\）（＼（p>0\）），其中＼（p\）为焦点到准线的距离。
此时，焦点的坐标为\（（＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为＼（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
2、焦点在 x 轴负半轴上的抛物线标准方程当抛物线的焦点在 x 轴的负半轴上时，其标准方程为＼（y^2 ＝－2px\）（＼（p>0\）），焦点的坐标为\（（＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为＼（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
3、焦点在 y 轴正半轴上的抛物线标准方程当抛物线的焦点在 y 轴的正半轴上时，标准方程为＼（x^2 ＝ 2py\）（＼（p>0\）），焦点坐标为\（（0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程为＼（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。
4、焦点在 y 轴负半轴上的抛物线标准方程当抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上时，标准方程为＼（x^2 ＝－2py\）（＼（p>0\）），焦点坐标为\（（0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程为＼（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。
三、推导抛物线的标准方程以焦点在 x 轴正半轴上的抛物线为例来推导标准方程。
设抛物线的焦点为\（F(＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为\（x ＝＼frac{p}｛2}＼），抛物线上任意一点\（M(x, y)＼）。
《抛物线及其标准方程》教案
《抛物线及其标准方程》教案一、教学内容本节课的教学内容选自普通高中课程标准实验教科书，人教A版，必修5，第一章，抛物线及其标准方程。
具体内容包括：1. 抛物线的定义及其图形特征；2. 抛物线的标准方程及其性质；3. 抛物线与坐标轴的交点；4. 抛物线的焦点和准线。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义及其图形特征，掌握抛物线的标准方程及其性质；2. 能够运用抛物线的性质解决一些简单问题；3. 培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点1. 抛物线的定义及其图形特征；2. 抛物线的标准方程及其性质；3. 抛物线与坐标轴的交点；4. 抛物线的焦点和准线。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、投影仪；2. 学具：教科书、笔记本、尺子、圆规、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示一些实际问题，如投篮、射击等，引导学生思考这些问题的背后是否存在某种数学模型。
2. 概念讲解：讲解抛物线的定义及其图形特征，让学生通过观察、思考、讨论，理解并掌握抛物线的概念。
3. 性质讲解：讲解抛物线的标准方程及其性质，引导学生通过举例、分析、归纳，掌握抛物线的性质。
4. 例题讲解：选取一些典型的例题，引导学生运用所学的抛物线性质解决问题，巩固所学知识。
5. 随堂练习：设计一些随堂练习题，让学生独立完成，检验学习效果。
6. 焦点和准线讲解：讲解抛物线的焦点和准线，让学生通过观察、思考、讨论，理解并掌握焦点和准线的作用。
7. 作业布置：布置一些有关抛物线的问题，让学生课后巩固所学知识。
六、板书设计1. 抛物线的定义及其图形特征；2. 抛物线的标准方程及其性质；3. 抛物线与坐标轴的交点；4. 抛物线的焦点和准线。
七、作业设计1. 题目：已知抛物线的标准方程为 \( y^2 = 4ax \)，求证抛物线与坐标轴的交点。
答案：抛物线与x轴的交点为 (a, 0)，与y轴的交点为 (0, 2a)。
2. 题目：已知抛物线的焦点为F(1,2)，求抛物线的标准方程。
抛物线的定义及标准方程优秀教案
<<抛物线的定义及标准方程>>教案西乡二中陶小健一．教学媒体的选择和设计本课件需在多媒体教室完成，借助powerpoint、几何画板课件，从动态演示和实物模型入手，使学生对抛物线有一个初步的认识。
二．教学目标分析1.知识目标掌握抛物线定义，明确焦点和准线的意义；掌握抛物线标准方程；会推导抛物线标准方程，掌握Ｐ的几何意义，掌握开口向右的抛物线的标准方程的数形特点，并会简单的应用。
2.能力目标通过抛物线概念和标准方程的学习，培养学生分析、抽象和概括等逻辑思维能力，提高适当建立坐标系的能力，提高数形结合和转换能力。
3.情感目标通过学生们寻找生活中与抛物线有关的物体和形象，加强知识与实际的联系，增强学生的学习兴趣。
三．教材的重点和难点掌握抛物线的定义及标准方程，进一步熟悉解析法的应用，会根据抛物线的标准方程、准线方程、焦点坐标、图象四个条件中一个求其余条件是本节课的教学重点。
教学难点是用解析法求抛物线的标准方程，及坐标系的选取。
四．教学过程1、设置情境，引出课题（借助多媒体）先给出一段悉尼海港大桥的视频和中国一古一今两张抛物线形大桥图片，让学生体会世界的古代文明和现代化建设成就。
再给出一幅抛球画面。
抛球运动中球飞出的路径是什么曲线呢？问题一学生在学习了圆锥曲线中的椭圆后自然想到抛物线。
借此教师点明并板书课题：今天我们就来学习抛物线，研究一下《抛物线的定义和标准方程》。
2．实验探索，归纳定义为了加深对抛物线直观形象的认识，教师操纵微机，展示多媒体课件，顺序显示下列图形:1)一条直尺和沿直尺一侧的一定直线Ｌ；2)一个直角三角板并把其一直角边紧靠在直尺的一侧（即定直线Ｌ上）；3)取一段细线一段固定在直角三角板另一条直角边上，把细线紧靠在直尺直角三角板一条直角边上，截取一段使其恰好等于到直尺一侧（即定直线Ｌ）的距离；4)再取定直线L 外一个定点F ，把细线的另一端固定在这个定点F 上，取一支铅笔P 靠在三角板的直角边上并使细线扯紧；5）让直角三角板一条直角边紧靠在直尺的一侧（即定直线Ｌ上），上下移动时铅笔P 就画出一段曲线-------抛物线。
《抛物线及其标准方程》教案(公开课
《抛物线及其标准方程》教案(公开课《抛物线及其标准方程》教案(公开课)一、教学内容本节课的内容选自高中数学教材选修22第三章第一节，主要讲述抛物线的定义及其标准方程。
具体内容包括：1. 抛物线的定义及其简单性质；2. 抛物线的标准方程推导；3. 抛物线标准方程的应用。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的简单性质；2. 学会推导抛物线的标准方程，并能应用于实际问题；3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、标准方程及其应用。
难点：抛物线标准方程的推导过程，以及在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、投影仪、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示实际生活中的抛物线实例，如抛物线运动轨迹、拱桥等，引导学生观察并思考抛物线的特点。
2. 抛物线的定义及性质（2）讲解抛物线的性质，如对称性、顶点等。
3. 抛物线标准方程的推导（1）教师引导学生通过实际例题，推导出抛物线的标准方程；（2）讲解抛物线标准方程的推导过程，强调理解推导方法。
4. 例题讲解选取典型例题，讲解抛物线标准方程的应用，引导学生学会解决实际问题。
5. 随堂练习设计具有代表性的练习题，让学生巩固所学知识，及时发现问题并解答。
6. 小结六、板书设计1. 抛物线的定义；2. 抛物线的性质；3. 抛物线标准方程的推导过程；4. 典型例题及解题步骤。
七、作业设计1. 作业题目：（1）已知抛物线y^2=8x的焦点为F（2，0），求该抛物线的准线方程；（2）已知抛物线y=2x^2的焦点为F（0，1/8），求该抛物线的标准方程。
2. 答案：（1）准线方程：x=2；（2）标准方程：x^2=1/8y。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对抛物线的定义和性质掌握较好，但在推导抛物线标准方程时，部分学生存在困难。
在今后的教学中，应加强此类问题的讲解和练习。
3.1 抛物线及其标准方程 一等奖创新教学设计
3.1 抛物线及其标准方程一等奖创新教学设计3.3.1 抛物线及其标准方程（第一课时）教学设计一教学内容1. 抛物线的定义，焦点、准线方程的定义。
2. 抛物线的标准方程的推导，四种不同标准方程形式的特点。
3. 抛物线的定义和标准方程的简单应用。
二教学目标1.理解抛物线的定义，焦点、准线方程的定义。
2.掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解求曲线方程的方法。
3.能够根据已知条件写出抛物线的标准方程，焦点坐标、准线方程。
4.提升学生数学抽象，直观想象，数学建模，数学运算的核心素养。
三教学重点及难点重点：抛物线的定义、抛物线的标准方程的推导，四种标准方程形式的特点难点：根据已知条件写出抛物线的标准方程，焦点坐标、准线方程，定义的简单应用四教学过程设计问题1：通过前面的学习，我们可以发现平面内：设动点M到定点F的距离和到定直线（不过点F）的距离之比为，当01时动点M的轨迹为双曲线当=1时动点M的轨迹为？当=1时，即动点M到定点F的距离和到定直线的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？下面我们用网络画板来探究这个问题。
师生活动：教师引导学生学生回顾：动点M到定点F的距离与点M到定直线（不过点F）的距离之比为，当01时，点M的轨迹为双曲线，思考：当=1时，即动点M到定点F的距离和到定直线的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？设计意图：问题引入设置悬念，引发学生思考。
问题2：如图：F是定点，是不过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作MH垂直，线段FH的垂直平分线交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现M满足的几何条件吗？追问1：它的轨迹是什么形状？用网络画板作出动点M的轨迹师生活动：教师读题，让学生思考点M的几何特征，拖动点H，点M随之运动，学生观察，思考动点M满足什么几何条件？用动画展示点M的运动的轨迹，让学生观察是什么形状？进而引导学生得出抛物线的定义，以及注意：是不过点F。
设计意图：动态形象直观展示问题，提高学生的观察、思考、概括能力，进而提升学生的数学抽象素养。
《抛物线及其标准方程》教案
《抛物线及其标准方程》教案《抛物线及其标准方程》教案教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。
下面是小编整理的《抛物线及其标准方程》教案，欢迎大家分享。
《抛物线及其标准方程》教案篇1一、目标1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。
并进一步感受坐标法及数形结合的思想二、重点抛物线的定义及标准方程三、教学难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、教学过程（一）复习旧知在初中，我们学习过了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线。
例如：（1），（2）的图象（展示两个函数图象）：（二）讲授新课1.课题引入在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。
到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容.（板书：课题2.4.1抛物线及其标准方程）2.抛物线的定义信息技术应用（课堂中展示画图过程）先看一个实验：如图：点F是定点，是不经过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线交MH于点M。
拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有MH=MF,即点M 与定点F和定直线的距离相等。
（也可以用几何画板度量MH，MF的值）（定义引入）：我们把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。
抛物线教案
抛物线的定义与标准方程一．教学目标知识目标： 1.掌握抛物线定义及其标准方程，2.熟练掌握抛物线的四种标准方程、焦点坐标、准线方程间的相互关系.能力目标：1.训练学生的运算能力，2.培养学生的数形结合思想、分类讨论思想.情感目标： 1.学习用联系、对比的观点看问题，2.通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育.二．教学重点抛物线定义及抛物线的四种标准方程三.教学难点1.抛物线的标准方程的推导2.把握抛物线的四种标准方程、图象、焦点坐标、准线方程间的联系四．教学方法讲授法，练习法五．教学用具多媒体课件，希沃白板，网络视频六．授课课型：新授课七．教学过程（一）创设情景导入新课1.感受生活中的抛物线2. 简单实验如图，把一根直尺固定在图板内直线l的位置，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘．再把一条绳子的一端固定于三角板的另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F ；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔描出一条曲线．问题1：笔尖(设为动点M )在运动过程中满足的条件是什么？ 提示：|MC |＝|MF |.问题2：|MC |是点M 到直线l 的距离吗？ 提示：因为AC ⊥l ，所以|MC |是M 到l 的距离．问题3：此曲线是否为椭圆或一支双曲线？如果不是，猜想它是什么？ 提示：不是椭圆，也不是一支双曲线，而是抛物线（二）动脑思考 探索新知1.抛物线的定义在平面内,与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹(或集合)叫抛物线.定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫抛物线的准线.2.抛物线标准方程的推导2)2(),(.202),0(,,22px d y p x MF d MF d l M y x M p x l p F p p KF KF K l F x xoy +=+-==-=〉= ，则的距离为到点是抛物线上任意一点，设点的方程为），准线，的坐标为（那么焦点设的中点重合并使原点与线段，垂足为且垂直与直线轴经过点使如图，建立直角坐标系 20,2)0(2)0(22)2(2222px p p px y p px y p x y p x -=〉=〉=+=+-），它的准线方程是坐标是（在轴的正半轴上，。
抛物线的定义及其标准方程教案
圆锥曲线教案抛物线的定义及其标准方程教案教学目标1．使学生理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程，并能初步利用它们解决有关问题．2．通过教学，培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等合情推理的方法，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力，既教猜想，又教证明．3．培养学生运用数形结合的数学思想理解有关问题．教学重点与难点抛物线标准方程的推导及有关应用既是教学重点，又是难点．教学过程师：请同学们回忆椭圆和双曲线的第二定义．生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨道，当e <1时，是椭圆，当e>1时，是双曲线.(计算机演示动画——图2-45)(1)不妨设定点F到定直线l的距离为p.(2)通过提问，让学生思考随着e的变化曲线的形状的变化规律.同时演示动画，让学生充分体会这种变化规律，为学生猜测e=1时曲线形状奠定基础.师：那么，当e=1时，轨迹的位置和形状是怎样的？大胆地猜一猜！（可请学生直接画出自己想象中曲线的形状，并利用投影展示．）师：同学的猜测对不对呢？请同学看屏幕．（图2-46）距离MF=£.44cm图2-46我们利用电脑精确地计算展示到定点F的距离和它到定直线距离的比为1 的点的轨迹．师：你见过这种曲线吗？（抛物线）这就是我们这节课主要的研究对象．（师板书课题——抛物线的定义及其标准方程）师：能否给抛物线下个定义？生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是1的点的轨迹叫抛物线．师：换句话说，就是与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.（投影）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.师：它的方程是什么样子呢？我们可以预先做一个估计．如图2-47（1）,椭圆的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：如图2-47(2),双曲线的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为:在方程中都仅有x、y的二次项.当e=1时，图形变成了开口的一支，从而丧失了关于y轴和原点的对称性，那么方程将会发生怎样的变化？生：在方程中，一定会失去X2项，而且会出现x的一次项，(否则方程变成y2=b2,它表示直线.)所以方程应为Ay2+Bx+C=0的形式.师：同学的猜测对不对呢？可否从理论上给予说明？生：建立直角坐标系．师：如何建立？学生甲：取经过定点F且垂直于定直线l的直线为x轴，设x轴与l相交于点K,以线段KF的垂直平分线为y轴，设所求轨迹上一点坐标为M(x, y).师：点M满足什么条件？生：到定点F的距离和到定直线l的距离的比是1.师：这些条件能否转化成点M的坐标所满足的条件？生：由于|KF|=p,故点F的坐标为：吟⑼，直线1的方程为：x由条件可得:请同学化简上式，并通过投影展示演算过程，得：y年2px. (1)师：显然符合预想的形式．这个方程就叫作抛物线的标准方程．在你以往的学习过程中，是否见到过类似这种形式的方程？生：二次函数的表达式.师：若将x与y换个位置，它就是缺少一次项和常数项的二次函数，而曲线的形状也与抛物线完全一致.师：由于抛物线开口方向的不同，共有4种不同情况.(计算机演示——图2-48)师：请同学们写出其它3种情况下的标准方程、焦点坐标及准线方程，并说明理由.观察图形，分辨这些图有何相同点和不同点.生：共同点有：①原点在抛物线上.②对称轴为坐标轴.③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的四分之一.不同点：①抛物线的焦点在x轴上时，方程左端是y2,右端是2px；当抛物线的焦点在y轴上时，方程左端是X2,右端是2py.②开口方向与x轴（y轴）正半轴同向时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程右端取正号.开口方向与x轴（y轴）负半轴同向时，焦点在x轴（y轴）的负半轴上，方程右端取负号．师：作为应用，请同学们看下面的例题．（展示投影）例1 （1）已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0, -2）,求它的标准方程.⑴解根据题意可得：2p = 6,故p = 3,所以焦点坐标为;，0）, 准线方程为笈=-1（2）分析要求抛物线的标准方程，需①确定焦点在y轴的负半轴上，②求出p值.解因为焦点在y轴的负半轴上，并且£ = 2, p = 所以它的标准方程是：x2 = -8y.例2 经过抛物线的焦点F,作一条直线垂直于x轴，和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1, y2.求y1・y2的值.（计算机演示图形——图2-49）师：首先弄清题意——条件有哪些？求什么？如何求？生：已知力，巴是交点的纵坐标，要求yj%,可将笈=葭代入方程（师板书）解将乂 = ^代入抛物线方程得交点的纵坐标分别为“和p故 y 1 • y 2=-P 2.师：还有其他办法吗？可否根据抛物线的定义？生：如图2-50,根据抛物线的定义，|AF| = |BF| = |AM|=p,故y 1 • y 2师：由于缺少垂直的条件，上例中的方法均不适用了．怎样求交点坐标？生：只需求直线方程与抛物线方程的公共解．师：如何建立直线方程？生：利用点斜式．（请同学自行写出解题过程，并利用投影仪展示解题过程．）解设直线方程为：7 = 1＜笈-乡.与抛物线方程联立，消去x 可得:y 2 -忆-R* =o ，故：Vi # 72 = -P 2- -p 2．引申1：上例中若缺少“垂直于x 轴”的条件，结果怎样?（计算机演示动画——图2-51）Ab图 2-50引申2：以AB为直径的圆和准线具有怎样的位置关系?(计算机演示动画——图2-52)图2-52学生乙：以AB为直径的圆和准线相切.师：能否给予证明？这作为思考题，请同学们课下完成．师：请同学小结这节课的内容．(抛物线的定义；p的几何意义；标准方程的4种形式.)作业：课本第98页习题八：1，2．设计说明1．关于教学过程(1)由于抛物线的定义是本章的主要内容之一，因而将它作为教学目标之一．(2)MM教学方式在课堂教学中十分重视的一个方面就是合情推理方法的运用，逻辑思维能力的提高以及良好个性品质的培养．这对于提高学生的一般科学素养，形成和发展他们的数学品质，必将起着十分重要的作用，因而制定了目标2．(3)按照大纲的要求，在教学中培养学生运用数学思想方法解决有关问题，据此制定了目标3．2．关于教学重点为实现教学目标，把充分展现抛物线的定义及标准方程的探索、发现、推理的思维过程和知识形成的过程作为本节课的重点．3．关于教学方法按照MM教学方式“学习、教学、研究同步协调原则”和“二主方针”，运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，提高能力、增长才干，采用启发式．4．关于教学手段利用计算机辅助教学，演示图形的动态变化过程，弥补传统教学手段(如投影片、模型等)的不足之处．(1)在新课引入部分，通过动画演示，使学生充分理解并且掌握3种圆锥曲线的统一定义，以及曲线形状变化与常数e的大小之间的关系.(2)在抛物线定义的引入部分，利用电脑精确测算“两个距离”，以及动点 M 的任意选取，充分展示了满足条件的点的轨迹，避免了传统教学中此处的生硬与牵强．(3)在例2及引申中也采用动画演示，弥补了投影片无法实现的动态效果．5．关于教学过程(1)复习内容的确定，旨在通过联想，为运用类比方法探索抛物线的定义奠定基础．(2)通过引导学生观察椭圆、双曲线图形的变化规律，类比、联想、进而猜想出e=1时轨迹形状是抛物线，然后进行推理证明.即通过既教猜想、又教证明这一MM可控变量的操作，旨在揭示科学实验的规律，从而暴露知识的形成过程，体现科学发现的本质，培养学生合理推理能力、逻辑推理能力、科学的思维方式、实事求是的科学态度及勇于探索的精神等个性品质．(3)学以致用是教学的主要目标之一，在例题求解过程中，运用波利亚一般解题方法，培养学生合理的思考问题，清楚地表达思想和有条不紊的工作习惯．(4)让学生小结，充分发挥学生的主观能动性，提高学生分析、概括、综合、抽象能力．。
高中数学教案 第7讲 抛物线
第7讲抛物线1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解抛物线的简单应用.1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和几何性质1.y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为(a4，0)，准线方程为x＝－a 4 .2.过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点O(0，0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A，B.则直线AB过定点M(2p，0)；反之，若过点M(2p，0)的直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于两点A，B，则必有OA⊥OB.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.()(3)过抛物线的焦点垂直于对称轴的弦，是抛物线过焦点最短的弦.()(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，其焦点坐标是x＝－a4.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2.回源教材(1)抛物线y2＝10x的焦点到准线的距离是.解析：抛物线的方程为y2＝10x，则p＝5，所以抛物线y2＝10x的焦点到准线的距离是5.答案：5(2)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程为.解析：当抛物线的焦点在x轴上时，设其方程为y2＝mx，又过点P(－2，3)，则9＝－2m，得m＝－9 2，故抛物线方程为y2＝－92 x，当抛物线的焦点在y轴上时，设其方程为x2＝ny，又过点P(－2，3)，则4＝3n，得n＝43，故抛物线方程为x2＝4 3 y.答案：y 2＝－92x 或x 2＝43y(3)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A 为抛物线C 上一点，若|AF |＝3，则点A 的横坐标为.解析：设A (m ，n )，由抛物线的方程可知p ＝2，由抛物线的定义可知，|AF |＝m ＋p2＝m ＋1＝3，所以m ＝2.答案：2抛物线的方程与几何性质例1(1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD ⊥l ，交l 于D .若|AF |＝4，∠DAF ＝60°，则抛物线C 的方程为.解析：根据抛物线的定义可得|AD |＝|AF |＝4，又∠DAF ＝60°，所以|AD |－p ＝|AF |cos 60°＝12|AF |，所以4－p ＝2，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为.解析：法一：由题易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF＝tan ∠PQF ，所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p2p ＝p 6，解得p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32.法二：由题意得|OF |＝p 2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.答案：x ＝－32反思感悟1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.训练1(1)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A.y 2＝9xB.y 2＝6xC.y 2＝3xD.y 2＝3x解析：C如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由抛物线定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1，|FC |＝3a ＝3，所以p ＝|FG |＝12|FC |＝32，因此抛物线的方程为y 2＝3x ，故选C.(2)已知F 是抛物线y 2＝16x 的焦点，M 是抛物线上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若3FM→＝2MN →，则|FN |＝.解析：易知焦点F 的坐标为(4，0)，准线l 的方程为x ＝－4，如图，抛物线准线与x 轴的交点为A ，作MB ⊥l 于点B ，NC ⊥l 于点C ，AF ∥MB ∥NC ，则|MN ||NF |＝|BM |－|CN ||OF |，由3FM→＝2MN →，得|MN ||NF |＝35，又|CN |＝4，|OF |＝4，所以|BM |－44＝35，|BM |＝325，|MF |＝|BM |＝325，|MF ||NF |＝25，所以|FN |＝16.答案：16抛物线的定义及应用求轨迹方程例2(2024·福州质检)在平面直角坐标系Oxy 中，动点P (x ，y )到直线x ＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P 的轨迹方程为()A.y 2＝2xB.y 2＝4xC.y 2＝－4xD.y 2＝－8x解析：D 由题意知动点P (x ，y )到直线x ＝2的距离与到定点(－2，0)的距离相等，由抛物线的定义知，P 的轨迹是以(－2，0)为焦点，x ＝2为准线的抛物线，所以p ＝4，轨迹方程为y 2＝－8x .最值问题例3若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为.解析：如图，∵y 2＝－4x ，∴p ＝2，焦点坐标为(－1，0).依题意可知当A ，P及P 到准线的垂足Q 三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，故点P 的纵坐标为1.将y ＝1代入抛物线方程求得x ＝－14，则点P 的坐标为(－14，1).答案：(－14，1)反思感悟与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.训练2(1)已知抛物线y ＝mx 2(m ＞0)上的点(x 0，2)到该抛物线焦点F 的距离为114，则m 等于()A.4B.3C.14D.13解析：D 由题意知，抛物线y ＝mx 2(m ＞0)的准线方程为y ＝－14m，根据抛物线的定义，可得点(x 0，2)到焦点F 的距离等于到准线y ＝－14m的距离，可得2＋14m ＝114，解得m ＝13(2)若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是()A.2B.135C.145D.3解析：A由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.抛物线的综合问题例4已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；(2)若AP→＝3PB→，求|AB|.解：设直线l的方程为y＝32x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由题设得F(34，0)，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋3 2 .又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝5 2 .＝32x＋t，2＝3x，可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，其中Δ＝144(1－2t)＞0，则x1＋x2＝－12（t－1）9，从而－12（t－1）9＝52，得t＝－78(满足Δ＞0)，所以l的方程为y＝32x－78.(2)由AP→＝3PB→，可得y1＝－3y2.＝32x ＋t ，2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0，其中Δ＝4－8t ＞0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.所以A (3，3)，B (13，－1)，故|AB |＝4133.反思感悟1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.训练3过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上存在点M (－2，y 0)，使得MA ⊥MB ，求直线l 的方程.解：(1)抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的准线方程为y ＝－p 2，焦点为F (0，p2).∵当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2，∴1＋p2＝2，解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)∵点M (－2，y 0)在抛物线C 上，∴y 0＝（－2）24＝1.又F (0，1)，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.＝kx ＋1，2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，MA →＝(x 1＋2，y 1－1)，MB →＝(x 2＋2，y 2－1).∵MA ⊥MB ，∴MA→·MB →＝0，∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，∴－4＋8k ＋4－4k 2＝0，解得k ＝2或k ＝0.当k ＝0时，l 过点M ，舍去，∴k ＝2，∴直线l 的方程为y ＝2x ＋1.限时规范训练(六十三)A 级基础落实练1.(2023·临汾第一次适应性训练)已知抛物线C 的焦点F 关于其准线对称的点为(0，－9)，则C 的方程为()A.x 2＝6yB.x 2＝12yC.x 2＝18yD.x 2＝36y解析：B由题可知，抛物线C 开口向上，设C 的方程为x 2＝2py (p ＞0)，则抛物线C 的焦点坐标为(0，p 2)，准线方程为y ＝－p 2，所以p2＋（－9）2＝－p 2，解得p ＝6，所以C 的方程为x 2＝12y ，故选B.2.(2024·昆明一中月考)过抛物线y 2＝8x 的焦点的直线l 与抛物线相交于M ，N 两点.若M ，N 两点到直线x ＝－3的距离之和等于11，则这样的直线l ()A.不存在B.有且仅有一条C.有且仅有两条D.有无穷多条解析：C由题意知M ，N 两点到准线x ＝－2的距离之和等于9，由抛物线定义得|MN |＝9.又抛物线y 2＝8x 的通径长为2p ＝8＜|MN |＝9根据过焦点的弦的对称性知，这样的弦有且仅有两条，故选C.3.(2024·榆林模拟)如图①，某建筑物的屋顶像抛物线，若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成如图②所示的抛物线C ：x 2＝－2py (p ＞0)的一部分，P为抛物线C上一点，F为抛物线C的焦点.若∠OFP＝120°，且|OP|＝212，则p＝()图①图②A.1B.2C.3D.4解析：A由题意知F(0，－p2)，设|PF|＝2a，则P(3a，－p2－a)，由抛物线的几何性质知p2＋a＋p2＝2a，则a＝p，所以P(3p，－3p 2 )，所以|OP|＝3p2＋94p2＝212，解得p＝1.故选A.4.(2024·河南十所名校第四次阶段测试)已知A为抛物线C：y2＝4x上在第一象限内的一个动点，M(－1，0)，O为坐标原点，F为C的焦点.若tan∠AMO＝22 3，则直线AF斜率的绝对值为()A.322B.22C.1 3D.4 3解析：B设A(y214，y1)，则tan∠AMO＝k AM＝y1－0y214＋1＝223，解得y1＝2或y1＝22，则有A(12，2)或A(2，22).又F(1，0)，所以k AF＝2－012－1＝－22或k AF＝22－02－1＝22，所以|k AF|＝22，故选B.5.(2024·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于()A.3B.4C.4 3D.7 3解析：B过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示，因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN＝60°，由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM为等边三角形，则∠FNM＝60°，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF ＝30°，易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.6.(多选)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F 且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是()A.p＝4B.抛物线方程为y2＝16xC.直线l的方程为y＝2x－4D.|AB|＝10解析：ACD由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；则抛物线的方程为y2＝8x，焦点F(2，0)，故B错误；则y21＝8x1，y22＝8x2，若M(m，2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，∴y21－y22＝8x1－8x2，即y1－y2x1－x2＝8y1＋y2＝84＝2，∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确.7.(2023·全国乙卷)已知点A(1，5)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为.解析：将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－54，所以A到准线的距离为1－(－54)＝94.答案：9 48.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为.解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案：y2＝4x9.(2024·武汉检测)抛物线y2＝2x上两点A，B与坐标原点O构成等边三角形的三个顶点，则该三角形的边长为.解析：由抛物线的对称性知，要使△OAB为等边三角形，则AB⊥x轴.设该三角形的边长为a，不妨取A(32a，12a).代入抛物线方程，得(12a)2＝2×32a，解得a＝43.答案：4310.已知F为抛物线C：x2＝12y的焦点，直线l：y＝kx＋4与C相交于A，B 两点.(1)O为坐标原点，求OA→·OB→；(2)M 为C 上一点，F 为△ABM 的重心(三边中线的交点)，求k .解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将l 的方程代入C 得，x 2－12kx －48＝0，所以x 1＋x 2＝12k ，x 1x 2＝－48，y 1y 2＝（x 1x 2）2122＝16，从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－32.(2)依题意得F (0，3)，设M (x 3，y 3)，因为F 为△ABM 的重心，所以x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝9，从而x 3＝－(x 1＋x 2)＝－12k ，y 3＝9－(y 1＋y 2)＝9－x 21＋x 2212＝9－（x 1＋x 2）2－2x 1x 212＝1－12k 2.因为M (x 3，y 3)在抛物线C 上，所以(－12k )2＝12(1－12k 2)，即k 2＝124.故k ＝612或k ＝－612.11.已知F 为抛物线T ：x 2＝4y 的焦点，直线l ：y ＝kx ＋2与T 相交于A ，B 两点.(1)若k ＝1，求|FA |＋|FB |的值；(2)点C (－3，－2)，若∠CF A ＝∠CFB ，求直线l 的方程.解：由已知可得F (0，1)，设A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，＝kx ＋2，2＝4y ，得x 2－4kx －8＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，①x 1x 2＝－8.②(1)|F A |＋|FB |＝x 214＋1＋x 224＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 24＋2.当k ＝1时，由①②得|F A |＋|FB |＝10.(2)由题意可知F A →＝(x 1，x 214－1)，FB →＝(x 2，x 224－1)，FC →＝(－3，－3).由∠CF A ＝∠CFB ，得cos 〈FA →，FC →〉＝cos 〈FB →，FC →〉，即FA→·FC →|FA →||FC →|＝FB →·FC →|FB →||FC →|又|FA |＝x 214＋1，|FB |＝x 224＋1，所以由FA→·FC →|FA →||FC →|＝FB →·FC →|FB →||FC →|所以－3x 1－3（x 214－1）32（x 214＋1）＝－3x 2－3（x 224－1）32（x 224＋1），可得4＋2(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0，即4＋8k ＋8＝0.解得k ＝－32，所以所求直线l 的方程为3x ＋2y －4＝0.B 级能力提升练12.已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点.过抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点B 作直线y ＝－2的垂线，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为()A.8B.2C.－1D.1解析：D 易知抛物线C 1的焦点为点(1，0)，所以其方程为y 2＝4x .2＝4x ，x －1）2＋y 2＝4，得A (1，2).易知抛物线C 2的焦点为F (0，2)，准线方程为y ＝－2，如图，连接BF ，则由抛物线的定义知|BM |＝|BF |.连接AF ，可得|BM |－|AB |＝|BF |－|AB |≤|AF |，当且仅当A ，B ，F 三点共线，且点B 在第一象限时，等号成立.故所求最大值为|AF |＝1.故选D.13.(多选)抛物线C ：y 2＝mx (m ＞0)的焦点为F (4，0)，直线l 经过点F ，交C 于A ，B 两点，交y 轴于点P ，若PB→＝2BF →，则()A.m ＝16B.点B 的坐标为(83，±463)C.|AB |＝503D.弦AB 的中点到y 轴的距离为133解析：ACD 抛物线C ：y 2＝mx (m >0)的焦点坐标为(m 4，0)，由题意可得m4＝4，解得m ＝16，∴A 选项正确.过B 作BB ′垂直于y 轴于点B ′，由PB→＝2BF →得|PB ||PF |＝|BB ′||OF |＝23，∴|BB ′|＝23|OF |＝83，∴点B 的横坐标为83，代入抛物线的方程，可得y 2＝16×83，∴y ＝±863，∴B 选项不正确.根据抛物线的对称性，不妨取B (83，－863)，则k AB ＝k BF ＝8634－83＝26，∴直线AB 的方程为y ＝26(x －4)，与抛物线的方程y 2＝16x 联立并消元，可得3x 2－26x ＋48＝0，设A (x 1，y 1)，则x 1＋83＝263，由抛物线焦点弦的性质可得|AB |＝x 1＋83＋162＝263＋8＝503，∴C 选项正确.∵AB 的中点的横坐标为x 1＋832＝133，∴AB 的中点到y 轴的距离为133，∴D 选项正确.故选ACD.14.已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.解：(1)证明：设D(t，－12)，A(x1，y1)，则x21＝2y1.因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故y1＋12x1－t＝x1，整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点(0，1 2 ).(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋12.＝tx＋12，＝x22，可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝1＋t2|x1－x2|＝1＋t2×（x1＋x2）2－4x1x2＝2(t2＋1).设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝t2＋1，d2＝2t2＋1.因此，四边形ADBE的面积S＝12|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3)t2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M (t ，t 2＋12).因为EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB→与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2.因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.。
《抛物线及其标准方程》教案(公开课
《抛物线及其标准方程》教案(公开课一、教学内容本节课选自高中数学选修22第三章《圆锥曲线与方程》第三节《抛物线及其标准方程》。
具体内容包括：1. 抛物线的定义及简单性质；2. 抛物线的标准方程推导；3. 抛物线的焦点、准线及几何图形的绘制。
二、教学目标1. 让学生掌握抛物线的定义及其标准方程；2. 使学生理解抛物线的焦点、准线等概念，并能运用它们解决相关问题；3. 培养学生的空间想象能力及逻辑思维能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：抛物线标准方程的推导及焦点、准线的理解；2. 教学重点：抛物线的定义及标准方程的掌握。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、量角器。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中常见的抛物线图形，如篮球抛投轨迹、拱桥等，引发学生对抛物线的兴趣，进而导入新课。
2. 知识讲解：（1）抛物线的定义：介绍抛物线的概念，引导学生思考抛物线的特点；（2）抛物线的标准方程推导：以焦点在y轴上的抛物线为例，引导学生通过探究、合作交流的方式推导出标准方程y^2=2px（p>0）；（3）抛物线的焦点、准线：讲解焦点、准线的定义，并引导学生通过实际操作，感受焦点、准线与抛物线的关系。
3. 例题讲解：选取具有代表性的例题，讲解解题思路和方法。
4. 随堂练习：设计难易适中的练习题，让学生巩固所学知识。
六、板书设计1. 定义：抛物线是平面内到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹；2. 标准方程：y^2=2px（p>0）；3. 例题解答步骤；4. 练习题及答案。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求抛物线y^2=8x的焦点、准线；（2）已知抛物线的焦点为（2，0），求该抛物线的标准方程；（3）已知抛物线的焦点为（0，3），求该抛物线的标准方程。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对抛物线的定义及标准方程掌握程度较好，但对焦点、准线的理解还需加强，今后教学中应增加实际操作环节，提高学生的理解程度；2. 拓展延伸：引导学生了解抛物线在其他学科领域的应用，如物理学中的抛体运动、天文学中的行星轨道等。
抛物线的标准方程教案
抛物线的标准方程教案教案：抛物线的标准方程一、教学目标：1. 理解抛物线的标准方程的含义；2. 掌握抛物线的标准方程的推导方法；3. 能够根据已知的条件，列出抛物线的标准方程。
二、教学内容：1. 抛物线的定义和性质；2. 抛物线的标准方程的推导；3. 抛物线的标准方程的应用。
三、教学步骤：1. 引入：通过问答的方式引出抛物线的概念和性质。
示例问题：什么是抛物线？抛物线有哪些性质？2. 推导抛物线的标准方程：（1）将抛物线的焦点设为F，准线设为L；（2）设抛物线上一点P(x, y)，到焦点F的距离为PF，到准线L的距离为PM；（3）根据焦准定理可知，PF = PM；（4）根据距离公式可知，PF = √((x-a)² + (y-b)²) ，PM = x + c；（5）对比PF和PM的表达式，得到抛物线的标准方程为：(x-a)² = 4p(y-b) ，其中 p = -c/2。
3. 求解抛物线的标准方程：（1）已知顶点坐标和焦点坐标，求解抛物线的标准方程；（2）已知顶点坐标和准线方程，求解抛物线的标准方程。
4. 练习和应用：（1）通过练习题巩固学生对抛物线标准方程的理解和掌握程度；（2）应用抛物线标准方程解决实际问题，如抛物线轨迹的确定等。
四、课堂互动：1. 利用白板或幻灯片，展示抛物线的图形，并引导学生观察抛物线的形状和特点。
2. 设计互动问题，让学生进行探讨和回答。
如：已知抛物线顶点为(2, 3)，焦点为(-1, 0)，求解抛物线的标准方程。
五、教学总结：1. 回顾抛物线的定义和性质；2. 概括抛物线的标准方程的推导过程；3. 总结抛物线的标准方程的应用场景。
六、作业布置：1. 完成课堂上的习题；2. 提供一个实际问题，要求学生列出抛物线的标准方程，并解答问题。
七、板书设计：抛物线的标准方程：(x-a)² = 4p(y-b)注：a, b为抛物线的顶点坐标，p为焦点到准线的距离。
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§2.3.1 抛物线及其标准方程
一.学习目标
1、类比椭圆、双曲线知识，经历从具体情境中抽象出抛物线模型。
2、掌握抛物线的定义、四种标准方程、几何图形及简单性质。
教学重点：物线的定义、四种标准方程、几何图形及简单性质。
教学难点：四种标准方程、几何图形及简单性质的运用。
二. 旧知温习
1. 二次函数的图像为_______________；
2. 求椭圆、双曲线的标准方程建立坐标系的过程.
三.自主学习
1.阅读教材P 56-59.
2.知识梳理并填空：
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的 距离 的点的轨迹叫做抛物线． 点F 叫做抛物线的 ；直线l 叫做抛物线的 ．
(2)抛物线的标准方程:定点F 到定直线l 的距离为p （0p >）． 建立适当的坐标系，得到开口向右的抛物线的标准形式： 图形
四.合作探究
例.已知抛物线标准方程是x y 62=，求它的焦点坐标、准线方程
练习:已知抛物线标准方程是26y x =，求它的焦点坐标、准线方程
五、课堂小结（可引导学生归纳总结本堂课学习的知识、方法和易错处）。