高考数学 第七章 第八节直线的方向向量、直线与平面的

【即时应用】 (1)思考：①如何确定直线的方向向量？ ②在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有 两个方程，如何求法向量？ ③直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？
提示:①在直线上任取两点，由这两点确定的向量即可作为直线 的方向向量. ②给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即 可作为法向量的坐标. ③不唯一，凡是在直线l上的非零向量或与l平行的非零向量都 可以作为直线的方向向量，凡是与平面垂直的非零向量都可以 作为平面的法向量.
第八节 直线的方向向量、直线与 平面的垂直关系、平面的 法向量、共面与平行
1.直线的方向向量、直线与平面的垂直关系、平面的法向量
(1)直线的方向向量 在直线l上任取两个不同的点A，B，称_Au_uB_ur_(或__Bu_uAu_r_) 为直线l的方 向向量.
一般地，如果向量__υ___0与直线l_平__行__，就称 υ 为l 的方向向量.
∴AB∥CD.
答案:(1)a∥b或a与b重合
(2)l∥α或l⊂α
(3)AB∥CD
热点考向 1 利用空间向量证平行
【方法点睛】
用向量证平行的方法
线线平行 证明两直线的方向向量共线.
(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂
线面平行
直； (2)证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向
量平行.
面面平行
(2)直线与平面的垂直关系 ①直线与平面垂直的定义 如果一条直线l与一个平面α相交，并且垂直于平面α内_所__有__ _的__直__线__，就称直线l与平面α垂直，记作l⊥α. ②直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线垂直于一个平面内_两__条__相__交__直线,那么这条直线 就与这个平面垂直.
(2)若A(0,2, 19 ),B(1,-1, 5 ),C(-2,1, 5 )是平面α内的三
8
8
8
点，设平面α的法向量n=(x,y,z)，则x∶y∶z=_______.
【解析】AuuBur
(1，
3，
7
uuur )，AC
(
2，1，
7
)，
4
4
由 n·AuuBur x 3y 得74 z 0
n·AuuCur
(1)证明两平面的法向量为共线向量； (2)转化为线面平行、线线平行问题.
【提醒】用向量证明平行问题时，要注意解题的规范性.如证明 线面平行时，仍需要表明一条直线在平面内、另一条直线在平面 外.
【例1】(1)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使 l∥α的是( ) (A)a=(1,0,0)，n=(-2,0,0) (B)a=(1,3,5)，n=(1,0,1) (C)a=(0,2,1)，n=(-1,0,-1) (D)a=(1,-1,3)，n=(0,3,1)
【解析】(1)∵a=(1,-1,2),b=(-2,2,-4), ∴b=-2a, ∴a与b共线，即a∥b或a与b重合. (2)∵a·b=0,∴a⊥b, ∴l∥α或l⊂α.
(3)∵ Auu=Bur(-3，-3，3)， Cu=uDu(r1，1，-1)，
∴
uuur uuur AB 3CD，
∴ Auu与Bur 共CuuDu线r ，又 与AuuBur没有Cuu公Dur 共点.
(2)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， M，N分别是C1C， B1C1的中点， 求证：MN∥平面A1BD.
【解题指南】(1)验证a·n=0是否成立即可. (2)建立空间直角坐标系，由向量共线得线线平行，从而得出线 面平行. 【规范解答】(1)选D.若l∥α，则a·n=0.经验证知，D满足条件.
(3)利用法向量判定共面与平行 设n是平面α的一个法向量，υ 是直线l的方向向量,则 υ ⊥n ⇔_l_∥__α__或__l⊂__α__. Байду номын сангаас果 υ n 且l上至少有一点A∈α,则_l_⊂_α__； 如果 υ n 且l上至少有一点A α，则_l_∥__α__.
【即时应用】 (1)若直线a,b的方向向量分别为a=(1,-1,2),b=(-2,2,-4),则 直线a与b的位置关系是________. (2)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b=0, 则直线l与平面α的位置关系是_______. (3)空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(-2，-1，6)，C(3， 2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是_________.
2x
y
7 4
z
0
x z
2 3
y .
4y 3
所以x∶y∶z= 2y∶y∶( y4)=2∶3∶(-4).
3
3
答案:2∶3∶(-4)
(3)若平面α,β的法向量分别为a=(-1,2,4)，b=(x,-1,-2), 并且α⊥β，则x的值为_______. 【解析】由α⊥β得a·b=0，解得x=-10. 答案:-10
(3)平面的法向量
①向量与平面平行、垂直
如果有向线段AB所在的直线与平面α_平__行__，或者_A_B_在__平__面__α__
上，就称向量 AuuBur 与平面α平行.
如果有向线段AB所在的直线与平面α_垂__直__，就称向量
uuur AB
与平
面α垂直.
②平面的法向量
与平面α_垂__直__的_非__零__向量称为α的法向量.
(4)若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则 直线l1,l2的位置关系是________. 【解析】由a·b=2×(-6)+4×9+(-4)×6=0 得a⊥b，从而l1⊥l2. 答案:l1⊥l2
2.共面与平行 (1)图形共面 如果若干个图形_在__同__一__个__平__面__内__，就称这些图形共面. (2)设n是平面ABC的任意一个法向量，则A,B,C,D共面⇔直线AD 在平面ABC内⇔_Au_uDu_r __n_.
③射影 (ⅰ)过空间任意一点P作平面α的垂线与α相交于点P0,则P0称为 点P在平面α内的射影. (ⅱ)预先给定平面α，空间任何一个图形的每一个点P在平面α 上都有一个射影P0，所有这些P0在平面α上组成一个图形，称为 这个空间图形在平面α上的射影.
④三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么它也和_这__条__斜__线__垂直. ⑤三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那 么它也和_这__条__斜__线__在__平__面__内__的__射__影__垂直.