文科数学高考冲刺练习大题(10套.含答案)

文科数学大题冲刺练习（一）
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（17）(本小题满分12分)等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=
（I ）求{n a }的通项公式；
(II)设][}{b n n a =，求数列{n b }的前10项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2 【解析】(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5
a d ==
， 所以{}n a 的通项公式为23
5
n n a +=. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
， 当n=1,2,3时，23
12,15n n b +≤
<=； 当n=4,5时，23
23,25n n b +≤<=；
当n=6,7,8时，23
34,35n n b +≤<=；
当n=9,10时，23
45,45
n n b +≤<=，
数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.
（18）(本小题满分12分)某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。

求P(A)的估计值； (II)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”. 求P(B)的估计值；
（III ）求续保人本年度的平均保费估计值.
6050
0.55200
+=， 故P(A)的估计值为0.55.
（Ⅱ）事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为
3030
0.3200
+=，故P(B)的估计值为0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为： 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查200名续保人的平均保费为
0.850.300.25 1.250.15 1.50.15 1.750.3020.10 1.1925a a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.
（19）（本小题满分12分） 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，AE=CF ，EF 交BD 于点H ，将DEF 沿EF 折到'D EF 的位置.
（I ）证明：'AC HD ⊥； (II)若5
5,6,,'224
AB AC AE OD ===
=,求五棱锥'ABCEF D -体积.
【解析】.（I ）由已知得，,.⊥=AC BD AD CD ,又由=AE CF 得
=
AE CF
AD CD
，故//.AC EF 由此得,'⊥⊥EF HD EF HD ，所以//.'AC HD . （II ）由//EF AC 得
1
.4
==OH AE DO AD 由5,6==AB AC 得22 4.==-=DO BO AB AO
所以1, 3.'===OH D H DH
于是22222
(22)19,''+=+==OD OH D H 故.
'⊥OD OH
由（I ）知'⊥AC HD ，又,'⊥=AC BD BD
HD H ，
所以⊥AC 平面,'BHD 于是.'⊥AC OD 又由,'⊥=OD OH AC OH O ，所以，'⊥OD 平面.ABC
又由
=
EF DH AC DO 得9
.2
=EF 五边形ABCFE 的面积11969
683.2224
=⨯⨯-⨯⨯=S
所以五棱锥'ABCEF D -体积169342
=
⨯⨯=V （20）（本小题满分12分）已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.
（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； (II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 【解析】（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，
1
()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+
-f x x x x f x x x
，(1)2,(1)0.'=-=f f 曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=
（II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)
ln 0.1
--
>+a x x x 令(1)
()ln 1
-=-
+a x g x x x ，则 222
122(1)1
(),(1)0(1)(1)
+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ， （i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，2
2
2(1)1210+-+≥-+>x a x x x ，故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ；
（ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得
1211=-=-x a x a ，
由21>x 和121=x x 得11<x ，故当2(1,)∈x x 时，()0'<g x ，()g x 在2(1,)∈x x 单调递减，因此()0<g x . 综上，a 的取值范围是(],2.
-∞
（21）（本小题满分12分）已知A 是椭圆E ：22
143
x y +
=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.
（I ）当AM AN =时，求AMN 的面积
(II)当2AM AN =2k <<. 【解析】（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4
π
， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.
将2x y =-代入22
143x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y =
，所以1127
y =. 因此AMN ∆的面积11212144
227749
AMN S ∆=⨯⨯⨯=
. （2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22
143x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.
由2121612(2)34k x k -⋅-=+得212
2(34)34k x k -=+，故1||2|AM x =+=.
由题设，直线AN 的方程为1
(2)y x k
=-+，故同理可得2
12||43AN k =+. 由2||||AM AN =得
22
23443k
k k
=++，即3246380k k k -+-=. 设3
2
()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，2
2
'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥，
所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又260,(2)60f f =<=>，
因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在2)2k <<.
请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程： 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的参数方程是
cos sin x t α,
y
t α,
（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB ,求l 的斜率.
【解析】解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程2
12cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得
212cos 110.ρρα++=
于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=
12||||AB ρρ=-==
由||AB =
得2
3cos ,tan 8αα=
=±， 所以l
. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数1
1
()2
2
f x x
x
，M 为不等式()2f x 的解集.
（Ⅰ）求M ；
（Ⅱ）证明：当a ，b M 时，1a
b ab .
【解析】（I ）12,,21
1()1,,2
212,.2x x f x x x x ⎧
-≤-⎪⎪
⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩
当1
2
x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-；
文科数学大题冲刺练习（二）
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+. 设n
n a b n
=
. （1）求1b ，2b ，3b ；
（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式. 解析：（1）由条件可得12(1)
n n n a a n
++=
. 将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =. 将2n =代入得，323a a =，所以，312a =. 从而11b =，22b =，34b =.
（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列. 由条件可得121n n
a a n n +=
+，即12n n b b +=，又11b =，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列.
（3）由（2）可得
12n n
a n
-=，所以12n n a n -=⋅. 18．（本题满分12分）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒. 以AC 为折痕将ACM △折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥.
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2
3
BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积. 解析：（1）由已知可得，90BAC ∠=︒，BA AC ⊥.
又BA AD ⊥，所以AB ⊥平面ACD . 又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .
（2）由已知可得，3DC CM AB ===，32DA =. 又2
3
BP DQ DA ==
，所以22BP =. 作QE AC ⊥，垂足为E ，则QE
1
3
DC . 由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，1QE =. 因此，三棱锥Q ABP -的体积为
111
1322sin 451332Q ABP ABP V QE -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=△S .
19．（本题满分12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) [0.6，0.7) 频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0，0.1) [0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
频数
1
5
13
10
16
5
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.353
m 的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.）
解析：（1）
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.353m 的频率为
0.20.110.1 2.60.120.050.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.353m 的概率的估计值为0.48. （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
1
1
(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.48.50
x 该家庭使用了节水
龙头后50天日用水量的平均数为
2
1
(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35.50
x
估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m ).
20．（本题满分12分）设抛物线22C y x =：
，点(2,0)A ，(2,0)B -，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点. （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠.
解析：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，可得M 的坐标为(2,2)或(2,2)-. 所以直线BM 的方程为112y x =
+或1
12
y x =--.
（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以ABM ABN ∠=∠.
当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则120,0x x >>. 由2(2),2y k x y x
=-⎧⎨=⎩得2240ky y k --=，可知12122
,4y y y y k +==-.
直线BM ，BN 的斜率之和为
121222BM BN y y k k x x +=
+++211212122()
(2)(2)
x y x y y y x x +++=++. ①
将112y x k =
+，222y
x k =+及1212,y y y y +的表达式代入①式分子，可得 121221121224()2()y y k y y x y x y y y k +++++=
88
0k
-+==.
所以0k k +=，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠.
综上，ABM ABN ∠=∠.
21．（本题满分12分）已知函数()e ln 1x f x a x =--.
（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间；
（2）证明：当1
e
a ≥时，()0f x ≥.
解析：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1
()e x f x a x '=-.
由题设知，(2)0f '=，所以2
12e a =.
从而21()e ln 12e x f x x =
--，211()e 2e x f x x
'=-. 当02x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>. 所以()f x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增.
（2）当1
e
a ≥时，e ()ln 1e x f x x --≥.
设e ()ln 1e x
g x x =--，则e 1()e x g x x
'=-.
当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>. 所以1x =是()g x 的最小值点.
故当0x >时，()(1)0g x g =≥. 因此，当1
e
a ≥时，()0f x ≥.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）
在直角坐标系xO y 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.
（1）求2C 的直角坐标方程；
（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.
解析：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程 22(1)4x y ++=.
（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆.
由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线. 记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l . 由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点.
当
1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故4
3k =-或0k =. 经检验，
当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4
3
k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点.
当
2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或4
3
k =
. 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4
3
k =
时，2l 与2C 没有公共点.
综上，所求1C 的方程为4
||23y x =-+.
23．[选修4－5：不等式选讲]（本题满分10分）
已知()|1||1|f x x ax =+--.
（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值 解析：（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--， 即2,
1,
()2,
11,2, 1.
x f x x x x --⎧⎪
=-<<⎨⎪⎩
≤≥
故不等式()1f x >的解集为1
{|}2
x x >.
（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立.
若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以2
1a
≥，故02a <≤. 综上，a 的取值范围为(0,2].
文科数学大题冲刺练习（三）
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．
解析：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．
由a 1=–7得d =2．
所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．
18．（本题满分12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．
20002001200220032004200520062007200820092010201120122013201420152016年份200
406080
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5y
t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,
,7）建立模型②：ˆ9917.5y
t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 解析：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 y =99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
19．（（本题满分12分）如图，在三棱锥P ABC
-
中，AB BC
==
4
PA PB PC AC
====，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且2
MC MB
=，求点C到平面POM的距离．
解析：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP
=
连结OB．因为AB=BC
，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB
⊥AC，OB=1
2
AC=2．
由222
OP OB PB
+=知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC=1
2
AC=2，CM=
2
3
BC
∠ACB=45°．所以OM
，CH=
sin
OC MC ACB
OM
⋅⋅∠
所以点C到平面POM
．
．
20．（（本题满分12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，
||8AB =．
（1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解析：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．
由2(1)
4y k x y x
=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 2
16160k ∆=+=，故2122
24
k x x k ++=
． 所以2122
44
(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．
由题设知22
44
8k k
+=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．
（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为 2(3)y x -=--，即5y x =-+．
设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则
0022
000
5(1)(1)16.2
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，
解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为
22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．
21．（（本题满分12分）已知函数321()(1)3
f x x a x x =-++．
（1）若3a =，求()f x 的单调区间；
（2）证明：()f x 只有一个零点． 解析：（1）当a =3时，3333
1)(23
---=
x x x x f ，36)(2--='x x x f ．
令f ′（x ）=0解得x =3-x =3+
当x ∈（–∞，3-3++∞）时，f ′（x ）>0；
当x ∈（3-3+f ′（x ）<0．
故f （x ）在（–∞，3-3++∞）单调递增，在（3-3+
（2）由于2
10x x ++>，所以()0f x =等价于3
2
301
x a x x -=++． 设()g x =3
231
x a x x -++，则g ′（x ）=2222
(23)(1)x x x x x ++++≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．学·科网
又f （3a –1）=2
2111626()0366a a a -+-=---<，f （3a +1）=103
>，故f （x ）有一个零点．
综上，f （x ）只有一个零点．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,x θy θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos ,
2sin ,
x t αy t α=+⎧⎨=+⎩（t
为参数）．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．
解析：（1）曲线C 的直角坐标方程为
116
42
2=+y x ． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．
（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程
22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )
13cos t t ααα
++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．
23．[选修4－5：不等式选讲]（（本题满分10分）
设函数()5|||2|f x x a x =-+--．
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．
解析：（1）当1=a 时，⎪⎩
⎪
⎨⎧>+-≤<-≤+=2,6221,21,42)(x x x x x x f 可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．
（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．
而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．
文科数学大题冲刺练习（四）
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17．（本题满分12分）记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。

解析：（1）设
{}n a 的公比为q ，由题设可得
12
2(1)2,(1) 6.
a q a q q +=⎧⎨++=-⎩，解得12,2q a =-=-。

故{}n a 的通项公式为(2)n
n a =- （2）由（1）可得
1
1(1)22(1)133
n n n n a q S q +-==-+-- 由于321
2142222(1)2[(1)]23333
n n n n n n n n S S S +++++-+=-+-=-+-= 故12,,n n n S S S ++成等差数列
18．（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为8
3
，求该四棱锥的侧面积. 解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=，得,AB AP CD PD ⊥⊥
由于//AB CD ，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD （2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E
由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD
设AB x =，则由已知可得22,2
AD x PE x ==
故四棱锥P ABCD -的体积
31133P ABCD V AB AD PE x -=
••= 由题设得318
33x =，故2x =
从而2,22,22PA PD AD BC PB PC ====== 可得四棱锥P ABCD -的侧面积为
21111
sin 606232222
PA PD PA AB PD DC BC +++=+
19．（本题满分12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序
9
10 11
12
13 14
15
16 零件尺寸 10.26 9.91
10.13 10.02 9.22
10.04 10.05
9.95
经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162
2211
11()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，16
2
1
(8.5)
18.439i i =-≈∑，16
1
()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．
（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的
进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生
产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺
寸的均值与标准差．（精确到0.01）
附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅
的相关系数()()
n
i
i
x x y y r --=
∑
0.09≈．
解析：（1）由样本数据得(,)(1,2,...,16)i x i i =的相关系数为
20．（本题满分12分）设A ，B 为曲线C ：y =2
4
x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.
（1）求直线AB 的斜率；
（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.
21．（本题满分12分）已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．
解析：（1）函数()f x 的定义域为22(,),()2(2)()x
x x x f x e
ae a e a e a '-∞+∞=--=+-
①若0a =，则2()x
f x e =，在(,)-∞+∞单调递增 ②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =
（2）①若0a =，则2()x
f x e =，所以()0f x ≥
②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值， 最小值为2(ln )ln f a a a =-，
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,
sin ,x y θθ=⎧⎨
=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,
1,x a t t y t =+⎧⎨
=-⎩
（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l a .
（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为
综上8a =或16a =-
23．[选修4—5：不等式选讲]（本题满分10分））已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g （x ）=│x +1│+│x –1│.
（1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；
（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于
（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =
所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥ 又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一， 所以(1)2f -≥且(1)2f ≥， 得11a -≤≤
所以a 的取值范围为[1,1]-
文科数学大题冲刺练习（五）
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．（本题满分12分）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 解析：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．
由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =． 故1(2)n n a -=-或12n n a -=． （2）若1
(2)
n n a -=-，则1(2)3
n
n S --=．由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解．
若12n n a -=，则21n n S =-．由63m S =得264m =，解得6m =． 综上，6m =．
18．（本题满分12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：
超过m
不超过m
第一种生产方式 第二种生产方式
（3）根据（2）中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2
0.0500.0100.0013.8416.63510.828P K k k ≥．
解析：（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：
（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
（2）由茎叶图知
7981
80
2
m
+
==．
列联表如下：
超过m不超过m
第一种生产方式15 5
第二种生产方式 5 15
（3）由于
2
2
40(151555)
10 6.635
20202020
K
⨯-⨯
==>
⨯⨯⨯
，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
19．（本题满分12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M 是CD上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
解析：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．
因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥
DM．
因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．
又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．
而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．
（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．
证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．
连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．
MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．
20．（本题满分12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143
x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为
()()10M m m >，．
（1）证明：1
2
k <-；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+ ．
解析：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，22
22
143
x y +=．
两式相减，并由1212=y y k x x --得1212
043
x x y y k +++⋅=．
由题设知
1212x x +=，122y y m +=，于是3
4k m
=-
． 由题设得302m <<
，故1
2
k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，． 由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =
，从而3
(1)2P -，，2
3||=FP 于是．2
2)41(3)1()1(2||122
12
12
2
1x
x x y x FA -=-+-=+-=
同理2
2||2
x FB -
= 所以．3)(2
1
421=+-
=+x x FB FA ,||||||2FB FA FP +=故 21．（本题满分12分）已知函数()21
e x
ax x f x +-=．
（1）求由线()y f x =在点()01-，处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥．
解析：（1）2(21)2
()e x
ax a x f x -+-+'=，(0)2f '=．
因此曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程是210x y --=． （2）当1a ≥时，21()e (1e )e x x f x x x +-+≥+-+． 令21()1e x g x x x +≥+-+，则1()21e x g x x +'≥++．
当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增； 所以()g x (1)=0g ≥-．因此()e 0f x +≥．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩，
（θ为参数），过点()
02-，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解析：（1）O 的直角坐标方程为221x y +=．
当2
απ
=
时，l 与O 交于两点． 当2απ
≠
时，记tan k α=，则l 的方程为2y kx =-．l 与O 交于两点当且仅当2
2||11k
<+，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈． 综上，α的取值范围是(,)44
π3π
．
（2）l 的参数方程为cos ,(2sin x t t y t αα=⎧⎪⎨
=-+⎪⎩
为参数，44απ3π
<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2
A B
P t t t +=
，且A t ，B t 满足222sin 10t t α-+=． 于是22sin A B t t α+=，2sin P t α=．又点P 的坐标(,)x y 满足cos ,
2sin .
P P x t y t αα=⎧⎪⎨
=-+⎪⎩ 所以点P 的轨迹的参数方程是2
sin 2,2
22cos 222
x y αα⎧=
⎪⎪⎨
⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)．
23．[选修4—5：不等式选讲]（本题满分12分）
设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；
（2）当[)0x +∞∈，， ()f x ax b +≤，求a b +的最小值．
解析：（1）⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
≥<≤-+-<-=1.3121,221,3)(x x x x x x x f ()y f x =的图像如图所示
（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．
文科数学大题冲刺练习（六）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分. 17.（本题满分12分）已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1=1，b 2=
3
1
，a n b n +1+b n +1=nb n . (Ⅰ)求{a n }的通项公式； (Ⅱ)求{b n }的前n 项和. 解：(Ⅰ)依题a 1b 2+b 2=b 1，b 1=1，b 2=
3
1
，解得a 1=2 …2分 通项公式为 a n =2+3(n -1)=3n -1 …6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知3nb n +1=nb n ，b n +1=
31b n ，所以{b n }是公比为3
1
的等比数列.…9分 所以{b n }的前n 项和S n =111()313122313
n
n --=-⨯- …12分 18.（本题满分12分）如图，已知正三棱锥P -ABC ABC 内的正投影
为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ， 连接PE 并延长交AB 于点G .
(Ⅰ)证明G 是AB 的中点；
(Ⅱ)在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积． (Ⅰ)证明：PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB ．
又DE ⊥平面P AB ，∴DE ⊥AB ．∴AB ⊥平面PDE ． …3分
又PG ⊂平面PDE ，∴AB ⊥PG ．依题P A=PB ，∴G 是AB 的中点．…6分 (Ⅱ)解：在平面P AB 内作EF ⊥P A （或EF // PB ）垂足为F ，
则F 是点E 在平面P AC 内的正投影. …7分
理由如下：∵PC ⊥P A ，PC ⊥PB ，∴ PC ⊥平面P AB ． ∴EF ⊥PC 作EF ⊥P A ，∴EF ⊥平面P AC ．即F 是点E 在平面P AC 内的正投影.…9分 连接CG ，依题D 是正ΔABC 的重心，∴
D 在中线CG 上，且CD =2
DG ． 易知DE // PC ，PC=PB=P A = 6，∴DE =2，PE =
22
33
PG =⨯=． 则在等腰直角ΔPEF 中，PF=EF=2，∴ΔPEF 的面积S=2． 所以四面体PDEF 的体积14
33
V S DE =⨯=. …12分
19.（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.
(Ⅰ)若n=19，求y与x的函数解析式；
(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
．解：(Ⅰ)当x≤19时，y=3800；当x>19时，y=3800+500(x-19)=500x-5700.
所以y与x的函数解析式为
3800,19
(*)
5005700,19
x
y x N
x x
≤
⎧
=∈
⎨
->
⎩
…3分
(Ⅱ)由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18为0.46，不大于19为0.7，所以n的最小值为19.....6分(Ⅲ)若每台机器都购买19个易损零件，则有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，所以100台机器购买易损零件费用的
平均数为
1
100
(3800×70+4300×20+4800×10)=4000. …9分
若每台机器都购买20个易损零件，则有90台的费用为4000，10台的费用为4500，所以100台机器购买易损零件费用的
平均数为
1
100
(4000×90+4500×10)=4050. …11分
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.…12分
20.（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，直线l ：y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2=2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .
(Ⅰ)求
OH ON
； (Ⅱ)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.
解：(Ⅰ)依题M (0, t )，P (22t p , t ). 所以N (2t p , t )，ON 的方程为p
y x t
=.
联立y 2=2px ，消去x 整理得y 2=2ty . 解得y 1=0，y 2=2t . …4分
所以H (2
2t p ,2t ). 所以N 是OH 的中点，所以OH ON
=2. …6分
(Ⅱ)直线MH 的方程为2p
y t x t
-=
，联立y 2=2px ，消去x 整理得y 2-4ty +4t 2=0. 解得y 1=y 2=2t . 即直线MH 与C 只有一个交点H .
所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点. …12分 21.（本小题满分12分）已知函数f (x )=(x -2)e x +a (x -1)2.
(Ⅰ)讨论f (x )的单调性； (Ⅱ)若有两个零点，求a 的取值范围. 解：(Ⅰ) f '(x )=(x -1)e x +a (2x -2)=(x -1)(e x +2a ). x ∈R …2分
(1)当a ≥0时，在(-∞,1)上，f '(x )<0，f (x )单调递减；在(1,+∞)上，f '(x )>0，f (x )单调递增. …3分
(2)当a <0时，令f '(x )=0，解得x =1或x =ln(-2a ).
①若a =2e
-
，ln(-2a ) =1，f '(x )≥0恒成立，所以f (x )在(-∞,+ ∞)上单调递增. ②若a >2
e
-，ln(-2a )<1，在(ln(-2a ),1)上，f '(x )<0，f (x )单调递减；
在(-∞, ln(-2a ))与(1,+∞)上，f '(x )>0，f (x )单调递增.
③若a <2
e
-
，ln(-2a )>1，在(1,ln(-2a ))上，f '(x )<0，f (x )单调递减； 在(-∞,1)与(ln(-2a ),+∞)上，f '(x )>0，f (x )单调递增.…7分
(Ⅱ) (1)当a =0时，f (x )=(x -2)e x 只有一个零点，不合要求. …8分 (2)当a >0时，由(Ⅰ)知f (x )在(-∞,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增. 最小值f (1)=-e <0，又f (2)= a >0，若取b <0且b <ln 2a ，e b <2
a . 从而f (
b )>
223
(2)(1)()022
a b a b a b b -+-=->，所以f (x )有两个零点. …10分。